,,'{

Campana de paja,tipo de cabaña indiqena

-*^"*ftñ

Fffi**;;##\

Tecnología de la construcciónDesde su aparíción sobre la Tierra,los seres humanos

construyeron refugios para protegerse del frio, del calor yde los animales sahajes. De igual manera, y para suplir otrasne c e sidade s, c onstruy eron puentes, c amino s, carreter as yrepresas, y las múltiples construcciones que hoy conocemos.

Barro, helechos, boñiga de vaca, hielo, ma-dera, tela... desde la prehistoria hasta nues-tros días, los pueblos han utilizado gran va-riedad de materiales para construir, con muypocos medios, cabañas y refugios.

Poco a poco, las cabañas se van sustituyendopor verdaderas casas, a medida que los seres

humanos abandonan la vida nómada de lospastores, para hacerse agricultores sedenta-rios. La construcción de viviendas permanen-tes se inició hace unos 10 000 años, entrePalestina y Mesopotamia, regiones que fue-ron la cuna de las grandes civilizaciones.

El Partenón,templo dedicado a la diosa Atenea, es una de las obras más perfectas

realizadas en todos los tiempos.5e confruyó entre los años 448 y 436 a. de C.

..-"r--*;i',,."--i- .;i¡ c'il t!- ¡1 '-Jfli

, :r Ii I3 iF !:

Fl I ft -.:

(oliseo o anfiteatro Flavio,construido en época de los emperadores Flavios,tiene

forma elíptica y en él se h¿cían luchas de gladiadores y de fieras.

Los griegos construyeron imponentes y af-moniosos templos para honrar a sus dioses.Sobre fuertes columnas apoyaron con minu-ciosa disposición vigas de piedra, sin arga-

masa alguna, que han resistido las fuerzas

de la naturaleza y el paso del tiempo.

Los romanos, amantes de la física y de lasmatemáticas, desarrollaron la técnica delarco. Con ella edificaron anfiteatros, termas,almacenes y arcos del triunfo para conme-morar sus victorias. Emplearon la piedra,pero también un nuevo material, que ellosperfeccionaron: el hormigón, una mezcla decenizas volcánicas, cal, arenal gravay agua,que se endurece al secarse.

l;Jtrt filiI srt;! ⁢| f;*,.l*¡Ii

!sl,,ll:

r¡*¡ lr ¡

rr#ii I

nffiffiil I

t-iFffiii Iüffififfi1¡ il

Durante la Edad Media la arquitec-tura se centra en la construcción deimponentes castillos y catedrales,gracias a dos nuevos inventos: labóveda de ojivas y el arbotante. Enel Renacimiento, Ios arquitectosdejan de ser anónimos, y su trabajose glorifica, junto con el de pinto-res y escultores.

Pirámide de Louvre, en París, di:'eñada por r:l ,r;ori;recto Leoh Minq Pei, en 1939.

En el último siglc la construcción ha alr:an-zado un desarroiio fantástico. Casi tocias las

grandes ciudades del rnundo cuentan conimponentes edificios y rascacielos, fabrica-dos sobre estructuras nietáiicas y de hor-migón, y revestimientos de vidrio o metal.

Adaptado de t/ arte de Construir

Biblioteca del Vaticano, el salón Sixtino. (orrstruido pr,r Dcmcn¡,"0 Fontana de 1 587 a 1 589.

Helaciona

*.

Ith-*'f

'#

La revclució¡.r industriai y el crecimiento delas ciudacles da origen a nuevas obras. Es

a.sÍ ccrno en el si¿lc XÍX, en Europa, se in-\/ent-a el acero, que permi.terealizar puentescapaces de saivar dist-ancias jamás alcanza-

;

das hasta el momcnto. Los puentes fueron ilas primerz,s construcciones hechas total- #ment¿ de metal. Ellos despertaron el gusto $

por las estructuras puras e hicieron descu- If

brir la lsellezade las aÍmazones. ,-#n-

t;i . '

t;;,,, ,,Hffi$ffi*¡n

ü

1. 5e quiere construir una casa sobre unterreno rectangular de 8 m defrente por18 m de largo. ¿Cuánto mide el área deconstrucción?

2. Se calcula que para la construcción de

la casa se requieren 32 m3 de concreto,y se sabe que por cada metro cúbico deeste material se utilizan 0,27 m3 de are-na y 0,1 2 m3 de cemento. ¿Cuánta arenay cuánto cemento se requiere para laconstrucción?

Operadores fracciona rios

o Para hacer las vigas que se muestran

en la figura se usan varillas de 6 m

de longitud. Si se requieren secciones

ae ! V ] ae n medida incial, ¿cuól es

la longitud de las nuevas varillas?

A. Dos tercios es un operador fraccionario (+ ") que reduce la medida inicial,

ya que es una fracción menor que la unidad. El resultado de aplicar este

operador es tomar partes del total de la varilla.

. En este caso, se hacen tres partes iguales de la varilla de 6 m.

Esto nos da tres partes, de 2 m cada una. La acción del operador es valorar

dos de estas tres partes.

0246Al aplicar este operador se obtiene una varilla de 4 m.

Numéricamente equivale a realizar una multiplicación:

2 de6mson:3

¡l¡l¡l

lliltl

2612313

5 d"6mson: 5 ,a44

- 4m

Q0perodorfroccionorioAplicor un operodorfroccionorio de lo

formo f x equivoleo oplicor el operodor

7xVluegoeloperodor entero

a x, donde b + O.

