AULADE EL MUNDO

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P S I C O A N A L I S I S A L O S N U M E R O S ( I )Uno, dos, tres, cuatro... Todos conocemos los nmeros de contar, que son in-dispensables para la vida del hombre. Pero a lo largo de la Historia, y pormltiples causas, los nmeros se han impregnado de significados religiosos,esotricos, msticos o estticos. As, muchsimas religiones han dotado a lodivino de tres principios, y el universo ha estado asociado al cuatro; el sietees un nmero mgico y el seis es diablico. Sea por supersticin, por tradi-cin o por la persistencia de pensamientos perennes, el caso es que cadanmero est asociado a ideas que no han cambiado a lo largo de los tiem-pos. Conoce la personalidad de los nmeros en sta y la siguiente lmina.Ah! El cero, como es muy especial, tiene una historia muy, muy larga... y la mssingular, as que le dedicaremos la lmina que se merece.

Uno es lo PRIMI-TIVO por ex-c e l e n -cia. De lprovienenlos demsnmeros,que se ob-tienen apartir de l poradicin.

Smbolo delprincipio acti-vo, del ser enestado puro,tambin simbo-liza la VERTICA-LIDAD del hom-bre que lo con-vierte en nexoentre la tierra yel cielo. Ade-ms es el pri-mer ORDI-NAL, demodo quese asocia alo mejor, ala victoria...

El cuatro,asociadoal cuadra-do (la esta-bilidad) y lacruz, es el

smbolo del Uni-verso creado y

estable. Segn la tradicin, cuatro son los elementos esen-ciales que componen el universo: aire, fuego, tierra y agua.Cuatro son tambin los puntos cardinales. Y cuatro son los hu-mores corporales de Empdocles: flemtico, sanguneo, co-lrico y melanclico. Las fases de la Luna y las estacionesdel ao tambin son cuatro.

Al ser dos veces 3, el sseeiiss es el n-mero del EQUILIBRIO y la RECIPROCI-DAD. En la Biblia, su uso es contra-dictorio: es el tiempo que tard Dios encrear el mundo, pro-porcionando el ritmode seis como bue-no; sin embargo,en elApo-

calipsis se usa como el nmero del Anticris-to con el que ste ser marcado (con 666).

El hexgono, representacin geomtrica delseis, se obtiene como dos tringulos entrelaza-dos, que representa para los hindustas launin de los contrarios, la armona creado-ra. Para los judos, es su smbolo, la estre-lla de David.

por Lolita Brain

Es el dos el nme-ro de la discordiay a la vez el delequilibrio. Es laesencia de la plu-ralidad.

En unas civiliza-ciones ha repre-sentado la duali-dad comooposicin( b l a n -

co-negro, vida-muerte), mientrasque, en otras, esasmismas parejashan simbolizadola complementari-dad: el Ying y elYang de los taos-tas.

Representala duali-

dad.

Cinco es el centro de la serie natural 1-2-3-4-5-6-7-8-9. Expresa unidad dinmica yenerga radiante.El hombre con los brazos abiertos es

pentagonal. Losdedos son cinco,como los sentidos.Para los hindes,es el nmero deShiva, y lospitagricos

usaban comosmbolo elpentagrama.Para los mayasrepresenta alDios del Maz,los musulma-

nes rezancin-

co vecesal da, y cinco son los lugaressantos del Islam.

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En la mayora delas culturas, elnmero ttrreesssimboliza lo ACA-BADO y CULMINA-DO. Es, por ello,un nmero sa-grado para mu-chas religionesque represen-tan la divinidadcomo trada,manifestandola PERFECCIN, laCOMPLEJIDAD yla COMPLEMENTARIDAD, loque significa EQUILI-BRIO. As los cristia-nos creen en la San-tsima Trinidad(Dios Padre, Hijo yEspritu Santo),mientras que paralos hindustas la di-vinidad es expresada enBrahma, Shiva yVishn, quienesmantienen lavida en uneterno retorno.El tres, obteni-do con el 1 y el2, se asocia a lavida y la expe-riencia: es na-cimiento, ser ymuerte o pre-sente, pasado yfuturo.

Neptuno usaun tridente, Shivalleva un tridente,Satans se repre-senta con un tridente:el poder.

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P E R F E C T O S , A M I G O S Y G E M E L O S

por Lolita Brain

Cuenta la leyenda que alser preguntado qu es un amigo, Pitgorasrespondi: El que es el otro yo mismo, comoson 220 y 284. Enigmtica respuesta numrica comoera del gusto de Pitgoras..., pero qu les sucede de es-pecial a 220 y 284? Muy sencillo, si sumas los diviso-res propios de 220, esto es 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 +20 + 22 + 44 + 55 + 110, se obtiene 284! Pero anhay ms, si haces lo mismo con 284 y sumas sus divi-sores 1 + 2 + 4 + 71 + 142 se obtiene 220! Se puedepedir ms comunin a dos amigos? Estos son los n-meros AAMMIISSTTOOSSOOSS ms pequeos que existen.

Los DDIIVVIISSOORREESS PPRROOPPIIOOSS de un nmero dado nosproporcionan las partes en las que, de modoexacto, puede partirse dicho nmero. Por ejem-plo, los divisores propios del 12 son 1, 2, 3, 4y 6, y por tanto este nmero se puede partir en2, 3, 4 o 6 partes iguales sin que sobre ni falte. Observa que, en la vida real, cuando com-ponemos las partes en las que hemos divididoun todo, obtenemos el total. Pasar lo mismo conlos nmeros? Pues NO. Si tomamos el 12, por ejemplo, y sumamos susdivisores, resulta 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, quees mayor que 12. Decimos que 12 es un n-mero AABBUUNNDDAANNTTEE (como el 18 o el 20). En cambio, si comenzamos con el 10,cuyos divisores propios son 1, 2 y 5, alsumarlos obtenemos 1 + 2 + 5 = 8,que es menor que 10. Decimos que10 es DDEEFFIICCIIEENNTTEE (como el 4, 8 o 9 ).Pero y si hubiramos tomado el 6?Veamos: el 6 se divide propiamentepor 1, 2 y 3. Realizando la suma deantes obtenemos 1 + 2 + 3 = 6. Elmismo nmero que de partida! Estosson los nmeros PPEERRFFEECCTTOOSS, algo ascomo los top-models de los nmeros.

