3 1 1 1 Comprueba que el determinante 31 1 1 3 1 1 1 1 3 · Escribir la matriz U I, y calcular su...

Matemáticas II

Pruebas de Acceso a la Universidad

1

ÁLGEBRA

Junio 94. Comprueba que el determinante

3 1 1 1

1 3 1 1

1 1 3 1

1 1 1 3

es nulo sin desarrollarlo. Explica el proceso que sigues.

[1,5 puntos]

Junio 94.

1. Considerar la matriz

1 1

1 2 A . Probar que las matrices de la forma B = k A + r I, donde k y r son números reales

e I es la matriz unidad 2 2, conmutan con la A, es decir A B = B A [1,5 puntos]

2. Discutir y resolver el siguiente sistema dependiente del parámetro [2,5 puntos]

Septiembre 94. Dada la matriz

1 0

n

1 1

. Calcular:

a) La potencia enésima An. [1 punto]

b) La inversa A 1. [0,5 puntos]

Septiembre 94.

1. Sea A una matriz cuadrada. Demuestra que las matrices A At y At A son simétricas, donde At denota la matriz

traspuesta de A. ¿Son iguales?. Pon un ejemplo. [1,5 puntos]

2. Hallar el valor de m para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones y calcularlas

0z12yx

0z7yx

0z4myx2

[2,5 puntos]

Junio 95.

1. Sea U una matriz cuadrada n n con todos sus elementos iguales a 1, sea In la matriz unidad n n, y sea un número

real. Escribir la matriz U I, y calcular su determinante. [2 puntos]

2. Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro , y resolver cuando sea posible

2z2yx

zyx

1zyx

[2,5 puntos]

Junio 95. Encontrar todas las matrices A tal que

0 1

2 1 A

0 0 1

2 1 0. [1,5 puntos]

02

2

0

zx

yx

yx

2

Septiembre 95.

1. Se dice que una matriz n n cuadrada A es ortogonal si A At = I, donde At es la matriz traspuesta de A e I es la matriz

unidad n n. Se pide:

a) Estudiar si la matriz traspuesta y la matriz inversa de una matriz ortogonal son matrices ortogonales. [1 punto]

b) Si A es ortogonal, hallar A . [1 punto]

2. Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro , y resolver cuando sea posible.

5zyx3

5yx4

1zyx

[2,5 puntos]

Septiembre 95. Calcular, sin desarrollar, el valor del siguiente determinante, enumerando las propiedades de los

determinantes utilizadas:

5 1 1 1 5

1 4 1 1 5

1 1 3 1 5

1 1 1 2 5

1 1 1 1 5

[2 puntos]

Junio 96. Sin desarrollarlo, calcular razonadamente el valor del determinante de la matriz

ab c 1

ac b 1

cb a 1

A [1,5

puntos]. Deducir de ahí los posibles valores del rango de A [1 punto].

Junio 96. Hallar el rango de la matriz

2a 4a 1

a 1aa 1

1 3 1

A 2 según sea el valor del parámetro a [2 puntos].

Indicar cuándo existe la inversa de A [0,5 puntos].

Septiembre 96. Sean

0 1

1 1 A ,

1 1

1 1 B y O la matriz nula 2 2. Se pide:

a) Encontrar todas las matrices X tales que A X = B [1,5 puntos] b) Encontrar todas las matrices Y tales que Y B = O [1 punto]

Septiembre 96. Hallar el valor o valores de a para que el sistema

az)1a(yx

1z)1a(y2x

1yx

sea compatible e

indeterminado [1,5 puntos]. Resolverlo en esos casos [1 punto].

Junio 97. Discutir el sistema

1 yx

3azyx

0zyax

según los valores del parámetro a [1,5 puntos]. Resolverlo en los

casos en que admita infinitas soluciones [1 punto].

Matemáticas II


3

Junio 97. Dada la matriz

0 1 0

0 0 1

0 0 0

A , encontrar todas las matrices B tales que A B = B A [1,5 puntos];

Calcular An con n entero positivo [1 punto].

Septiembre 97. Dadas las matrices

3 5 0

1 2 0

0 0 1

A y

0 0 1

0 1 0

1 0 0

B , hallar la matriz X dada por A X A 1 = B

[2,5 puntos].

