3 Cuaderno de trabajo · Matemáticas

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Matemáticas 3. Cuaderno de trabajo reforzará en los alumnos las competencias relacionadas con la asignatura, como formular conjeturas y procedimientos para resolver problemas, utilizar distintas técnicas o recursos para hacer más eficientes los procedimientos, y mostrar disposición para el estudio y el trabajo autónomo y colaborativo.

Esta obra se elaboró con base en el programa de estudios de Matemáticas 3 de nivel secundaria, por lo que constituye un apoyo completo para el curso. Se puede utilizar como material complementario en el aula o para el trabajo autónomo en casa.

En Matemáticas 3. Cuaderno de trabajo se ejercitan algoritmos para reforzar el correcto uso de procedimientos numéricos y algebraicos. También se ofrece gran variedad

de problemas formales, tanto en ámbitos matemáticos como en contextos prácticos, sin dejar de lado

los recuadros “Tecnología”, en los que se abordan las tecnologías de la información

y la comunicación para el estudio de las matemáticas. El cuaderno incluye también ejercicios lúdicos y una evaluación por bloque.

Jorge Alberto Cruz Ramos

Matemáticas 3.indd 1 12/23/13 5:29 PM

Jorge Alberto Cruz Ramos

CdT MATE 3 NM p 01.indd 1CdT MATE 3 NM p 01.indd 1 12/19/13 12:19 PM12/19/13 12:19 PM

fue elaborado en Editorial Nuevo México por el siguiente equipo:

Dirección General de ContenidosAntonio Moreno Paniagua

Dirección de Ediciones Wilebaldo Nava Reyes

Gerencia de Secundaria Iván Vásquez Rodríguez

Gerencia de Arte y Diseño Humberto Ayala Santiago

Coordinación de Secundaria Óscar Díaz Chávez

Coordinación Estatales José de Jesús Arriaga Carpio

Coordinación de Diseño Carlos A. Vela Turcott

Coordinación de Iconografía Nadira Nizametdinova Malekovna

Coordinación de Realización Gabriela Armillas Bojorges

Autor Jorge Alberto Cruz Ramos

Edición Luis Antonio Munguía Díaz

Corrección de estilo Pablo Mijares Muñoz y Ramona Enciso Centeno

Edición de realización Haydée Jaramillo Barona

Edición digital Miguel Ángel Flores Medina

Diseño de portada e interiores Raymundo Ríos Vázquez

Diagramación Ernesto Sánchez Ramírez/el tall3r

Iconografía Miguel Ángel Bucio Trejo

Ilustración Ricardo Ríos Delgado, Héctor Ovando Jarquín y

Jorge Aurelio Álvarez Yañez

Fotografía Thinkstock.com, Glowimages , Archivo Digital,

Latinstock.com

Digitalización de imágenes Gerardo Hernández Ortiz

La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 3. Cuaderno de trabajo son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la

reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

D. R. © 2014 por EDITORIAL NUEVO MÉXICO, S. A. de C. V.Avenida Río Mixcoac 274, colonia Acacias, C. P. 03240, delegación Benito Juárez,

México, D. F.

ISBN: 978-607-712-111-4Primera edición: enero de 2014

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 3012

Impreso en México/Printed in Mexico

Cuaderno de trabajo

MATEMÁTICAS 3


Presentación

A Julieta, como siempre.

A prender matemáticas requiere hacer matemáticas. El presente cuaderno de trabajo es una fuente de valiosos recursos que facilitan la comprensión y el dominio de los contenidos que aborda el pro-

grama de Matemáticas para el tercer grado de secundaria.

Cada ejercicio y problema incluido representa una oportunidad para re-flexionar, construir y dominar uno o más conceptos matemáticos.

El material está dividido en cinco bloques formados por lecciones. Cada una aborda un tema perteneciente a uno de los ejes considerados en el programa oficial: “Sentido numérico y pensamiento algebraico”, “Forma, espacio y medida” y “Manejo de la información”.

Cada lección se inicia con un resumen conceptual, el cual incluye las defini-ciones y los conceptos que se utilizarán en los problemas, con un ejemplo de aplicación, y ejercicios propuestos en las secciones “Ejercita tus habilidades” y “Resuelve y aprende”.

En la sección “Ejercita tus habilidades” encontrarás ejercicios de aplicación y para reforzar el uso correcto de procedimientos numéricos y algebraicos, mientras que en la sección “Resuelve y aprende”, practicarás con problemas formales en contextos matemáticos y en contextos prácticos.

Al final de cada lección, aparece la sección “Te reto”, que incluye un proble-ma con un grado de dificultad mayor que enfatiza alguna característica del contenido de la lección.

A lo largo de tu cuaderno de trabajo hallarás recuadros con el título “Tec-nología”, los cuales ofrecen sugerencias para consultar y reforzar tu apren-dizaje en páginas de Internet interesantes.

Al final de cada bloque podrás evaluar lo que has aprendido y ejercitado mediante preguntas de opción múltiple que deberás responder usando una plantilla de respuestas.

Tu cuaderno de trabajo incluye un ejercicio de exploración lúdico al inicio de cada bloque; al final del cuaderno encontrarás bibliografía recomendada para ti y tu profesor, que será útil para profundizar tanto en los temas desarrollados como en la enseñanza de estos.