El efecto de oplicorun operodorfroccionorio f xsobre uno mognitudconsiste en reduciIomplior o conservorlo mismo contidod.

B. Cinco cuartos es un operador fraccionario (+'.) que amplía la medida inicialpuesto que es una fracción mayor que la unidad. El resultado de aplicar este

operador es tomar una cantidad de varilla mayor que la unidad, esto es, unavarilla y una fracción de otra.

tllllrlll

012345678

. En este caso, cada parte mide 1,5 m, de modo que + de 6 m son cinco veces

esta cantidad, es decir,7,5 m.. Numéricamente equivale a realizar una multiplicación:

630T: 4 : /'5m

RrspursrR: Las varillas deben medir 4 y 7,5 m, respectivamente.

Aplicot Aplica al segmento PQ los operadores fraccio-

narios indicados y encuentra el segmento re-sultante.

P-Q

Ab.áxPo

Pr0cesos: l\.4odeloc¡ón Rozonom¡enio Comunicoción Resolución de problemos

Analizo

El efecto de aplicar un operador fraccionarionegativo sobre la unidad,en la recta numérica,es análogo al efecto de aplicar el correspon-diente fraccionario positivo, pero se represen-ta hacia la izquierda del punto cero (O).

34

-1 -3' r4"

Representa en la recta numérica el efecto deaplicar el operador indicado sobre la unidad.

, unidad ,

3c.4

f.+

.2t.z

+XPQ5

tr_lxpes.{ x eo h.

^.!xeoa_

d.áxPo

3rl+X---.--.]l4ta.8

| '3 +

c. 12

-/l3+e. 15

3r......* \: ---------l5t

9. 10

4r+ \: --------ll5t

b. 12

+'5-| ^t I

d.14

.3_| "E I

I

Í.25

2f.+ \.: ---------

llth.42

-1

^'- + x (unidad)

t'-+ x (unidad)

"'-+ x (unidad)

0

b' -+ x(unidad)

d. -+ x (unidad)

r' -+ x(unidad)

e.

xpO

xPO

xpO

Aplica el operador fraccionario sobre las canti-dades indicadas y encuentra los resultados.

Representa en la recta numérica el efecto deaplicar el operador indicado sobre la unidad.

En los siguientes ejercicios,aplica los operado-res sobre el segmento, en el orden indicado, yluego aplícalos en el orden inverso. Comprue-ba si la aplicación de los dos operadores es con-mutativa o no.

AB x3 "+a.-1

P o x5 ^5b.. ; ,^.

_ ., 1

s r x5 '5c.

-

zñ.

d. ¿Qué conclusión puedes obtener?

Resuelve6 Aplica el operador indicado a la hora (expresa-

da en minutos),para determinar la cantidad demin utos correspondiente:

a. Un cuarto de hora

b. Dos medios de hora

c. Tres cuartos de hora

d. Cinco cuartos de hora

trb.i

d.€

r.+tr

h.;

i.2

3Et. _5

3c.b̂

2€.b̂

79.-c.3.. 1

x (unidad)

x (unidad)

x (unidad)

x (unidad)

x (unidad)

x (unidad)

x (unidad)

x (unidad)

x (unidad)

x (unidad)

Números racionalesComprendea El departamento de investigaciones de"Pinturas Every"

realiza varias mezclas para obtener la pinturaverde campiña, uno de los colorespreferidos de sus clientes.

Si para preparar esta pintura se debenmedir las contidades de codacom pon ente e n fracci on es

de galón, ¿cuól es la expresiónfraccionaria de cada cantidad?

La cantidad 0,6 se puede expresar

como fi. Se requieren seis décimosde galón de pintura verde esmeralda.

La cantidad 2 se puede expresar como

i. t" requieren dos unidades degalón de pintura blanca.

Verdefluorescente 1,125

Negra 0,3333...

La cantidad 1,125 se puede expresa'como tffi.Se necesitan una unidady ciento veinticinco milésimos de

galón de pintura verde fluorescente.

La cantidad 0,3333... se puede

expresar coro |. Se requiere un

terc¡o de galón de pintura negra.

Pintura Galones

Verde esmeralda

Blanca

0,6

2

Puesto que los números 0,6,2,1,125 y 0,333... se pueden escribir como unafracción, pertenecen al conjunto de los números racionales.

Características de los números rac¡onalesEl conjunto de los números racionales incluye el conjunto de los númerosnaturales, el conjunto de los números enteros, el de los números decimalesfinitos y el de los números con expresión decimal infinita periódica.

El conjunto de los números racionalesse denota con elsímbolo Q.

. El conjunto de números racionales está compuesto por:

@(- 1)

( +)

El conjunto de númerosrocionoles negotivos

El cero El conjunto de númerosrocionoles positivos

;)(-;) (

*)(-*) (

Í-,

$Números locionolesUn número rocionoles oquel que puede

escribirse de loformo f, donde ay b son númerosenteros y b es

diferenle de cero.

242

Un número racional se puede interpretar como una fracción, una razón o uncociente indicado.

