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MANUAL DE PRCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRULICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Ramiro Marbello PrezSEDE MEDELLN Escuela de Geociencias y Medio Ambiente

159

77.. FFLLUUJJOOUUNNIIFFOORRMMEEYYDDEETTEERRMMIINNAACCIINNDDEELLAARRUUGGOOSSIIDDAADDEENNCCAANNAALLEESS

7.1 INTRODUCCIN

El flujo uniforme rara vez ocurre en la naturaleza, debido a que los canales naturales son no-prismticos e irregulares. An en canales prismticos, la ocurrencia de flujo uniforme esrelativamente poco frecuente, debido a la existencia de controles hidrulicos, tales como cambios dependiente, umbrales, vertederos, compuertas, etc., los cuales imponen una relacin profundidad-descarga distinta de la apropiada para flujos uniformes.

No obstante lo anterior, el flujo uniforme es una condicin de importancia bsica para el tratamientode los problemas de diseo de canales. Por ejemplo, si se proyecta instalar ciertos controles en un

canal de riego, es necesario comparar su relacin caudal-profundidad con la del flujo uniforme, y elcarcter del flujo en el canal depender de la forma que resulte de dicha comparacin.

En un canal con determinadas pendiente y rugosidad, que conducir cierto caudal, la condicin delflujo uniforme es el criterio que gobierna el rea de la seccin transversal mnima requerida, o ancuando exista otro criterio que determine las dimensiones de la seccin, stas no podrn sermenores que dicha seccin mnima.

De otro lado, las fuerzas que actan sobre un lquido, movindose en un canal, son las de tensinsuperficial, de gravedad, fuerzas de resistencia o de friccin, desarrolladas stas principalmente enlas fronteras slidas y en la superficie libre, las fuerzas de inercia, debidas a la naturaleza casisiempre turbulenta del flujo, la presin normal a las paredes y al fondo del canal y a las seccionestransversales del volumen de control, y, ocasionalmente, las fuerzas debidas al movimiento desedimentos.

La interaccin de estas fuerzas da lugar a la complejidad del flujo a superficie libre, y nicamente, abase de simplificaciones y generalizaciones, es posible el entendimiento y anlisis de la mecnicadel movimiento.

Para que un flujo uniforme se presente se requiere que, adems de que el canal tenga una seccintransversal, una rugosidad y una pendiente constantes, exista un equilibrio entre la componente delpeso del lquido, en el sentido del flujo, y la fuerza de resistencia al movimiento.

7.2 OBJETIVOS

Comprobar la existencia de flujo uniforme en un tramo del canal de pendiente variable. Determinar el coeficiente de rugosidad de las paredes del canal, llmese ste coeficiente de

Chzy, C, o coeficiente de Manning, n, o coeficiente de rugosidad absoluta, k. Analizar la variacin de los coeficientes C y n con el nmero de Reynolds y el radio hidrulico del

flujo.

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7. FLUJO UNIFORME Y DETERMINACIN DE LA RUGOSIDAD EN CANALES


160

7.3 FUNDAMENTOS TERICOS

7.3.1 Definicin de flujo uniforme. Un flujo uniforme es aqul en el cual la profundidad, y, elrea mojada, A, y la velocidad del flujo, v , son constantes a lo largo del canal. Vase la Figura 7.1.

FIGURA 7.1. Perfil longitudinal y seccin transversal del flujo uniforme en un canal abierto.

Matemticamente se expresa as:(7.1)0

x

A

x

v

x

y

donde x es la direccin del flujo.

El flujo uniforme puede ser: permanente, laminar, turbulento, crtico, subcrtico o supercrtico. El flujouniforme no-permanente no es fsicamente posible, debido a que, para que ocurra, se requiere quela superficie libre se levante o caiga, de un instante a otro, en forma paralela al fondo del canal.

La profundidad del flujo uniforme se conoce con el nombre de profundidad normal , y se denota poryn.

Una condicin importante para el flujo uniforme es que la distribucin o perfil de velocidades debeser idntica en todas las secciones transversales del flujo. Ello implica la constancia de loscoeficientes y , a lo largo del flujo uniforme.

Por lo anterior, un flujo, en un canal abierto, es uniforme si se cumplen las siguientes igualdades:

(7.2)yyyy n321

(7.3)AAAA n321

(7.4)vvvv n321

(7.5)g2

v

g2

v

g2

v

g2

v2

n

2

3

2

2

2

1

Por lo tanto, hay una consecuencia importante: la lnea de energa total es paralela a la superficielibre del flujo y a la superficie del fondo del canal, con lo cual se verifica que:

(7.6)SSSS 0w

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161

7.3.2 Ecuaciones para la velocidad en flujo uniforme. A excepcin de la frmula de Chzy,todas las ecuaciones para el clculo de la velocidad del flujo uniforme son de carcter emprico ytienen la siguiente estructura:

(7.7)SRKvx

0

x

H

donde:

K : Coeficiente de resistencia. Constante que depende del nmero de Reynolds, R, y de la formay rugosidad del canal.

x,y : Exponentes empricos.RH : Radio hidrulico de la seccin del flujo.S0 : Pendiente longitudinal del fondo del canal.

Existe una ecuacin que es semi-racional, que combina la ecuacin de Darcy Weisbach con laecuacin emprica de Colebrook White, que tambin, y ltimamente, se emplea para el clculo delflujo uniforme. Posteriormente se tratar esta ecuacin.

