MATEMÁTICAS I NÚMEROS 1. Números reales (Repaso) Números racionales. Números irracionales. Aproximaciones decimales de un número irracional. Operaciones con números reales. La recta real. El orden en los números reales. Desigualdades. Valor absoluto de un número real. Intervalos y semirrectas de la recta real. Radicales. Notación científica. Aproximación y errores. Logaritmos decimales y neperianos. Ecuaciones logarítmicas y exponenciales. Planteamiento y resolución de problemas de la vida cotidiana mediante ecuaciones e inecuaciones. Interpretación gráfica. Resolución de ecuaciones no algebraicas sencillas. Método de Gauss para la resolución e interpretación de sistemas de ecuaciones lineales.

GEOMETRÍA 2. Trigonometría Medida de un ángulo en radianes. Razones trigonométricas. Ampliación del concepto de ángulo: ángulos mayores de 360o y ángulos negativos. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Reducción de las razones trigonométricas a las del primer cuadrante. Razones de la suma y diferencia de ángulos, razones del ángulo doble y mitad. Teoremas del seno y coseno. Resolución de ecuaciones trigonométricas sencillas. Resolución de triángulos. Resolución de problemas geométricos diversos.

3. Vectores Operaciones algebraicas con vectores, base, coordenadas. Producto escalar. Propiedades. El plano métrico: Distancia entre dos puntos, módulo de un vector. Ortogonalidad. Bases ortogonales y ortonormales. Expresión trigonométrica del producto escalar.

4. Geometría Analítica: problemas afines y métricos Sistema de referencia en el plano afín euclídeo. Ecuaciones de la recta: punto pendiente, paramétrica, general. Distancia entre puntos y de un punto a una recta. Posiciones relativas de dos rectas. Ángulo de dos rectas. Problemas afines y métricos.

5. Cónicas La circunferencia. Ecuación, Tangente en punto. La elipse: Definición métrica, focos. Ecuación reducida. Área de la elipse. La parábola: Definición métrica. Ecuación reducida. La hipérbola: Definición métrica, focos. Ecuación reducida de la hipérbola.

6. Números Complejos Introducción algebraica del número complejo. Operaciones. Plano complejo. Coordenadas polares. Forma trigonométrica de un número complejo. Fórmula de Moivre.

ANÁLISIS 7. Sucesiones de números reales. Límites de sucesiones Sucesión de números reales. Término general. Sucesiones monótonas crecientes y decrecientes. Sucesiones acotadas. Operaciones con sucesiones. Progresión aritmética. Término general de una progresión aritmética. Concepto de infinito. Progresión geométrica. Término general de una progresión geométrica. Suma de los términos consecutivos de una progresión geométrica. Suma de los infinitos términos de una

progresión geométrica de 1r < . Sucesiones convergentes. Límite de una sucesión

convergente. Sucesiones divergentes que tienden a +¥ o a -¥. Operaciones con +¥

y -¥. Operaciones con límites de sucesiones. Expresiones indeterminadas. Convergencia de una sucesión monótona creciente y acotada superiormente. El número e. Fórmula para calcular límites de sucesiones de la forma Cn

nb y en los que aparece la indeterminación 1¥.

8. Funciones elementales: polinómicas, racionales, potencial, exponencial, logarítmica y trigonométricas Concepto de Función. Elementos de una función. Funciones polinómicas: afín, cuadrática, cúbica, funciones racionales, función potencial, funciones definidas a trozos. Operaciones y composición de funciones. Función inversa. Funciones de oferta y demanda. Definición de función exponencial. Función inversa de la función exponencial: función logarítmica. Propiedades de las funciones exponencial y logarítmica. Definición de las funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente y cotangente. Características de las funciones trigonométricas. Representación gráfica de funciones. Identificación y caracterización de una ley de crecimiento exponencial. Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas sencillas, relacionadas con fenómenos de crecimiento y de decrecimiento exponencial o logarítmico en actividades relacionadas con las ciencias experimentales, sociales o con aspectos de la vida cotidiana. Representación gráfica de funciones trigonométricas sencillas. Reconocimiento de funciones periódicas y obtención de su periodo.

9. Límites y continuidad Estudio de las funciones elementales, sus propiedades y sus gráficas. Definición de límite de una función en un punto o en ±∞ . Cálculo de límites de funciones. Asíntotas de una función. Funciones continuas. Puntos de discontinuidad de las funciones elementales o las definidas a trozos a partir de ellas. Ramas infinitas de las funciones racionales, exponenciales, logarítmicas, y trigonométricas.

10. Cálculo diferencial Tasa de variación media e instantánea. Derivada de una función en un punto. Aproximación lineal de una función. Diferencial de una función. Pendiente de la recta tangente a una función en un punto. Recta tangente y recta normal. Función derivada. Derivada de las funciones elementales. Derivada de la suma, producto, y cociente de dos funciones. Regla de la cadena. Determinación de la variación de una función por el signo de su derivada. Máximos y mínimos. Determinación de la concavidad de una función por el signo de la segunda derivada. Puntos de inflexión. Representación de funciones conocidos sus puntos singulares. Representación gráfica de funciones polinómicas y racionales sencillas ESTADÍSTICA 11. Distribuciones bidimensionales. Regresión lineal Estadística descriptiva bidimensional: Tablas de contingencia. Distribución conjunta y distribuciones marginales. Medias y desviaciones típicas marginales. Distribuciones condicionadas. Independencia de variables estadísticas. Estudio de la dependencia de dos variables estadísticas. Representación gráfica: Nube de puntos. Dependencia lineal de dos variables estadísticas. Covarianza y correlación: cálculo e interpretación del coeficiente de correlación lineal. Regresión lineal. El método de los mínimos cuadrados: ajuste de una recta a una nube de puntos, grado de ajuste. Estimación. Predicciones estadísticas y fiabilidad de las mismas.