El autor

3


Índice Presentación 3 Conoce tu cuaderno de trabajo 5

Bloque 1 ¿Qué sabemos? 8

1. Problemas con ecuaciones cuadráticas sencillas 9

2. Construcción de figuras congruentes o semejantes 13

3. Criterios de congruencia y semejanza de triángulos 17

4. Análisis de representaciones que corresponden a una misma situación 23

5. Representación de relaciones de variación cuadrática 26

6. Escala de probabilidad 297. Diseño de una encuesta 32

Evaluación 36

Bloque 2 ¿Qué sabemos? 40

8. Ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas 41

9. Análisis de las propiedades de rotación y traslación 45

10. Diseños que combinan la simetría, la rotación y la traslación 49

11. Análisis de las áreas de los cuadrados sobre los lados de un triángulo rectángulo 53

12. Explicitación y uso del teorema de Pitágoras 56

13. Cálculo de la probabilidad 60Evaluación 64

Bloque 3 ¿Qué sabemos? 6814. Problemas que implican el

uso de ecuaciones cuadráticas 6915. Criterios de congruencia

y semejanza de triángulos 7316. Resolución de problemas

mediante el teorema de Tales 7617. Aplicación de la semejanza en la

construcción de figuras homotéticas 8018. Gráficas de funciones cuadráticas

para modelar fenómenos 8419. Gráficas formadas por secciones

rectas y curvas 8820. Probabilidad de ocurrencia de

dos eventos independientes 92Evaluación 96

Bloque 4 ¿Qué sabemos? 10021. Obtención de una expresión

para definir el enésimo término 10122. Características de los cuerpos que

se generan al girar sobre un eje 10523. Relaciones equivalentes a la

pendiente de una recta 10824. Relaciones entre los ángulos agudos

y los cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo 112

25. Razones trigonométricas seno, coseno y tangente 116

26. Razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal 119

27. Análisis de las diferencias de la “desviación media” con el “rango” 123

Evaluación 126

Bloque 5

¿Qué sabemos? 13028. Problemas con ecuaciones lineales,

cuadráticas o sistemas de ecuaciones 13129. Secciones que se obtienen al realizar

cortes a un cilindro o a un cono recto 13530. Fórmulas para calcular el volumen

de cilindros y conos 13931. Estimación y cálculo del volumen

de cilindros y conos 14332. Situaciones en las que existe

variación lineal o cuadrática 14733. Condiciones necesarias para que

un juego de azar sea justo 151Evaluación 156

Bibliografía 159

4


Conoce tu cuaderno de trabajo

BloquesMatemáticas 3. Cuaderno de trabajo está formado por cinco bloques. En la entrada de cada uno te pre-sentamos los títulos de las lecciones que lo forman.

¿Qué sabemos?Sección de introducción a los temas del bloque, consta de instrucciones y ejercicios lúdicos.

LeccionesLos bloques constan de lec-ciones, en las cuales, me-diante información breve y clara, y ejercicios constantes, aprenderás los conceptos y adquirirás habilidades para la interpretación del mun-do desde una perspectiva matemática.

Lección 1 Problemas con ecuaciones cuadráticas sencillas Lección 2 Construcción de figuras congruentes o semejantesLección 3 Criterios de congruencia y semejanza de triángulosLección 4 Análisis de representaciones que corresponden a una misma situaciónLección 5 Representación de relaciones de variación cuadráticaLección 6 Escala de probabilidad. Lección 7 Diseño de una encuesta

1BLOQUE

7

CdT MATE 3 NM p 01.indd 7 12/17/13 4:35 PM

Bloque 2 ∙ Lección 9

9LECCIÓN

Análisis de las propiedades de rotación y traslación

Ejemplo:

En la siguiente figura, al hexágono verde se le aplicó una rotación de 80° en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del punto marcado y se obtuvo como resultado el hexágono azul. Posteriormente, al hexágono en azul se le aplicó una traslación a una distancia igual a 3 veces el lado del hexágono y se obtuvo como resultado el hexágono rosa.

En geometría, una transformación consiste en crear una figura o imagen a partir de una figura original o preimagen. Si la figura re-sultante es congruente con la figura original, es decir, si conserva las medidas de los lados y de los ángulos, recibe el nombre de transfor-mación rígida o isometría.

Las isometrías básicas son la traslación, la rotación y la reflexión.

Una traslación es una iso-metría en la que cada punto de la preimagen se desplaza demanera paralela la misma distancia. Es decir, cada pun-to de la imagen equidista del punto que le corresponde en la preimagen. Esta distancia, que es la misma para todos los puntos, se llama distancia de traslación.

Una rotación es una isome-tría en la que todos los pun-tos de la imagen original ro-tan o giran un mismo ángulo en el mismo sentido alrede-dor de un punto fijo, llamado centro de rotación. El ángulo que rota cada punto se llama ángulo de rotación.

Distancia de traslación

Preimagen

imagenF

F’

G’

H’

H

EG

E’

75°

Centro de rotación

M

J

K

L

J”

M’

L’

K’

MAT3CTNMLAB2–043–006

45


¿Qué sabemos?

Bloque 2

Áreas equivalentes

1. Realiza en tu cuaderno la siguiente actividad.

Cuadrado 1 Cuadrado 2

a. Dibuja un cuadrado. Realiza una marca en un lado, pero que no quede en la mitad.

a. Dibuja un cuadrado con los cua-tro lados marcados de la misma manera que en el paso b del cua-drado 1.

b. Marca de la misma forma los cuatro lados del cuadrado.

b. Traza el cuadrado de lado c.

c. Traza las líneas que se indican. Escribe el área de cada región.

c. Escribe el área de cada región.

