3. Unidad II Factores Upes 2013

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE El SALVADORFACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURAMATERIA: INGENIERÍA ECONÓMICA PROFESOR: ING. ALEXANDER IBÁÑEZ

UNIDAD II: LOS FACTORES DE INGENIERÍA ECONÓMICA Y SU EMPLEO

OBJETIVO DE LA UNIDAD:

Al final de esta unidad, el estudiante podrá conocer e identificar el uso de los factores de la Ingeniería Económica en el cálculo económica de alternativas para la toma de decisiones.

Objetivos de Aprendizaje: Al final de esta unidad, el estudiante será capaz de:

1. Encontrar el valor numérico de un factor en las tablas, dada la notación o simbología del factor.

2. Interpolar linealmente para encontrar el valor correcto, dado un interés y/o un número de períodos no incluidos en tablas.

3. Calcular el valor futuro de una cantidad, dada una tasa de interés, el número de períodos y el valor monetario de una cantidad presente.

4. Calcular el valor presente de una cantidad, dada una tasa de interés, el número de períodos y el valor monetario de una cantidad futura.

5. Calcular el valor presente de una cantidad, dada una tasa de interés, el número de períodos y el valor monetario de una serie uniforme.

6. Calcular una serie uniforme de una cantidad, dada una tasa de interés, el número de períodos y el valor monetario de una cantidad presente.

7. Calcular el valor futuro de una cantidad, dada una tasa de interés, el número de períodos y el valor monetario de una serie uniforme

8. Calcular la serie uniforme, dado el interés y período, de alternativas que incluyen cantidades uniformes crecientes y decrecientes.

CONTENIDO DE LA UNIDAD

Los factores de Ingeniería económicaFactor del valor presente series uniformes y del factor de recuperación de capital.Factor cantidad compuesta series uniformes y del factor fondo de amortización.Notación estándar de los factores y el uso de las tablas de interés.Cálculo de valor presente, valor futuro y de serie anual uniformeDefinición de gradiente y uso del factor gradienteValor presente y serie anual uniforme equivalente de gradientes convencionales y trasladados.

UNIDAD II: LOS FACTORES DE INGENIERÍA ECONÓMICA Y

SU EMPLEO.

Introducción

El uso de los factores de Ingeniería Económica representa el concepto más importante tanto para el manejo de cantidades a través del tiempo, como para la evaluaciones de alternativas donde halla que tomar una decisión económica.

El primero y más importante paso que se debe dar al utilizar los factores y resolver problemas de Ingeniería económica es construir un diagrama de flujo de caja donde se visualiza las cantidades ubicadas a través del tiempo.

El diagrama de flujo de caja de cantidades, además de ilustrar más claramente el problema a resolver, muestra de inmediato cuales factores y sus fórmulas deben utilizarse y si las condiciones del flujo de caja presentadas permiten una aplicación directa de los factores.

Evidentemente las formulas de los factores sólo se pueden usar cuando el flujo de caja de cantidades se presenta exactamente al diagrama de flujo para las fórmulas. Por ejemplo, los factores de series uniformes no podrán emplearse si los pagos ocurren cada tercer año en lugar de cada año. Por lo tanto es importante mencionar las condiciones para los cuales se aplican el uso de los factores.

Diagrama de flujo y simbología .

Diagrama de flujo de cantidades: Permite visualizar el f lujo de efectivo como resultado de una inversión. Sea el siguiente diagrama

Simbología :

Donde:

P = Cantidad Presente o Inversión Inicial: ocurre en el punto cero o en cualquier punto considerado como presente.

A = R = Serie uniforme de dinero de final de periodos. Deben de ser pagos iguales al f inal de cada periodo.

