LGEBRA

LGEBRA MANUAL DE PREPARACIN PRE-UNIVERSITARIA IDEA, DISEO Y REALIZACIN Departamento de Creacin Editorial de Lexus Editores LEXUS EDITORES S.A. Av. Del Ejrcito 305 Miraflores, Lima-Per www.lexuseditores.com Primera edicin, febrero 2008 Hecho el Depsito Legal en la Biblioteca Nacional del Per: 2008-01600 ISBN: 978-9972-209-44-4 EDICIN 2008

PRESENTACIN Si usted, estimado lector, considera que la matemtica es una de las materias de m ayor complejidad en los planes de estudio escolar, pre-universitario y superior, o desea profundizar y repasar temas y ejercicios que le permitirn el dominio pro gresivo y la maestra avanzada en el tema, ha abierto el libro apropiado. Desde si empre Lexus Editores ha desarrollado recursos metodolgicos tendientes a mejorar l a articulacin terica y prctica entre el nivel secundario y la universidad. Esta vez , ha deseado crear un manual educativo que sirva como herramienta de auto-evalua cin para los alumnos que se encuentran en etapa pre-universitaria. De esta manera , ellos mismos sern capaces de juzgar sus capacidades con vista a iniciar sus est udios superiores. Se ha tenido el especial cuidado de seleccionar un grupo altam ente calificado para la redaccin de esta obra, conformado por estudiantes univers itarios y docentes especializados, a fin de lograr un manual de preparacin pre-un iversitaria en lgebra en la que se destaca el desarrollo de complejos ejercicios, usando mtodos apropiados, fciles y amigables. Este manual conduce al lector de un a manera didctica a lo largo de la asignatura, pasando de lo ms sencillo a lo ms co mplejo, con numerosos ejercicios resueltos y propuestos, brindndole de esta maner a una base muy slida para que destaque durante su paso por las aulas universitari as, al ostentar adecuado conocimiento y dominio de la materia. Un DVD, producido con la ms alta tecnologa digital e infogrfica, acompaa esta obra, para demostrar al estudiante que lo dificultoso puede verse siempre en trminos entendibles y ameno s. Es prcticamente como tener un profesor en casa a tiempo completo. Los Editores

SUMARIO Pag. Conceptos Fundamentales 13 13 14 14 15 15 15 15 15 16 17 17 17 18 18 25 26 26 26 31 31 35 39 39 39 40 47 50 50 50 50 51 56 Expresin algebraica / Clasificacin de las expresiones algebraicas Teora de exponent es

Trmino algebraico

Divisin de potencias de bases iguales / Exponente cero Exponente cia de un producto / Potencia de un cociente Potencia negativa de un cociente / Potencia de potencia / Raz de una potencia

Raz de un producto Leyes de los signos e in / Divisin Potenciacin / Radicacin cin exponencial Ejercicios Resueltos Val Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuesto

Grado de las Expresiones Algebraicas Grado Grado de un monomio / Grado s Propuestos

Notacin Polinmica Polinomio Valor numrico de un poli cios Resueltos Ejercicios Propuestos

Polinomios Especiales Polinomio ordenado / polinomio completo Polinomio homogneo linomio entero en x Ejercicios Propuestos 59 59 59 60 60 60 68 70

Ejercicios Resueltos Expresiones Algebraicas

Suma y resta 70 Supresin de signos d 0 Ejercicios Resueltos 70 Ejercicios Prop gebraicas 74 Propiedades de la multiplicacin se presentan en la multiplicacin 76 Productos notables 7 Valor numrico de una expresin algebraica 82 Ejercicios ropuestos 88 Divisin algebraica / Definici la divisin 90 Mtodo normal Ejercicios Resueltos 92 Regla de Ruffini Propuestos 102 Teorema del resto o de Desca resto 105 Ejercicios Resueltos Divisibilidad Algebraica 115 115 Principios de la divisibilidad algebraica Ejercicios Propuestos Ejercicios Resueltos 116

Cocientes Notables Forma general de los coeficientes notables 126 Definicin 126 Estudio del tercer caso / Estudio del cuarto caso

Desarrollo del cociente notable 127 Reglas prcti e cualquier cociente notable Determinacin de un trmino cualquiera de un cociente n otable 128 Ejercicios Resueltos Factorizacin 136

Definicin / Mtodo para factorizar 136 Factor com polinomio 136 Factor comn por agrupacin identidades

Diferencia de cuadrados 139 Trinomio cuadra cubos 139 Ejercicios Resueltos Mtodo del asp esueltos Ejercicios Resueltos Aspa doble especial Ejercicios Resueltos 42 143

Mtodo de divisores binomios 149 Finalidad / Di Fundamento terico 149 Formas de factorizacin 149 Ejercicios Resu 52 Reduccin a diferencia de cuadrados 152 Ejercici

Mtodos de sumas y restas 153 Cambio variable roca Polinomio recproco cicicios Resueltos Factorizacin simtric in de expresiones simtricas Propiedad fundamental de o alterno Propiedades fundamentales de olinomios simtricos y alternos Factorizacin de un polinomio os artificios Ejercicios Resueltos 159 159 159 160 160 160 160 160 163 163 164 169 169 169 169 171 173 173 173 173 174 174 175 175 176 176 180 183 Mximo Comn Divisor y Mnimo Comn Mltiplo Mximo comn divisor Mnimo comn mltiplo

Fracciones Algebraicas Principales conceptos / Definicin Signos de una fr accin Simplificacin de fracciones algebraicas Suma y resta ropuestos Introduccin el Binomio de Newton

Factorial de un nmero 183 Propiedades de l 183

Variaciones / Permutaciones / Combinaciones Propiedades de rcicios Resueltos Desarrollo del binomio mino general Ejercicios Resueltos Pascal o de Tartaglia Ejercicios Propuestos exponente negativo y/o fraccionario Propiedades del desarrollo del binomio cicios Resueltos Ejercicios Propuestos 185 186 187 190 191 191 194 194 196 197 200 200 200 204 206 206 206 206 207 207 208 209 212 212 212 219 219 224 Radicacin

Principales conceptos / Definicin Elementos de una n monomio Raz cuadrada de un polinomio / R coeficientes indeterminados Raz cbica de polinomios / Regla prctic Races dobles / Concepto sencillos Ejercicios Resueltos cicios Resueltos Ejercicios Propuestos Operaciones con Races 227 227 227 227 227 228 228 228 234 234 235

Principales conceptos Valor Aritmtico de u cal Radicales homogneos / Homogenizacin de radicales ntal de los radicales Suma de radicales / Multiplicacin de radicales de radicales Ejercicios Resueltos onalizante Casos

Primer caso / Ejercicios Resueltos Segundo caso / E sueltos Cuarto Caso / Ejercicios Resueltos 235 235 237 238 240

Verdadero Valor de Fracciones Algebraicas 243 Principales conceptos 243 Formas singulares adas 243 243

Forma 0/0 243 Ejercicios Resueltos / Ejercicios Resueltos 249 Forma 0 . / Ejercicios estos 252 Cantidades Imaginarias y Nmeros Complejos 255

Principales conceptos 255 Cantidades imagin a, Potencias de la unidad imaginaria 255 Transformacin de la pot entero y positivo Ejercicios Resueltos efinicin Clase de nmeros complejos / Complejo r Complejos iguales Complejos conjugados / Complejos opuestos 255 256 261 264 264

264 264 264 264 265 2 Representacin grfica de trigonomtrica lejos / Propiedades de un complejo icios Resueltos un complejo Operaciones con

Representacin ca complejos / Suma de complejos Divisin de complejos Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos

Ecuaciones 277 Principales conceptos / Igualdad / Ecuaciones equivalentes Clases d / Igualdad absoluta / Igualdad relativa o ecuacin Clasificacin de las ecu rincipios fundamentales que permiten transformar las escuaciones Ecuaciones de pri rado con una incgnita / Discucin de la solucin Ejercicios Resueltos ltos Ejercicios Propuestos / Sistemas equivalentes Solucin del sistema ones Principios fundamentales para la trasformacin de si de eliminacin y resolucin / Mtodo de sustitucin Mtodo de igualacin / Mto s Resueltos Problemas Resueltos 2 287 290 290 290 290 290 290 291 292 298 304

Determinantes 307 Definicin Signos de un elemento te de segundo orden Determinante de tercer orden la regla de Sarrus Menor complementario de un determ erminante por menores complementarios Propiedades de los determinante s Resueltos Mtodo de los determinantes p aciones Regla de Cramer Discusin Resueltos Ejercicios Propuestos 310 317 322

Ecuaciones de Segundo Grado 326 Resolucin de una ecuacin de segundo grado con una incgnita 326 Deduc general 326

Discucin de las races de la ecuacin de segundo grado Propiedad ecuacin de segundo grado Forma de una ecuacin de segundo grado con Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuesto Ecuaciones bicuadradas Propiedades de las races de una ecuacin bicuadrada uacin bicuadrada Ejercicios Resueltos uaciones binomias y trinomias Ejercicios Resueltos ediante artificios / Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos iones de segundo grado / Ejercicios Resueltos Sistemas diversos / Ejercicios Res uaciones exponenciales Ejercicios Resueltos 327 327 327 327 335 339 339 339 339 340 340 343 343 345 350 352 356 358 359 360 Desigualdad e Inecuaciones 363 363 363 364 365 365 366 366 366 367 367 367 367 370 372 373

Desigualdades, definiciones importantes Propiedades de ios sobre desigualdades Clases de desigualdades una incgnita Solucin a una inecuacin os Resueltos Inecuaciones / Sistema de inecuaciones mas de inecuaciones con dos o ms incgnitas Ejercicios Resuelt gundo grado / Ejercicios Resueltos Inecuaciones irracionales / tos Ejercicios Propuestos

Progresiones 375 Progresin aritmtica (P.A.) o progresin por diferencia / Propiedades 37 cos o diferenciales / Definicin 375

Interpolacin de medios aritmticos Ejercicios Resuel rogresiones por cociente Representacin de una progresin geomtri os geomtricos o proporcionales / Definicin Interpolar medio eros dados . . Ejercicios Resueltos 376 376 379 379 380 380 380 385

Logaritmos 388 Principales conceptos / Definicin Ejercicios Resue iedades generales de los logaritmos Cologaritmo / Antil tema de logaritmos a otro Ejercicios Resueltos finicin Base del sistema de logaritmos definido por una logaritmos neperianos Sistema de logaritmos decimal piedades del sistema logaritmos Clculo de la manti almente negativo en otro parcialmente negativo y viceversa uma de logaritmos / Resta de logaritmos Producto de logaritmos / Multip divisin de logaritmos entre si Conversin de logaritmos decimales a logaritm rianos Conversin de logaritmos neperianos a logaritmos decimales ltos Ejercicios Propuestos 98 399 399 400 400 400 401 Inters Compuesto 404 404 405 Principales conceptos / Deduccin de la frmula Anualidades, Definicin Caso en que el tiempo es mltiplo del perodo de capitalizacin Anualidad de capitaliz acin (Ac) / Deduccin de la frmula 405 405

Anualidad de amortizacin (Aa) / Deduccin de la frmula 406 Ejerci Ejercicios Propuestos 413

L G E B R A CONCEPTOS FUNDAMENTALES El lgebra es la parte de la matemtica que estudia a la cantidad en su forma ms gene ral obteniendo generalizaciones sobre el comportamiento operacional de los nmeros . Estudia de esta manera, funciones numricas; para lo cual se emplea nmeros, letra s y signos de operacin. Como el estudio de una funcin conduce finalmente al plante amiento de una ecuacin o igualdad, se dice tambin que el lgebra es la ciencia que e studia las ecuaciones. Utiliza conceptos y leyes propias. Estos son analizados a continuacin: Es necesario aclarar que todas las expresiones que tienen nmeros y letras son exp resiones algebraicas; a excepcin de las ltimas tres, que reciben el nombre de func iones trascendentes y que son utilizadas muy a menudo en el clculo superior. Para una mayor ilustracin, indicaremos la definicin de las siguientes funciones trasce ndentes: Funcin exponencial.- Representada por una base numrica y un exponente lit eral, como por ejemplo: 7x (base = 7, exponente = x). Funcin logartmica.- Represen tada por el smbolo log. y que se toma en una cierta base a un determinado nmero. Eje mplo: logb N y se lee logaritmo en base b del nmero N. Funcin trigonomtrica.- Repre sentada por las funciones seno, coseno, tangente y sus complementos aplicados so bre un nmero real. Ejemplo: sen x, que se lee: seno de x. EXPRESIN ALGEBRAICA Es el conjunto de nmeros y letras unidos entre s por los signos de operacin de la s uma, la resta, la multiplicacin, la divisin, la potenciacin y la radicacin.(*) Ejemp los: Son expresiones algebraicas las siguientes: i) x CLASIFICACIN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS 2 2 2 ii) 4x iii) 4x + 5y + 7z _________ Segn el tipo de nmero o variable de sus exponentes, radicales o denominadores las expresiones algebraicas pueden clasificarse en: iv) ________________ 3x5 + 7 x2 - 5xy4 3x2y - 3xy7 No son expresiones algebraica s: i) 5x Expresiones Algebraicas ii) loga x iii) sen x (*)Las letras son empleadas tanto para representar valores conocidos o datos (en este caso; por convencin, se usa las primeras letras del a lfabeto) como valores desconocidos (se usa las ltimas letras del alfabeto). { Racionales Irracionales { Enteras Fraccionarias a) Expresin algebraica racional Es aquella que se caracteriza porque tiene expone ntes enteros o no tiene letras en su cantidad subradical (es decir, al interior de la raz). - 13 -

Ejemplos: i) 4ax2 + 5y3 + 7z4 ii) 4x -7 + 2y -3 + 11z -7 1 1 1 iii) x4 + x8 + x4 3 5 3 x2 4z2 2z3 iv) + + 2 3yz 7xy 9y4 NOTA: Ejemplos:

i) 5x1/2 + 7y1/3 + 8z1/5 ii) 4x -1/3 + 8y -1/5 + 7z -1/8 ________ __ iii) 4x2 + 5 y2 + 8 z 2 7 8 iv) + + __ __ __ x y z ___ v) 4x20 + 5y8 +7x14 + 9 xyz R ic s de l s expresiones lgebr ic s.

