4 Desarrollo Estad Desc v Sem p 502 2012 Jscb

ESTADISTICA DESCRIPTIVA V SEMESTRE 2014

ESTADISTICA DESCRIPTIVA V SEMESTRE 20143

UNIVERSIDAD ESTATAL DEL SUR DE MANAB

UNIDAD CIENCIAS ECONMICASCARRERA DE GESTIN EMPRESARIAL

Asignatura: ESTADSTICA DESCRIPTIVA

Semestre: Quinto Vespertino

Docente: Eco. Hernan Delgado Solis [email protected]

Periodo: Noviembre 2014 - Abril 2015

Jipijapa Manab - Ecuador

PRESENTACIN

Este documento ha sido elaborado conscientemente como un complemento a lo estudiado en cursos de Estadstica Bsica, pues hoy en da existe gran cantidad de informacin que se puede conseguir de muy variada forma, razn por la que pongo a vuestra disposicin este Mdulo de Estadstica Descriptiva que busca satisfacer la necesidad de aplicar conjuntamente la teora y la prctica.

Por ello es conveniente nutrirse de estos conocimientos para aplicarlos en el Software de la Microsoft como es el Excel, una herramienta de trabajo que es muy fcil de manejar y accesible para toda persona que est inmersa en el mbito Acadmico como Profesional.

En tanto y cuanto agilice el estudio de las tcnicas estadsticas, que de por s le ahorran tiempo en el manejo de datos y en el anlisis de la informacin, objeto de estudio requerida para la toma de decisiones, puesto que lograr un amplio dominio tanto en la asignatura como del software Excel que se constituyen en bases importantes para la gestin de procesos administrativos a cualquier nivel.

