HISTORIA DE LOS NÚMEROS RACIONALES.

FRACCIONARIOS.

FRACCIONES EQUIVALENTES.

AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES.

ORDEN DE LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS.

SUMA Y RESTA DE NÚMEROS FRACCIONARIOS.

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS.

NÚMEROS DECIMALES.

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONARIOS.

DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS.

COMPONENTES DE LOS NÚMEROS DECIMALES.

DIVISIÓN EN POTENCIAS DE 10.

VALOR POSICIONAL.

ORDEN DE LOS NÚMEROS DECIMALES.

DIVISIÓN EN POTENCIAS DE 10.

DECIMALES INFINITOS PERIÓDICOS.

CONVERSIÓN DE DECIMAL A FRACCIÓN Y VICEVERSA.

SUMA Y RESTA DE NÚMEROS DECIMALES.

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.

DIVISIÓN DE ENTEROS CON RESULTADO DECIMAL.

DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS DECIMALES.

HISTORIA DE LOS NÚMEROS RACIONALES

(Q)

Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una

potencia de 60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las

fracciones con numerador igual a 1.

En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que

significaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el

denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1.

Los griegos y romanos usaron también las fracciones unitarias, cuya

utilización persistió hasta la época medieval.

En el siglo XIII, Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, famoso, entre

otras cosas por la serie de Fibonacci, introdujo en Europa la barra

horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones.

A principios del siglo XV, el árabe Al Kashi fue el que generalizó el uso

de los números decimales tal y como los conocemos hoy.

A finales del siglo XVI, Simon Stevin desarrolló y divulgó las fracciones

decimales que se expresaban por medio de números decimales:

décimas, centésimas, milésimas, etc., pero los escribía de una forma

complicada; así para 456, 765 escribía 456 (0) 7(1) 6(2) 5(3).

A principios del siglo XVII, los números decimales ya aparecieron tal

y como los escribimos hoy, separando con un punto o una coma la

parte entera de la parte decimal.

Los números decimales se impusieron, en casi todos los países, al

adoptarse el Sistema Métrico Decimal, en el siglo XVIII,

concretamente en 1792. (Definición tomada de :

http://marysoler.galeon.com/nenteros.htm)

Este conjunto de los números se pueden expresar como el cociente

de dos números enteros.

𝑎

𝑏, 𝑏 ≠ 0

Donde “a” es el numerador y “b” el denominador. Los números

racionales están compuestos por:

● Enteros.

● Fraccionarios.

● Decimales finitos.

● Decimales infinitos periódicos puros y mixtos.

FRACCIONARIOS

Los componentes de una fracción son: el numerador, denominador

y línea divisora.

𝑎

𝑏

CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES

Fracción propia: Es aquella donde el numerador es menor que el

denominador.

4

5 Es propia por que 4 < 5

Fracción impropia: Es aquella donde el numerador es mayor que el

denominador.

7

3 Es propia por que 7 > 3

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Los fraccionarios se pueden representar por medio de esquemas o

en la recta numérica, el denominador nos indica las partes en que se

debe partir la unidad el numerador nos indica las partes que se

toman después de partirse la unidad.

Numerador

Denominador

Línea Divisora

El numerador son las veces que pintamos o nos desplazamos, y el

denominador las veces en que dividimos la unidad.

FRACCIONES EQUIVALENTES

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad.

Una forma de saber si dos fracciones son equivalentes es multiplicar

en cruz de la siguiente manera:

6

7

5

6

5

6

20

24

Para facilitar las operaciones con los números fraccionarios se

utiliza la amplificación y la simplificación.

AMPLIFICACIÓN

Consiste en multiplicar el numerador y denominador por un mismo

número de tal manera que se encuentre otra fracción equivalente.

SIMPLIFICACIÓN

Consiste en dividir el numerador y denominador por un mismo

número de tal manera que se encuentre otra fracción equivalente.

En muchas ocasiones hay que simplificar fraccionarios para facilitar

las operaciones y esto se logra hallando el máximo común divisor

entre el numerador y denominador.

Ejemplo: simplificar al máximo la siguiente fracción.

Luego dividimos arriba y abajo por el máximo común divisor.

ORDEN DE LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS

Para determinar si una fracción es menor o mayor que otra se debe

tener en cuenta lo siguiente:

Igual denominador: Es menor el que tiene menor numerador.

5

4<

7

4 Por que 5 < 7.

Igual Numerador: Es menor el que tiene mayor numerador.

7

6<

7

4 Por que 4 < 6.

Numeradores y denominadores distintos: se deben volver

homogéneos amplificándolos.

SUMA Y RESTA DE NÚMEROS

FRACCIONARIOS

Para sumar fraccionarios se debe tener en cuenta si las fracciones

son homogéneas (que tienen el mismo denominador) o

heterogéneas (que tienen diferente denominador).

