SIMULACION EN ADEFID DEL MOVIMIENTO VIBRATORIO DE UNA …

MEMORIAS DEL 14 CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 17 al 19 DE SEPTIEMBRE, 2008 PUEBLA, MÉXICO

1438 ISBN 978-968-9773-03-8 Derechos Reservados © 2008, SOMIM

SIMULACION EN ADEFID DEL MOVIMIENTO VIBRATORIO DE UNA CUERDA

Rocha Aguilera G., González Palacios M. A., Colín Venegas J., Aguilera Cortés L.A. Universidad de Guanajuato, Campus Salamanca, FIMEE. Carretera Salamanca-Valle de Santiago km 3.5+1.8 km.

Tel./Fax: +52 (464) 647 99 40 / (2311) [email protected], [email protected]

RESUMEN El programa de simulación Vibrato es un proyecto cuyo objetivo se centra en hacer un compendio de módulos de simulación para diversos problemas dinámicos, especialmente en el área de vibraciones dinámicas, con el fin de que éste sirva como herramienta educativa para la comprensión, enseñanza y simulación de los distintos conceptos presentes en estos problemas. ADEFID (ADvanced Engineering soFtware for Industrial Development [1]) ha sido desarrollado en Visual C++ como una plataforma que permite desarrollar software enfocado a la simulación y control de sistemas mecatrónicos, para lo cual ADEFID contiene funciones que manejan ambientes gráficos, que toman como base las bibliotecas de OpenGL, para obtener eventos y ejecutar algoritmos, y además, una interfase de comunicación con dispositivos de control de entradas y salidas digitales y analógicas. Ya que Vibrato utiliza ADEFID como plataforma, cada vez que se agrega un módulo nuevo, no es necesario escribir todas las rutinas que se requieren para su implementación. El módulo que fue desarrollado en esta ocasión corresponde a la simulación de un sistema continuo, una cuerda y sus distintos modos de vibración. Así, la programación empleada para esto permite variar parámetros conocidos en la cuerda, tales como longitud, masa por unidad de longitud, tensión inicial, altura de la excitación y el radio de la cuerda que toma importancia cuando sus dimensiones son tales que deja de comportarse como cuerda y se tiene que analizar como viga.

ABSTRACT

The simulation program vibrato is a project whose objective is to make a set of simulation modules related to dynamic problems, especially in the vibration dynamics area, so that it can be applied as an educative tool for the comprehension, teaching and simulation on different concepts present in these kinds of problems. ADEFID (ADvanced Engineering soFtware for Industrial Development [1]) has been developed in Visual C++ as a platform that allows the development of software addressed to the simulation and control of mechatronic systems, for that ADEFID contains functions based on OpenGL libraries that handle graphical environments to get events and execute algorithms, and besides, it contains a communication interface to embedded control devices with analog and digital IOs. Since Vibrato uses ADEFID as platform, each time a new module is added, it is not necessary to write all the routines required for its implementation. The module presented in this document regards to the simulation of a continuous system, consisting on a string and its different vibration modes. Thus, the programming applied allows the interactive variation of known parameters of the string, such as length, mass per unit length, initial tension, excitation height and, the radius of the string which is relevant when it takes considerable dimensions and the string no longer behaves as such but as a beam. NOMENCLATURA A, B Constantes C, D Constantes x Coordenada geométrica t Tiempo C Razón, tensión masa por unidad de longitud W Función geométrica T Función de tiempo ω Función solución (frecuencias) h Altura inicial l Longitud de la cuerda η Modo de vibración n, m Dimensiones geométricas de los cuadriláteros



INTRODUCCIÓN

El movimiento de medios continuos en vibraciones presenta un elemento importante para el análisis y en varios sistemas se pone en consideración la programación para encontrar el movimiento de los sistemas. El movimiento de los sistemas discretos es importante para realizar una aproximación de estos sistemas con los cuales se trabaja pero en algunos casos las aproximaciones son inadecuadas y se tiene que trabajar con medios continuos aquí radica la importancia de la simulación en medios continuos. Este trabajo, por consiguiente, muestra el estudio de una cuerda. Los medios analíticos para la descripción de los modelos continuos involucran ecuaciones diferenciales parciales de distintos grados que tiene una solución sencilla por medio del modelo de separación de variables. Existen diferencias claras entre los sistemas continuos y los sistemas discretos un ejemplo claro supone para sistemas discretos. Un sistema de un grado de libertad tiene un modo de vibración y una frecuencia natural (Fig.1).