INDICE

Pg

Presentacin2

Indice3

UNIDAD 1: GENERALIDADES DE LA ESTADSTICA DESCRIPTIVA5

1.1 Estadstica6

1.2 Importancia de la Estadstica7

1.3 La Investigacin Estadstica7

1.4 Clasificacin de la Estadstica8

1.4.1 La Estadstica Descriptiva o Deductiva8

1.4.2 La Estadstica INferencial o Inductiva8

1.5 Definiciones y Conceptos Bsicos8

1.5.1 Definiciones8

1.5.2 Conceptos Bsicos8

Autoevaluacin 9

1.6 La Medicin Estadstica10

1.6.1 Variable10

1.6.2 Categoras o Tipos de Variables10

1.7 Escalas de Medicin de las Variables11

1.7.1 Escalas de Medicin Nominal11

1.7.2 Escalas de Medicin Ordinal12

1.7.3 Escalas de Medicin de Intervalo12

1.7.4 Escalas de Medicin de Razn13

Autoevaluacin / Ejercicios de Aplicacin 14

UNIDAD 2: ORGANIZACIN DE LA INFORMACIN15

2.1 Elaboracin de una Distribucin de Frecuencias16

2.2 Distribucin de Frecuencias para Datos Discretos17

2.2.1 Intervalos de Clase17

Autoevaluacin 18

2.2.2 Tamao o Amplitud de cada intervalo18

2.2.3 Lmites de Intervalo o de Clase19

2.2.4 Marca de Clase o Puntos Medios de Clase19

2.3 Tabla de Distribucin de Frecuencias20

Autoevaluacin 21

2.3.1 Clculos importantes en otras columnas21

Autoevaluacin 22

2.4 Distribucin de Frecuencias para Datos Continuos22

2.5 Distribucin de Frecuencias para Datos Cualitativos25

Ejercicios de Aplicacin26

2.6 Representaciones de Tallo y Hoja26


2.7 Grficos Estadsticos28

2.7.1 Generalidades28

2.7.2 Grficos de Barras28

2.7.3 Histograma y Polgono de Frecuencias30

2.7.4 Grfico Circular32

2.7.5 Polgono de Frecuencias Acumuladas u Ojivas34

2.7.6 Otros Tipos de Grficos35


UNIDAD 3: MEDIDAS DE UBICACIN O CENTRALIZACIN40

3.1 Generalidades 41

3.2 Medidas de Tendencia Central42

3.3 Medidas de Tendencia Central para Datos no Agrupados42

3.3.1 Media Aritmtica Simple42

3.3.1.1 Media de la Poblacin42

3.3.1.2 Media de una Muestra43

3.3.1.3 Propiedades de la Media Aritmtica44

3.3.1.4 Desventajas de la Media Aritmtica45


3.3.2 Media Aritmtica Ponderada46


3.3.3 Mediana47

3.3.3.1 Caractersticas o Propiedades de la Mediana48

3.3.4 Moda 48

3.3.4.1 Caractersticas o Propiedades de la Moda49


3.3.5 Media Geomtrica49

Autoevaluacin 50


3.4 Medidas de Tendencia Central para Datos Agrupados51

3.4.1 Media Aritmtica51

Autoevaluacin 52


3.4.2 Mediana53

3.4.3 Moda54


3.5 Configuracin de las Distribuciones55


3.6 Cuartiles, Deciles y Percentiles56

3.6.1 Cuartiles56

3.6.1.1 Clculo de los Cuartiles57

3.6.1.2 Clculo de los Cuartiles para Datos Agrupados57

3.6.2 Deciles58

3.6.2.1 Clculo de los Deciles58

3.6.2.2 Clculo de los Deciles para Datos Agrupados59

3.6.3 Percentiles60

3.6.3.1 Clculo de los Percentiles60

3.6.3.2 Clculo de los Percentiles para Datos Agrupados60


UNIDAD 4: MEDIDAS DE DISPERSIN O DE VARIABILIDAD62

4.1 Medidas de Dispersin63

4.1.1 Rango o Recorrido o Amplitud de Variacin64

4.1.2 Desviacin Media64


4.1.3 Variancia o Varianza65

4.1.3.1 Propiedades de la Variancia o Varianza66

4.1.3.2 Observaciones sobre la Variancia o Varianza67

4.1.4 Desviacin Tpica o Estndar67

Autoevaluacin 67


4.1.4.1 Propiedades de la Desviacin Tpica68

4.1.4.2 Observaciones sobre la Desviacin Tpica68


4.2 Medidas de Dispersin para Datos Agrupados69

4.2.1 Rango para Datos Agrupados69

4.2.2 La Varianza para Datos Agrupados69

4.2.3 Desviacin Tpica para Datos Agrupados70


4.3 Coeficiente de Variacin de Pearson71


Bibliografa 74

UNIDAD1GENERALIDADES

1.1 ESTADSTICA

El uso de herramientas cuantitativas para el tratamiento de datos, tiene origen en pocas remotas. Se tiene informacin de hace ms 3000 aos antes de Cristo, donde las antiguas civilizaciones, como la Egipcia, aplicaron continuamente censos que ayudaban a la organizacin del estado y la construccin de las pirmides. El antiguo testamento nos sugiere que Moiss orden un Censo a la poblacin Israelita para identificar los miembros de las familias. En la antigua Grecia y el Imperio Romano, era comn la aplicacin de censos para la planificacin de impuestos y la prestacin del servicio militar.

La palabra estadstica deriva del latn moderno statisticum collegium (consejo de estado), del latn antiguo status (posicin, forma de gobierno), de la palabra italiana moderna statista (estadista, poltico) y del italiano antiguo stato (estado).

En 1749, el alemn, Gottfried Achenwall (1719-1792) usa el trmino Statistik en su libro titulado Staatswissenschaft der vornehmen Europischen Reiche und Republiken, quien originalmente design la palabra estadstica para el anlisis de los datos de un gobierno, definindola como la Ciencia del Estado. A Gottfried Achenwall se le conoce como el Padre de la Estadstica. La primera persona que introdujo el trmino estadstica en Inglaterra fue Sir John Sinclair (1754-1835) con su trabajo Statistical Account of Scotland (1791-,1799) trabajo compilado en 21 volmenes. El autor explica en su libro, que la palabra estadstica la adopt gracias al estudio de investigaciones realizadas en Alemania, como una palabra novedosa que llamara la atencin de los ingleses; a diferencia, de que en Alemania la estadstica se usa como instrumento para medir la fortaleza de un estado, mientras que Sinclair, la empleara como generadora de informacin interna para encontrar falencias y proponer mejoras en el pas. A comienzos del siglo XIX, la palabra estadstica adopta un significado ms generalizado hacia la recoleccin y clasificacin de cualquier tipo de datos cuantitativos.

