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Ing. José Espinosa Organista

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Curvas planas en Ecuaciones paramétricas

Introducción

El uso de las ecuaciones paramétricas se restringe a aquellos fenómenos de la ingeniería

que correspondan con modelos matemáticos en los cuales se simplifique el modelo, en

comparación con un modelo en ecuaciones cartesianas. Fundamentalmente, las ecuaciones paramétricas son el fundamento de los modelos vectoriales, en donde en cada una de sus

componentes corresponde a una función de una variable real y es en las funcionesvectoriales en donde se tendrá mayor aplicación. En este apartado, se restringe el uso deecuaciones paramétricas a dos dimensiones, dado que la unidad de estudio a la que

corresponde el tema se denomina Curvas planas, ecuaciones paramétr icas y polares ; sinembargo, el modelo de ecuación y sus aplicaciones se transfieren fácilmente a las tres

dimensiones con las que se trabajará la siguiente unidad.

Material y equipo necesario

Papel milimétricoEquipo de dibujo: escuadras, compás, transportador, reglaCualquier software libre para graficación de funciones y ecuaciones

Metodología1. Análisis de la definición y construcción geométrica de las ecuaciones paramétricas

2. Analogía entre la estructura de las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones

cartesianas3. Aplicación de la analogía establecida para la transformación de ecuaciones

4. Graficación mediante procedimientos manuales

5. Graficación mediante software

Bibliografía preliminar

Zill Dennis G.

Cálculo con Geometría Analítica.

Grupo Editorial Iberoamérica.

Leithold Louis.Cálculo con Geometría Analítica.Ed. Oxford (7ª. Edición)

Marsden J. E. Y Tromba A. J.Cálculo Vectorial

Ed. Addison-Wesley Iberoamericana

Murray R. SpiegelAnálisis Vectorial

Ed. Mc. Graw Hill

Hwei P. Hsu

Análisis Vectorial

Ed. Addison-Wesley Iberoamericana


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Desarrollo

1. Relación entre las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones en coordenadasrectangulares

Las ecuaciones cartesianas en el plano involucran a dos variables de modo que al graficarlos pares ordenados estos corresponden con un patrón o modelo.

En algunos fenómenos el patrón es definido por una tercera variable, pero de modo que las

dos variables del plano dependen de esa tercera variable, la cual no se muestra en la gráfica.

De este modo, si una curva es expresada en términos del parámetro mencionado, la curva

tomará la forma ),( y xC en donde )(t f x y )(t g y

De modo que para construir la curva)(

)({

t g y

t f xC

se elabora una tabla para calcular las

coordenadas a partir del valor del parámetro; supóngase que t x 2 y t y 1

determínense las coordenadas para valores de t de -4 a 4

x

y

y

x


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3

Punto t x y 1 -4 6 5

2 -3 5 4

3 -2 4 3

4 -1 3 2

5 0 2 1

6 1 1 0

7 2 0 -1

8 3 -1 -2

9 4 -2 -3

2. Transformación de ecuaciones paramétricas a rectangulares

Para la transformación de ecuaciones paramétricas a cartesianas o rectangulares, se procedea despejar el parámetro en cada coordenada y se igualan, en seguida se simplifica la

ecuación.

Ejemplo 1

Si 43 2 t x y 12 t y las ecuaciones se pueden transformar en coordenadas

rectangulares despejando 2t en ambas expresiones, de donde quedan3

42 x

t y

12 yt ; igualando y simplificando se llega a la ecuación cartesiana 013 y x

Ejemplo 2

Si 49 2 t x y 432 2 t t y despejando t 2 en la ecuación paramétrica para x se

obtiene la expresión9

42 x

t que al ser sustituida en se genera la

ecuación 49

43)

9

4(2

x x y la cual al ser desarrollada queda como

046050419336814 22 y x xy y x donde se puede observar que la ecuación

puede resultar de mayor complejidad, razón por la cual existe la opción paramétrica

3. Transformación de ecuaciones rectangulares a paramétricas

Para la transformación de ecuaciones cartesianas a paramétricas se busca establecer una

igualdad de modo que cada una de las variables quede en cada uno de los miembros de la

igualdad y considerar a cada miembro de la igualdad como una expresión igual al parámetro, lo que conduciría a las ecuaciones de cada variable.

Ejemplo: exprese en forma paramétrica la ecuación 84422 y x y x esta expresión

se puede transformar convenientemente en 08282 22 y x , lo que

432 2 t t y


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4

llevaría a 28 t x y 28 t y y nuevamente, se puede observar que la

transformación puede complicar la expresión.

4. Graficación de ecuaciones paramétricas

Grafique las siguientes ecuaciones, primero de manera manual y luego mediante software ycompare las gráficas.

