2.1 Dis. Teorica 02 Parte
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“UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN”
B) DISTRIBUCIONES TEÓRICAS PARA CADA ESTACIÓNEl objetivo de esta segunda etapa es determinar la distribución teórica que mejor se ajuste a los valores de precipitación de cada una de las tres estaciones.
1.- DISTRIBUCION NORMAL O DE GAUSS Función de distribución estándar.
P ( z< zi )=
∫−∞
zi
e− z2
2 dz
√2π
Media de las precipitaciones.
p=∑ pi
n=28.544mm
Desviación estándar de las precipitaciones
s=√∑ ( pi−p )2
n−1=3.957
z= pi−ps
= pi−28.5443.957
Función de probabilidades observada.
P ( x )= mn+1
= m26
∆i = IP(X)-F (z) I
F (z): se obtienen de tablas para diferentes valores de z, veamos un ejemplo para
un valor de z=1.87 de la fila 28 que contiene la TABLA 11.2.1
“DISTRIBUCIÓN NORMAL ACUMULADO”
2.- DISTRIBUCION LOG- NORMAL DE 2 PARAMETROS
TEMA: DRENAJE URBANO
“UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN”
Función de distribución estándar
P ( z< zi )=
∫−∞
zi
e− z2
2 dz
√2π
Media de las precipitaciones.
p=∑ log ( pi)
n=1.452mm
Desviación estándar de las precipitaciones
s=√∑ ( log ( pi )−p )2
n−1=0.060
z=log ( pi)−p
s=
log ( pi)−1.4520.060
Función de probabilidades observada.
P ( x )= mn+1
= m26
F (z): al igual que el caso de una distribución normal se obtienen de tablas para
diferentes valores de z.
∆i = IP(X)-F (z) I
3.- DISTRIBUCION LOG- NORMAL DE 3 PARAMETROS
TEMA: DRENAJE URBANO
“UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN”
Función de distribución estándar
P ( z< zi )=
∫−∞
zi
e− z2
2 dz
√2π
z=y i−py
s y
Donde:Asumo: Po
y i=log ( pi−po)
po=p−e p y+0.5∗sy2
Media de las precipitaciones cuando Po ya se aproxima al valor anterior.
p=∑ pi
n=28.544mm
py=∑ y in
=0.337
Desviación estándar de las precipitaciones
sy=√∑ ( y i−p y )2
n−1=1.718
Función de probabilidades observada
P ( x )= mn+1
= m26
∆i = IP(X)-F (z) I
Nota: como se puede apreciar las ecuaciones de color naranja son implícitas, es por ello que debemos dar un valor inicial a po y hacer los cálculos, luego se obtiene un nuevo valor de po el cual comparamos con el inicial; si la diferencia es mínima se queda con ese valor y si no hay que seguir iterando, Para nuestro caso se ha determinado po=22.34999997400 (iterando varias veces)
F (z): se obtienen de tablas para diferentes valores de z.
4.- DISTRIBUCION GAMMA DE 2 PARAMETROS
TEMA: DRENAJE URBANO
“UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN”
Los valores G (y) se obtienen de la siguiente Tabla 01 para un valor de ϒ y de Yi (pertenece a la región de color rosado), si en caso que estos valores no coincidan con los de la tabla hay que interpolar.
Donde:
y i=piβ
= pi0.549
β= s2
p=0.549ϒ= p2
s2 =52.033
Media de las precipitaciones
p=∑ pi
n=28.544mm
Desviación estándar de las precipitaciones
s=√∑ ( pi−p )2
n−1=3.957
Función de probabilidades observada
P ( x )= mn+1
= m26
∆i = IP(X)-G (y) I
5.- DISTRIBUCION GAMMA DE 3 PARAMETROS O PEARSON TIPO III
Donde:
TEMA: DRENAJE URBANO
“UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN”
y i=pi−poβ
β=cs∗s
2=0.848 po=p−2∗s
cs=10.068ϒ= 4
cs2 =21.800
Media de las precipitaciones.
p=∑ pi
n=28.544mm
Desviación estándar de las precipitaciones
s=√∑ ( pi−p )2
n−1=3.957
Coeficiente de sesgo
C s=n∑ (E1−E1 )3
(n−1 ) (n−2 )SE 13=0.428
Función de probabilidades observada
P ( x )= mn+1
= m26
∆i = IP(X)-G (y) I
Siguiendo el mismo procedimiento para la distribución gamma de 2 parámetros se construye el siguen te cuadro.
6.- DISTRIBUCION LOG- PEARSON TIPO III
Se utiliza también la TABLA 01
TEMA: DRENAJE URBANO
“UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN”
Dónde:
y i=log( pi)−po
ββ=
cs∗s2
=0.004 po=p−2∗scs
=0.581ϒ= 4cs
2=213.019
Media de las precipitaciones.
p=∑ log(pi)
n=1.452
Desviación estándar de las precipitaciones
s=√∑ ( log(pi)−p )2
n−1=0.060
Coeficiente de sesgo
C s=n∑ ( log(pi)−p )3
(n−1 ) (n−2 )S3 =0.137
Función de probabilidades observada
P ( x )= mn+1
= m26
∆i = IP(X)-G (y) I
Siguiendo el mismo procedimiento para la distribución gamma de 2 parámetros se construye el siguen te cuadro.