F = Cantidad de dinero en Fecha Futura, se indica en el punto “n” o en cualquier punto que se considere como fecha futura.

n = número de períodos

Factores y fórmulas de Ingeniería Económica

1. Factor Pago Único, Cantidad Compuesta ( F/P)

Este factor permite la determinación de cantidades futuras de dinero (F) que se acumulan después de (n) años (o períodos) a partir de una inversión única (P) con interés compuesto anualmente (o por periodo). Esto se muestra en la siguiente figura:

El monto compuesto o valor futuro ( F) de una cantidad presente (P) es dado por:

1. F = P ( F/P)

de donde la fórmula original es:

F = P( 1 + i)n

Al factor ( 1+i )n se le l lama factor de pago único cantidad compuesta y

se representa por ( F/P)

2. Factor Pago Simple, Valor Presente o Actual ( P/F)

Este factor determina el valor presente (P) de una cantidad futura (F) dada, después de (n) años a una tasa de interés (i), esto se muestra en la siguiente figura:

El valor presente ( P) de una cantidad futura (F) es dado por:

2 . P = F ( P/F)

De donde la fórmula original es:

P = F

(1+i)n

Al factor 1/(1+i)n se le l lama factor de pago simple, valor presente y se

representa por ( P/F)

3. Factor Series Uniformes, Valor Presente ( P/A)

Este factor determina el valor presente (P) de una serie anual uniforme equivalente (A) que empieza al f inal del año 1 y se extiende durante (n) años a una tasa de interés (i), esto se muestra en la siguiente figura:

El valor presente ( P) de una serie uniforme (A) es dado por:

3. P = A ( P/A)


P = A ( 1+i)n - 1

i(1+i)n

Al factor ( 1+i)n - 1

i(1+i)n

se le l lama factor series uniformes, valor presente y se representa

por ( P/A)

4. Factor Recuperación de Capital. ( A/P)

Este factor produce el valor anual uniforme equivalente (A) durante (n) años de una Inversión (P) dada cuando la tasa de interés es (i), esto se muestra en la siguiente figura:

La serie uniforme ( A) de un valor presente (A) es dado por:

4. A = P ( A/P)


A = P ( i (1+i)n )

(1+i)n -1

Al factor ( i (1+i)n )

(1+i)n -1

se le l lama factor de recuperación de capital y se representa por ( A/P)

5. Factor de Depósito de Fondo de Amortización (A/F)

Este factor produce el valor anual uniforme equivalente (A) durante (n) años de un valor futuro (F) dado cuando la tasa de interés es (i), esto se muestra en la siguiente figura:

La serie uniforme ( A) de un valor futuro (F) es dado por:

5. A = F ( A/F)


A = F i

(1+i )n - 1

Al factor

i

(1+i )n – 1 se le l lama Factor de Depósito de Fondo de

Amortización y se representa por ( A/F)

6. Factor Series Uniformes Cantidad Compuesta.

Este factor determina el valor futuro (F) de una serie anual uniforme equivalente (A) que empieza al f inal del año 1 y se extiende durante (n) años a una tasa de interés (i), esto se muestra en la siguiente figura:

El valor futuro ( F) de una serie uniforme (A) es dado por:

6. F = A ( F/A)


F = A ( 1+i )n – 1

i

Al factor

( 1+i )n – 1

i se le l lama Factor Series Uniforme Cantidad Compuesta

y se representa por ( F/A)

EJERCICIOS RESUELTOS DE USO DE FACTORES DE INGENIERÍA ECONÓMICA

1) Dado una cantidad presente de $4,000. Encontrar su monto dentro de 10

años a una tasa de interés del 10%.

F = P (F/P, i%, n)

F = 4,000 (F/P, 10%, 10)

De tablas el Factor F/P = 2.5937

F = 4,000 (2.5937)

F = $10,374.8

2) Se gasta una suma de $2,000 hoy, se gastan $500 al f inal de cada año

durante 6 años, se gastan además $800 al inicio del año 3 y 5. ¿Cuál es el

Monto al cabo de 6 años, si el interés es del 6%?

P1=

F = P1(F/P, i%, n) +A (F/A, i%, n) + P 2 (F/P, i%, n) + P 3 (F/P, i%, n)

F = 2,000(F/P,6%,6)+500(F/A,6%,6+800(F/P,6%,4)+800(F/P,6%, 2)

Buscando los valores de los factores en tabla

F = 2,000 (1.7716) + 500 (7.7156) + 800 (1.4641) + 800 (1.21)

F = 3,543.2 + 3,857.8 + 1,171.28 + 968

F = $ 9,540.28

3) Un estudiante desea ahorrar durante 5 años para comprar una computadora

que costará $70,000, si el interés es del 4% capitalizable trimestralmente.