7.3.2.1 Ecuacin de Chzy ( Antoine Chzy, ingeniero francs, 1769 ). Supngase un canal deseccin cualquiera, en el cual se presenta un flujo uniforme como el de la Figura 7.2. Como quieraque la profundidad y la velocidad media del flujo permanecen constantes, la aceleracin delmovimiento, al pasar el lquido de una seccin a otra, es igual a cero.

FIGURA 7.2. Anlisis de fuerzas que intervienen en un flujo uniforme.

De este modo, al establecer la ecuacin de equilibrio dinmico del prisma de lquido en movimiento,de longitud L , entre dos secciones normales, se tendra que la componente del peso en la direccindel escurrimiento debe ser igual a la fuerza de friccin producida en el fondo y paredes del canal,evaluada por el esfuerzo tangencial, 0, sobre dichas fronteras slidas. Vase la Figura 7.2.

Aplicando la ecuacin de la cantidad de movimiento al volumen de control de la Figura 7.2, se tiene:

2122cvcs

ext vvQdvolvt

AdvvF

(6.1) (7.8)vvQFFsenWFF 11222airef1

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162

L

T

0

Pero, uniformeflujoserpor,vvy,AyFAyF 21222111

Luego, despreciando la fuerza de resistencia debida al aire, resulta:

(7.9)FsenW f Es decir:

La componente del peso en sentido del flujo = la fuerza de resistencia al flujo.

(7.10)AsenW lateral0

(7.11)LPsenLA 0

(7.12)senP

A0

(7.13)senRH0

Adems, para ngulos pequeos (, sen tan = So.

Luego,

(7.14)SR 0H0

Antes de seguir con la deduccin de la ecuacin de Chzy, se aprovechar el resultado de laecuacin anterior para introducir el concepto de velocidad de friccin, formulado por Schlichting:

(7.15)SRg 0H0

De donde,(7.16)SRg

0H

0

Sacando raz cuadrada a ambos lados, se tiene:

(7.17)SRg

0H0

Schlichting llam al trmino velocidad de friccin, vf, por tener dimensiones , y

por deberse al esfuerzo cortante desarrollado entre el fluido y las paredes del canal, aunquefsicamente no represente una velocidad como tal. A este trmino tambin suele denotrsele, en lostextos clsicos de Hidrulica, como v*. Adems, este trmino es el que da origen al nmero deReynolds de friccin, Rf o R*,parmetro fundamental en transporte de sedimentos.

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163

Luego,

(7.18)SRg

vv 0H0

*f

De otro lado, Newton desarroll un expresin para el esfuerzo 0, ejercido sobre una superficieslida, por la accin de una corriente fluida, y es:

(7.19)f8

v 2

0

f : coeficiente de friccin, de Darcy. Es funcin del nmero de Reynolds, de la rugosidad de lasparedes y del tamao y forma de la seccin transversal del canal.

Reemplazando (7.15) en (7.19), se tiene:

f

8

vSRg

2

0H

f

SRg8v 0H

2

(7.20)SRf

g8v 0H

Ahora, llamando coeficiente de Chzy, C:

(7.21)f

g8C

resulta:

(7.22)ChzydeEcuacinSRCv 0H

Al aplicar la ecuacin de caudal, resulta:

(7.23)SRACQ 0H

Las dimensiones de C son las que se derivan de la siguiente ecuacin:

(7.24)

SR

vC

21

0

21

H

T

L

dimaL

TLC

21

21

Ejemplos de unidades de C son: m1/2/ s , pie1/2/ s , cm1/2/s , pulg1/2/ s

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164

En la tabla siguiente, se muestran varias frmulas para el clculo del coeficiente de friccin de Chzy

Tabla 7.1. Ecuaciones para determinar el coeficiente de Chzy

AUTOR ECUACIN OBSERVACIONES

Ganguillet yKutter

(1869) 02/1

H

0

S/00281.065.41R

n1

n/811.1S/00281.065.41C

Recomendable para canales naturales;cambios pequeos de n originan cambiosgrandes en C.RHen pie; C en pie1/2/s.n : coeficiente de rugosidad, de Manning(adim.).

Kutter 2/1H

2/1

H

Rm

R100C

Es una simplificacin de la ecuacin deGanguillet.m: coeficiente de rugosidad (adim.).

RHen pie; C en pie1/2

/s.Bazin

(1897)2/1

HR/m1

6.157C

Basada en un gran nmero de datosexperimentales.m: coeficiente de rugosidad (adim.).

Koseny CNylog20C

Basada en datos experimentales, anloga ala de los tubos.

y: profundidad hidrulica.

NC: coeficiente de rugosidad.

Manning yStrickler

(1890) n

RC

6/1

H

Es la ecuacin ms empleada. Se obtuvo a

partir de siete frmulas diferentes, basadasen los ensayos de Bazin.

n: coeficiente de rugosidad, de Manning.

: constante que depende del sistema deunidades empleado; vase el numeral7.3.2.3.

Pavlovskij6.0

z

H

n

RC

Considera que el exponente de la ecuacinde Manning no es constante.

Si RH 1 m, z = 1.5n.

Si RH 1 m , z = 1.3 n0.6.Vlida en el sistema mtrico.

Martnez 6.13d

Rlog7.17C H

d: dimetro (m) del grano del fondo delmaterial del ro.

Vlida para 0.15 m RH 2.25 m.

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165

7.3.2.2 Ecuacin de Manning (Robert Manning, Ingeniero irlands, 1889). Como se present enla tabla anterior, el coeficiente de Manning tiene la siguiente expresin:

(7.25)Rn

C61

H

que reemplazada en la ecuacin de Chzy, produce lo siguiente:

(7.26)ManningdeEcuacinn

SRv

21

0

32

H

Donde,

n : coeficiente de rugosidad, de Manning (adimensional).