7.- DISTRIBUCION GUMBEL
F (Y )=e−e−( pi−μ)
α
TEMA: DRENAJE URBANO
“UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN”
Media de las precipitaciones
p=∑ pi
n=28.544mm
Desviación estándar de las precipitaciones
s=√∑ ( pi−p )2
n−1=3.957
μ=media−0.45∗desestándar=26.763
α=0.78∗des estándar=3.087
∆i = IP(X)-F (y)I
8.- DISTRIBUCION LOG - GUMBEL
F (Y )=e−e−( log ( pi)−μ )
α
TEMA: DRENAJE URBANO
“UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN”
Media de las precipitaciones
p=∑ log(pi)
n=1.452
Desviación estándar de las precipitaciones
s=√∑ ( log(pi)−p )2
n−1=0.060
μ=media−0.45∗desestándar=1.425
α=0.78∗des estándar=0.046
∆i = IP(X)-F (y) I
ELEGIR LA DISTRIBUCION DE MEJOR AJUSTE PARA LA ESTACIÓN
VALORES CRÍTICOS DE ∆o DEL ESTADÍSTICO SMIRNOV – KOLMOGOROV PARA VARIOS TAMAÑOS MUESTRA (n) Y NIVELES DE SIGNIFICACION. (α)
TEMA: DRENAJE URBANO
“UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN”
TABLA N°02
Con un nivel de significancia α=0.05 y con n=25 dentramos al TABLA N° 02 y sacamos un valor critico de ∆o =0.27
Debe verificarse la siguiente expresion:
∆máx .<∆o
CRITERIOS PARA ELIGIR LA DISTRIBUCIÓN
A continuación se muestra las recomendaciones para las que fueron hechas las distribuciones teóricas.
TEMA: DRENAJE URBANO
“UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN”
1 DISTRIBUCION NORMALLa distribución normal es una distribución simétrica en forma de campana, también conocida como Campana de Gauss. Aunque muchas veces no se ajusta a los datos hidrológicos tiene amplia aplicación por ejemplo a los datos transformados que siguen la distribución normal.
2 DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL DE DOS PARÁMETROSSi los logaritmos Y de una variable aleatoria X se distribuyen normalmente se dice que X se distribuye normalmente.Esta distribución es muy usada para el cálculo de valores extremos por ejemplo Qmax, Qmínimos, Pmax, Pmínima (excelentes resultados en Antioquia). Tiene la ventaja que X>0 y que la transformación Log tiende a reducir la asimetría positiva ya que al sacar logaritmos se reducen en mayor proporción los datos mayores que los menores.
5 DISTRIBUCION GAMMA DE TRES PARÁMETROS O PEARSON TIPO 3Esta distribución ha sido una de las más utilizadas en hidrología. Como la mayoría de las variables hidrológicas son sesgadas, la función Gamma se utiliza para ajustar la distribución de frecuencia de variables tales como crecientes máximas anuales, Caudales mínimos, Volúmenes de flujo anuales y estacionales, valores de precipitaciones extremas y volúmenes de lluvia de corta duración. La función de distribución Gamma tiene dos o tres parámetros.
6 DISTRIBUCIÓN LOG GAMMA O LOGPEARSON DE 3 PARÁMETROSSi los logaritmos Y de una variable aleatoria X se ajustan a una distribución Pearson tipo III, se dice que la variable aleatoria X se ajusta a una distribución Log Pearson Tipo III. Esta distribución es ampliamente usada en el mundo para el análisis de frecuencia de Caudales máximos. Esta se trabaja igual que para la Pearson Tipo III pero con Xy y Sy
como la media y desviación estándar de los logaritmos de la variable original X.
7 DISTRIBUCION GUMBEL O EXTREMA TIPO IUna familia importante de distribuciones usadas en el análisis de frecuencia hidrológico es la distribución general de valores extremos, la cual ha sido ampliamente utilizada para representar el comportamiento de crecientes y sequías (máximos y mínimos).
