3. Problemas de movimiento vibratorio

Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia

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HOJA 3 – MOVIMIENTO VIBRATORIO

TIPO 15 LIBRO PÁGINAS 26, 27 y 28: ejercicios 2, 3, 10, 13, 14, 17, 24, 30, 35 y 36. 3.1. Se tienen dos muelles de constantes elásticas 𝑘! y 𝑘! en cuyos

extremos se disponen dos masas 𝑚! y 𝑚! respectivamente, tal que 𝑚! < 𝑚!. Al oscilar, las fuerzas que actúan sobre cada una de estas masas en función de la elongación aparecen representadas en la figura: a) ¿Cuál es el muelle de mayor constante elástica? b) ¿Cuál de estas dos masas tendrá mayor periodo de oscilación? Sol: a) 𝒌𝟏 > 𝒌𝟐; b) 𝑻𝟏 < 𝑻𝟐

3.2. Se dispone de un muelle elástico sujeto por un extremo al techo de la habitación. Si colgamos por el otro extremo un cuerpo de 6 kg de masa, el muelle se alarga 20 cm. Calcule: a) La constante elástica del muelle: b) El periodo de las oscilaciones que realizará si se le aparta de su posición de equilibrio y se le deja

libremente para que realice un MAS.

a) Determinaremos la constante de elasticidad por medio de la ley de Hooke, ya que en equilibrio, el peso del objeto que deforma el muelle, y la fuerza recuperadora del mismo tienen el mismo módulo y sentidos opuestos:

𝑃 = 𝐹 → 𝑚𝑔 = 𝑘𝑥 → 𝑘 =𝑚𝑔𝑥

→ 𝑘 =6 𝑘𝑔 · 9!8𝑚/𝑠!

0!2 𝑚 → 𝒌 = 𝟐𝟗𝟒 𝑵/𝒎

b) Aunque la constante de elasticidad estática y dinámica no son exactamente iguales, utilizaremos el dato

calculado en el apartado anterior para obtener el periodo de la oscilación:

𝑇 =1𝑓=2𝜋𝜔=

2𝜋𝑘/𝑚

= 2𝜋𝑚𝑘= 2𝜋

6 𝑘𝑔294 𝑁/𝑚

→ 𝑻 = 𝟎!𝟗 𝒔

TIPO 16 LIBRO PÁGINAS 26, 27 y 28: ejercicios 5, 26 y 37. 3.3. Escribe la ecuación senoidal del movimiento del

movimiento del muelle de la figura cuya gráfica posición – tiempo es: Sol: 𝐱 𝐭 = 𝟎!𝟏 · 𝐬𝐞𝐧 𝛑𝐭 + 𝝅

𝟔 𝐦



3.4. El bloque de la figura, de masa M = 0,5 kg, está apoyado sobre una superficie horizontal sin rozamiento y unido a una pared mediante un resorte de masa despreciable y constante recuperadora K = 8 N/m. Inicialmente se hace actuar sobre M una fuerza F = 2 N en el sentido indicado. A continuación, una vez que M ha alcanzado el equilibrio, se anula F. ¿Con qué amplitud oscilará M? ¿Con qué frecuencia angular, 𝜔?

3.5. De un resorte elástico colgamos una masa puntual de 5 kg y éste se estira 9’8 cm hasta alcanzar el nuevo equilibrio. Desde esta posición se desplaza la masa 10 cm, dejándola oscilar libremente a continuación. Calcular: a) El valor de la constante elástica. b) La ecuación del movimiento armónico simple que describe la masa

puntual.

a) Aplicamos la ley de Hook para calcular el valor de la constante elástica del muelle:

𝐹 = 𝑘𝑦!

Como el sistema está en equilibrio la resultante de las fuerzas debe ser nula, es decir, el peso debe ser igual a la fuerza recuperadora en módulo y dirección, pero de sentido contrario:

𝑃 = 𝐹 → 𝑚𝑔 = 𝑘𝑦! → 𝑘 =𝑚𝑔𝑦!