Aplicando la ecuacin de caudal, Q = v A, resulta la ecuacin de Manning para el caudal:

(7.27)ManningdeEcuacinn

SRAQ

21

0

32

H

Despejando de (7.26), se obtiene:

(7.28)SR

vn21

0

32

H

T

L

dimaL

TLdima

SR

vn 31

3221

0

32

H

En su ecuacin original, Robert Manning encontr que:

s

m000054796.1

s

m3048.0486.1

s

pies486.1

313131

31

7.3.2.3 Ecuacin de Darcy & Weisbach - Colebrook & White. Partiendo de la ecuacin de Darcy& Weisbach, se tiene lo siguiente:

(7.29)g2

v

D

Lfh

2

f

L

h

f

Dg2v f2

Sf

Dg2v f

2

Donde Sfes la prdida unitaria de carga, expresada en tanto por uno, es decir, en decimales.

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166

Sacando raz cuadrada a ambos miembros de la ecuacin anterior, resulta:

(7.30)SDg2f

1v f

Por otro lado, para flujos turbulentos en tuberas con superficie hidrulicamente rugosa, Colebrook &White propusieron la siguiente ecuacin:

(7.31)WhiteColebrookdeEcuacinfR

51.2

7.3

D/log2

f

1

Donde es el coeficiente de rugosidad absoluta de la pared interior de la tubera. Este trmino sereemplazar por k, en flujos en canales.

Reemplazando (7.31) en (7.30), se tiene:

(7.32)SDg2fR

51.2

7.3

D/log2v f

Adems, reemplazando R = v D/en la ecuacin anterior, se tiene:

(7.33)

fDv

51.2

7.3

D/logSDg22v f

Reemplazando la velocidad v de la ecuacin (7.30) en (7.33), y ordenando trminos, se tiene:

(7.34)

fDSDg2f

1

51.2

7.3

D/logSDg22v

f

f

(7.35)SDg2D

51.2

7.3

D/logSDg22v

f

f

Aplicando la ecuacin de caudal, Q = v A; se tiene:

SDg2D

51.2

7.3

D/logSDg2A2Q

f

f

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167

SDg2D

51.2

7.3

D/logSDg2

4

D2Q

f

f

2

(7.36)SDg2D

51.2

7.3

D/logSDg22

DQ

f

f

2

Las ecuaciones (7.35) y (7.36) son vlidas para flujos a presin en conductos circulares. Para utilizardichas ecuaciones en el clculo de flujo uniforme en canales abiertos, se debe sustituir el dimetroD por un Dequiv = 4RH, y, adems, se hacen = k y Sf = S0 .

En efecto, la ecuacin (7.35) se convierte en:

SR4g2R451.2

7.3R4klogSR4g24v

0HH

H0H

SR4g24R2

51.2

R8.14

klogSRg32v

0HHH

0H

(7.37)SRg32R

255.1

R8.14

klogSRg32v

0HHH

0H

Aplicando la ecuacin de continuidad, se obtiene la siguiente ecuacin para el caudal:

(7.38)SRg32R

255.1

R8.14

klogSRg32AQ

0HHH

0H

Esta es la ecuacin de Darcy Weisbach y Colebrook White para flujo uniforme en canalesabiertos, y es vlida para conductos circulares y no circulares.

7.3.3 Factores que afectan el coeficiente de rugosidad. En general, la resistencia al flujo en

canales depende de la rugosidad de sus paredes y del nmero de Reynolds del flujo. Sin embargo,se ha comprobado que el coeficiente de friccin, f, se hace independiente del nmero de Reynolds,R, para valores altos de ste, es decir, para flujos turbulentos completamente desarrollados.

Despejando n de la ecuacin (7.25), se tiene:

(7.39)RC

n61

H

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168

y reemplazando C, de la ecuacin (7.21), en la ecuacin anterior, se tiene:

fg8

Rn

61

H

De donde:

(7.40)fRg8

n6/1

H

La ecuacin anterior prueba que n es funcin del RH y de f, pero este ltimo coeficiente, en flujosturbulentos completamente desarrollados, es independiente del nmero de Reynolds. Ello explica elhecho de que, an en flujos altamente turbulentos, el coeficiente de rugosidad, n, no esestrictamente constante, sino que depende del radio hidrulico, el cual, a su vez, vara con la

profundidad del flujo, y, con la magnitud de ste, Q, y con la forma y dimensiones de la seccintransversal del canal.

A continuacin se presentan los principales factores que afectan el valor del coeficiente derugosidad, n, de un canal:

La rugosidad, n, vara con la profundidad del flujo. Se ha comprobado que, con el aumento de laprofundidad, disminuye el valor del coeficiente n. Sin embargo, cuando el nivel del agua alcanzalas orillas de un cauce natural, y stas presentan material grueso, el coeficiente de rugosidad, n,aumenta apreciablemente.

La rugosidad depende del material del lecho o del canal. En efecto, para material fino, n es bajo,y para material grueso, n es alto.

La rugosidad depende de las irregularidades del canal, de los cambios en la forma geomtrica dela seccin transversal, y de los cambios en las dimensiones de sta.

La rugosidad vara con los cambios en el alineamiento de canal. Efectivamente, n vara con loscambios en el alineamiento horizontal del canal y con los cambios en la pendiente longitudinal delmismo.