CONOCIMIENTOS MÍNIMOS

MATEMÁTICAS I. Bachillerato de Ciencias.

CONTENIDOS DESTREZAS

Aritmética y Álgebra

Operaciones con potencias de exponente racional. Reglas para operar con potencias y radicales.

Manipulación de potencias y radicales. Se incluye la racionalización

El logaritmo como operación inversa de la exponencial

logyaa x y x= ⇔ =

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Logaritmo es sinónimo de exponente. Uso de las propiedades: log( ) log( ) log( )x y x y⋅ = + log( / ) log( ) log( )x y x y= − log( ) log( )nx n x= ⋅ Planteo y resolución de problemas de aplicación.

Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales con dos o tres incógnitas

Noción de solución. Planteo y resolución de problemas de aplicación expresados oralmente. Interpretación geométrica y análisis de la solución.

Método de Gauss. Inecuación. Inecuación de primer grado con una incógnita. Inecuación de segundo grado con una incógnita. Sistemas de inecuaciones con una y dos incógnitas

Geometría

Componentes de un vector. Distancia entre dos puntos. Módulo de un vector. Producto escalar. Vectores ortogonales.

Ecuaciones de la recta. Paralelismo. Perpendicularidad. Ángulo de dos rectas. Distancia de un punto a una recta. Cónicas centradas: la circunferencia, la elipse, la hipérbola.

Se requiere un manejo con soltura de estos conceptos y sus aplicaciones Uso de las distintas formas de la ecuación de la recta y sus aplicaciones Ecuaciones reducidas:

± =2 2

2 2 1 x xa b

Elementos

característicos: semiejes, centro, focos. Asíntotas de la hipérbola.

La Parábola

Ecuaciones reducidas: = =2 22 ; 2x py y px . Foco.

Directriz. Trigonometría

Razones trigonométricas y reducción al primer cuadrante. Fórmula fundamental.

Razones del ángulo suma y diferencia.

Teoremas del seno y coseno.

Incluidos los ángulos doble, mitad, y fórmulas de transformación de sumas en productos.

Manejo para la resolución de triángulos.

Complejos

Operaciones con números complejos

Suma, producto, cociente. Potencia y raíces de un número complejo.

Plano complejo.

Funciones

Funciones elementales. Límites. Continuidad.

Coordenadas polares. Forma trigonométrica de un número complejo

Gráficas, propiedades, Cálculo de límites y asíntotas. Discontinuidades. Representación de funciones definidas a trozos a partir de las elementales.

Cálculo diferencial

Derivada de una función en un punto.

Derivación de sumas, productos, cocientes, potencias de funciones elementales, incluyendo la regla de la cadena para la derivada de la composición

Pendiente de la recta tangente. Ecuación de la recta tangente.

= ⋅ dydz dzdx dy dx

Crecimiento y decrecimiento de una función. Máximos y Mínimos.

Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.

Representación de Funciones

Problemas de optimización

Determinación de la variación y forma local de una función por medio del signo de la primera y segunda derivada

Estudio de la gráfica de una función racional y de las funciones elementales conocidos sus puntos singulares.

Aplicaciones

Estadística

Ajuste de una recta a una nube de puntos.

Cálculo e interpretación geométrica de los estadísticos en el modelo de regresión lineal.

Uso de las rutinas estadísticas y de la calculadora, para la estimación de los estadísticos de variable bidimensional. Control de los errores de cálculo.

Cálculo de la recta de regresión. Coeficiente de correlación r Estimación de valores y su fiabilidad ( 2r )

Vectores

Hallar «a» para que el vector u(3a, 4a) tenga de módulo 101

Hallar el producto escalar de los vectores u y v tales que:a. |u| = 2; |v| = 3 y α = 30°b. |u| = 1; |v| = 1 y α = 60°c. |u| = 0; |v| = 3 y α = 120°d. |u| = 5; |v| = 3 y α = 90°e. |u| = 2; |v| = 3 y α = 150°

2

Hallar el producto escalar de los vectores:a) a (1, 2) y b (–3, 4)b) a (1, 2) y b (–2, 1)c) a (0, 2) y b (3, 0)d) a (4, –6) y b (–1, 2)

3

Hallar el ángulo que forman los vectores:a) a (1, 2) y b (–3, 4)b) a (1, 2) y b (–2, 1)c) a (0, 2) y b (3, 0)d) a (4, –6) y b (–1, 2)

4

Hallar un vector perpendicular a:a) a(1, 5); b) b(2, 0); c) c(–3, –1)

5

a. ¿Cuánto debe valer «x» para que el vector a(3, x) sea perpendicular al b(–2, 1)6

Responder a los siguientes apartados:a) Hallar un vector perpendicular al u (6, 8)b) Un vector unitario linealmente dependiente ; es decir, con la misma dirección que u.c) La proyección de u sobre el v (–3, 4)d) El ángulo que forman u y v.