__ A , se lee r z n de A Donde n = ndice, A = c ntid d subr dic l .1) Expresin lgebr ic r cion l enter Es quell que se c r cteriz porque tie ne exponentes enteros positivos o no tiene letr s en su denomin dor. Ejemplos:

i) 2x2 + 5y7 + 12y15 1 1 1 ii) + + z4 3x 5y 4 iii) 4x2 y3 z4 - 8w4 t5 .2) Expr ebr ic r cion l fr ccion ri Es quell que se c r cteriz porque tiene exponen tes neg tivos o tiene letr s en su denomin dor. Ejemplos:

TRMINO ALGEBRAICO

i) 4x -3 + 7y -9 + 12z -4 1 2 7 ii) + + 2 3x 5y 4z 4x2 + 3y3 + 7z4 iii) z5 + 9t-2 b) Expresin lgebr ic irr cion l Es quell que se c r cteriz porque tiene exponentes fr ccion rios o tiene letr s en su c ntid d subr dic l. { { R cion les Exponente entero Subr dic l sin letr s Irr cion les Exponente fr ccin Subr dic l con letr s Enter s Exponente entero positivo Denomin dor sin letr s Fr ccion ri s Exponente entero neg tivo Denomin dor con letr s Es quell expresin lgebr ic cuy s p rtes no estn sep r d s ni por el signo ms ni por el signo menos. En otr s p l br s, un trmino lgebr ico es un monomio. Ejemplos: i) 4x2 ii) +5y3z4 iii) -3x4y5z8 - 14 -

Expresiones Algebr ic

Se entiende por c ntid d subr dic l interior del r dic l. De este modo: n

l p rte de un r z que se encuentr

en el

L G E B R A P rtes de un Trmino Algebr ico coeficiente

(-7) x4 exponente p rte liter l i) x5 . x7 = x5+7 = x12 TEORIA DE EXPONENTES L Teor de Exponentes tiene por objeto estudi r tod s l s cl ses de exponentes q ue existen y l s rel ciones que se d n entre ellos. L oper cin que permite l pr esenci del exponente es l potenci cin, l cu l se define s: ii) x8. x6. x-3. x-8. x12 = x8+6-3-8+12 = x15 iii) 2m+3. 2m+4. 24-2m = 2m+3+m+4+ 4-2m = 211 = 2 048 Divisin de Potenci s de B ses Igu les. Se escribe l b se comn y como exponente se escribe l diferenci de dichos exponentes. m = m-n n Ejemplos: POTENCIACIN Es l oper cin que consiste en repetir un nmero ll m do b se t nt s veces como f c tor, como lo indique otro ll m do exponente; l result do de est oper cin se le denomin potenci , y se represent s: Potenci = (b se)exponente Ejemplos: x8 i) = x8-3 x3 x12 ii) = x12-(-3) = x12+3 = x15 x-3 2m+3 iii) = 2m+3-(m-3) = = 26 = 64 2m-3 5x+2 . 5x+3 5x+2+x+3 52x+5 iv) = = 52x+1 52x+1 52x+1 = Exponente Cero. Tod c ntid d diferente de cero, con exponente cero, es igu l l unid d. As: 0 = 1, donde: 0 Ejemplos: i) 57 = 51 = 5 ii) 4 0 9 2 0 i) 27 = 144424443= 128 2.2.2.2.2.2.2 7 f ctores 2 ii) 55 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 3 125 14243 5 f ctores 5 iii) 46 = 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 4 096 1442443 6 f ctores 4 En gener l: n = . . . . . 1442443 n f ctores NOTA: Recuerdese que p r efectos del estud io lgebr ico, l b se es liter l y el exponente es numrico: x5, y4, z8, etc. = 42 1 = 42 = 16 0 iii) 24 0

LEYES QUE RIGEN A LOS EXPONENTES Multiplic cin de Potenci s de B ses Igu les. Se escribe l nte se escribe l sum de ellos. m. n = m+n Ejemplos:

b se comn y como expone

+ 57 + 87 0 = 2 + 5 + 8 = 15 - 15 -

Exponente Neg tivo Potenci Neg tiv de un Cociente.

Tod c ntid d diferente de cero, elev d un exponente neg tivo, es igu l un fr ccin cuyo numer dor es 1 y cuyo denomin dor es igu l l mism expresin pero con el signo del exponente c mbi do positivo. As: 1 -n = , donde: 0 n Ejempl os: 1 i) x-3 = x3 1 iii) 2-1 = = 0,5 2 Potenci de un Producto. Es igu l elev r c d f ctor dich potenci . ( .b)n = n. bn Ejemplos: i) ( . b)5 = 5.b5 ___ 2 ii) (3x ) = 3x2 iii) x4y4 = (xy)4 3x . 2x (3 . 2)x 6x iv) = = 6x 6x 6 ente. Se elev t nto el numer dor como el denomin dor dich potenci . ii) = 2b4 b4 -3 b5 iv) = b-5 3 2 Se invierte el cociente y l potenci se tr nsform en positiv . Luego, puede pr ocederse como en el c so nterior. () () = -n b bn Ejemplos: i) 1 -3 5 3 ii) = = 53 = 125 5 1

() () () () () () () () () () 2 -2 5 2 52 25 = = = 5 2 22 4 4 = 4 + 27 + 625 = 656

() Ejemplos: i) n n = b bn

RAZ DE UNA POTENCIA () () x x = y y4 4 4 x x ii) = y7 y 7

Se escribe l mism b se y el nuevo exponente es igu l ntes. ( m)n = m . n Ejemplos: i) (x2)3 = x(2)(3) = x6 = x60 iii) (x-3)-4 = x12 iv) (x-2)5 = x-10 Not : P r xponentes, se puede gener liz r l regl como sigue: { . s

l producto de los expone ii) [(x3)4]5 = x(3)(4)(5) el c so de tener muchos e [( m)n]r }s = m . n . r

1 -2 1 -3 1 -4 2 2 3 3 5 iii) + + = + + 2 3 5 1 1 1 Potenci

de Potenci .

() 7 Se escribe l b se y como nuevo exponente, l divisin del exponente de l potenci entre el ndice del r dic l. n 3 3 33 27 iii) = = 5 53 125 8n 8 n iv) = = 4n n 2 2 () __ p = n p _ - 16 -

L G E B R A Ejemplos: 10 __ _ _ 5 i) x10 = x 5 = x2 ___ ___ ___ ___ _ ___ __ 48 12 3 _ _ 4 ii) x48 = x 4 = 3x12 = x 3 = x4 ______ ____ _______ _______ _____ ____ _____ ____ _ _____ ___ _ 64 32 iii) x = x = x16 = x8 = x4 R z de un Cociente. Se extr e l r z t nto del numer dor como del denomin dor, y l uego se procede dividir est s r ces result ntes. __ __ n n = __ n b b 5

Ejemplos: _____ ___ 5 4 5 x20 x20 = i) = x ___ ii) 4 y35 x20 y7 _____ ___ 4 16 = = x20 2 ____ y35 625 4 5 Exponente Fr ccion rio Tod c ntid d elev d un exponente fr ccion rio es igu l l r z de dich c nt id d, cuyo ndice es el denomin dor de l fr ccin y el numer dor perm nece como exp onente. Por lo t nto: p _ n __ n = p Introduccin de un F ctor en un R dic l. Se multiplic el exponente del f ctor por el ndice del r dic l, de l siguiente form . __ n ______ n p b = pn . b Ejemplos : _ 5 ______ 5 ____ _ 5 i) x2 y = x(2)(5)y = x10y _ _ 3 _______ 3 ____ _ 3 i) x2 y2 = x(5)(3)y2 = x15y2 Ejemplos: 3 _ 5 __ i) 5 = 3 1 _ 3 __ ii) 8 3 = 8 = 2 __ 2 2 _ 3 iii) 64 3 = ( 64 ) = (4)2 = 16 LEYES DE LOS SIGNOS EN LAS OPERACIONES ALGEBRAICAS MULTIPLICACIN El producto de dos trminos de signos igu les es positivo, y de signos diferentes

Not : Cu ndo se tiene muchos r dic les, se puede gene-r liz r l regl e: _________ ______ ____ _ __ __ ___ 1 = mnsr = mnsr

como sigu

es neg tivo. ) b) c) [+] . [+] [-] . [-] [+] . [-] [-] . [+] = [+] = [+] = [-] = [-] RAZ DE UN PRODUCTO Es igu l extr er l r z de c d f ctor, y luego efectu r el producto. b = . b Ejemplo: ______ 5 ___ 5 ___ i) x10y25 = x10 . y25 = x2y5 5 n __ n __ n __ d) __ 7 __ 7 __ ii) xy = x . y 7 DIVISIN L divisin de dos trminos de signos igu les es positivo, y de signos diferentes es neg tivo: - 17 -

[+] ) = [+] [+] [-] c) = [+] [-] [+] b) = [-] [-] [-] d) = [-] [+] 1.- C lcul r el v lor de:

2x+4 + 36(2x-2) E = 2x+5 - 2(2x+3) - 4(2x+1) - 6(2x-1) Soluc que: m m+n = m . n ; m-n = n Aplic ndo l ejercicio: 2 2x . 24 + 36 22 E = ) - 6 2 Oper ndo propi d mente: 16 . 2x + 9 . 2x E = 32 .

= [+] = [+] = [+] = [-] ( ) x ( ) RADICACIN Si el ndice es imp r, el result do tendr el mismo signo que l c ntid d subr dic l . Si el ndice es p r y l c ntid d subr dic l es positivo, el result do tendr dobl e signo; positivo y neg tivo;pero, si l c ntid d subr dic l es neg tiv el resu lt do ser un c ntid d im gin ri , que no existir en el c mpo re l. ___ [+] ___ imp r b) [-] ___ p r c) [+] ___ p r d) [+] ) imp r

2.- C lcul r el v lor de: 4 43 8 3 E = [4(4-1)n]2 ( ) -n Solucin: Tr nsformemos el numer dor, p r escribir con b se 4: Not : P r efectos de estudio, se emple r, en el c so (c), r ces de ndice p r y c n tid d subr dic l positiv s; el signo ritmtico de l r z; es decir, el v lor posit ivo. (8 ) [ ] 4 _ 3 4 _ = (23)3 -n

= [+] = [-] = [ ] = c ntid d im gin ri

Se h ce el c mbio de 2x = , p r h cer ms simple l s oper ciones: 16 + 9 25 = = = 5 32 - 16 - 8 - 3 5 Rpt .: = 5

E

POTENCIACIN L potenci de un b se con exponente p r, siempre es positiv ; pero l potenci de un b se con exponente imp r, depende del signo de l b se: ) b) c) d) [+]p r [+]imp r [-] p r [-] imp r

-n = (24)n = (22)2 = 4 [ ] -n

Reempl z ndo en l expresin origin l: 43 . 4-2n 43 . 4-2n 43-2n E = = = n EJERCICIO RESUELTOS E = 43-2n(2-2n) = 43-2n-2+2n = 41 = 4 Sobre l s leyes de l teor de exponentes y los signos en l s oper ciones lgebric s. Rpt .: = 4 - 18 -

L G E B R A 3.- H ll r el v lor de l expresin: ___________ n 20n+1 E = 4n+2 + 22n+2

multiplic ndo potenci s de b ses igu les: 36 . 79 . 56 . 212 E = 36 . 79 . 5 ndo: 12 E = 2 = 212-11 = 21 = 2 211 Solucin: Tr nsform ndo el denomin dor: 4n+2 + 22n+2 = 4n+2 + 22(n+1) = 4n+2 + (22 )n+1 = 4n+2 + 4n+1 = 4n+1 (41+1) = 4n+1 . 5 reempl z ndo en l expresin, y tr nsf orm ndo el numer dor: __________ n (4 . 5)n+1 E = 4n+1 . 5 Rpt .: 2 5.- C lcul r el v lor de: E= [ ] 3 3 __ _ ___ _ 33 -6 3 _ _

oper ndo en el numer dor: __________ n n+1 n+1 E = 4 n+1. 5 1 4 .5 simplific ndo mponiendo l potenci : _______ __ n 5n . 51 n E = = 5n = 5n = 5 41 [ ]

luego, tr nsform mos los exponentes: 1 1 -1/6 31/2 3-1/6 - 3 2 3 1/3 3 3 E = (3) = (3) 1 - 6 1 1 1 1 1 3 - - 6 3 3 3 = (3) = (3) = 33 = 31 = 3

Rpt .: 5 = 4.- C lcul r el v lor de: 216 . 353 . 803 E = 154 . 149 . 302 Solu : ( . b)n = n . bn descomponemos en f ctores primos, p r plic r est ley: (3 . 7) (7 . 5) (2 . 5) E = (3 . 5)4 (2 . 7)9 (2 . 3 . 5)2 plic ndo l 3 . 212 . 53 E = 34 . 54 . 29 . 79 . 22 . 33 . 52 6 3 4 3 [ ] [ ] [ ] ( ) 3 E= Rpt .: 3 6.- Simplific r l expresin: {

Solucin: Escribimos l r z princip l en l form

exponenci l: -6 _ 3 3 E= _ 3

1 1 m-1 m(m3) 2 5 [ ]} -2 Solucin: Efectu ndo oper ciones: 1 E = (m-1)-2 (m1)5 [ ] {[(m ) ]} -2 1 3 2 1 -2 5 2 3 2 3 - - 2-- E = m2 . m 5 . m 5 = m 5 5 - 19 -

E=m 2 2+3 5 =m 2 5 5 = m2-1 = m1 = m Luego: n _________________ n Rpt .: m E= 7.- C lcul r: E= n ____ n+2 2 _________ n+1 2__ __ ____ n+2 4 4n [ 10n + 15n + 6n 1 = 10n + 15n + 6n (5 . 2 . 3)n ] (5 . 2 . 3)n 1 Simplific ndo: n n n E = (30)n = 30 = 301 = 30 Solucin: Tr b j ndo con el denomin dor: _____ ___ _____ n+2 n+2 4 4n = 4 . 4n/2 Rpt .: 30 9.- C lcul r: 2n+1 . 5n+1 - 2n . 5n E = 23 . 52 + 5n 1 _ n ___ __ n+2

= n+2 = 4 = 4 ___ ____ (2) = _2_____ = 2 n 1+ 2 n+2 2 2 n+2 n+2 n+2 [ ] Solucin: =2 n+2 ___ n+2

Sep remos los exponentes que p recen sum dos: 2n . 21 . 5n . 51 - 2n . 5n E = reempl z ndo, descomponiendo y simplific ndo: E= Rpt .: 2 8.- C lcul r: n ___ _ n 2n . 21 n = 2n = 2n = 21 = 2 2 [ ] 1 _ n

[ ] [ ] 1 _ n 9 b = 9b 1 _ n 1 _ = n _____________ E= n n

H g mos que: 2n = ; 5n = b: 10 b -

b E = 8b + b

10n + 15n + 6n 5-2 + 2-n + 3-n 1 n _ _ n n reponiendo: E = (2n) = 2 = 21 = 2 Rpt .: 2 10.- C lcul r: (3n + 6) veces (2n + 3) veces 6447448 Solucin: En primer lug r tr nsformemos el denomin dor: _____________ E= n n 10 + 15 + 6 1 1 1 + + 5n 2n 3n n n x.x.x..x x.x.x.x 1 E = 6 x.x.x..x x xn+2 1442443 [ ][ 6447448 ][ ]

D ndo comn denomin dor en el denomin dor de l r z: _________________ E= ( 10n + 15n + 6n 6n + 15n + 10n 5n . 2n . 3n ) [ ][ ][ ] - 20 -

(4n - 2) veces Solucin: C d

expresin se reduce: 1 x3n+6 x2n+3 E = x4n-2 x

L G E B R A

Que se puede escribir s: x3n x6 x2n x3 1 x3n+2n . x6+3 E = . . = 2 x3n x6 x2n x3 E = = = x9-6 = x3 x4n x-2 x6 Rpt .: x3 11.- Resolver: x-1 3 3 3 () () = () 4 4 4 3 3 () = () 4 4 x-1 -1/2 1 x-1- 2 2 2 igu l ndo los exponentes: x - - = 1 1 2 1 2 1 elimin do los denomin dores: _______ ____ 3x-7 ____ 3 23x-1 - 8x-3 = 0

2x - 2 - 1 = 4 2x = 7 Rpt .: x = 7/2 13.- H ll r el v lor de: ____ n+1 2 n 2 4-1 Solucin: Tr nspong mos trminos: _______ x-1 ____ ____ 3 3x-7 23x-1 = 8x-3 = 0 3x-1 x-3 ___ ___ 23(x-1) = (23)3x-7 3x-1 x-3 ___ ___ 2 3x-3 = 2 3x-7 -1 Solucin: Previ mente se oper en form p rci l: 256n+1 = (64 . 4)n+1 = 64n+1 . 4n +1 n+1 (n+1)(n-1) ____ n2-1 n2-12 n+1 n2-1 n+1 4 = 4 = 4 = 4 n+1 = 4n-1