Septiembre 97. Hallar el rango de la matriz

1 a 1 1

0 1a 1 0

1 1 a 1

B según sea el valor del parámetro a [2,5

puntos]

Junio 98. Discutir el sistema

0zax

0z)1a(y)1a(

1azy)1a(x

2

2

2

según sea el valor del parámetro a [1,5 puntos]. Hallar, si

existe, la solución del mismo cuando a = 0 [1 punto]

Junio 98. Determinar a, b y c para que la matriz

c b a

2

1

2

1 0

0 0 1

A verifique que su traspuesta At coincide con

su inversa A-1 [1,5 puntos]. Calcular en todos esos casos la matriz A4 [1 punto].

Septiembre 98. Hallar los valores del parámetro a para que el sistema de ecuaciones

0azy)1a(x

0zyax

0zx

admita

infinitas soluciones [1,5 puntos]. Resolverlo en cada uno de esos casos [1 punto].

Septiembre 98. Dadas las matrices

3 2

2 2A y

0 1

1 0B , encontrar todas las matrices 2 2 X tales que X A

= X [1 punto] y todas las matrices Y tales que Y A = B [1,5 puntos].

Junio 99. Las matrices X e Y son las soluciones del sistema de ecuaciones matriciales

0 3

4 1Y2X

5 1

3 2YX2

. Se pide

hallar X e Y [1 punto] y calcular si tiene sentido X 1 e Y 1 (razonar la posible respuesta negativa) [1,5 puntos].

Junio 99. Discutir según el valor del parámetro a el sistema lineal

1azx

1z23y8ax

1z20y7ax

[1,5 puntos] y resolverlo en

los casos en que tenga infinitas soluciones [1 punto].

4

Septiembre 99. Hallar en función de a el rango de la matriz

a 1 4

3 a 0

1 0 1

A [1,5 puntos] y calcular cuando exista

la matriz inversa A 1 en los casos a = 1 y a = 1 [1 punto].

Septiembre 99. Disponemos de tres lingotes de distintas aleaciones de tres metales A, B y C. El primer lingote

contiene 20 g del metal A, 20 g del B y 60 del C. El segundo contiene 10 g de A, 40 g de B y 50 g de C. El tercero

contiene 20 g de A, 40 g de B y 40 g de C. Queremos elaborar a partir de estos lingotes uno nuevo que contenga 15 g de

A, 35 g de B y 50 g de C. ¿Cuántos gramos hay que coger de cada uno de los tres lingotes? [2,5 puntos].

Junio 00. Hallar, si existe, una matriz cuadrada 2 2 A que cumpla las siguientes condiciones:

1) Coincide con su traspuesta.

2) Verifica la ecuación matricial

3 3

3 3

1 0

1 1A

1 1

1 1

3) Su determinante vale 9. [2,5 puntos]

Junio 00. Discutir el sistema de ecuaciones

aazy)1a(x

0z)1a(y

1zx

según los valores del parámetro a [1 punto].

Resolverlo en todos los casos de compatibilidad [1,5 puntos].

Septiembre 00. Dada la matriz

2 0 1

0 a 0

1 0 0

A , se pide:

i) Hallar el valor o valores de a para que se cumpla la igualdad A2 + 2 A + I = O, siendo I la matriz identidad de orden

3 y O la matriz nula de orden 3 [1,5 puntos].

ii) Calcular en esos casos la matriz inversa de A [1 punto].

Septiembre 00. Sea A una matriz 4 4 cuyas filas, de arriba a abajo son F1, F2, F3 y F4 y cuyo determinante vale 2. Sea

0 0 0 1

0 0 1 0

1 0 0 0

0 1 0 0

B . Calcular razonadamente:

1) El determinante de la matriz A B [1 punto]

2) El determinante de la matriz 3 A [0,5 puntos]

3) El determinante de la matriz cuyas filas son (de arriba a abajo): 2F1 + F2 , F2 , 3F4 y F3+F1 [1 punto]

Junio 01. Dadas las matrices

0 0 0

a 0 0

0 a 0

A e

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I3 , se pide:

a) Hallar An para todo entero positivo n [1 punto]

b) Calcular, si existe, la inversa de la matriz A y la de la matriz I3 + A [1,5 puntos]

Junio 01. Tenemos una matriz 3 3 cuyas columnas son (de izquierda a derecha): C1 , C2 , C3 y su determinante vale

2.

a) Se considera la matriz A cuyas columnas son (de izquierda a derecha): C2 , C3+C2 , 3C1 , calcular razonadamente el

determinante de la matriz A1 caso de que esta matriz inversa exista [1,5 puntos].

b) Sea ahora la matriz cuyas columnas son: C1+C2 , C2+C3 , C3 C1. Razonar la existencia o no existencia de la matriz inversa de la misma [1 punto]

Matemáticas II


5

Septiembre 01. Dado el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro a:

azy3x2

aazyx

azy2x

, se pide:

