8.1 NUMEROS RACIONALES 1RA PARTE
36
NÚMEROS RACIONALES POSITIVOS FRACCIONES
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Dilema
• Un anciano árabe, a punto de morir, llama a sus tres hijos y les dice que su fortuna, consiste en 17 camellos, la dividirá entre ellos en la siguiente forma: al hijo mayor, la mitad de los camellos; al segundo, la tercera parte de los camellos y al menor la novena parte de los camellos. Como el número de camellos no era exactamente divisible por las partes indicadas por el padre, los hijos recurren a un vecino. Este, luego de pensar un instante, les facilita un camello en préstamo, con lo que completan 18 camellos. En esta forma, al hijo mayor le corresponden 18/2=9 camellos; al segundo, 18/3=6 camellos y al tercero, 18/9=2 camellos. Como 9+6+2 son 17, se reparten los camellos del padre y devuelven el camello prestado por el vecino, quedando todo arreglado. ¿Cómo se explica esto?
Concepto de fracciónUna fracción es el cociente de dos números enteros a y b, que representamos de la siguiente forma:
El número b, se llama denominador, e indica el número de partes en que se ha dividido la unidad, mientras que el a, es el numerador, e indica el número de unidades fraccionarias elegidas.
Según lo anterior las fracciones expresan partes de un todo o de una unidad, por ejemplo, las tres cuartas partes de una jarra de leche, las dos quintas partes de una barra de chocolate, etc..
Tipo de fraccionesAdemás las fracciones pueden ser de varios tipos en función de los valores que tomen el numerador y el denominador; así:
-Si el numerador es menor que el denominador la fracción se llama propia-Si el numerador es igual que el denominador se denomina aparente-Si el numerador es mayor que el denominar es impropia-Si el denominador está formado por la unidad seguida de ceros, la fracción se llama decimal
Diferentes significados de las
FRACCIONES
•Un todo se toma como unidad .La fracción expresa un valor en relación con ese todo.•Identificación de la unidad•Realizar divisiones (el todo se conserva)•Tener idea de área.
–Por ejemplo:5/8 se puede referir a dividir un todo en ocho partes y tomar cinco de ellas.
1.-FRACCIÓN COMO UNA PARTE DE LA UNIDAD
Una fracción es un numero que opera a una cantidad y la transforma.Para calcular la fracción de un numero ,se puede utilizar el siguiente método: se divide el numero por el denominador, y el resultado se multiplica por el numerador.
–Por ejemplo:Calcular los 5/8 de 40.
2.-FRACCION COMO UN OPERADOR.
2540625,0408
5
Supón que con dos bidones de agua se ha dado de beber a cinco caballos.¿Qué parte de deposito le ha correspondido a cada uno?El reparto se resuelve con una división 2:5
Pero este resultado también se puede expresar con una fracción o cociente indicado 2/5
•Paso de fracción a decimal•Para transformar una fracción en un numero decimal ,se divide el numerador entre el denominador.
3.-FRACCION COMO EL COCIENTE INDICADO DE DOS NUMEROS
•m/n representa una relación entre dos cantidades. –Por ejemplo: 8/13 puede interpretarse como ocho de cada trece personas hacen deportes.
4.- FRACCIÓN COMO RAZÓN
5.- FRACCIÓN COMO MEDIDORA
Describe una cantidad o un valor de magnitud por medio de otro.
–Por ejemplo:
• La mitad de..
• Un tercio de..
• Un cuarto de..
6.- FRACCIÓN COMO PORCENTAJE
Se puede definir el tanto por ciento como una fracción que tiene denominador 100.
–Por ejemplo:
• Cuando una familia invierte el 45% de sus ahorros en comprar una vivienda, se está gastando en ella 45 pesos de cada 100 que ha ahorrado.
En este caso, el 45% es la fracción decimal. • Cuando se habla de mezclas se establece una relación
de cantidades tal es el caso del 3% el cual se representan en relación a un todo como 3/100.
7.- FRACCIÓN COMO PROBABILIDAD
• La probabilidad tienen una representación en forma de fracción y sin embargo el uso es distinto, tal es el caso de que el valor de la probabilidad no excede a uno.
• •P(m/n) representa la probabilidad de obtener m éxitos de n eventos.