¿Cuánto deberá depositar anualmente?

Frecuencia de Conversión (m) = 4

Tiempo = 5 años

# de Periodos = Tiempo x m

# de Periodos = n = (5) x (4) = 20

ip = i/m = 4%/4

ip = 1%

A = F (A/F, i p%, n)

A = 70,000 (A/F, 1%, 20)

A = 70,000 (0.04542)

A = $3,179.4

4) ¿Cuanto tiempo tardará en tripl icarse una cantidad si el interés es del 8%

capitalizable trimestralmente?

ip = i/m = 8%/4

ip = 2%

F = P (F/P, ip%, n)

3P = P (F/P, 2%, n)

3P/P= (F/P, 2%, n)

3 = (F/P, 2%, n)

De la tabla de Factores e interpolando entre:

F/P n

2.6916 50

3.0 x

3.281 60

De la interpolación se obtiene:

n = 55.5 (# de Periodos)

# de Años = # de Periodos / m

# de Años = 55.5 /4

# de Años = 13.9 Años.

5) Si una inversión de $2,000 produce un ingreso de $700 al año durante 5

años. ¿Cuál es la tasa de rendimiento sobre la inversión?

P = A (P/A, i%, n)

2,000 = 700 ( P/A, i%, 5)

2000/700= (P/A, i% , 5)

2.8571 = (P/A, i%, 5)

De la tabla de Factores e interpolando entre:

P/A i%

2.9906 20%

2.8571 x

2.6893 25%

De la interpolación se obtiene:

i = 22.2%

6) Encuentre el valor de “A” si la tasa de interés es del 9% anual.

Tomando como fechar focal, el año cero tenemos:

P = A (P/A, i%, n) + [A (P/A, i%, n)x(P/F, i%, n)]

50 = A (P/A, 9%, 2) + [A (P/A, 9%, 2)x(P/F, 9%, 3)]

50 = A (1.7591) + [A (1.7591)x(0.7722)]

50 = 1.7591A + 1.3584A

50 = 3.1175A

A = 50/3.1175

A = $16.039

7) Encuentre el valor de “F” si la tasa de interés es del 5% anual

Tomando como fecha focal, el año cero tenemos:

F (P/F, i%, n) + F (P/F, i%, n) = A (P/A, i%, n) + [A (P/A, i%, n)x(P/F, i

%, n)]

F (P/F, 5%, 3) + F (P/F, 5%, 5) = 20 (P/A, 5%, 3) + [40 (P/A, 5%,

4)x(P/F, 5%, 3)]

F (0.8638) + F (0.7835) = 20 (2.7232) + [40 (3.546)x(0.8638)]

1.6473F = 54.464 + 122.521

1.6473F = 176.985

F = 176.985/1.6473

F = $107.44

8) Un banco otorga un préstamo por $11,000 a una tasa de interés anual del

8% y se acordó que se le pagaría en 10 cantidades iguales al f inal de cada

año. Dando inicio en el primer año, después de que se hubo pagado la 5ª

anualidad el banco ofrece como alternativa hacer un solo pago de $7,000 al

f inal del siguiente año, es decir, que ya no se harían los 5 pagos restantes

sino uno solo al f inal del 6 año. Determínese que opción de pago al deudor

para l iquidar las ultimas 5 anualidades.

Calculando la serie de pagos iguales:

A = P (A/P, i%, n)

A = 11,000 (A/P, 8%, 10)

A = 11,000 (0.14903)

A = $1,639.33

Calculando la Alternativa “B”

P = A (P/A, i%, n) + 1,639.33

P = 1,639.33 (P/A, 8%, 4) + 1,639.33

P = 1,639.33 (3.3121) + 1,639.33

P = 5,429.62 + 1,639.33

P = $7,068.95

9) Un préstamo de $1,000 se esta pagando con anualidades de $80 a una tasa

de interés del 5. Un año después de hecho el préstamo se empezó a pagar,

si después de 7 pagos se acuerda que el resto de la deuda se cubrirá con

dos pagos iguales únicos al f inal del año 9 y 11. ¿A cuanto ascienden estos

pagos de modo que se cancele la deuda totalmente?