7

Encontrar un vector perpendicular a a(3, –4) y de módulo 10.8

Calcula el valor de x para que el ángulo que formen los vectores a(3, x) y b(5, 2) sea de 60°.9

Sabiendo que los vectores a y b tienen de módulo respectivamente: | a | = 5 y | b | = 3;efectúa el siguiente producto escalar simplificando el resultado:(a + b) · (a – b)

10

Sabiendo que los vectores a y b son de módulo 1 efectúa el siguiente producto escalarsimplificando el resultado:(a + b) · (a – b)

11

De los vectores a y b conocemos |a| = 2 y |b| = 5 y el ángulo que forman es α = 60º.Calcula |a + b|2

12

Sabiendo que los vectores a y b son perpendiculares y que tienen de módulo respectivamente:| a | = 5 y | b | = 3;a) Calcular el siguiente producto escalar: (a + b) · (a + b)b) Calcula |a + b|c) Calcula |a - b|

13

Hallar el área del triángulo determinado por los vectores: a(5, -2) y b(1, 3). Dibújalo.14

Geometría analítica

Dada la recta de ecuación 2x – 6y + 3 = 0.Escríbela en forma continua, paramétrica, vectorial y explícita.Hallar el valor de su pendiente.¿En qué puntos corta a los ejes de coordenadas?

1

Sea un punto P(2, 4) un punto de una recta y v(-1, 5) un vector director de la misma.a) Hallar sus ecuaciones vectorial, paramétricas, continua y general.b) Hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas de dicha recta.c) ¿Cuánto vale su pendiente?d) Obtener la ecuación general de una recta paralela que pasa por el origen de coordenadas.e) Hallar la ecuación de una recta perpendicular que pasa por el punto (2, 0)

2

Halla la mediatriz del segmento A(2, 4) y B(6, –2)3

Dados los puntos A(–3, 5) y B(4, 8) determinar las coordenadas de AB4

Un rombo tiene de vértices B(3, 1); C(0, –3) y D(–5, –3).a) Calcular otro vértice Ab) Comprueba que sus diagonales son perpendiculares.Haz un dibujo orientativo.

5

Dadas las rectas de ecuaciones:2x + y – 5 = 03x – 4y + 9 = 0x – 5y + 3 = 0a. Hallar los vértices del triángulo que determinanb. Hallar su perímetro. Suma de todos sus lados.c. Hallar su superficie.

6

Dada la recta de ecuación 3x - 5y + 15 = 0. Se pide:a) Un punto de ella.b) Un vector perpendicular a ella.c) Calcula su pendiente.d) Puntos de corte con los ejes.e) Halla la distancia del origen de coordenadas a dicha recta.

7

Los vértices de un paralelogramo son: A(1, 2); B(5, 3); C(6, 5) y C(2, 4)a) Demostrar que es un paralelogramo.b) Halla las ecuaciones de las dos diagonales.b) Hallar el punto de corte y comprobar que es el punto medio de las dos diagonales.c) Hallar el ángulo que forman al cortarse.

8

Determinar la posición relativa de las rectas r y s siguientes:

rx ty t

s x y: :

= − −=RST + =

13 2 6

1

9

Dadas las rectas de ecuaciones:2x + y + 1 = 0y + 2 = 0x - y = 0Averiguar si están situadas de modo que formen un triángulo y en caso afirmativo hallar lascoordenadas de los vértices.

10

Dadas las rectas:r: ax + 3y + 5 = 0s: 2x + 6y - b = 0Hallar a y b para que sean coincidentes

11

Dibujar los puntos A(–2, 0) y B(4, 3). Hallar la distancia que hay entre los dos puntos. Hallar lapendiente del segmento que los une.

12

Hallar «x» para que el punto B(5, x) esté a 5 unidades del punto A(2, 1)13

Calcula la longitud de los lados y el valor los ángulos del siguiente triángulo:A(0, 4); B(4, 0) y C(4, 3)Haz un dibujo...

14

Sean los puntos: A(2, 3); B(-1, 5) y C(-1, 9)a) Justifica que forman un triángulob) Hallar la longitud del lado ABc) Hallar la altura por Cd) Determinar la superficie del triángulo.

15

Halla el punto de la recta x + 2y – 4 = 0 que está más próximo al origen de coordenadas.¿A qué distancia está del origen dicha recta?

16

Dado el triángulo A(2, 0); B(0, 3) y C(-3, -1)a) Clasifícalo según el valor de sus lados (equilátero, isósceles o escaleno) hallando suslongitudes.b) Clasifícalo según el valor de sus ángulos (acutángulo, rectángulo u obtusángulo)

17

a) Calcula a para que sean ortogonales las rectas de ecuaciones:b) Hallar la distancia del punto A(0, –3) a la segunda recta.

1 4) )

3 62x t x ya by at= + −

== +

18

Calcula la distancia entre las rectas paralelas de ecuaciones:x + y = 5x + y = –3Sugerencia.– Halla un punto de una de ellas y después la distancia a la otra.

r

s

d

19

Dado el triángulo de vértices: A(2, 1), B(–5, 5) y C(1, –3); hallar la longitud de sus lados y elvalor de sus ángulos.

20

CónicasCalcular la ecuación de la circunferencia de centro C(1, 1) y que pasa por el punto P(2, 3).Determinar los puntos de corte con la recta x - y + 1 = 0

1

Halla la ecuación de una circunferencia concéntrica con la de abajo y que pasa por el punto (6,-1)2 2 6 8 0x y x+ − + =

2

o a) Hallar la circunferencia con centro en C(2, 3) y tangente a la recta de ecuación 3x + 4y - 43 =0b) Determinar el punto de tangencia.

3

Halla el valor de k para que la recta 3x +4y + k = 0 sea tangente a la circunferenciax2+ y2+ 4y- 5 =0.