La presencia de obstculos en el cauce modifican el valor de la rugosidad del canal. Es decir, naumenta con el nmero y distribucin de los obstculos.

Los procesos de erosin y sedimentacin activos producen cambios en la rugosidad.Obviamente, estos procesos modifican continuamente la forma de la seccin transversal del

cauce natural de la corriente, con lo cual se altera el valor del coeficiente de rugosidad. Las variaciones del caudal y, por tanto, de la profundidad, y del nmero de Reynolds, tambin

producen cambios en el valor de la rugosidad.

El tipo, densidad y distribucin de la vegetacin desarrollada en el cauce de un canal producen unaumento en el valor de la rugosidad. En efecto, la vegetacin ofrece una resistencia adicional almovimiento de la masa lquida a lo largo del canal.

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Tabla 7.2. Valores normales de n y k para distintos materiales

Tipo de material de las paredes del canal n (adim) k (mm)

Vidrio 0.009 - 0.010Material liso (latn, cobre, plomo, aluminio) 0.010 0.003

Mampostera, ladrillo 0.014 1.20Asbesto-cemento 0.010 0.03Acero no-revestido 0.012 0.03Acero revestido 0.013 0.06Concreto 0.013 0.15

Ladrillo vitrificado 0.025 1.50Gres (arcilla o barro) vitrificado 0.013 0.06P.V.C. 0.010 0.03

7.3.4 Clculo de la profundidad normal, yn . En las ecuaciones (7.23), (7.27) y (7.40), para un Qdado, los parmetros A y RHllevan implcita la profundidad del flujo uniforme. Esta profundidad es laprofundidad normal, yn. El clculo de la yn, de un flujo uniforme, para una forma geomtrica dada dela seccin transversal del canal, con cualquiera de las ecuaciones arriba citadas, es un proceso queconduce a un polinomio de grado fraccional, no-explcito para yn, cuya solucin slo es posible atravs de un mtodo iterativo.

Para facilitar y agilizar el clculo de la profundidad normal, se han preparado dos programas enlenguaje BASIC, que resuelven iterativamente las ecuaciones de Manning y Darcy Weisbach-Colebrook White, cuyos listados aparecen en el Anexo A2.

7.3.5 Flujo uniforme en conductos circulares. El flujo uniforme en conductos circulares es el

supuesto fundamental para el diseo de colectores en sistemas de alcantarillados de aguasresiduales y pluviales. Es sta la razn por la cual, a continuacin, se hace un desarrollo terico yamplio de la hidrulica de conductos circulares.

FIGURA 7.3 Elementos geomtricos del flujo en conductos circulares.

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170

Las ecuaciones bsicas para el clculo de flujo uniforme, en canales circulares, son:

(7.41)

d

y

2

1

cos

2

0

1-

(7.42)2

(7.43)2

cos1

d

y

0

, de la ecuacin (7.41), resulta:

2

cos12

1

d

y

o

(7.44)

(7.45))yd(y2T 0

(7.46)2

dP 0

(7.47))sen(8

dA

2

0

(7.48)

sen

4

d

R

0

H

Retomando la ecuacin de Manning, (7.26), para la velocidad del flujo en un canal circular, se tienelo siguiente:

n

SRv

210

32H

(7.26)

Reemplazando la ecuacin (7.48), para el radio hidrulico, en la ecuacin anterior, se obtiene lavelocidad del flujo para la seccin circular parcialmente llena, as:

(7.49)S

sen

4

d

n

v2

1

0

3

2

3

2

0

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171

Es decir,

(7.50)

sen

n

4

S

d

v

32

32

2/1

0

32

0

La ecuacin para la velocidad del flujo en un conducto circular completamente lleno se obtienehaciendo = 2en la ecuacin (7.50), as:

32

32

2/1

0

32

0LL

2

2sen2

n4

Sdv

(7.51)S4

d

nv

2

1

0

3

2

0

LL

Reorganizando trminos, resulta:

(7.52)n4

Sdv

3/2

2

/

1

0

3

2

0LL

Ahora, suponiendo constante el coeficiente de rugosidad, n, y dividiendo la ecuacin (7.50) por la(7.52), se obtiene la siguiente relacin de velocidades:

(7.53)

sen

v

v

3

2

LL

La ecuacin (7.53) expresa la relacin entre la velocidad del flujo en un conducto circular, para unaprofundidad dada, y < do, y la velocidad del flujo en el mismo conducto cuando ste se encuentratotalmente lleno, es decir, cuando y = do.

Este mismo procedimiento se realiza para hallar la relacin entre el caudal de flujo en un conductocircular parcialmente lleno y el caudal del flujo en el mismo conducto completamente lleno.Retomando la ecuacin de Manning, para el caudal, se tiene lo siguiente:

(7.27)SRAn

Q2/1

0

2/3

H

Reemplazando la ecuacin (7.48), para radio hidrulico, y la ecuacin (7.47), para el rea mojada,en la ecuacin anterior, se obtiene el caudal de flujo para una conduccin circular parcialmente l lena:

(7.54)Ssen

4

d

8

sen

d

n

Q2

/

1

0

3

2

3

2

0

2

0

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172

Reorganizando trminos, se tiene:

32

35

35

2/1

0

38

0 sen

n42

SdQ

(7.55)

Ahora, el caudal del flujo para una conduccin circular completamente llena se obtendrreemplazando el valor de 2en la ecuacin (7.55), as:

2

2sen2

n42

SdQ

32

35

35

2/1

0

38

0LL

(7.56)

S

4

d

4

d

n

Q

2

/

1

0

3

2

0

2

0

LL

Reorganizando los parmetros de esta ecuacin, resulta:

(7.57)4

S

d

nQ

35

2/1

0

38

0LL

Nuevamente, suponiendo n constante y dividiendo el caudal del flujo para una conduccin circularparcialmente llena, por el caudal del flujo en la misma conduccin, pero completamente llena, es

decir, la ecuacin (7.55) dividida por la (7.57), se obtiene la siguiente relacin:

(7.58)

sen

2

1

Q

Q

3

2

3

5

LL

Las relaciones v/vLL y Q/QLL, expresadas por las ecuaciones (7.53) y (7.58), respectivamente, segrafican en funcin de la relacin y/do, esta ltima llamada relacin de ocupacin. Vase la Figura7.4.