Homogéneas:

Cuando dos fracciones son homogéneas, se suman y se deja el

mismo denominador, ejemplo:

3

6+

7

6=

3 + 7

6=

11

6

Heterogéneas:

Cuando dos fracciones son heterogéneas se amplifican de tal manera

que las fracciones se vuelvan homogéneas y se hace el proceso

anterior, Ejemplo:

3

2−

2

5=

3(5)

2(5)−

2(2)

5(2)=

15

10−

4

10=

15 − 4

10=

11

10

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONARIOS

Para multiplicar fracciones se multiplican numeradores y

denominadores entre sí.

Hay dos formas de resolver una multiplicación de fraccionarios.

Simplificando antes:

(2

3) (

−6

5) (

7

4) =

Se organizan los numeradores y denominadores y como la cantidad

de negativos es impar:

= −(2)(6)(7)

(3)(5)(4)

Se simplifica.

= −(2)(6)(7)

(3)(5)(4)= −

(6)(7)

(3)(5)(2)

= −(3)(7)

(3)(5)= −

7

5

Simplificando después:

(2

3) (

−6

5) (

7

4) =

Se organizan los numeradores y denominadores y como la cantidad

de negativos es impar el resultado es negativo, se simplifica y se

multiplica.

= −(2)(6)(7)

(3)(5)(4)= −

84

60= −

42

30= −

21

15= −

7

5

DIVISIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

Para multiplicar se utiliza la ley de extremos y medios, también

conocida como la ley de la oreja.

Se multiplican los extremos generando el numerador y los medios

generando el denominador

= −(2)(6)

(3)(5)= −

12

15

Se simplifica la respuesta.

= −12

15= −

4

5

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS

FRACCIONARIOS

La potenciación es un proceso que sale de la multiplicación de un

mismo número una cantidad de veces.

= (3

2)

4

= (3

2) (

3

2) (

3

2) (

3

2) =

34

24

La potenciación cumple con las mismas propiedades de la

potenciación de números enteros.

Potencia de una división: Se eleva al numerador y denominador a la

misma potencia.

(𝑎

𝑏)

𝑐

=𝑎𝑐

𝑏𝑐

División de bases iguales: Se restan los exponentes y se coloca la

misma base.

𝑎𝑏

𝑎𝑐= 𝑎𝑏−𝑐

RADICACIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS

La radicación es una operación inversa a la potenciación, y se puede

expresar como una potencia donde el exponente es un fraccionario

con denominador diferente de “1”.

√𝑎𝑏𝑐= 𝑎

𝑏𝑐⁄

Las propiedades de la radicación con números fraccionarios son:

Raíz de una división: se coloca la raíz al numerador y al denominador.

√𝑎

𝑏

𝑐=

√𝑎𝑐

√𝑏𝑐

División de raíces con bases iguales: se convierte a exponentes

fraccionarios y se restan los exponentes.

√𝑎𝑏𝑐

√𝑎𝑑𝑒 =𝑎

𝑏𝑐⁄

𝑎𝑑

𝑒⁄= 𝑎

(𝑏𝑐−

𝑑𝑒)

NÚMEROS DECIMALES

Las antiguas civilizaciones no utilizaban las fracciones decimales. Los

egipcios se centraron en las fracciones unitarias y los babilonios

utilizaban un sistema sexagesimal manejando fracciones cuyos

denominadores eran potencias de 60.

Aunque las fracciones decimales y, por tanto, los números decimales

eran conocidos y utilizados por árabes y chinos, se atribuye

generalmente al científico y matemático belga Simón Stevin (1548-

1620), la introducción de los decimales en el uso común a través de

sus obras la Thiende y la Disme.

Stevin no utilizó nuestro actual sistema de notación sino un sistema

propio un tanto enrevesado. Así, donde nosotros escribimos

923,456, él lo hacía: 923(0) 4(1) 5(2) 6(3) simbolizando 923 unidades

donde el cero sería nuestra coma; 4 décimas, representadas por el

número uno; 5 centésimas, representadas por el número dos; 6

milésimas, representadas por el número tres, y así sucesivamente.

Más tarde, el suizo Jobst Bürgi (1552-1632) simplificó esa notación

eliminando la mención del orden de las unidades decimales

consecutivos y poniendo junto a la cifra de las unidades el signo °.

Así, el número 923,456 se escribía como: 923°456.

En lo que respecta a nuestra coma decimal no se popularizó su uso

hasta que no fue utilizada por el escocés John Napier (1550-1617).

