Tema 01 Numeros Racionales

1

Ma te má ticas

3º de ES O

1Núme ros

ra ciona le s

La fracción es el cociente indicado de dos números enteros,

siendo el divisor distinto de cero.

• n indica las partes en que se ha dividido la unidad.

• m indica el número de unidades fraccionarias elegidas.

m recibe el nombre de numerador, y n el de denominador

m

n

13

13

13

23

1. Unidad fraccionaria

MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 1. NÚMEROS RACIONALES Javier Fernández

2

Ma te má ticas

3º de ES O

1Núme ros

ra ciona le s

Dos fracciones distintas pueden representar la misma parte de la unidad, es decir el mismo número. En este caso se dice que son equivalentes.

=

3

4

9

12=

=

2.1. Fracciones equivalentes (I)


3

Ma te má ticas

3º de ES O

1Núme ros

ra ciona le s

MediosExtremosab= c

d⇔a . d=b . c

Si se multiplica o divide el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número distinto de cero, se obtiene otra fracción equivalente a la dada

1521

=15·321· 3

=4563

En la práctica: dos fracciones son equivalentes si el produco de extremos es igual al producto de medios.

2.2. Fracciones equivalentes (II)


5

Ma te má ticas

3º de ES O

1Núme ros

ra ciona le s

Simplificar una fracción es hallar otra igual cuyos términos se obtienen dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número entero.

Una fracción irreducible es la que no se puede simplificar más.

35

es una fracción irreducible

315 :

321:=

1521

=57

2.3 Simplificar fracciones


4

Ma te má ticas

3º de ES O

1Núme ros

ra ciona le s

ab

cd⇔a .db .c

En la práctica:

Para comparar dos fracciones, primero se reducen a común denominador y luego se comparan los numeradores: es menor la fracción que tenga menor denominador.

¿Qué fracción es menor de las siguientes: 2

9ó

5

12?

29=

836

512

=1536

La primera fracción es menor que la segunda

<

3.1 Comparación de fracciones


6

Ma te má ticas

3º de ES O

1Núme ros

ra ciona le s

=15⋅321⋅3

Ampliar una fracción es hallar otra igual cuyos términos se obtienen multiplicando el numerador y el denominador por el mismo número entero.

1521

=4563

Reducir a común denominador es hallar un múltiplo de los denominadores y amplificar las fracciones a ese denominador

35

,23

=3⋅35⋅3

,2⋅53⋅5

= 915

,1015

3.2 Reducción a común denominador


8

Ma te má ticas

3º de ES O

1Núme ros

ra ciona le s

Para sumar o restar dos fracciones entre sí, los números enteros y losfraccionarios deben estar expresados todos en las mismas unidades fraccionarias.

5

12+

3

12

8

12

=

Para sumar o restar dos fracciones cualesquiera se reduce a común denominador, se deja el denominador y se suman (o se restan) los numeradores

38−5

6= 9

24−20

24=−11

24

4. Suma y resta de fracciones


9

Ma te má ticas

3º de ES O

1Núme ros

ra ciona le s

El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene:• por numerador, el producto de los numeradores, y• por denominador, el producto de los denominadores.

57⋅3

5=5⋅3

7⋅5=15

35

Al considerar los lados del

rectángulo como una unidad,

observamos que el área

verde medirá

1535

que deberá ser igual a57⋅3

5

Por ello podemos poner que:

5.1 Producto de fracciones


10

Ma te má ticas

3º de ES O

1Núme ros

ra ciona le s

Para dividir una fracción entre otra, se multiplica la primera por la inversa de la segunda.El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene:

• por numerador, el producto de los extremos, y• por denominador el producto de los medios.

ab

: cd=a · d

b · cEn la práctica:

5.2 Cociente de fracciones


43

:35= 4·5

11·3= 20

33

11

Ma te má ticas

3º de ES O

1Núme ros

ra ciona le s

Cuando sólo aparecen sumas y restas las operaciones se realizan sucesivamentede izquierda a derecha

135

6−3

4= 4

1210

12− 9

12=

=1412

− 912

= 512

En este caso no importa el orden en que hagamos las operaciones.

135

6−3

4=

412

1012

− 912

=

= 412

112

= 512

6.1 Jerarquía de las operaciones (I)


12

Ma te má ticas

3º de ES O

1Núme ros

ra ciona le s

Cuando sólo hay productos y cocientes las operaciones se realizan sucesivamente de izquierda a derecha.

35⋅1

6: 37= 3

30: 37=21

90= 7

30

En este caso no importa el orden en que hagamos las operaciones.

35⋅1

6: 37=3

5⋅ 718

=2190

= 730

6.2 Jerarquía de las operaciones (II)


13

Ma te má ticas

3º de ES O

1Núme ros

ra ciona le s

En este caso se realizan primero los productos/cocientes y luego las sumas/restas

23− 4

5⋅3

4=2

3−12

20=

=23−3

5=10

15− 9

15= 1

15

Con otras palabras: el producto/cociente tiene prioridad sobre la suma/recta

23− 4

5⋅3

4 Esta operación no se puede hacer primero

6.3 Jerarquía de las operaciones (III)


14

Ma te má ticas

3º de ES O

1Núme ros

ra ciona le s

• Cuando se quiere cambiar el orden de las operaciones se utilizan los paréntesis.• Las operaciones que hay dentro de los paréntesis se realizan según los criterios anteriores.

23− 78−5

6 =23−21

24−20

24 =23− 1

24=16

24− 1

24=15

24=5

8

2314 : 2

3−5

6 = 812

312 : 4

6−5

6 =1112

: − 112 =−11

6.4 Jerarquía de las operaciones (IV)


15

Ma te má ticas

3º de ES O

1Núme ros

ra ciona le s

1 u.

0

1 u.1 u.1 u.1 u.

-3

1 u.

1

1 u. 1 u.

4

7.1 Representación de los números enteros


16

Ma te má ticas

3º de ES O

1Núme ros

ra ciona le s

AB

• • • •

División de un segmento AB en partes iguales (en este caso 5) mediante el Teorema de Tales

7.2 División de un segmento en partes iguales


17

Ma te má ticas

3º de ES O

1Núme ros

ra ciona le s

O 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5

1

35

Vamos a representar por ejemplo

7.3 Representación de los números racionales


7

Ma te má ticas

3º de ES O

1Núme ros

ra ciona le s

QQ

QQ

0 1 2-1-2 1/2

-1-2 0 1 2ZZ

ZZ

NN NN

0 1 2

N⊂Z⊂Q

AMPLIACIÓN. Distintos conjuntos de números


18

Ma te má ticas

3º de ES O

1Núme ros

ra ciona le s

Un pintor pinta un garaje en 8 horas, y su hijo, en 12 horas. Si padre e hijo trabajan juntos, ¿cuánto tardarán?

• ¿Cuánto pinta cada uno en una hora?

• El padre en una hora pinta:

1

8=

3

24

• El hijo en una hora pinta: =

1

12

2

24

En una hora juntos pintan

5 de las 24 partes

• Para pintar las 24 partes (los dos a la vez): 24

24 : 55

4 48hor ns ha mi= =

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. El paso a la unidad


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