-*:o*s

2,161616...

s3815T41382 10 10

4 ! :,,4 es a 5,,55

Aplicat Encuentra una expresión fraccionaria para cada

uno de los números racionales.

b. -1,5d. -0,25f. 1,3333.....

h. 2,1 81 81 818....j. -1,2s2525...

Procesos: Modeloción , Rozonomienlo Comunicoción -. Resolución de probler:

Mediante un número racional, interpreta la ra-

zón indicada.

a. Tres es a cinco

b. Cuatro es a tres

c. Cuatro es a ocho

d. Doce es a ocho

e. Tres es a diez

f. Nueve es a trece

Escribe una frase,en la que se interprete el nú-mero racional como un cociente.

corresponde al cociente 0,8.

z Analiza cada afirmación y establece si es falsa(F) o verdadera (V). F V

a. Los números naturales no se pueden

escribir en forma fraccionaria.

b. Ningún número racionales negativo.

c. El cero es un número racional.

d. Los números con expresión decimalinfinita no son números racionales.

e. Los números enteros son números

racionales.

Resuelve8 Para pintar la alcoba, un pasillo y el patio de una

casa se han calculado las siguientes cantidadesde pintura.

a. O,2

c. 0,5

e. 1,4

9.2,125i. 12,4

2 Determina, en cada caso, el número racionalque se obtiene al aplicar sobre la unidad el ope-rador indicado en la recta numérica.

-- L,/6

-1

-1 0

3..- X.--s\

*1

-1

¡ Halla la expresión decimal de cada uno de losnúmeros racionales.

An¡lizaa Representa gráficamente la fracción de unidad

indicada por cada uno de los siguientes racio-nales.

b.5rf-\"\7

I,.- i"d.

2,.e. -\

,- L^a2

a.

b.

3 g._ 1 c.7 d._12582412 f.5 o. 13 h. I5 3 '4 11

Aa.'5

b.*

3c._5

d.E5

7

2

f.43

a.

2,75 galones

0,8 galones

1,252525... galones

¿Cuál es la expresión fraccionaria correspon-diente a las cantidades de pintura?

Patio

Alcoba

Pasillo

Fracciones eq u iva lentesCornprendeo "Mundialde aluminios" ofrece a los constructores cinco modelos deventanas

para instalar en los baños.Cado modelo tiene postigos o puertecillas quepueden abrirse para ventilar el boño.

rT FTNItT= t¿ r"ffiLIT:Eli*-i:-T-.El

F,ffiE

¿A qué froccíón de círea corresponden los postigos en cada ventana?

¿Cuóles de los postigos tienen la misma áreo?

La fracción de la unidad de área que corresponde a cada postigo es:

=ffi=ffiffiI 5 18

En los modelos A, B y D,los postigos corresponden a la misma fracción de área.

Las fracciones correspondientes a estas áreas son fracciones equivalentes.

5 : g : 1g Son frocciones equivolentes.

En los modelos C y E,los,postigos corresponden a la misma fracción de área.

26S

: 1S Son frocciones equivolentes,

Producto en cruzSe utiliza para determinar numéricamente si dos fracciones son equivalentes.

/).s30.Silosproductosobtenidossoniguales,las¿ ><' ' fracciones son equivalentes.5 /- \

1 5 30 . Si los productos obtenidos no son iguales,entonces las fracciones no son equivalentes.

Un número racional se puede representar con infinitas fracciones equivalentes.

369121518304 - 8' 12' 16' 20' 24"" 40'"'123412201005 10 ' 1s ' 2o'"' 60 "" 1oo'"' 5oo'"'

Añ 4 8 12 40 100 800u'ó - 5' 10' 15 "" 50 '"' 12s'"' 100ó'"'

615

6231

3

$ FroccionesequivolentesDos Íroccionesson equivolenlessi represenlon lo

mismo porte de lo

unidod.

Poro determinor lo

reloción de

equivolencio entre

frocciones puede

empleorse el

produclo en cruz.

Aplicat Representa gráficamente cada par de fraccio-

nes, para determinar si son o no equivalentes.

Completa la tabla con los productos indicadosy determina si cada par de fracciones son equi-valentes o no.

oXd bxc (onclusión

¡ Forma colecciones de fracciones equivalentes.

Halla tres fracciones equivalentes a cada frac-ción, utilizando el proceso de simplificación.

b'# ''#í# s.#

P¡ocesos: Modeloción . Rozonomienlo Comunicoción Resolución de problemos

Analizas Expresa cada racional mediante tres fracciones

equivalentes, obtenidas por amplificación.

lilllt(l -\4I

Determina la verdad o la falsedad de cada unade las siguientes afirmaciones. En cada casoexplica tu respuesta.

a, f es equivalente a la fracción f;.b.fesequivalenteaf.

.. f ", equivalente a f,.

d. I no es equivalente a la fracción f;.

". f es equivalente a fi.f, ft noes equivalente a la fracción fg. Puesto que 5 x 9 es iguala 15 X 3,

entonces ,? : +.

Re¡uelve7 Para cubrir las paredes de su baño, cinco per-

sonas emplearon las siguientes fracciones derollo de papel de colgadura:Andrés, ] de rollo;Javier, ] de rollo; Marta, f O" rollo;'Jorge, fde rollo, y Daniela empleó tres rollos. ¿Cuálésde las personas utilizaron la misma cantidad depapelde colgadura en su baño?

liit-'--- 3 ''-'T

^.+y# b.+y#..*u*o.fu* ".áu* **ufs.+y+ n.#rt '.áu*

itiiiiLil

3 '-''-5iiit----

1 -')-T

d.