𝒌 =5𝑘𝑔 · 9!8 𝑚/𝑠!

0!098 𝑚= 𝟓𝟎𝟎 𝑵/𝒎

b) Sabemos que la ecuación que describe un movimiento armónico simple es:

𝑦 𝑡 = 𝐴 · sin 𝜔𝑡 + 𝜑!

Calculamos las constantes. Dado que nos dicen que se deja oscilar libremente la masa desde 10 cm, ese será el valor de la amplitud 𝐴 = 0!1 𝑚. Podemos hallar el valor de la pulsación del movimiento a partir de la masa y la constante recuperadora del muelle:

𝜔 =𝑘𝑚=

500 𝑁/𝑚5 𝑘𝑔

→ 𝜔 = 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Por último, para calcular el valor del desfase inicial aplicamos las condiciones iniciales:

𝑦 0 𝑠 = 0!1𝑚 = 0!1𝑚 · sin 0 + 𝜑!

Esta ecuación solo se cumplirá para aquellos valores que cumplan que sin𝜑! = 1. Es decir:

𝜑! =𝜋2+ 2𝑛𝜋 𝑟𝑎𝑑; ∀ 𝑛 ∈ ℕ

Ya que todas las soluciones tienen el mismo significado físico vamos a quedarnos con 𝜑! =!! 𝑟𝑎𝑑.

Una vez calculadas todas las constantes del movimiento, la ecuación del movimiento armónico simple será:

𝒚 𝒕 = 𝟎!𝟏 𝒎 · 𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟎𝒕 +𝝅𝟐



TIPO 17 LIBRO PÁGINAS 26, 27 y 28: ejercicios 1, 18, 19, 21 y 34. 3.6. Una masa de 20 g realiza un movimiento armónico en el extremo de un resorte que da dos oscilaciones por

segundo, siendo la amplitud del mismo 5 cm. Calcula: a) La velocidad máxima de la masa que oscila. b) La aceleración de la masa en el extremo de su movimiento. c) La constante k del resorte. Sol: a) 𝒗𝒎𝒂𝒙 = 𝟎!𝟐 𝝅 𝒎/𝒔; b) 𝒂 = 𝟎!𝟖 𝝅𝟐 𝒎/𝒔𝟐; c) 𝒌 = 𝟎!𝟑𝟐 𝝅𝟐 𝑵/𝒎

3.7. En el extremo de un muelle colocamos un cuerpo, lo estiramos 4 cm y lo dejamos oscilar libremente. Escribe la

función que nos permite conocer su elongación, velocidad y aceleración en función del tiempo si vibra con una frecuencia de 2 Hz. Representa gráficamente dichas funciones tomando valores del tiempo que permitan conocer lo que sucede en dos oscilaciones completas. Sol: 𝒙 𝒕 = 𝟎!𝟎𝟒 · 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝝅 · 𝒕 𝒎; 𝒗 𝒕 = −𝟎!𝟏𝟔𝝅 · 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝝅 · 𝒕 𝒎/𝒔; 𝒂 𝒕 = −𝟎!𝟔𝟒𝝅𝟐 · 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝝅 · 𝒕 𝒎/𝒔𝟐

3.8. Un punto material está animado de un movimiento armónico simple a lo largo del eje X, alrededor de su posición de equilibrio en x = 0. En el instante t = 0, el punto material está situado en x = 0 y se desplaza en el sentido negativo del eje X con una velocidad de 40 cm·∙s-‐1. La frecuencia del movimiento es de 5 Hz. a) Determina la posición en función del tiempo. b) Calcula la posición y la velocidad en el instante t = 5 s. Sol: a) 𝒙 𝒕 = 𝟎!𝟎𝟏𝟑 · 𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟎𝝅 · 𝒕 + 𝝅 𝒎; b) 𝒙 𝟓 𝒔 = 𝟎 𝒎, 𝒗 𝟓 𝒔 = −𝟎!𝟒 𝒎/𝒔