Figura 1 Sistemas discretos con uno y dos grados de libertad.

Un sistema de dos grados de libertad tiene dos modos de vibración y dos frecuencias naturales. Siguiendo con estos ejemplos se presenta para tres grados de libertad con la misma conclusión (Fig. 2).

Figura 2 Sistemas discretos con más de dos grados de libertad.

Un sistema continuo como lo es el presentado por la cuerda a simular contiene en su conjunto tanto un número infinito de modos de vibración como de frecuencias naturales (Fig. 3).

Figura 3 Sistemas continuos.



FUNDAMENTO TEÓRICO

La ecuación (1) representa el movimiento de vibración libre de la cuerda.

22

2

22

2 ),(),(

t

tx

x

txP

∂∂=

∂∂ ωρω

(1)

Para propósitos prácticos la ecuación (1) toma la forma de la ecuación (2)

2

2

2

22

txC

∂∂=

∂∂ ωω

(2)

La solución de esta ecuación esta dada por la ecuación (3)

)()(),( xTxWtx =ω (3)

Se sustituye la solución en la ecuación de onda y se obtiene la ecuación (4).

2

2

2

22 1

dt

Td

Tdx

Wd

W

c = (4)

Las expresiones tienen que ser iguales esto solo puede ser posible cuando son iguales a una constante con esto se encuentran dos ecuaciones diferenciales cuya solución se presenta en las ecuaciones (5) y (6).

c

xB

c

xAxW

ωωsincos)( += (5)

tDtCxT ωω sincos)( += (6)

Las constantes son evaluadas de las condiciones de frontera y las condiciones iniciales, un par de cada una y dependen de cada caso tratado en el problema específico. Para el problema presentado aquí la cuerda está fija en sus extremos y se ofrece una fuerza inicial que es removida para ver como es su movimiento consecuente. Bajo estas condiciones la ecuación de simulación es la ecuación (7).

l

ctn

l

xn

n

htxw

πππ

cossin8

),(22

= (7)

GRÁFICA DE LA SOLUCIÓN

La solución de la ecuación graficada muestra el movimiento de simulación la solución de la ecuación se integra y se observa. La Fig. 4 muestra el movimiento de la cuerda en su primer modo de vibración en toda la amplitud de movimiento para una longitud igual a 10 unidades, se muestra también en la Fig. 5 tercer modo de vibración para la longitud de 10 unidades.



Figura 4 Una cuerda en su primer modo de vibración.

Figura 5 Una cuerda y su tercer modo de vibración.

La simulación necesita un aspecto extra para que funcione de manera adecuada, la normal a cada punto de construcción es necesaria, se muestra en las ecuaciones (8) la posición y la forma de la normal a cada punto de movimiento.

( )( )l

ctn

l

xnhw

n πππ

cossin8

1 22/1−−= (8a)

l

ctn

l

xn

l

hn

dx

dw πππ

coscos8= (8b)



Figura 6 Vectores normales a la trayectoria en primer modo de vibración.

La Fig. 6 muestra los vectores normales a la trayectoria para la amplitud de movimiento en el primer modo de vibración. La Fig. 7 muestra los vectores normales a la trayectoria para el tercer modo de vibración.

Figura 7 Vectores normales a la trayectoria en tercer modo de vibración.

SIMULACIÓN DE LA CUERDA

La simulación tiene su base en el programa ADEFID, el esqueleto de programación se basa en las clases de este programa las cuales se ilustran en la Fig. 8, agregando sólo un módulo para la simulación del medio continuo. La base de la simulación se encuentra en una clase denominada CUString que representa el esqueleto del lenguaje de programación, otra no menos importante es la ventana de diálogo donde se van a mostrar los parámetros a ser variados en el funcionamiento de la simulación.



Figura 8 Clases de ADEFID incluyendo las requeridas para la cuerda vibrante.

La clase CUString tiene el esquema mostrado en la Fig. 9.

Figura 9 Miembros de la clase CUString.

