3 Derivada y Diferencial

8/17/2019 3 Derivada y Diferencial

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DERIVADA DE UN FUNCIÓNVECTORIAL

n I ℜ→ℜ⊆:r

CAPÍTULO ICÁLCULO VECTORIAL

SESIÓN 3 Definición

h

t ht t

h

)()(lim)( 00

00

r r r

−+=′→

2Rosa Ñique Alvarez

n R R I →⊆:r

cuando éste límite existe. En tal caso la función r es

diferenciable e t 0. Si r es diferenciable en todos lo puntos

t 0 de I , decimos que es diferenciable en I.

Sea una función vectorial definido en

el intervalo abierto I de R. Sea t 0 en I . Se define la

derivada de r en t 0, como el límite

Notación

[ ])()( t Dt d

d t t r

r r ==′


n I ℜ→ℜ⊆:r

r ( t

+ h )

r


0),()( >−+ ht ht r r

h es un valor pequeño y positivoh

t ht t

h

)()(lim)(

0

r r r

−+=′→

r ( t

+ h )

r

[ ])()(1

t ht h

r r −+


h es un valor pequeño ypositivoh

t ht t

h

)()(lim)(

0

r r r

−+=′→

h

t ht )()( r r −+

INTERPRETACIÓNGEOMÉTRICA

)(t r ′r


h

t ht t

h

)()(lim)(

0

r r r

−+=′

→

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2

( ))(,),(),()( 21 t xt xt xt n′′′= Lr '

( ) nn t xt xt xt ℜ∈= )(,),(),()(Si 21 Lr


es una función vectorial entonces:

Si la derivada de cada xi (t ) existe

TEOREMA Propiedades

ℜ→ℜ⊆ J :ϕ


[ ] )()()()(.1 t t t t Dt u' r ' u r ±=±

[ ] )()()()()()(.2 t t t t t t Dt r ' r r ϕϕϕ +′=

[ ] )()()()()()(.3 t t t t t t Dt u ' r u r ' u r ⋅+⋅=⋅

n I , ℜ→ℜ⊆:u r

Propiedades

Rosa Ñique Alvarez 9

ℜ→ℜ⊆ J :ϕ

[ ] )())(())((.5 t t t Dt

ϕϕϕ ′= r ' r

[ ] 3en;)()()()()()(.4 ℜ×+×=× t t t t t t Dt u' r u r ' u r

0)(;)(

)()()(.6 ≠

⋅= t

t

t t t Dt r

r

r' r r

n I , ℜ→ℜ⊆:u r

EJEMPLO 1

Considerando

Calcule

( ) [ ]π∈= 2,0;cos4,4,cos4)( t t sent t t r

)()( )

)( )

)()

t t c

t b

t a

r r

r

r

′′′′′′

x


Solución


( ) sent t sent t 4,cos4,4)( −−=r '


( )t sent t t cos4,4,cos4)( −−−=r ' '

Solución


t sent t

sent t sent t t

cos44cos4

4cos44)()(

−−−−−=

k j i

' r ' r ' x

( ) ( )1,0,11616,0,16)()( −=−=t t ' r ' r ' x

( ) [ ]π2,0;cos4,4,cos4)(: ∈= t t sent t t C r




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Solución: interpretación geométrica


[ ]

=∈=

=

t z

t sent y

t x

C

cos4

2,04

cos4

: π

( ) [ ]π2,0;cos4,4,cos4)(: ∈= t t sent t t C r

Solución


[ ]

=∈=

=

t z t sent y

t x

C cos4

2,04

cos4

: π

Plano

Cilindro16: 221

x z:S

y xS

2 =

=+

La curva C resulta de la intersección delCilindro y Plano.


-10-5

05

-4-2

02

4-4

-2

0

2

4

6

8

X

CURVA PLANA

Y

Z

[ ]

=∈=

=

t z

t sent y

t x

C

cos4

2,04

cos4

: π( )1,0,116)()( −=t t ' r' r' x

CurvaPlana1

EJEMPLO 2

Determine la derivada de la función vectorial

( )

)2/(Calcule

,,cos)( 222

πr '

r t t t et senet et =


Solución


( )t t t et senet et 222 ,,cos)( =r

( )2,cos2,cos2)( 2 t sent sent t et t +−=r '

Solución


( )2,cos2,cos2)( 2 t sent sent t et t +−=r '

( )2,2,12

−=

ππ er '




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Curva Regular o Suave en [a , b ]

( ) 3321

)(,)(),()(: ℜ∈= t xt xt xt C r

[ ] y,encontinuas,, 321 ba x x x ′′′

[ ]bat t ,todo para0)( ∈≠r'

es regular o suave en [a, b] si


La

Ejemplo 3

( ) ( ) ( ) ℜ∈−+++−= t t t t t t C ;4321)(: 22

k j i r


Ejemplo 4

k j i r 3)cos()(cos)( +−++= t t t sent sent t t


EJEMPLO 5: CURVA NO REGULAR

+=

≤≤−=

−=

1

22

2

:

