4

—

—

—

—

—

1 NÚMEROS RACIONALES

E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S

1.1

1.2

Arquímedes nació en el año 287 a. C. en Siracusa (Sicilia). ¿Cuántos años han transcurrido desde su na- cimiento?

2008 ( 287) 2295 años

¿De qué número es 6 la tercera parte?

¿Y la sexta?

Si x es el número buscado, entonces x

6, luego x 18.3

Y x

6, luego x 366

1.3 Sergio recorre en bicicleta los 7

del trayecto de una prueba deportiva. Si aún le faltan 18 kilómetros,9

¿cuántos kilómetros tiene la carrera?

7 2Si ha recorrido del trayecto, le quedan por recorrer , que corresponden a 18 km.

9 91 18

Por tanto, del trayecto es km 9 km9 29

Luego los equivalen a: 9 9 81 km.9

Medida del trayecto: 81 km

1.4 En un centro de acogida de animales se recogen perros y gatos callejeros. Los perros representan 7

del15

total. Si el número de animales es de 120, ¿cuántos perros y gatos hay?

7 1Número de perros: 120 7 120 7 8 56

15 15Número de gatos: 120 56 64

1.5 Una urbanización en la costa recicla 65 000 metros cúbicos de agua para el riego de sus calles y jardi-

nes. Si esta cantidad representa los 7

del total, ¿cuántos metros cúbicos quedan sin reciclar?10

1 de las toneladas recicladas es: 65 000 10 6500.10Toneladas sin reciclar,

3 3 6500 19 500 m3.

10

1.6 El agua, al helarse, aumenta aproximadamente 1

su volumen y, por eso, el hielo flota en el agua.10

Si se tiene un metro cúbico de agua, ¿cuánto aumenta su volumen?

1 metro cúbico 1000 dm3

1 11Volumen de un dm3 de agua helada: 10

10 1011

Volumen de un m3 de agua helada: 1000 dm3 1100 dm3

10Por tanto, aumenta 100 dm3.

1.7 Amplifica la fracción 7

a una que tenga por numerador 77 y a otra con denominador 99.11

7 77a) Se amplifica multiplicando por 11:

11 1217 63

b) Se amplifica multiplicando por 9: 11 99

5 20 5 10 20 100 14 49

a)

b)

c)

d)

3 20 5 12 ⇒ No son equivalentes.

4 10 5 8 ⇒ Sí son equivalentes.

7 100 20 40 ⇒ No son equivalentes.

6 49 14 21 ⇒ Sí son equivalentes.

1.8 Comprueba si las siguientes fracciones son equivalentes.

3 12 4 8 7 40 6 21a) —— y —— b) —— y —— c) —— y —— d) —— y ——

1.9 Halla la fracción irreducible de las siguientes fracciones.

270 150 80 72 111 39a) —— b) —— c) —— d) —— e) —— f) ——

990 225

270

240

3

360 393

72 1

195

a) m.c.d.(270, 990) 90 ⇒ d) m.c.d.(72, 360) 72 ⇒ 990 11

150 2

360 5

111 37b) m.c.d.(150, 225) 75 ⇒ e) m.c.d.(111, 393) 3 ⇒

225 3

80 1

393

39

131

1c) m.c.d.(80, 240) 80 ⇒ f) m.c.d.(39, 195) 39 ⇒

240 3 195 5

1.10 Indica si son correctas las siguientes desigualdades.

14 16 20 15 33 45a) —— —— —— b) —— —— ——

12 10 14 18 39 54

Se calcula el m.c.m. para conseguir que todas las fracciones tengan el mismo denominador y poder comparar los numeradores.

a) La desigualdad no es correcta porque m.c.m.(12, 10, 14) 420.

14 490 16 672 20 600 14 20 16 ⇒ 12 420 10 420 14 420 12 14 10

b) La desigualdad no es correcta porque m.c.m.(18, 39, 54) 702.

15 585 33 594 45 585 33 15 45 ⇒

18 702 39 702 54 702 39 18 54

4 5 3 4 6 21.11 Ordena de menor a mayor los siguientes números racionales: ——, ——, ——, ——, ——, ——3 2 5 5 10 3

Para ordenar las fracciones se transforman a otras con igual denominador entre ellas.

4 40 5 75 3 18 4 24 6 18 2 203 30 2 30

2 6 3

5 30

4 4 5

5 30 10 30 3 30

Ordenación: 3 10 5 5 3 2

1.12 Escribe tres fracciones, si existen, comprendidas entre:

2 3—— y ——5 5

¿Existen tantas fracciones como queramos? ¿Por qué?

2 20 30 3Observa el proceso:

5 50 50 5

Entre las fracciones centrales podemos escribir 9 fracciones de denominador 50. Fracciones intermedias:

2 20 21 22 23 30 3

…

Hay infinitas fracciones.

5 50 50 50 50 50 5

c

1.13 Utiliza el teorema de Tales para representar en una recta estos números racionales.

5 7 5 2a) —— b) —— c) —— d) ——

2 3 6 5

5 1 –5a) 2 2 2 2

0 1 2 3

7 1 – –7b) 2 3 3 2

–3 –2 –1

5 –5 6 6

0 1

d) 25

– –2 5

–1 0

1.14 Escribe el número representado en cada figura.

r r

a) El número representado es 3

.5

2 5b) El número representado es 1 .

