CAPÍTULO III ECUACIONES DE FLUJO SUBTERRÁNEOCAPÍTULO III ECUACIONES DE FLUJO SUBTERRÁNEO

El estudios de Transporte en general, el flujo ocurrente es proporcional a un gradiente de potencial:

• Corriente eléctrica: de alto a bajo voltaje

• Transmisión de calor : de alta a baja temperatura

• Flujo a superficie y a presión : de mayor a menor nivel

Ej. La Ley de la Hidrostática

El flujo subterráneo obedece al mismo principio. Ocurre desde un nivel de energía mayor a un menor:

GRADIENTE DE ENERGÍA O GRADIENTE DE POTENCIAL!GRADIENTE DE ENERGÍA O GRADIENTE DE POTENCIAL!

Fp =∇ρ1

3.1 GRADIENTE DE POTENCIAL3.1 GRADIENTE DE POTENCIAL

3.1 GRADIENTE DE POTENCIAL3.1 GRADIENTE DE POTENCIAL

La energía en un sistema puede ser expresada por:

Energía total = potencial + cinética + elástica o de deformación

La dinámica de fluidos, en términos de flujo unidimensional y fluido incompresible presenta:

gvp

zE2

2

++=γ

El flujo subterráneo es en general muy lento, tal que el término cinético puede ser omitido.

Se define el POTENCIAL DE FLUJO como:

ρopp

zg−+=Φ

3.1 GRADIENTE DE POTENCIAL3.1 GRADIENTE DE POTENCIAL

Se representa:

γφ p=De ese modo:

φgzghg +==Φ

Así,

h : energía por unidad de peso

Φ : energía por unidad de masa

superficie

punto de control

ψ

z

h

Datum z=0

3.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD3.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

El principio de la conservación de la masa afirma:

El cambio neto en masa durante un tiempo es igual al volumen almacenado en ese intervalo

dydzdtdzxq

qdzxρ

ρ xx

∂∂+

∂∂+

dydzdtqxρ

z

x

y

Sea el elemento diferencial de un medio poroso saturado.

La masa de agua ingresando a él, según el eje X se puede escribir,

dtdzdyxqρSiendo qx el caudal unitario en dirección X

3.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD3.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

La masa saliendo en ese intervalo:

dtdzdydxxq

qdxx

xx

∂∂+

∂∂+ ρρ

3.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD3.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

La masa neta:

dtdzdydxqx x

∂∂− )(ρ

La masa total en las tres direcciones:

dtdzdydxqz

qy

qx zyx

∂∂−+

∂∂−+

∂∂− )()()( ρρρ

3.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD3.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

Por otra parte, el volumen de agua inicialmente existente en el elemento de control era:

dVdVndVdV vw θ===

Como el medio está saturado, n = θ siendo θ el contenido de humedad (water content)

Entonces, la masa almacenada en el estado inicial,

dVθρ

La masa de agua en el instante posterior

dVdtt

dtt

∂∂+

∂∂+ θθρρ

3.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD3.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

La masa almacenada en ese intervalo,

( ) dtdVt

θρ∂∂

Por el Principio de Conservación de la masa,

( ) dtdVt

dtdzdydxqz

qy

qx zyx θρρρρ

∂∂=

∂∂−+

∂∂−+

∂∂− )()()(

3.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD3.2 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

En forma condensada,

( ) ( ) 0=∂∂+∇ θρρt

q

Si el fluido es incompresible,

0=∂∂+∇

tq

θ

3.3 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO3.3 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO

A partir de la Segunda Ley de Newton, se puede derivar la ecuación de movimiento para un líquido fluyendo en un medio poroso (ecuación de Darcy)

xh

Kqx ∂∂−=

yh

Kqy ∂∂−=

zh

Kqz ∂∂−=

hKq ∇−=

La ecuación de Darcy, de la forma presentada es únicamente válida para medios anisotrópicos

3.3.1 HETEROGENEIDAD DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA3.3.1 HETEROGENEIDAD DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA

La conductividad hidráulica muestra variación espacial.

• Si K es independiente de la posición en la formación

geológica, entonces la formación es homogénea, y

K(x,y,z) = Constante

• Si K es dependiente en su valor de la posición, la formación es

heterogénea, y

K(x,y,z) ≠ Constante

3.3.1 HETEROGENEIDAD DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA3.3.1 HETEROGENEIDAD DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA

Algunas causas para heterogeneidad:

• Ambiente e historial geológico

• Estratificación (heterogeneidad estratificada)

• Fallas (heterogeneidad por discontinuidad)

• Procesos de sedimentación que ocurren en deltas o pantanales

(heterogeneidad de tendencias)

3.3.1 HETEROGENEIDAD DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA3.3.1 HETEROGENEIDAD DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA

La heterogeneidad de la conductividad hidráulica puede ser descrita en

términos estadísticos a través de densidades de probabilidad.

Se ha observado que K responde a una distribución log-normal con una

desviación estándar de 0.5 a 1.5

Por ejemplo, en una formación geológica fuera de esperar una variación

de K en el orden del 1 a 2 de orden de magnitud.

3.3.1 HETEROGENEIDAD DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA3.3.1 HETEROGENEIDAD DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA

(x1,z1)

(x2,z2)

X

Z

Kz

Kx

Homogeneo, Isotropico Homogeneo, Anisotropico

Heterogeneo, Isotropico Heterogeneo, Anisotropico

3.3.2 ANISOTROPÍA DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA3.3.2 ANISOTROPÍA DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA

Se dice que un medio es isotrópico cuando un observador

arbitrariamente colocado en él, observará la misma estructura

molecular y propiedades en todas direcciones.