+v+6 18Tvi4..20iY u5 15

15 Y 6

8..24iY 36

L, L12'4150 .. 25

4oY B

. 120o.-5b

h.#^.#.60-' 30

9 10 3 5 6 2012643912

2 I 1s 18 30 153129274520

Los números racionales y la recta numéricaComprende. lJn ingeniero diseña el esquema hidróulico de una caso.A partir del medidor,

ubica una tuerca a I de pulgada hacia la derecha y otra a !de pulgada hacia la izquierda.Ademós, coloca un tubo

de PVC a t A, putgada a la derecha

del medidor y un registro

de corte de ftuio a ! ae pulgada

a la izquierda delmismo.

Medidor Tuerco

¿Cómo podría representarse, en la recta numérica,la ubicación de los diferentes

elementos que aparecen en elesquema?

A. Para representar un número racional comprendido entre 0 y'1, se dividela unidad según lo indique el denominador y se toman tantas partes comoseñala el numerador.

3

4a la derecha

-1

B. Para representar un número.racional comprendido entre -'l y 0, se divide launidad negativa según lo indique el denominador y se toman tantas partescomo señala el numerador.

1 a la izquierda-1

C. Para representar un número racional mayor que 1, se expresa el númeroracional en forma mixta, se cuentan las unidades enteras y en la próximaunidad se representa la fracción propia correspondiente.

a la derecha

D. Para representar un número racional menor que -1, se expresa el númeroracional en forma mixta, se cuentan en la recta numérica las unidades enterasnegativas y en la siguiente unidad se representa la fracción propiacorrespondiente.

: - Zj a la izquierdae 1 -1

A cada número racional le corresponde un único punto en la recta numérica.

Registro de corle Tuerco Medidor Tuerco

843.E

34

a

45

-2

134

$Formo mixto de un

rocionolEs uno expresiónnumérico que

contiene uno porte

enlero y uno

froccionorio, y que

es equivolente o un

número rocionoldodo.

8 ¡2^ 1a

tr^-

¿ * -1 ¿

.lo

13 - - 1

4 54

_83

83

-4Á

Tubo

JT-4 a 2 -1

Aplicot Representa cada uno de (os raciona(es com-

prendidos entre - 1 y 1, en la recta numérica.

Representa en la recta numérica los siguientesracionales.

An¡liza3 Una colección de fracciones equivalentes re-

presentan un único racional, por lc tanto, a es-tas les corresponde un único purrto en la re.ctij.

13 2 1 1Josl¡#i-+--

-3-2-10i23

. Denota cada punto ubicarj<l e¡r la recta con rregexpresiones fraccio¡tarias difere¡ttes.

I Ubica en la recta numérica el númer'o der-imalindicado y deteri,-rina cuál es el e.ntero r",',ás pró-ximo al número dado.

El entero más c,3rcanc es - 1.

Procesos: Modeloción . Rozonomienlo Comunicoción Resolución de problemos

s Ubica en la recta numérica un número rac¡onalcomqrendrdo entre cada qar de números lndr-

cados. Escribe una frase que describa la ubica-ción del número.

r 3a.#-_--.1#

5-4,3-2-1 0 1 2 3 4 5

El número 1,3 está ubicado entre 1 y 2.

b. -------i------r--5-4 -3-2-1 0 1 2 3 4 5

c.-_{------+____t_i___t__r ttttt>-5-4 -3 2 i 0 1 2 3 4 5

d. * -+---*--1____1---l----F__¡-----1-+_-_l____--5--4 3--2-i 0 1 2 3 4 s

Resuelveo [Jn ingeniero hidráulico ha ubicado de la sigui-

ente manera algunos de los elementos para ha-

cer un sistema de potabilización del agua, apartir del punto que fija como centro del siste-ma: a la izquierda coloca la bomba de agua tur-bia a ] m, la cámara de depresión a f m y unprefiltro a f m;a la derecha ubica elfiltro prin-cipal a * r V una cámara de presión a f m.

¿Cuál es la representación, en la recta numéri-ca, de la ubicación de cada elemento a partirdel punto central?

trc.f,

r.+

a. -23

_24

d. -95As.+5

7c.4

f.+.6'. -3

54.3

d. -379.2

38

1_T

7- 10

b.

e.

h.

_94

_85

6-z

b.

e.

h.

'(fJIgR

tra.-u4

b.95

-5c.3

d. _113

10e.3

1. -G5

Operadores inversos

Poro hocer el marco de una puerta, un corpintero

cuenta con tres tablas iguales de 1,80 m de largo.

Si para el cabezal utiliza ! de ura de los tablas

y para cada larguero emplea t ¿r la longitudque utilizó para el cobezol, ¿cuól es la longituddel cabezaly de los largueros de la puerta?

Para hallar la longitud de los largueros se aplica el operadorcada tabla y luego se aplica eloperador ].

25

a la longitud de

,25

5X:2

0,72 m

lf x (r,ao)]

z-1dr*------.Ql0perodores inversos

El producto de dosoperodores inversoses l.

a.,b 4

-^-- |baEl operodor inversool operodor f ,

es el operodorf.

El operodor f,invierle el efecto

reolizodo por el

operodorf.