3 30 1 0 1 2

1.15 Calcula y simplifica el resultado:

3 2 4 4 1 3 3 2 7 5 1 4 2 1a) —— : —— —— —— —— —— : —— b) —— —— —— —— : —— —— —— 5 3 5 3 3 4 7 3 2 6 4 3 3 6

3 2 4 4 1 3 3 9 16 1 21 54 64 20 105 95 19a) 5 3 5 3 3 4 7 10 15 3 12 60 60 12

2 7 5 1 4 2 1 16 84 20 6 8 4 1 82 5 492 41b) 3 2 6 4 3 3 6 24 6 24 6 129 10

1.16 Calcula y simplifica el resultado:

3 5 1 4 3 1 5 3 1 10 1 1 2

a) —— —— —— —— —— —— b) —— —— —— —— —— —— 8 3 2 11 4 5 9 4 2 3 2 5

3 5 1 4 3 1 3 10 3 4 15 4 21 44 1155 528 627 209a) 8 3 2

5 3 1

11 4 5 8 6

10 1 1 2

5 1

11 20

10 3 2

48 220

5 1 3

2640

100 45 54

2640

199

880

b) 9 4 2 3 2 5 9 4 3 10 9 4 10 180 180

1.17 Escribe cada número fraccionario en forma decimal. Indica qué tipo de número decimal es cada uno y, si existen, la parte entera, el anteperíodo y el período.

10 13 16 19a) —— b) —— c) —— d) ——

4 27 11 6

10a) 2,5 tiene una expresión decimal exacta.

4

b) 13

0,48w148 tiene una expresión decimal periódica mixta con período 148 y anteperíodo 48.27

c) 16

1,v45 tiene una expresión decimal periódica pura con parte entera 1 y período 45.11

19

d) 3,16

tiene una expresión decimal periódica mixta con período 6 y anteperíodo 1.

5 100 8 10

7

5

1.18 Indica, sin hacer la división, el tipo de expresión decimal de las siguientes fracciones.

17 17 29 77a) —— b) —— c) —— d) ——

6 21 14 50

a) Denominador: 6 2 3 c) Denominador: 14 2 7

Fracción mixta, ya que tiene los factores 2 y 3 Fracción mixta, ya que tiene los factores 2 y 7.

b) Denominador: 21 3 7 d) Denominador: 50 2 5 5

Fracción periódica pura, ya que tiene los factores 3 y 7. Fracción exacta, ya que tiene los factores 2 y 5.

1.19 Escribe en forma fraccionaria estos números.

a) 2,222… c) 7,1 e) 0,66 g) 0,155…

b) 10,555… d) 6,2525… f) 2,15 h) 0,3333…

20 71 2 7a) 2,222… c) 7,1 e) 0,66 g) 0,155…

9 10

95 619

3 45

215 1b) 10,555… d) 6,2525… f) 2,15 h) 0,3333…

9 99 100 3

1.20 Suma los números decimales 0,3333… y 0,5555…, pasando previamente a fracciones. ¿Se obtiene el mis- mo resultado?

3 5 80,3333… 0,5555… 0,8888…

9 9 9

Observa que es también la suma de los dos números decimales.

R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S

1.21 Carlos ha vuelto a ir de compras. Ahora ha gastado dos quintas partes de su dinero en fruta, los tres séptimos de lo que le quedó, en yogures, y 18 euros en leche, gastando todo su dinero. ¿Cuánto gastó en total?

Carlos gastó en leche cuatro séptimas partes de lo que tenía después de comprar fruta. Si esa cantidad fueron 18 euros, tras

comprar fruta le quedaron 18 4 31,50 euros. Como en fruta gastó dos quintos de su dinero, esa cantidad es igual a

los7

3

tres quintos del dinero con el que salió de casa. Por tanto, Carlos gastó en total 31,50 52,50 euros.

1.22 Los amigos de Carlos salieron a pasear. Después de una hora, la sexta parte del grupo decidió regresar, y los tres quintos de los que quedaban pararon para hacer un descanso. Los otros cuatro amigos si- guieron andando hasta llegar a su destino. ¿Cuántos formaban el grupo?

Los cuatro amigos son las dos quintas partes de los que no dieron la vuelta. Por tanto, entre estos cuatro y los que pararon a descansar eran 10 personas. Como esa cantidad correspondía a las cinco sextas partes del grupo, inicialmente salieron a pasear12 personas.

A C T I V I D A D E S

E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E

Números fraccionarios. Números racionales

1.23 Escribe la fracción que corresponde a estas expresiones:

a) Alba ha resuelto bien 4 de los 5 ejercicios del examen.

b) El 15% de los habitantes de una ciudad son inmigrantes.

8

c

)

La octava parte de los 96 participantes de un maratón no terminó la prueba.

d) En una empresa, 8 de cada 10 empleados llegan puntualmente al trabajo.

4 15 96 8a) b) c) d)

1.24 Calcula el valor de x para que sean equivalentes las siguientes fracciones:

x 8 42 7 x 2a) —— y —— b) —— y —— c) —— y ——

26 13

x 8

54 x 50 x

a) ⇔ 13x 8 26 ⇔ x 1626 13

42 7b) ⇔ 42x 7 54 ⇔ x 954 x

x 2c) ⇔ x 2 2 50 ⇔ x 1050 x

1.25 Halla, mediante amplificación, cuatro fracciones equivalentes a cada una de las dadas.

19 12 16 8a) —— b) —— c) —— d) ——

8

19 38

30

57 76 95

11

16 32 48

15

64 80a) c)

8 16

12 24

24 32 40

36 96 60

11 22 33

8 16 24

44 55

32 40b) d)

30 60 90 120 150 15 30 45 60 75

1.26 Simplifica las siguientes fracciones.

30 28 150 360a) —— b) —— c) —— d) ——

45

30 2

35

28 4

200

150 3

300

360 6a) b) c) d)

45 3 35 5 200 4 300 5

1.27 Escribe, para cada apartado, cinco fracciones que representen el mismo número racional dado.

17 25 60 24a) —— b) —— c) —— d) ——

5

17 34 51 68

32

85 102

75

60 120 180 240

18

300 360a) c)

5 10

25 50

15 20

75 100

25

125

30

150

75 150

24 48

225

72

300

96

375

120

450

144b) d)

32 64 94 128 160 192 18 36 54 72 90 108

Fracciones y decimales

1.28

1.29

Indica cuáles de los siguientes números decimales se pueden expresar en forma de fracción. Justifica tu respuesta.

a) 3,14 c) 82,7777…

b) 8,010010001… d) 4,08939393…

Todos menos el del apartado b, porque no tiene período.