2. Compara ambos cuadrados finales y observa que el área del cuadrado de lado c es igual a la suma de los cuadrados con área a2 y b2.

a b a

a

a

a

b

b

b

b

a

a

a

a

b

b

b

b

a

a a

a

b

b ab

aba2

b2 b

b

ac

b

ab12

ab12

ab12ab1

2

c2

ac

b

40


¿Qué sabemos?

Bloque 4

Clinómetro

Un clinómetro es una herramienta que se utiliza para medir los ángulos de inclinación de un objeto distante. Puedes construir un clinómetro con un po-pote, un transportador, una cuerda, cinta adhesiva y un objeto que servirá como plomada.

Coloca el popote en la base del transpor-tador y pégalo con cinta adhesiva.

Haz una perforación en el centro de la base del transportador y pasa la cuerda por dicha perforación.

Coloca el objeto que servirá de plomada en el otro extremo de la cuerda.

Cuando mires a través del popote un objeto distante, la cuerda con la plo-mada formará un ángulo con la recta que pasa por el centro de la base del transportador y es perpendicular a ella.

El ángulo descrito es igual al ángulo formado por la base del transportador, que apunta al objeto distante, y la horizontal.

Si el objeto distante se encuentra por encima de la horizontal, el ángulo re-cibe el nombre de ángulo de elevación. Si el objeto distante se encuentra por debajo de la horizontal, el ángulo formado por la base del transportador y la horizontal recibe el nombre de ángulo de depresión.

La altura del árbol se calcula con la ayuda del dibujo y de la trigonometría.

Popote Cuerda

Transportador

Peso

Ángulo de elevación

Objeto distante

Horizontal

Dirección del objeto distante

Leer aquí el ángulo

Ángulo de elevación

Horizonte

Altura del árbol = Altura del observador + Altura del triángulo

Altura del observador

Altura del triángulo

100


Información básica del tema

Ejemplos resueltos

5


Conoce tu cuaderno de trabajo

TecnologíaEstas actividades, ubicadas en el margen de las páginas,

te acercarán al uso de herramientas tecnológicas para el aprendizaje de las matemáticas.

Resuelve y aprendeEn este apartado practicarás

con problemas formales, problemas en contextos

matemáticos y problemas en contextos prácticos.

EvaluaciónAl final de cada bloque comprenderás el grado de los conocimientos y habilidades que adquiriste al resolver un instrumento de evaluación elaborado con preguntas de opción múltiple, mismas que deberás contestar usando la plantilla de evaluación ubicada al final.

Ejercita tus habilidadesEn esta sección encontrarás ejercicios de aplicación y para reforzar el uso correcto de procedimientos nu-méricos y algebraicos.

Mediante los códigos QR incluidos en estos recuadros

puedes acceder a las páginas de Internet recomendadas usando

un dispositivo móvil. Toma en cuenta que en algunas ocasiones

los archivos PDF se descargan directamente al dispositivo,

y en otros casos se requieren extensiones (plug-in) para

acceder al contenido completo.


Ejercita tus habilidades

1. En la superficie terrestre, la temperatura decrece a razón de 6.4 °C por cada kilómetro de altura. Completa la tabla con base en esa información.

h (km) T

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

a. ¿Qué expresión algebraica le corresponde?

b. Describe qué significa cada variable de la expresión que escribiste.

c. ¿Cómo calcularías la temperatura a 1 345 metros de altura?

d. ¿Es una relación de proporcionalidad directa?

2. Si sabes que el diámetro de la llanta de una bicicleta mide 52 cm. Calcula la distancia que recorre la bicicleta cuando la rueda da n vueltas. Regis-tra tus resultados en la tabla y contesta las preguntas.

a. ¿Cuál es el radio de la llanta?

b. ¿Cuánto mide la circunferencia de la llanta en metros?

c. ¿Cuál es la expresión algebraica para calcular la distancia recorrida por la bicicleta?

d. ¿Cuántas vueltas habrá dado la llanta en un trayecto de 2.5 km?

e. ¿Es una relación de proporcionalidad directa?

n(vueltas)

d(distancia en

metros)

24



Resuelve y aprende

1. Una empresa de venta de enciclopedias ofrece a sus vendedores dos op-ciones de contrato: un sueldo fijo mensual de 14 000 pesos o bien, un suel-do fijo de 8 000 pesos mensuales más una comisión de 800 pesos por cada enciclopedia vendida.

¿En qué condiciones la segunda opción es mejor que la primera?

Si llamas x al número de enciclopedias vendidas y y al sueldo percibido, completa la tabla para la segunda opción y contesta las preguntas.

a. ¿A partir de qué número de enciclopedias vendidas el sueldo es superior al

de la primera opción?

b. ¿Cuántas enciclopedias se deben vender si se desea ganar 20 000 pe-

sos mensuales?

c. Un vendedor cobró 18 400 pesos. ¿Cuántas enciclopedias vendió?

d. Da una expresión algebraica para la segunda opción.

e. Realiza la gráfica para ambos casos.

x y

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

TE RETO

¿Cuál es la representación algebraica de una relación que tiene como gráfica una recta que corta al eje y en 5 y pasa por el punto (2, 13)?

25



Resuelve y aprende

1. Si se elige al azar un número comprendido entre 1 y 99, ¿cuál es la proba-bilidad de que la cifra de las unidades sea mayor que la de las decenas?

