TEMA 1. VECTORES Y MATRICES - Universidad Autónoma de … · De forma analítica: ... Si una...

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES

1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

1. VECTORES Y MATRICES

1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA

MATRIZ

1.3.1. Concepto de Traza.

1.3.2. Propiedades de la traza.

1.3.3. Determinante de una matriz.

1.3.4. Cálculo de determinantes de orden 2 y orden 3.

1.3.5. Menor complementario y adjunto de un

elemento.

1.3.6. Desarrollo de un determinante por los adjuntos

de una fila o de una columna.

1.3.7. Propiedades de los determinantes

1.3.8. Cálculo general de determinantes



1.3.1. CONCEPTO DE TRAZA

DEFINICIÓN DE TRAZA

Sea una matriz cuadrada de orden n

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

321

3333231

2232221

1131211

Se define la traza de la matriz A y se denota por Tr(A) como la suma de los elementos de la diagonal

principal:

EJEMPLO

Calcula la traza de las siguientes matrices:

279

921

203

A

370

721

011

B

389

823

931

C

127

632

732

5213

c

b

aD


Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n, se verifican las siguientes

propiedades:

1) EJEMPLO:

2) EJEMPLO

3) EJEMPLO

4) EJEMPLO

5) En general EJEMPLO

6) En general si la matriz A tiene inversa entonces EJEMPLO


1.3.2. PROPIEDADES DE LA TRAZA


1) Dadas las matrices

y

comprobar que

2) Demostrar que se verifica

3) Si A es una matriz antisimétrica ¿Cuánto vale su traza?

4) Demostrar que si A es una matriz simétrica entonces

5) Dadas dos matrices cuadradas de orden n A y B, tales que

demostrar que


1.3.2. PROPIEDADES DE LA TRAZA: EJERCICIOS.

Ejercicios: Libro

“Problemas y cuestiones

de álgebra lineal” P.

Ortega

Pág. 166,167

Ejercicios 1,2,4


DEFINICIÓN FORMAL:

Dada una matriz cuadrada A de orden n, se define el determinante de A y se denota por |A|

o det(A) como la suma de los n! productos con signo formados por n-factores obtenidos de

multiplicar n elementos de la matriz de forma que cada producto contenga un solo

elemento de cada fila y columna de A.

De forma analítica:

Donde :

- es una de las n! permutaciones del conjunto {1,2,…,n}

- es el NÚMERO DE TRASPOSICIONES o cambios requeridos para reordenar la

permutación en el orden de {1,2,…,n}

OBSERVACIÓN

- Según esta definición la matriz NULA de orden n, tiene siempre determinante 0


1.3.3. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ


Sea

2221

1211

aa

aaA , se define el determinante de la matriz A y se denota por det(A) o |A| al

siguiente valor numérico: 21122211

2221

1211)det( aaaa

aa

aaA .

El primer producto, que contiene el elemento 11a , es

2211 aa :

El segundo producto, con el elemento 12a , es

2112 aa :

EJEMPLOS:

1) Calcula los siguientes determinantes:

a) 23

25

b)

51

12

c)

03

01 d)

71

43

2) Calcula el valor de x para que se verifiquen la siguientes igualdades:

a) 197

85

x b) 22

7

26

x c) 9

9

3

x

x d) 8

2

3

xx

x


1.3.4. DETERMINANTE DE MATRICES DE ORDEN 2


REGLA DE SARRUS:

Productos con signo positivo Productos con signo negativo



Sea

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A una matriz cuadrada de orden 3, se define el

determinante de la matriz A , y se denota por ||)det( AA , al resultado de la suma de los siguientes 9 productos:

||)det( AA 322113312312332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

.312213332112322311 aaaaaaaaa . El resultado del determinante es un número real.