RESUMEN DE LOS VALORES MAXIMOS (∆máx.) DE LAS 08 DISTRIBUCIONES TEORICAS PARA LA ESTACION PUERTO INCA
DISTRIBUCION NORMAL∆máx. 0.07
80.27 Pasa
TEMA: DRENAJE URBANO
“UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN”
DISTRIBUCION LOG-NORMAL DE 2 PARAMETROS∆máx. 0.13
30.27 Pasa
DISTRIBUCION LOG-NORMAL DE 3 PARAMETROS∆máx. 0.38
10.27 No pasa
DISTRIBUCION GAMMA DE 2 PARAMETROS∆máx. 2.00
80.27 No pasa
DISTRIBUCION GAMMA DE 3 PARAMETROS O PEARSON TIPO III
∆máx. 0.211
0.27 Pasa
DISTRIBUCION LOG- PEARSON TIPO III∆máx. 0.88
30.27 No pasa
DISTRIBUCION GUMBEL∆máx. 0.10
30.27 Pasa
DISTRIBUCION LOG-GUMBEL∆máx. 0.17
00.27 Pasa
RESUMEN DE LOS VALORES MAXIMOS (∆máx.) DE LAS 08 DISTRIBUCIONES TEORICAS PARA LA ESTACION PUERTO BERMUDES
TEMA: DRENAJE URBANO
“UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN”
DISTRIBUCION NORMAL∆máx. 0.15
0 0.27 Pasa
DISTRIBUCION LOG-NORMAL DE 2 PARAMETROS∆máx. 0.14
60.27 Pasa
DISTRIBUCION LOG-NORMAL DE 3 PARAMETROS∆máx. 0.26
60.27 Pasa
DISTRIBUCION GAMMA DE 2 PARAMETROS∆máx. 2.00
80.27 No pasa
DISTRIBUCION GAMMA DE 3 PARAMETROS O PEARSON TIPO III
∆máx. 0.211
0.27 Pasa
DISTRIBUCION LOG- PEARSON TIPO III∆máx. 0.88
30.27 No pasa
DISTRIBUCION GUMBEL∆máx. 0.17
20.27 Pasa
DISTRIBUCION LOG-GUMBEL∆máx. 0.21
10.27 Pasa
TEMA: DRENAJE URBANO
“UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN”
RESUMEN DE LOS VALORES MAXIMOS (∆máx.) DE LAS 08 DISTRIBUCIONES TEORICAS PARA LA ESTACION OXAPAMPA
DISTRIBUCION NORMAL∆máx
.0.156 0.27 Pasa
DISTRIBUCION LOG-NORMAL DE 2 PARAMETROS∆máx
.0.166 0.27 Pasa
DISTRIBUCION LOG-NORMAL DE 3 PARAMETROS∆máx
.0.279 0.27 No pasa
DISTRIBUCION GAMMA DE 2 PARAMETROS∆máx
.2.008 0.27 No pasa
DISTRIBUCION GAMMA DE 3 PARAMETROS O PEARSON TIPO III∆máx
.0.211 0.27 Pasa
DISTRIBUCION LOG- PEARSON TIPO III∆máx
.0.883 0.27 No pasa
DISTRIBUCION GUMBEL ∆máx 0.211 0.27 Pasa
TEMA: DRENAJE URBANO
“UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN”
.
DISTRIBUCION LOG-GUMBEL∆máx
.0.221 0.27 Pasa
Veamos cómo se calcula la precipitación de diseño a partir de la distribución teórica de mayor ajuste para un periodo de retorno de 5 años, análogamente se realiza para el resto de los t.
Media 2.995Des estándar 0.045 ∆máx. 0.1662
2.995 0.045
PARA UN PERIODO DE RETORNO (t)T = 100 Años
0.99
z = 2.30
1256.29 mm
PRECIPITACIÓN DE DISEÑO PARA PERIODOS DE RETORNO
PERIODOS DE RETORNO DE VALORES ESTANDAR
Media 2.995 ESTACION
5 Años 10 Años 20 Años 50 Años 100 Años
Des estándar 0.045 Puerto Inca
389.42 mm
429.87 mm
474.52 mm
523.81 mm
564.11 mm
TABLA 01PERIODOS DE RETORNO DE
VALORES ESTANDARMedia 2.77 ESTACION 5 Años 10 Años 20 Años 50 Años 100
TEMA: DRENAJE URBANO
p=∑ log(pi)
n S¿√∑ ( log (pi )−p )2
n−1
P (P≤Pd )=1−1T
=F(z )
pd=10p+z∗s
Tabla A
“UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN”
0 Años
Des estándar 0.190 Estación Puerto Bermudes
835.12 mm
994.97 mm
1185.41 mm
1412.31 mm
1610.55 mm
TABLA 02PERIODOS DE RETORNO DE
VALORES ESTANDAR
Media 2.995 ESTACION
5 Años 10 Años 20 Años 50 Años 100 Años
Des estándar 0.045 Estación Oxapampa
1073.83 mm
1119.72 mm
1167.57 mm
1217.47 mm
1256.29 mm
C) PRECIPITACIONES DE DISEÑO EN EL CENTRO GEOMETRICO DEL PROYECTO
TEMA: DRENAJE URBANO
“UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN”
El objetivo de esta etapa es determinar las precipitaciones de diseño en el centro geométrico de la zona Urbana CIUDAD CONSTITUCION para periodos de retorno 5, 10, 20, 50 Y 100 años usando la ecuación cartesiana de un plano generado por los puntos de las tres estaciones y usando los valores de la TABLA 01, TABLA02 y TABLA 03.
TEMA: DRENAJE URBANO
USANDO LA ECUACION CARTESIANA DEL PLANO
Ax+By+Cz-(Ax1+By1+Cz1) = 0
“UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN”
RESUMEN
RESUMENPERIODO PRESIPITACION
5 Años 633.606241 mm10 Años 714.969793 mm20 Años 809.105276 mm50 Años 918.223762 mm
100 Años 1011.449673 mm
TABLA 04
TEMA: DRENAJE URBANO