Respuesta:

2. Se forman todos los números posibles de tres cifras distintas con los dígi-tos 1, 2, 3, 4 y 5. Si se elige uno al azar, ¿qué probabilidades hay de que sea múltiplo de 3?

Respuesta:

Para el experimento anterior:

a. ¿Cuál sería un evento independiente a “ser múltiplo de 3”?

b. ¿Cuál sería un evento complementario a “ser múltiplo de 3”?

c. ¿Cuál sería un evento mutuamente excluyente a “ser múltiplo de 3”?

TE RETO

¿Qué resultado debe dar la suma de las probabilidades de todos los eventos elementales que forman el espacio muestral para un experi-mento aleatorio?

TECNOLOGÍA

Visita la páginaes.khanacademy.org/math/probability/independent-dependent-probability para obtener mayor información en eventos independientes.

31



Resuelve y aprende

1. Se quiere reproducir la siguiente figura en otra semejante cuyo lado AB mida 12. ¿Cuáles serán las dimensiones de los otros lados de la nueva figura?

AB = 12

BC =

CD =

DE =

EA =

2. Construye una figura cuyos lados midan el doble de los de la que se pro-porciona y que comparta el vértice A.

5

5

5

4

3

DE

CB

A

A

TECNOLOGÍA

En la página recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/eso/actividades/geometria/tales_y_pitagoras/london_eye/actividad.html podrás manipular una interesante actividad acerca de semejanza.

TE RETO

Realiza un cuadrado semejante al de la figura con una razón de seme-

janza igual a 12

.

16


Evaluación

Bloque 1

Elige la respuesta correcta y rellena el círculo correspondiente en la plantilla de respuestas.

1. ¿Cuál es una solución de la ecuación x 2 – 9 = 0?

a. 9 b. �3 c. �9 d. �6

2. ¿Qué ecuación modela el enunciado “el cuadrado de un número disminuido en una unidad es igual a cero”?

a. x 2�1 = 0 b. x 4 � 1 = 0 c. x 2 � 1 = 0 d. x 4 � 1 = 0

3. ¿Cuál es el valor de x si el área del rectángulo es de 81 cm2?

a. 20.5 b. 16.4 c. 4.5 d. 5

4. ¿Cuál es el valor de x si las figuras son semejantes?

a. 6.32 b. 1.58 c. 3 d. 1.5

5. Si dos triángulos son semejantes, con razón de semejanza igual a 2.5, ¿cuánto mide el menor de los lados homólogos si su correspondiente mide 17.5?

a. 15 b. 7 c. 5 d. 7.5

6. ¿Cuál es la razón de semejanza entre los triángulos?

a. 1.15 b. 1.2 c. 1.75 d. 1.4

4x

x

m = 3.16

k = 6

x

k’ = 3

3.615.05

36


6


Lección 1 Problemas con ecuaciones cuadráticas sencillas Lección 2 Construcción de figuras congruentes o semejantesLección 3 Criterios de congruencia y semejanza de triángulosLección 4 Análisis de representaciones que corresponden a una misma situaciónLección 5 Representación de relaciones de variación cuadráticaLección 6 Escala de probabilidad. Lección 7 Diseño de una encuesta

1BLOQUE

7


¿Qué sabemos?

Bloque 1

Dobleces

1. Reúnanse en equipos y reproduzcan en una hoja de papel los dobleces indicados con las líneas punteadas.

a. ¿Cuántos cuadriláteros observan?

b. ¿Cuáles son rectángulos?

c. ¿Cuáles son romboides?

d. ¿Cuáles son trapecios isósceles?

e. ¿Cuáles son trapecios rectángulos?

f. ¿Cuáles son trapezoides?

g. ¿Cuáles son rombos?

2. ¿Conoces otro cuadrilátero además de los que identificaste en la hoja de papel? En caso afirmativo, señala cuál o cuáles son.

3. Indica qué cuadriláteros de los que clasificaste aparecen en más de una categoría.

4. Indica cuáles aparecen solo en una categoría.

5. El rectángulo ABJI puede dividirse en dos triángulos congruentes, ¿cuá-

les son esos triángulos? ¿Cómo puedes garantizar

que son congruentes?

6. De los cuadriláteros anteriores, proporciona un ejemplo de un paralelo-

gramo que pueda dividirse en dos triángulos congruentes.

A

I

B

J

C

D FE G H

K

8


1LECCIÓN


Ejemplo:

Modela con una ecuación cuadrática la siguiente situación y encuentra las soluciones de la ecuación resultante: El cuadrado de un número aumentado en 8 unidades es igual a 72. ¿Cuál es el número?

Llamemos x al número buscado, entonces la ecuación que modela el enun-ciado inicial es:

x 2 � 8 = 72

Al despejar el término cuadrático queda como:

x 2 = 72 � 8 = 64

Al aplicar la operación inversa del cuadrado, queda como:

x = �

De donde concluimos que las soluciones buscadas son x1 = 8, x2 = � 8.

Observa que cada una de las raíces de 64 se considera como una solución separada.

Una ecuación lineal es una ecuación algebraica en la que el máximo exponente de la variable es igual a 1.

Un modelo es una ecuación en la que podemos reproducir ciertos va-lores conocidos para una situación o fenómeno y que permite prede-cir los valores inicialmente desconocidos.

Dos ecuaciones son equivalentes si poseen las mismas soluciones.