–Por ejemplo:
• Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire:
Probabilidad de que salga cara: p = ½ = 0,5 Probabilidad de que no salga cara: q = 0,5 p + q = 0,5 + 0,5 = 1
8.- FRACCIÓN COMO TASA
• La expresión m/n es una cantidad que resulta de la relación de dos cantidades.
–Por ejemplo:
• Velocidad = distancia/tiempo
• •Aceleración = velocidad / tiempo
9.- FRACCIÓN COMO INVERSO OPERADOR MULTIPLICADOR
• Cuando despejamos en las ecuaciones decimos:
• Lo que esta multiplicando pasa del otro lado del signo igual DIVIDIENDO. Sin embargo no es correcto decir esto más debemos interpretar la operación invierta de la multiplicación.
FRACCIONES EQUIVALENTESLlamamos fracciones equivalentes a las que tienen el mismo valor numérico y expresan la misma porción de la unidad.Tomemos como ejemplo las fracciones: ½ = 0,52/4 = 0,54/8 = 0,5Estas fracciones son equivalentes porque expresan la misma porción de la unidad, esto es, tienen el mismo valor numérico.
En las figuras:
La parte coloreada de azul es la misma, luego15
6
5
2
15
6
5
2
1 2 3 4 5 3 6 9 1215
Dos fracciones son equivalentes cuando valen lo mismo.
4,05
2
4,015
6
Dos fracciones son equivalentes si losproductos del numerador de cada una de ellaspor el denominador de la otra son iguales.
También podemos observar que: 2 · 15 = 5 · 6 15
6
5
2
Los productos cruzados son iguales
cbdad
c
b
a··
Fracciones equivalentes Fracciones equivalentes
Observa las partes coloreadas de naranja que se representan:
8
6y
4
3indican lo mismo.
4
3
8
6
8
6y
4
3están en el mismo punto de la recta numérica.
0 1
3 : 4 = 0,756 : 8 = 0,75 8
6y
4
3dan el mismo cociente.
4
3de 16 = 12
8
6de 16 = 12
8
6y
4
3actúan sobre un número de la misma manera.
Cuando dos fracciones son equivalentes:Indican lo mismo. Se representan en el mismo punto de la recta numérica.Dan el mismo cociente. Actúan de la misma forma sobre un número.
Fracciones equivalentes Fracciones equivalentes
Fíjate en las 64 casillas del tablero de ajedrez.
Dos fracciones son equivalentes si los productos del numerador de cada unade ellas por el denominador de la otra son iguales.
Dos fracciones son equivalentes si los productos del numerador de cada unade ellas por el denominador de la otra son iguales.
8
2
16
4
¿Qué parte del tablero ocupan las 16 figuras blancas?Puedes decirlo de muchas maneras:
64
16
32
8
16
4
8
2
4
1
Observa:
32
8
64
16 5128643216
16
4
32
8 128432168
Vamos a comprobar que estas fracciones son equivalentes mediante la regla de los productos cruzados.
4 8 = 16 2
Cómo comprobar si dos fraccionesCómo comprobar si dos fracciones son equivalentesson equivalentes
NÚMEROS RACIONALES• En sentido amplio, se llaman números racionales a todo número
que puede representarse como el cociente, de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término «racional» alude a «ración» o «parte de un todo», y no al pensamiento o actitud racional.
• En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico del dicho número racional a la fracción irreducible, la de términos más sencillos.
Ejemplo:
• 1/2 = 1/2, 2/4, 3/6, 4/8, 5/10, ………………….
Número racional
Representante canónico (fracción irreductible)
Observa las fracciones:
16
12
32
24
... 4
3
4:16
4:12
8
6
2:16
2:12
16
12
Multiplicando sus términos por un mismo número.
... 48
36
316
312
32
24
216
212
16
12
48
36
Las fracciones ... , 48
36 ,
32
24son fracciones ampliadas de
16
12equivalentes a
16
12
Observa estas otras fracciones:
Las fracciones ... , 4
3 ,
8
6son fracciones reducidas de
16
12equivalentes a
16
12
Podemos obtener fracciones equivalentes a una fracción:
Dividiendo sus términos por un mismo número.(Este número debe ser distinto de cero.)