3.9. Una pequeña plataforma horizontal sufre un movimiento armónico simple en sentido vertical, de 3 cm de

amplitud y cuya frecuencia aumenta progresivamente. Sobre ella reposa un pequeño objeto. a) ¿Para qué frecuencia dejará el objeto de estar en contacto con la plataforma? b) ¿Cuál será la velocidad de la plataforma en ese instante? a) El objeto dejará de estar en contacto con la plataforma cuando la aceleración con la que descienda la

plataforma sea mayor que la aceleración de la gravedad que es valor máximo con que puede caer el objeto. El valor máximo de la aceleración se adquiere en el extremo superior del recorrido de la plataforma:

𝑔 = 𝑎!"#

La aceleración se calcula como la segunda derivada de la elongación respecto del tiempo:

𝑎 𝑡 =𝑑!𝑦 𝑡𝑑𝑡!

= −𝜔!𝐴 · sin 𝜔𝑡 + 𝜑!

Como queremos que la aceleración sea máxima, el seno tendrá que tomar su valor máximo:

𝑎!"# = 𝜔!𝐴 ⟶ 𝜔 =𝑎!"#𝐴

=𝑔𝐴 ⟶ 𝑓 =

12𝜋

𝑔𝐴

Sustituyendo valores:

𝒇 =12𝜋

·9!8 𝑚/𝑠!

0!03 𝑚= 𝟐′𝟖𝟖 𝑯𝒛



b) La plataforma se encuentra en el extremo superior del recorrido por lo que la velocidad será nula:

𝑣 𝑡 = !" !!"

= 𝜔𝐴 · cos 𝜔𝑡 + 𝜑!

cos 𝜔𝑡 + 𝜑!

cos 𝜔𝑡 + 𝜑! = 1 − sin! 𝜔𝑡 + 𝜑! = 1 − !! !!

sin! 𝛼 + cos! 𝛼 = 1

sin(𝜔𝑡 + 𝜑!) = 𝑦 𝑡 /𝐴

𝑣 𝑡 = 𝜔𝐴 · 1 − !! !!

= 𝜔 𝐴! − 𝑦! 𝑡 Como en nuestro caso el objeto deja de estar en contacto con

la plataforma cuando 𝑦 𝑡 = 𝐴: 𝒗 𝒕 = 𝟎 𝒎/𝒔

3.10. La ecuación de una onda armónica transversal que se propaga por una cuerda, expresada en unidades del

S.I. es: 𝐲 𝐱, 𝐭 = 𝟎!𝟎𝟑 · 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝐭 + 𝟏𝟎𝐱 . Determina: a) La frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación de dicha onda. b) La velocidad de vibración, tras 5 segundos, de un punto situado a una distancia del origen de 15 cm. c) La diferencia de fase entre dos puntos de la cuerda separados una distancia de 20 cm.

a) Por comparación con la expresión general de una onda armónica 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴 · sin 𝜔𝑡 − 𝜅𝑥 podemos

obtener varias magnitudes: 𝐴 = 0!03 𝑚 𝜔 = 2 𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜅 = 10 𝑟𝑎𝑑/𝑚

A partir de estas magnitudes podemos obtener la frecuencia:

𝛎 =𝜔2𝜋

=2 𝑟𝑎𝑑/𝑠2𝜋 𝑟𝑎𝑑

= 𝛑!𝟏 𝐇𝐳 La longitud de onda:

𝛌 =2𝜋𝜅=

2𝜋 𝑟𝑎𝑑10 𝑟𝑎𝑑/𝑚

=𝛑𝟓 𝐦

Y la velocidad de propagación: (en este caso la propagación de la onda se produce en sentido negativo del eje x).