Sin hallar su expresión decimal, indica si los siguientes números son exactos, periódicos puros o perió- dicos mixtos. Justifica tu respuesta.

13 35 8 97a) —— b) —— c) —— d) ——

50 27 125 42

a) Exacto, porque el denominador sólo tiene los factores 2 y 5.

b) Periódico puro, porque el denominador no tiene los factores 2 y 5.

c) Exacto, porque el denominador sólo tiene el factor 2.

d) Periódico mixto, porque el denominador tiene los factores 2 y 3.

360 360 360 360 360 5 9 15 10 8

9

1.30 Halla la expresión decimal de las siguientes fracciones y di de qué tipo son (exactas, periódicas puras o periódicas mixtas).

48 25 50 70a) —— b) —— c) —— d) ——

19 36 64 9

48 50a) 2,5 26 31 489 47 368 42 10. Periódica pura c) 0,78125. Exacta19 64

25 70b) 0,59v4. Periódica mixta. d) 7,7v. Periódica pura

36 9

1.31 Calcula la fracción irreducible equivalente a los siguientes números decimales.

a) 0,w36

c) 3,985 e) 18,45 g) 10,5v5

b) 2,983v d) 1,2 f) 8,03w59

h) 5,34v

36 4 1845a) 0,3w6 e) 18,45

99 11 100

2983 298 2685 179 80 359 803 19 889b) 2,983v f) 8,035w9

900

1845 369

900 60 9900

105 10 95

2475

c) 18,45 g) 10,5v 100 20 9 9

80 359 803 79 556 19 889 534 53 481d) 8,03w59 h) 5,34v

9900 9900 2475 90 90

Ordenación, comparación y representación de números racionales

1.32 Estudia si son correctas las siguientes relaciones de orden.

8 6 7 4 3 5 9 4a) —— > —— b) —— < —— c) —— > —— d) —— > ——

5 5 16 9 11 11 20 6

a) Sí, porque a igual denominador es mayor la fracción con mayor numerador.

7 63 4 64b) y

16 144

63 64

9 144

7 4 ⇒ . Es correcta.144 144 16 9

c) No es correcta porque a igual denominador, es menor la fracción de menor numerador.

9 27 4 40d) y

20 60

27 40

6 60

9 4 ⇒ . No es correcta.60 60 20 6

1.33 Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones.

19 32 8 24 7 43 43 43 43 43 15 2 1 4 6a) ——, ——, ——, ——, —— b) ——, ——, ——, ——, —— c) ——, ——, ——, ——, ——

36 36 36 36 36 27 18 39 5 40 8 9 5 15 10

7 8 19 24 32a)

36 36

43 43

36 36 36

43 43 43b)

40 39 27

15 675 2

18 5

80 1 72 4 96 6 216

10

c) ; ; ; ; 8 360 9

72 80

360

96

5

216

360 15

675

360 10

1 2 4

360

6 15 ⇒

3

1.34 Compara estas fracciones:

9 4 6 12 10 10 5 6a) —— y —— b) —— y —— c) —— y —— d) —— y ——

12 23

9 4

25 15 28

10

16

10

18 32

a) c) 12 23

6 18 12 60

28 16

5 80 6 54b) ; d) ;

25 75 15

18 60 6

75

12

18

80

288 32

54

288

⇒ 75 75 25 15 288

5

288

618 32

1.35 Expresa los números decimales en forma de fracción y luego compara las fracciones.

28 17 7 111a) 1,318 y —— b) —— y 2,5v c) —— y 0,w16

d) 5,36 y ——25

1318 659 28

9

560

18

16 128 7

20

693a) 1,318 ; c) 0,1w6 ;

659

1000

28

500 25

28

500

693

99

128

792 18

7

792

⇒ 1,318 y ⇒ 0,w16500 25 25

25 2 23

792 792

536

18

111 555b) 2,5v d) 5,36 ;

9 9

17 23 17 536

100 20

555

100

111 ⇒ 2,5v ⇒ 5,36 9 9 9 100 100 20

1.36 Descompón las fracciones en suma de un entero más una fracción propia (el valor de una fracción pro- pia es siempre menor que la unidad) e indica entre qué dos valores enteros quedarían representadas so- bre la recta.

29 13 37 11a) —— b) —— c) —— d) ——

8

29 5

4

13 1

5

37 2

3

11 2a) 3 b) 3 c) 7 d) 3

8 8 4 4 5 5 3 3

1.37 Representa en la recta numérica:

2 3 4 8 11a) —— b) —— c) —— d) —— e) ——

7 5

a) –2

9 3 6

7 0 1

b) –3

5 0 1

c) – –49

–1 0

8 2d) 2 – –8

3 –3 –2 –1 0

11 5e) 1 1–1

6 6 6 0 1 2

3 9 6 4 9 9 6 4 9 6 4 36 36 36 36

11

1.38 Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones.

10 8 13 24 37a) ——, ——, ——, ——, ——

29 29

19 19

29 29

19 19

29

19b) ——, ——, ——, ——, ——

8 12

2 4

6 5 18

8 9 7c) ——, ——, ——, ——, ——

3 15 25 10

1 5 9

6

1 15d) ——, ——, ——, ——, —— 12 8 16 4 36

24 8 10 13 37a)

29 29 29 29 29

19 19 19 19 19b)

8 18 12 6 5

2 100 4 40 8 48 9 135 7 185c) ; ; ; ;

3 150 15 150 25 150 10 150 6 150

135 48 40 100 185150

9

150

8

150

4 2

150

7

150

10 25 15 3 6

1 12 5 135 9 81 1 36 15 60d) ; ; ; ; 12

81

144 8

12 36

144 16

60

144 4

135

144 36 144

144

9

144

1

144

1 15

144

5

144

16 12 4 36 8

Operaciones con números racionales

1.39 Realiza las siguientes sumas y restas.

5 3 10 11 7 2 8a) —— —— —— —— d) —— —— —— 4

4 8 6 2

19 1 4 8

30 45 5

5 1 3b) —— —— —— —— e) —— 2 —— —— 16 3 9 3

7 1 3 5

24

10 8

4 9

9 13c) —— —— —— —— f) —— —— —— ——12 18 4 9 3 9 6 4

5 3 10 11 30 9 40 132 123a)