4

3

2

t z

t t y

t x

C


CURVA NO REGULAR

-2 -10 1

2 34 5

6 7

-40

-20

0

20

400

10

20

30

40

50

60

70

80

90

X

CURVA NO REGULAR EN ( - 2, 0, 1 )

Y

Z

cuspide


EJEMPLO 6: C = C 1 U C 2

[ ]

−=

−∈−=

=

22

2,24:

2

21

t z

t t y

t x

C

[ ]

[ ]

=π+∈−=

−−+=

0

2,2)2(

)2cos()2cos(1

:2

z

t t sen y

t t x

C





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5

-2.5-2

-1.5-1

-0.50

0.51

1.52

2.5

-1

0

1

2

3

4

5

0

1

2

x

CURVA NO SUAVE EN (2,0,0)

y

zCUSPIDE

CURVA NO REGULAR

25Rosa Ñique Alvarez Rosa Ñique Alvarez 26

Aplicaciones

• Velocidad

)()( t t r ′=

)()( t t v r ′=


• Rapidez

( ) nn t xt xt xt ℜ∈= )(,),(),()(Si 21 Lr

EJEMPLO 7

Considerando

Calcule


(t)Rapidez b)

)(Velocidada)

v

t


Solución


( ) sent t sent t t 4,cos4,4)()( −−== r '

( ) [ ]π∈= 2,0;cos4,4,cos4)( t t sent t t

VELOCIDAD

Solución


( ) sent t sent t t 4,cos4,4)()( −−== r '

( ) t sent sent t v 22 14116)()( +=+== r '

RAPIDEZ




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INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN

VECTORIAL[ ]

)(

,:

t t

ba n

r

r

→ℜ→ℜ⊆

( ))(,........,)(),()(21

t xt xt xt n

=r

)()( t ht r r r −+=∆


Interpretación para n = 3

) ( h t +r

)(t r r ∆

r


)()( t ht r r r −+=∆

Incremento

Aproximación de la derivada para hmuy pequeño

ht ht t )()()( r r r ' −+≈


h es el incremento en t y se denota por: t = dt

)()( t ht r r r −+=∆

h

t ht t

h

)()(lim)(

0

r r r

−+=′

→

0)()(

)()(

)()()(

≈−∆

∆≈−+≈

t ht

t t h

t ht t h

r ' r

r r '

r r r '


h

t ht t

)()()(

r r r '

−+≈

),()()(!

)()(),(

ht t ht

t ht ht

ϕ

ϕ

+=

−∆=

r ' r

r ' r

0)()( ≈−∆ t ht r ' r


[ ]

0),(lim

),(lim)()(

lim)()(lim

0h

000

=

+−+

=−+

→

→→→

ht

ht h

t ht ht ht

hhh

ϕ

ϕr r

r r


)( ht,t ht ϕ+= )()(! r ' r

)()( t ht r r r −+=∆




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7

Aproximación del incremento

)()( t ht r ' r ≈∆


)()()(! ht,t ht ϕ+= r ' r

0),(lim0h

=→

ht ϕ

Diferencial

321

876

)()(

)(

)()(

t d t del diferencia

t deincremento

t ht

r r

r

r ' r ≈∆


)()()(! ht,t ht ϕ+= r ' r

Definición de Diferencial

haciendo h = d t

)()( t ht d r ' r =

( ) dt t xt xt xt d n

)(),(),()(21 ′′′= Lr


d r (t ) es un vector paralelo al vector r´ (t )


APROXIMACIÓN DEL INCREMENTO

)()(! t d t r r ≈

)()( t ht r ' r ≈∆


h)(t,(t)d(t)! ϕ+= r r

(t)d-(t)!h)(t, r r =ϕ

INTERPRETACIÓN

)()()(! ht,t ht ϕ+= r ' r

INTERPRETACION

) ,(

h t ϕ

r d

) ( h t +r

) ( t r

r ∆


(t)d-(t)!h)(t, r r =ϕ

)()( t ht d r ' r =




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20/03/2015

8

Ejemplo:

( ) ( ) ( ) ℜ∈−+++−= t t t t t t ;4321)( 22 k j i r

(0) b)

(0))

r

r

∆d a

y para t = 0 , h= t = 0.1. Calcular:

Dada la siguiente función


Solución

( )

( )39.0;2.0;01.0(0)t)(0(0) b)

0.4-0.2;0;td(0)(0))

0.1t

−=−∆+=∆

=′=

=∆=

r r r

r r d a

t d


( ) ( ) ( ) ℜ∈−+++−= t t t t t t ;4321)( 22 k j i r

Propiedades del diferencial:

( ) u r u r d d d ±=±.1

( ) u r u r u r ⋅+⋅=⋅ d d d .2

( ) u r u r u r xxx d d d +=.3


solo en R3

Propiedades del diferencial:

( ) u u u )(.4 ϕϕϕ d d d +=

ϕϕϕ d d d )()(.5 r r =


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