Si igu l mos los exponentes (d do que son funciones exponenci les): 3x - 1 3x 9 = 3x - 3 3x - 7 (3x - 1)(3x - 7) = (3x - 3) (3x - 9) 9x2 - 21x - 3x + 7 = 9x x + 27 simplific ndo: -21x - 3x + 27x + 9x = 27 - 7 12x = 20 5 Rpt .: x = 3 12.Resolver: x-1 ___ _ 1 1 _ _ _ -1 n 4 = 4 = 4n = 4-n 1 n

n 64n+1 . 4n+1 . 4n-1 64n+1 . 4-n 3 () 4 Solucin: ___ 4 9 = 3 16

simplific ndo y efectu ndo: _______ 4n+1+n-1 4-n _____ n _____ n ___ n E = 42n-(-n) 2n+n = 43n E= 2

Reempl z ndo l s expresiones tr nsform d s, en l ___ E=

expresin inici l: _____________

n Tr nsformemos busc ndo un b se comn: 3 4 3 () () = () 4 3 4 x-1 1/2 E = 4 n = 43 = 64 Rpt .: 64 3n - 21 -

14.- C lcul r el v lor de: 2 2b 4 -b + 12 . 4 -b R = ____ -b 4 +b

x4 [ ] x 4 (63)x3 x4 3 _____ ] x

Solucin: L expresin se puede escribir s: 2 2b 2 2b 4 -b + 12 . 4 -b = + 4 -b 12 . 4 -b R =

[ n-1 _____ 3 (63)x3 = [ ] [ 6 3x3 __ 3 x = 6 x3 ] 1 x x x4 4 4 E = 6x = 6x = 6 Oper ndo convenientemente: R=4 2 - +b -b -b

Efectu ndo oper ciones, de x4

dentro h ci

fuer : ______ _____ _______ _______ E=

Reempl z ndo los equiv lentes en l x4

expresin propuest : __________ E=

Rpt .: 6 16.- C lcul r el v lor de: ________ _______ E=

y, efectu ndo los exponentes: 2 - -b 12 R = 4 -b + +b-2b 4 -b 4n-1 + 1 + 41-n + 1 + n-1 n-1 5n-1 + 1 1-n 5_______ +1 6n-1 + 1 + 61-n + 1 n-1 _____ ___ 7n-1 + 1 71-n + 1 Solucin: Des rroll ndo el c so gener l: _______ ________ n-1 Simplific ndo: R=4 -b -b

n-1 + 1 = 1-n + 1

n-1 Rpt .: 7 15.- C lcul r el v lor de: 3 81 n n-1 n-1 _______

+ 1

n-1

_____ ___ n-1 + 1 1 + n-1

n-1

n-1 + 1 -(n-1)

+1 _______ n-1 n-1

12 + = 4 + 3 = 7 -b 4

-b

+1 = = 1

12 +

+b 2b - 4 -b -b

= E= Solucin: [ 3 n _______ 216 n+1 3 3 ] 3 3 n Por convenir, se re liz l s siguientes equiv lenci s: 33 n = x n 813 33 = (34)3 + ( 33 )4 = x4 = 3(3 n 1 .3 ) n n+1 = 3(3 n . 3) = (33 )3 = x3 n 216 = 63

Por lo t nto, por n log : ___ _____ n-1 n-1 4 +1 =4 41-n + 5 ___ _____ n-1 n-1 5 51-n + 5 _______ _ n-1 n-1 6 +1 =6 61-n + 5 ___ _____ n-1 n-1 7 +1 =7

- 22 -

n-1 + 1 n-1 ___ 1 =

n-1 =

n-1 + 1 n-1

L G E B R A Luego: E = 4 + 5 + 6 + 7 = 22 Rpt .: 22 17.- Simplific r:

19.- C lcul r el v lor de: __ 7 -1 7 7 __ 7 7 7 E = E= Solucin: [( [ ] 7 )( ) ]

Resolviendo por p rtes: n n 2 2 4n2 3n2 x +x x3n (xn + 1) x2n = x2n __ 7 Si definimos 7 = x, luego: 1 _ 7 __ -1 77 = 77 = 7 = x 1 - 1 -7 1 1 7 = 7 7 = = = __ x 71/2 7 7 Solucin: Reempl z ndo: Reempl z ndo: n 2 4n2 x + x3n E = = 2 2 x2n + xn 2 3n2 x (xn + 1) 2 2 x4n (xn + 1) ____ 2n _ _ n = x2n = x n ( xx )7 E = x __ x n (7 _ ) 1 x 1 _ (7-x) x 7 7 = x -1 = x0 = 7 7 .7 7 Rpt .: x2 18.- Simplific r: _________________ _________________ ______ _________

n __________ ______ ________ ___ _ ________ n _ ________ n ___ E= Reponiendo el v lor de x: __ 7 E = ( 7 )7 = 7 Rpt .: 7 20.- Se l r el exponente de x despus de simplific r (h y n r dic les): xn xn 2 x x n3 n n4 xn n n

Extr yendo r z c d f ctor, sucesiv mente: __________ 4 n xn xn xn E = x . xn n3 E= Solucin: 4 x3 4 ___________ ________ _ _ __ _ __ 4 4 x3 x3 x3 _____________ _____ _ ______ ______ _ ___ _ __ _ _ n n n3 n4 nn x x E=x.x. x ____ _ __ _____ _ _ _ _ ___ 4 n n 4 n E = x . x . x . xn xn Suponiendo n = 1, se obtiene que: x3 = x3/4 = x 4 Suponiendo n = 2, se obtiene que: _______ ___ 4 ___________ 2 ______ _______ 4 4 4 4 3 x x3 = x3 x3 . 4 . x3 = x12 . x3 =x 15 16

4 __ 4-1 __ por lo que, l fin l se obtendr: E = x . x . x . x x = xn 1442443 n veces Rpt .: xn =x 42 - 1 4 2 - 23 -

Suponiendo n = 3, se obtiene: _______ ____ _______ 4 63 43-1 ___ 3 ___ __ ___ 4 4 4 3 3 3 63 4 3 4 3 x x x = x = x =x E= [( ) ] 6 10 n 1 _ n 6 = 10 bb Suponiendo n = 4, se obtiene: _________________ 4 ________ ____ _______ 4 43-1 _ __ 4 ___ ___ 4 4 4 3 3 3 3 255 4 4 x x x x = x = x Rpt .: 0,6 22.- Simplific r: __ b y, s sucesiv mente. P r n c sos se puede gener liz r como: E=x 4n-1 ___ 4n E= [ ] -b -b -b b b b b Solucin: Tr b j ndo con el exponente: 1 _____ __ __ __ -1 bb bb bb b b b

4n - 1 luego, el exponente es: 4n 21.- Simplific r l expresin: 2 . 12 30 6n + . 10n - 7n Solucin: Tr b j ndo por p rtes: 2n . 12n+2 2n(4 . 3)n+2 2n . 4n+2 . 32 = 9 . 6n 30n+1 (6 . 5)n+1 6n+1 . 5n+1 = = = 6n . 6 = 6 . 6n 5n 5n = 2(2 . 5)n = 2 . 10n 23 . 5 . (14) 23 . 5 . (7 . 2) = 6n E = 2 . 10n + 25 . 10n - 23 . 10n 4 (6)n E = 4 (10)n 1 _ n n n n n ( ) ( ) b = b =b [ n n+2 n+1 ]

1 n [( )] b 1 b b -b -b -b 0 -1 =b ( ) bb -b -1 =bb

A continu cin, h g mos que x = b-b , y reempl cemos en E: E = [bb ]b = bb Rpt .: b 23.- C lcul r: E=n ______________ ________ _ ____ 52n . 2n+1 + 50n . n+1 n2-1 n+1 _ __ _ __ 1/n 5-1 5-1 -x x -x . bx = bb = b1 = b Solucin: Oper ndo por p rtes: 52n . 2n+1 + 50n = (52)n . 2n . 2 + 50n = 25n . 2n . 2 + 50 n = (25 . 2)n . 2 + 50n = 50n . 2 + 50n = 50n . 3 5n . 8 - 5n+1 = 5n . 8 - 5n . 5 = 5n . 3 (n+1)(n-1) ______ 5 n+1 = 5 n+1 = 5n-1 __ 1 __ 1/n 5-1 = (5-1)(1/n) = (5-1)n = 5n n2-1 ___ [ [ ] ] 1 _ n (I) (II) (III) (IV) - 24 -

L G E B R A Reempl z ndo (I), (II), (II) y (IV) en E: 50 . 3 . 5n-1 5n . 3 E = 5-1 Solucin: 1 _ n [ n ][ ] n 1 _ 50 . 5n-1 5 = 5-1-n n n n-1 ( ) n __ 3 H ciendo x = 3 , por lo t nto x3 = 3 Reempl z ndo: ___ x x E = xx . x3 2 .5 .5 = 5-1-n 1 1 _ _ n n n+n-1+1+n n n 3n = [2 . 5 ] = [2 . 5 ] [ n n-1 ] [ n 1 _ ] 1 _ n [ 1 ] x3 1 . x Efectu ndo l s oper ciones neces ri s: = Rpt .: 250 [(2 . 53)n]n = 2 . 53 = 250

3 _ E = xx . xx [ 1 _ x ( ) ] x2 = (x ) x x2 [ x 3 1 _._ x x ] x2 24.- C lcul r el v lor de: E= [ __ 3 -1 3 __3 3 3 3 3 3 __ 3 __ ] __ 3 . 3 -1 3 = xx . x3 = x3 . 3 = 3 . 3 = 9 Rpt .: 9 3 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. C lcul r: ) 3 125 ____ _ ___ __ 2 ___ __ __ 2 2 _____ ____ __ _ _ _ ___ __ __ 2 2 2 b) 625 c) 25 d) 5 __ 5 e) 5 E=

[ ______ __ __ _ _ ___ __ 2 2 2 1 c) __ 2 ] 1 _ 2 4. C lcul r n en l igu ld d: ___________________ _ _______________ _______ __ _ _ ____ 32 93 3 3 3 3 x x x x = x 1444442444443 ( ) -1 ) 2 1 d) 2

__ b) 2 e) 4 n r dic les ) 6 5. Efectu r: b) 3 c) 5 d) 4 e) 8

J= __ c) 2 d) 2 e) 4 __ 5 ) 6 5 5 (3 ) ( ) ( ) () (__ 3 3) 1 _ 6 __ 3 b) 5 3 5 -2 ____________________________ _ ____________ _________ ______________ ______ 3 3 5 3

2. H ll r E = .b en l b 21/2

rel cin:

.b =2

) 1 1 b) __ 2

__ 6 c) 5 4 -6 5 -10 __ 6 d) 3 3 e) 5 5 3. Simplific r: __ 5 __ 5 __ 5 __ 5 __ 5 __ 25 __ 5 5 5 5 5 5 5 E = 5 5 2-1 6. Efectu r: 156 . 124 . 59 . 63 10 . 3 .5 11 13 4 ) 1

b) 3 c) 5 d) 2 e) 6 - 25 -

7. Efectu r: 1 4 1 - () 2 -1 E= [( ) ( ) 1 2 b) 1/4 E= b) x 1 + 125 c) 2 1 ( ) + (81) d) 4 -1 -3 - -16 1 2 ] 1 2 9. C lcul r:

_________________ _ ____________ _ _ ________ 4 4 3 x x3 x3 E = __ _______ 5 5 5 3 3 x x x3 __ 4 e) x 4 ) 1/2 8. C lcul r:

e) 3 ) 1/x

b) x c) x2 d) x3 { } x xx c) x2 xx - xxx x 2xx x x x __ d) x [ ] 2 10. H ll r l sum de exponentes de l s v ri bles x, y, z despus de simplific r:

b) b c) c ) 1

e) xx

d) 1 e) 0 ECUACIONES EXPONENCIALES Son igu ld des rel tiv s cuy s incgnit s p recen como exponentes. Se entiende po r igu ld d rel tiv quell que se verific p r lgunos v lores que se le si gne sus incgnit s. Ejemplos de ecu ciones exponenci les: i) 5x ii) 23 8x EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Resolver: ( )( ) Solucin: 3 2 2 x 9 4 x 8 27 x-1 2 = 3 2 = 3 Tr nsform ndo l s potenci s: = 125 = 512 -x [( )] [( )] . 2 3 3 45 x-1 iii) A [ ] x 2 4 = A16 Efectu ndo oper ciones e invirtiendo l potenci : 3 ( ) {[ ( ) ] } = () 2 3 2

)

___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

b c yb c

b

x zc E= b zc x y

2x SOLUCIN DE UNA ECUACIN EXPONENCIAL Es el v lor o v lores que verific n l igu ld d rel tiv . Ejemplos: i) 5 = 125 x = 3, d do que: 5 ii) 7 x+1 x 3 3 2 -1 3 x-1 -1 = 125 2+1 = 343 x = 2, d do que: 7 = 7 = 343 3 ( )( ) ( ) 3 3 () = () 2 2 2x-3x+3 -1 3 2 2x 3 2 -3+3 3 = 2 -1 P r obtener l solucin se debe tener en cuent : 1) L s b ses de l s potenci s de ben ser igu les. 2) P r que h y igu ld d, los exponentes de l s potenci s, com o consecuenci , deben ser igu les. En resumen: Si Am = An m = n Igu l ndo los exponentes: -x + 3 = -1 x=4 Rpt .: 4 2.- Resolver: 3x + 3x-1 + 3x2 + 3x-3 + 3x-4 = 363 - 26 -

L G E B R A Solucin: Tr nsform ndo l s potenci s: x x x x 3x + 3 + 32 + 33 + 34 = 363 3 3 3 3 Solucin: Efectu ndo oper ciones: 58 x . 4-x = 516 60 igu l ndo exponentes: 8x . 4-x = 1660 tr nsform ndo:

h ciendo y = 3x, se obtiene: y y y y y + + + + = 363 3 9 27 81 elimin do denomi es: 81y + 27y + 9y + 3y = y = 363 . 81 reduciendo: 121y = 363 . 81 363 . 81 y = 121 = 243 pero: y = 3x = 243 = 35 x=5 Rpt .: 5 3.- Resolver: 9x+2 = 9x + 240 Solucin: Descomponiendo l s potenci s: 9x . 92 = 9x + 240 h ciendo: y = 9x 81y = y + 240 de donde: y = 3 Sustituyendo en ( ): 9x = 3 o: x = 1/2 Rpt .: 1/2 Solucin: 4.- Re solver: 9 =9 x 1/2 (23)- (22) x x = (24) 60 23x . 2-2x = 2240 23x-2x = 2240 2x = 2240 x = 240 Rpt .: 240 5.- Resolver: ( ) Solucin: 1 4 ( ) 1 2 4x = 0,7071 1 2 - Obsrvese que: 0,7071 = 2 = = 2 2 2 __ 1 _ 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) de donde: 4x = 41/2 1 luego: x = 2 Rpt .: 1/2 6.- Resolver: xx = 3 3

1 4 ( ) 1 2 4x 1 = 2 1 2 1 1 = = 4 4 1 4 ( ) 1 2 2 1 = 4 ( ) 1 2 1/2 4 H ciendo el c mbio de v ri ble: [5 ] -x x 4 8 =5 1660 y = x3 ( ) - 27 -