Una ecuación cuadrática siempre posee dos soluciones.

A las soluciones de una ecuación se les conoce también con el nombre de raíces de la ecuación.

Cuando las dos soluciones de una ecuación cuadrática son iguales, se dice que se trata de una raíz doble, o bien, de una raíz de multipli-cidad 2.

Para resolver un problema que involucra ecuaciones cuadráticas, debes leer y comprender su enunciado; a continuación identifica la incógnita y plantea la ecuación que lo modela transformando el pro-blema del lenguaje verbal al lenguaje matemático.

Problemas con ecuaciones cuadráticas sencillas

64

9




1. Modela con una ecuación cuadrática los enunciados y calcula las po-sibles soluciones.

a. La cuarta parte del cuadrado de un número es 100.

Ecuación que modela el problema:

Solución(es):

b. La suma del cuadrado de un número más 19 es igual a 100.


Solución(es):

c. El cuadrado de un número disminuido en 44 es igual a 100, ¿cuál es el número?


Solución(es):

2. Resuelve las ecuaciones de segundo grado aplicando únicamente ope-raciones inversas.

a. x 2 � 16 = 0

b. 3x 2 � 430 = 2

c. 5x 2 � 5 = 410

d. 6x 2 � 8 = 62

e. 2x 2 � 8 = 120

f. x 2 � 1 = 170

3. Calcula las dimensiones de cada figura que se presenta a continuación:

a.

b.

3x

2x

Área = 150 m2

6x

4x

Área = 96 m2

Base:

Altura:

Base:

Altura:

10



c. d .

e. f .

g.

h.

Diagonal mayor:

Diagonal menor:

Diagonal mayor:

Diagonal menor:


x

Área = 75 m2

x32

M

x

Área = 100 m2

x12

x32

MAT3CTN

d = x

D = 3x

Área = 54 m2

d = x

Área = 48 m2

D = x43

Área = 1 m2

x43

x23

5x

Área = 98 m2

x25

Base:

Altura:

Base mayor:

Base menor:

Altura:

Base mayor:

Base menor:

Altura:

Base:

Altura:

11



Resuelve y aprende

1. Resuelve los problemas.

a. Calcula la longitud de la base de un triángulo si esta mide el doble que la altura y la superficie del triángulo es igual a 25 cm2.

Respuesta:

b. Calcula las dimensiones de un rectángulo si la base mide el triple que la altura y la superficie del rectángulo es igual a 192 cm2.

Respuesta:

TECNOLOGÍA

En la página thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0453-02/ed99-0453-02.html podrás encontrar una calculadora que te permite realizar cálculos con monomios sencillos.

TE RETO

El esquema de abajo ilustra la superficie necesaria para construir una caja de cartón. Calcula las dimensiones de la base de la caja si sabes que el ancho es 2 cm menor que el largo, la altura de la caja mide 3 cm y el volumen de la caja es de 240 cm3.

Base:

3 cm

3 cm

12



2LECCIÓN

Construcción de figuras congruentes o semejantes

Ejemplo:

De una ampliación de una fotografía con las dimensiones de la figura 1 se obtuvo una fotografía con las dimensiones en la figura 2.

1. Si las dos fotografías son semejantes, ¿cuál es la razón de semejanza?

Tomamos los lados homólogos cuyo valor conocemos: a y a’. La razón de

semejanza es igual a la razón a’a

que es igual a 156

= 52

= 2.5. Quiere decir

que la fotografía original se amplió 2.5 veces.

Dos polígonos son congruentes si todos sus ángulos y todos sus lados son iguales.

Dos polígonos son semejantes si todos los ángulos correspondientes son iguales y sus lados son proporcionales.

A los ángulos correspondientes entre figuras congruentes o semejan-tes se les denomina ángulos homólogos.

A los lados correspondientes entre figuras congruentes o semejantes se les denomina lados homólogos. La razón de semejanza entre dos polígonos semejantes es la razón de dos lados homólogos cualesquiera.

Figura 1

Figura 2

90° 90°

90° 90°

90° 90°

90° 90°

a = 6

a’ = 15

b = 8

c

c’

d b’d’

A B

D C

A’ B’

D’ C’

13



2. ¿Cuál debe ser el valor de b’ ?

Por tratarse de figuras semejantes, el valor de b’ debe cumplir con b’b

=

2.5. Sustituyendo el valor de b = 8, debe cumplirse que: b’8

= 2.5, es decir,

b’ = 2.5 (8) = 20.


1. Construye un polígono semejante al que se muestra con una razón de semejanza igual a 1.5 para cada caso.

A

H

G

K

J

I

M

N Ñ

O

L

B

C D

EF

14



MAT3CT

e = 4.59 f = 4.98

h = 8.94

j = 5.66

MAT3C

l = 7.21

x

5–034 l’ = 11.54

o’ = 12.8

–032

h’ = 4.47

x

30

e’ = 5.51 x

2. Calcula el valor de x si sabes que los polígonos son semejantes.

a.

x =

x =

x =

b.

c.

15



Resuelve y aprende

1. Se quiere reproducir la siguiente figura en otra semejante cuyo lado AB mida 12. ¿Cuáles serán las dimensiones de los otros lados de la nueva figura?

AB = 12

BC =

CD =

DE =

EA =

2. Construye una figura cuyos lados midan el doble de los de la que se pro-porciona y que comparta el vértice A.

5

5

5

4

3

DE

CB

A

A

TECNOLOGÍA

En la página recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/eso/actividades/geometria/tales_y_pitagoras/london_eye/actividad.html podrás manipular una interesante actividad acerca de semejanza.

