PRÁCTICA No. 2

REDES DE COMPENSACION EN ADELANTO MEDIANTE LGR

1. OBJETIVO

Conocer la compensación mediante redes de adelanto de sistemas Realizar el ajuste de ganancia del lugar geométrico de las raíces (LGR), para

compensar un sistema.

2. FUNDAMENTO TEORICO

Conocer los conceptos de respuesta en el tiempo y lugar geométrico de raíces Conocer los métodos de diseño de controladores en adelanto

3. TRABAJO EXPERIMENTAL

3.1. Para cada uno de los casos siguientes determinar matemáticamente la función de transferencia del compensador y verificar si cumple los requerimientos en el Matlab.

Dado un sistema de doble polo en el origen; diseñar un compensador tal que los polos dominantes en lazo cerrado se ubiquen s = -1± j 1

Sea la función de transferencia del sistema:

G (s )= 1

s2

Diseño de Compensador Método de la Bisectriz:

Polo deseado: sd=−1± j1

∠ 1

s2|sd=−1± j1

=−2α=180(2 l+1)

2α=2×135=270

∴ϕ=270−180=90

ϕ2=45

Luego hallamos la ubicación del polo y el cero:

1

tg (22.5 )= x1→x=0.4142

tg (67.5 )=b+x1→b+x=2.4142

Cero: s=−1+0.4142=−0.5858

Polo: s=−1−2.4142=−3.4142

F.T. del compensador:

Gc (s )=K cs+ 1T

s+1αT

=K cs+0.5858s+3.4142

Donde: T=1.7071 y α=0.1716

F.T. del Sistema Compensado

Gc (s )G (s )=K c

(s+0.5858)s2(s+3.4142)

Hallamos K con la condición de magnitud:

|K (s+0.5858)s2(s+3.4142)|sd=−1± j1

=1

K=K c=4.8284

∴Gc (s )=4.8284(s+0.5858)(s+3.4142)

F.T. del Sistema Compensado Final:

Gc (s )G (s )=4.8284(s+0.5858)s2(s+3.4142)

= 4.8182 s+2.8283s3+3.4142 s2

F.T. Sistema Compensado Lazo cerrado:

C(s)R(s)

=G (s )G ( s )

1+G ( s )G (s )= 4.8182 s+2.8283

s3+3.4142 s2+4.8182 s+2.8283

Grafica del LGR del sistema sin compensar y del sistema compensado:

2

Grafica de respuesta en el tiempo del sistema sin compensar y del sistema compensado:

3

Dado un sistema cuya función de transferencia este dada y con realimentación unitaria; diseñar un compensador de adelanto tal que los polos dominantes en lazo cerrado se ubiquen s = -2 ± j 3.

G (s )= 5s (0.5 s+1)

= 10

s2+2 s= 10s (s+2)

Usamos el método de la Bisectriz para diseñar el compensador:

Polo deseado: sd=−2± j3

∠ 5s (0.5 s+1)|sd=−2± j3

¿−α−β=±180(2 l+1)

¿−α−β=−123.7−90=−213.7

∴ϕ=213.7−180=33.7

ϕ2=16.85

Luego hallamos la ubicación del polo y el cero:

tg (11.3 )=a3→a=0.5995

tg (11.3+16.85×2 )=a+b3→a+b=3

Cero: s=−2−0.5995=−2.5995

Polo: s=−2−3=−5

F.T. del compensador:

Gc (s )=K cs+ 1T

s+1αT

=K cs+2.5995s+5

Donde: T=0.3847 y α=0.5199

F.T. del Sistema Compensado

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Gc (s )G (s )=K c

(s+2.5995)(s+5)

10(s2+2 s)

K=10K c

Hallamos K con la condición de magnitud:

|K (s+2.5995)(s2+2 s )(s+5)|sd=−2± j3

=1

K=15

K c=K10

=1.5

∴Gc (s )=1.5(s+2.5995)

(s+5)

F.T. del Sistema Compensado Final:

Gc (s )G (s )=1.5(s+2.5995)

(s+5)10

(s2+2 s)=15 s+38.9925s3+7 s2+10 s

F.T. Sistema Compensado Lazo cerrado:

C(s)R(s)

=G (s )G ( s )

1+G ( s )G (s )= 15 s+38.9925

s3+7 s2+25 s+38.9925

Grafica del LGR del sistema sin compensar y del sistema compensado:

5

Grafica de respuesta en el tiempo del sistema sin compensar y del sistema compensado:

Considere el sistema con función de transferencia de lazo abierto G(s). Grafique el lugar geométrico de raíces para el sistema. Determine el valor de K tal que el factor de amortiguamiento relativo de los polos dominantes en lazo cerrado sea 0.5. Después, determine todos los polos en lazo cerrado.

G (s )= K

s (s2+4 s+5)Solucion:Determinamos el LGR en Matlab de la función de transferencia dada y gráficamente ubicamos el punto donde ε=0.5

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En la grafica se ve que el valor de K para un factor de amortiguamiento relativo igual a 0.5 es 4.3.

