Expositores:• Yerson Lugo López• Alfredo Martínez Velarde• Esar Pedrosa San Miguel• Yelsin García Puente

Teoría de colas aplicado a la minería subterránea-

Población Finita

INTRODUCCION

El origen de la Teoría de Colas, según el enfoque utilizado actualmente, lo encontramos en los trabajos de Agner Kraup Erlang (Dinamarca 1878 – 1929) en 1909 para analizar el trafico telefónico o la congestión de llamadas, con el objetivo de cumplir con la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada Teoría de Colas o Líneas de espera. Esta teoría paso a ser una herramienta muy importante en la simulación y ayudo a solucionar muchos problemas prácticos que tenían como característica llegadas y salidas.

• La teoría de colas cuantifica el fenómeno de espera formando colas, mediante sistemas representativos de eficiencia. Estas medidas sirven para la gerencia para poder diseñar una instalación de servicio.

¿Para qué estudiamos teoría de colas?

Elementos de un Sistema

Uso de la teoría de colas en modelos económicos

En la construcción de un sistema, la gerencia determina diferentes estudios de colas con determinadas cantidades de servidores, y tiempos de espera, Estos estudios ayudan a determinar los siguientes tipos de costos, que son indispensables para tomar las decisiones.

El costo de servicio aumenta al incrementar el nivel de servicio, al mismo tiempo, el costo de esperar disminuye al incrementar el servicio.

Teoría de colas en la minería Kappas y Yegulalp ( 1991 ) utilizaron la teoría de colas para analizar el

rendimiento de estado estacionario de un típica operación minera a cielo abierto de camión y pala, sistema en que los camiones , o clientes , transportan el material excavado a su ubicación final en un camino que consiste en una red de carreteras de acarreo . Los camiones también se someten a la reparación y mantenimiento; aunque estas instalaciones están capacitadas, los autores suponen que los caminos de transporte tienen capacidad infinita. Porque hay camiones que entran o salen del sistema, es decir lo consideran cerrado.

Los autores obtienen resultados basados en extensiones de principios de Markov para estimar parámetros de rendimiento, tales como el número esperado de camiones en un área. Los autores verifican la exactitud de sus derivaciones con simulación, pruebas de referencia contra un enfoque puramente Markoviano , y presentando un pequeño ejemplo numérico.

Najor y Hagan (2006) utilizan la teoría de colas de colas del modelo estocástico(variables aleatorias) de sistemas de la carretilla y pala. Utilizaron una hoja de cálculo con los registros de productividad de camiones da cargas de camiones, la velocidad de alimentación de la trituradora, y el tiempo de ciclo. En un modelo de análisis tomando en cuenta el tiempo de inactividad de los equipos de camiones y de la planta, lograron predecir un menor consumo de material.Los resultados numéricos en la mina de Pilbara en Australia muestran que haciendo caso omiso de la teoría de colas lleva a sobreestimar la producción en alrededor de 8 por ciento.

Agner Kraup Erlang • 1909

Kappas y Yegulalp• 1991

Huang y Kumar • 1994

Najor y Hagan • 2006

Escala de tiempo

Notaciones de la línea de espera

λ = Tasa media de llegadas (número de llegadas por unidad de tiempo)

1/ λ = Tiempo medio entre llegadas.µ= Tasa media de servicio (número de unidades servidas por

unidad de tiempo cuando el servidor está ocupado)1/ µ= Tiempo medio requerido para prestar el servicio.ρ = Factor de utilización del sistema (proporción de tiempo que

el sistema esta ocupado).Pn = Probabilidad de que n unidades se encuentren en el

sistema.

Lq = Número medio de unidades en la cola (longitud de la cola). Ls = Número medio de unidades en el sistema.Wq = tiempo medio de espera en la cola.Ws = Tiempo medio de espera en el sistema. λ = tasa promedio de llegadas de clientes dentro de las

instalaciones de servicio.Ws(t) = probabilidad de que un cliente permanezca mas de t

unidades de tiempo en el sistema.Wq(t) = probabilidad de que un cliente permanezca más de t

unidades de tiempo en la cola.