En el mundo de los nmeros, noslo hay amigos y perfectos. Losgemelos tambin se encuentran ycon unos lazos familiares muy es-trechos. Para que dos nmeros seanGGEEMMEELLOOSS, han de ser primos y ade-ms diferenciarse en dos unidades.Por ello se llaman tambin PPRRIIMMOOSSGGEEMMEELLOOSS. Por qu los denominamosas? Porque la diferencia entre dosnmeros primos es siempre mayor oigual que dos (excepto el 2 y el 3!).Por ejemplo, 3 y 5 son primos ge-melos, y tambin las parejas 5 y 7, 17y 19, 29 y 31,101 y 103. Pero pue-den encontrarse parejas de gemelosmuy grandes, como 1.000.000.061y 1.000.000.063, lo cual no deja deser sorprendente ya que los nme-

ros primos escasean cuando aumen-tan. Se ha conjeturado que existen infinitas parejas de primos ge-melos, pero este trmino no ha sido probado todava.

Respecto de la divisibilidad,el 60 es uno de los nmerosms divisibles que existen:se puede dividir por 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30 y 60.Nada menos que 12 divisores!Muchos ms que el 100 y queotros nmeros mayores. Porello con gran acierto los meso-

potamios lo escogieron comobase para su numeracin.

Y para medir el tiempo.

Hasta la fecha seconocen aproxima-damente 1.000 pare-jas de nmeros ami-gos, aunque suhallazgo ha sidotarea de miles deaos. Desde lospitagricos, huboque esperar hasta1636 para queP i e r r eFermat

encontrara la siguiente pareja deamigos: 1177..229966 y 1188..441166, algo ale-jados de 220 y 284. Fermat yDescartes redescubrieron unafrmula para calcular nmerosamigos que ya era conocida porun astrnomo rabe en el sigloIX. Descartes, usando dicha fr-

mula, encontr a lapareja amistosa99..336633..558844 y 99..443377..005566. Elgran Euler tuvo un gaza-po en sus clculos cuan-do construy una tablacon 64 parejas de ami-gos, de los que mstarde se demostraraque una pareja era defalsos amigos. Resulta

m u ycurio-so que en 1867 un joven ita-liano de 16 aos, descono-cido cientficamente,NNIICCOOLLSS PPAAGGAANNIINNII encontrque 11..118844 y 11..221100 eran ami-gos... los siguientes a 220 y284 y se les pas a todos losmatemticos.

LL OO SS PP EE RR FF EE CC TT OO SS

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Aunque conocemos desde la ms tierna edad la clasificacin delos nmeros como pares e impares, y ms adelante estudiamosen el colegio otros tipos de nmeros especiales, como los pri-mos, lo cierto es que las categoras en las que se clasifican los n-meros enteros son numerosas y atienden a diversos criterios, sien-do los que tienen relacin con los divisores -su nmero y valor-de las ms interesantes. Aparecen entonces los nmeros per-fectos, los primos gemelos, los nmeros amigos y muchos ms.Hoy nos daremos un bao por este universo de los elementosde las Matemticas: los nmeros naturales y enteros.

Ren Descartes (1596 -1650) Pierre Fermat (1601 -1665)

Leonard Euler (1707 -1783)

Como hemos visto, el 6 es un nmeroperfecto y adems es el ms pequeoque existe. A partir deaqu los matemticosse pusieron a la busca ycaptura de los siguien-tes perfectos, compren-diendo muy pronto queson nmeros muy esca-sos y muy difciles deencontrar. Los siguien-tes perfectos son 28,496 y 8128. Por otra parte, no se haencontrado ningnPERFECTO IMPAR y esposible que no exista,pero es algo que nosabemos a ciencia cier-ta, por eso, al decir per-fecto solemos referir-nos a los numeros per-fectos pares. Fue, cmono, EEUUCCLLIIDDEESS el queestudi los nmerosperfectos exhaustiva-mente en el LIBRO VIIIde sus Elementos. Fiela su sagacidad,Euclides postul que siel nmero anterior auna potencia de 2 esprimo (por ejemplo, 7 es el anterior a

la potencia 23=8), entonces al multi-plicarla por lapotencia anteriordel 2 (en este caso,22=4) obtenemossiempre un nmeroperfecto (observaque 4x7=28 es per-fecto). Otro ejem-plo, 25=32, 32-1=31,que es primo. SegnEuclides, al multi-plicar la potenciaanterior de 2,24=16, por 31 seobtiene 496, quetambin es perfecto!Dos mil aos mstarde, otro genioque ya conoces,Leonard Euler,demostr que todoslos nmeros perfec-tos pares se obtie-nen de la mismaforma.En la actualidad, seconocen 39 nmerosperfectos, la mayo-ra de ellos calcula-dos con potentes

ordenadores, ya que muchos de ellosocupan cientos de pginas.

Euclides fragmento de La Escuelade Atenas (hacia 1510) Rafael

de Sanzio (1483-1520)

2n-1(2n-1) es PERFECTO si2n-1 es PRIMO

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El ao que acaba de comenzar, 2002, ser el ltimo capica quevivamos los que leemos este suplemento. El anterior fue 1991.Por eso, hoy vamos a contarte unas cuantas curiosidades so-bre estos nmeros. Y como, adems, existe la propiedad capi-ca para los textos y las imgenes, te hablaremos tambin de lasexpresiones palindrmicas o los palndromos.