Extr yendo r z cbic : __ 3 __ 3 x3 = y __ 3 x = y (b) 8.- C lcul r el v lor de n: _________ n-1 xn + xn +5 = x5 xn + xn+5 2 2 Solucin: Descomponiendo l s potenci s: _____________ n-1 reempl z ndo ( ) y (b) en l ecu cin inici l: ( 3y )y = 3 o, t mbin: __ xn + xn . x5 = x5 xn + xn . x5 2 2 (y ) = 3 1 3 y 3 y f ctoriz ndo los numer dores y denomin dores: ___ __________ n-1 y =3 xn (1 + x5) = x5 xn (1 + x5) ___ __ _ 2 2 Elev ndo l cubo, se tendr: yy = 33 de donde: y = 3 reempl z ndo en (b): __ x = 3 3 n-1 xn = x5 xn ____ n-1 xn2-n = x5 n(n-1) ____ x (n-1) = x5

__ 3 Rpt .: 3 7.- Resolver: xn = x5 luego: n=5 x 33 39 [5 ] Solucin: = 59 9 Rpt .: 5 9.- Resolver l siguiente ecu cin exponenci l: 3 = 27 Solucin: Como 27 = 33 entonces: x 3 x-4 9 Efectu ndo oper ciones: 9 3 9 53 . 3 = 59 x o: 5 de donde: 3 x 9+3 x 9+3 3 = 5 9 9 33 = (33)9 = 33.9 igu l ndo los exponentes: 2 9 18 x x-4 x-4 = 9 = (3 ) = 3 9 3x = 3 . 9x-4 = 3 . (32) 3x = 32x-7 x-4 = 31 . 32x-8 = 32x-7 igu l ndo los exponentes: 9 + 3 = 18 3x = 9 = 32 luego: x = 2 Rpt .: 2 x igu l ndo los exponentes: x = 2x - 7 x=7 Rpt .: 7 - 28 -

L G E B R A

12.- Resolver: b donde : b = xx n-x x =x n x x x x ( ) x-x x2

Solucin: Reempl z ndo b en l ecu cin: (xx ) x xn-x __ -3 = 2 x2 . x-x igu l ndo los exponentes: ___ x2 . x-x = 2-3 x2-x = 2-3/2 = (2-1) 3/2 = xx n xx Efectu ndo oper ciones: xx x . xn-x 1 = 2 2 1 - 2 ( ) 3/2 = xx = xx n xx xx x+n-x n xx n xx 1 x2-x = 2 por comp r cin: 1 Rpt .: 2 11.- Resolver:

=

10.- Resolver l siguiente ecu cin exponenci l: __ x-x [( x)x] = tu ndo oper ciones: ___ 1 3 2

1/8 Solucin: Efec

( ) xx = xx igu l ndo exponentes: n 1 x = 2 xn = x n xx igu l ndo exponentes nuev mente: n = xx n Solucin: n

Elev ndo l n potenci e interc mbi ndo los exponentes: nn = ( xx de qu se obtie ne: xn = n de donde: __ n Rpt : n 13.- Resolver: x x - 18 18 = x-1 . 12 18 n n ) = (xn) xn

Elev ndo l potenci n mbos miembros de l igu ld d: x + 1 = (b2 )n + x (b2 )n + xn bnxn + bn n = b2n n + xn tr nsponiendo trminos: bnxn - xn = b2n n bn n xn (bn -1) = bn n (bn -1) simplific ndo: xn = bn n xn = ( b)n x = b Rpt .: b n n __ n x = n Solucin: Tr nsform ndo los exponentes neg tivos en positivos: x 1 1 = . 12 18 x 18 18 - 29 -

xn +

n 1 = (b2 )n + xn b

tr nsponiendo: x x 18 Solucin: Tr nsform ndo decu d mente: 1 4x 3x 4x - = 3x . 3 2 - 1 1 2 2 3 4 1 x = 18 18 x . 12 = (18 . 12) 18 x x x = (32 . 2 . 22 . 3) 18 = (33 . 23) 18 x = (3 . 2)3 efectu ndo: x=6 6 x [ ] 18 x

Tr nsponiendo trminos neg tivos: 3x 4x 4x + = 3x . 3 2 + __ 2 3 __ 1 1 __ ( ) ( ) 1 elev ndo l : x x por lo t nto: x=6 Rpt .: 6 14.- Resolver: (bb . x)x = bb Sol ucin: Elev ndo l potenci bb: (bb . x)b luego: (bb. x) bb . x b.x 1-b 1 x = 6 6 1

x 3 + 1 3 __ 4x = 3 2 3 ( ) ( )

3 4 4x . = 3x . __ 2 3 8 . 3x 4x = __ 33 4x 8 43/2 4 = = = bb 1-b+b x 3/2 ( ) 3/2 = bb 1-b . bb = bb 3 Rpt .: 2 16.- Resolver: 2 - x 9 3 x = 2 = bb identific ndo exponentes: b b . x = b ; x = bb b 2 + x 9 2 () - x2 9 2 x = b1-b Rpt .: b1-b 15.- Resolver: 4x - 3 x1 2 1 +x m3 = 1 -x m3 = m2 Solucin: Tr nsform ndo frmul s exponenci les: 1 1 +x -x 3 3 2 2 2 -x +x 9 9 (2/9)2 - x2 m =m . m = 3 x+ 1 2

- 22x-1 - 30 -

L G E B R A de qu: 1 +x 3 2 -x 9 1 -x 3 2 +x 9 VALOR NUMRICO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS + 2 2 2 2 m =m ( )-x 9

igu l ndo exponentes: 1 1 + x - x 3 3 2 = + 2 2 2 2

EJERCICIOS RESUELTOS 1.- H ll r el v lor numrico de: 1 -() 2 ( )( )

Elimin do denomin dores: 1 2 1 2 ( + x)( + x) = ( - x)( - x)+ 2 3 9 3 9 Efectu ndo ciones: 2 x 2 2 x 2 + + x + x2 = - - x + x2 + 2 27 3 9 27 3 9 elimin nd oniendo: x x 2 2 + + x + x = 2 3 3 9 9 elimin ndo denomin dores: 3x + 3x + 2x + 18 10x = 18 Rpt .: 1,8 x = 1,8 E= E= ( ) ( ) ( ) 1 z 1 - y 1 + x ( ) 1 z -1 ( ) 1 - y -1 1 - x ( )

p r : x = 4, y = 2, z = 3 Solucin: Reempl z ndo los v lores sign dos: ( ) ( ) ( )

Se denomin v lor numrico de un expresin lgebr ic l v lor que tom dich sin cu ndo se le sign determin dos v lores sus letr s.

expre

1 3 -3 1 3 ( ) 1 3 -1 1 - 2 ( ) 1 - 2 -1 1 + 4 1 - 4 ( ) 1 () 2 Efectu ndo oper ciones y tr nsform ciones: __________________________ =

17.- Resolver l ecu cin exponenci l: 1 xx = __ 4 2 Solucin: Tr b j ndo con el se miembro: 1 _ 1 _ 1 4= x = 2 x 1 _ 1 _ 8 1 _ 2 8 ( ) 1 - 2 ( ) ( ) -2 1 + 4 1 - 2 = = Rpt .: 5 _________________ (3)3 - (2)2 + (4)1/2 27 - 4 + 2 = 25 = 5 ( ) [( ) ] ( ) = [( ) ] 1 4 2 1 _

4 1 = 4 1 16 1 x = 16 x ( ) 1 16

como consecuenci : 1 x = 16 1 Rpt .: 16 [

1-b ] 2 - 31 -

1-

2.- C lcul r el v lor numrico de: b + b

E = 1+ 1+b

b + b p r : b = 2 y b

Solucin: Tr nsform ndo previ mente: - -b Solucin:

[ ][ 2 2

b -b ] 2

[

][ ] 2 Tr nsform ndo el numer dor y denomin dor sep r d mente: _______________ ________ ___ _____ __ __ 36 __ 3 3 2 3 x x x x = x43 = x43/36 _____________ _________ _ _ __ 1/2 ___ _ __ 9 __ 3 3 x x x x = x31 = x31/9 reempl z ndo: 43 x 36 E = 31 x9 1 22 + 2 E = 1 1 2 2 + 4 [ ][ ][ ] ( ) 1 2 1 __ 4 + 2 4 = = 1 2 2 + 4 2 [] 81 36

1

1 b

b

1 1 ( b) + (b ) 20,5 + (0 5) 2 E = =

-

b ( b) b + (b )

b . b + b .

b(b ) + b ( ) E = =

b

b b . b + b

.

b

2

1 - 9 = [ 43 31 - x 36 9 ] [ 1 - 9 43 - 124 = x 36 ] 1 - 9 = x [ ] 1 - 9 = x(36)( 9 ) 81 1 1 4 = x 4 = x 16 E = = 8 2 Rpt .: E = 8 3.- H ll r el v lor numrico de: E=x Solucin: Tr nsform ndo l expresin: x x E = xx . x x+xx x xx . xx = xx . x x x+xx xx+x ___ 4 E = 16 = 2 Rpt .: E = 2 5.- C lcul r el v lor numrico de: x ; p r : xx = 2 E = xxy si se cumple l s condiciones siguientes: (xxx) xx) x (x = (xx ) Solucin: x yb = 2 xby = 2b (1) (2)

Reempl z ndo el d to: (2) E = (2)(2) = 24 = 16 Rpt .: E = 16 4.- H ll r el v lor numrico de: __________ ____ _ ______ __ __ _ ___ ______ _ 3 3 x _____ x___ __ x2 3 x4 ___ _ E = ____ _ __ _ _ __ _ __ 1/2 __ __ _ 3 3 x x x x p r : Multiplic ndo (1) . (2): x +b . y +b = 2 +b de qu: xy = 2 (3) 1 2

[ ] Dividiendo (1) entre (2): x -b = 2 -b y -b x = 2 y - 32 -

L G E B R A

Luego, se deduce que: x = 2y Sustituyendo (4) en (3): (2y) (y) = 2 2y2 = 2 Susti tuyendo en (4): x = 2y Por lo t nto: E = (x)xy = (2)2 .1 = 4 Rpt .: E = 4 6.- C lcul r el v lor numrico de: ________ x+b 2 - 2bx E = x-b 2 + 2bx _____ _ p ___________ ________ 2 ( - 2bx) (x + b)2 E= ( 2 + 2bx) (x - b)2 x = 2(1) 7.- C lcul r el v lor numrico de: E= x p r : xx = 2 Solucin: Tr nsform ndo l expr esin: +1 x-1 - x +1 x . xx . x 5xx xx x . x x(x 5xx [ x-1 - 1) +1 ] E=x E=x [ ] = x x x . xx - x + 1 5xx [ ] x x x . xx - x + xx 5x ( ) = x5x x xx+x -x . xxx E = x5x x xx . xxx el orden de los f ctores exponentes no lter el producto y s c ndo 5: E= [( xx xx ) xx 5 xx

]

Reempl z ndo xx = 2 se obtiene: E = [(2)2] = 210 = 1 024 Rpt .: 1 024 8.- C lcul r el v lor numrico de: _____ _____ bb + x + x b + x E = __ xx __ 3 ctoriz ndo y efectu ndo: _____ _____ ___ (b + x = (b +__ 3 ) (x + b) x _____ _____ __________ 3 3 5 xx

Solucin: Introduciendo f ctores: Oper ndo el cu dr do c d expresin: _____________ __ _______ ____ 2 2 ( - 2bx) (x + 2bx + b2) E= ( 2 + 2bx) (x2 - 2bx 2 - b2 reempl z ndo: ______________________ _ ________ ( 2 - 2bx) ( 2 - b2 + 2 bx + b2) E= ( 2 + 2bx) ( 2 - b2 + 2bx + b2) ________ _____ _____ .: E = 1 = b+x b x x () = ( + 1) - 33 -

Reempl z ndo x: 3 3 __ ______ __ b2 + (c + d)2 + 2 = + c + d + E = b b c +d 10.- C lcul r el v lor numrico de E = x+y, en l siguiente ecu cin: __ n-y bn-1 1 b E= E= E= E=

[ ] [ ] ] [ [ ] b + 1 __ 3 b 2 __ 3 __ 3 b2 - 2 __ 3 __ b2 - 2 3 __ 3 __ 3 __ b2 - 2 + 2 + 1 __ 3 2 3 3 Solucin: Efectu ndo oper ciones en el primer miembro: n-2

.b 1 n-1 - n-1 n-2

= .b n2-2n+1-1 n-1 __ 3 b2 __ 3 2 3 n-2

(n-2) n-1

n-2 n-1

1 1 - n-1

1 =

.b n(n-2) n-1

1 n

b Rpt .: E = 9.- C lcul r el v lor numrico de: _____________ ________________ ( + b)(b + c + d) + + b) ( + b + c)(c + d E = b cd ___ Efectu ndo oper ciones se obtiene: _______________________ b + c + d + b2 + b c + bd E = b ____________________________ (c + d)2 + b + c + b

Por lo t nto, se puede deducir que: 1 1 = n-1 n-y n-y=n-1 y=1 Del mismo modo, t m deduce que: 1 n x + = n-y n-1 1 n x + = n-1 n-1 1 n x + = - 34 -

.

n-y

Igu l ndo el segundo miembro: n-1 . b n-1 = bx . 1 n 1 1 1 x + n-y

=

n-1 . b n-1

n-y . b n-y = b

b2 b =

2

L G E B R A

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. C lcul r el v lor de: ____________ ____ n 9n+1/4 3n-2 E= __ 1 r: ______________________ __ -1 m m 2m+3 . 72m+1 - 2m+1 . 72m J = . _ ___ m m ) 3 b) 9 c) 27 d) 3m e) 1 [ m-1 m d) 27 e) 81 2. C lcul r el v lor de: __ m 1 xm + x E = m m+1 ______ __ m+1

] m2-1 [ x-y] -x-y [y-x] -y-x b) yx c) y d) x-y e) yx p r x = ) 1 mm c) m __ d) m e) m m+1 b) m C= ) 1 n-1

3. Simplific r l

expresin:

7. Si xy = yx, c lcul r: 2xy-x G=

) x 8. C lcul r:

10n-1 + 6n-1 + 15n-1 -1 -1 -1 (2n-1) + (3 E= ) x2 [ ] 1 1- x _____ ____ ___ x x+1 (x ) x2- 1 x-2

b) xx __ x c) x 2 2 d) 1 e) x ( )

d) 2 e) 4

5. Simplific r: 10. Simplific r: _ -1 _________________ _ _ x x x __ x-1 -1 E= xx x __ __ __ ) x b) x c) 1 d) xx e) x5 ( ) ( ) n -12n n-1 n-1 ( b)-1 b{( b)3} E = -2n m 2n 1 1 1 __ __ m _ _ {[

e) -

4. Simplific r l expresin: 1 _______________ _________ = . -2 __ ) b) 2 c) d)

9. C lcul r: _ _ __ 2 -1 2 R= 2 __ 2 1 _ __ -

) 1/2 b) 2 c) 2

___

-

2

-1 y

{ [ 1 1 2 5 ][ ]} d) 1 ]} -2 11. Simplific r: ) b b) b b

_____ __ x . (x ) (x __ . ) 3 x2x-3 R = __ -n __ ______ __ [ n-1 ][ ] ( ) d) x e) 1

) x6

b) x9 c) x3 - 35 -

e)

1 c)

12. Simplific r: 4 -1/16 2 3 -11/6 2 3 -1 2 2 -2 17. Efectu r: 1 _____ __ 2 43 3 _______ _____ 3 ___ 4 8 27 1 - 2 1 6 ( ) ________ _____ __ 3 43 3 ___ _____ ___ 4 9 64 27

[ 3

] [ ] . d) 13 _ 7 ___ _ -1 7 -77 __ -12 ________ __ _ _______ _ _____ __ 3 3 -4 27 A= [ ] [ ] b) 1/3 c) 1/9 d) 1/4 e) 2 ) 10 13. C lcul r:

c) 12 e) 1 ) 1/2

y= ) 7 [ ] [ ] 7 ___ 7 ___________ __ _ __ _ 7 18. C lcul r: ________________ _____ _ __________________ _ ____ 7

_______ ____ _ _ ______ _ _ ___ __ ___ __ 3

{[( ) ] } .