---.;--=:, /t omPllo -.I unidod

:Ix5..zt\

2 ,.55 xz: I

x52

x25

Z*t:,

I unidod

..52

-'---'--__-_-\/' omplío \

--------------- \1,80 m

(0,72): 1 ,80

x25

Rrspursrn: La longitud del cabezal es 0,72 m y la de los largueros, 1,80 m.

Los operador"r f y f ron operadores inversos, puesto que el uno invierteel efecto producido por el otro.

I unidod

reduce

Aplica1 Encuentra el operador que deshace el efecto del

operador indicado.

a. xf30 .--\ 18.------.30

c. xf20 .-' 15 ------20

., 1e. ^515 ',--\ 3

-15Aplica sucesivamente los operadores inversosindicados y encuentra el segmento resultante.

c ,,4^?

Procesos: l\4odeloción Rozonomiento CcrLiirrcoción

Anolizos Relaciona cada número de la columna de la iz-

quierda con su inverso multiplicativo en la co-lumna de la derecha.

6 Determina la verdad (V) o falsedad (F) de cadaafirmación. Explica tu respuesta.

FVa. Dos números racionales inversos

multiplicativos tienen el mismodenominador.

b. El inverso multiplicativo de un racionalpositivo es un número negativo.

c. El inverso multiplicativo de un racionalpositivo también es positivo.

d. Siá es mayor que la unidad, el inversomultiplicativo es menor que la unidad.

e. El inverso multiplicativo de un númeroracional negativo también es negat¡vo.

f. La suma de dos operadores inversosmultiplicativos es iguala cero.

g. El producto de dos inversos

multiplicativos siempre es igual a uno.

Re¡uelve

7 Para hacer los marcos de una ventana en alu-

minio, un ventanero ha utilizado f de una mol-

dura. Si la medida de la parte que utilizó era de1,20 m, ¿cuál era la longitud de la moldura?

:B\_t o[';115Ja( l_¿\8¡e14_

d.

e.

l-5 )-EPft-l-l-t-,t'i-z-l--'[-g Ií*?r-.''-ql_,r--l-.i 5 l)i_r

b.

a.

b.

t------l

d.

?tr \/ U

CJ

-/---=\ ^\/\

,,2 .,3^c^. ¿¿

---------\ ^'\/\E' \/ ¿¿a

^ ^

e. xf xf,-___=\ ,^r

Aplica sucesivamente sobre cada cantidad losoperadores indicados y obtén el resultado final.

".*" !x Qo) : b. 4 x Ir,tr) :..3* |x(2): d.

".*"$x(ao): t.

Completa las siguientes proposiciones.

a. El inverso multiplicativo de f, "r - .

U. $ es el inverso multiplicativo de -

.

c. El inverso multiplicativo de - * "r -.

4I-

Y_Y9 "4"

s,.f,x

(20) :

(30) :

Comparación de racionales0omprende¡ Elingeniero residente de una obra ha

hecho un pedido de 80 m3 de concretopara hacer un edificio de cinco pisos,

y ha calculado que tos $ de esa cantidadlos utilizaró en los cimientos;f, en el

sobrecimiento,y ! en las columnos.

¿En cuól de estas partes de la obrautilizaró mós concreto y en

cuólmenos?il .- I -.

-- -r-- lL

tjj il;

Para establecer en qué parte de la obra se utiliza más concreto y en cuálmenos, es necesario realizar la comparación de fracciones y determinar su orden.

Puesto que las fracciones * v i son homogéneas basta con comparar susnumeradores.

,2 < 4, luego,

Para el caso de * V *,los denominadores son diferentes y representan partes dela unidad de tamaños distintos.Conviene amplificar una de las fracciones (o ambas,según el caso) para obtener fracciones homogéneas.

i7r'',"r-vi./"''t

t..t

$ FroccioneshomogéneosTienen iguoldenominodor,

Froccioneshetefogéne0sTienen diferente

denominodor.

Compolociónde floccionesPoro comporordos froccioneshomogéneos, secomporon entre sÍlos numerodores.

Poro comporordos froccionesheterogéneos,

se omplificon losÍrocciones, demOnero que seconvierton en

froccioneshomogéneos, poro

luego comporor sus. numerodores.

2.,,-.-!*5x45-'.3_2x3: 20 segunda fracción 6 < 20- 6 primera fracción

x3 27 3x9 27Amplificand. + por3y * oorg,setiene:

24g'e

429Y9

96 1xg'<?

Como 6< s, entonces, *.$.rra..it +.+

Por lo tanto, el orden de las fra 2 L . !ccroneses g'T. g

RrspursrR: En los cimientos se gasta la mayor fracción de concreto,y en elsobreci miento, lo menor.

Dos fracciones heterogéneas se pueden comparar obteniendo los productoscruzados de sus términos y asociando el primer producto a la primera fracción,y el segundo, a la segunda.

9AEntonces, ;. á

Aplicat Establece la relación de orden entre cada par

de números.

z Amplifica las fracciones y determina su relación

¡ Utiliza el producto en cruz para determinar la

relación de orden entre cada pareja de números.

a Ordena de menor a mayor cada serie de nú-meros racionales.

a.?,1 3 5.3,3,33 5 4 2 5 7

c.9,q,s 4.5,3,1,62 310 2 8 44e.4,6,4 1.3,8,6,8,95I I 5 5 732

Anallzo5 Establece una razón por la que se hace cada

afirmación.

u. f, "r menor qu"

+,porquetr3b. - i es menor que - f, porgue

,. t "tmayor que - $, Roror.