C A P I C U A S Y P A L I N D R O M O S

por Lolita Brain

Los nmeros capicas, ya sabes, los que son iguales de izquier-da a derecha que de derecha a izquierda, no presentan nadaespecial bajo el prisma de las Matemticas. No mantienen re-gularidad alguna ni contienen ningn secreto y son mucho ms po-bres que los nmeros perfectos o los primos. Sin embargo su es-tudio est lleno de conjeturas. Es decir, se sabe cmo se compor-tan en algunas situaciones pero no se tiene ni idea de qu sucede entodos los casos.

Una de las ms famosas con-jeturas sobre los nmeros ca-picas aparece en textos hacia1930, pero es de origen desco-nocido. Afirma que, partien-do de un nmero entero cual-quiera, se le da la vuelta a suscifras y se suma con l. Si el re-sultado inicial no es capica, serepite el proceso con el nue-vo nmero. La conjetura aseguraque, de este modo, en un nme-ro de pasos finitos se encuentraun nmero capica. Aunque suveracidad es ms o menos acep-tada, en 1967, el matemtico ca-liforniano Charles Trigg, en-contr que en los primeros10.000 nmeros hay 249 quetras repetir el proceso nada me-nos que 100 veces no apareceun capica. En 1975, Harry Saaltom el 196, el menor de los n-meros encontrados por Trigg ytras repetir 237.310 iteracionesno encontr un capica. Salvo las249 excepciones, los enteros me-nores de 10.000 producen capi-ca antes de 24 pasos. Es ms,slo 89 y 98 necesitan las 24 ite-raciones. Hoy en da, Trigg pien-sa que es falsa.

Un PALNDROMO (del griego PALIN de nuevo y DROMOS carrera, andar) es una palabra (Ana)o una frase (Amo la pacfica paloma) que se lee igual de izquierda a derecha, que dederecha a izquierda. Existen en todos los idiomas y han interesado a personajes fa-mosos, como a Lewis Carrol, el autor de Alicia en el pas de las maravillas. Te dejamosuna pequea muestra de algunos en castellano.

Este nmero tiene tres particularidades: es resultado de hacerel cuadrado de 836, 8362=698.896, que es el mayor nmerode tres cifras, cuyo cuadrado da de resultado un capica. Ademscualquier otro nmero que sea un cuadrado y adems capica,es siempre mayor que l. Fjate adems que si le das la vuelta tam-bin es capica: 968.869

Dbale arroz a la zorra el abadA cavar a Caravaca

A sor Adela, Pepa le da rosa.A ti la sal y la salitaA tu rival, la viruta.Abusn, ac no suba

Acaso repelen leperos ac?Adn no cede con Eva, Yav no cede con

nada.Al amanecer asar cena mala.

Ans us tu auto, SusanaArena mala me da de mala manera.

As Mario oir misa.Isaac no ronca as.

Lavan esa base naval.Ni nicotina ni tocinn

Nota pica: nac peatn.O sacis ropa por si acaso.

Or a Daro.Oir la voz noble del bonzo Valerio

Oro! ... Ya hay oro!Otro poseso Jos soportPirata me mata?... R.I.P.!

Raja barmetro por temor a bajar.Roba la lona, no la labor.

Roza las alas al azor.Yo de lo mnimo le doy

Tambin existen imgenespalindrmicas. Son aque-llas que tienen dos sentidos,cuando se las ve en una po-

sicin y cuando se les da lavuelta o un giro. Te mostra-mos dos ejemplos: el caba-llo-rana y la joven-vieja.

+

11 22 ==111111 22 == 11 22 11

11 11 11 22 == 11 22 .. 33 22 1111 .. 11 11 11 22 == 11 .. 22 33 44 .. 33 22 11

11 11 .. 11 11 11 22 == 11 22 33 .. 44 55 44 .. 33 22 1111 11 11 .. 11 11 11 22 == 11 22 .. 33 44 55 .. 66 55 44 .. 33 22 11

.. .. ..11 .. 11 11 11 .. 11 11 11 22 == 11 22 .. 33 44 55 .. 66 77 88 .. 99 88 77 .. 66 55 44 .. 33 22 11

LL AA CC OO NN JJ EE TT UU RR AA CC AA PP II CC UU AA

Los REPETUNOS son nmeros formados slo con la cifra uno. Cuan-do se elevan al cuadrado aparecen nmeros capicas con labrillantez de ir encontrando sucesivamente todos los nmerosdesde el uno hasta el nueve. Sin embargo, a partir del repetuno111.111.111 no aparecen ms capicas.

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PP AA LL II NN DD RR OO MM OO SS VV II SS UU AA LL EE SS

Este nmero podra ser el primer capica que est documenta-do. En la obra Ganitasarasamgraha (hacia 850 d.C.) del matem-tico indio Mahaviracharya, aparece este nmero como resultadode unos clculos, y lo define como ekadishadantani kramena hi-nani, es decir, la cantidad QUE COMIENZA POR UNO Y AUMENTA HAS-TA SEIS, PARA A CONTINUACIN DISMINUIR ORDENADAMENTE.... Histri-camente, lo ms importante es que este documento nos dice que,antes de mediados del siglo IX, los indios ya conocan la nota-cin posicional. Los sistemas anteriores de numeracin no podanproducir capicas.