4

Hallar los puntos comunes de la circunferencia y la recta siguientes:2 2 4 1 0

2 4 0x y x

x y + − − =

− − =

5

Describe la siguiente cónica y represéntala:36x2+4y2 = 144

6

Encuentra los elementos principales de la elipse. Es decir, sus focos, vértices y excentricidad.x 2

25 + y 2

9 = 1

7

Escribe la ecuación de la siguiente cónica:8

Describe la siguiente cónica y represéntala:36x2 + 4y2 = 144

9

Comprobar que la recta y = x es una de las asíntotas de la hipérbola2 2 1− =x y

10

Escribe la ecuación de la hipérbola de focos F(2,2) y F'(-2,2) y cuyo semieje mayor tiene delongitud 2.

11

Halla la ecuación de la hipérbola cuya diferencia de distancias a F(4, 0) y a F'(-4,0) es 6.12

Encuentra los elementos básicos -vértices, focos, excentricidad y dominio- de la hipérbola ydibuja su gráfica.

2 2

19 16x y

− =

13

Encuentra los elementos principales de la elipse. Es decir, sus focos, vértices y excentricidad.Dibújala

2 2

125 9x y

− =

14

a) Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto de coordenadas (1, 2) y su directriz esla recta x = 5.b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola anterior en el punto de ordenada nula(y = 0).

15

Determinar la ecuación de una parábola del tipo indicado cuyo vértice sea el punto decoordenadas (1, 1) y pase por el punto (3, –3).

2y ax bx c= + +

16

Calcula la ecuación del L.G. de los puntos que distan lo mismo de la recta y=-2 que del puntosP(0,2).

17

Hallar la ecuación de la parábola que tiene por directriz y = -2 y por foco el punto F(0, 2).18

Razones trigonométricas

Hallar todas las razones trigonométricas del ángulo A en los siguientes supuestos:1. a = b = 12. a = b = 43. a = b4. b = 2a5. h = 2b6. h = 3a

ha

bA

1

Dibujar los ángulos cuyas razones trigonométricas son las siguientes:a) sen a = 3/5; b) cos a = 4/5; c) tg a = 2.

2

Calcula el valor exacto de las siguientes razones trigonométricas:sec 30°; cosec 60° y cotg 45°

3

Con la calculadora halla:sen 30°14'; cos 32°15'; tg 62°43'

4

Calcula los siguientes valores:sec 35°; cosec 75°; cotg 80°

5

Determina los siguientes valores:arcsen 0,5; arctg 1; arcos 0,3

6

Calcula el valor exacto de las razones trigonométricas del ángulo cuyo coseno vale y quepertenece al IV cuadrante:

23

7

Calcula el valor exacto de las razones trigonométricas del ángulo cuyo tangente vale: √2 y quepertenece al III cuadrante

8

• Se sabe que el cosa =0'6. ¿Cuánto vale el sena y la tga?• Sabiendo que sena = 0.75. Hallar las restantes razones.• Sabemos que tg a = 2, hallar las restantes razones.

9

Sabiendo que cos x = 0'2 y que x ∈ IV cuadrante:Hallar el sen x y la tg x.

10

Sabiendo que tg x = 2 y que x ∈ III cuadrante:Hallar el sen x y el cos x

11

Escribe un ángulo entre 0° y 360° que tenga las mismas razones trigonométricas que:a. El ángulo 1200°b. El ángulo 3750°c. El ángulo –340°d. El ángulo –95°e. El ángulo –1230°

12

Hallar las razones trigonométricas de los siguientes ángulos hallando su ángulo equivalentepreviamente:a) 1200°; b) 2030° y c) –1140°.

13

a. Dar dos ángulos positivos y equivalentes a uno de 350°b. Dar dos ángulos negativos y equivalentes a uno de 25°c. Dar un ángulo superior a 1000° que sea equivalente a uno de 230°d. Dar un ángulo superior a 500° y que sea equivalente a uno de –135°

14

Sabiendo que tg x=–2; y que el ángulo x ∈ IV cuadrante, calcular senx y cosx.15

Escribe todos los ángulos que hay entre 0° y 360° que tengan alguna razón trigonométrica igualal de 30°.Da el valor de dichos ángulos y el de sus razones trigonométricas.

16

Halla todos los ángulos entre 0° y 360° que tengan:a. cos x = –0,2b. sen x = 0,3c. tg x = 0,5

17

05 Fórmulas trigonométricas

Demuestra la siguiente igualdad.Ayuda: Tan sólo sustituye el cos del ángulo mitad por su valor en función del ángulo normal.

2 12 cos cos 1

2 2x x − =

1

Demuestra la siguiente igualdad.Ayuda: Utiliza las fórmulas del ángulo doble y mitad para llegar al ángulo x.

2sen2 5 cos 1cos

sen 2 2x x xx

++ =

2

Resuelve la ecuación:cos x sen 2x - sen x = 0

3

Resolver la ecuación cos2x + senx =0.Expresar las soluciones en radianes

4

Resolver la ecuación cos2x=cosx5

Resolver la ecuación1 + cosx + cos2x = 0.Expresar las soluciones en radianes.

6

Resolver la ecuación

tg2 2 0senxx+ =

7

Resolver la ecuación cos (30° + α) = sen α8

Resuelve la ecuación trigonométrica:

2cos 2 cos 2x x+ =

9

Demuestra que:

( ) ( ) 1cos 45 cos 45 cos22

x x x+ ⋅ − =

10

Resuelve

( ) ( )+ + − =45 45 1sen x sen x

11

Teorema senos y coseno

• Hallar la altura de un edificio sabiendo que desde un punto la visual a su punto más alto formaun ángulo de 60° con la horizontal y alejándose 80 m el ángulo es de 45°.