𝐯𝐏 =𝜆𝑇= 𝜆 · 𝜈 =

𝜋5 𝑚 · 𝜋!! 𝑠!! = 𝟎!𝟐 𝐦/𝐬

b) La velocidad de vibración se calcula derivando la elongación respecto del tiempo:

𝑣 =𝑑𝑦𝑑𝑡

= 0!06 · cos 2𝑡 + 10𝑥

En 𝑡 = 5 𝑠 y 𝑥 = 0!15 𝑚:

𝐯 = 0!06 · cos 2 · 5 + 10 · 0′15 = 0!06 · cos 11′5 = 0!06 · 0!98 𝑚/𝑠 = 𝟎!𝟎𝟐𝟗 𝐦/𝐬

c) Nos piden calcular el desfase entre dos puntos separados 0’2 m pero en el mismo instante de tiempo ⟹ Δ𝑡 = 0 𝑠:

Δ𝜑 = 𝜑! − 𝜑! = 𝜔𝑡! + 𝜅𝑥! − 𝜔𝑡! + 𝜅𝑥! = 𝜔𝑡! − 𝜔𝑡! + 𝜅𝑥! − 𝜅𝑥!

Δ𝜑 = 𝜔 𝑡! − 𝑡! + 𝜅 𝑥! − 𝑥! = 𝜔 · Δ𝑡 + 𝜅 · Δx = κ · Δx

𝚫𝝋 = 𝟏𝟎 𝒓𝒂𝒅/𝒎 · 𝟎!𝟐 𝒎 = 𝟐 𝒓𝒂𝒅



TIPO 18 LIBRO PÁGINAS 26, 27 y 28: ejercicios 6, 8, 11, 12, 20, 22, 25, 27, 29, 31 y 38. 3.11. Una partícula de masa 𝑚 = 0!1 𝑘𝑔 oscila armónicamente en la forma 𝑥 = 𝐴 · sin𝜔𝑡, con amplitud 𝐴 = 0!2 𝑚

y frecuencia angular 𝜔 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠. a) Calcula la energía mecánica de la partícula. b) Determina y representa gráficamente (en la misma gráfica) las energías potencial y cinética de la masa en

función del tiempo para 4 periodos completos. Sol: a) 𝐄𝐌 = 𝟕!𝟗 · 𝟏𝟎!𝟐 𝐉, b) 𝐄𝐏 = 𝟎!𝟎𝟕𝟗 · 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝝅𝒕 𝟐 𝐉; 𝐄𝐂 = 𝟎!𝟎𝟕𝟗 · 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝝅𝒕 𝟐 𝐉

3.12. Una partícula de 0’5 kg que describe un movimiento armónico simple de frecuencia 5/π Hz tiene, inicialmente,

una energía cinética de 0’2 J y una energía potencial de 0’8 J. a) Calcula la posición, velocidad y desfase iniciales, así como la amplitud de la oscilación y la velocidad

máxima. b) Haz un análisis de las transformaciones de energía que tienen lugar en un ciclo completo. ¿Cuál será el

desplazamiento en el instante en el que las energías cinética y potencial son iguales? Sol: a) 𝒙𝒐 = 𝟎!𝟏𝟖 𝒎, 𝑨 = 𝟎!𝟐 𝒎, 𝝋𝒐 = 𝟏!𝟏𝟐 𝒓𝒂𝒅, 𝒗𝒐 = 𝟎!𝟖𝟕 𝒎/𝒔, 𝒗𝒎𝒂𝒙 = 𝟐 𝒎/𝒔 b) 𝒙! = 𝟎!𝟏𝟒 + 𝒏𝝅 𝒎 ∀ 𝒏 = 𝟎,𝟏,𝟐…

3.13. Una masa m que describe un movimiento armónico simple, tarda 1 s en desplazarse desde un extremo de la

trayectoria al otro extremo. La distancia entre ambos extremos es de 5 cm. Determina: a) El periodo del movimiento. b) La energía cinética de la partícula en t = 2’75 s, sabiendo que en t = 0 su elongación es nula. c) El primer instante en el que las energías cinética y potencial del sistema coinciden. Sol: a) 𝑻 = 𝟐 𝒔; b) 𝑬𝑪 = 𝒎 · 𝟏!𝟓𝟒 · 𝟏𝟎!𝟑 𝑱; c) 𝒕 = 𝟎!𝟐𝟔 𝒔