. { [ (

) ] } L =

b)

8

7 7 b) 1 __ c) 7 d) 49 e) 343

32n + 8 16 90n - 32n + 16n + 25n-8 + 1 5 62n 8n + 4n C = _________ n 14. Se l r el exponente de x, despus de simplific r: __ 72 4 x ___ d) -2 ) 1

b) 0 c) -1 e) 1/2 6x __ 8 x __ P = __ 9 3 x __ x . x ) 3 15. Efectu r: b) 2 c) 4 [ ] ) _ 4 _ 3 4 19. Expres r en form simplific d : ____________________________ _ _____________ ___________ __________________ __________ ______ __ n n-1 n-2 3 L= x x x x x2 x __ __ __ n 2n ) xn x b) xn-1 x c) xn-1 x __ _ n2 d) xn2 e) x d) 1

J = _ 1_ _ (6 + 3 - 2 ) 2 _ _ 3 2 ) 2 b) 3 16. Efectu r:

e) 5 20. Simplific r l 16 - 30

expresin:

( [ ] [ ] [ ] _ c) 6 6 _ 2 _ 4 4 _ 3 _ 2 4 _ d) 2 6 _ e) 6 2 ) x -1 1 -1 x E= x __ 1 b) x c) x2 d) x [ ] 1 x x x-x 2x2 ____ _ __ _______ _______ ___ ___ ____ __ e) 1 R= { 1 -1 1 -2 1 -2 1 - (3) + + 2 3 2 . 3 1 -1 -1 1 - ( ) 2 1 -1 -1 -1 [( ) ( ) ( ) ] ( ) ] ( ) b) 16 c) 4 d) 9 [ ( ) } -2 21. Resolver l ecu cin exponenci l: _ ____ __ 2 = 2 __ 3

__ ) 1 2 b) 2 2 c) ) 25

e) 81 1 d) 2 e) 2 - 36 -

L G E B R A 22. H ll r el v lor de x y n en l siguiente igu ld d: =2 __ b) x = 2 n=2 e) x = 2 -8 n = 1/8 x n .x .. x x -2 28. Resolver y d r el v lor de y en: (2x)x+y = (y)2x+y x 2x (2x) = y ( ) y ) x = 2 n = 1/4 d) x = 2-5 n = 2-2

c) x = 2-8 n = 2-2 ) -3 4 29. Resolver:

9 b) 16 3 c) 4 -9 d) 16 9 e) 4 x2x-1 = 2 1 ) 2 30. Resolver: d) 81 e) 243 ) 2 22x+2 - 2 . 32x+2 = 6x b) 1 c) 2 1 d) 2 e) -1 2 1 b) 4 1 c) - 2 1 d) - 4 1 e) 16 23. C lcul r x en: ________ ) 27 n xn + 9n 1 = 81n + xn 3 c) 3 b) 9

24. C lcul r x despus de resolver: _ _____ 4 6 561 . 12x = 6x 1 ) 4 b) 4 c) 9 1 d) ) 16

. 4 x-x . 4 -x-x . 2 xx

25. C lcul r el v lor de despus de resolver:

31. Si E = 16, c lcul r x siendo: E=4 .4 xx -xx

) 2 b) -2

= bb b = 2 siendo

b. 1

) 2 b

2 1 c) 4 d) 8 e) 4 c) 3 d) -3 e) 4

( )( )( ) d) u9 e) u11

26. Resolver y d r un v lor de x en: (3x + y)x-y = 9 x-y ____ 324 = 18x2 + 12xy + 2 y2 ) -3/4 b) -9/4 c) 5/4 d) 3/4 e) 9/4 33. C lcul r el v lor de A = xyz si: (0,1)0,4 (0,2)0,3 (0,3)0,2 (0,4)0,1 = 2x . 3y . 5z ) 0,1 b) -0,1 c) 0,12 d) -0,12 e) 1/5 34. C lcul r el v lor de n en: 27. Resolver l ecu cin exponenci l: x __ 2 b) 2 2 x2x

{[ ] [ ] } 81 -8 -3 -1 -2 + 27 -9 -2 -1 -4 n __ 4 = 3 2 1 d) 9 1 e) 8 __ ) 2 1 c) 2 1 b) 3 1 c) 4 - 37 -

=4 d) 2 1 e) 4 1

) 2

_____ _ ____ __ __ _____ c

b

32. C lcul r el v lor de: _______ _ _____ __ _ _ __ __ _ __ _ __ __ _ __ _ F= b c b c si bc = u8 ) u3 b) u5 c) u7

35. H ll r el v lor numrico de: ___ _____ _ _ __ __ ____ 5 3 xx x R = ______ _ r x = 260 d) 32 e) 2 39. C lcul r el v lor numrico de: _________ _____ _ _ ________ -3/2 5 ) 4

b) 8 c) 16 36. C lcul r Y = x-X , si se cumple que: x __ 5 b) 5 5 xx 5xx

_ 8 -2b-12 C = 1 1 - 2 2 2

(

) e) 12 = 3 125 1 c) 5 p ) 5

d) 5 5 e) 5 -5

3

-1 d) 6

. p r

= 2 b = 6 ) 4 b) 2 c) 8

40. H ll r el v lor numrico de: E = 223 . 156 - 223 . 134 - 22 . 119 + 104 . 8 103 . 30 ) 25 b) 32 c) 30 d) 7 37. C lcul r el v lor de E = P _ __ x si x =2 ) 64 b) 32 y _ x _ x P = x x e) 0 c) 16 d) 4 e) 2 1)C 7)C . CLAVE DE RESPUESTAS 2)A 8)C 14)D 20)B 26)C 32)E 38)C 3)E 9)A 15)E 21)B 27)A 33)A 39)B 4)C 10)D 16)A 22)C 28)E 34)C 40)C 5)D 6)E m 38. C lcul r L = siendo: n __ . . __ 10 . 11)C 12)D 17)D 18)A 23)A 29)B 24)B 30)C __ _ m = 10 __ ) 10 10 __ 5 n = 5 c) 2 _.. _ 5 13)B 19)C 25)C b) 10 d) 5 1 e) 5 31)A 37)D 35)A 36)C - 38 -

L G E B R A GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS GRADO Es un c r cterstic s de l expresin lgebr ic , que viene d dos por el exponente de sus letr s, el cu l debe ser un nmero entero y positivo, y permite determin r el nmero de soluciones de un ecu cin. Puede ser de dos tipos: rel tivo y bsoluto . El primero se refiere un sol letr y el segundo tod s sus letr s. cu ndo tiene 2 trminos; trinomio cu ndo tiene 3 trminos, etc. Gr do Absoluto de un Polinomio (G.A.P.). Est d do por el trmino que tiene m yor gr do bsoluto. Gr do Rel tivo de un Polinomio (G.R.P.). Est d do por el trmino de m yor exponente de l letr referid en dicho polinomio. Ejemplo: Determin r los gr dos del siguiente polinomio. P = 4x4y3z5 + 8x5y4z6 + 9x6y2z8 Solucin: Como no se especific qu gr d o debe d rse, se obtendrn los dos gr dos: bsoluto y rel tivo.

GRADOS DE UN MONOMIO Monomio. Es l mnim expresin lgebr ic que tiene un slo trmino lgebr ico. Como to d expresin lgebr ic tendr dos gr dos que son: Gr do Absoluto. (G.A.). El gr do bsoluto de un monomio est d do por l sum de los exponentes de tod s sus letr s . Gr do rel tivo. (G.R.). Est d do por el exponente de l letr referid dicho monomio. Ejemplo: Determin r los gr dos siguiente monomio: M = 45x7y8z4 Solucin: Se debe d r como respuest los dos gr dos es decir, el gr do bsoluto y el rel t ivo. 1) G.A.M. = 7 + 8 + 4 = 19 Gr do (1) Absoluto = de P { G.A. de 4x4y3z5 es 12 G.A. de 8x5y4z6 es 15 G.A. de 9x6y2z8 es 16 Luego: G.A.P. = 16 2) G.R.M. = {

GRADOS DE UN POLINOMIO Polinomio. Es un expresin lgebr ic que tiene 2 o ms trminos lgebr icos; recibe el nombre d e binomio {

- 39 -

Gr do Rel tivo con respecto x = 6 (por ser el m yor exponente) Gr do Rel tivo con respecto y = 4 (por ser el m yor exponente) Gr do Rel tivo con respecto z = 8 (por ser el m yor

GRx = 7 con respecto (2) Rel tivo = de P

x GRy = 8 con respecto

y GRz = 4 con respecto

z Gr do

EJERCICIOS RESUELTOS y 3b Solucin: m-1 + m - 5m-4 4 6 3 1.- H ll r y b si el Gr do Absoluto del monomio es igu l 17, y su coeficiente ti ene el mismo v lor que el Gr do rel tivo con respecto x. Siendo el monomio: M = ( + b) x Solucin: DATOS: i) G.A.M. = 17 Efectu ndo: 2 - 2 + 3b = 17 Luego por e l enunci do (1): 2 + 3b = 19 2( - 1) + 3b = 17 ii) 2( - 1) = + b efectu ndo : 2 - 2 = + b o t mbin: De (II): -b=2 =2+b (II) (III) (I) 2( -1)

Simplific ndo l expresin: m m 5m-4 3 3 m-1 4 m-1 + - t mbin: M = x

P r que l expresin se de 6to. Gr do el exponente debe ser igu l 6. m - 1 m 5 m - 4 + - = 6 3 12 18 D ndo comn denomin dor y elimin do denomin dores: 1 m - 4) = 36 . 6 12m - 12 + 3m - 10m + 8 = 216 5m = 220 Rpt .: m = 44 3.- H ll r el gr do bsoluto de l expresin: ____ b+c ____ +b w zc M = xcy si se cumple l s iguiente expresin: (b + c) + (b - ) + (b - c) + (b + ) = 0 Solucin: El gr do bs oluto de M ser l sum de los exponentes de x, y, w, z. c + c + (c + ) (b + + b + c) G.A.M. = + = +b b+c ( + b)(b + c) ( + c)2 + 2b( bc = b2 + b + c + bc de l condicin: 1 1 1 1 + + -1 -1 -1 -1 reempl z ndo (III) en (I): 2(2 + b) + 3b = 19 de donde: En (III): Rpt .: b=3 =2 +3=5 =5 b=3 2.- H ll r el v lor que debe d rse m p r que l expresin: 3 M= se de 6to. Gr do. _________ ___ 4 xm-1 xm _______ 6 x5m-4 - 40 -

L G E B R A

de l condicin: 2 - 1 +3 - 1 +4 - 1 +5 - 1 + +n + 1 - 1= m 2 - + - ++ 1 - =m 2 2 3 3 4 4 5 5 n+1 n+1 1 1 1 1 1 1 - + 1 1 1 1 1 1 1 (1 + 1 + 1 + + 1) + + + + + = m 1442443 2 3 4 5 n+1 n h cie dividiendo entre 2b: 1 1 + = 0 2 2 2 b - c b - 2 2 b2 - 2 + b - c2 = 0 (b2 - c2)(b2 - 2) ( ) 1 1 1 1 1 + + + + + = p 2 3 4 5 n+1 n-p=m p=n-m (I)

P r que l expresin se cero, el numer dor debe ser cero, s: b2 - 2 + b2 - c2 = 0 2b2 = 2 + c2 Reempl z ndo (II) en el G.A.M. (I): 2b2 + 2 c + 2bc + 2b G.A.M . = b 2 + b + c + bc 2(b2 + c + bc + b) = = 2 b 2 3 n + + + + = m 2 3 4 n+1 H ll r el gr do de: xn+m M = G.A.M. = n + m - + + + + 2 3 4 n+1 (II) Sustituyendo en el G.A.M. = n + m - (n - m) = n + m - n + m = 2m Rpt .: G.A.M. = 2m 5.- H ll r el gr do de l expresin: _____________ ________ ______________ 3 _ _______ 3 3 4 + 2 4 + 2 4 + M = 4 x Solucin: El gr do es el exponente de x: _____________ ________ ______________ 3 _ _______ 3 3 4 + 2 4 + 2 4 + = m Elev ndo l cubo se obtiene: ____ _________ ____________ 3 3 4 + 2 4 + = m3 4+2 p ero se puede reempl z r l r z por su v lor que es m: 4 + 2m = m3 m3 - 2m - 4 = 0 p rob ndo p r m = 2, se obtiene: ( ) - 41 (2)3 - 2(2) - 4 = 0 Rpt .: G.A.M. = 2

Agrup ndo y efectu ndo de cuerdo lo se l do grfic mente: b-c+b+c b+ +b2b + = 0 2 2 2 b - c b - 2

+

P r determin r el gr do rel tivo de y (G.R.y) en el monomio M1 se c lcul el expo nente de y: b3 + 1 (b + 1)(b2 - b + 1) G.R.y = = b2(b + 1) (b ue tiene el mismo v lor que el G.R.x, es decir = 10, luego: 1 1 1 GRy = - + = G b b2 Rpt .: GRy M1 = 10 8.- H ll r el gr do bsoluto de l expresin: __ n 6 x y M = _________________ n+1 2 2n+1 x . x4 . x9 xn _ 1 () 2 2 n 16 3 m ( ) Solucin: Multiplic ndo los ndices de los r dic les m yores: 1 -1 m __ -1 -1 -1 -m m . m = m-m . m m = m-m . mm = m0 = 1 Luego l expresin propuest es igu l : ____ _____ _____ 1 x x xm . xm . x m2 x M = = __ m m x4m . x x4 . x m m 3m 3 3m3 ( ) xm . x1/m . x3m = x4m . x1 1 - 1 m M=x ( ) [ ] D to: n(2n + 1)(n + 1) 12 + 22 + 32 + + n2 = 6 Solucin: Tr nsform ndo l n _ _ y6 M = ______________ n+1 2 2 2 2 2n+1 x1 + 2 + 3 + + n

6.- C lcul r el v lor de m si el gr do de l

expresin es de 7mo. Gr do:

de cuerdo con el d to: 1 1 G.A.M.: - 1 = 7 ; = 8 m m 1 Rpt .: M = m 7.- Si el gr o rel tivo x en el monomio: _________ ______ ___ _____ _____ __ __ b b b b x y z y z x M = __ b+1 __ b x y _ x2 n 1 8 16 [ ]

es igu l 10, h ll r el G.R. respecto y en el monomio. M1 = Solucin: P r determ in r el G.Rx en el monomio M se c lcul el exponente de x: 1 1 1 G.Rx: + - = 1 b (I) [ 2 b ______ _ __ b+1 x y ] 3 b +1

n _ _ y6 M = 1 (2n + 1)(n + 1) n(2n + 1)(n + 1) _ 1 8 [ ] n _ _ _ _ x2 n 2 y 6 M = n x6 __ __ n n El G.A.M. = 2 n 2 + - = 2n Rpt .: G.A.M. = 2n - 42 -