1) Discusión del mismo en función del parámetro a. [1 punto]

2) Resolución en los casos de compatibilidad. [1,5 puntos]

Septiembre 01. Dadas las matrices:

2 0 0

1 2 1

0 0 2

A e

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I3 , se pide:

a) Calcular A2 – 4A + 4I3 [1 punto]

b) Calcular, si existe, la inversa de la matriz A [1,5 puntos]

Junio 02. a) Discute el sistema

1zayx)1a(

0zya

0y)1a(x)1a(

2

2

2

según el valor del parámetro a. [1,3 puntos]

b) Halla, si existe, la solución cuando a = 4. [1,2 puntos]

Junio 02. Sea M

ba, ;

a b

b a..

a) Prueba que si A, B M también A+B y AB están en M. [1 punto]

b) Determina las matrices C M que verifican que C2 = 2C. [1,5 puntos]

Septiembre 02. Sean A y B las matrices siguientes:

0 1 1

0 2 0

1 0 1

A

2 0 0

0 1 1

1 1 0

B

Es fácil comprobar que ambas tiene el máximo rango, que es 3. Pero ¿qué ocurre si las combinamos linealmente? En

concreto, estudia el rango de la matriz A + B según los valores del parámetro . [2,5 puntos]

Septiembre 02. a) Discute el sistema de ecuaciones

1aaz2x3

1azyax

0zyx2

según el valor del parámetro a. [1,5 puntos]

b) Halla, si existe, la solución cuando a = 0. [1 punto]

Junio 03. Luis, Juan y Óscar son tres amigos. Luis le dice a Juan: Si yo te doy la tercera parte del dinero que tengo, los

tres tendremos la misma cantidad. Calcular lo que tiene cada uno de ellos sabiendo que entre los tres reunen 60 euros.

[2,5 puntos]

Junio 03. Buscar una matriz cuadrada X (pueden existir varias) cuyo primer elemento valga 2 y tal que la siguiente

suma

111

11

06

22XX

sea la matriz nula [2,5 puntos]

Nota: El primer elemento de una matriz es que el está en la primera fila y en la primera columna.

6

Septiembre 03. Discutir el sistema de ecuaciones

1

22

1

azyx

azyx

zyax

según los valores del parámetro a [1,5

puntos]. Entre los valores de a que hacen el sistema compatible elegir uno en particular y resolver el sistema que resulte

al reemplazar a por el valor elegido [1 punto].

Septiembre 03. Sean las matrices

24

11A ;

14

01B . Vemos que ambas tienen rango máximo, o sea 2.

Determinar los valores de c tales que la matriz A + cB ya no tenga rango 2 [1,5 puntos]. ¿Cuál es el rango que tienen

las respectivas matrices suma? [1 punto]

Junio 04. Cuando el año 1800 Beethoven escribe su primera Sinfonía, su edad es diez veces mayor que la del jovencito Franz Schubert. Pasa el tiempo y es Schubert quien compone su célebre Sinfonía Incompleta. Entonces la

suma de las edades de ambos músicos es igual a 77 años. Cinco años después muere Beethoven y en ese momento

Schubert tiene los mismos años que tenía Beethoven cuando compuso su primera Sinfonía.

Determinar el año de nacimiento de cada uno de estos dos compositores. [2,5 puntos]

Nota: Solamente se calificarán los resultados obtenidos matemáticamente, no los derivados de los conocimientos

histórico-musicales del examinando.

Junio 04. Sea el sistema

azay

zax

zyx

02

53

.

Se pide clasificarlo según los valores del parámetro a [1,5 puntos] y resolverlo si en algún caso es compatible indeter-

minado [1 punto]

Septiembre 04. Sea el sistema homogéneo de ecuaciones

02

0

02

zayx

zyax

zyx

a) Determinar el valor o valores del parámetro a para que el sistema tenga soluciones distintas de la nula [1,5 puntos]

b) Resolver el sistema para el valor o valores de a hallados en el apartado anterior [1 punto]

Septiembre 04. Determinar una matriz cuadrada X que verifique

33

22XAAX siendo

11

01A [2

puntos]. Luego analizar si la matriz X es inversible, y en el caso de serlo calcular su matriz inversa [0,5 puntos]

Junio 05. Eva, Marta y Susana son tres jóvenes amigas que se comprometen a leer el Quijote este verano. Cada una

por separado y en función del tiempo del que dispone, decide leer un mismo número de páginas cada día hasta terminar

la obra. Eva leerá diariamente 5 páginas más que Marta y ésta 6 páginas más que Susana. Por ello Eva terminará la obra

dos semanas antes que Marta y ésta 30 días antes que Susana. Se pregunta cuál es el total de páginas que tiene la versión de la inmortal obra cervantina que leen estas amigas. [2,5 puntos]