Dentro de esta clase se declaran las variables globales utilizadas en la simulación, independientes de las variables locales. Se inicializa la función ADEFIDDoc, esto se hace en modo de suspensión que permite el acceso a tarjetas de adquisición de datos, se inicializa la función como tipo máquina con lo cual hereda todas las características de la clase y se actualizan las variables a ser declaradas.



Figura 10 Inicialización de las variables por interactuar con CUString.

Una vez declaradas las variables, este sistema crea un archivo de valores Geom-String.txt que se actualiza con los valores declarados inicialmente si no existen actualizaciones. Se asignan los nombres de las variables declaradas a los datos del archivo y se crea otro el cual genera las condiciones predeterminadas para las variables, las cuales se definen de acuerdo a la Fig. 10, esta condición default puede ser llamada desde la pantalla de diálogo de visualización.

Figura 11 El escenario es llamado a través de SetUpScen().

El siguiente paso es la construcción del modelo, para el que se utiliza el modo de polígonos en la construcción, se llena como si fuera un sólido y se refleja la luz para tener el efecto según la definición de la derivada de la función. La función DrawString dibuja la cuerda. Una vez dibujada se manda llamar el escenario donde será colocada, como se muestra en la Fig. 11.



Figura 12 Generación del escenario a través de DrawScene().

El escenario consiste en un plano sobre el cual se monta todo el sistema, las dimensiones pueden ser variadas dependiendo de la dimensión de la cuerda y sobre el plano se dibujan los bloques de rodillos sobre los cuales se monta la cuerda a ser manipulada (ver Fig. 12).

Figura 13 La función que llama a dibujar la cuerda en función del tiempo.



La función DrawString se muestra en la Fig. 13, se dibuja con las condiciones especificadas de acuerdo a la función DrawFunction (Fig. 14), se declara un ciclo dentro del cual existe una variable local llamada m_time que se toma como cero en estado de suspensión, es caso contrario el contador empieza y la función empieza a ser evaluada, con esto la forma de la cuerda es dibujada con los parámetros iniciales definidos con el material tipo 23.

Figura 14 Función que se llama para dibujar la cuerda.

Una vez dibujada la cuerda se tiene que esquematizar su respuesta esta se encuentra incluida en la función llamada SFunction dependiente de la ecuación de movimiento de la función de onda y de la derivada de la función respuesta con respecto a x para dar la correcta iluminación según los vectores normales de la función. La función de definición en la cual se basa el dibujo de la cuerda se llama GL_QUAD_STRIP, que corresponde a pequeños cuadrados continuos que definen la estructura de la cuerda siendo llamados con los argumentos m y n de la función. Una vez que se dibuja la cuerda y el código de la respuesta de la cuerda mostrada en la Fig. 15, se procede a realizar el cuadro de diálogo donde se van a variar los parámetros del sistema, éste se muestra en al Fig. 16.



Figura 15 Introducción de las ecuaciones (8) y que determinan la forma de la cuerda.

Figura 16 Diálogo que el usuario utiliza para variar interactivamente los parámetros de la cuerda.

La comunicación entre la ventana de diálogo y el programa se realiza mediante las variables declaradas, estas variables son declaradas globalmente y deben ser iguales a las variables designadas en UString para ser utilizadas en las barras deslizantes las cuales se ven declaradas en la Fig. 17.

Figura 17 Implementación de los parámetros de la cuerda en la clase CModVib.



Figura 18 Definición de las barras deslizantes del diálogo de la Fig. 16.

Se declararon las barras deslizantes y el siguiente paso es ajustar los valores de trabajo en los cuales se van a mover las barras deslizantes mediante el control en la ventana de visualización que nuevamente deben ser las mismas variables declaradas en UString, Fig. 18.

Figura 19 Definición de los límites de las barras deslizantes de la Fig. 16.

Una vez ajustados los valores se tiene que realizar la conexión dinámica de ajuste las variables con las barras deslizantes en tiempo real, esto se realiza mediante las funciones mostradas en la Fig. 19.

Figura 20 Definición del control dinámico de una de las barras deslizantes de la Fig. 16.



En la función declarada en la Fig. 20 está el control dinámico de una de las barras en la que se asignan valores de los parámetros de UString a las variables declaradas globalmente en esta clase, se actualizan los valores y se guardan para abrirlos la siguiente vez. El sistema se encuentra listo en este punto para ser utilizado asignando en la ventana de control un botón que realice las funciones de inicio (start) y de modo inicial (reset) de la misma manera se asignan estas variables a las condiciones default y de inicio de secuencia de ciclo para la variable m_time.