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173

FIGURA 7.4. Relaciones adimensionales para el flujo uniforme en conductos circulares.

Obtenidas las relaciones (7.53) y (7.58), el siguiente paso es hallar los puntos crticos para lasrelaciones de velocidad y caudal, en conductos circulares parcial y totalmente llenos; es decir,aquellos valores de y de la relacin y/doque hacen mximos los valores de las relaciones v/v LLyQ/QLL . Con este objetivo, se derivarn las anteriores relaciones con respecto al ngulo , as:

Derivando la ecuacin (7.53) con respecto a , se tiene:

(7.59)sen

d

dsen

3

2

v

v

d

d3

/

1

LL

1sencos1

sen3

2

v

v

d

d2

3/1

LL

23131

LL

sencos

sen3

2

v

v

d

d

23131

LL

sencos

sen3

2

v

v

d

d

(7.60)cossen

sen

1

3

2

v

v

d

d

3/135LL

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174

Igualando a cero, la derivada anterior, se tiene:

0cossen

sen

1

3

23/135

de donde se concluye que:0cossen

cossen

cos

sen

(7.61)tan

Cuya solucin es:rad7914.49340945

vc (7.62)

Sustituyendo este valor de c en la ecuacin (7.44), se obtiene el valor correspondiente de larelacin y/do:

2

7914.49340945cos1

2

1

d

y

vco

8128.0d

y

vco

(7.63)

Ahora, reemplazando el ngulo c en la ecuacin (7.53) se obtiene la relacin de velocidades(v / vLL)mx, as:

32

mxLL14934094579.4

14934094579.4sen14934094579.4

v

v

14.1v

v

mxLL

(7.64)

v14.1v LLmx (7.65)

1a Conclusin: La velocidad mxima del flujo en un conducto circular no ocurre a tubo lleno, sinopara un valor de y = 0.8128d0, y es un 14 % mayor que la velocidad del flujo a tubo lleno.

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17/32



175

Anlogamente, se proceder con la relacin de caudales, a partir de la ecuacin (7.58).

32

35

LL

sen

d

d

2

1

Q

Q

d

d

34

31353232

LL

3

2sencos1sen

3

5

2

1

Q

Q

d

d

sen

2cos15sen3

1

2

1

Q

Q

d

d 3232

LL

sen2cos15

6

sen

Q

Q

d

d3232

LL

sen22cos55

6

sen

Q

Q

d

d31

32

LL

(7.66)

sen

2

cos

5

3

6

sen

Q

Q

d

d

3/1

3/2

LL

Igualando a cero la anterior derivada, se concluye que:

0cos5sen23

de donde:

3

sen2cos5

(7.67)

cuya solucin, es:

rad32781071379.5Qc

(7.68)

Reemplazando el valor anterior en la ecuacin (7.44), se tiene la correspondiente relacin y/do:

2

32781071379.5cos12

1

d

y

Qco

93818.0d

y

Qco

(7.69)

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18/32



176

Ahora, reemplazando el nguloQ

c en la ecuacin (7.58), se obtiene la relacin de caudales

mxima:

32

35

mxLL 32781071379.5

32781071379.5sen32781071379.5

2

1

Q

Q

1.0757Q

Q

mxLL

(7.70)

2a Conclusin: El caudal mximo del flujo en un conducto circular no es precisamente el caudala tubo lleno, sino el correspondiente a una profundidad y = 0.93818d0, y es 7.57 % mayor que esteltimo.

Cuando la relacin profundidad / dimetro, y/do, es igual a 0.5, = 0.5. Entonces, sustituyendo0.5 en la ecuacin (7.53), produce el siguiente valor de la relacin de velocidades:

sen

v

v3232

5.0LL

1.0v

v

5.0LL

(7.71)

es decir,

vv llenosemilleno (7.72)

3a Conclusin: Con una relacin de ocupacin del 50 %, la velocidad del flujo en un conductocircular, a tubo semilleno, es exactamente igual a la velocidad del flujo a tubo lleno.

Asimismo, llevando = 0.5 = a la ecuacin (7.58), se obtiene la correspondiente relacin decaudales, as:

0.522

1sen

2

1

Q

Q32

35

32

35

5.0LL

0.5Q

Q

5.0LL

(7.73)

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177

lo cual significa que:

Q2

1Q llenosemilleno (7.74)

4aConclusin: El caudal del flujo en un conducto circular semilleno (y = do / 2) es exactamente iguala la mitad del valor del caudal a tubo lleno.