E L P R I M E R C A P I C U A ?1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

6 9 8 . 8 9 6

+

9559

144441585

Los mires por donde los mires, siempre suman lo mismo. Esta es la filosofa de los cua-drados mgicos, una construccin matemtica antiqusima cuyos orgenes se remontanal 2200 a.C., cuando el emperador chino Yu crey ver en el caparazn de una tortu-ga el cuadrado mgico ms antiguo del que tenemos referencia, el lo-shu. En estosdas en los que el sudoku hace furor entre todos, conviene hacer un poco de historiay hablar de estos objetos matemticos ntimamente relacionados con el pasatiempoms de moda. La prxima semana seguiremos hablando de ellos.

por Lolita Brain

LA MAGIA DE LOS CUADRADOS I

MELANCOLA (1514)

CUADRADO MGICO IMPAR DEORDEN 3 Y CONSTANTE 51.

CUADRADO DE ORDEN 4 YCONSTANTE 68.

La constantemgica del cua-drado es 34. Filas,columnas y dia-gonales sumanpor tanto 34.

QU ES UN CUADRADO MGICO? EL CUADRADO MS MGICO Y MS FAMOSO

U n cuadrado mgico es un cua-drado subdividido en n filas y ncolumnas que dan lugar a n2casi-llas, en cada una de las cuales hayun nmero distinto. Es mgico en elsentido de que los nmeros de cadafila, de cada columna y de las dosdiagonales principales suman lamisma cantidad, que se suele deno-minar constante mgica. El ordende un cuadrado mgico es el nmerode filas o de columnas. As hablamosde cuadrados de orden 3, de orden4, etctera. El orden de un cuadradodetermina muchas de sus propieda-des.

T TAMBIN PUEDES CONSTRUIR UN CUADRADO MGICO DE CUALQUIER ORDEN IMPAR

P ara generar un cuadrado deorden impar, pero slo de esteorden, se utiliza el mtodo deSimon de La Loubre publicadoen 1691, llamado tambin elmtodo siams, un sistema yaconocido por los astrlogos orien-tales. Para ello nos imaginamosun cuadrado de orden 5 cuyoslados estn unidos, el superiorcon el inferior y el derecho con elizquierdo. El mtodo consiste enir colocando nmeros consecuti-vos en los cuadrados que resultande moverse a la casilla superiorderecha de la que nos encontre-mos, de modo que cuando en undesplazamiento nos salgamospor arriba del cuadrado, nos dirigi-remos abajo, y si nos salimos porla derecha, iremos a la izquierda.

A lberto Durero, el gran pintor yterico del arte renacentista, esel autor del primer cuadradomgico conocido en el arte occi-dental. El grabado, repleto demetforas matemticas, contieneun fascinante cuadrado mgico enel que casi todas las formas sumanla constante 34. Vemoslo.

Infografa y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

Las cuatro esquinas sumantambin 34.

Los cuatro cua-drados menoresdel cuadradoprincipal tambinsuman 34.

El cuadrado central tambinsuma 34.

Las casillas delos extremos delas filas centralessuman 34. Tambin las delas columnascentrales.

En la obra de Corne-lius Agripa, Deocculta Philosop-hia libri tres, de1533, aparecen cua-drados mgicos deorden 3 y de orden9. La imagen laTabula Saturni dedicha obra presentaun cuadrado deorden 3 y de cons-tante 15.

E n la fachada de la Pasin de la Sagrada Familia deBarcelona, obra de J. Subirachs, aparece un cua-drado mgico de orden 4 con constante 33, la edadde Cristo. Es el mismo que el de Durero pero invertidode arriba a abajo y se ha restado una unidad al 11, 12,15 y 16, con lo que se repiten el 10 y el 14.

Las dos casillasinferiores del cen-tro anan 1514,que es la fecha deejecucin del gra-bado.

Y TAMBIN EN LA SAGRADA FAMILIA

1.-Colocamos el 1 en la casilla central superior. Nos movemos a la de arriba y a la derecha para poner el 2. Como nos sali-mos del cuadrado lo llevamos a la fila inferior. 2.-Desde el 2, volvemos a ir arriba y a la derecha. Situamos el 3. 3.- Cuando intentamos poner el 4, nos salimos del cuadrado por la derecha. Se coloca entonces a la izquierda 4.-Ubica-mos el 5 y cuando vamos a poner el 6, la casilla est ocupada por el 1. Situamos el 6 bajo el ltimo nmero, el 5.

5.-Seguimos colocando el 7 y el 8. Como el 9 cae en una casilla superior, lo llevamos a la fila inferior. Al poner el 10, salepor la derecha y lo mandamos a la columna de la izquierda. 6.-De nuevo, al intentar situar el 11, la casilla que le correspon-de est ocupada por el 6, y por tanto lo colocamos bajo el 10. 7.- Ubicamos sin problemas el 12, 13, 14 y 15. 8.-Al poner el16, ste cae en la esquina superior derecha. Deberamos situarlo donde est el 11. Y por tanto lo colocamos bajo el ltimonmero escrito, el 15. Ahora te toca a ti continuar con los restantes nmeros hasta el 25.

1 2 3 4

5 6 7 8

En la ltima entrega de este curso continuamos explorando esas mgicas crea-ciones matemticas denominadas cuadrados mgicos. Si la pasada semana te en-seamos a crear tus propios cuadrados de orden impar, hoy te mostraremos comoconstruir cuadrados de orden par. Tambin te contamos qu son los cuadrados la-tinos, cul es su origen y qu utilidad tienen ms all de ser parientes prximosde los sudokus. Nos despedimos de este modo por este curso que esperamos hayaservido para acercarte las Matemticas a tu universo.

por Lolita Brain

LA MAGIA DE LOSCUADRADOS Y IICMO HACER UN CUADRADO MGICO PAR EL SUIZO UNIVERSAL

UN CUADRADO LATINO 4X4

Existe un procedimiento para crear un cuadrado mgico deorden par tal que sus filas o columnas sean mltiplos de 4. Sedenomina el mtodo de las X y consigue crear cuadradosde orden 4, 8, 12, 16... Es muy sencillo y te permitir asombrara tus amigos. Vemoslo con un cuadrado 8x8.