Amplificación/ampliación y simplificación de fracciones Amplificación/ampliación y simplificación de fracciones
Observa las partes coloreadas de azul de las fracciones que se representan:
2
16
3
4
2
Las fracciones6
3y
4
2son fracciones ampliadas de
2
1y equivalentes a ella.
Observa:
16
12
8
6
4
3
Las fracciones4
3y
8
6son fracciones reducidas de
16
12y equivalentes a ella
Es evidente que:4
3
4:16
4:12
8
6
2:16
2:12
16
12 Fracción irreducible:
no se puede reducir más.
Si multiplicamos o dividimos los términos de una fracción por un mismo número, la fracción obtenida es equivalente a la dada.
Son equivalentes:3
1
6:18
6:6
54
18
36
12
18
6 irreducible
Ampliación y simplificación de fracciones Ampliación y simplificación de fracciones
En la figuras siguientes, las partes coloreadas de azul son iguales. Las fracciones que representan son equivalentes.
16
12
8
6
Este proceso se denomina simplificación de fracciones.
Observa que:16
12
Ejemplo:5
3
40
24
400
240
8
6
2:16
2:12
4
3
4:16
4:12
4
3
16
12Hemos transformado la fracción en ,
4
3que es equivalente a ella e irreducible.
Simplificar una fracción es convertirla en otra equivalente e irreducible. Para ello se dividen los dos términos de la fracción por todos los divisores comunes de ambos.
Dividiendo por 8
Dividiendo por 10
3 y 5 son primos entre sí.
Simplificación de fraccionesSimplificación de fracciones
Las 22 fotos de igual tamaño ocupan mas de 2 hojas del álbum.
Otro ejemplo:
9
4En concreto, 2 hojas completas y de otra.
9
42Esto se puede escribir así:
Si observamos que cada foto ocupa un noveno de hoja, una hoja completa será 9
9
Por tanto:9
9
9
9
9
4+ + =
9
22=
9
42
Para convertir una fracción en un número entero y otra fracción hay que dividir el numerador entre el denominador.
En el caso de9
2222 : 9 = 2, resto 4.
9
42
La fracción ,12
54
12
53 pues 53 : 12 = 4, resto 5.
A estas fraccionestambién se les llama
números mixtos
Fracciones con numerador mayor que el denominadorFracciones con numerador mayor que el denominador
4
1
4
4
4
4
4
9
Los números fraccionarios escritos de esta forma se llaman números mixtos.
Ejercicio resuelto:
Hay fracciones que representan un número entero de unidades más una parte fraccionaria. Son fracciones mayores que 1. La parte coloreada de la figura es:
4
12
Si divides: 9 : 4 = 2, resto 14
12
4
9
Podemos escribir una fracción mayor que 1, como suma de la parte entera y de una fracción menor que 1:
4
12
4
9 El número
4
12
4
12se escribe así:
Escribe como número mixto y como fracción.3
17
3
41
Dividiendo : 41 : 3 = 13 y resto 23
213
3
213
3
41
3
17
3
22
3
1
3
21
3
17
Números mixtosNúmeros mixtos
Tenemos las fracciones:
3
2
y queremos encontrar tres fracciones equivalente a cada una de ellas que tengan el mismo denominador.
Escribimos fracciones equivalentes:
Por tanto, el denominador común tiene que ser múltiplo de 3, 4 y 6 a la vez. Por ejemplo, 24.
4
1
6
5
... 30
20
24
16
18
12
9
6
3
2
... 36
9
28
7
24
6
16
4
4
1
... 48
40
36
30
24
20
18
15
6
5
Sus denominadores son múltiplos de 3.
Sus denominadores son múltiplos de 4.
Sus denominadores son múltiplos de 6.
3
2
24
16
4
1
24
6
6
5
24
20
Reducción de fracciones a común denominador Reducción de fracciones a común denominador
Para reducir fracciones a común denominador
72
48
)64(3
)64(2
3
2
Hay una forma directa de conseguir fracciones con común denominador.
Lo aplicamos a las fracciones:
Como 3 x 4 x 6 es múltiplos de 3, 4 y 6, se tendrá:.
3
2
4
1
6
5
Halla un múltiplo común a los denominadores.Escribe las fracciones equivalentes con ese denominador.