4 8 6 2 24 24 24 24 24

19 1 4 8 19 3 4 8 19 1 8 171 16 384 197b) 16 3 9 3 16 9 9 3 16 9 3 144 144 144 144

73 1 3 5 7 1 27 20 7 1 7 21 2 7 12 1c) 12 18 4 9 12 18 36 36 12 18 36 36 36 36 36 3

7 2 8 21 4 144 360 191d) 4

30 45 5 90 90 90 90 90

5 1 3 5 72 9 12 5 75 15 150 135 15e) 2 24 4 9 24 36 36 36 24 36 72 72 72 8

10 8 9 13 30 8 9 13 22 9 13 88 54 117 151

12

f)

5 5 3

6 92

—

—

—

——

1.40 Halla el resultado de las siguientes multiplicaciones y divisiones.

9 5 14 6 4 8a) —— —— —— c) —— : —— : —— 6 4 35 9 3 12

3 2 10 2 21 4b) —— —— —— d) —— : —— : ——8 15 9 7 6 9

9 5 14 9 5 14 3a) 6 4 35 6 4 35 2

3 2 10 3 2 10 1b) 8 15 9 8 15 9 18

6 4 8 18 8 216 3c) 9 3 12 36 12 288 4

2 21 4 12 4 108 9d) 7 6 9 147 9 588 49

1.41 Calcula las siguientes potencias.

3 4

9 0

2 5

a) —— c) —— e) —— 7

3 8

2 1

1

b) —— d) —— f) ——

3 4

34 81 9 0

2 5

25 32a) 4 c) 1 e) 5 5 5

7 3

73

625

343

5

8 2

82 64

3 3

1 1

1

243

b) 3 d) 2 f) 6 6 216 9 9 81 2 2

1.42 Expresa los números decimales en forma fraccionaria y después realiza las operaciones indicadas.

a) 0,45 1,2 65

b) 18,4 1

2,54

c) 7

0,3v 1,w299

d) 3,1w8 1,1 2

9

6 45 12 6 45 120 120 45 9a) 0,45 1,2

5 100 10 5 100 100 100 100 20

1 184 1 258 25 184 1 233 3312 45 466 3733b) 18,4 2,5

4 10 4 90 10 4 90 180 180 180 180

7 7 3 129 1 7 3 128 77 33 128 172c) 0,3v 1,w29

9 9 9 99 9 9 99 99 99 99 99

2 318 3 115 11 2 315 104 2 3150 1144 220 893d) 3,1w8 1,1

9 99 90 9 99 90 9 990 990 990 990

8 32 140 35

13

Operaciones combinadas

1.43 Halla el resultado de las siguientes operaciones con números racionales.

4 6 8 5 3 2 1 8 9a) —— —— —— —— : —— c) —— : —— —— —— : ( 5)7 7 3 4 2

1 2 4 2

3 1

3 2 12 3

5 11 7 3

b) —— —— —— —— —— d) 2 3 : —— —— —— 6 6 5 5 2 6 4 2

4 6 8 5 3 4 48 10 48 192 70 137a) 7 7 3 4 2

1 2 4 2

3 1

7 21 12 84

1 2 16 3 1

84 84

32 3

84

25 32 45 12 2b) 6 6 5 5 2 6 6 25 10 6 150 10 150 150 150 150 25

2 1 8 9 4 72 4 2 20 6 26c) ( 5) ( 5) 3 2 12 3

5 11

3 36

7 3

18

3 5

11 343

15 15

18 3773

15

320 576 18 865 19 121d) 2 3 2 2 6 4 2 5 4 8 5 32 160 160 160 160

1.44 Realiza las siguientes operaciones.

7 1 2 6 3a) —— —— —— —— : —— 9 9 3 4 7

1 3

11 4 3b) 3 —— : —— —— —— 2 5 5 4

8 2 4 7c) 4 2 —— —— —— : ——9 3 5 2

4 3 2 3 6d) —— 1 —— —— —— —— 10 4 5 2 5

15 2

3 9 7e) 8 —— : —— —— 2 —— 2 4 8 16

7 1 2 6 3 7 1 2 42 7 1 8 42 7 1 34 7 34a) 9 9 3 4

84 34

7

118

9 9 3 12

59

9 9 12 12 9 9 12 9 108

108

1 3

108

11

108 54

4 3 5 3

11 3 125 8 625b) 3 2 5 5 4 2 5 5 8 5 16

8 2 4 7 8 8 7 40 24 7 16 7c) 4 2 4 2 4 2 4 2 9 3 5 2

32 7 64 1260

9 15

64

2

1324

45 45 2 45 2

4 4 45 2 315 315 315 315

4 3 2 3 6 4 3 2 18 4 3 14 4 42d) 1 1 1 1 10 4 5

4 2

2 5 10

8 1

4 5 10 10 4 10 10 40

10 40

15 2

3

400 50

9 7 1 2

3 7 7 1 21 7 1 21 14e) 8 2 2 4 8 16 2 4 8 16 8 32 16 8 32 32

1 35 32 8

14

1.45 Expresa los números decimales en forma de fracción y luego haz los cálculos.

a) 0,42 3,1 10,8v 1,w52

c) 19,85v 13,2 4,5 8,1w6

b) 7,16 (1,1 3,8 7,2v) d) 2,84 5,1v (0,w503 4,w96)

42 31 108 10 152 1 1302 98 151a) 0,42 3,1 10, 1,5w2

128 898 1 078 000

100 10

15 100

9

934 002

99

167 001

1000 9 99

99 000 99 000 99 000 99 000 49 500

716 17 1 38 72 7 716 16 38 65 716 16 2470b) 7,16 (1,17v 3,8 7,2v) 100 9 10 9 100 9 10 9 100 9 10

