UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRESFACULTAD DE MEDICINA HUMANA

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

MATEMATICA APLICADA A LA MEDICINA2015

FUNCION EXPONENCIALConceptos previos de la teoría de exponentes

Potenciación:

Sea a R, n Z+ a n = a . a. a………….a n factoresPropiedades:1. an.am = a n+m 2. 3. (a . b)n = an.bn 4. (a n)m = a n.m

5. entonces:

6. a R, a ≠ 0 a0 = 1

7. a R, a ≠ 0 , n Z+

FUNCION EXPONENCIALEcuación Exponencial

Se considera así a toda expresión matemática cuya variable se encuentra en el exponente.

Forma:

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES: a) Bases Iguales : a = b x = y Ejemplo: Hallar la solución de la siguiente ecuación: SOLUCION X = - 3 X = 2

FUNCION EXPONENCIALExponentes Iguales : Ejemplo: Hallar la solución de la ecuación:

m + 5 = m + 5 x = - 15

FUNCION EXPONENCIAL

Bases y Exponentes Iguales : Ejemplo: Hallar la solución de la siguiente ecuación:

FUNCION EXPONENCIALSea ¨b¨ un numero real donde b > 0 y b La función exponencial de base ¨b¨ es la función f: R R cuya regla de correspondencia es: y Si: b >1 Si: 0 < b < 1

1 1

Función creciente Función decreciente

FUNCION EXPONENCIALSea la función: Hallar el dominio, el rango y esbozar el grafico. Solución

-2 -1 1 2

Df: R Rf: < 0; >

x ( x , )

- 2 1 / 9 ( - 2; 1/9)

- 1 1 / 3 ( - 1; 1/3)

0 1 ( 0; 1)

1 3 ( 1; 3)

2 9 ( 2; 9)

9

31

FUNCION EXPONENCIAL

Sea la función: Hallar el dominio, el rango y esbozar el grafico. Solución

- 2 -1 1 2 Df: R Rf: < 0; >

x ( x ; - 2 9 ( - 2; 9)- 1 3 ( - 1; 3) 0 1 ( 0 ; 1) 1 1/3 ( 1; 1/3) 2 1/9 ( 2; 1/9)

9

31

FUNCION EXPONENCIALGraficar y determinar el dominio , rango y asíntota de la siguiente función: Solución

3 -2 1 2 3 4 Df: R Rf: < 3 ; >

x ( x; )

- 2 3 + 1/16 (-2; 49/16)

0 3 + 1/4 ( 0 ; 13/4)

2 3 + 1 ( 2 ; 4 )

3 3 + 2 ( 3 ; 5 )

4 3 + 4 ( 4 ; 7 )

FUNCION EXPONENCIALDeterminar el dominio, rango, asíntota , asi mismo graficar la función: Solución

2

1 2 3 4

Df: R Rf: < - ; 2 >

x ( x ; )

4 - 2 ( 4 ; - 2)

3 0 ( 3 ; 0 )

2 1

( 2 ; 1 )

1 2 – 1/2 ( 1; 3/2)

0 2 – 1/4 (0 ; 7/4)

FUNCION EXPONENCIAL

Determinar el rango y la asíntota de la siguiente función. Solución

-4 -3 - 2 2

Df: R Rf: < 0; 1> U < 1; 2] asíntota: y=1

x ( x ; )

- 2 1 + 1 ( - 2; 2)

- 3 1+ ½ ( - 3; 3/2)

- 4 1+ 1/4 ( - 4; 5/4)

x ( x ; )

- 2 1 - 1 ( - 2; 0 )

0

1 – 1/4 ( 0; 3/4)

2 1 – 1/16 ( 2; 1/16)

vv

1

2

3/2

FUNCION EXPONENCIAL FUNCION EXPONENCIAL NATURAL

Esta función tiene como base al numero trascendente y cuya regla de correspondencia es: Dominio de: = R y Rango de = < 0; > Valor aproximado de = 2, 71828182847……… Entonces:

Función creciente Función decreciente

11

FUNCION EXPONENCIALHallar el dominio, rango, asíntota y grafico de la función: Solución 3

1 2 D = R R = < - ; 3 > Asintota: y = 3

x ( x ; )

0 3 - 2e ( 0; - 2,41)

1 3 - 2 ( 1 ; 1)

2 3 – 2/e ( 2 ; 2,26)

2,26

1

FUNCION LOGARITMO

DEFINICIÓN DE LOGARITMO:

Sean los números reales “a” y “b”, si b > 0, b 1 y a >0, al

número real x se denomina logaritmo del número a en

base b y se denota por: Logb a = x si y solo si bx = a de

la definición se tiene:

Logb a = x bx = a

Donde:

b: Base del logaritmo

a: Número del logaritmo

x: Logaritmo de a en la base b

FUNCION LOGARITMO

Propiedades de los logaritmos

1. Sea la base real b, tal que b > 0 ; b ≠ 1 logb1 = 0 ; logb b = 1

2. Sea A > 0 ^ B > 0, además b > 0 ˄ b ≠ 1 logb AB = logb A + logb B

3. Sea A > 0 ^ B > 0, además b > 0 ; b ≠ 1 logb ( ) = logb A – logb B

4. Sea A > 0 ^ b > 0 ; b ≠ 1 ; n R: logb An = n logb A

5. Sea B > 0 ^ b > 0 ; b ≠ 1 ; c > 0 : logb B =

6. ; x

FUNCION LOGARITMO

Hallar los siguientes ejercicios:

= x x = - 5

b) = x = - ½ x = 5 Con estos valores > 0 entonces CS = { -1/2;5}

FUNCION LOGARITMOSea b un numero real, con b>0 y b 1. La función logaritmo de base b es la función inversa de la función exponencial y su regla de correspondencia es:

También podemos considerar: y y = =

Dominio y Rango = R

-11

1

FUNCION LOGARITMO

donde 0 < b < 1 y=

y =

Dominio : < 0; > Rango : R Función decreciente

1

1

FUNCION LOGARITMO1. Hallar el dominio y rango de las siguientes funciones: a) Solucion Analizamos: x – 2 > 0 x = 2 (asíntota)

2 3 D= < 2 ; > R = R

FUNCION LOGARITMOb) SolucionAsintota: x + 3 > 0 x > -3 1 -3 -1 1 D= < - 3; > R = R

FUNCION LOGARITMO c) Solucion Asintota: x + 1 > 0 x > - 1 1. 71828 D: < - 1; > R : R

-5

-1