L G E B R A 9.- H ll r el coeficiente del monomio: M=9 DATOS: Por d to (1), l diferenci de exponentes de x es 12: GRx : n - (1-m) = 1 2 n - 1 + m = 12 n + m = 13 () ( ) 1 - x3 +2b y3 -b 3 b Si su gr do bsoluto es 8 y el gr do rel tivo respecto y es 1. Solucin: Por prime r d to: es decir l sum de exponentes de x es y es 8: G.A.M.: 3 + 2b + 3 - b = 8 6 + b = 8 () Por d to (2), l diferenci de exponentes de y es 10: GRy: m - (n - 3) = 10 m n + 3 = 10 m-n=7 Sum ndo () y (): 2m = 20 ; m = 10 () Por segundo dato: es decir el exponente de y es igual a 1: G.R.y : 3a ndo () y (): 9a = 9 En (): 6(1) + b = 8 ; b=2 ; =1 ()

= 1 Suma

reemplazando en (): n + 10 = 13 Luego: G.R.z = 5n - (m - 2) = 5n - m + 2 Sustituy endo los v lores de m y n: G.R.z = 5(3) - 10 + 2 G.R.z = 7 11.- H ll r el v lor de m p r que l siguiente expresin se de 2do. gr do bsoluto: ; n=3 Sustituyendo estos v lores en el coeficiente: 9 se tiene: 9 1 (- ) 3 b ( ) ( ) ( ) 1 1 1 - = 91 - = 9 = 1 3 3 9 M= b 2

Rpt .: Coeficiente = 1 10.- En el siguiente monomio: xnymz5n M = x1-m yn-3 zml tivo respecto x es 12, el gr do rel tivo respecto y es 10, h ll r el gr do rel tivo respecto z. Solucin: P r h ll r el gr do respecto z debe de c lcul rse los v lores de m y n. Solucin: [ )

4 ( -2 bm/5)-1/2 __________ ______ 3 3

___________ 0 bm/5 ] Tr b j ndo con el numer dor: ______ ___ _ 3 ( -2 b 1 - 2 m/5

1 (-2) 1 ( ) (m )() Tr b j ndo con el denomin dor: ___________ _ _______ 4 3

- 43 -

m 3 m - - 5 4 40

b = b 0

2 5 2 1 m - =

3 b 3 =

3 b 30

Reempl z ndo los equiv lentes en l proposicin 1 m -3 1 3 m m 3 b 30 M = = - b- + 3 4 30 40 3 m 4 b -3 5 4 m 4 [ ][ [ -3 ] 13.- Si nbn = kn donde k es un const nte, c lcul r el G.A. de: __________ _ __ _________ n 2n k +b kn + 2n M= = -2n kn + 1 b-2n kn + 1 Solucin: Tr b j ndo con c d expresin. __________ _ ___________ n 2n k +b nbn + b 2n M1 = = -2n kn + 1 b-2n nbn + 1 ____________ =

] = [ b- ] = b -3 -5 12 m 12

Por el D to G.A.M.: 5 m + = 2 4 4 Rpt .: m = 3 12.- H ll r l sum de los gr dos r el tivos respecto x e y en l siguiente expresin: (x + y) (x2 + y2) (x3 + y3) (x4 + y4)(xn + yn) M = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + M1 = bn ( n + bn) bn + 1 n _____________ _ bn n( n + bn) (bn + ( )( )( )( ) ( ) M1 =

n n n(bn + n) n + 1 bn

n(n+ 1) D to: 1 + 2 + 3 + 4 n= 2 Solucin: Oper ndo con el denomin dor, se obtien y) (x2 + y2) (x3 + y3) (x4 + y4)(xn + yn) M = x M2 =

bn n = b 2

2

-5 -10m M =

12 b 120

n

___________ = ( )( )( )( ) ( )

por lo t nto: n n 2n G.A.M1 = + = = n 2 2 2 n n G.A.M2 = + = n 2 2 Rpt .: G 4.- C lcul r el v lor de x e y en el monomio: _______ 3 x+y by+6 M = 2/3 b gr do respecto y de 7mo. gr do bsoluto. Simplific ndo se obtiene: M = (xy)(xy)2(xy)3(xy)4 (xy)n = (xy)1+2+3++n n(n+1) M = (xy) 2 n(n+1) =x 2 y 2 n(n+1) Luego el gr do bsoluto es l sum de los exponentes: n(n + 1) n(n + 1) 2n(n + 1 ) G.A.M. = + = n(n + 1) 2 2 2 Rpt .: G.A.M. = n (n + 1) - 44 -

n n _ _ M2 =

2 b 2

_____ _ _______ n n

b +

2n = -2n nbn + 1 ________ _____

nbn( n + bn)

L G E B R A

Solucin: i) Por el d to (1): x+y 2 G.A.M2 = - = 2 2 2 ii) Por d to (2): G.A.M.: x y+6 - + - (1 - y) = 7 3 3 3 reempl z ndo () en () se o tiene: y+6 2 + = 5 3 y + 6 - 3(1 - y) = 15 Rpta.: y = 3 () ()

Oper ndo: (m + n)2 (m + n)2 - (m - n) 2mn(m - n)2 (m + n)2 dividiend m - n) - 1 = 0

1 1+ 3 1 1+ n

M= x+3 2 En (): - = 2 3 3 Rpt .: x = 5 15.- Si m > n > 0 y l expresin: ________ xm+n + ym-n)m+n M = 2mn m+n m+n m-n m-n m m-n x2 . x4 . x6 . x2n Solucin: Oper ndo: M= ( )( )( ) ( ) 1 1 + 1 1 1 1 1 + 1 + 1 + n 2 3 x2+4+6+8++2n el ndice se tiene: 1 1 1 1 1 (1 + )(1 + )(1 + )(1 + ) (1 + ) 1 2 3 4 n + = n 1) n + 1 2 3 1 en el exponente de x se tendr: 2 + 4 + 6 + 8 + +2n = 2(1 + 2 + 3 + 4 + n) n+1 = 2(n) 2 ( )

es de gr do bsoluto cero, c lcul r: p = m . n(m - n) Solucin: P r determin r el gr do de M, debe h ll rse los m yores exponentes t nto en el numer dor como en el denomin dor; l diferenci de estos exponentes es el G.A.M. G.A.M.: (m + n)(m + n) (m + n)(m + n) (m - n)(m - n) - = 0 ( ) reempl z ndo, l expresin complej se tr nsform en: n(n+1) n(n+1) M = x = x (n+1) = xn n+1 Rpt .: G.A.M. = n - 45 -

1 2mn (m - n) = 1 ; mn (m-n) = 2 1 Rpt .: 2 16.- H ll r el gr do de l xpresin lgebr ic : 1 1+ 1 1 1+ 2

siguiente e

2(b-4)

b-4 Por d to y record ndo que el gr do bsoluto del polinomio es igu l l gr do del trmino, de ms lto gr do: Si l sum de los gr dos bsolutos de todos los trminos del polinomio es ( 6+2)2 c lcul r el v lor de b. Solucin: Ll m ndo I, II, III y IV los trminos del polino mio. El gr do bsoluto de c d trmino es: G.A.T. (I) G.A.T. (II) G.A.T. (III) G.A .T. (IV) = b-4 = 2(b-4) = b-4 G.A.P .

{ } G.A.t (I) =m+n+1-3 =m+n -2 G.A.t (II) = m + 2 + n - 1 =m+n+1 G.A.t (III) = m + 3 + n - 2 =m+n+1 m+n+1=8 m+n=7 =m+n+1 () = 4 + b-4 Por d to y record ndo que G.R. y es igu l l gr do del trmino de ms lto gr do rel tivo:

G.R.y: { } n-3 n-1 n-2 =n-1=5 n=6

L sum de los gr 4 + b-4 = ( 6 + + y +y +4 + y = ( 2= +2 Reponiendo 0 18.- C lcul r m m+1 6

dos bsolutos segn enunci do es: b-4 + 2(b-4) + b-4 + b-4 + 2)2 en el primer trmino h ciendo: b-4 = y, se obtiene: y + y2 6 + 2)2 y2 + 4y + 4 = ( 6 + 2)2 (y + 2)2 = ( 6 + 2)2 de qu: y+ v lor de y: b-4 = 6 igu l ndo exponentes: b-4=6 Rpt .: b = 1 y n p r que el polinomio: P = 3x

G.A.P.: + b-4

+ 5y4+

+ 3y

+ 4(xy) b-4

17.- D do el polinomio: P = 2x b-4

En (): m+6=7 m=1 Rpt .: m = 1, n = 6 19.- D dos los siguientes polinomios:

6 P = 5xm+11 yn-3 +7xm+7 yn-2+6xm+2 yn+1 Q = 2x2m+6 yn+2+12x2m+2 yn+7+8x2m yn+10 D etermin r el G.A. del polinomio Q, s biendo que: el gr do bsoluto de P es 16 y el menor exponente de y en el polinomio Q es 4. Solucin: Por el d to (1): y n-3 + 7x m+2 y n-1 + 11x m+3 y n-2 G.A.P.

{ G.A.t (I) G.A.t (II) G.A.t (III) =m+n+8 =m+n+9 =m+n+3 } m+n+9 Por d to (1): G.A.P.: De donde: m + n + 9 = 16 m+n=7 () - 46 -

se de gr do bsoluto 8 y de gr do rel tivo respecto do I, II y II, los trminos del polinomio.

y igu l

5. Solucin: Ll m n

y=

L G E B R A

{ } { } m+n-2 m+n+5 m+n-6 m-3 m-4 m+2 n=2 =m+n+5 =m+2 Por d to (1) : G.R.x - G.R.y = 5 ; esto es: G.A.Q. { G.A.t (I) = 2m + n + 8 G.A.t (II) = 2m + n + 9 G.A.t (III) = 2m + n + 10 }

Por el d to (2): el menor exponente de y es: m-4=3 Luego: m = 7 reempl z ndo v lores de m y n: G.A.Q. = 2(5) + (2) + 10 = 22 Rpt .: G.A.Q. = 22 20.- Si en el polinomio: P = 4xm+n-2 ym-3 +8xm+n+5 ym-4 + 7xm+n-6 ym+2 De cuerdo con el pedido, el G.A.P. es igu l l m yor gr do de todos los trminos, es decir:

G.A.P . se verific que l diferenci entre los gr dos rel tivos de x y es 5 y dems que el menor exponente de y es 3. H ll r su gr do bsoluto. Solucin: Por el d to (1 ) { G.A.t (I) = 2m - 5 + n G.A.t (II) = 2m + n + 1 G.A.t (III) = 2m + n - 4 } = 2m + n + 1 = 2(7) + 2 + 1 = 17 Rpt .: G.A.P. = 17 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Si el monomio: M = 26

b 2 xb y x yb

(m + n + 5) - (m + 2) = 5 ; 2m + n + 10 de

qu:

Por el d to (2): menor exponente de y en Q: n+2=4 En (): n=2 m+2=7 m=5 El gr do oluto de Q es: G.R.y: G.R.x:

bs

es de gr do bsoluto 4, y los gr dos rel tivo x y son igu les. C lcul r el v lor d e: E = 3b - 2 ) 4 ) 1 b) 5 c) -4 d) -1 e) -2 ___ { [( ) ] } M= {[ b ] } -2 -x x x 4 -4 -x2 1 x

3. H ll r el v lor de m de t l m ner que l expresin: - 47 -

2. Qu v lor debe tom r x p r

se

de gr do 120? b) 5 c) 2 d) 3 e) 7 que el monomio:

[ ) 10

] -m e) 120

1 e) 4 M= es de gr do 32. m-m 3m m xm x(m ) se de gr do 120 b) 20 c) 30 d) 40 ) 4

b) 2 c) 2 1 d) 2 4. H ll r el gr do del siguiente monomio: _____________ __ ____ ______ _______ 3 3 3 M = 7x 6 + 6 + 6 +

) 1

b) 2 c) 3 d) 4 5. H ll r el gr do del nomonio: M = 4x(bc) y( c) z( b) si se cumple: yz - 2 = x z - b2 = xy - c2 = x2 + y2 + z2 - d2 = 0 y dems bcd = m ) m b) m2 c) m4 d) m8 e) m12 4 4 4

9. Cunt s letr s se deben tom r en el siguiente monomio: M = 6 b24 c60 d120 p r que su gr do se 6 006? e) 6 ) 12 b) 10 c) 15 d) 13 e) 11

8. H ll r el v lor de m si l mm

expresin:

_________ _____ _ __

2 3 3( 2)[( 1/2)1/3]1/2

10 4 6 + 6 + 6 + veces b) 3 c) 5 d) 10 e) 4 11. Si el gr do bsoluto de l expresin: 3 ( + b + c)++ (xyz) p+q+r M =

-2 4 xn+m yn-m+2 z2n xn-m ym+n+2 z2m ; c) 3 m = 32 -3 125 -10 (x + y + z)p+q es nulo, h ll r el v lor de: + J = ) r z -1 siendo n = 16 ) 5 ) 4 d) 2 e) 1 d) -1 e) -q

6. H ll r el

r do de l

expresin: M=

10. H ll r el gr do de l

expresin:

) p + q c) -r

7. H ll r el v lor de: V= ( 2 11 ) ( ) ( + -2 4 -1 + 11 1 - 3 17 ) -3

12. Si m > n > 0 y l expresin: m-n m-n (m-n)n xm+n + ym-n E = [ ] [ ][ ] es de r do nulo. C lcul r: m n E = + n m se de primer r do. ) 8 ) 5 ) 4

) 9 c) 10 d) 12 e) 16

c) 6 d) 7 e) 3 - 48 -

siendo el v lor de el que se o tiene, p r

.

que l expresin: 3 x -2 x3

L G E B R A ______ m+n m+n 13. Si A = ( 2 ) m2-n2 P (x,y) = 3xn+7 ym-1 + 6xn+8 ym + 5xn ym+1 Q (x,y) = 4xm+1 yn + 7xm+2 yn+1 + 8xm +3 yn+2

h ll r el r do de: m+n m-n m + n m-n m-n A +A m+n M = [ ]( 1 2 ) ) 15 ) 16

c) 17 d) 18 e) 19 18. H ll r E = m + n si el G.A. del polinomio: P (x,y) = 4xm+3 yn-2 + 5xm+1 yn+1 + 7xm yn+2 es de r do soluto 8 y el r do rel tivo x super en un unid d l r do rel tivo y. ) 5 ) 4 c) 3 d) 6 e) 10 ( ) ) 1 ) 2

c) m d) m-n e) 0

14. H ll r el v lor de m p r

que el monomio: 2 3 x 3 xm x M =

[ ]

) 1 ) 3 ) 2 c) 4 d) 5 e) 7 15. H ll r m y n si el polinomio: P (x,y) = 4x2m+n -4 ym+n+2 + 7x2m+n-3 ym+n+1 + 9x2m+n-2 ym+n es de r do soluto veintiocho y l diferenci de los r dos rel tivos de x y es 6. D r m + n ) 10 ) 12 c) 8 d) 14 e) 16 ) 2

c) 3 d) 4 e) 5 20. Si el r do

soluto de:

x y z w M1 = ______

x 2 y

xy 2

(z ) (z ) -1 3 -2 3 ) 5 ) 4

c) 3 d) 6

es i u l

7, h ll r el r do respecto

x en el monomio:

xy z 4 M2 =

16. Se tienen dos polinomios P y Q, si el polinomio P es de r do 10 respecto x. En el polinomio Q el r do respecto x es 5 r dos menos que el r do respecto y. H ll r el r do respecto y en el polinomio Q, siendo: P (x,y) = xm 2 +1

19. C lcul r el v lor de x p r que l expresin se de se undo x x x x M = 2 3 x

r do:

e) 7 yn-1 + 3xm y n-6 2-1 yn+1 + 7xm n-2 2+1 yn CLAVE DE RESPUESTAS 1) A 6) D 11) C 16) B 2) B 7) A 12) C 17) C 3) D 8) A 13) E 18) D 4) B 9) E 14) C 19) C 5) C 10) B 15) A 20) E

m+7 - 5x m y + 9x m-1 y n-3 c) 15 d) 12 e) 2

- 49 -

17. Determin r el r do soluto de Q, si el r exponente de y en Q es 10.

r do

Q (x,y) = 2x

) 10 ) 5

soluto de P es 20 y el m yo

NOTACIN POLINMICA Not cin polinmic es l represent cin de un polinomio, medi nte sus v st ntes. Se denomin v ri le tod m nitud que c m i de v lor, se le nt por l s ltim s letr s del eced rio: x,y,z, etc. Se denomin const m nitud que tiene un v lor fijo, no c m i su v lor; se le represent primer s letr s del eced rio: , ,c, etc.