Tomando como fecha focal el año 11, tenemos:

eudas = Pagos

P (F/P, i%, n) = A (F/A, i%, n)x(F/P, i%, n) + x (F/P, i%, n) + x

1,000 (F/P, 5%, 11) = 80 (F/A, 5%, 7) + x (F/P, 5%, 2) + x

1,000 (1.7103) = 80 (8.142)x(1.2155) + x (1.1025) + x

1,710.3 = 791.7 + 2.1025x

2.1025x = 1,710.3 – 791.7

2.1025x = 918.6

x = 918.6/2.1025

x = $436.91

10) Una persona compró un equipo de maquinaria en $24,000 y acordó para

pagarlo en 36 mensualidades iguales a una tasa de interés del 1% mensual.

Un plan de pago Alternativo consiste en 2 anualidades de $4,218.5 al f inal

de 1 y 2 años y ya no pagar las últimas 12 mensualidades. Determínese

cual es el mejor plan de pago.

Calculando el Plan A, tenemos:

A = P (A/P, i%, n)

A = 24,000 (A/P, 1%, 36)

A = 24,000 (0.03321)

A = $797.04

Calculando el Plan B, tenemos:

Tomando como fecha focal, el 24ª mes, tenemos:

F = A (F/A, i%, n) + P (F/P, i%, n) + P

F = 797.04 (F/A, 1%, 24) + 4,218.5 (F/P, 1%, 12) + 4,218.5

F = 797.04 (26.9735) + 4,218.5 (1.1268) + 4,218.5

F = 21,498.96 + 4,753.41 + 4,218.5

F = $30,470.87


GUIA DE PROBLEMA

USO DE FACTORES

1.- Resuelva suponiendo un interés compuesto del 9 % anual:

a) ¿Qué deuda actual podrá liquidarse efectuando pagos de ¢ 100 al final de cada año por 13

años?

b) ¿Qué pago el día de hoy seria equivalente a una pago de ¢ 1,500 que vence dentro de 3

años?

c) ¿Cuál es el valor futuro equivalente de ¢ 5,000 a partir de hoy a 35 años?

2.- Si la familia Urrutia desea tener en su cuenta de ahorro ¢ 18,000 dentro de 5 años para

comprar un auto. ¿Cuánto dinero tendría que depositar anualmente comenzando dentro de

una año, si la tasa de interés es del 6 %?.

3.- ¿Cuánto dinero se acumularía en 14 años, si se hicieran depósitos anuales de ¢ 1,290

comenzando dentro de un año a una tasa de interés del 5%?.

4.- Una persona desea ahorrar durante 5 años para adquirir un rancho en la playa, que costará ¢

50,000. Si el interés es del 12 % capitalizable trimestralmente. ¿Cuánto deberá depositar

anualmente?

5.- La Srta. Petrusca solicito un préstamo al Banco Cuscatlán por ¢ 10,000 y prometió pagarlos en

36 mensualidades iguales, cada fin de mes. ¿Cuál es el monto de sus pagos si la tasa de

interés des del 12%?

6.- ¿Cuánto debe depositar un padre cada 3 meses al 4 % de interés capitalizable

trimestralmente para lograr una suma global de ¢ 10,000 al cabo de 15 años para la

educación de su hijo?.

7.- Determine el valor anual de las series uniformes detalladas a continuación. Suponiendo un

interés del 4 %.

8.- Una persona deposita ¢ 1,000 anuales, en una cuenta durante 5 años, al final de los 5 años,

retira, la mitad del saldo de la cuenta, deposita ¢ 2,000 anuales por 5 años más y al final del

decimoquinto año retira el saldo total. Si la cuenta devenga el 8 % de interés. ¿Cuánto retiro

en total?

a) Al final de 5 años.

b) Al final de 15 años.