3.14. Un bloque de 50 g, conectado a un muelle de constante elástica 35 N/m, oscila en una superficie horizontal sin

rozamiento con una amplitud de 4 cm. Cuando el bloque se encuentra a 1 cm de su posición de equilibrio, calcula: a) La fuerza ejercida sobre el bloque. b) La aceleración del bloque. c) La energía potencial elástica del sistema. d) La velocidad del bloque. Sol: a) F = 35 N, b) a = 7m/s2, c) EP = 1’75·∙10-‐3 J, d) v = 1’02 m/s

3.15. Cierto muelle, que se deforma 20 cm cuando se le cuelga

una masa de 1’0 kg, se coloca sin deformación unido a la misma masa sobre una superficie sin rozamiento, como se indica en la figura.

En esta posición, se tira de la masa hasta que el muelle se alarga 2’0 cm y, posteriormente, se suelta. Despreciando la masa del muelle, calcula: a) La ecuación de la posición para el movimiento armónico simple resultante. b) Las energías cinética, potencial elástica y mecánica total cuando ha trascurrido un tiempo t = (3/4)·∙T,

donde T es el periodo del m.v.a.s. Sol: a) 𝒙 𝒕 = 𝟎!𝟐 · 𝐬𝐢𝐧 𝟕𝒕 + 𝝅

𝟐 𝒎; b) 𝑬𝑷 = 𝟎 𝑱, 𝑬𝑪 = 𝑬𝑴 = 𝟎!𝟗𝟖 𝑱



3.16. Una partícula de 10 g de masa oscila armónicamente según la

expresión x =A·∙sin(ωt). En la figura se representa la velocidad de esta partícula en función del tiempo. Calcula: a) La frecuencia angular, ω, y la amplitud, A, de la oscilación. b) La energía cinética de la partícula en el instante t1 = 0’5 s, y la

energía potencial en t2 = 0’75 s. c) ¿Qué valores tienen las dos energías anteriores? ¿Por qué?

Sol: a) 𝝎 = 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅/𝒔, 𝑨 = 𝝅!𝟏 𝒎; b) 𝑬𝑪 = 𝟎!𝟎𝟐 𝑱, 𝑬𝑷 = 𝟎!𝟎𝟐 𝑱 3.17. Una masa de 2 kg está unida a un muelle horizontal cuya constante recuperadora es k = 10 N/m. El muelle se

comprime 5 cm desde la posición de equilibrio (x = 0) y se deja en libertad. Determinar: a) La expresión de la posición de la masa en función del tiempo. b) Los módulos de la velocidad y de la aceleración de la masa en un punto situado a 2 cm de la posición de

equilibrio. c) La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra en los extremos de la trayectoria. d) La energía mecánica del sistema oscilante. Sol: a) 𝒙 𝒕 = 𝟎!𝟎𝟓 · 𝐬𝐢𝐧 𝟓 𝒕 − 𝝅

𝟐 𝒎; b) 𝒗 = 𝟎!𝟏 𝒎/𝒔, 𝒂 = −𝟎!𝟏 𝒎/𝒔𝟐; c) 𝑭 = −𝟎!𝟓 𝑵

d) 𝑬𝑴 = 𝟎!𝟎𝟏𝟐𝟓 𝑱 3.18. En la figura se muestra la representación gráfica de la energía potencial (Ep) de

un oscilador armónico simple constituido por una masa puntual de valor 200 g unida a un muelle horizontal, en función de su elongación (x). a) Calcula la constante elástica del muelle. b) Calcula la aceleración máxima del oscilador. c) Determina la energía cinética cuando la masa está en la posición: x = +2,3

cm. d) ¿Dónde se encuentra la masa puntual cuando el módulo de su velocidad es

igual a la cuarta parte de su velocidad máxima? Sol: 𝒂) 𝒌 = 𝟖𝟎 𝑵/𝒎, 𝒃) 𝒂 = 𝟐𝟎 𝒎/𝒔𝟐, 𝒄) 𝑬𝑪 = 𝟕′𝟖𝟖 · 𝟏𝟎!𝟐 𝑱, 𝒅) 𝒙 = ± 𝟒′𝟖𝟒 · 𝟏𝟎!𝟐 𝒎