VALOR NUMERICO DE UN POLINMIO Es el v lor que tom dicho polinomio, cu ndo se reempl z en l v lores si n dos sus v ri les. Ejemplo.- Se el polinomio: P(x, y) = x2 + y2 - 5 h ll r P(2,4) Solucin: Se reempl z los v lores de x e y, s: P(2,4) = 22 + 52 - 5 = 4 + 25 - 5 = 24 CAMBIO DE VARIABLE EN UN POLINOMIO Es l expresin que se o tiene l c m i r l v ri le del polinomio por otr . Ejemplo: Se el polinomio: P(x) = 4x2 + 5x + 6 POLINOMIO Polinomio es un expresin que const de ms de un trmino ener l, un polinomio se re present de l si uiente m ner : P (x, y) , se lee polinomio en x,y. donde P es el nom re enrico: (x, y) son l s v ri les x y. Por lo t nto: P(x,y), si nific qu e el polinomio es de nom re P y de v ri les x, y. Ejemplos: i) P(x,y) = 4x + 5y + 7 ii) P(x, y, z) = 4x3 + 7xy + 6z2 iii) P(x) = 4x3 + 5x2 + 7x En ener l se t endr: 2 2

P (x,y,z) 123 = x + y + cz 2 3 5 P(y + 1) = 4(y + 1)2 + 5(y + 1) + 6 efectu ndo oper ciones: P(y + 1) = 4(y2 + 2 + 1) + 5y + 5 + 6 nom re enrico v ri les const ntes P(y + 1) = 4y2 + 8y + 4 + 5y + 11 P(y + 1) = 4y2 + 13y + 15 - 50 -

c lcul r P(y + 1) Solucin: Se reempl z x por y+1;

s:

ri les y con represe nte tod por l s

L G E B R A EJERCICIOS RESUELTOS 1.- C lcul r: E = Q [P(-2)] siendo: P (x) = 3x3 + 5x2 + 2x + 8 y: Q(x) = (2x + 1 ) (5x - 1) n 2 2n-1 x-1 3.- Si P (x) = , c lcul r: x + 1 R = P{P[P(25)]} Solucin: C lcul ndo por n n + (x + 5) (x + 1) + (2x + 5) (x - 1)

25 - 1 24 24 P(25) = = = = 4 25 + 1 5 + 1 6 4-1 3 3 P[P(25)] = P [4 ]} = P[1] = = = 0 1+1 2 Rpt .: E = P{P[P(25)]} = 0 4.- Si P ( x ) = x(2 - x) + 5, cul r: Solucin: Clculo de P (-2): P(-2) = 3(-2)3 + 5(-2)2 + 2(-2) + 2(-2) + 8 = -24 + 20 - 4 + 8 = 0 P(-2) = 0 Clculo de Q [P(-2)] Q [P(-2)] = Q[0] = (0 + 1)n (0 - 1)2n-1 + (0 + 5)n (0 + 1) + (0 + 5)n(0 - 1) Q[0] = (1)n (-1)2n-1 + 5n + 5n(-1) Solucin: Q[0] = (1) (-1) + 5n - 5n = -1 Rpt .: E = Q [P(-2)] = - 1 2.- Si P (x) = x2 - x + 2, c lcul r: R = P{ P[2 - P(-1)]} Solucin: Clculo de P (-1): P(-1) = (-1)2 - (-1) + 2 = 1 + 1 + 2 = 4 Clculo de P[2 - P(-1)]: P[2 - P (-1)] = P[2 - 4] = P[-2] P{-2} = (-2) - (-2) + 2 = 4 + 2 + 2 = 8 Clculo de P{P{2 - P(-1)}}: P{P[ - P(-1)]} = P {8} = 8 - (8) + 2 = 64 - 8 + 2 = 58 P{P[2 - P(-1)]} = 58 2 2 2 P(x) - P(-x) R = P(x) + (x + 5 ) (x - 5 ) Clculo de P(-x): P(-x) = (-x) [2-(-x)] + 5 = -x(2+x) + 5 = -2x - x2 l do: 2 (x + 5 )(x - 5 ) = x2 - (5 ) = x2 - 5 dems: : 2x - x2 + 5 - (-2x - x2 + 5) R = 2x - x2 = 2 5.- C lcul r: E = P(x + 1) + P(x - 1) - 2 P(x), si: P(x) = 3x2 + - 51 -

+ 5 Por otro P(x) = 2x - x2 + 5 ree + 5 + (x2 -5) 2x - x2 2x + 4

Solucin: Clculo de P(x 2(x + 1) + 4 = 3x2 + 6x - 1) = 3(x - 1)2 + 2(x 2x - 2 + 4 = 3x2 - 4x + 2

+ 1): P(x + 1) = 3(x + 1)2 + 2(x + 1) + 4 = 3(x + 2x + 1) + + 3 + 2x + 2 + 4 = 3x2 + 8x + 9 Clculo de P(x - 1): P(x 1) + 4 = 3(x2 - 2x + 1) + 2(x - 1) + 4 = 3x2 - 6x + 3 + 5

x 7.- Si P(x) = ; 1+x 1 F(x) = y 1+x G(x) = x 1 y dems: P{F[G(x)]} = o: G(x) = x F[G(x)] = F(x) reempl z ndo en l expresin propuest : E= (3x2 + 8x + 9)+ (3x2 - 4x + 5) - 2(3x2 + 2x + 4) E = 6x2 + 4x + 14 - 6x2 - 4x - 8 = 6 Rpt .: E = 6 6.- Si f(x) = x - 2 , (x) = 2x + y dems: f[ (x)] - [f(x)] = f[ ( )] + 19 c lcul r Solucin: Clculo de f[ (x)]: f[ (x)] = f[2x + ] = 2x + - 2 = 2x - Clculo de [f(x)]: [f(x)] = (x - 2 ) = 2(x - 2 ) + = 2x - 4 + = 2x - 3 Clculo de f[ ( )]: ( ) = 2( ) + = 3 f[ ( )] = f(3 ) = 3 - 2 = reempl z ndo en l se und condicin: (2 x - ) - (2x - 3 ) = + 19 2x - - 2x + 3 = + 19 2 = + 19 Rpt .: = 19

1 1 F(x) 1 + (x) 1+x 1 P[F(x)] = = = = 1 1 polinomio en P: 1 1 = 2 + x 10 de donde: x = 8 8.- Si: P [(x + 3)x] = [ [ - 52 1 x2 _ __ 2 2 (x + 6x + 9) 2 x+3 ][ . 2 1 2x+1 __ ___ 3 2x . x + 3 2x ] 2x C lcul r P(4) Solucin: Tr nsform ndo por p rtes: 1 x2 _ __ 2 2 (x + 6x + 9) x+3 x 2 2 ] [ 2 2 1 _ __ _ x_ 2 2 [(x + 3) ] = x+3 2 ] [ ] x+3 x+3 x 2 = (1) = 1

L G E B R A [ 32x . x + 3 1 2x 1 2x + 1 2x ] [ 2x = 3 2x (x + 3) 1 ] 2x = 32x ( ) (x + 3) 2X = 3 (x + 3) [ x ] 2 x x 1 - 2 x Como l expresin tr nsform d es: P[(x + 3)x] = 3[(x + 3)x]2 P (4) = 3(4)2 = 3(16 ) = 48 Rpt .: P(4) = 48 9.- Si se cumple que: 1 = n ( ) ( ) 1 1 ( ) () () n n 1 n __ n 1 n n 1 2 ( ) ( ) 1 n

1 n 1 - 2

1 por comp r cin: x = n reempl z ndo en el polinomio propuesto: 1 1 P = n P x [ ] x x 1 - 2 = nx + n2x2 + n3x3 + (consider r n trminos) [( )] ( ) + n (n1 ) + n (n1 ) 2 3 2 3 +=1+1+1+ n trminos 14243 C lcul r: P Rpt .: = n [( ) ] 1 - 1 n n n 1 = P - 1 n n

x+3 9.- Si P(x) = , c lcul r: P[P(x)] x-1 Solucin: P(x) + 3 P[P(x)] = P(x P(x): Solucin: Se : P x [ ] 1 - x 2 x 1 - 2 x x [( ) ] n -n +n 1 = n n

x+3 x + 3 + 3(x - 1) + 3 x-1 x-1 P[P(x)] = = lue o se tendr: x - n 1 = = n -1 n n n ( ) ( ) ( ) n -1

4x P[P(x)] = = x 4 kx + 1 10.- Si P(x) = y P[P(x)]es independiente de x x-8 ( ) n n 1 = n -1 ( ) -1 n C lcul r: E = 64k2 Solucin: Clculo de P[P(x)] ( ) 1 = n ( ) - 53 -

kx + 1 k2x + k + x - 8 k + 1 kP(x) + 1 x-8 x-8 P[P(x)] = = ( ) i u l ndo (A) y (B):

3x4 + (2 2 x2) + ( 2 + ) = 8x4 + 24x2 + c I u l ndo coeficientes de trminos idn ticos: 3 = 8 2 = 24 2 + = c lue o: 2 (k2 + 1)x + (k - 8) P[P(x)] = (k - 8)x + 65 si es independiente de x se = k-8 65 65(k + 1) = (k - 8) 2 2 E = 2 + 3 + 21 = 26 Rpt .: E = 26 12.- S iendo que: P(x - 1) = x2- x + 1, c lcul r P(10) Solucin: Se : P(x) = x2 + x + c lue o: (A) Est propied d ser demostr d en el C ptulo de Polinomios Especi les. Oper ndo: 65 k2 + 65 = k2 - 16k + 64 64k2 + 16k + 1 = 0 (8k + 1)2 = 0 8k + 1 = 0

1 de donde: k = - 8 lue o: 1 E = 64k2 = 64 - 8 Rpt .: E = 1 11.- Si P(x) = x2 + y: P[P(x)] = 8x4 + 24x2 + c C lcul r : E = + + c Solucin: Clculo de P[P(x)]: P[P(x)] = [P(x)]2 + = ( x2+ )2 + = x + 2 x + + = x + 2 x + ( + ) Como: P[P(x)] = 8x4 +24x2 + c 3 4 2 2 2 3 4 2 2 2 I u l ndo coeficientes de trminos idnticos: =1 -(2 - = 1 ( ) 2 1 = 64 = 1 64 ( ) Sustituyendo v lores en (A): P(x) = x2 + x + 1 lue o: E = P(10) = (10)2 + 10 + 1 = 111 Rpt .: E = 111 13.- S iendo que: P(x + 2) = 6x + 1 (A) (B) y dems: P[F(x)] = 12x - 17 C lcul r F(15) - 54 ) = -1 - +c=1 ; =1 c=1 2

P(x - 1) = (x - 1)2 + (x - 1) + c = x2 - 2 x + + x - (2 - )x + ( + c) Como: P(x - 1) = x2 - x + 1

+ c P(x - 1) = x2

; ; ; =2

=3 c = 21

L G E B R A Solucin: Clculo de P(x): Se P(x) = ( x + ) lue o: P(x + 2) = (x + 2) + = x + (2 + ) Como por d to: P(x + 2) = 6x + 1 (B) (A) 2x S[R(-x)] = = x 2 x+1 2) S[R( -x)] = S x-1 ( )

x+1 + 1 x-1 = x+1 - 1 x-1 x+1+x-1 x-1 = x+1-x

I u l ndo los coeficientes de los trminos idnticos (A) y (B): =6 2 + = 1 = 11 por lo t nto: P(x) = x + = 6x -11 Clculo de P[F(x)]: P[F(x)] = 6F(x) - 11 = 12x - 17 6F(x) = 12x - 17 + 11 6F(x) = 12x - 6 F(x) = 2x - 1 Clculo de F(15) = 2 (15) - 1 = 29 Rpt .: F(15) = 29 x-1 x+1 14.- Si R(x) = ; S(x) = x+1 x-1 y dem S [R(-x)]}] = - 5 C lcul r x Solucin. Por p rtes: -x - 1 x + 1 1) R(-x) = = x-1 3) R{S[R(-x)]} = R(x) = x+1 x-1 4) S[-R{S[R(-x)]}] = S - x+1 [( )]

1-x 1-x +1+x + 1 1 - x =1 + x 1+x = S = ( )

2 1 = = - -2x x 1 5) Por el d to este v lor es i u l - s: 5 1 1 - = - 5 15.- Cul es l v ri cin que experiment P(x), cu n do x v r de -2 -4, si: x P(x) = 1 1 - x Solucin: P r x = -2: -2 -2 -2 4 P(-2) = = = = - 16 P(-4) = = = = - 1 1 5 5 1 - 1 + (-4) 4 4 - 55 -

El c m io que experiment es: 4 -16 4 16 -20 + 48 28 - - = - + = = 3 5 3 5 15 15 ( )

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Si P(x) = x2n + x4n + x6n + (2n + 1) sum ndos; h ll r: E = P(1) + P(2) - P(-2) + P(3) - P(-3) ) 2n n d) 2 ) 2n + 1 2n + 1 e) 2 c) n 5. Expres r como y = f(x) l resin: 9 x4y2 + 3x3y2 + x2y2 - 2x2y - 3xy + 1 = 0 4 2x ) y = 3x2 + 2 2 c) y = y = 3x2 - 2 e) 70 6. Qu rel cin de e existir entre los v lores m, n y p p r que in: mx2 + p f(x) = nx - p se siempre i u l l unid d y dems x dopteun solo n2 + 4mp = 0 c) n2 + 3mp = 0 e) n2 + 8mp = 0 1 7. Si P(x) = x - , c lcul r: 2 1 E = 2P + P(x) - P(-x) x ) x ) 0 y -1 d) 1 y 2 ) -1 y 2 e) 0 y -2 c) 1 y -1 1 d ) 2x 1 ) x e) 0 c) 1 ) n2- 4mp = 0 d) n2- 8mp = 0 2 ) y = 2(2x + 3) 4x3 ) 2. Si: P(x+2) = 2(x+2)3 + x2 + 4x + 4 C lcul r E = P(3) ) 60

) 63 c) 68 d) 65

x2 + 3x + 2 3.- Si f(x) = x2 - 3x - 2 c lcul r el v lor de: f(3) + 2f(2) + f(0 ,17 d) 4,5 ) 2,5 e) 5,5 c) 3,5

[ ( ) ] 4 - 56 -

4.- Encontr r el v lor de p r que: f(x) = x4 + 2x2 - x y (x) = 2x3 1 ten n el mismo v lor cu ndo x = 1

- x +

Como l

diferenci es positiv , disminuye, lue o disminuye en 28/15.