REGLA DE SARRUS

Productos con signo positivo Productos con signo negativo

EJEMPLOS:

1) Calcula el determinante de las siguientes matrices:

a)

621

641

623

A b)

321

341

323

B

2) Calcula el valor de a para que se verifiquen las siguientes igualdades:

a) 7

203

12

31

x

x

b) 86

022

12

43

xx

x


1) Calcula los siguientes determinantes:

a) 48

33 b)

42

21

c)

62

10

d)

31

74

e)

32

00

2) Determina el valor que debe tener la incógnita x para que

se verifiquen las siguientes ecuaciones:

a) 124

3

x

x b) 21

7

03

8

12

xx

x


1.3.4. DETERMINANTE DE MATRICES DE ORDEN 2 Y 3:

EJERCICIOS

EJERCICIOS: Libro “Problemas y cuestiones

de álgebra lineal” Pedro Ortega

Páginas 168-170

Ejercicios 5,6,7


Sea A una matriz cuadrada de orden n. Definimos el menor complementario del elemento ija de la

matriz A, al determinante de la matriz de orden n-1 que se obtiene al suprimir la fija i-ésima y la

columna j-ésima de la matriz A. Al menor complementario del elemento ija de la matriz A se le

denota como ijM .

EJEMPLO

3091

2273

1321

0421

A .Entonces 250272066

301

223

131

12 M .

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se define el adjunto o cofactor del elemento ija , y lo

denotamos por ijA , como ij

ji

ij MA )1( .

EJEMPLO: si consideramos la matriz A de orden 4 anterior, entonces

25)25()1()1()1( 1212

21

12 MMA y 19)1( 3333

33

33 MMA .

EJEMPLO: Sea la matriz:

2028

7213

7522

6123

A . Calcula: 22442413 ,,, MMMM y 22442413 ,,, AAAA


1.3.5. MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO DE UN ELEMENTO


1) Dada la matriz

123

721

512

A , calcula todos sus menores complementarios

y sus adjuntos.

2) Calcula el menor complementario de los elementos

23a y 44a en la matriz

0416

3120

3521

4203

A .


1.3.5. MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO DE UN ELEMENTO:

EJERCICIOS.

EJERCICIOS: Libro “Problemas y

cuestiones de álgebra lineal” P. Ortega

Pág. 170 ejercicio 8


Sea A una matriz cuadrada de orden n. El determinante de A se puede obtener mediante la suma de los productos de los elementos de una fila o de una columna por sus adjuntos correspondientes.

a) Desarrollo de un determinante por los adjuntos de la fila i-ésima:

ininiiiiii AaAaAaAaA ...|| 332211 b) Desarrollo de un determinante por los adjuntos de la columna j-ésima:

njnjjjjjjj AaAaAaAaA ...|| 332211 .


1.3.6. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ADJUNTOS

DE UNA FILA O UNA COLUMNA

EJEMPLO: Considera la matriz

5243

2123

1203

1032

A . Para calcular el determinante de esta matriz por los

adjuntos de la segunda fila:

2424232322222121|| AaAaAaAaA

24

42

23

32

22

22

21

12 )1()1()1(2)1(0)1(3 MMMM

243

123

032

543

223

132

2

524

212

103

3

)81898()16456121820(2)124415(3 76929233 . Calculemos ahora el determinante desarrollando por los adjuntos de la tercera columna



1.3.6. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ADJUNTOS

DE UNA FILA O UNA COLUMNA: EJERCICIOS

1 Calcula los siguientes determinantes desarrollando por alguna de sus filas o columnas:

a)

384

020

521

b)

3058

5170

4302

1032

2) Calcula el determinante de la matriz:

1207

1232

5032

3201

A

a) Desarrollando por los adjuntos de la segunda fila. b) Desarrollando por los adjuntos de la segunda columna.

EJERCICIOS: Libro “Problemas

y cuestiones de álgebra lineal”

P. Ortega

Págs. 170,171

Ejercicio 9



1.3.7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES (1/4)

1. El determinante de una matriz cuadrada coincide con el determinante de su

traspuesta: tAA .

EJEMPLO: Comprobar con la matriz

61

71A

2. Si una matriz cuadrada tiene una fila o una columna de ceros, entonces su determinante es cero.

EJEMPLO: 03

010 y

731

000

132

.

3. Si en una matriz cuadrada intercambiamos dos de sus filas (o dos de sus columnas), entonces el determinante de la matriz resultante cambia de signo.

EJEMPLO: 21

23; intercambiando las columnas

12

32.

523

172

102

y

172

523.

102

.