_1 1d. - 6 es menor que á,porque

A'e. f es mayor que á, porque

Procesos: Modeloción -.. Rozonomlento Comunicoción Resolución de problemos

o Frente a las siguientes afirmaciones, escribeverdadero (V) o falso (F), según corresponda.

FVa. Un número racional positivo siempre

es mayor que uno racional negativo.

b. El número cero siempre es mayor quecualquier número racional negativo.

c. Si dos fracciones tienen igual denomi-nador, es mayor la que tiene numera-dor menor.

d. Entre dos números racionales, es me-nor el que está ubicado a la derechaen la recta numérica.

e. El racional $ es igual al racional 2.8

f. El racional f es igual al racional ].

Ubica en la recta numérica el número indicadoy encuentra dos números racionales menoresque é1.

h.+

Re¡uelveI Para el diseño hidráulico del edificio, el inge-

niero utilizará tubería de tres diámetros dife-rentes.Tubería tipo A,de media pulgada;tube-ría tipo B, de tres octavos de pulgada, y tuberíatipo C, de tres cuartos de pulgada. ¿Cuál es el

orden de los tres t¡pos de tubería, de acuerdocon la magnitud de su diámetro?

a.2 6 9.9 1599885 2 18 1c'6 6 q'-11

11

2020

415

2 1 .4*-7 -7 r'20

s.-+ -g h.-+

de orden.

".*r* b.-?y-+ ,. l,to.tr? ".á'* 'f'*n.-tr-? n.#r# '.3'*

^'t, t o't, ? ,.t, ?d.av!- ..4yG r.3y8

2575812

od.t^.+ b.-+ ..*

".-+ r. -+ s.-+

i'- .- I

I.1"

,J

Id1

1r{ \,"\N

frffiFensamiento

nu[nGfl00

2_'t5

32212 12 15

aJ

12

5

12

son fracciones homogéneas; entonces,3 2 3+2 5:-12 12 12 12

25_860 60

$ FroccioneshomogéneosPoro sumor dosnúmeros rocionoles

con rguol

denominodor, se

sumon los

numerodores y se

dejo el mismodenominodor.

FloccionesheterogéneosPoro sumor dosnúmeros rocionolescon diferente

denominodor, se

omplificon los

frocciones poro

convertirlos en

homogéneos y

luego se sumon.

lnverso odilivoEl inverso oditivo de

un número rocionol

f es otro rocionol

(-f ), oetotm0nero que

a I d\a+l-bl:u

252

como 60 + 12:5, entonces frse omplifico

por 5 5x512 x 5

se omplificopor 4 2x4

15x4

25+8 33 11: -:-60

como 60 + 15 : 4, entonces 2

15

Rrspursrn: El órea soc¡al ocupa ft aa órea totol del apartamento.

B. La sustracción entre dos racionales se puede interpretar como la suma del

primer término con el inverso aditivo del sustraendo.

. Asíque para hallar la diferencia entre dos racionales,se aplica el mismo

algoritmo de la adición.

60 20

1 1 1 ,¡ 1¡6 g 6'1 9/

1_ 1 ,

9-6-I

Amplificondo x 3 iaU

18

1r-á) m'c'm':$,$i:18

I Amplificondo x z2¡ 1

1B / - 18

1_6

Adición y sustracc¡ón de números racionalesComprendeo Lo Constructora Bolívar ofrece un apartomento,

en el que la zona social estó distribuida

de la siguiente manera: la sala ocupa $del área total,el comedor $ V el Oasillo

¿Cuáles elárea ocupada por la zona

social del apartamento?

A. Para hallar el área ocupada por la zona social del apartamento es necesario

sumar las fracciones de las áreas indicadas.

2vo2 son fracciones heterogéneas; para sumarlas, se halla el mínimo

y 1 5 común denominador de las dos fracciones.

. El mínimo común denominador corresponde al mínimo común múltiplo de

los denominadores.

. Ahora se amplifica cada fracción, de manera que su denominador sea 60. Para

establecer el número por el que hay que amplificar cada fracción, se divide el

mínimo común denominador entre el denominador de cada fracción.

,Sl¡ a

Aplicat Halla la suma.

,.(-*).(-+)

z Completa la tabla,en la que aparecen algunosracionales y sus inversos aditivos.

Número

lnverso aditivo

¡ Encuentra el resultado de las sustracciones.

Anolizo¿ Halla el inverso ¿ditivo y el irrverso multiplica-

tivo de cada numero racional ciado.

Procesos: lvodeloción Rozonomiento Comunicoción Resolución de problemos

s Relaciona cada caso con la propiedad de la adi-ción de racionales que se aplica.

AsociotivoEn lo odición de tres

? I 1 e omosnúmerosil. - -L-- _ +* rocionoles,sepuedens 2 2 5 ,.roiüoio¡r.,.rnr..

ogrupociones y losumo no se oltero.

ConmutolivoEl orden en que se

h 2 ^ 2 efectúe lo odición de

7- " -'7 dosomósnúmerosrocionoles no ofecto

lo sumo.