L G E B R A 8. Si P(x) = 2x3 - 7x2 + 6, c lcul r: -P [-P[-P(3)]] E = {-P(2)} 3 ) 3 ) 1 13. Si P(x) = (x2 + 1)3 - (x2 - 1)3 h ll r: P ) 5 ) 4 ( ) c) 2 d) 1 e) 3 1 2

1 1 d) x + 1 e) (7x + 1) 5 5 10. S iendo que f(x) = x2 - 2x + 1, h ll r:

1 ) Aument en 6 1 ) Disminuye en 6 c) No sufre v ri cin 12 d) Aument 5 12 e) inuye 5 15. Si P(x) = x3 - 4x2 + 3x - 3, h ll r: E = P[P(4)] ) 417 d) 414 ) 429 e) 180 c) 212 f (x) E = f(x + 1) - f(x - 1) ) 1/2 ) 1/6 c) 1/8 d) 1/4 e) 1/16 [ ] 1 f 2 2 ( ) 11. Si P (x) = x, y dems: P[F(x) + G(x)] = x + 4 P[F(x) - G(x)] = x - 2 C lcul r : F[G(x)] ) 1 ) 2 c) 3 d) 4 e) 5

12. C lcul r el v lor de E = (mn)2 + 5 s iendo que P[P(x)] es independiente de x siendo: P(x) = mx-+ 1 x n ) 5 ) 4 c) 9 d) 6 e) 14 17. Si P(x) = x2 -1, c lcul r: E = P[P(x)] - x2P(x) - 57 -

16. Si P (x,y) = x3 + y3 + 3(x2y + xy2), c lcul r: E = P( 4 ) 8 e) 125 c) 27

+ 1, 2 - ) ) 1 d) 6

14. Cul es l v ri cin de: 1 P(x) = x2 - n si x v r

entre 0,4

9. H ll r y = f(x) 2 c) 2x - 1

p rtir de: 7x2 + 2xy - 5y2 - 8x + 4y + 1 = 0

) x+1 ) x2 + 0,5?

) x2 d) -x2 ) 0 e) 1

c) x ) 18/15 d) 4 ) 16 e) 0

c) 6/5 x+3 18. Si P(x) = , c lcul r: x-1 E = P[P(x)] ) x d) 1/x

20. Si P(x) = (x-1)2 -1; c lcul r: P(x) + P(x + 2) P = - x2 ) 6 d) 4 ESTAS 1) D 6) D 11) D 16) C 2) B 7) E 12) D 17) D 3) A 8) C 13) A 18) B 4) A 9) E 14) A 19) A 5) B 10) D 15) B 20) C c) 2 x + 19. Si P(x) = 2 , c lcul r: x-1 E = P[ P {P[P(2)]}] - 58 -

) 1 e) x + 1 c) -x

) 1 e)

L G E B R A POLINOMIOS ESPECIALES Son ciertos polinomios que por su import nci , es neces rio conocer. Los ms us do s son: Polinomio Orden do Polinomio Completo Polinomio Homo neo Polinomios Idntico s Polinomios Idntic mente Nulos Polinomios Entero en x Ejemplos: i) Se el polinomio: P(x,y) = 4x3 + 5x2y + 7xy2 + 8y3 P es un polinomi o completo con respecto x y su trmino independiente con respecto es letr s es 8y3. T m in es completo con respecto y y su trmino independiente con respecto es t letr es 4x3. ii) P(x) = 9 x3 - 3x2 + x + (q + c) Donde el trmino independien te es: (q + c) POLINOMIO ORDENADO Con respecto un letr , es quel que se c r cteriz porque los v lores de los exponentes de l letr consider d v n ument ndo o disminuyendo, se n que l ord en cin se scendente o descendente (creciente o decreciente). Ejemplo: Se el po linomio: P(x,y) = 4x3y12 + 5x7y8 + 4x12y2 P es orden do con respecto x en form scendente y es orden do con respecto y en form descendente.

PROPIEDADES DE UN POLINOMIO COMPLETO 1) Si es de r do n (G.P. o r do del polinom io), el nmero de trminos,T.P. es i u l l G.P. ms uno. Es decir: # T.P. = G.P. + 1 2) El r do del polinomio completo es i u l l nmero de trminos menos uno. G.P. = # T.P. - 1 3) L diferenci de r dos rel tivos de dos trminos consecutivos es i u l l unid d: G.R.t(x + 1) - G.R.t(x) = 1 4) El trmino independiente contiene l v ri le con exponente cero. POLINOMIO COMPLETO Con respecto un letr , es quel que se c r cteriz porque todos los exponente s de l letr consider d existen, desde el m yor h st el cero inclusive; denom in ndo este ltimo, trmino independiente del polinomio con respecto es letr .

- 59 -

POLINOMIO HOMOGENEO Es quel que se c r cteriz por que todos sus trminos tienen i u l r do (G.A.).

soluto

8x y 123 + 123 + 6x y 123 t(I) t(II) t(III) 7 12 4 15 2 17

en este polinomio, se verific que: P(x) = x3 + x2 + cx + d G.A.t(I) = G.A.t(I I) = G.A.t(III) = 19 TERMINOS SEMEJANTES Son quellos que tienen i u l p rte lit er l, fect d por los mismos exponentes, sin interes r los coeficientes. Ejempl o: Los trminos: 2x2y3, -5x2y3 , -17x2y3 son semej ntes. De primer r do: P(x) = x + De se undo r do: P(x) = x2 + x + c De tercer r do: P(x) = x3 + x2 + cx + d y s, sucesiv mente. es idntic mente nulo, quiere decir que: = =c=d=0

POLINOMIO ENTERO EN x Es quel que se c r cteriz porque todos sus exponentes son enteros y su nic v r i le es x. Un polinomio P(x), entero en x se represent s: POLINOMIOS IDENTICOS Son quellos que se c r cteriz n porque sus trminos semej ntes tienen i u les coe ficientes. L identid d de polinomios, se represent s: (). En general una identi dad se expresa de la siguiente manera: ax2 + by2 + cz2 mx2 + ny2 + tz2 EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Hallar m, p y b para que el polinomio: Como son idnticos, debe cumplirse siem pre que: a=m b=n c=t Ejemplo: Hallar a y b en la identidad: 2ax2 + 15y2 12x2 + 5 by2 Solucin: Como es identidad se cumple que: 2a = 12 15 = 5b =6 b=3 P(x) = 5xm18 + 18xm - p + 15 + 7xb - p + 16 123 14243 14243 t(I) t(II) t(III) se completo y orden do en form descendente. Solucin: Como el polinomio debe est r orden do en form descendente, los exponentes deben ir disminuyendo desde el t(I) h st el t(III). Como es completo, el menor exponente que es igu l cero ( por ser trmino independiente) corresponde l t(III), el nterior igu l 1 y el p rimero igu l 2, s: - 60 -

POLINOMIOS IDENTICAMENTE NULOS Son quellos que se c r cteriz n porque todos sus coeficientes son idnticos o. Ejemplo: Si el polinomio:

Ejemplo: Se

el polinomio: P(x,y) = 4x y

cer

L G E B R A b - p + 16 = 0 m - p + 15 = 1 m - 18 = 2 En (b) : 20 - p + 15 = 1 En ( ): b - 34 + 16 = 0 Rpt .: m = 20 p = 34 b = 18 b = 18 p = 34 m = 20 ( ) (b) (c)

Sustituyendo () en () se obtiene: ab a = a b bb de a u: a = 2 b a = 2b eem (): (2b) = (b) 2b = b2 b=2 2b b a ( ) a b = 4 = 22 ()

En () ; a = 2(2) = 4 Finalmente, la suma de coeficientes del polinomio es: a b2 d e coeficientes = a + b + + a b 4 4 = 4 + 2 + + 2 4 =6+2+1 =9 Rpta.: de coefic = 9 m 3.- Halla si el polinomio: n P( ,y) = 3 myn (2 2m+1 + 7y6n+1) es homogneo S olucin: Efectuando ope aciones: a a = b b ()

2.- Halla la suma de coeficientes del siguiente polinomio: b b 2 a a-b a P( , y) = a a + b a . y12 + 3 y13 + b yb b a 123 14243 14243 12 t(II) t(III) t(IV) si es homogneo. Solucin: Si es homogneo, se cumple: G.A.t (I) = G.A.t (II) = G.A.t (III) = G.A.t (IV) Entonces: ____ b ab = 123 = 14243= 123 aa - b + 12 3 + 13 ba 1 23 () () () () haciendo: () = () ab = ba

P(x,y) = 6x3m+1yn + 21xmy7n+1 123 14243 t(I) t(II) Como es homo neo, se cumple qu e: =4 G.A.t (I) = G.A.t (II) 3m + 1 + n = m + 7n + 1 3m - m = 7n - n

=4

= 4 () a

a - 61 -

h ciendo: () = () - 1 -

-

+ 12 = 16

m 6 2m = 6m ; = =3 n 2 m Rpta.: = 3 n n2 3n-14 Solucin:

Si es homo ne , los r dos solutos de c d trmino de en ser i u les, es decir: 3 + 3 + 3y + 3z 3 + 3 + 3x + 3z 3 + 3 + 3x + 3y = = = G. serie de r zones i u les: 3 + 3 + 3y + 3z + 3 + 3 + 3x + 3z + 3 + 3 + 3x + 3y G. A. = x+y+z+3 + x+y +z+ 3 + x+y +z +3 1 6(3 + x P(x) = (x2 - x + 3) ( - ) + (x2 - x + 4)( - c) 4.- C lcul r l sum de los coeficientes del polinomio homo neo: P(x,y) = 3pxn -5 y12 + 5(p - q)xpyq 2 123 t(I) 14243 t(II) + (13q + 4)x y 144424443 t(III) Solucin: Como es homo neo: G.A.t (I) = G.A.t (II) = G.A.t (III) p + q n2 + 3n - 14 n2 - 5 + 12 14243 =123 = 14243 () () () h ciendo = : n2 - 5 + 12 = n2 + 3n - 14 21 = 3n n=7 h ciendo = : n2 - 5 + 12 = p + q reempl z ndo n: 72 - 5 + 12 = p + q 56 = p + q () Solucin:

P r que se nule el polinomio, siendo , y c const ntes, se de e cumplir: =0 -c=0 c- =0 de qu se o tiene: = =c =b b=c c=

H ciendo: = b = c = t: y reempl z ndo en (I): t+t R = = 2 t Rpt .: R = 2 7.- Si el polinomio: P(x,y) = 2( + b - c - d2)x2 + 3(b - de)xy + 4(b + c - - e2)y2 P(x,y,z) = y z x 3 3 3y+3z + x3z3y3x+3z + x3y3z3x+3y es idntic mente nulo, h ll r el v lor de: d2 b E = + + 2 b e2 c

- 62 -

es homogne , h ll r su gr do

bsoluto.

L sum de coeficientes del polinomio es: S = 3p + 5(p - q) + 13q + 4 = 3p + 5p - 5q + 13q + 4 = 8p + 8q + 4 = 8(p + q) + 4 = 8(56) + 4 Rpt .: S = 452 5.- Si l expresin: x+y+z+3

es idntic mente nulo, h ll r: +c R =

+ ( 2 +

+ 5) (c - a)

(I) -

L G E B R A

2) L sum de coeficientes de S(x,y) es 20. 3) C d coeficiente de Q(x,y) es igu l l que ntecede ms 1. Solucin: D d s l s condiciones, S(x,y) debe ser homogneo d e gr do cinco. Como S (x,y) = P(x,y) + Q(x,y) es completo y homogneo de gr do cin co, luego: Q(x,y) = mx3y2 + nx2y3 + y5 y que: S(x,y) = 5x5 - 4x4y + mx3y2 + nx2 y3 + xy4 + y5 es completo y homogneo de gr do 5. Por l segund condicin: 5 -4 + m + n + 1 + p = 20 m + n + p = 18 Por l tercer condicin: m= ; n= +1 ; p= +2 en (): + + 1 + + 2 = 18 =5 El polinomio busc do es: Q(x,y) = 5x3y2 + 6x2y3 + 7y5 Rpt .: El m yor coeficiente es 7. 9.- H ll r el nmero de trminos en el siguien te polinomio: P(x) = (m - 1)xm-6 + (m - 2)xm-5 + (m - 3)xm-4 + si es completo. S olucin: Se observ que los exponentes del polinomio v n ument ndo, es decir que est orden do en form scendente. Si el polinomio es completo, existe un exponent e cero, que corresponde l trmino independiente y pertenece, en este c so, l pri mer trmino, es decir: m-6=0 m=6 ()

Sustituyendo decu d mente (1), (2) y (3) en l expresin pedid : d2 b 2 E = + + + 1 + 2 = 4 d2 b Rpt .: E = 4 8.- D do el polinomio: P(x,y) = 5x5 - 4x4y + xy4 encontr r el m yor coeficiente de otro polinomio Q(x,y) s biendo que: 1) S(x,y) = P(x,y) + Q(x,y) es completo y homogneo. - 63 -

Solucin: Si es - d2 = 0 b - de (III) se tiene: e + e2 0 = (d uyendo en (I):

idntic mente nulo, sus coeficientes son nulos, es decir: + b - c = 0 b + c - - e2 = 0 De (II) se obtiene: b = de Sum ndo (I) + 2b = d2 + e2 Sustituyendo (IV) en (V): 2de = d2 + e2 0 = d2 - 2d e)2 d-e=0 d=e Sustituyendo dos veces en (IV): b = d2 = e2 Sustit + d2 - c - d2 = 0 =c (3) (2) (1) (V) (V) (IV) (I) (II) (III)

reempl z ndo este v lor: Rpt .: p = 5 q=3 15 = p[3] p=5 P(x) = 5x0 + 4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 + 0x5 + Como sol mente h st el trmino en x4 es completo, entonces tiene 5 trminos. Rpt .: El polinomio tiene 5 trminos. 10.- H l l r el v lor de p y q si se cumple l siguiente identid d de polinomios: 13 - 2x p(2 - ) + (1 + ) Solucin: Efectuando ope aciones y o denando: 13 - 2 2p - p + + 13 - 2 (2p + ) + ( - p) Identificando los coeficientes: 2p + = 1 3 - p = -2 Restando (I) - (II): 2p + + p = 15 3p = 15 p=5 En (I) : 2(5) + = 13 =3 Rpta.: p = 5 =3 OTRO MTODO: Como los valo es de y p no dependen de lo s v lores de x, se si n v lores x, de t l m ner que se elimine inc nit s. As: P x = 2; reempl z ndo: 13 - 2(2) = p(2 - 2) + q(1 + 2) 9 = 3q q=3 P r x = -1; r eempl z ndo: 13 -2(-1) = p[2 - (-1)] + q(1 - 1) Rpt .: m = 23 n = 1 p = -17 P r x = 3: (I) (II) P r x = 2:

Se o serv que este mtodo es ms sencillo; continu cin, se resuelve v rios pro lem s con este mtodo. 11.- H ll r m, n y p en l si uiente identid d: 7x2 - 6x + 1 m( ) ( - 2) + n( - 3) ( - 2) + p( - 3)( - 1) Solucin: Dando valo es convenientes a . P r x = 1(des p recen el primer y el terc er trmino del miem ro derecho) 7(1)2 - 6(1) + 1 = n(1 - 3) (1 - 2) 2 = n(-2)(-1) n=1 7(2)2 - 6(2) + 1 = p(2 - 3)(2 - 1) 17 = p(-1)(1) p = -17 7(3)2 - 6 (3) + 1 = m(3 - 1)(3 - 2) 63 - 18 + 1 = m(2)(1) m = 23 12.- C lcul r p y q en l identid d: p(x + 5)2 - q(x - 5)2 = 3(x + 5)2 + 4(2p + q)x Solucin: D ndo v lores x: P r x = -5 p(5)2 - q(-5)2 = 3(5)2 2