4.1 t x 5 ; 22 t y

Tabulación

t x y

-9,0 -45,0 -16,0-8,0 -40,0 -14,0

-7,0 -35,0 -12,0-6,0 -30,0 -10,0

-5,0 -25,0 -8,0

-4,0 -20,0 -6,0-3,0 -15,0 -4,0

-2,0 -10,0 -2,0

-1,0 -5,0 00 0 2,0

1,0 5,0 4,0

2,0 10,0 6,03,0 15,0 8,04,0 20,0 10,0

5,0 25,0 12,0

6,0 30,0 14,07,0 35,0 16,0

8,0 40,0 18,0

9,0 45,0 20,0


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5

4.2 x=4senθ ; y=csc θ

Tabulaciónt x y

-9,0 -1,6485 -0,4121

-8,0 -3,9574 -0,9894

-7,0 -2,6279 -0,657-6,0 1,1177 0,2794

-5,0 3,8357 0,9589

-4,0 3,0272 0,7568-3,0 -0,5645 -0,1411

-2,0 -3,6372 -0,9093

-1,0 -3,3659 -0,84150 0 0

1,0 3,3659 0,8415

2,0 3,6372 0,9093

3,0 0,5645 0,1411

4,0 -3,0272 -0,75685,0 -3,8357 -0,9589

6,0 -1,1177 -0,27947,0 2,6279 0,657

8,0 3,9574 0,9894

9,0 1,6485 0,4121


6/8


6

4.3 x= cos 2 t ; y = sen t

t x y

-9,5 0,9887 0,0752-9,0 0,6603 -0,4121

-8,5 -0,2752 -0,7985

-8,0 -0,9577 -0,9894-7,5 -0,7597 -0,938

-7,0 0,1367 -0,657

-6,5 0,9074 -0,2151-6,0 0,8439 0,2794

-5,5 0,0044 0,7055

-5,0 -0,8391 0,9589-4,5 -0,9111 0,9775

-4,0 -0,1455 0,7568

-3,5 0,7539 0,3508

-3,0 0,9602 -0,1411

-2,5 0,2837 -0,5985-2,0 -0,6536 -0,9093

-1,5 -0,99 -0,9975-1,0 -0,4161 -0,8415

-0,5 0,5403 -0,4794

0 1,0 0

t x y

0,5 0,5403 0,47941,0 -0,4161 0,8415

1,5 -0,99 0,9975

2,0 -0,6536 0,90932,5 0,2837 0,5985

3,0 0,9602 0,1411

3,5 0,7539 -0,35084,0 -0,1455 -0,7568

4,5 -0,9111 -0,9775

5,0 -0,8391 -0,95895,5 0,0044 -0,7055

6,0 0,8439 -0,2794

6,5 0,9074 0,2151

7,0 0,1367 0,657

7,5 -0,7597 0,9388,0 -0,9577 0,9894

8,5 -0,2752 0,79859,0 0,6603 0,4121

9,5 0,9887 -0,0752


7/8


7

4.4 x = a (2t / 1 + t2) ; y = a (1 - t

2/ 1 + t

2)

t x y--------- ------------ ------------

-9.0 -0.4390 -1.9512

-8.0 -0.4923 -1.9385-7.0 -0.5600 -1.9200

-6.0 -0.6486 -1.8919-5.0 -0.7692 -1.8462-4.0 -0.9412 -1.7647

-3.0 -1.2000 -1.6000

-2.0 -1.6000 -1.2000-1.0 -2.0000 0.0000

0.0 0.0000 2.0000

1.0 2.0000 0.0000

2.0 1.6000 -1.20003.0 1.2000 -1.6000

4.0 0.9412 -1.7647

5.0 0.7692 -1.84626.0 0.6486 -1.8919

7.0 0.5600 -1.9200

8.0 0.4923 -1.93859.0 0.4390 -1.9512

--------- ------------ ------------


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8

4.5 x=2 sen θ – 3 cos θ ; y= 4sen θ + 2 cos θ

t x y-9,0 1,9092 -3,4707

-8,0 -1,5422 -4,2484

-7,0 -3,5757 -1,1201

-6,0 -2,3217 3,038-5,0 1,0669 4,403

-4,0 3,4745 1,7199

-3,0 2,6877 -2,5445-2,0 -0,5702 -4,4695

-1,0 -3,3038 -2,2853

0 -3,0 2,01,0 0,062 4,4465

2,0 3,067 2,8049

3,0 3,2522 -1,41554,0 0,4473 -4,3345

5,0 -2,7688 -3,2684

6,0 -3,4393 0,8027

7,0 -0,9477 4,13588,0 2,4152 3,6664

9,0 3,5576 -0,1738

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