Actualmente, en los países anglosajones se utiliza un punto para

separar la parte entera del decimal. Así el número anterior se

representa 923.456, que por otra parte es la notación que nosotros

utilizamos en muchas ocasiones, por ejemplo en la calculadora. Se

cree que este forma de representar los decimales comenzó en 1616

con la traducción de una obra de Napier al inglés realizada por E.

Wright. (http://aulastic.com/jluisfb/mate/decimales.pdf)

COMPONENTES DE LOS NÚMEROS

DECIMALES

Los componentes de los números decimales son:

Los números decimales son aquellos que salen de la división por

potencias de “10”, y se pueden escribir de las siguientes maneras:

DIVISIÓN DE POTENCIAS DE 10

Movemos los espacios desde la última cifra de derecha a izquierda,

la misma cantidad que tenga en ceros la potencia de 10 ubicada en

el denominador. Ejemplo:

Para representar decimales en la recta numérica se dividen la unidad

según el valor posicional o denominador en potencias de 10.

EJEMPLO:

Se divide la unidad en “10” y se mueven los espacios según la parte

decimal

VALOR POSICIONAL

Cada dígito tiene un valor posicional según la posición que ocupen

en el número dado. Ejemplo: ubicar el siguiente número según su

valor posicional.

ORDEN DE LOS NÚMEROS DECIMALES

Para saber si un número decimal es mayor se pueden presentar

varios casos.

Si tienen diferente signo es mayor el positivo.

Si tienen el mismo signo y son positivos se deben alinear las

comas y comparar dígito por dígito de derecha a izquierda, si

son positivos es mayor el que tenga mayor valor posicional y si

son negativos es mayor el que tenga menor valor posicional.

DECIMALES INFINITOS PERIÓDICOS

Son aquellos que no tienen fin pero tienen un periodo, y el

denominador no se puede amplificar obteniendo una potencia de

10, Estos se pueden clasificar en periódicos puros y periódicos

mixtos.

PUROS: son aquellos que después de la coma decimal se repite su

periodo, y se representa con un arco o línea arriba del periodo.

1

3= 0,3333 ⋯ = 0, 3̅

2

11= 0,181818 ⋯ = 0, 18̅̅̅̅

3

23= 0,230769230769 ⋯ = 0, 230769̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅

MIXTOS: son aquellos que después de la coma decimal hay un

número antes de repetir su periodo, y se representa con un arco o

línea arriba del periodo.

1

6= 0,16666 ⋯ = 0,16̅

5

12= 0,416666 ⋯ = 0,416̅

5

24= 0,2083333 ⋯ = 0,2083̅

CONVERSIÓN DE DECIMALES INFINITOS

PERIÓDICOS A FRACCIONARIOS.

PUROS:

EJEMPLO: convertir en forma de fracción 7, 32̅̅̅̅

Lo igualamos a “n”.

𝑛 = 7, 32̅̅̅̅ ; Ecuación “1”

Se multiplica por “100” a ambos lados de la ecuación, debido a que

el periodo es de “2” cifras.

100𝑛 = 732, 32̅̅̅̅ ; Ecuación “2”

Se resta la ecuación “1” de la ecuación “2”

100𝑛 = 732, 32̅̅̅̅

𝑛 = 7, 32̅̅̅̅

99𝑛 = 732; Ecuación “3”

Se despeja la ecuación “3”.

𝑛 =732

99

MIXTOS:

EJEMPLO: convertir en forma de fracción: 3,1234̅̅̅̅

Se iguala a “n”.

𝑛 = 3,1234̅̅̅̅

Se vuelve puro multiplicando por “100”.

100𝑛 = 312, 34̅̅̅̅ Ecuación “1”

Se multiplica por “100”a ambos lados de la ecuación, debido a que

el periodo es de “2” cifras.

10000𝑛 = 31234, 34̅̅̅̅ Ecuación “2”

Se resta la ecuación “2” con la ecuación “1”.

9900𝑛 = 30922 Ecuación “3”

Se despeja la ecuación “3”

𝑛 =30922

9900

SUMA DE NÚMEROS DECIMALES

Para sumar decimales, se alinean las comas y se operan colocando

el que tenga mayor valor absoluto arriba y aplicando las propiedades

de los números enteros.

Ejemplo: 31,54 + 7,2891.

Se alinean las comas y se organiza el que tenga la parte entera

más grande arriba sin tener en cuenta los signos (aunque la suma

es conmutativa).

Los espacios se reemplazan por ceros, luego se suma o se resta

según los signos.

RESTA DE NÚMEROS DECIMALES

Para la resta se hace de la misma manera que la suma.

Ejemplo: 73,54 -107,123

Se organiza el que tenga la parte entera más grande arriba sin tener

en cuenta los signos.