Junio 05. La terna 0) , 0 , 0( es siempre solución del sistema

02

0

02

zyax

zyax

azyx

independientemente del valor del

parámetro a.

a) Indicar para qué valores del parámetro la citada terna es la única solución del sistema. [1,5 puntos]

b) Indicar algún valor del parámetro, si existe, para el cual el sistema tenga algunas soluciones distintas de la nula y

mostrar estas soluciones. (Nota: si se encuentran varios valores del parámetro cumpliendo la condición pedida, para

responder a esta cuestión basta tomar uno solo de ellos). [1 punto]

Matemáticas II


7

Septiembre 05. A, B y C son tres ciudades que forman un triángulo de manera que entre cada dos de ellas hay una

carretera recta que las une. Se sabe que si se va de A a B dando la vuelta por C se hace un recorrido tres veces mayor que si se va directamente de A a B. Asimismo si para ir de A a C se da la vuelta por B el recorrido es el doble que si se

va directamente de A a C.

Calcular las distancias entre las tres ciudades sabiendo que la suma de las tres distancias es igual a 120 kilómetros. [2,5

puntos]

Septiembre 05. Estudiar según el valor del parámetro , el sistema de ecuaciones

2

1

zyx

zyx

zyx

y resolverlo si

en algún caso es compatible indeterminado. [2,5 puntos]

Junio 06. Se consideran las matrices

111

21A

y

20

0

31

B donde es un número real.

a) Encontrar los valores de para los que la matriz AB tiene inversa. [1,5 puntos]

b) Dados a y b números reales cualesquiera, ¿puede ser el sistema

b

a

z

y

x

A compatible determinado con A la

matriz del enunciado?. [1 punto]

Junio 06. Sea la matriz

22

22

2

abab

baab

ababa

A

a) Sin utilizar la regla de Sarrus, calcular el determinante de dicha matriz. [1,5 puntos]

b) Estudiar el rango de A en el caso en que ab . [1 punto]

Septiembre 06. La liga de fútbol de un cierto país la juegan 21 equipos a doble vuelta. Este año, los partidos ganados

valían 3 puntos, los empatados 1 punto y los perdidos 0 puntos. En estas condiciones, el equipo campeón de liga obtuvo

70 puntos. Hasta el año pasado los partidos ganados valían 2 puntos y el resto igual. Con el sistema antiguo, el actual

campeón hubiera obtenido 50 puntos. ¿Cuántos partidos ganó, empató y perdió el equipo campeón? [2,5 puntos]

Septiembre 06. Teniendo en cuenta que 7

zyx

rqp

cba

, calcular el valor del siguiente determinante sin desarrollarlo

czbyax

rcqbpa

c3b3a3

[2,5 puntos]

Junio 07. Considerar el sistema lineal de ecuaciones en x, y y z:

x 3y z 5

mx 2z 0

my z m

a) Determinar los valores del parámetro m para los que el sistema tiene solución única. Calcular dicha solución para m 1 . [1 punto]

b) Determinar los valores del parámetro m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. Calcular dichas soluciones.

[1 punto]

c) Estudiar si existe algún valor de m para el cual el sistema no tiene solución. [0,5 puntos]

8

Junio 07. Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 euros y un total almacenado de 2000 euros. Si el

número total de billetes de 10 euros es el doble que el número de billetes de 20, averiguar cuántos billetes de cada tipo

hay. [2,5 puntos]

Septiembre 07. Dadas las matrices 3 1 1 0

A , I8 3 0 1

a) Comprobar que 22det A det A [0,5 puntos]

b) Estudiar si para cualquier matriz a b

Mc d

de orden 2 se cumple que 22det M det M [1 punto]

c) Encontrar la relación entre los elementos de las matrices M cuadradas de orden 2 que satisfacen:

det M I det M det I [1 punto]

Septiembre 07. Sean

0

A 0 0

0 0 0

y

1 k t

B 0 1 k

0 0 1

a) Estudiar para qué valores de y la matriz A tiene inversa. [0,5 puntos]

b) Calcular A5. [1 punto]

c) Hallar la matriz inversa de B. [1 punto]

Junio 08.

Opción A. a) (1,5 puntos) Sean A, B, I las matrices:

0 1 1 6 3 4 1 0 0

A 1 1 0 , B 3 2 1 , I 0 1 0

1 0 0 4 1 5 0 0 1

.