VENTANA DE VISUALIZACIÓN

Una vez que el programa corre, se obtiene la ventana de visualización mostrada en la parte izquierda de Fig. 21, dependiendo del caso default será la primera visualización. Así, se abre el cuadro de diálogo para el control de parámetros involucrados como se muestra en la parte derecha de la Fig. 21.

Figura 21 Imágines congeladas de la cuerda vibrante.

Se muestran los modos 1 y 2 en la Fig. 22, el modo 4 y 6 en la Fig. 23.

Figura 22 Imágenes congeladas de los modos 1 y 2.



Figura 23 Imágenes congeladas de los modos 3 y 4.

La relación C debe ser cuidadosamente manejada solo en el rango que muestra debido a que con valores mayores, ésta incrementa su radio en forma tal que debe ser tratada como viga, ya que sus ecuaciones de movimiento ya no ofrecen una respuesta adecuada. La Fig. 24 muestra el radio máximo que puede alcanzar la cuerda que en términos prácticos es despreciable para la longitud de la cuerda si se utiliza una longitud menor de cuerda la razón debe ser disminuida para observar bien el efecto de los modos de la cuerda y de su movimiento.

Figura 24 Valor máximo del radio en el quinto modo de vibración.

CONFIGURACION DE DETALLES

Los valores de definición geométrica de la cuerda pueden ser apreciados utilizando el comando línea que define las características de los cuadriláteros que forman la base de la cuerda al hacer variar los parámetros m y n, esto es en la cuerda como en el escenario debido a que estos cuadriláteros se unen por sus vértices en la constitución del modelo geométrico, las diferencias pueden ser apreciadas en las figuras 25 y 26, los elementos pueden ser variados y la visión de la gráfica depende de las necesidades propias del proyecto.



Figura 25 Número de vértices bajo que definen el perfil en la cuerda.

Figura 26 de vértices alto que definen el perfil en la cuerda.

CONCLUSIONES

El uso de la herramienta de programación como lo es Visual Studio es una poderoso medio que permite lograr y llevar a la teoría de vibraciones en medios continuos al campo de la simulación con variación de parámetros. La forma de uso de visual lleva a los medios continuos a un medio más amigable para un estudiante de vibraciones al usar elementos paramétricos que pueden ser variados en tiempo real y observar la respuesta del sistema cuando estos son utilizados.

La programación en Visual bajo la plataforma ADEFID es sencilla y permite utilizar formas conocidas de construcción de algoritmos o partiendo de ecuaciones analíticas dibujar funciones o elementos de formas complicados no solo en el campo de vibraciones sino elementos de simulación en un amplio rango de aplicaciones de ingeniería.

Los elementos de simulación presentados para la cuerda como lo es la variación de parámetros se logran en un medio conocido, familiar y amigable como lo es una ventana de parámetros además de que este sistema puedes ser ampliamente difundido para su aplicación docente e industrial.

RECONOCIMIENTOS

Este trabajo fue financiado parcialmente por el CONCyTEG, No. Convenio 07-16-K662-061-A0.

REFERENCIAS

[1] González-Palacios, M.A., 2005, Spliced Veneer Integrated System. Parts I-VII, Internal Reports, Integración de Procesos Industriales.



[2] González-Palacios, M.A., 2005, “ADEFID. Advanced Enngineering soFtware for Industrial Development”, Internal Report, Integración de Procesos Industriales.

[3] Stroustrup, B., 1991, The C++ Programming Language, 2/e, AdisonWesley.

[4] Horton Ivor, 2000, Beginning Visual C++ 6, Wrox.

[5] Blaszczak Mike, 1999, Professional MFC with Visual C++ 6,Wrox.

[6] Woo M., et al, 1999, OpenGL Programming Guide, 3/e, Adison Wesley.

[7] Kempf, R. and Frazier C., 1997 OpenGL Reference Manual, 2/e, Adison Wesley.

[8] Meirovitch L., 1967, Analytical Methods in Vibrations, Prentice Hall. [9] Rao S., 1995, Mechanical Vibrations, third edition, Adison Wesley.

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