9.- Una compañía debe actualmente a un banco ¢12,500 que puede restituir en cualquiera

de las tres formas

siguientes:

a) ¢20,500 dentro de 10 años.

b) ¢1,281.25 anuales durante 10 años.

c) ¢12,500 ahora.

Determine cuál es la mejor elección de la compañía, si la tasa de rendimiento es el 10%.

10.- Una persona hace los siguientes depósitos en su cuenta de ahorro:

a) ¢200 anuales durante 5 años.

b) ¢1,500 cada 5 años durante 15 años.

c) ¢250, ¢375 y ¢100 en los años 7, 11, 12 respectivamente.

Si la tasa de interés es del 6% determine:

a) Cuánto tendrá ahorrado al final de 15 años.

b) El Valor presente de estos depósitos.

c) La serie anual uniforme.

11.- Haga los cálculos necesarios para demostrar cuáles de los enunciados que se indican son

verdaderos y cuáles son falsos, si la tasa de interés es el 5% anual.

a) ¢98 hoy son equivalentes a ¢105.60 dentro de un año.

b) ¢3,000 hoy equivalen a ¢3,150 dentro de un año.

c) ¢3,000 hoy equivalen a ¢2,887.14 hace un año.

d) El interés acumulado en un año sobre una inversión de ¢2,000 es ¢100.

12.- La compañía "INSINCA S.A." adquiere una máquina textil para su fábrica de tejidos valorada en

¢30,783.66, mediante una prima de ¢10,125.22 comprometiéndose a cancelar el resto en

letras mensuales durante 3 años. Si el interés a pagar sobre el crédito concedido es de 8%

anual ¿ A cuánto ascenderá el valor de cada letra?.

13.- Se espera que una máquina tenga un costo de reacondicíonamiento por ¢9,857.98 cada 10

años. Se desea terminar el desembolso anual equivalente gastado en los 25 años de vida de

servicio de la máquina, si el rendimiento esperado es del 12.77 % anual.

14.- Se compró una TV. en ¢ 2,684.45 a un plazo de 24 mensualidades iguales. El primer pago se

hará un mes después de haberío adquirido. El comprador cree que es posible que a los 12

meses pueda pagar, además de la mensualidad, una cantidad de ¢66.85, y que para saldar su

deuda le gustaría seguir pagando la misma mensualidad hasta el final. Este pago adicional

hará que el número de mensualidades disminuya. Calcule en qué fecha se termina de pagar

el televisor, si se adquirió el 10 de enero y la tasa de interés que se cobra es el 1.57%

mensual.

15.- Un préstamo de ¢1,000 se está pagando con anualidades de ¢80, a una tasa de interés del 5%

anual. Un año después de 7 pagos se acuerda que el resto de la deuda se cubrirá con dos

pagos iguales únicos, al final de los años 9 y 11, ¿a cuánto ascenderán estos pagos de forma

que salden totalmente la deuda?.

16.- Una persona compra una grabadora en ¢750 y acordó pagarlo en 24 mensualidades iguales,

comenzando un mes después de la compra. El contrato también estipula que el comprador

deberá pagar en el mes de diciembre de ambos años anualidades equivalentes a 3 pagos

mensuales. Si la grabadora se adquirió el 10 de enero de 1990, tendrá que pagar en

diciembre de 1990 y diciembre de 1991, 4 mensualidades en cada período (una normal más la

anualidad). Si el interés que se coloca es del 1% mensual. ¿A cuánto ascienden los pagos

mensuales?

17.- Una universidad local ofrece estudios de licenciatura por una cantidad anual de ¢4,500

pagaderos al principio del año escolar. Otra forma de pagar los estudios es mediante la

aportación de 10 mensualidades iguales. La primera se paga el 1 de septiembre y la última el

1 de julio del siguiente año. En los meses de diciembre y agosto no hay pago por estar de

vacaciones. ¿A cuánto ascienden los 10 pagos mensuales uniformes para ser equivalentes a

un pago de contado de ¢ 4,500 el 1 de septiembre de cada año, si la universidad aplica una

tasa de interés del 2% mensual?