716 160 22 230 716 22 390 6444 223 900 217 456 54 364100 90 90 100 90 900 900 900 225

1985 198 132 45 816 8 1787 5940 808c) 19,85v 13,2 4,5 8,1w6

196 570 588 060 80 800

90 10

310 690

10 99

31 069

90 100 99

9900 9900 9900 9900 990

284 51 5 503 496 4 284 46 503 492d) 2,84 5,1v (0,5w03 4,w96) 100 9 999 99 100 9 999 99

13 064 5533 54 612 13 064 49 079 1 306 415 951 144

4 907 900

20 659 044

5 164 761

900 10 989 10 989 900 10 989 1 098 900

1 098 900

1 098 900

274 725

C U E S T I O N E S P A R A A C L A R A R S E

1.46

1.47

Al representar en la recta dos fracciones equivalentes, ¿cuántos puntos se dibujan sobre ella?

Como conclusión al resultado anterior, y teniendo en cuenta que un número racional es un conjunto de infinitas fracciones equivalentes entre sí, ¿cuántos puntos de la recta se necesitan para representar un número racional?

Al representar en la recta dos fracciones equivalentes, solo se dibuja un punto sobre ella.

Para representar un número racional, solo es necesario un punto de la recta.

Para decir la hora que es cuando han pasado 15 minutos de la hora en punto se utiliza un valor frac- cionario. Por ejemplo, se dice “las ocho y cuarto” en lugar de “las 8 y 15”. Explica si es correcta la frac- ción utilizada.

15 1Sí, porque 15 minutos de una hora equivalen a la fracción .

60 4

1.48 Escribe:

a) Un número racional que no sea entero. c) Un número entero que no sea racional.

b) Un número racional que sea entero. d) Un número decimal que no sea racional.

a) 8

c) Es imposible: todos los números enteros son racionales.7

b) 36

d) 1,320332033320…4

1.49 Explica, utilizando ejemplos, si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones.

a) Todas las fracciones representan cantidades inferiores a la unidad.

b) Un número racional es una fracción.

c

)

C

u

a

l

q

u

i

e

r

n

ú

m

e

r

o

d

e

c

i

m

a

l

s

e

p

u

e

d

e

e

x

p

r

esar en forma fraccionaria. d) Los números enteros también son

racionales.

a) Falso: 9

representa una cantidad mayor que 1.5

15

b) Falso: los números racionales también son enteros. Por ejemplo,

18 .9

c) Falso: los números decimales con infinitas cifras decimales no periódicas no se pueden expresar en forma fraccionaria. Por ejemplo, 0,12349873412…

d) Verdadero.

1.50

1.51

1.52

¿En qué son iguales los números 3,1414 y 3,1414…? ¿Qué los diferencia?

Son números racionales y, por tanto, se pueden expresar en forma de fracción.

El primero es exacto, tiene una cantidad finita de cifras decimales, y el segundo es periódico puro, 3,1w4.

Al operar con números racionales, ¿se obtiene siempre otro número racional? En caso contrario, pon un ejemplo.

Sí, porque al operar con números racionales o se obtiene una fracción o un entero que son números racionales.

Utiliza ejemplos para estudiar si el resultado de la multiplicación o la división de dos fracciones es dis- tinto si se realiza en la forma habitual o reduciendo previamente las fracciones a denominador común.¿Qué conclusión obtienes?

6 8 48 16 . Es el resultado de la multiplicación sin reducirlas a denominador común.9 3 27 9

6 8 6 24 144 16 . Es el resultado reduciéndolas previamente a denominador común.9 3 9 9

7 1 21

81 9

. Es el resultado de la división sin reducirlas a denominador común.16 3

7 1

16

21 16 1008 63 21 . Es el resultado de la división reduciéndolas a denominador común.16 3 48 48 768 48 16

El resultado es el mismo, pero al reducirlas a denominador común, el numerador y el denominador de las fracciones son núme- ros más grandes que hay que simplificar, y el ejercicio resulta más laborioso.

P R O B L E M A S P A R A A P L I C A R

1.53 En un grupo de 3.o de ESO de 28 alumnos hay 7 chicas. De entre los chicos, la octava parte no ha naci- do en España. ¿Qué fracción del total representan?

Hay 28 7 21 chicos.

1 21 3 de de los chicos no han nacido en España.8 28 32

1 31.54 Javier ha cortado —— de una baguette para hacer un bocadillo y con los —— del resto ha preparado unas3 4

rebanadas. Ha sobrado un trozo de 4 centímetros. ¿Cuánto medía la baguette?

1 21 de la barra quedan después de hacer el bocadillo.

3 3

3 2 1 utiliza para las rebanadas.4 3 2

1 1 6 2 3 1Queda: 1 , que equivale a 4 cm.

3 2 6 6 6 6

Por tanto, la medida de la baguette era de: 6 4 24 cm

1.55 En un pueblo hay dos centros escolares de Secundaria, uno de ellos de reciente construcción.

La elección de la asignatura de Matemáticas de los alumnos de 4.o de ESO en cada uno de ellos es la que se observa en el cuadro siguiente.

Matemáticas A Matemáticas B

Instituto antiguo 120 60

Instituto nuevo 90 30

¿En cuál de los centros, el número de alumnos que ha elegido la opción A respecto del total de alum- nos matriculados en 4.o de ESO es mayor?

120 12 4En el instituto antiguo: es la fracción de alumnos matriculados en la opción A.

180

90

18 6

9 3En el instituto nuevo:

120 12 4

Hay que comparar las fracciones obtenidas.

4 16 3 18 18 16 3 4 ; ⇒ ⇒ 6 24 4 24 24 24 4 6

Se han matriculado más alumnos en el instituto nuevo que en el antiguo.