Formulas para las población finitas

MODELO BÁSICO CON UNA FUENTE DE ENTRADA LIMITADAPara un solo servidor ( s=1 ) Para servidores múltiples (s>1 )ρ = λ/µ ρ = λ/(S.µ)

Para 0≤n≤M Para n>M

Para 0≤n≤s Para s≤n≤M Para n>M

Lq= M- Lq=

Ls= Lq + 1- Ls=(+Lq+S(1-

Wq= Lq/(µ(1-)) Wq=Lq/(λ(M-Ls))

Ws=Ls/(µ(1-)) Ws=Ls/(λ(M-Ls))

Problemas de aplicaciónEn la minería subterránea – Área de

sostenimiento

Problema numero 1

Una unidad minera tiene en funcionamiento 5 taladros los cuales son usados para colocar los pernos de sostenimiento pero estos como cualquier maquina requieren suministros, mantenimiento o reparaciones. El rango de llegada es de 2 taladros por hora. Los tiempos de servicio varían, desde un mantenimiento (como cambio de brocas o aceite) el tiempo promedio de servicio es de 28.5 minutos. Hallar:

a) El numero promedio de unidades en cola.b) El numero promedio de unidades en operación.c) Numero de maquinas en el sistemad) Tiempo estimado para su mantenimientoe) Tiempo a emplearse en el sistema

Solución a)

Usamos las formulas una línea un canal de servicio( población finita)

Se tiene N=5 , 𝜆 = 2 , 𝜌= 0.9508 →𝑢 = 2.103

Po: Probabilidad de que hayan cero unidades en el sistema en el tiempo t

𝑃0= 1σ 5!ሺ5−𝑛ሻ! ( 22.103)𝑛50 = 1266.76

𝑃0 =3.75 x10−3

Solucion b)

Calcularemos la cantidad de unidades en cola:

𝐿𝑞 = 𝑁− 𝜆+ 𝑢𝜆 (1− 𝑃0)൨ 𝐿𝑞 = 5− 2+ 2.1032 (1− 0.00375)൨

𝐿𝑞 = 2.956 taladros. 𝐿𝑞 es equivalente a 3 taladros en la cola

Solucion c)

Numero de maquinas en el sistema:

L=𝐿𝑞 + (1− 𝑃0)

= 2.956 + (1 -0.00375)

=3.95

Solucion d)

Tiempo estimado a emplearse para su mantenimiento

𝑊𝑞 = 𝐿𝑞(𝑁−𝐿)𝜆

𝑊𝑞 = 2.956(5−3.95)2

𝑊𝑞 = 1.4 ℎ𝑟

Solucion e)

Tiempo a emplearse en el sistema:

W= 𝑊𝑞 + 1𝑢

W= 1.4 + 12.103

W=1.88 hr

La teoría de las colas en si no resuelve directamente el problema, pero contribuye con la información vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes prediciendo algunas características sobre la línea de espera: probabilidad de que se formen, el tiempo de espera promedio.

La teoría de colas no optimiza, sino busaca la mejor cantidad de lugares de atención con respecto a la cantidad de clientes.

CONCLUSIONES

Recomendaciones

Se recomienda tomar datos exactos, ya que de la precisión de los datos obtenidos depende que tan eficientes sean nuestros resultados.

También se recomienda excluir los datos que se salen de los rangos ya conocidos, ya que si consideramos estos datos los resultados que obtengamos serán inexactos

Bibliografía

INVESTIGACION DE OPERACIONES-TAHA

INVESTIGACION DE OPERACIONES ± LIEBERMAN. 9na Edicion

Introduction to Management Science 9th Edition. Por Bernard W. Taylor III - Virginia Polytechnic Institute and State University.