Estudiar si existe algún valor de para el cual se satisfaga 2

A I B .

b) (1 punto) Teniendo en cuenta que

x y z

1 0 2 1

1 1 3

, determinar el valor de

x 1/ 4 4

y 0 4

z 1/ 2 12

Opción B. (2,5 puntos) Dado el sistema

x 3y az 4

ax y az 0

x 2ay a 2

2x y 2z 0

. Discutirlo según los valores de a, y resolverlo

cuando sea compatible.

Septiembre 08.

Opción A. (2,5 puntos) Hallar una matriz a b

Xc d

de orden 2 tal que 1A X A B siendo 3 1

A2 1

y 1 1

B2 1

Opción B. a) (1 punto) Probar que 2 2 2

1 1 1

a b c b a c a c b

a b c

b) (1,5 puntos) Hallar la solución del sistema de ecuaciones x 2y 3z 0

x 4y 9z 2

que además satisface que la suma de

los valores correspondientes a cada una de las incógnitas es 4.

Matemáticas II


9

Junio 09.

Opción A. a) [1,5 puntos] Discutir y resolver en función de los valores del parámetro m el sistema lineal

2 2

2

x y z 1

mx m y m z 1

mx my m z 1

b) [1 punto] Teniendo en cuenta que

0 1 1

1 0 1 2

1 1 0

, determinar el valor del determinante

2

1

2 1

0 a a

a 0 a

a a 0

.

Opción B. a) [1,25 puntos] Dada la matriz

1 0 0

A 1 1 0

0 0 1

, calcular la inversa de la matriz nA .

b) [1,25 puntos] Estudiar para qué valores del parámetro , existe un único polinomio 2P(x) a bx cx que

satisface P (0) , P (1) 0 , P ( 1) 0 .

Septiembre 09.

Opción A. a) [1,5 puntos] Sean las matrices 2 a

Ab c

, 1 0

I0 1

de orden 2. Hallar la relación entre los

parámetros a, b y c para que se verifique que 1A 2I A .

b) [1 punto] Calcular, en función de los valores del parámetro k, el rango de la matriz

1 2 1

B 1 1 3

5 1 k

.

Opción B. a) [1,25 puntos] Resolver el siguiente determinante sin utilizar la regla de Sarrus:

a b c

a c b a c b

a c b a c b

.

b) [1,25 puntos] Para 1 2 3 4

M1 1 2

, calcular nM con n .

Junio 10.

a) Estudiar para qué valores de a el determinante de la matriz

0 2

0 1 0

0

a a

A a

a a

es no nulo. Para 3a , obtener

el determinante de la matriz 2A . (1,5 puntos)

b) Sean las matrices

1 1

2 0

0 3

A

y 1 2 1

0 3 1B

. Calcular el rango de

TAB . (1 punto)

Junio 10.

a) Estudiar para qué valores de x, la matriz inversa de 2

5

x

x

coincide con su opuesta. (1,5 puntos)

b) Dos hermanos de tercero y cuarto de primaria iban camino del colegio con sus mochilas cargadas de libros todos del

mismo peso. Uno de ellos se lamentaba del peso que transportaba y el otro le dijo: “¿De qué te quejas? Si yo te

cogiera un libro, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio si te diera un libro, tu carga igualaría a la mía”

¿Cuántos libros llevaba cada hermano? (1 punto)

10

Septiembre 10.

a) Discutir y resolver cuando sea posible el siguiente sistema lineal: (1,75 puntos)

ax y 0

2x y az 1

y az 1

b) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el vector

1

2

0

sea solución del sistema anterior? (0,75 puntos)

Septiembre 10.

Dada la matriz

cosα senα 0

A senα cosα 0

0 0 β

a) Estudiar si existen valores de α y β para los cuales la matriz A sea simétrica. ¿Será la matriz TB A A igual a

la matriz identidad en algún caso? (1 punto)

b) Razonar cuál es la relación entre el determinante de A y el de B. (0,75 puntos)

c) Discutir y resolver cuando sea posible el sistema

x 1

B y 1

z 1

. (0,75 puntos)

Junio 11.

a) (1,25 puntos) Estudiar para qué valores de el determinante de la matriz

0 1 2

α 1 1 α 2

1 α 1 2

A tiene rango

máximo.

b) (1,25 puntos) Siendo 1A la inversa de la matriz A , calcular 2

1A para 1 .