Por otra parte, las Normas de Diseo de Colectores de Alcantarillado, de las EE.PP. de Medelln,entre otras disposiciones, establecen lo siguiente:

1aNorma de diseo: Q/QLL 0.85

Luego, para el valor lmite Q/QLL= 0.85, se tiene:

(7.75)

0.85

sen

2

1

Q

Q

3

/

2

3

/

5

LL

Despejando el ngulo , resulta:

85.02

sen3/5

32

de donde:

sen7.1

1 5.25.1

(7.76)

Cuya solucin es:

rad9974.0006339085.0

(7.77)

Reemplazando este valor de 0.85 en la ecuacin (7.44), se obtiene el valor de y/do, as:

2

9974.00063390cos1

2

1

d

y

85.0o

7082.0d

y

85.0o

(7.78)

5a Conclusin: En cumplimiento de la anterior norma de diseo, para cualquier relacinQ/QLL0.85, se obtendrn los siguientes resultados:

rad70006339099.4

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178

rad14127.1

0.7082d

y

0

2aNorma de diseo: y/do 0.75

Luego, para el valor extremo y/do= 0.75, se tiene:

75.02

cos12

1

d

y 75.0

75.0o

75.00

1-75.0

d

y21cos2

75.021cos2 -175.0

2403

475.0

(7.79)

Por ltimo, reemplazando este ngulo en la ecuacin (7.58), se obtiene:

6130.91187768

3

4

3

4sen

3

4

2

1

Q

Q32

35

75.0LL

entonces,

0.850.912Q

Q

75.0LL

(7.80)

En consecuencia de lo anterior, se concluye lo siguiente:

6aConclusin: Si se disean los colectores para una relacin de ocupacin y/do= 0.75, se incumplela norma que establece que Q/QLL 0.85.

Un resumen esquemtico de los puntos crticos y de las normas de diseo analizadas anteriormentese presenta en la Figura 7.5.

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179

FIGURA 7.5. Resumen de los puntos crticos y condiciones particulares del flujo uniforme en conductos circulares.

7.3.6. Canales con rugosidad compuesta o mltiple. Cuando el canal es tal que presenta unacomposicin heterognea del material de su cauce, la rugosidad de las paredes de ste presentatambin una variacin espacial en su magnitud. Por ello, para toda la seccin transversal se debedeterminar una rugosidad equivalente, que, empleada en la ecuacin de Manning, representeaproximadamente el comportamiento de cada una de las rugosidades de las diferentes porciones dellecho con rugosidad distinta a la de las dems. Vase la Figura 7.6.

FIGURA 7.6. Seccin transversal de un canal de rugosidad mltiple

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180

Se trata, entonces, de hallar el valor de una rugosidad equivalente, n eq,, para emplearse en laecuacin de Manning (7.27), de lo cual resulta:

eq

210

32H

n

SRAQ

(7.81)

neq: coeficiente de rugosidad equivalente que refleja el efecto de la multiplicidad de rugosidades quepresenta el lecho del canal.

Existen diversas frmulas o ecuaciones para determinar un valor de neq, de la seccin completa, apartir de las distintas porciones o subsecciones de la seccin entera, y en funcin de otrosparmetros hidrulicos, tales como son n i, RHi, P i, A i, A, P, RH. A continuacin, se presentan dichasecuaciones.

7.3.6.1. Ecuacin de Horton & Einstein. Esta ecuacin se basa en la siguiente hiptesis: Lavelocidad del flujo en cada subseccin es igual a la velocidad media del flujo correspondiente a laseccin completa; esto es:

mediavelocidadvv...v....vvv ki321 (7.82)

(7.83)n

S

R

...n

S

R

...n

S

R

n

S

R

k

21k0

32Hk

i

21i0

32Hi

2

2102

322H

1

2101

321H

n

SR

n

SR

eq

21

0

32

H

i

21

i0

32

Hi

n

R

n

R

eq

32

H

i

32

Hi

iiHiH PAR;PAR

eq

32

i

32

ii

n

PA

n

PA

Pinn

PAA

23

eq

ii

i

23

eq

ik

1i

k

1i

i Pn

n

P

AAA

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23/32



181

P

nP

n32

32k

1i

23ii

eq

(7.84)

32

3223

kk

23

22

23

11eq

P

nPnPnPn

(7.85)

7.3.6.2 Ecuacin de Lotter. Este autor se bas en la siguiente hiptesis: El caudal total, Q, de laseccin completa es la suma de los caudales parciales correspondientes a cada una de lassubsecciones de la seccin entera.

(7.86)

Q

Q

k

1

i

i

(7.87)n

RAS...

n

SRA...

n

SRA k

1

i i

3

2

Hi

i

2

1

i

0

k

1

i i

2

1

i

0

3

2

Hi

i

eq

2

1

0

3

2

H

(7.88)

n

RA

RAn

k

1i i

32

Hii

32

Heq

HiiiHiiHiH RPA;RPAyPAR;PAR

(7.89)

n

RP

RPn

k

1i i

35Hii

35

Heq

Pn

A

P

A

nk

1i

32

ii

35

i

32

35

eq

k

1i32

ii

35

i32

35

eq

Pn

AP

An

(7.90)

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182

7.3.6.3 Ecuacin de Pavlovskij. Lahiptesis empleada por este autor es: La fuerza de resistenciaal flujo, a travs de la seccin completa, es igual a la suma de las fuerzas de resistencia parcialesdebidas a todas y cada una de las subsecciones.