1

• Desde un cierto lugar se ve la cúpula de una catedral bajo un ángulo de 60° y alejándose 15metros se ve bajo un ángulo de 50°. Determinar la altura de la misma y la distancia que nossepara de la base de la cúpula.

2

Del triángulo ABC se conocen: b=30m, c=35m y B=30°. Calcular los otros dos ángulos y el ladoa.

3

Un avión vuela entre dos ciudades A y B que distan 80 Kms. Las visuales desde el avión a A y Bforman ángulos de 29° y 43° con la horizontal respectivamente.¿A qué distancia se halla de cada ciudad?

29° 43°

80 KmsA B

4

Resolver el triángulo:

40 m

60º 45º

5

¿Cuánto mide el lado del eneágono regular de radio 5?

5

6

Resolver el triángulo ABC de datos: a=20, b=30 y C=50°7

En un triángulo se conocen los lados b=3m y c=4m y el ángulo que existe entre ambos, que esa=60°. Calcular el lado restante y los otros ángulos.

8

Resolver el triángulo ABC conociendo:a=20m, b=30m y c=40m

9

Resolver el triángulo:

60°

126 m

58 m

10

¿Cuánto mide la cuerda determinada por un ángulo de 80° sobre una circunferencia de 3 m. deradio?

3 m

80°

11

Resolver el triángulo:

60° 45°

126 m

12

Cuánto mide el radio de este pentágono de lado 15 m

15 m

13

De un triángulo se conocen los siguientes datos:a = 5m; b = 2 y B = 60°Resuelvelo

14

En un triángulo se sabe que a=6, b=3 y c=4. ¿Cuánto valen sus ángulos?15

Hallar los lados y la diagonal que falta del siguiente paralelogramo:

40°15°

20

16

Una persona situada a la orilla de un río divisa bajo un ángulo de 60° un árbol situado en laorilla opuesta. Al alejarse 50 mts este ángulo se reduce a 45°. Calcula la altura del árbol y laanchura del río.

17

Una torre se divisa bajo un ángulo de 45° desde un determinado punto del suelo. Acercándose10 m hacia su base desde el punto anterior, el ángulo pasa a ser de 60°. ¿Cuál es la altura de latorre?

60° 45°

10 m

18

Funciones Elementales

Hallar el dominio de la siguiente función:

g(y ) = 2 + y − y2

1

Representa la siguiente gráfica razonando tu respuesta

f xx

( ) =+

≤RST

3 para x > 02x - 1 para x 0

2

Representa la función hallando sus puntos más significativos previamente.

y x x= − + −2 3 22

3

Determinar el dominio de las siguientes funciones:

2 1( ) 6 82

xf x x x yx+

= − + =−

4

Un coche que costó 1 millón de pts. se devalúa un 30% anual. Obtener la fórmula que relaciona:y –valor; x – tiempoRepresentar la función resultante.

5

En un banco deposito 5 millones al 3% de interés anual¿Cuánto tendré al cabo de 4 años?

6

Un depósito de 5 l se evapora el 10% al mes.Obtener la fórmula que me relaciona el contenido con el tiempo.¿Cuántos litros quedarán al cabo de 6 meses?Representa la función que resulta

7

Representa gráficamente la función.La tabla de valores debe ser con números racionales; es decir, no utilizar expresiones decimales.

g xx

( ) = FHGIKJ

14

8

a. Haz una tabla de valores de la siguiente función.b. Hallar los límites en los extremos.c. Representar aproximadamente su gráfica basándote en los cálculos anteriores

y x= ⋅2 0,5

9

a. Representa la función abajo indicada.b. Hallar sus límites en +∞ y 0

y = log3x

10

a. Dominio y recorrido o imagen.b. Intervalos de crecimientoc. Extremos relativosd. Acotacióne. Simetríaf. Concavidad y convexidad

1

1

11

a. Dominio y recorrido o imagen.b. Intervalos de crecimientoc. Extremos relativosd. Acotacióne. Simetría

1

1

12

a. Dominio y recorridob. Crecimiento y decrecimientoc. Acotación.d. Máximos y mínimos.e. Periodicidad. Periodo

10

20

30

Tiempo (min)

litros depósito

Evolución del contenido de unacisterna automática

4 8 12 16 20 24

13

Dibuja aproximadamente una función que cumpla las siguientes condiciones:Dom f=(–∞, 0); f acotada superiormente por 3; máximo relativo en (–2, 2) y mínimo relativo en(–5, 0)

14

Dibuja aproximadamente una función que cumpla las siguientes condiciones:Dom h= (–∞, 0); Im h=(1, +∞) y estrictamente creciente en todo su dominio.

15

Decir que tipo de simetría presentan las funciones:

a y x x b y xx

c y x x) ) )= − =+

= −32

24 33

12

16

Representa sobre unos ejes de coordenadas las funciones siguientes tomando los valoresadecuados

y y xx= =2 2log

17

Dadas las funciones siguientes realiza las operaciones que se indican:a) f(x) – g(x); b) f(x) – h(x); c) f(x) · g(x); d) g(x) · h(x); e) h(x)÷f(x); f) p(x)÷h(x); g) fοg(x); h) hοf(x);i) gοf(x)

f x x g x x h x xx

p x xx

( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )= + = − =−

=−+

2 1 35

25 12 4

2

18

Calcula la función inversa de cada una de las funciones y comprueba que son inversas.

a y xx

b y xx

) )=+

=+−

35

5 32 2

19

Representar y = 3 · sen2x, tomando el valor de x en radianes y dentro del intervalo [–4π,4π].20

Sea la función y = –2 sen πx.Representarla gráficamente.