TE RETO

Realiza un cuadrado semejante al de la figura con una razón de seme-

janza igual a 12

.

16



3LECCIÓN

Criterios de congruencia y semejanza de triángulos

Ejemplo:

Los triángulos ∆ABC y ∆BDE de la siguiente figura son isósce-les y los ángulos ABD y EBC son iguales. Demostrar que los triángulos ∆ABD y ∆EBC son congruentes.

Observa en la figura que AB = BC por ser los lados iguales del triángulo isós-celes ∆ABC. De manera similar BD = BE por ser los lados iguales del triángulo isósceles ∆BDE. Finalmente el ángulo entre ellos es igual por hipótesis. Por lo tanto, podemos concluir que los triángulos ∆ABD y ∆EBC son congruentes por el criterio LAL.

Dos triángulos son congruentes si sus tres lados y sus tres ángulos respectivos son iguales.

Para comprobar si dos triángulos son congruentes no es necesario comprobar la igualdad de los seis elementos directamente, es sufi-ciente comprobar la igualdad de algunos de ellos de acuerdo con los siguientes criterios:

LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respecti-vamente iguales.

LAL: Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente igual.

ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen un lado y los ángulos adyacentes a ese lado respectivamente iguales.

Estas últimas condiciones son conocidas como criterios de con-gruencia.

En los paralelogramos se cumplen las siguientes propiedades:

1. La suma de los ángulos interiores es igual a 360°.2. Los lados y los ángulos opuestos son iguales.3. Las diagonales de un paralelogramo se intersecan en el punto medio.

A D E C

B

A D E C

B

17




1. En el siguiente esquema AB �� CD y AB = CD. Da un argumento que de-muestre que ∆ABO = ∆CDO.

2. En el siguiente esquema ∆ABD y ∆BCD son isósceles. Demuestra que ∆ABC = ΔADC.

3. En la siguiente figura BC = AD y DAC = BCA Demuestra que:

a. ∆ABC = ∆ADC

b. ABC = ADC

a.

b.

A B

O

DC

MAT3CTNMLAB1 018 042

A

B

D

C


A

B

D

C

18



4. En la siguiente figura FDE = DEF, EC �� DA y F es el punto medio de AC. Demuestra que ∆ABC es isósceles.

5. En el siguiente esquema AB �� DC y O es el punto medio de BD. Demuestra que ∆OAB = ∆OCD.

6. En el siguiente esquema los triángulos ∆ABC = ∆ADC son isósceles y com-parten la base AC. Demuestra que:

a. ∆EBC = ∆ABF

b. ECB = BAF

a.

b.

A F

D E

C

B

MAT3CTNMLAB1–019

A C

D

E F

B

A

O

CD

B

19



7. En la siguiente figura AB || CD. Demuestra que ∆ABO ~ ∆ODC.

8. En las siguientes figuras se han señalado con el mismo color y con la mis-ma marca los ángulos iguales. Determina qué pareja de triángulos son semejantes y justifica tu afirmación con uno de los criterios de semejanza.

a.

Similar a la congruencia, existen criterios de semejanza para trián-gulos y estos son:

AA. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectiva-mente iguales. LAL. Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectiva-mente proporcionales y el ángulo comprendido entre tales lados es igual.

LLL. Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respecti-vamente proporcionales.

Recuerda que el símbolo para la semejanza es ~. La expresión ∆ABC ~ ∆DEF se lee “el triángulo ABC es semejante al triángulo DEF”.

MAT3CT

A

O

C D

B

MAT3CT

E

C F D

20



b.

9. En la siguiente figura el triángulo ∆ABC es equilátero. Demuestra que ∆ADE ~ ∆DCF.

10. En la figura de la derecha, el cuadrado ABCD mide 10 cm de lado.

a. Demuestra que ∆FEG ~ ∆AEB.

b. En la semejanza anterior, ¿cuál es el lado homólogo a EB?

c. Calcula la razón de semejanza si FG = 5 cm.

A D

C

B

MAT3CTNML

A

D F C

B

E

G

MAT3CTNMLAB1–

A

D

F

C

BE

21



Resuelve y aprende

1. En la figura ∆EDF es un triángulo isósceles. ADBC es un cuadrado y EA = CF. Demuestra que EDA = FDC.

2. Encuentra todas los triángulos semejantes si ∆ABC es isósceles y AE es la bisectriz de CAB, BD es la bisectriz de EBA, EF es la bisectriz de DEB y DG es la bisectriz de FDE.


A

D

F

G

C

B

E

MAT3CTNMLA

A

D

F

C

B

E

TE RETO

Explica por qué los siguientes triángulos no pueden ser congruentes.

9

9

16

12

12

x

22



4LECCIÓNAnálisis de representaciones que corresponden

a una misma situación

Ejemplo:

Considera la función y = 3x para el siguiente triángulo equilátero.

a. ¿Qué representa la función? El perímetro del triángulo.

b. ¿Cuál es la representación tabular de dicha función?

x 1 2 3 4 5 6

Perímetro 3 6 9 12 15 18

c. ¿Cuál es su representación gráfica?

d. ¿Se trata de una relación de proporcionalidad? Sí, es una relación de proporcionalidad directa, con constante de proporcionalidad k = 3.

