8/17/2019 3 Derivada y Diferencial
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DERIVADA DE UN FUNCIÓNVECTORIAL
n I ℜ→ℜ⊆:r
CAPÍTULO ICÁLCULO VECTORIAL
SESIÓN 3 Definición
h
t ht t
h
)()(lim)( 00
00
r r r
−+=′→
2Rosa Ñique Alvarez
n R R I →⊆:r
cuando éste límite existe. En tal caso la función r es
diferenciable e t 0. Si r es diferenciable en todos lo puntos
t 0 de I , decimos que es diferenciable en I.
Sea una función vectorial definido en
el intervalo abierto I de R. Sea t 0 en I . Se define la
derivada de r en t 0, como el límite
Notación
[ ])()( t Dt d
d t t r
r r ==′
3Rosa Ñique Alvarez
n I ℜ→ℜ⊆:r
r ( t
+ h )
r
4Rosa Ñique Alvarez
0),()( >−+ ht ht r r
h es un valor pequeño y positivoh
t ht t
h
)()(lim)(
0
r r r
−+=′→
r ( t
+ h )
r
[ ])()(1
t ht h
r r −+
5Rosa Ñique Alvarez
h es un valor pequeño ypositivoh
t ht t
h
)()(lim)(
0
r r r
−+=′→
h
t ht )()( r r −+
INTERPRETACIÓNGEOMÉTRICA
)(t r ′r
6Rosa Ñique Alvarez
h
t ht t
h
)()(lim)(
0
r r r
−+=′
→
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2
( ))(,),(),()( 21 t xt xt xt n′′′= Lr '
( ) nn t xt xt xt ℜ∈= )(,),(),()(Si 21 Lr
7Rosa Ñique Alvarez
es una función vectorial entonces:
Si la derivada de cada xi (t ) existe
TEOREMA Propiedades
ℜ→ℜ⊆ J :ϕ
8Rosa Ñique Alvarez
[ ] )()()()(.1 t t t t Dt u' r ' u r ±=±
[ ] )()()()()()(.2 t t t t t t Dt r ' r r ϕϕϕ +′=
[ ] )()()()()()(.3 t t t t t t Dt u ' r u r ' u r ⋅+⋅=⋅
n I , ℜ→ℜ⊆:u r
Propiedades
Rosa Ñique Alvarez 9
ℜ→ℜ⊆ J :ϕ
[ ] )())(())((.5 t t t Dt
ϕϕϕ ′= r ' r
[ ] 3en;)()()()()()(.4 ℜ×+×=× t t t t t t Dt u' r u r ' u r
0)(;)(
)()()(.6 ≠
⋅= t
t
t t t Dt r
r
r' r r
n I , ℜ→ℜ⊆:u r
EJEMPLO 1
Considerando
Calcule
( ) [ ]π∈= 2,0;cos4,4,cos4)( t t sent t t r
)()( )
)( )
)()
t t c
t b
t a
r r
r
r
′′′′′′
x
10Rosa Ñique Alvarez
Solución
Rosa Ñique Alvarez 11
( ) sent t sent t 4,cos4,4)( −−=r '
( ) [ ]π∈= 2,0;cos4,4,cos4)( t t sent t t r
( )t sent t t cos4,4,cos4)( −−−=r ' '
Solución
Rosa Ñique Alvarez 12
t sent t
sent t sent t t
cos44cos4
4cos44)()(
−−−−−=
k j i
' r ' r ' x
( ) ( )1,0,11616,0,16)()( −=−=t t ' r ' r ' x
( ) [ ]π2,0;cos4,4,cos4)(: ∈= t t sent t t C r
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Solución: interpretación geométrica
Rosa Ñique Alvarez 13
[ ]
=∈=
=
t z
t sent y
t x
C
cos4
2,04
cos4
: π
( ) [ ]π2,0;cos4,4,cos4)(: ∈= t t sent t t C r
Solución
Rosa Ñique Alvarez 14
[ ]
=∈=
=
t z t sent y
t x
C cos4
2,04
cos4
: π
Plano
Cilindro16: 221
x z:S
y xS
2 =
=+
La curva C resulta de la intersección delCilindro y Plano.