1.56

1.57

Se está probando un nuevo tratamiento para una determinada enfermedad en 320 personas y se ha comprobado que en 15 de ellas produce un intenso dolor de cabeza. Aunque los efectos secundarios de- berían ser nulos, este tratamiento se aceptará como válido si el porcentaje de personas en el que se ma- nifiestan es inferior a un 0,01%.

Con los datos experimentales anteriores, ¿el tratamiento será aceptado o rechazado?

Produce dolor de cabeza en 15

, que equivale a un porcentaje del 0,0487%.320Como ese porcentaje es superior al válido para que sea aceptado, el tratamiento será rechazado.

El consumo de un televisor encendido es de 45 vatios a la hora. Si se apaga con el mando a distancia, su consumo se reduce a 15.

Si a lo largo de un día, el televisor está encendido durante cuatro horas y se apaga con el mando:

a) ¿Qué gasto total de energía se produce?

b) ¿Qué cantidad se podría ahorrar desconectando el aparato de la corriente?

c) ¿Qué fracción y qué porcentaje de ahorro se produciría en ese caso?

a) 4 45 20 15 400 W se gastan en un día.

b) 20 15 300 W se podrían ahorrar.

300 3c) La fracción:

400 4El porcentaje: 75%

1.58 En un invernadero se han sembrado 500 plantas de tomates, 400 de pimientos y 350 de calabacines.

Se sabe que se pierden por término medio 1 de cada 60 plantas de tomates, 2 de cada 25 de pimientos y 6 de cada 11 de calabacines.

a) ¿Cuál de las tres plantas es más resistente?

b) ¿Cuántas de cada clase se espera que crezcan?

c) Si en este invernadero se han conseguido 490 plantas de tomates, 320 de pimientos y 318 de cala- bacines, ¿en cuál de ellas se ha dado un aumento de producción superior a la media? ¿En qué por- centaje ha aumentado?

1 2 6a) Hay que comparar las fracciones , y .

1 55 2 264

60 25 11

6 1800 55 264 1800 1 2 6 ; ; ⇒

60 3300 25 3300 11 3300 3300 3300 3300 60 25 11

Se pierden menos plantas de tomates. Por tanto, son las más resistentes.

18

——

b) 59

500 491,67 491 plantas de tomates60

23 400 368 de pimientos25

5 350 159,09 159 de calabacines11

c) En los calabacines.

El número de plantas que ha aumentado la producción es: 359 159 200.

Se ha producido un aumento del 100%.

1.59 De los habitantes de una población, la cuarta parte son personas mayores de 60 años; las 3

partes del5

resto tienen entre 25 y 60 años, y de los que quedan, solo la sexta parte son niños menores de 8 años.

a) ¿Qué fracción de la población tiene entre 8 y 25 años?

b) ¿Qué porcentaje de la población representan los mayores de 60 años?

c) Si el total de habitantes es 8640, ¿cuántos pertenecen al mayor grupo poblacional?

1 3 3 1 1 9 1 60 15 27 10 8 2a) 1 1 1 es la fracción de población4 5 4 6 4 20 6 60 60 60 60 60 15

que tiene entre 8 y 25 años.

b) 1

100 25%4

c) 1

8640 2160 son mayores de 60 años.4

3 8640 5184 tienen entre 25 y 60 años.5

2 8640 3456 tienen entre 8 y 25 años.15

1 8640 1080 son niños menores de 8 años.8

El mayor grupo poblacional es el de las personas entre 25 y 60 años.

R E F U E R Z O

Números fraccionarios. Números racionales

181.60 Dadas las siguientes fracciones, ¿cuáles de ellas son equivalentes a ——?24

90 3 72 6 9a) —— b) —— c) —— d) —— e) ——

120 4

18 90

98 9 12

a) ⇔ 18 120 24 90 ⇔ 2160 2160. Es equivalente.24 120

18 3b) ⇔ 18 4 24 3 ⇔ 72 72. Es equivalente.

24 4

18 72c) ⇔ 18 98 24 72 ⇔ 1764 1728. No es equivalente.

24 98

18 6d) ⇔ 18 9 24 6 ⇔ 162 144. No es equivalente.

24 9

18 9e) ⇔ 18 12 24 9 ⇔ 216 216. Es equivalente.

1.61 Halla tres fracciones equivalentes a cada una de las siguientes por amplificación.

5 13 9a) —— b) —— c) ——

12

5 10 15 20

18

13 26 39 52

4

9 18 27 36a) b) c)

12 24 36 48 18 36 54 72 4 8 12 16

1.62 Calcula la fracción irreducible de:

280 63 360a) —— b) —— c) ——

490

280 28 4

42

63 9 3

135

360 72 8a) b) c)

490 49 7 42 6 2 136 27 3

1.63 Indica cuáles de los siguientes números son racionales.

a) 82,45364635… b) 6 c) 2,1919…

Los números de los apartados b y c, porque el primero de ellos es entero y el segundo es decimal periódico puro, y los dos se pueden expresar en forma de fracción.

Fracciones y decimales

1.64 Calcula el valor decimal de las siguientes fracciones indicando, cuando existan, el período y el antepe- ríodo.

25 17 28 16a) —— b) —— c) —— d) ——

9 8 13 25

25 28a) 2,7v7. Período: 7 c) 2,w153846. Período: 153846

9 13

17 16b) 2,125 d) 0,64

8 25

1.65 Sin realizar la división, indica el tipo de expresión decimal al que equivale cada fracción.

37 37 12 48a) —— b) —— c) —— d) ——

20 35 27 64

a) Exacto, porque los factores del denominador son 2 y 5.

b) Periódico mixto, porque los factores del denominador son 5 y 7.

c) Periódico puro, porque el denominador no tiene ni el factor 2 ni el 5.

d) Exacto, porque el denominador sólo tiene el factor 2.