Junio 11.

a) (1 punto) Sean las matrices cos sen

Asen cos

y

0

0 0

0

cos sen

B

sen cos

. Estudiar qué valores de y

hacen que sea cierta la igualdad: 2

2 1 0det A det A det B

b) (1,5 puntos) Utilizar las propiedades de los determinantes para calcular el valor de

2 3 4

2 3 4

2 3 4

a b

c d

con a, b, c, d

Septiembre 11.

Sea la matriz 1

A0

.

a) (0,75 puntos) Calcular el determinante de la matriz TA A con TA la traspuesta de A.

b) (0,75 puntos) Estudiar para qué valores del parámetro se satisface la ecuación

2 T 24 A 2 A 2 0 con A det A

c) (1 punto) Obtener la inversa de A cuando sea posible.

Septiembre 11.

(2,5 puntos) Utilizar las propiedades de los determinantes para obtener los valores de a y b que satisfacen

simultáneamente las ecuaciones

Matemáticas II


11

2 2

a b 1 2a a

a b 0 1 0 y 0a ba

a 2b 3 2

Junio 12.

Sean a un número real y el sistema lineal 2

ax y z 1

x ay z a

x y az a

a) (1,5 puntos) Calcule el determinante de la matriz de los coeficientes y determine para qué valores de a el

sistema anterior es incompatible, compatible determinado y compatible indeterminado.

b) (1 punto) Resuelva el sistema anterior en el caso a 0

Junio 12.

a) (1,5 puntos) Comprueba que la matriz M es inversible y calcule su inversa, donde

1 0 1

M 2 1 1

1 2 2

b) (1 punto) Encuentre las matrices A y B que cumplen las siguientes ecuaciones

3 2 0 1 4 0

8A 5B 2 1 3 , 2A B 2 1 3

0 3 3 0 1 1

Septiembre 12.

a) (0,5 puntos) El determinante de la matriz A que aparece a continuación es 2

1 0 1

A 1 2 1

0 1 1

Sin utilizar la regla de Sarrus, determine cuánto vale el determinante de la matriz B siguiente (enuncie las

propiedades que utilice):

1 0 2

B 1 2 4

0 1 0

b) (2 puntos) Sea C la siguiente matriz:

sen x cos x 0

C cos x sen x 0

1 sen x x

Determine los valores de x para los que la matriz C tiene inversa y calcularla cuando sea posible.

Septiembre 12.

a) (1,5 puntos) Determine para qué valores de m el siguiente sistema de ecuaciones:

mx 2y 6z 0

2x my 4z 2

2x my 6z m 1

es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.

b) (1 punto) Se sabe que una matriz simétrica B de dimensión 3 3 tiene como determinante 3 . Determine el

determinante de la matriz tB B donde

tB denota la traspuesta de B.

12

SOLUCIONES

Junio 94. Se basa en la propiedad: “si a una línea le sumamos una

combinación lineal de las demás paralelas, el determi-

nante no varía”. Suma a la primera columna (por

ejemplo) las paralelas a ella y todos sus elementos son

iguales a cero, con lo que el determinante será cero.

Junio 94.

1. Construye la matriz B y comprueba que A B = B A

2. Si 1, 1, 0: el sistema es compatible determina-

do. Soluciones: 21

2x

,

21

2y

,

21

4z

Si = 1, 1: el sistema es incompatible

Si = 0: el sistema es compatible indeterminado.

Soluciones: 0x , 2y , z = k

Septiembre 94.

a)

1 0

1 1An b)

1 0

n

1 1

A 1

Septiembre 94.

1. ttttttt AAAAA)A(AA es simétrica

AAAA)A(AAA ttttttt es simétrica

No tienen por qué ser iguales: A At At A. Puede

comprobarse con la matriz

0 0

1 1A

2. m = 6. Soluciones: 5

k2z ,ky ,

5

k19x

unio 95.

1.

0 ...

.................

... 0

... 0

IU

IU 1n)()1n(

2. Si 0, 1: sistema compatible determinado.

Soluciones:

2

1x

2

,

2

12y

2

,

2

)1()1(z

2

Si = 0: sistema incompatible.

Si = 1: sistema compatible indeterminado.

Soluciones: x = k , y = 1 k , z = 0

Junio 95.

y x

y22 x1

0 1

A

Septiembre 95.

1. a) Sí, son ortogonales. b) 1A

2. Si 0, 3: sistema compatible determinado.

Soluciones:

3

5x ,

)3(

5

y ,

Si = 0 ó = 3: sistema incompatible.

Septiembre 95.

120

Junio 96.

0A . Si a = b = c: rg (A) = 1 ; en cualquier otro

caso: rg (A) = 2.