3.19. Las líneas siguientes representan la elongación frente al tiempo para dos móviles con MAS. Obsérvalas y

responde:

a) ¿Cuál de los dos móviles tarda más en dar una oscilación completa?

b) ¿Cuál de los dos móviles tiene mayor energía mecánica?

c) Suponiendo que los dos móviles tienen la misma masa, ¿cuál de ellos se ve sometido a una mayor fuerza de recuperación?



3.20. Las líneas siguientes representan la elongación frente al tiempo para dos móviles con MAS. Obsérvalas y responde:

a) ¿Cuál de los dos móviles tarda más en dar una oscilación completa?

b) ¿Cuál de los dos móviles tiene mayor energía mecánica?

c) Suponiendo que los dos móviles tienen la misma masa, ¿cuál de ellos se ve sometido a una mayor fuerza de recuperación?

3.21. Una partícula de masa m está animada de un movimiento armónico simple de amplitud A y frecuencia f. a) Deduzca las expresiones de las energías cinética y potencial de la partícula en función del tiempo. b) Deduzca la expresión de la energía mecánica de la partícula.

a) Calculamos primero la energía cinética sustituyendo la velocidad de vibración en la ecuación:

𝐸! =12𝑚𝑣! =

12𝑚 𝐴𝜔 cos 𝜔𝑡 + 𝜑! ! =

12𝑚𝐴!𝜔! cos! 𝜔𝑡 + 𝜑! =

=12𝑚𝐴!

𝑘𝑚cos! 𝜔𝑡 + 𝜑! =

12𝑘𝐴! 1 − sin! 𝜔𝑡 + 𝜑! =

12𝑘 𝐴! − 𝐴!𝑠𝑖𝑛! 𝜔𝑡 + 𝜑!

𝐸! =12𝑘𝐴! 1 − 𝑠𝑖𝑛! 𝜔𝑡 + 𝜑!

Ahora podemos calcular la energía potencial porque las fuerzas elásticas son fuerzas conservativas:

𝑊 = −∆𝐸! = 𝐸!! − 𝐸!! =12𝑘𝑥!! −

12𝑘𝑥!!

Consideramos EP = 0 cuando x = 0; es decir, en la posición de equilibrio:

𝐸! =12𝑘𝑥! =

12𝑘 𝐴!𝑠𝑖𝑛! 𝜔𝑡 + 𝜑!

Ya tenemos las expresiones de las energías potencial y cinética del movimiento armónico simple en función de t, sólo nos falta calcular el valor de k:

𝜅𝑚= 𝜔 → 𝑘 = 𝑚𝜔! = 𝑚 2𝜋 · 𝑓 ! = 4𝑚𝜋!𝑓!

Entonces la solución será: 𝑬𝑪 = 𝟐𝒎𝝅𝟐𝒇𝟐𝑨𝟐 𝟏 − 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝟐𝝅𝒇 · 𝒕 + 𝝋𝟎

𝑬𝑷 = 𝟐𝒎𝝅𝟐𝒇𝟐 𝑨𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐 𝟐𝝅𝒇 · 𝒕 + 𝝋𝟎

b) Sabemos que la energía mecánica es constante en el tiempo y se calcula sumando la energía cinética y

potencial:

𝐸! = 𝐸! + 𝐸! = 2𝑚𝜋!𝑓!𝐴! 1 − 𝑠𝑖𝑛! 2𝜋𝑓 · 𝑡 + 𝜑! + 2𝑚𝜋!𝑓! 𝐴!𝑠𝑖𝑛! 2𝜋𝑓 · 𝑡 + 𝜑!