1.66 Halla la fracción a la que equivalen las siguientes expresiones decimales.

a) 12,v160

b) 8,49v c) 30,805 d) 17,v89

12 160 12 12 148 30 805 6161a) 12,160 c) 30,805

999

849 84 765

999

153 17

1000

1789 17

200

1772b) 8,49 d) 17,v89 90 90 18 2 99 99

Comparación, ordenación y representación de números racionales

1.67 Compara los siguientes números racionales.

9 9 3 1 16 8 13 16a) —— y —— b) —— y —— c) —— y —— d) —— y ——

8 4 40 56

9 9 3 1

27 27

16 8

21 49

13 91 16 48

a) b) c) d) y 8 4 40 56 27 27 21 147

91 48

49 147

13 16 ⇒

147 147 21 49

3 3 4 3 3 4 3 15 15

19

98

4 7

1.68 Ordena de forma creciente los siguientes números racionales.

29 29 29 29 18 3 12 7 9 7 5 11a) ——, ——, ——, —— b) ——, ——, ——, —— c) ——, ——, ——, ——

5 36 15

29 29

43

29 29

45 45 45 45 16 12 8 36

a) 36

3

43

12

15 5

7 18b)

45 45

9 81

45 45

7 84 5 90 11 44 44 90 81 84c) , , , ⇒

16 144 12

11 5 9

144 8

7

144 36 144 144 144 144 144

36 8 16 12

2 9 15 71.69 Representa en la recta numérica los números: ——, ——, ——, —— .

– –2

5 10 8 3

–1–5 5 8

–1 0

–2 –1 0

–9 10

–7

3 0 1 0 1 2 3

Operaciones con números racionales

1.70 Calcula las siguientes potencias.

1 2

5 3

3 4

6 2

a) —— b) —— c) —— d) ——

1 2

1 5 3

125 3 4

81 6

2 7 2

49a) b) c) d) 9 81 8 544 4 256 7 6 36

1.71 Opera y simplifica.

18 3 6 7 1 3 5 7 4 1 5a) —— 1 —— —— c) —— —— —— —— e) —— —— —— : —— 5

11 6

4 25

9 1

8 8 2 3

5 7

2 6 3 9

8 5 1b) —— —— —— —— d) 1 —— : 2 —— f) —— —— : —— 1 10 15 5 4 6 9 3 3 4

18 3 6 18 100 75 24 18 49 360 49 409a) 1 5 4 25 5 100 100 100 5 100 100 100 100

11 6 9 1 11 6 27 1 11 21 1 11 7 1b) 10 15 5 4

11 28 5

10

11 33

15 15

22 33

4 10

55 11

15 4 10 5 4

10 20 20 10 20 20 20 20 4

7 1 3 5 7 3 5 42 9 80 29c)

8 8 2 3 8 16 3 48 48 48 48

5 7 5 18 7 5 11 45 66 45 21 7d) 1 2 1 1 1 6 9 6 9 9 6 9 66 66 66 66 11

7 4 1 5 7 4 9 7 2 3 7 10 9 7 1 105 2 103

36 3 60 36 60 180 180 180 5

20

e) 2 6 3 9 2 6 15 2 3 5 2 15 15 2 15 30 30 30

8 5 1 8 5 5 8 20 60

f) 1 4

—

4 9 99

9 9 9 9

A M P L I A C I Ó N

1.72 Representa en la recta real los siguientes números, expresando previamente los decimales en forma frac- cionaria, y luego ordénalos de menor a mayor.

17——, 3,15 , 2,v35,

209

1–7 –2,35 5 –3 –2 –1 0

0 1 2 3 4

3 ,16 –2–0

0 1 2 3 4

9

–3 –2 –1 0

1.73 Expresa como una única potencia:

7 4

7 3 2

8 9

2 4

6 4

5 2

4 3 6

2 1

a) —— —— : —— b) —— —— : —— c) —— : —— —— 8 8 7 4 9 9 3 2 3

7 4

7 3 2

8 7 4

7 6

7

1 7 11

a) 8

9 2

8

4

6

7 8

4 5

8 8

4 2

4

6

8

4

5 4

18 4

5 4 13

b)

9

2

4 3

6 2

1 3

4 3

6 2 3

4 3

73

3

c) 3 2 3 2 2 3 2 2 2

1.74 Realiza las siguientes operaciones con números racionales y simplifica el resultado.

2 3

8 4 1 7 2

1 9a) —— 1 —— —— —— : —— —— 2 —— 3 5 6 6

5 1 2 2

3

2 4 5

3 1 9b) —— —— —— : —— 2 —— —— 4 3 6 2

11 3 2

1 3

12 2

1c) —— —— 2 : —— —— —— 6 4 3 5 12

2 3

8 4 1 7 2

1 9 1 3

32 1 49 1 1a) 1 2 3 5 6 6 2 4 5 3 30 6 4 4 5

1 32 1 49 1 1 32 1 246 1 16 5 205 5904 7527 30 6

5624

5535

4 20 27 30 6 20 27 15 369 5535 5535 5535

5 1 2

2 3 3

1 9 5 1 4 1 3

9 5 1 1 9b) 2

4 3 6 2 12 2 4 3 36 2 24 4 27 8 24

135 4 3 9 131 1 131108 24 108 2 108

11 3 2

1 3 1 11 3 2

1 36 5 11 6 2

1 29 25 1 29c) 2 6 4 3 5 12 6 2 3 60 6 3 60 36 3 60

25 1 29 75 29 375 87 288 8

4 1024 7 49 8 512 5 4 256

22

1

2

6 9

9 x 251.75 Las fracciones ——, —— y —— representan el mismo número racional. Calcula x e y, y la fracción irreduci-x 36 y

ble que lo representa.

9 xHan de ser equivalentes: ⇔ x 2 9 36 ⇔ x 12x 36

9 25 100 ⇔ 9y 12 25 ⇔ y 12 y 3

P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R

1.76 El tiempo libre

Eugenia quiere saber cuánto tiempo diario debe reservar para sus aficiones. Para ello, ha fijado los si- guientes criterios y prioridades:

1.o La tercera parte del tiempo la quiere dedicar a escuchar música.