Junio 96.

Si a 1, 1: rg (A) = 3 A 1

Si a = 1: rg (A) = 2

Si a = 1: rg (A) = 1

Septiembre 96.

a)

0 0

1 1X b)

b b

a aY

Septiembre 96.

Si a = 1: el sistema es compatible indeterminado. Soluciones: x = 1, y = 0 , z = k

Junio 97.

Si a 1, 2: sistema compatible determinado

Si a = 1: sistema incompatible

Si a = 2: sistema compatible indeterminado

Soluciones: x = 1 k , y = 2 k , z = k.

Junio 97.

a b c

0 a b

0 0 a

B

0 0 0

0 0 0

0 0 0

An

Septiembre 97.

5 10 2

3 6 1

3 5 0

X

Septiembre 97.

Si a 0 , 1: rg B = 3

Si a = 0 ó a = 1 rg B = 2

Junio 98.

Si a 1 , 1: sistema compatible determinado


Si a = 1: sistema incompatible.

Para a = 0 el sistema es compatible determinado y sus

soluciones son: x = 0 , y = 1 , z = 1.

)3(

5

z

Matemáticas II


13

Junio 98.

a = 0 , b = 2

1 , c =

2

1 (b y c distinto signo)

34

1 IA ;

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A4

2

Septiembre 98.

Tiene infinitas soluciones cuando a = 0 y cuando a = 1.

Para a = 0: x = k , y = k , z = k

Para a = 1: x = k , y = 0 , z = k

Septiembre 98.

b b2

a a2X

1

2

3

1 1

Y

Junio 99.

2 1

2 1X

1 1

1 0Y

X 1 pues X = 0. Y 1 pues Y 0:

0 1

1 1 Y 1

Junio 99.



Si a = 1: sistema compatible indeterminado.

Soluciones: x = 1 + k , y = 3k , z = k

Septiembre 99.

Si a 1 , 3: rg A = 3

Si a = 1 ó a = 3: rg A = 2

Para a = 1:

8

1

8

1

2

1

8

3

8

5

2

3

8

1

8

1

2

1

A 1

Septiembre 99.

25 grs del A, 50 grs del B y 25 grs del C.

Junio 00.

5 1

1 2A

Junio 00.

Si a 1 , 2: sistema compatible determinado.

Soluciones: 2a

1ax

,

2a

1ay

,

2a

1z


Soluciones: x = 1 k , y = 0 , z = k


Septiembre 00.

i) a = 1 ii)

0 0 1

0 1 0

1 0 2

A 1

Septiembre 00.

1) 2)1(2BABA

2) 162A3

3) 12

Junio 01.

a) Para n = 1:

0 0 0

a 0 0

0 a 0

An

para n = 2:

0 0 0

0 0 0

a 0 0

A

2

n

para n 3:

0 0 0

0 0 0

0 0 0

An

b) A 1 pues A = 0. (I3 + A) 1 =

1 0 0

1 0

a 1 2

a

a

Junio 01.

a) A = 6 ; A 1 = 6

1

b) En este caso: A 1 pues A = 0

Septiembre 01.

a) Si a 0: sistema compatible determinado. Si a = 0: sistema compatible indeterminado.

b) Para :0a x = a 1 , y = a+1 , z = 1

Para :0a z , y , x

Septiembre 01.

a) El resultado es la matriz nula 3 3

b)

2

1 0 0

4

1

2

1

4

1

0 0 2

1

A 1

Junio 02.

a) Si a 1 , 1: sistema compatible determinado

Si a = 1 , 1: sistema incompatible

b) 75

1x ,

15

1y ,

15

16z

Junio 02.

a) Comprueba que al sumar y multiplicar dos matrices

de M sus resultados también pertenecen a M.

14

b)

1 1

1 1C

1 1

1 1 C

Septiembre 02.

Si 1 , 1: rg (A+ b) = 3

Si = 1 ó = 1: rg (A+ B) = 2

Septiembre 02.

a) Si a 3 , 1: sistema compatible determinado



b) 3

1x ,

6

5y ,

6

1z

Junio 03. Luis: 30 € , Juan: 10 € , Óscar: 20 €

Junio 03.

1112

222X

Septiembre 03.



Si a = 2: sistema compatible indeterminado

Por ejemplo, para a = 0: x = 2 , y = 0 , z = 1

Septiembre 03.

c = 1 , c = 6. El rango es 1.

Junio 04.

Beethoven nació en 1770 y Schubert en 1797.

Junio 04.

Si a 0 y 5: sistema compatible determinado.