𝑬𝑴 = 𝟐𝒎𝝅𝟐𝒇𝟐𝑨𝟐



TIPO 19 LIBRO PÁGINA 99: ejercicio 23. LIBRO PÁGINAS 26 y 27: ejercicios 7, 9, 15, 16 y 28. 3.22. Un péndulo simple oscila con una elongación máxima de 18o, desarrollando 10 oscilaciones por segundo.

Tomando como instante inicial la posición de equilibrio: a) Escribe su elongación en función del tiempo. b) Determina su periodo de oscilación en la Luna, donde la gravedad es, aproximadamente un sexto de la

terrestre. Sol: a) 𝜽 𝒕 = 𝟏𝟖° · 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝟎 𝝅 · 𝒕 ; b) 𝑻! = 𝟎!𝟐𝟒 𝒔

3.23. Un péndulo simple está construido con una bolita suspendida de un hilo de longitud L = 2 m. Para pequeñas

oscilaciones, su periodo de oscilación en un cierto lugar resulta ser T = 2’84 s. a) Determina la intensidad del campo gravitatorio en el lugar donde se ha medido el periodo. b) Considera que el movimiento de la bolita es prácticamente paralelo al suelo. Sabiendo que la velocidad

máxima de la bolita es de 0’4 m/s, calcula la amplitud de su oscilación y representa gráficamente su posición en función del tiempo, x(t). Toma origen para el tiempo, t = 0, en un extremos de la oscilación.

Sol: a) 𝒈 = 𝟗!𝟕𝟗 𝑵/𝒎; b) 𝑨 = 𝟎!𝟏𝟖 𝒎

3.24. Un péndulo simple que realiza pequeñas oscilaciones tiene un periodo de 2,000 s cuando está situado en un punto al nivel del mar. Cuando lo situamos en lo alto de una montaña su periodo es 2,002 s. Calcula la altura de la montaña.

Sabemos que el periodo de un péndulo es:

𝑇 = 2𝜋𝐿𝑔

Es decir, sólo depende de dos variables (la longitud del hilo y la gravedad). Como no cambiamos de péndulo, la única variable que va a cambiar va a ser la gravedad. Por lo tanto, podemos calcular la diferencia de gravedad entre la montaña y el nivel del mar con la diferencia de periodos, para ello, primero despejamos g:

𝑇! = 4𝜋!𝐿𝑔 ⟹ 𝑔 =

4𝜋!𝐿𝑇!

Ahora, sabemos que:

𝑔! ⟶ 𝑇! = 2!000 𝑠

𝑔! ⟶ 𝑇! = 2!002 𝑠

Calculamos la relación entre ambas gravedades:

𝑔!𝑔!

=

4𝜋!𝐿𝑇!!

4𝜋!𝐿𝑇!!

=𝑇!!

𝑇!!=

2!000 𝑠 !

2!002 𝑠 ! = 0′998



Una vez que conocemos la relación entre las intensidades de campo podemos calcular la altura:

𝑔! = 𝑔! ·𝑅!!

𝑅! + ℎ !

𝑔!𝑔!

=𝑅!!

𝑅! + ℎ ! = 0′998

𝑅!! = 0!998 · 𝑅! + ℎ !

𝑅!! = 0!998 · 𝑅!! + ℎ! + 2𝑅!ℎ

𝑅!! = 0!998 · 𝑅!! + 0!998 · ℎ! + 1′996𝑅!ℎ

0!998 · ℎ! + 1!996𝑅! · ℎ − 0!002𝑅!! = 0

Sustituimos el valor de 𝑅! y despejamos h:

0!998 · ℎ! + 12714520 · ℎ − 81153800000 = 0

ℎ! = −12746380 𝑚 esta solución no es válida, ya que la altura debe ser un valor positivo.

ℎ! = 6380 𝑚

Por lo tanto la montaña tiene una altura de 𝟔𝟑𝟖𝟎 𝒎.

3. Problemas de movimiento vibratorio

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