ADEMS DE PASATIEMPOS SON TILES

Ms all de ser un mero divertimento, los cuadrados latinostienen utilidad en la vida prctica. Imagina un campo agr-cola en el que ha de probarse la eficiencia de cuatro abo-nos distintos sobre cuatro tipos de trigo. Para ello se divide laparcela en 16 cuadrantes y en cada uno se planta un tipo de tri-

go, de modo que no coincida enfilas y columnas el mismo tipo desemilla. Se evita as la influenciade la propia tierra en la experien-cia. Hecho esto, se mezclan delmismo modo los cuatro tipos deabono de forma que a cada cua-drante con cada tipo de semilla sele administre un tipo distinto deabono. La configuracin ptimapara el experimento es la de uncuadrado latino de orden 4. Enrealidad son dos cuadrados, el delas semillas y el de los abonosentremezclados.

Los cuadrados latinos sonuna invencin del irrepeti-ble suizo Euler. Son crea-ciones ligeramente ms sen-cillas que los cuadradosmgicos, ya que en ellos, sibien tambin se parte de unaconfiguracin cudradada divi-dida en casillas, slo se exigeque en cada fila y en cadacolumna exista un elemento tomado de entre dos categoras sin que se repita ninguna. El primerproblema propuesto al respecto proviene de Euler, quien propuso en 1782 el problema de losoficiales.

E l problema de los 36 oficiales es muy sencillode plantear pero no de solucionar. Suponga-mos un desfile militar en el que participan 36oficiales de seis regimientos distintos y conseis graduaciones diferentes. El problema quepropuso Euler lanza la siguiente pregunta:ser posible disponerlos en formacin cua-drada de modo que en cada fila y en cadacolumna haya un oficial de cada regimiento yde cada graduacin?

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BILLETE DE 10 FRANCOS SUIZOS EN HONOR ALEONHARD EULER (1707- 1783)

Es muy sencillo entender los cuadrados lati-nos. Para ello hazte con el 1, 2, 3 y el 4 decada uno de los palos de una baraja de cartas.El juego consiste en disponer los 16 naipes enun cuadrado de modo que no coincidan en cadafila ni en cada columna dos cartas del mismopalo o dos del mismo nmero. Te atreves?Euler demostr que era posible hacerlo.

Desde la esquina superior izquierda, escribe por orden cadauno de los nmeros del 1 al 64. Divide el cuadrado de 64 casi-llas en cuatro cuadrados menores. Traza las diagonales decada cuadrado como en el dibujo.

Los nmeros que no han sido tocadospor las diagonalesdeben permanecer en la misma casilla. En cambio, las casillaspor las que pasan las diagonales se han de intercambiar consus simtricas respecto del centro del cuadrado. As el 1 y el 64intercambian su posicin, lo mismo que hacen el 14 y el 51.Observa la figura en la que los elementos intercambiados sehan marcado con el mismo color. El resultado es un cuadradomgico en el que filas, columnas y diagonales suman 260. PERO EULER

SE EQUIVOC

Euler difcilmente seequivocaba. Su forma-lismo y su rigor creescuela en el mundomatemtico... pero nadiees infalible. Leonharddemostr que siemprese puede construir uncuadrado latino que ten-ga orden impar o que seamltiplo de cuatro, lo quel denominaba par declase par. Pero l fueincapaz de crear un cuadrado de orden 6, lo que le llev a afirmar que No dudo concluir que esimposible hallar un cuadrado completo de 36 casillas ni en hacer extensiva tal imposibilidad a loscasos n = 10, n = 14, etctera.. Es decir, supuso que no existan cuadrados de orden par que nofueran mltiplos de 4. Como en 1901 Gaston Tarry demostr que no se poda crear un cuadradolatino de orden 6, la conjetura de Euler pareca fortalecerse. Pero en 1959 Bose, Shrikande yParker, de la Universidad de California, hallaron un cuadrado grecolatino de orden 10, eso s,con la ayuda de una potente computadora SWAC. Adems probaron que salvo para el orden 6,la conjetura de Euler era falsa. Euler, por una vez, se haba equivocado.

EL PROBLEMA DE LOS OFICIALES

EL CUADRADO DE ORDEN 10 DE PARKER

AULADE EL MUNDO

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La idea de infinito ha sido siempre uno de los temas de mayor dis-cusin en el seno de las Matemticas... y no slo en ellas. La Filo-sofa ya desde los remotos tiempos de la Grecia clsica discutisobre el concepto de infinito, su significado y su existencia. Ya ZE-NN DE ELA, 400 aos antes de Cristo, sembr el pensamientocon curiosas paradojas que tienen como eje central el infinito.Hasta finales del siglo XIX, no se abord con rigor matemtico el an-lisis de lo que significaba este concepto. Se encontraron sorpre-sas inimaginables que dividieron el mundo de las Matemticas.Hablamos de la obra de George Cantor.

. . . U N 0 , D O S ,T R E S . . . I N F I N I T O

por Lolita Brain

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Durante siglos los griegos exploraron el apeiron -lo ilimita-do- y su presencia en el universo. Demcrito, Epicuro ysobre todo Lucrecio, fueron defensores de la existenciade lo infinito. Lucrecio lleg a hablar de un nmero ili-mitado de mundos infinitos. Aristteles defini un infi-nito en potencia, que se piensa como algo finito en con-tinua expansin, pero que no se puede alcanzar. En cam-bio, entiende que no puede existir realmente un infinitoen acto,que pueda ser pensado, ya que al ser inconcluso-no acaba nunca- no puede definirse.