18.- Una persona piensa depositar ¢ 150 cada mes durante el siguiente año en un banco que paga

una tasa de interés del 1.5 % mensual. Considera que después de hacer los 12 depósitos del

primer año, puede aumentar su ahorro mensual a ¢ 180. ¿Cuánto tendrá al final de dos años,

si no retira ninguna cantidad de dinero durante ese tiempo?

19.- Una familia cuenta con un fondo de ¢ 30,000 para remodelar su casa en el futuro. El dinero

está depositado en un banco que paga un interés de 7 % anual. Si la familia considera que

gastará ¢ 10,000 al final del segundo año y ¢ 15,000 al final del cuarto año, ¿con qué cantidad

podrá contar al final del 5o. año?

20.- El Sr. Wenceslao se propuso ahorrar ¢ 1,000 cada fin de año durante 10 años en un banco que paga

un interés del 12 % anual. Sin embargo, al final de los años 5 y 7, en vez de ahorrar, tuvo que

disponer de ¢ 500 en cada una de esas fechas. ¿Cuánto acumulo al final de los 10 años, si hizo

ocho depósitos de ¢ 1,000?.

21.- Se compró un equipo de sonido por ¢ 1,100. Se acordó pagarlo en 36 mensualidades iguales,

principiando un mes después de la compra. La tasa de interés es del 1 % mensual. a) Calcule

el pago mensual que deberá hacerse. b) Al final de los 12 , 24 y 36 meses es posible hacer un

pago adicional a la mensualidad de ¢ 100; si se desea pagar el equipo en 36 mensualidades

iguales. ¿A cuanto ascienden ahora los pagos?.

22.- Suponga que se espera que la instalación de ventanas de baja perdida térmica en su región le

represente un ahorro anual de ¢ 285.96 en su recibo de cobro de la calefacción de su casa

durante los siguientes 18 años. Si puede devengar el 5.38 % al año en otras inversiones.

¿Cuánto podría estar dispuesto a gastar para estas ventanas?.

23.- José Pérez quiere que su herencia valga, ¢ 527,468.95 al final de 10 años. Ahora su valor neto

es cero. Puede acumular los ¢ 527,468.95 deseados depositando ¢ 18,239.17 al final de cada

año durante los siguientes 10 años. ¿A que tasa de interés por año deben invertirse sus

depósitos?


SERIES CRECIENTES Y DECRECIENTES DE CANTIDADES. FACTOR SERIES

ARITMÉTICA. EL GRADIENTE

Gradiente Aritmético .

Es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en forma uniforme, es

decir, el f lujo de efectivo, bien sea ingreso o costo, cambia por la misma cantidad

aritmética cada período de interés. La cantidad del aumento o de la disminución

es el gradiente. El valor del gradiente “G” puede ser positivo o negativo,

dependiendo si va en aumento o en disminución.

Supongamos una serie de cantidades que aumenta de una manera uniforme. De

donde se tiene un gradiente “G” uniforme, de la siguiente manera:

El gradiente “G” se puede calcular de la siguiente manera:

Supongamos que:

GO1 = Gasto de Operación en el periodo 1.

GOn = Gasto de Operación en el periodo n.

G = GOn – GO1 Ó

n-1

G = F – A1

n-1

Donde:

A1 = 1e r Termino o Cantidad Base.

G = Gradiente

F = Valor Futuro.

Factor serie aritmética para gradientes crecientes y decrecientes. ( A/G)

Es el factor que convierte un gradiente uniforme “G” para (n) años en una serie

anual uniforme (A), con una tasa de interés (i).

La serie anual uniforme equivalente (A) de una serie creciente con un gradiente

uniforme (G) es dado por:

7. AT = A1 ± G (A/G,) el signo + es para series crecientes

El signo – es para series decrecientes

Donde:

AT = La serie anual uniforme equivalente

A1 = la cantidad base o primer término de donde comienza o disminuye la

Serie.

G = Es el gradiente constante

A/G = Factor serie aritmética

De donde la fórmula original es:

AT = A1 + G ( 1/i - ( n ) )

(1+I)n -1

Al factor

1/i - ( n ) )

(1+I)n -1

se le conoce como Factor series aritmética y se representa por (A/G)

Factor Serie Aritmética Valor presente. (P/G)

Es el factor que convierte un gradiente uniforme “g” para (n) años en valor

presente (P) en el año 0 con una tasa de interés (i).