72
18
)63(4
)63(1
4
1
72
60
)43(6
)43(5
6
5
Otro ejemplo:
5
2y
4
3Las fracciones:
20
15
54
53
4
3
20
8
45
42
5
2
Reducción de fracciones a común denominadorReducción de fracciones a común denominador
Puedes calcular el m.c.m. de varios números así:
Vamos a ver otra forma de reducir fracciones con común denominador.
Lo aplicamos a las fracciones: 6
1y
4
3
Descompones los números en factores primos.El m.c.m. es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.
El denominador común tiene que ser múltiplo de 4 y de 6.
Múltiplos de 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 ...Múltiplos de 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 ...
Múltiplos comunes: 12 24 36 ...
El menor es 12. Se llama mínimo común múltiplo de 4 y 6. Escribimos:
m.c.m. (4, 6) = 12
Observa: 4 = 22
6 = 2 3El m.c.m. debe tener: el 22 por ser múltiplo de 4; el 2 y el 3 por ser múltiplo de 6. El 2 ya está en 22.Luego, m.cm. (4, 6) = 22 3 = 12
12
2y
12
9
Mínimo común denominadorMínimo común denominador
El mínimo común denominador será 120.
Para reducir fracciones a mínimo común denominador se elige como denominador común el m.c.m. de los denominadores.
Lo aplicamos a las fracciones: 8
3y
12
5 ,
10
7
Descomponemos los denominadores en factores primos:
Luego:
10 = 2 5
12 = 22 3
m.cm. (10, 12, 8) = 23 3 5 = 120
8 = 23
120
?
10
7
120
?
12
5
120
?
8
3
12 10 15
120
?
10
7
120
?
12
5
120
?
8
3
120
84
120
50
120
45
Reducción de fracciones a mínimo común denominador (I)Reducción de fracciones a mínimo común denominador (I)
Las fracciones4
3y
6
5 ,
3
1son equivalentes a:
72
54y
72
60 ,
72
24
12
9y
12
10 ,
12
4reduciendo
El denominador 12 es el menor de los denominadores comunes, y coincide con el mínimo común múltiplo de 3, 6 y 4. Para calcular el mínimo común denominador de varias fracciones se procede como sigue: 1º. Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores.
2º. Los numeradores de cada fracción se multiplicarán por el cociente entre ese m.c.m. y los denominadores respectivos.
Veamos otro ejemplo:3
2y
12
5 ,
8
7Reducir a mínimo común denominador
1º Como 8 = 23, 12 = 3 · 22 y 3 = 3, el m.c.m. (8, 12, 3) = 23 · 3 = 24 2º. Dividimos 24 entre 8, 12 y 3:
24 : 8 = 3
24 : 12 = 2
24 : 3 = 8
24
21
24
3 · 7
8
7
3
24
10
24
2 · 5
12
5 2
24
16
24
8 · 2
3
2 8
Reducción de fracciones a mínimo común denominador (II)Reducción de fracciones a mínimo común denominador (II)
Con el mismo denominador:
8
3 Si dos fracciones tienen elmismo denominador, es mayorla que tiene mayor numerador
8
5 8
3
8
5
5
4 Si dos fracciones tienen elmismo numerador, es mayor
la que tiene menor denominador7
4 7
4
5
4
Con el mismo numerador:
Con numeradores y denominadores distintos:
Comparamos:5
4y
6
5
Reducimos a común denominador:30
25
6
5
30
24
5
4
Como30
24
30
25
5
4
6
5
Para comparar dos fracciones cualquiera
se reducen a comúndenominador.
Será mayor la que tenganuevo mayor numerador.
Comparación de fraccionesComparación de fracciones
EJERCITEMOS
1. Arquímedes nació en el año 287 a. C. en Siracusa (Sicilia). ¿Cuántos años han transcurrido desde su nacimiento?
2. ¿De qué número es 6 la tercera parte? ¿Y la sexta?
3. Un total de 180 alumnos de Secundaria han ido de excursión. Se sabe que 4 de cada 9 son chicos, y 10 de cada 18, chicas. a) ¿Qué fracciones del total indican el número de chicos y
chicas? b) ¿Cuántos chicos y cuántas chicas hay?
4. En una encuesta realizada a 350 personas para conocer el destino elegido para las vacaciones, el 56% eligió la playa, y el resto, la montaña. ¿Cuántas personas prefieren la montaña para pasar sus vacaciones?