21

Representa la función:

f xx

( ) =− ≤

≤RS|T|

2 1 para x 1x + 3 para 1 < x 4-x + 2 para 4 < x

22

Representar gráficamente la siguiente función:

f xx x

xx x

( ) ,,

=+ ≤ −− < ≤

− <

RS|T|

3, 24 2 1

1

23

a. Representa la siguiente función.b. Exprésala como función a trozos.

y x x= − +| |2 4

24

Averiguar razonadamente la fórmula de la siguiente función

2

-1 4

3

1

25

Representa razonadamente la siguiente función:

2

1 [ 3,0)( ) 2 1 [0,3]

4 (3,7)

x xf x x x x

x

+ ∈ −= − + ∈ ∈

26

Tenemos tres gráficas de funciones: A, B y Ca. Escribe una tabla con 4 valores de cada una de ellas.b. ¿Cuál es la fórmula de cada una de ellas?

Y43

2

1

-1-2

-3-4

210-1-2-3-4

4

3

2

1

Y

43210-1-2

X

1

-1

Y

X

A B

27

Límites y continuidad

Hallar los siguientes límites:

2

23

5 6lim8 15x

x xx x→

− +− +

1

Calcula los límites laterales en x = 3

6( )3

f xx

=−

2

Calcula las asíntotas verticales de esta función y los límites laterales en dichos valores.

f x xx

( ) =−2 4

3

Estudiar la continuidad de las funciones:

21) ( ) ; ) ( )9 ( 1)( 2)

xa f x b g xx x x

= =− − −

4

Estudiar la continuidad de:

2

2

0 28

( ) 3 03 2 24

x x

f x x xx x xx

≤ ≤

= + < − + <

−

5

Hallar el valor de "k" para que f(x) sea continua

2 4 2( ) 22

x si xf x xk si k

−≠= −

=

6

Calcular:

limx

x x xx→∞

+ −−

2

2

7

Calcula las asíntotas de la siguiente función:

2

1xyx

=−

8

Hallar los límites que se indican

0 0

1. lim log . lim . lim log . limlogx xx x

xa x b senx c dx x+ +→−∞ →+∞→ →

9

Calcula las asíntotas.Halla los puntos de corte con los ejes.Según los cálculos anteriores haz un esbozo de su gráfica

( )4xf xx

=−

10

Representa gráficamente funciones que satisfagan:

2

1

2 2

. lim ( ) 2; (2) 5; ; Im ( 2, )

. lim ( ) 4; ( ) ( ,1); Im ( ,4]

. lim ( ) 3; lim ( ) 5; (2) 3; [0,3]

x

x

x x

a f x f Domf R f

b g x g x estrictamente creciente en g

c h x h x h Domh− +

→

→

→ →

= − = = = − +∞

= −∞ = −∞

= = = =

11

• Calcula los límites en los extremos (+inf, -inf) de esta función.• Halla los puntos de corte con los ejes y algún punto auxiliar si fuese preciso• Según los cálculos anteriores haz un esbozo de su gráfica.

2

2 1xyx

=+

12

Representar la siguiente gráfica:

2

3 0 22( ) 252 2

si xxf x si xxx si x

< ≤ += > −− + <

13

Representar la siguiente gráfica:

2

2

4 5 0( )

0x x si x

f xx si x

− + >= − ≤

14

Dibujar una función que cumpla lo siguiente:

2 3lim ( ) 2; lim ( ) ; (0) 0; (2) 2; lim ( ) ; lim ( ) 2x x x x

f x f x f f f x f x→−∞ →− → →∞

= = −∞ = = = +∞ =

15

Representar gráficamente la siguiente función y estudiar su continuidad.

3, 1( ) 4, 1 3

, 3

x xf x x

x x

+ ≤= < ≤− <

16

Determina el valor de k para que la función sea continua.

2 9 3( ) 33

x si xf x xk si x

−≠= −

=

17

Representa gráficamente funciones que satisfagan:

1 3 3

2 2 2 2

0

. Asíntota 2; lim ( ) lim ( ) 2

. lim ( ) 1; lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( )

. ( 4) 2; lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( ) 2; lim ( ) 1

. (0) 1; lim ( )

x x

x xx x

x x x x

x

a vertical en x f x f x

b g x g x g x g x

c h h x h x h x h x

d t t x

+ −

− + − +

+

→−∞ →+∞

→ →+∞→ →

→− →− → →

→

= − = =

= = −∞ = −∞ = +∞

− = = −∞ = +∞ = = −

= =2 3 3

; lim ( ) 2; lim ( ) lim ( )x x xt x t x t x

− +→ → →−∞ = = = +∞

18

Representar la función:

11

xyx−

=+

19

• Calcula los límites en los extremos (+inf, -inf) de esta función.• Estudia su signo.• Halla los puntos de corte con los ejes y algún punto auxiliar si fuese preciso• Según los cálculos anteriores haz un esbozo de su gráfica.(Piensa que su valor máximo lo alcanzará cuando el denominador sea mínimo)

yx

=+

112

20

Calcula el siguiente límite:

limx

xxx→∞

−−+

FHG

IKJ

4 34 5

2 14

21

A la vista de la gráfica que se presenta a continuación responder a las siguientes cuestiones —sies posible—:1) Dominio2) Intervalos de crecimiento3) Máximos relativos4) f(–3); f(–1); f(0); f(4)