Las direcciones en el espacio en las cuales K alcanza sus máximos

valores son denominadas direcciones principales de anisotropía

Si el sistema de referencia coincide con las direcciones principales, las

conductividades hidráulicas serán Kx , Ky , Kz. De ese modo,

• Medio isotrópico : Kx = Ky = Kz

• Medio anisotrópico : Kx ≠ Ky ≠ Kz

• Isotropía transversal : Kx = Ky ≠ Kz

Algunas causas para la anisotropía:

• Pequeña escala: orientación de las partículas de arcilla H/V

• Gran escala : capas homogéneas en sí, actúan como un medio

anisotrópico único

3.3.2 ANISOTROPÍA DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA3.3.2 ANISOTROPÍA DE LA CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA

3.4 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES3.4 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES

xh

Kqx ∂∂−=

yh

Kqy ∂∂−=

zh

Kqz ∂∂−=

Cuando las coordenadas del

sistema coinciden con las

direcciones principales de

anisotropía :

Pero cuando no coinciden,

zh

Kyh

Kxh

Kq xzxyxxx ∂∂−

∂∂−

∂∂−=

zh

Kyh

Kxh

Kq yzyyyxy ∂∂−

∂∂−

∂∂−=

zh

Kyh

Kxh

Kq zzzyzxz ∂∂−

∂∂−

∂∂−=

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

KKK

KKK

KKK

Kcon,

ELIPSOIDE DE CONDUCTIVIDAD HIDRÁULICA

A veces es necesario conocer la conductividad hidráulica en una dirección arbitraria, pero se dispone de información en las direcciones principales

Sea qs la dirección arbitraria.

sh

Kq ss ∂∂−=

En las direcciones principales (sean x,z)

αα senqzh

Kqqxh

Kq szzsxx =∂∂−==

∂∂−= ;cos

También,

αα senyh

xh

sy

yh

sx

xh

sh

∂∂+

∂∂=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

cos

3.4 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES3.4 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES

Resultando en,

yxs Ksen

KKαα 22cos1 +=

Que en coordenadas rectangulares,

yxs Ky

Kx

Kr 222

+=

xK

zKsK

3.4 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES3.4 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES

3.5 ECUACIÓN DE RICHARDS3.5 ECUACIÓN DE RICHARDS

De la combinación de la ecuaciones de Continuidad y de Movimiento,

qt

∇−=∂∂θ hKq ∇−=

( )hKt

∇∇=∂∂

θ

Surge la denominada ecuación de Richards

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

zh

Kzy

hK

yxh

Kxt

)()()( φφφθ

Que es una ecuación no lineal, y que no es posible resolverla

sin conocer, por ejemplo, el estado inicial de θ

Si h es desdoblada en sus componentes : h = z + φ

+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂

1)()()(zh

Kzy

Kyx

Kxt

φφφφφφφθ

3.5 ECUACIÓN DE RICHARDS3.5 ECUACIÓN DE RICHARDS

Si se introduce el concepto de :

φθφ

∂∂=)(C

+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

1)()()()(zh

Kzy

Kyx

Kxt

C φφφφφφφ

Entonces,

Que es la ecuación de Richards, válida para flujo subterráneo, un cualquier

punto, ya sea que el medio esté saturado o parcialmente saturado !

• Para resolverla, es necesario conocer K(φ) y C(φ) ó θ (φ)

• Partiendo de Richards, uno simplifica la ecuación dependiendo del

caso particular que se analice

3.5 ECUACIÓN DE RICHARDS3.5 ECUACIÓN DE RICHARDS

0=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

zh

Kzy

hK

yxh

Kx

Por ejemplo, para medio completamente saturado,

para medio completamente saturado, homogéneo e isotrópico,

022

2

2

2

2

2

=∇=∂∂+

∂∂+

∂∂

hzh

yh

xh

La cual es la conocida ecuación de Laplace

3.5 ECUACIÓN DE RICHARDS3.5 ECUACIÓN DE RICHARDS

3.6 PROBLEMA DE CONDICIONES DE BORDE3.6 PROBLEMA DE CONDICIONES DE BORDE

Además de conocer las ecuaciones que gobiernan el flujo al interior del Dominio, es necesario también conocer:

1. El tamaño y la forma del dominio

2. Las ecuaciones de flujo dentro de la región

3. Las condiciones de contorno en los bordes

4. Las condiciones iniciales en la región

5. La distribución espacial de los parámetros hidrogeológicos que controlan el flujo

6. Un modelo matemático de solución

El punto 4 puede ser obviado si el flujo es considerado como permanente

3.6 PROBLEMA DE CONDICIONES DE BORDE3.6 PROBLEMA DE CONDICIONES DE BORDE

La resolución de problemas puede ser encarada:

1. Simplificando el problema real de manera que éste pueda ser

tratable, pero manteniendo las características mas importantes

de él

2. Formular las cantidades físicas del problema en términos de

variables y funciones abstractas para ser usadas en el modelo

matemáticos descriptivo del problema

3. Elección y resolución del problema e interpretación de

resultados

3.7 TIPOS DE FLUJO – FLUJO HORIZONTAL3.7 TIPOS DE FLUJO – FLUJO HORIZONTAL

Se considera:

• Flujo ocurre solo en el plano horizontal (qz = 0)

• Flujo confinado entre dos capas o bordes impermeables

• Los bordes son horizontales y suficientemente extensos

• La capa entre los bordes conforman el acuífero

Flujo horizontal puede ser

• Unidimensional

• Bi-dimensional

• Bi-dimensional y radial