Si a = 0: sistema compatible indeterminado. Soluciones: x = 5 – 3 , y = , z = 0


Septiembre 04.

a) 4

1 ; 0 aa

b) Para zyxa :0

Para

zyxa , 3

2 ,

3

4 :

4

1

Septiembre 04.

24

1

12

3

X .

X es inversible:

11

6

11

111

4

11

8

1X

Junio 05. 1400 páginas.

Junio 05.

a) Para 0a y 2a

b) Para a = 0 y para a = 2.

Para a = 0: zyx , , 2

Para a = 2: zyx , , 0

Septiembre 05.

30, BAd kms ; 40, CAd kms ;

50, CBd kms.

Septiembre 05.

Si 1 : el sistema es compatible determinado

Si 1 : el sistema es compatible indeterminado. Las

soluciones son: 1x , y , z .

Junio 06.

a) AB tiene inversa 2 , 2

1

b) No, A tiene un rango máximo 2 y el nº de incógnitas

es tres.

Junio 06.

a) 222 babaaA

b) 1Arg

Septiembre 06.

20 partidos ganados, 10 empatados y 10 perdidos

Septiembre 06.

21

Junio 07.

a) m 0 y m 1. Si m 1: x 2 , y 2 , z 1

b) 5

m 0. x , y , z 03

c) m 1

Junio 07.

50 billetes de 10 €, 25 de 20 € y 20 de 50 €

Septiembre 07.

a) Calcular y comprobar

b) Sí se cumple (demostrar)

c) a b

Mc a

Septiembre 07.

a) A no tiene inversa en ningún caso.

b) A5 es la matriz nula.

c)

2

1

1 k k t

B 0 1 k

0 0 1

Junio 08.

Opción A. a) 2 b) 1

Opción B. Para a 2 y a 3 : sistema incompatible

Para a 2 : sistema compatible indeterminado

Soluciones: 4 8 8 2

x , y , z7 7

Para a 3: sistema compatible determinado

Soluciones: x 1 , y 0 , z 1

Septiembre 08.

Opción A. 9 11

X6 7

Matemáticas II


15

Opción B.

a) Aplicar propiedades de los determinantes

b) x 13 , y 14 , z 5

Junio 09.

Opción A.

a) Para m 0 y m 1: compatible determinado

Soluciones: m 1 1

x ; y 0 ; zm m

Para m 0 : incompatible

Para m 1: compatible indeterminado

Soluciones: x 1 ; y ; z

b) 2

Opción B. a)

1 0 0

n 1 0

0 0 1

b) 0

Septiembre 09.

Opción A. a) ab 1 , c 0

b) Si k 11: rgB 3 . Si k 11: rgB 2

Opción B. a) 0

b) nI si n es par

MM si n es impar

Junio 10.

a) Para 0 y 1a a

b) 2T

rg AB

Junio 10.

a) 3x

b) 7 y 5 libros.

Septiembre 10.

a) - Si a 0 : Sistema compatible determinado.

Soluciones: 1

x 0 ; y 0 ; za

- Si a 0 : Sistema incompatible

b) No.

Septiembre 10.

a) α kπ , β . Cuando β 1

b) 2

B A

c) - Si β 0 : Sistema compatible determinado.

Soluciones: 2

1x 1 ; y 1 ; z

β

- Si β 0 : Sistema incompatible

Junio 11.

a) 1

, 02

b) 2

1

1 1 2

0 2 3

1 0 1

A

Junio 11.

a) ; 1

b) 2 ad bc

Septiembre 11.

a) 4

b) 0

c) 2

1 1 1A para 0

0 1

Septiembre 11.

5a 0 , b 0 ; a , b 1

2

Junio 12.

a) 3A a 3a 2

Para a 1 y a 2 : compatible determinado

Para a 1: compatible indeterminado

Para a 2 : incompatible

b) 1 1 1

x , y , z2 2 2

Junio 12.

a) M es inversible porque M 0

1

0 2 5 1 5

M 1 3 5 1 5

1 2 5 1 5

b)

1 11 0 1 18 0

A 6 3 6 , B 10 5 9

0 1 1 0 1 1

Septiembre 12.

a) B 2

b) 1C x 0

1

2

sen x cos x 0

C cos x sen x sen x

sen x cos x 1 sen x cos x 1

x x x

Septiembre 12.

a) Para m 2 : compatible determinado

Para m 2: incompatible

Para m 2 : incompatible

b) tB B 24

3 1 1 1 Comprueba que el determinante 31 1 1 3 1 1 1 1 3 · Escribir la matriz U I, y calcular su...

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