Richard Dedeking, un matemtico solitarioy tmido, pero muy riguroso, fue el padre delos nmeros tal y como los conocemos hoy,creando una teora que construye los nmerosnaturales, y con ellos todos los dems. Amigode Cantor, con el que se carte durante 27 aos,es el primer autor -junto a ste- en pasar del in-finito en potencia aristotlico al infinito en acto.Ambos encontraron el modo de definir el in-finito.

George Cantor (1845 San Petersburgo,Rusia -1918 Halle, Alemania) es el pa-dre de la Teora de Conjuntos, deno-minada intuitiva. Tras desarrollar losconceptos que hoy usamos sobre los con-juntos, se interes por el nmero de ele-mentos de stos, lo que se llama la CAR-DINALIDAD del conjunto. Y comenz a es-tudiar los conjuntos con infinitoselementos hasta desarrollar la Teora de

los Nmeros Transfinitos, una delas teoras ms desafiantes parael pensamiento humano, com-parable al desafo intelectual delas Geometras no Eucldeas -enrelacin al espacio- o de la Re-latividad -en relacin con el

tiempo y el espacio-. Su teora desafiaba el con-cepto de infinito.

EE LL TT OO DD OO

YY

LL AA SS PP AA RR TT EE SS

>>>>>>En un conjunto infinito, haypartes tan numerosas comoel mismo.>>>>>>Los nmeros decontar, los enteros (po-sitivos y negativos), lasfracciones, los nme-ros pares, los nmeroscuadrados, los primos,etc. tienen todos ellosla misma cantidad deelementos: el nmerotransfinito ALEF-CERO.>>>>>>Para saber si un conjunto

tiene ALEF-CERO elementos hayque emparejar cada uno de

sus elementos con unnmero natural demodo que no quedeninguno sin pareja.>>>>>>Cuando unconjunto tiene ALEF-CERO elementos, se

dice que es NUMERA-BLE.

>>>>>>Hay conjuntos infi-nitos con ms elementos

que ALEF-CERO.

Cantor comenz en-tonces a estudiaralgunas partes -subconjuntos- delconjunto de los natu-rales. Por ejemplo,

los nmeros PARES (2, 4,6, 8 ...) estn contenidos en

los NMEROS DE CONTAR(1,2,3,4...). Todos estaramos

tentados a decir que los pares sonexactamente la mitad. Sin embar-

go no es as. Es facilsimo ver en el dia-grama cmo cada nmero de contar se

puede emparejar con un nmero par, su do-ble. Y cada par tiene su pareja, su mitad.

Como en los granos de arena, ambos conjun-tos -por extrao que nos parezca- tienen los mis-mos elementos. Cuntos? Alef-cero elementos.

Cantor y Dedeking ra-zonaron del modo si-guiente: si para con-tar conjuntos finitos uti-lizo el emparejamiento,por qu no utilizar estemecanismo con los con-juntos infinitos? De estemodo, razona Cantor, si

me siento entre dosmontones de arena,y tomo con cadamano un grano de cada montn, por muchos

granos que haya, si acabo antes el montn dela izquierda que el de la derecha, esto vendr a

decirnos que ese mon-tn tena menos granosque el otro. Pero si aca-bo los dos montones ala vez, por fuerza nopodremos afirmar sinoque los dos montonestenan igual nmero degranos de arena. Can-tor y Dedeking llamar-an a este empareja-miento una CCOORRRREESSPPOONN--DDEENNCCIIAA BBIIUUNNVVOOCCAA entre

los montones de arena. Hoy lo llamamos igual.

Y lo primero quehizo Cantor fue fi-jarse en el CONJUN-TO INFINITO del que se tiene la primera intuicin: el conjunto de

los nmeros naturales o enteros positivos, es decir, los nmerosde contar 1, 2, 3, 4, ...Todos entendemos que este conjunto es infinito. Cada nmero tie-ne su sucesor. Es su esencia. Cantor afirm que no existe nin-gn conjunto infinito con menos elementos que ste. Dicho de otromodo, los nmeros de contar son el conjunto infinito ms pe-queo. Al nmero de sus elementos le llam AALLEEFF CCEERROO (Alef esla primera letra del alfabeto hebreo).

00NN OO LL OO OO LL VV II DD EE SS

RICHARD DEDEKING1831 Alemania - 1916 Alemania

AALLEEFF CCEERROO

La mxima que mejor recogela distincin aristotlica sobrelo finito y lo infinito es aque-lla que afirma que EL TODO ESMS GRANDE QUE LAS PARTES.Semejante intuicin perma-neci aceptada por todos loshombres. Es un asunto de sen-tido comn. En efecto, un gra-no de arena es menor que elmontn en el que se encuen-tra, dos manzanas son menosque el cesto de manzanas...una mano es menor que todoel cuerpo. Tras Cantor y De-deking las cosas ya no iban aser iguales.Sorprendentemente, observa-ron que en los conjuntos in-finitos existen partes conte-nidas en ellos con tantos ele-mentos como todo elconjunto. Esta propiedad estan difcil de asumir que adop-taron esta propiedad como ladefinicin de lo que significaque un conjunto tenga cardi-nal infinito. Raro? Mucho. En los diagra-mas que acompaan este tex-to puedes comprobar que, si eltodo es el conjunto de los n-meros de contar (1,2,3,4...) yque es infinito, el subconjun-to de los PARES o los IMPA-RES o los PRIMOS es tan nu-meroso como todo el conjun-to.Por supuesto, si un conjuntoes finito es vlida la mximaaristotlica.Sin embargo, sta era slo laprimera de las sorpresas quedeparaban estas ideas a Can-tor. En la prxima lmina tedesvelaremos la continuacinde su viaje por el infinito yms all...