El valor presente total (P) de una serie creciente o decreciente con un gradiente

uniforme(G) es dado por:

8. PT = A1 (P/A,) ± G (P/G)

De donde el valor presente del gradiente en su fórmula original viene dado

por:

P = G/i ( ( 1+i)n –1 - n )

I(1+i)n ( 1+i)n

al factor en corchete se le conoce como factor serie aritmética valor

presente y se representa por(P/G)


EJERCICIOS RESUELTOS DEL USO DE GRADIENTES

1) Una persona adquirió un auto, espera que el costo de mantenimiento sea

de $150 al f inalizar el primer año y que los subsecuentes aumente a razón

de $50 anuales. Si la tasa de interés es del 8% anual. ¿Cuál es el valor

presente de esta serie de pagos durante un periodo de 6 años?

PT = A1 (P/A, i%, n) + G (P/G, i%, n)

PT = 150 (P/A, 8%, 6) + 50 (P/G, 8%, 6)

PT = 150 (4.6229) + 50 (10.523)

PT = 693.435 + 526.15

PT = $1,219.59

2) Una compañía se propone adquirir por $60,000 una máquina que produce

un ahorro anual de $27,000 durante los próximos 4 años. Los costos de

mantenimiento para los próximos 4 años son: Cero para el primer año con

un aumento de $2,000 anuales, a una tasa de interés del 10%. ¿Cuál es el

valor Actual del proyecto?

PT = PC O S T O S - P I N G R E S O S

PC O S T O S = P + [A1 (P/A, i%, n) + G (P/G, i%, n)]x(P/F, i%, n)

PC O S T O S = 60,000 + [2,000 (P/A, 10%, 3) + 2,000 (P/G, 10%, 3)]x(P/F, 10%,

1)

PC O S T O S = 60,000 + [2,000 (2.4869) + 2,000 (2.3291)]x(0.9091)

PC O S T O S = 60,000 + [4,973.8 + 4,658.2]x(0.9091)

PC O S T O S = 60,000 + 8,756.45

PC O S T O S = $68,756.45

P I N G R E S O S = A1 (P/A, i%, n)

P I N G R E S O S = 27,000 (P/A, 10%, 4)

P I N G R E S O S = 27,000 (3.1699)

P I N G R E S O S = $85,587.3

PT = 68,756.45 – 85,587.30

PT = $-16,830.85

3) Un cierto equipo de un determinado proyecto cuesta $785,250. Se espera

que tenga una vida úti l de 8 años. Los costos por concepto de impuestos,

seguro y mantenimiento se estiman en $13,650 el primer año, $15,200 el

segundo año y así sucesivamente hasta los 8 años, La tasa de interés es

del 4% anual. ¿Cuál es el costo anual equivalente de la máquina?, Si a los

8 años se estima que la máquina será vendida, ¿Cuánto vale el valor de la

venta?

AT = P (A/P, i%, n) + [A 1 + G (A/G, i%, n)]

AT = 785,250 (A/P, 4%, 8) + [13,650 + 1,550 (A/G, 4%, 8)]

AT = 785,250 (0.1485) + [13,650 + 1,550 (3.2944)]

AT = 116,609.63 + 18,756.32

AT = $135,365.95

F = AT (F/A, i%, n)

F = 135,365.95 (F/A, 4%, 8)

F = 135,365.95 (9.2142)

F = $11247,288.94

4) Un comercial vende PC bajo las siguientes condiciones: Se hace un primer

pago de $1,300, un mes después de la fecha de adquisión y 9 pagos

adicionales cada uno de los cuales disminuye en $125. ¿Cuál es el valor

anual equivalente de la PC? Y ¿Cuál será el valor a pagar de contado por la

PC? El interés es del 12% mensual.