Los espacios se reemplazan por ceros y se hace la operación,

aplicando las propiedades de los enteros

No olvide que en la resta el resultado lleva el signo del mayor.

-33,583

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

Para multiplicar decimales se hace de la misma forma que se

multiplican los enteros, teniendo en cuenta la cantidad de números

decimales en ambos para ubicar la coma en el producto.

EJEMPLO: 3,32 x 0,02

Se organiza sin comas como una multiplicación de números enteros.

Ahora se ubica la coma contando los espacios de izquierda a derecha

según el número de decimales que tengan ambos números.

DIVISIÓN DE ENTEROS CON RESULTADO

DECIMAL

Para dividir enteros con resultados decimales, se hace igual a la

división de enteros hasta llegar al residuo, a este se le agrega un cero

y al cociente una coma decimal y así sucesivamente hasta agotar o

repetir un periodo en caso de ser infinito periódico.

Ejemplo: 435 ÷ 25

Se divide hasta llegar al residuo.

Ahora se coloca un punto decimal y el primer cero.

Y se sigue resolviendo hasta agotar el residuo.

DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS DECIMALES

Cuando los dos números son decimales nos fijamos en el número

que tenga más cantidad de decimales y multiplicamos por una

potencia de “10” que tenga la misma cantidad de ceros como de

decimales.

Ejemplo: 3,289 ÷ 2,32

Se multiplica por “1000” y se resuelve como en el ejemplo anterior.

https://www.youtube.com/watch?v=wCTG8ILpkcA

BIBLIOGRAFÍA

Richard Stallman. Enciclopedia universal. 1999. disponible en:

www.wikipedia.com Juan Carlos Fernández Gordillo. Matemáticas. Valencia

España. Edifesa, Disponible en: www.vitutor.com Chad Hurley. Steve Chen. Jawed Karim. Reproductor de video

online. 15 de febrero de 2005. Disponible en

http://www.youtube.com Vladimir Moreno Gutiérrez. Mauricio Restrepo López. Delta 6.

Ed Norma. 2008 Vladimir Moreno Gutiérrez. Mauricio Restrepo López. Delta 7.

Ed Norma. 2008 William Hernando Dueñas. Luz Dary García Forero. Alix Aleida

Garavito Ramírez. Con lógica 6. Ed Educar. 2012. William Hernando Dueñas. Luz Dary García Forero. Alix Aleida

Garavito Ramírez. Con lógica 7. Ed Educar. 2012.

Aurelio Baldor. Aritmética de Baldor. Publicaciones cultural

Mexico.1997

SOFTWARE

Kvisoft Inc. FlipBook Maker Pro. 2014. Disponible en:

www.kvisoft.com/flipbook-maker-pro Diego Uscanga. aTube Catcher.2011. Disponible en:

www.atubecatcher.es

VIDEOS Cibermatex. Yáiza López Padilla. Introducción a los números

racionales.2013. Disponible en:

https://www.youtube.com/watch?v=M6xKMgfp8aU&spfreloa

d=1 Byron Castro guerrero. Aprende a amplificar y a simplificar

fracciones. 2013. Disponible en:

https://www.youtube.com/watch?v=LKqSm2oPJcI

Matemática básica. Comparación y Orden de Fracciones. 2013.

Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=Gsm-

QOLjd-k

Educatina. Suma y Resta de Fracciones con Diferente Denominador

– Aritmética. 2011. Disponible en:

https://www.youtube.com/watch?v=xixL9r2qCWs

Julio Alberto Ríos Gallego. Multiplicación de números

fraccionarios. 2014. Disponible en:

https://www.youtube.com/watch?v=QAgO78CQ6FQ Julio Alberto Ríos Gallego. División de números fraccionarios.

2014. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=od-

OrEqF6rs Roberto Rodríguez. Potenciación de fracciones. 2012.

Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=XJB-

gk4I61c Roberto Rodríguez. Radicación de números fraccionarios. 2012.

Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=KSgF-

9IQSEs El numérico. Comparación y Orden de Números Decimales.

2012. Disponible en:

https://www.youtube.com/watch?v=1s9zz1LuUSk&spfreload

=1 . Rainier Castañeda Luna. Conversión de fracciones a decimales

y viceversa. 2013. Disponible en:

https://www.youtube.com/watch?v=Uf0FLH3nB-E Julio Alberto Ríos Gallego. Suma y resta de números decimales.

2012. Disponible en:

https://www.youtube.com/watch?v=_qrNvRnyXe8 Julio Alberto Ríos Gallego. Multiplicación de números

decimales. 2012. Disponible en:

https://www.youtube.com/watch?v=q8NJK9ksVN4 Julio Alberto Ríos Gallego. División de números decimales.

2012. Disponible en:

https://www.youtube.com/watch?v=wCTG8ILpkcA