MrJdulolivoCuondc se odicionoun núinero rocronolcon el cero,

el resuliodo es el

mismo rocionol,

6 Encuentra el resultado de cada operación em-pleairuic=, ias propiedades de la adición paraagilizar el proceso. ldentifica las propiedadesque scr emplearon en cada caso.

Resuelve7 La Constructora Bolívar ofrece a sus clientes

la siguiente forma de pago: abonar ] del valortotal del apartamento al comienzo de la

)negociación, f del valor durante su construc-ción y el resto a la entrega del apartamento.

¿Cuál es la fracción

delvalor total del

apartamento que

debe pagar el

cliente al momentode la entrega?

j.+.+ o *. +

^'t* t o.+. -,? .. (-+). +o.+.+ ".+*+ ,(-+)-(-+)

n.**á n**j3 ,.f+)+(-*)

q13429 13

18-1 T

5312- n-l 4I -9

l2!* _ 57'3

c..

59

27

a

5

a

55e

6231u'5-s o'?-a, 10 7 5 4*z-q "'6-g-

'.+-+ n.#-1; ¡.

i.+-dq n-rq ü r.

c' l'i-,3 j- 3\2'41'51 , i3 :jr__T_r t4.El

3 _r 2 _L 7 b. 3 - 9 _,-/_ 3 ¡5 3 5 5 ' 2 '\ 5 /

+.+.+ o.t*+.+.( -+)

a.

c.

6 _152

lnversooditivo

lnversomultiplicotivo

a. ¿Qué diferencia y qué semejanza hay entreun número y su inverso aditivo?

b. ¿Qué diferencia y qué semejanza hay entreun número y su inverso multiplicativo?

Multiplicación y división de racionalesComprendeA. La Constructoro Nópoles construye el salón comunal

de un conjunto residencial,en un terreno que mide

t m de largoy ! m de ancho.

¿Cuól es el órea con que cuenta poro construir el salón?

Para hallar el área del salón, se calcula el producto entre sus dimensiones:

Área : largo X ancho : + r " f tRespursrn: El área del salón es de ff m2, es decir,

2B. Silas i partes delórea delsalón sevon a dividir en cinco secciones iguales,

¿qué fracción del órea del salón le corresponderó a cada sección?

Para establecer el área de cada espacio en que se van a dividir las ] partes

del salón, es preciso hacer una división: las tres cuartas partes del área

divididas en cinco partes iguales.. Gráficamente, el proceso de la división es el siguiente:

Aritméticamente, se tiene que:

El numerador del coc¡ente es el producto entre el numerador del dividendo yel denominador del divisor.Y el denominador del cociente es el productoentre el denominador del dividendo y el numerador del divisor.

25mX20m 500 .: _- m'b2x3

$! m2.

Se dibujonlos fes cuortos portes.

Se divide el óreo

en cinco portes iguolesCodo porte conesponde o fi

del óreo totol.

335344120

qEl produclo de dosrocionolesconesponde o lofrocción obtenidodel produclo de losnumerodores entre

síy de losdenominodoresenlre sÍ.

Lo división de dosnúmeros locionolescorresponde olproducto enlre el

dividendo y el

inversomulliplicotivodel divisor.

. Este procedimiento es análogo a multiplicar 3 5 3el dividendo por el inverso multiplicativo - :

- : :

del divisor. ---'-- "'-'-'r 4 1 4

..1 3x1 3"s-4xs-20

ley de los signos

En el conjunto de los números racionales, el producto entre racionales cumple la ley de signos:

. El producto de signos iguales + x + : +

es positivo y el producto de signos + x :diferentes es negativo. X + :

X:+

Aplicat Encuentra los siguientes productos entre ra-

cionales. Simplifica los resultados.

2 Encuentra gráficamente los cocientes resultan-tes de cada una de las divisiones.

Procesos: lvodeloción . Rozonomiento Comunicoción Resolución de problemos

Analizos Analiza con tus compañeros/as las propiedades

de la multiplicación entre racionales.

a. ¿El producto entre racionales es conmutativo?Propongan ejemplos para ilustrar la respuesta.

b.¿El producto entre racionales es asociativo?Propongan ejemplos para ilustrar la respuesta.

c. ¿Cuál es el módulo de la multiplicación entreracionales? ¿5e cumple la propiedad modula-tiva en la multiplicación de racionales? Enún-cienla y propongan ejemplos.

d. ¿Para cada racionalexiste un inverso multiplica-tivo? ¿Cuál es el producto entre dos inversosmultiplicativos? ¿Se cumple la propiedad in-vertiva en la multiplicación de números racio-nales? Enúncienla y propongan ejemplos.

6 Completa la tabla. Observa el ejemplo.

Exoresión13518fraccionaria24245lnverso multiplicativo

2en expresión fraccionaria

Expresión decimal 0,5

lnverso multiplicativo 1

en expresión decimal 0,5

De acuerdo con los resultados de la tabla, ana-liza las siguientes cuestiones.

a. ¿El inverso multiplicativo de un número racio-nal positivo es positivo o negativo?

b. ¿El inverso multiplicativo de un racional ne-gativo es positivo o negativo?

c. ¿El inverso multiplicativo de un número ma-yor que 1 es mayor o menor que 1?

d. ¿El inverso multiplicativo de un número com-prendido entre 0 y 1 también está compren-didoentre0yl?

fte¡uelvez Si se han destinado f del área del salón co-

munal de la página anterior para hacer un jar-dín, y se van a construir allítres materas de lamisma área, ¿qué fracción del terreno total ocu-pará cada matera?