–3 – 2 –1 0 1 2 3 4 5 6

–1

1

2

X

Y

22

5) 6) 7

8) 9) 10)3 1

0 00

lim ( ) lim ( ) ) lim ( )

lim ( ) lim ( ) lim ( )x x x

x xx

x

f x f x f x

f x f x f x→−∞ →− →−

→ →>

→+∞−

1. PENDIENTE DE UNA CUERDA. TASA DE VARIACIÓN MEDIA2. CRECIMIENTO O PENDIENTE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. DERIVADA3. RECTA TANGENTE Y NORMAL4. FUNCIÓN DERIVADA DE OTRA5. REGLAS DE DERIVACIÓN DE ALGUNAS FUNCIONES6. APLICACIONES DE LA DERIVADA EN UN PUNTO7. REPRESENTACIÓN SISTEMÁTICA DE FUNCIONES POLINÓMICAS8. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

Cálculo diferencial

Calcula, aplicando la definición, la derivada de la función f(x) = –x2 + 3x en el punto de abscisax = 3

1

Hallar la derivada de las siguientes funciones

( )32 3 2 4 3 21 1 1 13 5 8 2 16 2 12 4 3 2

y x x y x x x y x x x y x= − + = − + = − + − = −

2

Hallar las derivadas de las siguientes funciones:

22 3 231) (2 6) ; ) ; ) 1

2xa y x b y c y xx+

= + = = −−

3

Efectuar las siguientes derivadas:

2

2 1) )1xa y b y x

x x= = −

−

4

Obtén la derivada de las siguientes funciones respecto de la variable "x":

( )2 42 3 2 231. ( ) . . 2 3 . 3 12 1xa ax b b c x x d xx−

+ + ++

5

¿En qué puntos es nula la pendiente de la función?

3 22 9 24 13y x x x= − − −

6

Calcular las ecuaciones de la tangente y de la normal en el punto que se indica

y x x en x= − + =8 7 32

7

Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal a las curvas en los puntos que se indican:

a y x en x b y x en x) )= + = = − =3 8 1 1 02 4

8

¿Cuál es la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x = 2?

y xx

=+−

2 11

9

Hallar las derivadas de las siguientes funciones:

a y senx x b y x) cos )= ⋅ = −1 2

10

Hallar la derivada de las siguientes funciones:

22 5 33) ( ) ) ) ln ) ( ) ln )x xa f x e b y x c y x d f x x x e y e −= = = = =

11

a. Determinar el dominio de la función abajo escrita.b. Hallar f(0); f(1) y f(–1)c. Calcular los límites en los extremos.d. Hallar sus máximos o mínimos.e. Hacer una gráfica que recoja los resultados de los apartados anteriores.

2

43xy

x=

+

12

Calcula la derivada de las siguientes funciones:

22 21) sen cos2 ; ) ; ) ; ) ln

1x xa y x x b y e c y d y x

x− −

= ⋅ = = =−

13

Representa la gráfica de la función y = x3+6x2+9x+1 hallando sus elementos máscaracterísticos.

14

Hallar b y c para que la función f(x) = x3 + bx2 + c tenga un mínimo en (2, 3)15

Representa la siguiente función hallando sus elementos significativos

3

2 1xyx

=−

16

a) Determinar el dominio, asíntotas, extremos relativos y cortes con los ejes de la funciónsiguienteSegún los cálculos anteriores representar su gráfica

2 52

x xyx+ −

=−

17

Dada la función f(x) = x3 - 9x.a) Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos,...b) Según los cálculos anteriores hacer la representación gráfica de la función.

18

Aplicando la definición de derivada, calcula la derivada de la función:

y = x2 − 3x + 1 en x = 0

19

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

1. En una empresa de televenta se ha anotado el plazo de entrega, en días, que anunciaban en los productos y el plazo real, también en días, de entrega de estos, obteniendo la siguiente tabla:

Representa los datos mediante una nube de puntos e indica cuál de estos números te

parece más apropiado para el coeficiente de correlación: 0,87; 0,2; −0,87; −0,2.

2. Se han realizado unas pruebas de habilidad (puntúan de 0 a 5) en un grupo de alumnos. Las siguientes puntuaciones corresponden a las obtenidas por seis alumnos en dos de ellas:

Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las

variables?

3. Se ha estudiado en distintas marcas de yogures naturales el porcentaje de grasa que contenían, así como las kilocalorías por envase. Estos son los resultados obtenidos en seis de ellos:

a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.

( ) ( )ˆ ˆ) 2,5 10 . ¿ ?( 0,85).b Calcula y e y Son válidas estas estimacionesSabemos que r =

4. Un grupo de seis atletas ha realizado pruebas de salto de longitud y de altura. Las dos se han puntuado en una escala de 0 a 5. Los resultados obtenidos han sido los siguientes:

a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas. b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la

correlación entre las dos variables?

5. Las notas de 10 alumnos y alumnas de una clase en Matemáticas y en Física han sido las siguientes:

Representa los datos mediante una nube de puntos y di cuál de estos valores te parece

más apropiado para el coeficiente de correlación: 0,23; 0,94; −0,37; −0,94.

6. Se ha medido la potencia (en kW) y el consumo (litros/100 km) de 6 modelos distintos de coches, obteniéndose los siguientes resultados:

Halla la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dos

variables?