El modelo de una situación problemática puede representarse de manera tabular, gráfica o algebraica. Tales representaciones equiva-len de tal manera que de una de ellas puede pasarse a cualquiera de las otras dos.

181716151413121110

987654321

–1–2–3

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x x

x

23




1. En la superficie terrestre, la temperatura decrece a razón de 6.4 °C por cada kilómetro de altura. Completa la tabla con base en esa información.

h (km) T

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

a. ¿Qué expresión algebraica le corresponde?

b. Describe qué significa cada variable de la expresión que escribiste.

c. ¿Cómo calcularías la temperatura a 1 345 metros de altura?

d. ¿Es una relación de proporcionalidad directa?

2. Si sabes que el diámetro de la llanta de una bicicleta mide 52 cm. Calcula la distancia que recorre la bicicleta cuando la rueda da n vueltas. Regis-tra tus resultados en la tabla y contesta las preguntas.

a. ¿Cuál es el radio de la llanta?

b. ¿Cuánto mide la circunferencia de la llanta en metros?

c. ¿Cuál es la expresión algebraica para calcular la distancia recorrida por la bicicleta?

d. ¿Cuántas vueltas habrá dado la llanta en un trayecto de 2.5 km?

e. ¿Es una relación de proporcionalidad directa?

n(vueltas)

d(distancia en

metros)

24



Resuelve y aprende

1. Una empresa de venta de enciclopedias ofrece a sus vendedores dos op-ciones de contrato: un sueldo fijo mensual de 14 000 pesos o bien, un suel-do fijo de 8 000 pesos mensuales más una comisión de 800 pesos por cada enciclopedia vendida.

¿En qué condiciones la segunda opción es mejor que la primera?

Si llamas x al número de enciclopedias vendidas y y al sueldo percibido, completa la tabla para la segunda opción y contesta las preguntas.

a. ¿A partir de qué número de enciclopedias vendidas el sueldo es superior al

de la primera opción?

b. ¿Cuántas enciclopedias se deben vender si se desea ganar 20 000 pe-

sos mensuales?

c. Un vendedor cobró 18 400 pesos. ¿Cuántas enciclopedias vendió?

d. Da una expresión algebraica para la segunda opción.

e. Realiza la gráfica para ambos casos.

x y

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

TE RETO

¿Cuál es la representación algebraica de una relación que tiene como gráfica una recta que corta al eje y en 5 y pasa por el punto (2, 13)?

25


5LECCIÓN

Representación de relaciones de variación cuadrática

Ejemplo:

Calcula la expresión del área cuando se aumenta o disminuye el lado del cuadrado x unidades. Si se sabe que al aumentar en 5 cm el lado de un cua-drado, su superficie aumenta en 125 cm2.

Realizamos primero el esquema (figura).

A partir de los datos del problema pode-mos plantear la ecuación.

Superficie = (L � x )2

Para averiguar el valor de L utilizamos el dato cuando x = 5.

(L � 5)2 = L2 � 125

De donde L2 � 10L � 25 = L2 � 125

Por lo que 10L = 100.

Es decir, L = 10.

Y la ecuación de la superficie queda como:

Superficie = (10 � x )2

Tabulamos algunos valores.

x 0 1 2 3 4 5

Superficie 100 121 144 169 196 225

Como cualquier función, una ecuación cuadrática puede tener una representación algebraica y una representación tabular.

Si ya se conoce la representación algebraica, basta con dar valores a la variable independiente para obtener los valores de la variable de-pendiente y así obtener la representación tabular.

Si lo que se conoce es la representación tabular, entonces se necesita analizar los datos en busca de un patrón para deducir la expresión algebraica.

5 cm

5 cmL

Bloque 1 ∙ Lección 5 26




1. Plantea una ecuación algebraica que modele cada problema y completa la tabla con los datos adecuados.

a. Calcula la longitud de la base de un triángulo si la base mide tres centímetros menos que la altura y la superficie del triángulo es igual a 35 cm2.

Expresión algebraica para el área:

x

Área

b. Calcula las dimensiones de un rectángulo si la base mide cinco centí-metros más que la altura y la superficie del rectángulo es igual a 66 cm2.

Expresión algebraica para la superficie:

x

Superficie

c. Al aumentar dos centímetros el lado de un cuadrado, el área aumentó 24 cm2. Calcula el lado del cuadrado.

Expresión algebraica para el área:

x

Área

TECNOLOGÍA

Con el uso del graficador en línea en la páginawww.fooplot.com puedes graficar tus ecuaciones.

27



Resuelve y aprende

1. En un torneo de ajedrez cada participante juega contra cada uno de los demás. Si en total se juegan 45 partidas, ¿cuántos jugadores partici-paron en el torneo?

Respuesta:

2. El piso de un salón de baile tiene 1 500 mosaicos cuadrados. Si el lado de cada mosaico fuera 5 cm mayor, bastarían 960 mosaicos para recubrir el piso. ¿Cuáles son las dimensiones de los mosaicos?

Respuesta:

3. Ernesto y su padre conducen desde su casa hasta una ciudad situada a 490 km de distancia. Parten al mismo tiempo y la rapidez a la que con-

duce Ernesto es 3 kmh

mayor que la de su padre. Si Ernesto llega una hora

antes que su padre, ¿a qué velocidad conduce cada uno?

Respuesta:

TE RETO

Un jardín en forma rectangular tiene 2 700 m2 de superficie y 210 m de perímetro. ¿Cuáles son las dimensiones del jardín?