Rosa Ñique Alvarez 15
-10-5
05
-4-2
02
4-4
-2
0
2
4
6
8
X
CURVA PLANA
Y
Z
[ ]
=∈=
=
t z
t sent y
t x
C
cos4
2,04
cos4
: π( )1,0,116)()( −=t t ' r' r' x
CurvaPlana1
EJEMPLO 2
Determine la derivada de la función vectorial
( )
)2/(Calcule
,,cos)( 222
πr '
r t t t et senet et =
16Rosa Ñique Alvarez
Solución
Rosa Ñique Alvarez 17
( )t t t et senet et 222 ,,cos)( =r
( )2,cos2,cos2)( 2 t sent sent t et t +−=r '
Solución
Rosa Ñique Alvarez 18
( )2,cos2,cos2)( 2 t sent sent t et t +−=r '
( )2,2,12
−=
ππ er '
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Curva Regular o Suave en [a , b ]
( ) 3321
)(,)(),()(: ℜ∈= t xt xt xt C r
[ ] y,encontinuas,, 321 ba x x x ′′′
[ ]bat t ,todo para0)( ∈≠r'
es regular o suave en [a, b] si
19Rosa Ñique Alvarez
La
Ejemplo 3
( ) ( ) ( ) ℜ∈−+++−= t t t t t t C ;4321)(: 22
k j i r
20Rosa Ñique Alvarez
Ejemplo 4
k j i r 3)cos()(cos)( +−++= t t t sent sent t t
21Rosa Ñique Alvarez
EJEMPLO 5: CURVA NO REGULAR
+=
≤≤−=
−=
1
22
2
:
4
3
2
t z
t t y
t x
C
22Rosa Ñique Alvarez
CURVA NO REGULAR
-2 -10 1
2 34 5
6 7
-40
-20
0
20
400
10
20
30
40
50
60
70
80
90
X
CURVA NO REGULAR EN ( - 2, 0, 1 )
Y
Z
cuspide
23Rosa Ñique Alvarez
EJEMPLO 6: C = C 1 U C 2
[ ]
−=
−∈−=
=
22
2,24:
2
21
t z
t t y
t x
C
[ ]
[ ]
=π+∈−=
−−+=
0
2,2)2(
)2cos()2cos(1
:2
z
t t sen y
t t x
C
24Rosa Ñique Alvarez
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-2.5-2
-1.5-1
-0.50
0.51
1.52
2.5
-1
0
1
2
3
4
5
0
1
2
x
CURVA NO SUAVE EN (2,0,0)
y
zCUSPIDE
CURVA NO REGULAR
25Rosa Ñique Alvarez Rosa Ñique Alvarez 26
Aplicaciones
• Velocidad
)()( t t r ′=
)()( t t v r ′=
27Rosa Ñique Alvarez
• Rapidez
( ) nn t xt xt xt ℜ∈= )(,),(),()(Si 21 Lr
EJEMPLO 7
Considerando
Calcule
( ) [ ]π∈= 2,0;cos4,4,cos4)( t t sent t t r
(t)Rapidez b)
)(Velocidada)
v
t
28Rosa Ñique Alvarez
Solución
Rosa Ñique Alvarez 29
( ) sent t sent t t 4,cos4,4)()( −−== r '
( ) [ ]π∈= 2,0;cos4,4,cos4)( t t sent t t
VELOCIDAD
Solución
Rosa Ñique Alvarez 30
( ) sent t sent t t 4,cos4,4)()( −−== r '
( ) t sent sent t v 22 14116)()( +=+== r '
RAPIDEZ
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INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN
VECTORIAL[ ]
)(
,:
t t
ba n
r
r
→ℜ→ℜ⊆
( ))(,........,)(),()(21
t xt xt xt n
=r
)()( t ht r r r −+=∆
31Rosa Ñique Alvarez
Interpretación para n = 3
) ( h t +r
)(t r r ∆
r
32Rosa Ñique Alvarez
)()( t ht r r r −+=∆
Incremento
Aproximación de la derivada para hmuy pequeño
ht ht t )()()( r r r ' −+≈
33Rosa Ñique Alvarez
h es el incremento en t y se denota por: t = dt
)()( t ht r r r −+=∆
h
t ht t
h
)()(lim)(
0
r r r
−+=′
→
0)()(
)()(
)()()(
≈−∆
∆≈−+≈
t ht
t t h
t ht t h
r ' r
r r '
r r r '
34Rosa Ñique Alvarez
h
t ht t
)()()(
r r r '
−+≈
),()()(!