AULADE EL MUNDO

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Habamos dejado en nuestra ltima lmina a Cantor y Dedeking explorandoel infinito. Nos haban contado la diferencia esencial entre un conjuntoinfinito y otro finito. En los conjuntos infinitos, el todo no siempre es ma-yor que sus partes. Son conjuntos tales que, por lo menos, contienen unsubconjunto con tantos elementos como l mismo. Adems nos ensea-ron un procedimiento para saber si dos conjuntos infinitos son o no igua-les. Resultados asombrosos que rompen nuestra intuicin: por ejemplo,todos sabemos que la mitad de los nmeros son pares, y la otra mitadimpares... Sin embargo, siendo infinitos son tan numerosos como todos losnmeros juntos, pares e impares. Preprate porque esto no ha hecho sinoempezar. Abrchate el cinturn y sumrgete en el infinito...

H A S T A E L I N F I N I T OY M A S A L L A

por Lolita Brain

Probablemente el ms grande de los hallazgos de Cantor fue que los infi-nitos no son nicos. Los nmeros reales eran ms numerosos

que los naturales, y a Cantor le asalt la pregunta de sihabr algn conjunto que teniendo ms elementos quelos naturales, sea menos numeroso que los puntos delplano? O dicho de otro modo, ser el infinito de lospuntos de una recta el siguiente infinito al de los nme-ros de contar, o habr entre ellos otro nmero infinito?,

ser el CONTINUO el siguiente nmero a ALEF CERO?Cantor pens que as era, que tras el menor de los

infinitos que conocemos -ALEF CERO- vena el conti-nuo, por lo que decidi llamarlo tambien AALLEEFF UUNNOO.

Pero esto era slo una hiptesis. Ni Cantor, ninadie tras l, ha conseguido probar que lascosas sean as. Ni tampoco se ha probado locontrario. La conjetura de Cantor se denomi-na HHIIPPTTEESSIISS DDEELL CCOONNTTIINNUUOO.

LL AA HH II PP TT EE SS II SS DD EE LL CC OO NN TT II NN UU OO

lolitabrain@hotmail.com

00 11 22

A lo largo de estas pginas ya nos hemos acostumbrado a descubrir aspectos de la Matemtica quean nos sorprenden hoy. La intuicin nos resulta a menudo suficiente para comprender el mundo enel que vivimos y solemos resistirnos a cualquier interferencia con ella. La Matemtica nos enseaque lo que debera ser y lo que es no siempre coinciden y que el precio a pagar por no aceptarlos lugares donde nos lleva la lgica, el rigor y el formalismo de la Matemtica es muy caro. No esfcil aceptar unas partes de esta disciplina que nos ayudan a entender el Universo y no aceptar otras.Hoy te hablaremos del control del infinito que los matemticos han aprendido a tener en aras de me-jorar nuestra vida.

SUMANDO EL INFINITO

ZENN DE ELEA, UN VISIONARIO AQUILES Y LA TORTUGA

LA PARADOJA DE LA DICOTOMA

EN QU SE EQUIVOCABA ZENN?

Z enn de Elea (s. V a.C.) es unacontrovertida figura de nuestrafilosofa occidental. Discpulo deParmnides, sus famosas parado-jas, hoy en da falsas, han llegadointactas hasta nosotros como unmanifiesto de que el movimiento vaen contra de la dox (la opinincomn). A travs de sus argumen-tos lgicos, y usando las ideas pita-gricas de un espacio compuestode cmulos de puntos discretos,trat de demostrar la imposibilidaddel movimiento.

Zenn propuso ensencillos argu-mentos profundasideas que conectancon la continuidad denuestro espacio ocon la imposibilidadde resultados finitosa travs de procesosinfinitos. Expuso susteoras en cuatrofamosos argumen-tos. En la Dicotomay en Aquiles sostieneque la subdivisincontinua del espacioimposibilita el movi-miento. En la Flechay en Estadio, algoms difciles de tra-tar, prueba que el movimiento es imposible si sub-dividimos el tiempo y el espacio en indivisibles.

A quiles el de los pies ligeros compite en una carrera con unatortuga. Como l es mucho ms rpido, le da una cierta ven-taja. Zenn argumenta que Aquiles no alcanzar nunca a latortuga. Cuando el griego llega a la posicin que ocupa inicial-mente el quelonio, ste se ha desplazado un cierto espacio.Cuando Aquiles llega a esta segunda posicin, la tortugahabr avanzado a un tercer punto, que cuando es alcanzadopor el veloz guerrero ya no estar ocupado por la tortuga.Siguiendo este razonamiento ad infinitum, Zenn pretendedemostrar que Aquiles nunca alcanzar a la tortuga y por tantono ganar la carrera.

L a paradoja de la Dicotoma es similar a la de Aqui-les pero utiliza la subdivisin de modo regresivo,en lugar de progresivo. Zenn nos dice que si uncorredor desea llegar del punto A al B, necesaria-mente tendr que alcanzar previamente el punto C

que se halle exactamente en la mitad del recorrido.Pero para llegar a ese punto C deber recorrer antesel espacio que separe A de D, punto que se encuen-tra en la mitad de AC. Y para alcanzarlo, deber lle-gar previamente a E, situado en la mitad de AD.

Este razonamiento lleva a pensar a Zenn que elcorredor deber recorrer infinitas posiciones paraalcanzar la meta, lo que no es posible que realice yaque no se pueden recorrer infinitos espacios en untiempo finito.

Infografa y textos: Lolita Brain - www.lolitabrain.com

E l problema con sus paradojas, es que Zenn se encontraba incmodo con lasuma de infinitos trminos numricos. Su principal argumento era que sisumamos infinitas cantidades, independientemente de cmo fueran stas,debemos obtener una cantidad infinita. Si esta consideracin fuera cierta, elproblema propuesto de Aquiles y la tortuga le dara la razn, y Aquiles perderala carrera. Pero la realidad nos informa de que Aquiles, obviamente, adelanta ala tortuga en su carrera. Cmo negar por tanto lo que parece un slido argu-mento propuesto por Zenn? Cuando el clculo de infinitesimales entra en jue-go, cuando el lmite de una suma se observa como consistente en el mundo dela Matemtica, la razn y la intuicin se abrazan para quitar a Zenn la razn.Pero no lo olvidemos, fueron necesarios siglos de pensamiento para conse-guirlo. La Matemtica mostr -y demostr- que sumar infinitas cantidades pue-de ser un proceso de resultado finito.