Esta ecuacin permite calcular un valor del coeficiente de rugosidad equivalente, de la siguiente

manera:

21

21k

1i

2ii

eqP

nP

n

(7.91)

7.3.6.4 Ecuacin de Cox. Este autor estima el coeficiente de rugosidad equivalente como unpromedio ponderado de los coeficientes de rugosidad, n i, de cada subseccin, de la siguientemanera:

(7.92)A

nA

n

k

1

i

ii

eq

7.3.6.5 Ecuacin de Colbatch. Similarmente a la ecuacin anterior, este autor pondera loscoeficientes de rugosidad, ni, de cada subseccin, con el rea, A i, correspondiente. De esta manera,obtuvo la siguiente ecuacin:

(7.93)

A

nA

n

3

2

32k

1

i

2

3

ii

eq

7.3.7 Ecuaciones empricas para la estimacin del coeficiente de rugosidad, de Manning.Adems de las ecuaciones anteriores, diversos autores han desarrollado sus propias ecuacionesempricas para estimar el coeficiente de rugosidad, n, en canales naturales, entre las cuales se citanlas siguientes:

7.3.7.1 Ecuacin de Strickler (1923). Ref. [7]:

61

d047.0n (7.94)

Donde d es el dimetro (mm) de la arena uniforme adherida a los lados y al fondo del canal, medidobajo rgimen crtico en un modelo experimental.

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183

7.3.7.2 Ecuacin de Lacey, (1930-1946). Ref. [17] :

41f0255.0n

(7.95)donde

21d6.1f , con d en mm. (7.96)

El autor expres el coeficiente n en funcin de un factor de finura del material del lecho y de las

paredes del canal, f , el cual se obtiene en funcin del dimetro medio de las partculas, y cuyavalidez se limita a un rango de caudales de 5 pie 3/s < Q < 5000 pie3/s y a un rango de partculas de0.15 mm < d < 0.40 mm.

7.3.7.3 Ecuaciones de Keulegan, (1938 y 1949). Ref. [17]:

61

50d0260.0n (7.97)

61

65d0416.0n (7.97a)

61

90d0249.0n (7.97b)

No se conocen las unidades de los dimetros d50, d65y d90.

7.3.7.4 Ecuacin de MeyerPeter y Muller (1948). Ref. [7]:

6190d038.0n (7.98)

Vlida para mezclas de materiales de fondo con una significativa proporcin de tamaosgranulomtricos. d90es el dimetro (m) del material del fondo, tal que el 90% del material por pesotiene un dimetro menor.

7.3.7.5 Ecuacin de Lane y Carlson (1953). Ref. [7]:

61

75d038.0n (7.99)

Obtenida a travs de experimentos de campo, involucrando canales empedrados con guijarros; enesta ecuacin, d70es el dimetro (pulg) del material del fondo, tal que el 75% del material por pesotiene un dimetro menor.

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184

7.3.7.6 Ecuacin de Chow, (1959) Ref. [17]:

61

65d0417.0n (7.100)

No especifica unidades del dimetro d65.

7.3.7.7 Ecuacin de Henderson (1966).Ref. [7]:

61d034.0n (7.101)

Henderson seal que las investigaciones de Strickler estuvieron basadas en corrientes con fondosde grava, y no en un canal medidor de rgimen crtico, y que d es el tamao medio del material delfondo, en unidades no especificadas.

7.3.7.8 Ecuacin de la administracin de carreteras federales de los estados unidos , (1975).

Ref. [17]:

61

50d0395.0n (7.102)

No especifican las unidades del d50.

7.3.7.9 Ecuacin de Raudkivi (1976).

61d042.0n (7.103)

Este autor continu con el trabajo de Strickler, y propuso la anterior frmula, donde d se expresa enmetros. Alternativamente, el mismo autor propuso las siguientes ecuaciones empricas:

61

65d013.0n (7.104)

donde d65es el dimetro del material del fondo en milmetros tal que el 65% del material por peso esmenor; y

61

65d034.0n (7.105)

donde d65es el dimetro del material del fondo en pie.

7.3.7.10 Ecuacin de Simons y Senturk, (1976) Ref. [17]

61

50d0389.0n (7.106)

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185

7.3.7.11 Ecuacin de Garde y Raju (1978). Ref. [7].

61

50d039.0n (7.107)

Estos investigadores sealaron que los datos analizados por Strickler se realizaron a partir de variascorrientes naturales, en Suiza, con fondos formados por material de granulometra gruesa y libre deondulaciones. d50es el dimetro (pie) del material del fondo, tal que el 50% del material por pesotiene un dimetro menor.

7.3.7.12 Ecuaciones de Bray, (1979). Ref. [17]:

179.050d0593.0n (7.108)

179.065d0561.0n (7.109)

16.090d0495.0n (7.110)

No se especifican las unidades de los dimetros d50, d65y d90.

7.3.7.13 Ecuacin de Subramanya (1982). Ref. [7].

61

50d047.0n (7.111)

donde d50 es el dimetro (m) del material del fondo, tal que el 50% del material por peso tiene undimetro menor.

7.3.7.14 Ecuacin de Leliavsky, (1984). Ref.[17]

61d0150.0n (7.112)

No se conocen las unidades del dimetro d.

7.3.7.15 Ecuacin de Yen, (1992). Ref. [17]

61

90d0384.0n (7.113)

No se conocen las unidades del dimetro d90.

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186

7.3.7.16 Ecuacin de Posada y Posada (1998). Ref. [17]. Desarrollada de acuerdo a un estudiorealizado en canales naturales.

61

50d0487.0n (7.114)

donde d50es el tamao medio (m) del material del lecho del canal.

