FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICASDEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELECTRICA

UNIDAD DOCENTE BASICA MATEMATICA

CÁLCULO NUMÉRICOCATEDRA ING. JORGE J. L. FERRANTE

Diferencias finitas: aproximación del Laplaciano

Roberto Maximiliano Wenner

ENTREGADO PRESENTADO DEFENDIDO CALIFICACIÓN

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2008

ÍNDICE

1. Resumen de Contenido....................................................................................................................................3

2. Introducción.....................................................................................................................................................4

3. Desarrollo........................................................................................................................................................5

4. Aplicación........................................................................................................................................................7

5. Conclusión.....................................................................................................................................................11

6. Anexo.............................................................................................................................................................12

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1. Resumen del contenido :

En el presente trabajo se desarrollará la teoría acerca del operador Laplaciano, utilizado en resolución de ejercicios de diferencias finitas.

Para ello, se explicará en que consiste dicho operador y se lo aplicará en un ejemplo para demostrar la practicidad del método.

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2. Introducción:

El Laplaciano es un operador diferencial de segundo orden, simbolizado como nabla cuadrado ( ). También se lo suele simbolizar como delta (Δ). Lleva ese nombre en reconocimiento a Pierre-Simon Laplace que estudió soluciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en las que aparecía dicho operador.

Expresado en coordenadas cartesianas es igual a la suma de todas las segundas derivadas parciales no mixtas dependientes de una variable.

Problemas relacionados con el Laplaciano:

En física, el Laplaciano aparece en múltiples contextos como la teoría del potencial, la propagación de ondas, la conducción del calor, la distribución de tensiones en un sólido deformable, etc. Pero de todas estas situaciones ocupa un lugar destacado en la electrostática y en la mecánica cuántica. En la electrostática, el operador Laplaciano aparece en la ecuación de Laplace y en la ecuación de Poisson. Mientras que en la mecánica cuántica el Laplaciano de la función de onda de una partícula da la energía cinética de la misma. En matemática, las funciones tales que su Laplaciano se anula en un determinado dominio, se llaman funciones armónicas sobre el dominio. Estas funciones tienen una excepcional importancia en la teoría de funciones de variable compleja. Además el operador Laplaciano es el ingrediente básico de la teoría de Hodge y los resultados de la cohomología de Rham.

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3. Desarrollo:

Propiedades del operador Laplaciano:

El Laplaciano es lineal:

También es cierto que:

Dependiendo del sistema de coordenadas el Laplaciano puede expresarse como:

En coordenadas cartesianas bidimensionales, el Laplaciano de una función f es:

En coordenadas cartesianas tridimensionales:

En coordenadas cartesianas en :

En coordenadas cilíndricas :

En coordenadas esféricas :

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En coordenadas ortogonales generales :

Donde son los factores de escala del sistema de coordenadas, que en general serán tres funciones dependientes de las tres coordenadas curvilíneas.

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4. Aplicación:

Supongamos una función genérica u = u(x,y). Desarrollada en serie de Taylor quedaría de la siguiente forma:

A partir de este sistema de ecuaciones se puede deducir una aproximación en diferencias de segundo orden para el Laplaciano. Sumando las ecuaciones nos da como resultado:

Despejando la suma de las derivadas parciales segundas de la ecuación (

), obtenemos la expresión del Laplaciano:

(1)

Esta ecuación es una aproximación del Laplaciano, con un error del orden de h2.

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A continuación se procederá a aplicar el método de las diferencias finitas para calcular el potencial V(x,y) en un dominio rectangular y con valores de frontera.

Se tiene el siguiente problema con valores de frontera:

Para simplificar el ejemplo se va a suponer a = b = 3 y h = 1.Con estos valores se puede hacer un grafico representativo:

Lo siguiente por hacer es discretizar la región:

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Los puntos marcados dentro del dominio son evaluados en el Laplaciano, aproximado por la ecuación 1.

Y se obtiene:

(2)

Despejando queda el siguiente sistema de ecuaciones:

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Se puede escribir con notación matricial como:

Quedando finalmente:

A modo de ejemplo, se tomaran valores de V1, V2, V3 y V4.

V1 = 0 V2 = 3 V3 = 0 V4 = 0

Reemplazando en la matriz resultante nos queda:

La resolución del sistema fue realizada con el Mathematica 6.0 y anexada al final del trabajo.

Los valores obtenidos son:

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V1,1 = 3/8 V1,2 = 9/8 V2,1 = 3/8 V2,2 = 9/8

Si reemplazamos en el sistema de ecuaciones 2, comprobamos que los valores obtenidos son soluciones del mismo (ver anexo).

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5. Conclusión:

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