28



6LECCIÓN

Escala de probabilidad

Ejemplo:

Se realiza el experimento aleatorio “lanzar una moneda y un dado”.

a. ¿Cuál es el espacio muestral?

Los posibles resultados son:

S y 1, S y 2, S y 3, S y 4, S y 5, S y 6

A y 1, A y 2, A y 3, A y 4, A y 5, A y 6

b. ¿Qué evento representa el primer renglón?

El evento “cae un sol”.

c. ¿Qué evento representa el segundo renglón?

El evento “cae un águila”.

d. ¿Son mutuamente excluyentes?

Sí, ya que no pueden ocurrir simultáneamente.

La medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento o su-ceso A cuando se realiza un experimento aleatorio se llama probabi-lidad del evento o suceso A y se representa con P(A).

La probabilidad es una medida sobre la escala de 0 a 1 de tal forma que:

a. Al evento o suceso imposible le corresponde el valor cero.b. Al evento o suceso seguro le corresponde el valor 1.

Al conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento se le llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio.

Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral.

Dos eventos son mutuamente ex cluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo.

Dos eventos son complementarios si son excluyentes y su unión es todo el espacio muestral.

Dos eventos son independientes si el resultado de uno no afecta la probabilidad del otro.

29




1. Un paquete contiene 15 dulces de naranja y 10 dulces de limón. Si se elige un dulce al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el dulce sea de naranja? ¿Y de que sea de limón?

Respuesta:

2. Se utiliza una calculadora para generar parejas de números aleatorios entre el 1 y el 9. ¿Cuántas parejas de números se pueden formar de esta manera?

Respuesta:

3. La siguiente línea muestra la probabilidad de los eventos A, B, C, D, E y F.

a. ¿Para cuál de ellos hay certeza de que ocurrirá?

b. ¿Cuál de ellos es imposible?

c. ¿Cuál de ellos es menos probable que ocurra (pero no imposible)?

d. ¿Cuántos eventos hay menos probables que C?

4. El espacio muestral de un experimento aleatorio consta de solo tres sucesos elementales. Si la probabilidad de los dos primeros es 0.2 y 0.5, ¿cuál es la probabilidad del tercer suceso?

Respuesta:

A B C D E F

0 0.5 1

30



Resuelve y aprende

1. Si se elige al azar un número comprendido entre 1 y 99, ¿cuál es la proba-bilidad de que la cifra de las unidades sea mayor que la de las decenas?

Respuesta:

2. Se forman todos los números posibles de tres cifras distintas con los dígi-tos 1, 2, 3, 4 y 5. Si se elige uno al azar, ¿qué probabilidades hay de que sea múltiplo de 3?

Respuesta:

Para el experimento anterior:

a. ¿Cuál sería un evento independiente a “ser múltiplo de 3”?

b. ¿Cuál sería un evento complementario a “ser múltiplo de 3”?

c. ¿Cuál sería un evento mutuamente excluyente a “ser múltiplo de 3”?

TE RETO

¿Qué resultado debe dar la suma de las probabilidades de todos los eventos elementales que forman el espacio muestral para un experi-mento aleatorio?

TECNOLOGÍA

Visita la páginaes.khanacademy.org/math/probability/independent-dependent-probability para obtener mayor información en eventos independientes.

31


7LECCIÓN

Diseño de una encuesta


Desarrollen cada fase del siguiente proyecto.

Fase 1. Definición del objeto de estudio.

a. Formen equipos de cinco o seis integrantes.

b. En equipo discutan cuál de los siguientes temas les gustaría investigar:

Tema 1. ¿Cuántas horas al día pasa un adolescente conectado a Internet?Tema 2. ¿Cuántos compañeros y con qué frecuencia usan el transporte

público?Tema 3. ¿Cuántos exalumnos de mi escuela han suspendido sus estudios?

También pueden plantear otro tema de su interés.

Nota: La elección de la población puede modificar la pregunta inicial, por ejemplo, si en el tema 3 decides considerar solo a los exalumnos de tu generación, la pregunta quedaría: ¿Cuántos exalumnos de mi escuela y de mi generación han suspendido sus estudios?

c. Definan el alcance del estudio, es decir, discutan cuál será la población ob-jetivo. ¿Están en condiciones de aplicar el estudio a toda la población? ¿Es mejor considerar solo una muestra? ¿Qué tamaño debe tener la muestra?

d. Una vez que han determinado el alcance del estudio, diseñen una en-cuesta que les permita recolectar la información. Incluyan los datos de edad y sexo en su cuestionario. Si el problema lo requiere, pueden utilizar un instrumento distinto a la encuesta.

e. Identifiquen las variables que intervienen en su cuestionario.

La estadística es una rama de las matemáticas aplicadas enfocada a recabar y analizar datos numéricos. Los análisis estadísticos se apli-can en la ciencia, en las políticas públicas, la medicina, los deportes, etcétera.

En los estudios estadísticos que realices, es importante que plantees una hipótesis o conjetura acerca del resultado que esperas obtener. Esto te guiará para elegir los instrumentos pertinentes y la metodo-logía en general.

En el diseño de un estudio estadístico, se deben tomar ciertas decisio-nes para definir los estadísticos, las gráficas y, en general, los instru-mentos que mejor se adaptan a la situación particular.

Bloque 1 ∙ Lección 7 32


3 Cuaderno de trabajo · Matemáticas

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