)()(),(
ht t ht
t ht ht
ϕ
ϕ
+=
−∆=
r ' r
r ' r
0)()( ≈−∆ t ht r ' r
35Rosa Ñique Alvarez
[ ]
0),(lim
),(lim)()(
lim)()(lim
0h
000
=
+−+
=−+
→
→→→
ht
ht h
t ht ht ht
hhh
ϕ
ϕr r
r r
36Rosa Ñique Alvarez
)( ht,t ht ϕ+= )()(! r ' r
)()( t ht r r r −+=∆
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7
Aproximación del incremento
)()( t ht r ' r ≈∆
37Rosa Ñique Alvarez
)()()(! ht,t ht ϕ+= r ' r
0),(lim0h
=→
ht ϕ
Diferencial
321
876
)()(
)(
)()(
t d t del diferencia
t deincremento
t ht
r r
r
r ' r ≈∆
38Rosa Ñique Alvarez
)()()(! ht,t ht ϕ+= r ' r
Definición de Diferencial
haciendo h = d t
)()( t ht d r ' r =
( ) dt t xt xt xt d n
)(),(),()(21 ′′′= Lr
39Rosa Ñique Alvarez
d r (t ) es un vector paralelo al vector r´ (t )
Rosa Ñique Alvarez 40
APROXIMACIÓN DEL INCREMENTO
)()(! t d t r r ≈
)()( t ht r ' r ≈∆
Rosa Ñique Alvarez 41
h)(t,(t)d(t)! ϕ+= r r
(t)d-(t)!h)(t, r r =ϕ
INTERPRETACIÓN
)()()(! ht,t ht ϕ+= r ' r
INTERPRETACION
) ,(
h t ϕ
r d
) ( h t +r
) ( t r
r ∆
42Rosa Ñique Alvarez
(t)d-(t)!h)(t, r r =ϕ
)()( t ht d r ' r =
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Ejemplo:
( ) ( ) ( ) ℜ∈−+++−= t t t t t t ;4321)( 22 k j i r
(0) b)
(0))
r
r
∆d a
y para t = 0 , h= t = 0.1. Calcular:
Dada la siguiente función
43Rosa Ñique Alvarez
Solución
( )
( )39.0;2.0;01.0(0)t)(0(0) b)
0.4-0.2;0;td(0)(0))
0.1t
−=−∆+=∆
=′=
=∆=
r r r
r r d a
t d
44Rosa Ñique Alvarez
( ) ( ) ( ) ℜ∈−+++−= t t t t t t ;4321)( 22 k j i r
Propiedades del diferencial:
( ) u r u r d d d ±=±.1
( ) u r u r u r ⋅+⋅=⋅ d d d .2
( ) u r u r u r xxx d d d +=.3
45Rosa Ñique Alvarez
solo en R3
Propiedades del diferencial:
( ) u u u )(.4 ϕϕϕ d d d +=
ϕϕϕ d d d )()(.5 r r =
46Rosa Ñique Alvarez
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