7. Se ha analizado en distintos modelos de impresoras cuál es el coste por página (en céntimos de euro) en blanco y negro y cuál es el coste por página si esta es en color. La siguiente tabla nos da los seis primeros pares de datos obtenidos:

a) Halla la recta de regresión de Y sobre X. b) ¿Cuánto nos costaría imprimir una página en color en una impresora en la que el

coste por página en blanco y negro fuera de 12 céntimos de euro? ¿Es fiable la estimación? (Sabemos que r = 0,97).

8. En una academia para aprender a conducir se han estudiado las semanas de asistencia a clase de sus alumnos y las semanas que tardan en aprobar el examen teórico (desde que se apuntaron a la autoescuela). Los datos correspondientes a seis alumnos son:

a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas. b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la

correlación entre las dos variables?

CÁLCULO DE PROBABILIDADES

9. Extraemos dos cartas de una baraja española y vemos de qué palo son.

a) ¿Cuál es el espacio muestral? ¿Cuántos elementos tiene? b) Describe los sucesos: A = "Las cartas son de distinto palo" B = "Al menos una carta es de oros" C = "Ninguna de las cartas es de espadas" escribiendo todos sus elementos. c) Halla los sucesos B ∪ C y B' ∩ C.

10. De dos sucesos, A y B, sabemos que:

P[A' ∩ B'] = 0 P[A' ∪ B'] = 0,5 P[A'] = 0,4 Calcula P[B] y P[A ∩ B]. Sabiendo que: P[A] = 0,5 P[B'] = 0,6 P[A' ∩ B'] = 0,25 a) ¿Son A y B sucesos independientes? b) Calcula P[A ∪ B] y P[A / B].

11. En unas oposiciones, el temario consta de 85 temas. Se eligen tres temas al azar de entre los 85. Si un opositor sabe 35 de los 85 temas, ¿cuál es la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas?

12. Tenemos dos urnas: la primera tiene 3 bolas rojas, 3 blancas y 4 negras; la segunda tiene 4 bolas rojas, 3 blancas y 1 negra. Elegimos una urna al azar y extraemos una bola.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca? b) Sabiendo que la bola extraída fue blanca, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la

primera urna?

13. De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar.

a) ¿Cuál es el espacio muestral? b) Describe los sucesos: A = "Mayor que 6" B = "No obtener 6" C = "Menor que 6" escribiendo todos sus elementos. c) Halla los sucesos A ∪ B , A ∩ B y B' ∩ A'.

14. A partir de esta probabilidades:

P[A ∪ B'] = 0,8 P[A'] = 0,5 P[A ∩ B] = 0,2 Calcula P[B] y P[A ∪ B].

15. Si A y B son dos sucesos tales que:

P[A] = 0,4 P[B / A] = 0,25 P[B'] = 0,75 a) ¿Son A y B independientes? b) Calcula P[A ∪ B] y P[A ∩ B].

16. Tenemos para enviar tres cartas con sus tres sobres correspondientes. Si metemos al zar cada carta en uno de los sobres, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de las cartas vaya en el sobre que le corresponde?

17. Tenemos dos bolsas, A y B. En la bolsa A hay 3 bolas blancas y 7 rojas. En la bolsa B hay 6 bolas blancas y 2.rojas. Sacamos una bola de A y la pasamos a B. Después extraemos una bola de B.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de B sea blanca? b) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas?

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

18. Una urna, A, contiene tres bolas con los números 1, 2 y 3, respectivamente. Otra urna, B, tiene dos bolas, con los números 4 y 5. Elegimos una urna al azar, extraemos una bola y miramos el número obtenido.

a) Haz una tabla con las probabilidades. b) Calcula la media y la desviación típica.

19. Para cada una de las situaciones que se te proponen a continuación, di si se trata de una distribución binomial y, en caso afirmativo, identifica los valores de n y p:

a) Se calcula que el 51% de los niños que nacen son varones. En una población de 100 recién nacidos, nos preguntamos por el número de niñas que hay.

b) Un examen tipo test tiene 30 preguntas a las que hay que responder verdadero o falso. Para un alumno que conteste al azar, nos interesa saber el número de respuestas acertadas que tendrá.

20. El 65% de los alumnos de un cierto instituto cursan estudios universitarios al terminar el Bachillerato. En un grupo de ocho alumnos elegidos al azar, halla la probabilidad de que estudien una carrera:

a) Alguno de ellos. b) Más de seis. Calcula la media y la desviación típica.

21. La función de densidad de una variable continua x viene dada por:

( )

( )

( )

xx

xf x

xx

x

<

+≤ ≤

=−

< ≤

>

0 si 11

si 1 310

5si 3 5

50 si 5

a) Representa gráficamente f(x).

[ ] [ ]P Px x> ≤ ≤b) Calcula 3 y 2 4 .

22. En una distribución N(0, 1), calcula:

[ ]181, a) >zp [ ]12, b) −<zp [ ]231,0,71 c) <<− zp

23. Las ventas diarias, en euros, en un determinado comercio siguen una distribución N(950, 200). Calcula la probabilidad de que las ventas diarias en ese comercio:

a) Superen los 1200 euros. b) Estén entre 700 y 1000 euros. En una distribución N(0, 1), halla el valor de k en cada caso:

[ ] 99690, a) =< kzp [ ] 9850, b) =<<− kzkp

24. Un examen de 100 preguntas admite como respuesta en cada una de ellas dos posibilidades, verdadero o falso. Si un alumno contesta al azar, calcula la probabilidad de que acierte más de 60 respuestas.