∴G ( s)= 4.3

s(s2+4 s+5)

Lazo Cerrado:

C ( s)R (S)

= 4.3

s ( s2+4 s+5 )+4.3= 4.3

s3+4 s2+5 s+4.3

C ( s)R (S)

= 4.3(s+2.7505)(s+0.6247+ j 1.0831)(s+0.6247− j1.0831)

Los polos de lazo cerrado son:

s=−2.7505 s=−0.6247− j1.0831 s=−0.6247+ j1.0831

Aplicando una entrada escalon obtenemos la siguiente grafica:

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3.2. Hacer un programa para resolver cada uno de los casos anteriores en Matlab, partiendo del problema

disp('PROGRAMA DE DISEÑO DE COMPENSADOR EN ADELANTO - METODO BISECTRIZ')clcn=input('ingrese numerador de la F.T. sistema=');d=input('ingrese denominador de la F.T. sistema=');s=input('Polo Deseado=');G=tf(n,d);a=cart2pol(real(s),imag(s));a=a*180/pi;d1=roots(d);def=real(s)-d1(1:end);[alfa]=cart2pol([def],imag(s));alfa=sum(alfa*180/pi); if alfa>180 o=alfa-180;elseif alfa<180 o=180-alfa;end disp('DEFICIENCIA ANGULAR')Dif_Ang=oang=a/2-((180-(90+(180-a)))+o/2);y=tand(ang)*imag(s);z=real(s)-y;

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x=tand(ang+o)*imag(s);p=real(s)-x;T=-1/z;alf=-1/(p*T); [c,r,k]=tf2zp(n,d);[A,B]=zp2tf(c,r,1);num=conv([1 -z],[A]);den=conv([1 -p],[B]);K=inv(abs(polyval(num,s)/polyval(den,s)));Kc=K/k;[nc,dc]=zp2tf(z,p,Kc);disp('F.T. del Compensador')ncc=nc/nc(1);disp('POLO Y CERO DEL SISTEMA ENCONTRADO')Zer=nccPol=dcGc=tf(ncc,dc)disp('F.T. del Sistema Compensado')Gf=series(G,Gc)disp('F.T. del Sistema-Lazo Cerrado')S=feedback(Gf,1)figure(1)rlocus(G),hold on,rlocus(Gf),legend('Ssc','Sc'),gridfigure(2)step(feedback(G,1)),hold on,step(feedback(Gf,1)),legend('Ssc','Sc')

3.3. Construir un instrumento virtual donde se pueda ingresar el sistema y compensador y se halle la función de transferencia general y las graficas del LGR y respuesta en el tiempo ante una entrada escalón unitaria.

DIAGRAMA DE BLOQUES DEL VI:

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PANEL FRONTAL DEL VI

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4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

De acuerdo a las gráficas realizadas podemos decir que las compensaciones de

adelanto permiten estabilizar mejor una función de transferencia.

Al compensar un función de transferencia, da lugar a crear un nuevo lugar de raíces

en el cual es más estable.

Permite aumentar polos y ceros con seguridad de encontrar una estabilidad.

De acuerdo a la nueva función de transferencia, da lugar a que se adelante las

señales de salida en tiempo determinado.

Recomendaciones

Cuando hallamos la deficiencia angular, tenemos que tener en cuenta si es doble

cero o polo en el mismo punto

Para hallar la deficiencia angular el método más recomendable es el de la bisectriz,

ya que nos da los valores más exactos para compensar un sistema de transferencia.

Si tomamos otro método, a la hora de diseño del compensador nos puede salir

resistencias o condensadores no comerciales.

Cuando el sistema es de 3er orden a mas, podemos despreciar los polos alejados del

sistema y trabajar solo con los polos dominantes

5. BIBLIOGRAFIA

Libro: Ingeniería de control moderna Katsuhiko Ogata PDF: Ingeniería de control http://control007.jimdo.com/, control1, cap2. Help matlab http://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_de_ra%C3%ADces http://html.rincondelvago.com/respuesta-en-el-tiempo-de-un-sistema-

decontrol.html http://www.upv.es/satelite/trabajos/pract_4/instalac/cliente/t_resp.htm

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%mp=40;%ttt=6;%mpp=mp/100;%e=((log(mpp)^2)/(log(mpp)^2+pi^2))^.5%wn=4/(ttt*e)%s=-wn*e+1*wn*(1-e^2)^.5*i; G=tf(n,d);a=cart2pol(real(s),imag(s));a=a*180/pi;d1=roots(d);def=real(s)-d1(1:end);[alfa]=cart2pol([def],imag(s));alfa=sum(alfa*180/pi); if alfa>180 o=alfa-180;elseif alfa<180 o=180-alfa;end disp('DEFICIENCIA ANGULAR')Dif_Ang=oang=a/2-((180-(90+(180-a)))+o/2);y=tand(ang)*imag(s);z=real(s)-y;x=tand(ang+o)*imag(s);p=real(s)-x;T=-1/z;alf=-1/(p*T); [c,r,k]=tf2zp(n,d);[A,B]=zp2tf(c,r,1);num=conv([1 -z],[A]);den=conv([1 -p],[B]);disp('hallamos el valor de kc')K=inv(abs(polyval(num,s)/polyval(den,s)));Kc=K/k [nc,dc]=zp2tf(z,p,Kc);disp('F.T. del Compensador')ncc=nc/nc(1);%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%disp('POLO Y CERO DEL SISTEMA ENCONTRADO')Zer=nccPol=dc%hallando el valor de T y adisp('Hallando T y aa')T_=1/Zer(2)a_=1/(Pol(2)*T_)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5Gc=tf(ncc,dc)disp('F.T. del Sistema Compensado')Gf=series(G,Gc)disp('F.T. del Sistema-Lazo Cerrado')S=feedback(Gf,1)figure(1)rlocus(G),hold on,rlocus(Gf),legend('Ssc','Sc'),grid

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figure(2)step(feedback(G,1)),hold on,step(feedback(Gf,1)),legend('Ssc','Sc')axis([0 6 0 2]),grid

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