".f '#,.?"r

".*'(-?),.(-+ " +)

o.+"+4.9x9bt

, 5 ..12r' 24- ^ s

h. (-+),.(-+)

b.?5

d. If.+

14.4

1c.u

1e.2

-¿ +2

+4

:Q.J

3 Calcula el producto en cruz para hallar el co-ciente entre los racionales indicados. Simplifi-ca el resultado cuando sea posible.

Encuentra el inverso multiplicativo del divisoren cada caso y determina el cociente median-te un producto de racionales.

^.?-I3¿

-3 1t'B-6

52A

-:

_"'2 3

o.t=t

s(-8i** n (-+

(-+5.t6 -\

d.

Í.

5-6_5

Ia

4t4\-o

5Tc.

+r.6¡.7

".* ** b.3-

** *3 "'+o.2 =2 h.6'9 5 5

=(-+)

-+).3'4

1-4

2-5

nffiFensami.epto

RUm8fiG0

Potenciación y radicación de racionalesComprendea Para hacer un puente colgante, un ingeniero coloca cuatro cables,

de tal manera que el primero tiene la móxima longitud, el segundo

equivale o ] a, h bngitud del primero, el tercero corresponde

a ] ae b bngitud delsegundoy elcuarto mide tr ¿,la longitud del tercero.

-¿ñ¡,t. ..*.¿¡ *É#f*s":'

Enciclopedia Visual. Hombre y técnica

. En la situación planteada,el primercable se ha tomado como unidad.

TIuil

II

. El segundo cable correspond" u +de la medida del primero.

3 deu4

B Polencio de un

número rocionol

Lo potencro n-ésimo

de un rocionolfequivole ol producto

del foctor f Oor si

mismo n veces.ta¡n anI bl : b"

Rodicoción de un

número rocionol

Lo roíz n-ésimo de

un rocionol fequivole ol rocionol

que multiplicodo n

veces por sí mismo

do como resultodo

este rocionol.

si y solo si

. La longitud del tercer cable corresponde ' La longitud del cuarto cable

u f A" la longitud del segundo, correspondu u. + d.e la longitud del

es decit t ] J" los f deiprimero: tercero' es decir' a f de los f de

los ] del primero. '

:# ffi a"u

. El producto repetido de un número racional corresponde a una potencia.

(+)' 1"1"1 " +:ef. Otra operación que se puede definir en los racionales es la radicación. Si f es

racional y n pertenece a los naturales,n ) 1.

si y solo si

1'n

3.,3_9 0i";:á r?d"' 1^*"j

3..3 l3i2 3..3..3-Y-t-4"4 \4/ 4"4" 4

,E:\[i -,\a ql a d

"fr p

\ b- c

tPtn\q/ lo\\bl

(r\' : o

\¿/ b

/3\t - 27

\¿/ 64

Entonces,

127'tl

1o+ W , , porque+

Aplicot Escribe en cada ejercicio los términos que faltan.

o.(-)' :

d.E\i64

z Calcula las siguientes potencias.

".(?)' . (+)' o.(3)'

n.(-+)'".(+)' '. (-+)' n.(+)'

¡ Calcula las siguientes raíces.

u.rE o. f ,.o@ o.1 B lzs 1 81

".0@ r.r@ o.uEn.\ ro lrzs '\zqs

Procesos: Modeloción , Rozonomiento Comunicocion Resolución de problen::

s Completa la tabla indicando si la potencia re-sultante es positiva o negativa.

Potencia (+)' (+)' (-+)' (-

Signo

Anolizoó Determina la verdad o la falsedad de las siguien-

tes proposiciones. Explica tu respuesta y pro-pón ejemplos para ilustrarla. F V

a. La potencia de un número racionalpositivo es siempre positiva.

b. Una potencia de un número racional ne-

gativo, con exponente par, es negativa.

c, La raíz de un número racionalpositivo siempre es positiva.

d. Una potencia de un número racional

mayor que 1 es menor que 1.

e. La raíz de un número racional positivo

menor que 1 es siempre menor que1, si el índice de la raíz es positivo.

f. Una potencia de un número racional

menor que - 1 es siempre menor que

- 1, cuando el exponente es positivo.

t Por definición,la potencia de un número racio-nal elevado a la 0 es 1. Encuentra el valor decada potencia indicada.

a.20:c.100:e.1000:

b. 50:d.250 :

Resuelve8 Para sostener una placa sobre un río se han ins-

talado cuatro columnas, donde I r longitud decada columna equivale a los f de la columnaanterior.Tomando como unidad la medida dela columna más larga, ¿a qué fracción de esta

corresponden las demás columnas?

r ¿Cuál es la medida de la hipotenusa de un trián-gulo rectángulo cuyos catetos miden * t V

f m, respectivamente?

^'É) : +"t"+: -5.5 5.52" 2" 2" 2

_34

o.(+)'

+ )' (+)'

,4!4e

Relaciona cada potencia indicada con su res-pectivo resultado.

" (+)'

n (+)'

..(-+)'

3)',

+Y

()(#)( ) (- r8F)

()(*)

()(*)

()(z%_)

()(+)

64

100

' (-?)'