La fascinacin por elmundo de las para-dojas de Zenn y laincertidumbre lgicaque encierran, cautiva Charles L. Dodgson,Lewis Carroll, a escribirvarios atrevidos cuen-tos inspirados en laparadoja de Aquiles,en los que una liebre yuna tortuga discutende temas de lgica.

A

A B

D C BE

AQUILES DA DE VENTAJA A LA TORTUGA LA DISTANCIA AB

PERO CUANDO AQUILES LLEGA A B, LA TORTUGA YAEST EN C...

A B C

LEWIS CARROLL(1832-1898)

LAS PARADOJAS

por Lolita Brain

Generalmente asociamos las Matemticas con la exactitud, la precisin y la razn.Pero pocos saben que, al igual que todas las ciencias, es una aproximacin a larealidad. Es ms, uno de los fundamentos de la Matemtica, la cuantificacin de larealidad y por tanto la teora de los nmeros, se desarrolla sobre entidades, algu-nas de las cuales son imposibles de conocer completamente. Se trata de un tipode nmeros denominados nada menos que irracionales sin los que sera impen-sable entender lo ms simple de nuestro Universo. La magia de la Matemtica per-mite manipular objetos que sabe que nunca podr conocer por entero.

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por Lolita Brain

LA IRRACIONALIDADMATEMTICALOS NMEROS RACIONALES QU SIGNIFICA SER IRRACIONAL?

LA IRONA DEL DESTINO

L os nmeros racionales obtienen su denomi-nacin de la idea de los griegos clsicos,influidos por la filosofa de los pitagricos, deque el universo era reducible a nmeros y a lasrelaciones entre ellos. Pensaban que la realidadse poda explicar a travs de las relacionesexactas entre segmentos. Los nmeros racio-nales se expresan por fracciones, con nmerosdecimales con finitas cifras o con infinitos dgi-tos decimales aunque peridicos.

U n nmero es irracional si es decimal y tiene infinitas cifras decimales sin que exista un patrn o formaperidica en ellas. De este modo no nos es posible conocer dichos nmeros, puesto que sera necesarioinvertir un tiempo infinito en conocer sus interminables cifras. A pesar de ello, los matemticos son capa-ces de trabajar con estos nmeros, y los ingenieros y los fsicos pueden utilizarlos tomando slo una parte desus cifras.

L os pitagricos se dieroncuenta del hecho de que siconstruimos un cuadradocuyo lado es la unidad, sudiagonal mide raz cuadradade 2 y este nmero era irra-cional. Expresaron estodiciendo que el lado del cua-drado y su diagonal son seg-mentos inconmensurables.Qu significa esto? Que siutilizamos como patrn demedida el segmento del ladode ese cuadrado e intenta-mos medir con l la diagonal,nunca acabaremos el proce-so, es decir, que siemprequedar una pequea parte

de la diagonal sin medir. Habitualmente sospechamos que con cualquiersegmento podemos acabar por medir cualquier otra parte dada, perocomo vemos, esto no es siempre cierto.

Fraccin Decimal exacto

Fraccin Decimal peridico

La circunferencia y su dimetro son segmentos inconmensurables. El dimetro cabe PI veces en su longitud.

El famossimo nmero PI es un nmero irracional. Manifiesta la relacin que existe entre la longitud deuna circunferencia y su dimetro.En la direccin de Internet http://webs.adam.es/rllorens/pi.htm puedes encontrar las 16.000 primerascifras decimales de este omnipresente nmero.

PITGORAS(h. 582-h. 500 a.C.) L a estrella de cinco puntas obtenida apartir de un pentgono, el pentngu-lo, fue el smbolo de los pitagricos.

Los adeptos a dicha escuela filosfica lollevaban colgado del cuello. Irnicamen-te, estaf i g u r acontiene ml-tiples veces unfamoso nmero irra-cional: FI=1,618..., querelaciona el lado del pent-gono con el de la estrella.

3 0,651 0,333...3

SON EXCEPCIONALES LOS IRRACIONALES?

P or extraos que puedan parecerestos nmeros, resulta que son msabundantes que ningn otro tipo denmeros. No slo son infinitos sino quesu nivel de infinitud es superior a la infi-nitud de los nmeros de contar. Estoquiere decir que no podemos contar-los. Tampoco tienen un sucesor.

I gual que sucede entre el lado del cuadrado y sudiagonal, parece que la Naturaleza se empeaen que las relaciones entre los objetos seanirracionales. La circunferencia es una de lasfiguras geomtricas ms elementales. Sabemosque su longitud es PI veces su dimetro y calcu-lamos longitudes de circunferencias todos losdas. El significado de esto es que si cortamosuna circunferencia y la extendemos sobre dichosegmento podemos llevar PI veces el dimetro.Pero como PI es irracional, sus infinitas cifrasdecimales nos dicen que nunca acabaremos elproceso de llevar sobre la circunferencia trozoscada vez ms pequeos del dimetro. Siemprenos sobrar una pequea porcin sin medir.

EL LADO Y LA DIAGONAL DEL CUADRADO

Este nmero es decimal. Sabemos reconocer el patrn con el que se forma su parte decimal peroresulta obvio que sus cifras decimales no obedecen a un periodo que se repita constantemente. Es unnmero irracional.

PI Y LA CIRCUNFERENCIA