AT = A1 – G (A/G, i%, n)

AT = 1,300 – 125 (A/G, 12%, 10)

AT = 1,300 – 125 (3.5847)

AT = 1,300 – 448.09

AT = $851.91

PT = A1 (P/A, i%, n) – G (P/G, i%, n)

PT = 1,300 (P/A, 12%, 10) – 125 (P/G, 12%, 10)

PT = 1,300 (5.6502) – 125 (20.2541)

PT = 7,345.26 – 2,531.76

PT = $4,813.50


LABORATORIO “ USO DE GRADIENTE”

1.Encuentre el monto anual uniforme equivalente a una serie gradiente uniforme en la que el

pago del primer año es ¢ 500, el segundo es de ¢ 600, el tercero es de ¢ 700, y así

sucesivamente hasta un total de 15 pagos. La tasa de interés anual es del 8 %.

2.Si ¢ 10,000 ahora equivalente a 4Z al final del año dos, 3Z al final del año tres, 2Z al final del

año cuatro, y Z al final del año cinco, ¿Cuál es el valor de Z cuando i = 8% anual?.

3.Calcule el equivalente futuro al final de 1999, al 8% anual de la siguiente serie de flujo.

4.Suponga que los padres de un niño deciden hacer depósitos anuales en una cuenta de ahorros

y realizan el primer deposito en el quinto cumpleaños de su hijo y el ultimo en el decimoquinto. Si

en los cumpleaños 18, 19, 20 y 21 se retiran ¢ 2,000 , ¢ 2,400 , ¢ 2,800 y ¢ 3,200 y la tasa de

interés es del 8% anual. ¿Cuáles son los depósitos anuales en los años cinco al quince?.

5. Encuentre el valor de la cantidad desconocida en el diagrama de flujo mostrado. SI la tasa de

interés es del 12 % anual.

6. Determine el valor de Q en el diagrama de flujo. Si la tasa de interés es del 18 % anual.

7. Una planta municipal de energía espera generar un ingreso neto de ¢ 500,000 al final de su

primer año y que esta cantidad anual aumente en un 8% cada año durante los próximos 5 años.

Para financiar un nuevo proyecto de construcción, el gobierno municipal quiere emitir un bono

exento de impuestos que pague un interés del 6% anual. ¿Cuál seria la cantidad máxima de

financiamiento por bonos que podría asegurarse? .

8. Suponga que se espera que un pozo petrolero produzca 10,000 barriles de petróleo en su

primer año de producción. Sin embargo, también se espera que su producción subsecuente

disminuya en un 10% con respecto a la producción del año anterior. Se ha comprobado que el

pozo petróleo tiene una reserva de 100,000 barriles.

a) Suponga que el precio del petróleo será de ¢ 30 por barril durante los próximos años. ¿Cuál

seria el valor actual del flujo de ingresos anticipado a una tasa de interés del 15% anual

durante los próximos siete años?.

b) Suponga que el precio del petróleo inicia con ¢ 30 por barril el primer año, pero aumentara

a una tasa del 5% con respecto al precio en el año anterior. ¿Cuál seria el valor actual del flujo

de ingresos anticipado a una tasa de interés del 15% anual durante los próximos siete años?.

c) Considere de nuevo el inciso (b) . Después de 3 años de producción se decide vender el

pozo petróleo. ¿Cuál seria su precio justo?.

9. ¿Cuál es la cantidad de 10 depósitos anuales iguales que pueden proporcionar cinco prestamos

anuales , si el primer préstamo de ¢ 1,000 se lleva a cabo al final del primer año y los prestamos

subsecuentes aumentan a una tasa del 6% con respecto a la del año anterior, si:

a) La tasa de interés es del 8% anual.

b) La tasa de interés es del 6% anual.

10 Si se depositan ¢ 500 al final del primer año, y en los años subsecuentes aumenta a una tasa

del 6% durante quince años. La tasa de interés anual es del 15%. ¿Cuál es el valor equivalente

presente de este gradiente geométrico?

11. Determine el equivalente presente ( al tiempo cero ) de ¢ 8,140 al final del tercer año y que

disminuye el 10% al final de los años cuarto al veinticinco. Si la tasa de interés es del 15%.

3. Unidad II Factores Upes 2013

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