7.4 PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

7.4.1 Descripcin de la instalacin. Antes de efectuar las mediciones requeridas en esta prctica,se fijar la pendiente del canal, se definirn m secciones transversales, y se instalarn uno o doslimnmetros sobre el canal, y otro aguas arriba del vertedero de medida de caudales. En caso deemplear el medidor electromagntico de caudales, se tendra una verificacin del caudal medido conayuda del vertedero calibrado.

Posteriormente, se abrir la vlvula de alimentacin de flujo al canal, hasta lograr el establecimientode un flujo visiblemente uniforme. Vase la Figura 7.6.

Se aclara que, por tratarse de un canal de relativa corta longitud, es factible que en toda suextensin no se desarrolle completamente el flujo uniforme. No obstante, para efectos pedaggicos,se aceptar que el flujo es uniforme.

La pendiente longitudinal del canal se calcular con la siguiente ecuacin:

(7.115)

L

ztan

S0

Posteriormente, en cada una de las secciones preestablecidas, se medirn los niveles en lasuperficie libre, LSL, preferiblemente en tres posiciones distintas, para obtener un nivel superficialpromedio, y en el fondo del canal. La diferencia de lecturas entre el promedio de las medicioneshechas en la superficie libre, LSL, y la correspondiente al nivel del fondo, L f, representa laprofundidad normal, yni, en la isima seccin transversal. Esto es:

(7.116)L3

1L

3

1i

SLi

SLi

(7.117)LLy SLini

Hecho lo anterior, para todas y cada una de las secciones transversales, se medir la carga, h V, enel vertedero patrn instalado aguas abajo. El caudal de flujo uniforme, Q, se determinarreemplazando la carga hVen la ecuacin de calibracin de dicho vertedero, o, simplemente haciendolectura en el medidor electromagntico de caudales.

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FIGURA 7.7. Esquema de la instalacin para la prctica sobre flujo uniforme y determinacin de la rugosidad en canales

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188

7.4.2 Tabla de datos. Para cada ensayo, es decir, para cada determinado caudal, Q, los datos seregistrarn en una tabla como la siguiente:

Ensayo Profundidades normales, (m)hV

(cm)

Q

(m

3

/s)

yn

(m)A

(m2)

P

(m)

RH

(m)

No. yn1 yn2 yn3 yn4 yn5 yn6 yn7 yn8 yn9 yn101

2

3

.

.

.

n

7.4.3 Clculos y resultados. Para un caudal determinado, es decir, para un ensayo especfico, seharn los siguientes clculos. Vase la Figura 7.7:

FIGURA 7.8. Seccin transversal del flujo uniforme.

(7.118)y10

1y

10

1i

nn i

(7.119)yBAn

(7.120)y2BPn

(7.121)

P

A

RH

Finalmente, se calcularn los coeficientes de rugosidad del canal con su correspondiente ecuacinde resistencia, as:

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189

A partir de la ecuacin de Manning, se obtiene:

(7.122)

Q

S

R

A

n

2

/

1

0

3

/

2

H

A partir de la ecuacin de Chzy, se obtendr C, as:

(7.123)n

RC

6/1H

Y, a partir de la ecuacin de Darcy - Weisbach y Colebrook - White, se obtendr:

(7.124)SRg32R

255.110R8.14k

0

HH

SRg32A

Q

H0H

Recurdese que para calcular = / se requiere medir la temperatura del agua, Tagua, y con stase obtienen, de tablas, aguay agua..

Tambin se deben calcular los trminos (RHS0)1/2 y RH2/3 S01/2 , para conocer la variacin de lavelocidad del flujo con stos.

Los resultados de los clculos precedentes se consignarn en la tabla siguiente:

EnsayoNo.

Q(m3/s)

yn

(m)A

(m2) (m)

RH (m)

v(m/s)

n (adim) (m1/2/s)

k (mm)

(RHS0)1/2

(m1/2)RH2/3S01/2

(m2/3)

1 Q1

2 Q2

3 Q3

. .

. .

. .

N

QN

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7. FLUJO UNIFORME Y DETERMINACIN DE LA RUGOSIDAD EN CANALES190

7.5 CUESTIONARIO

7.5.1 Los valores de n, C y k se pueden calcular, tambin, para cada una de las seccionestransversales del flujo, a partir del caudal y su correspondiente yni . Explique cmo lo hara usted,

calcule dichos coeficientes de rugosidad, y comprelos con los obtenidos en el numeral anterior.7.5.2. Con el objeto de verificar las ecuaciones de Chzy y Manning, represente grficamente lasvariaciones v vs. RH1/2 S01/2 y v vs. RH2/3 S01/2, y exprese sus conclusiones acerca de dichasvariaciones.

7.5.3 Cmo varan los coeficientes de rugosidad con la variacin del caudal?

7.5.4 Cmo influye la variacin del radio hidrulico en la variacin del coeficiente de rugosidad?

7.5.5 Por qu en las ecuaciones (7.37) y (7.38) la velocidad y el caudal son independientes delcoeficiente de friccin, f, de Darcy?

7.5.6 Por qu el flujo de un fluido real, en un canal horizontal, no puede ser uniforme?

7.5.7 De qu formas estimara usted el coeficiente de rugosidad, n, de Manning, para un canalnatural?

7.5.8 Consulte otras expresiones para determinar el coeficiente de rugosidad, en funcin del materialdel lecho.

7.5.9 Enumere algunos casos de importancia prctica, en los cuales es indispensable conocer lasrugosidades de un canal natural.

7.5.10 Deduzca las correspondientes ecuaciones para la estimacin del error relativo total de loscoeficientes de resistencia n, C y k.

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