2.o Las dos quintas partes del tiempo libre que le quede desea emplearlas en entrenarse en natación.

3.o La mitad de lo que le falte piensa destinarla a navegar por internet.

4.o Por último, lo que le reste desea aprovecharlo en la lectura, que, por otra parte, piensa que debe ser exactamente una hora.

a) Calcula el tiempo total que debe dedicar a las actividades indicadas.

b) Halla el tiempo empleado en cada actividad.

c) ¿Qué parte del tiempo libre aprovechará para la lectura?

Se pueden representar las actividades en diferentes zonas de un rectángulo:

Los tres últimos rectángulos pequeños se corresponden con una hora.

M NATACIÓN ÚSIC INTERNET LECTURA A

a) 20 15 300 minutos 5 horas

b) Música: 100 minutosNatación: 80 minutosInternet: 60 minutos

3 1c) Dedica a la lectura: de su tiempo libre.

15 5

1.77 Situación de números racionales

a) Indica, mediante fracciones irreducibles, los valores rde A, B y C.

b) Mediante una fracción irreducible, indica un número racional que esté entre A y B.

c) Indica el número racional que se encuentra exacta- mente a medio camino entre los números A y 1.

d) ¿Es B el valor correspondiente al punto intermedio entre A y C ?

3 1 7 12 4a) A B C

9 3 9 9 3

4b) Por ejemplo,

9 0 A B 1 C

1

3 c) 2

4

3

2 3

1 4 55 7

d) 3 3 3

22

2 2

B no es el punto intermedio entre A y C.

4 7 8 5

A U T O E V A L U A C I Ó N

1.A1 Para cada apartado, calcula cinco fracciones que representen el mismo número racional dado.

75 56 150 610a) —— b) —— c) —— d) ——

40 64 324 425

75 15 30 45 60 150 150 75 25 50 100 300a) c)

40 8

56 28

16 24

14 7

48 80

21 35

324

610

162

122

54

244

108

366

216

488

648

1220b) d)

64 32 16 4 12 20 425 85 170 255 340 850

1.A2 Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones.

37 37 37 37a) ——, ——, ——, ——

15 3

14 9

16 8

13 16b) ——, ——, ——, ——

23 23

8 3

23 23

5 12c) ——, ——, ——, ——

20 16 8 10

37 37 37 37a) 3 16 15 8

14 13 9 16b)

23 23

8 32 3

23 23

6 5 50 12 86c) ; ; ;

20 80 16 80 8 80 10 80

86 50 6 32 12 5 3 8 ⇒

80 80 80 80 10 8 16 20

1.A3 Indica, sin hallarlo, el tipo de número decimal al que equivalen las siguientes fracciones.

35 1 15 7a) —— b) —— c) —— d) ——

24 25 27 40

a) Periódico mixto porque el denominador tiene el factor 3 además del 2.

b) Exacto porque el denominador sólo tiene el factor 5.

c) Periódico puro porque el denominador sólo tiene el factor 3.

d) Exacto porque el denominador tiene los factores 2 y 5.

1.A4 Halla la fracción irreducible a la que equivalen los números decimales siguientes.

a) 5,72 b) 8,v340

c) 16,09v

572 143a) 5,72

100 25

8340 8 8332b) 8,v340

999

1609 160

999

1449 161c) 16,09v

90 90 10

1.A5 Halla el resultado de las siguientes potencias.

3 5

6 2

9 3

4 4

a) —— b) —— c) —— d) ——

3 5

243 6 2

36 9 3

729 4

4 5 4

625a) b) c) d)

1.A6 Opera y simplifica.

17 1 5a) —— —— —— 1

49 49 2

2 3 7 2b) —— 1 —— —— —— 15

13 1

2 5 5

3 2

c) —— —— 1 —— 16 16 2

5 2

1 3 1d) —— : —— —— —— 1 4 3 4 2

1 1 2

4 7e) —— —— —— —— 4 2 3 4

5 1 7 1 2f) —— —— —— —— : —— 9 8 2 3 5

4 1 2

5 3 1g) —— —— —— 2 —— : —— 3 3 6 2 9

17 1 5 17 5 34 5 98 127a) 1 1

49 49 2 49 98 98 98 98 98

2 3 7 2 2 21 2 2 21 4 2 17b) 1 1 1 1 15 2

2 7

5 5 15

4 21 25

10 5 15

5

10 10 15 10

15

13 1

10 30

3 2

30 30 6

3 1 25 3 25 12 25 13c) 1 16 16

5 2

1

2 16

3 1

16 4 16

16 5

64 64 64

1 16 5

64

384d) 1 4 3 4 2

1 1 2

4 7

25 12

1 2

7 1

2 25 24

7 115

125

e) 4 2 3 4 4 3 16 3 48

5 1 7 1 2 5 1 7 5 5 1 16 5 1 2f) 9 8 2 3 5

4 1 2

5

9 8 2 6 9

3 1 4 1 5

8 6 9 3 9

27 4 1 5 23 4 1 115g) 2 2 3 3

48 4

6

345

2 9

397

3 9 6 2 3 9 6 2 3 9 12

36 36 36 36

M A T E T I E M P O S

Acercarse a un número

Elige dos números de dos y tres cifras decimales respectivamente. Multiplica, en tu calculadora, el primero de ellos por un número, de tal forma, que el resultado se aproxime al segundo. Si no lo consigues, no borres el resultado y vuelve a intentarlo partiendo ahora de ese nuevo número.

Solución:

La actividad tiene por finalidad trabajar el concepto de multiplicación por números mayores y menores que uno. El primer obstáculo que se presenta es que quieren borrar el resultado porque se pasaron del número, y es difícil que comprendan que existe

un número (menor que uno) que con la multiplicación se obtiene un valor menor. Otro concepto importante es que al multiplicar por 1,1, el nú- mero se incrementa un 10%, y si, por el contrario, se multiplica por 0,9, el número disminuye un 10%. Se puede ampliar la actividad acercándose a un número con la división.