4. Si dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada son iguales entonces su determinante es nulo.

Ejemplo, 21

21 y

152

663

152

5. Si multiplicamos por el mismo número real k todos los elementos de una fila o una columna de una matriz cuadrada A, entonces el determinante de la matriz B resultante verifica que )det()det( AkB .

Ejemplos: 11

23

11

23 kk

kk

23.

6. Si dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada son proporcionales entonces su determinante es nulo.

Por ejemplo, 42

63 (aplicando las propiedades 4 y 5).

943

321

612

(aplicando las propiedades 4 y 5).




7. Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces )det()det( AkAk n .

Demostración:

nakakakAk 2.1)det( nakakak .2.1

)det(... 21212 Akaaakakaak n

nn

n .

8. Si a la fila (o columna) de una matriz le sumamos una combinación lineal de una o varias paralelas a ella, entonces su determinante no varia.

Ejemplo, 32

17 y

123722

17.

9. Si una matriz cuadrada tiene una fila (o columna) que es combinación lineal de otras, entonces el determinante de la matriz es nulo. Además si el determinante de una matriz es nulo, entonces existe al menos una fila (o columna) que es combinación lineal de las demás.

Ejemplo, 0

752

132

321

pues 321 aaa




TEOREMA: Un conjunto de n-vectores de n-componentes es linealmente independiente si y sólo si el determinante de orden n de la matriz formada por sus n-vectores colocados en fila (o en columna) es no nulo.

10. Para cualquier fila (o columna de una matriz) se verifica que:

11 12 13 11 12 13 11 12 13 13

21 22 23 21 22 23 21 22 23 23

31 32 33 31 32 33 31 32 33 33

a a a a a b a a a b

a a a a a b a a a b

a a a a a b a a a b

Ejemplo, comprobemos que 67

92

27

62

87

32

;

11. El determinante del producto de dos matrices cuadradas es el producto de sus determinantes: |||||| BABA .

Por ejemplo, comprobemos que 52

11

17

43

52

11

17

43

.

12. Si una matriz A de orden n tiene inversa entonces )det(/1)det( 1 AA .



1.3.7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES : EJERCICIOS

1) Sabiendo que 1

52

32

11

z

y

x

, calcula sin aplicar la regla de Sarrus los

determinantes: a)

333

32

52

x

y

z

b)

1532

932

331

z

y

x

c)

531

752

zyx

2) Halla los siguientes determinantes aplicando las propiedades:

a) x

x

63

105 b) 2

1

1

a

a c)

xy

yx

2

2

3) Demuestra, sin desarrollarlos, que los siguientes determinantes son nulos:

a)

204

703

102

b)

1770

314

521

c)

902

612

310

EJERCICIOS: Libro

“Problemas y cuestiones de

álgebra lineal” P. Ortega

Págs. 171-173

Ejercicios 10,11,12



1.3.8. CÁLCULO GENERAL DE DETERMINANTES

Hemos visto que el determinante se obtiene desarrollando por cualquiera de las filas o columnas de la matriz. En consecuencia, para calcular el determinante elegiremos una fila o columna que tenga el mayor número de ceros para que los cálculos se simplifiquen. Por otro lado, utilizando las propiedades de los determinantes, en concreto, haciendo uso de la propiedad 8, es posible calcular el determinante de una matriz por medio de otra que tenga una fila o columna con el mayor número de ceros. HACIENDO CEROS: EJEMPLO

512412

2523

1000

1235

5243

2123

1203

1032

||

4233

4311

CCC

CCCA



1.3.8. CÁLCULO GENERAL DE DETERMINANTES: EJERCICIOS

1) Calcula el determinante de la siguiente matriz haciendo ceros en la tercera fila:

5322

7310

2214

5123

B

2) Calcula el siguiente determinante:

2013

2012

1111

1101

3) Comprueba que se verifica la siguiente igualdad:

))()((

111

222

bcacab

cba

cba .

EJERCICIOS: Libro

“Problemas y cuestiones de


Págs. 173; 177; 180

Ejercicios 13, 15, 16

CUESTIONES: Libro:

“problemas y cuestiones de


Pág. 194-196 cuestiones 1-10

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES - Universidad Autónoma de … · De forma analítica: ... Si una...

Documents

Transcript of TEMA 1. VECTORES Y MATRICES - Universidad Autónoma de … · De forma analítica: ... Si una...