William Playfair (1759-1823) expone su idea de que los grficos permiten una comunicacin ms eficiente que las tablas de frecuencia. Es considerado como el inventor de los grficos lineales, de barras y de sectores. Playfair public el libro titulado The Commercial and Political Atlas (1786) el cual contiene 43 grficos de series de tiempo y por primera vez, es usado un grfico de barras. En 1801 utiliza el primer grfico de sectores en su obra Playfairs Statistical Breviary.

Sir Francis Galton (1822-1911) cre el concepto estadstico de regresin y correlacin, y fue el primero en aplicar mtodos estadsticos para estudiar las diferencias humanas, basado en el uso de cuestionarios y entrevistas para recolectar los datos. Herman Hollerith (1860-1929) fue un estadstico estadounidense quien desarrollo la primera mquina tabuladora basada en tarjetas perforadas y mecanismos elctrico-mecnicos para el tratamiento rpido de millones de datos. 1.2 IMPORTANCIA DE LA ESTADSTICA

La estadstica se utiliza en cualquier proceso de gestin o administracin de empresas, industrias, y entidades educativas, as como en las diferentes ramas de la ciencia sean estas fcticas o naturales; en ambos casos su utilizacin es imprescindible en los momentos actuales, y desde tiempos pasados ha constituido una prctica antigua y habitual a partir de la necesidad de los estados de recolectar datos para su administracin, atribuyndose a este hecho el origen de su nombre.

1.3 LA INVESTIGACIN ESTADSTICA

El proceso de aplicacin de la estadstica implica una serie de pasos:

1. Seleccin y determinacin de la poblacin o muestra y las caractersticas contenidas que se desean estudiar. En el caso de que se desee tomar una muestra, es necesario determinar el tamao de la misma y el tipo de muestreo a realizar (probabilstico o no probabilstico).

2. Obtencin de los datos. Esta puede ser realizada mediante la observacin directa de los elementos, la aplicacin de encuestas y entrevistas, y la realizacin de experimentos.

3. Clasificacin, tabulacin y organizacin de los datos. La clasificacin incluye el tratamiento de los datos considerados anmalos que pueden en un momento dado, falsear un anlisis de los indicadores estadsticos. La tabulacin implica el resumen de los datos en tablas y grficos estadsticos.

4. Anlisis descriptivo de los datos. El anlisis se complementa con la obtencin de indicadores estadsticos como las medidas: de tendencia central, dispersin, posicin y forma.

5. Anlisis inferencial de los datos. Se aplican tcnicas de tratamiento de datos que involucran elementos probabilsticos que permiten inferir conclusiones de una muestra hacia la poblacin (opcional).

6. Elaboracin de conclusiones. Se construye el informe final.

1.4 CLASIFICACIN DE LA ESTADSTICA

La estadstica se puede clasificar en dos grandes ramas:

Estadstica descriptiva o deductiva.

Estadstica inferencial o inductiva.

1.4.1 LA ESTADSTICA DESCRIPTIVA O DEDUCTIVA

Se emplea simplemente para resumir de forma numrica o grfica un conjunto de datos. Se restringe a describir los datos que se analizan.

Si aplicamos las herramientas ofrecidas por la estadstica descriptiva a una muestra, solo nos limitaremos a describir los datos encontrados en dicha muestra, no se podr generalizar la informacin hacia la poblacin.

1.4.2 LA ESTADSTICA INFERENCIAL O INDUCTIVA

Permite realizar conclusiones o inferencias, basndose en los datos simplificados y analizados de una muestra hacia la poblacin o universo.

Por ejemplo, a partir de una muestra representativa tomada a los habitantes de una ciudad, se podr inferir la votacin de todos los ciudadanos que cumplan los requisitos con un error de aproximacin.

1.5 DEFINICIONES Y CONCEPTOS BSICOS

1.5.1 DEFINICIONES

La enciclopedia Britnica define la estadstica como la ciencia encargada de recolectar, analizar, presentar e interpretar datos.

El famoso diccionario Ingls Word Reference define la estadstica como un rea de la matemtica aplicada orientada a la recoleccin e interpretacin de datos cuantitativos y al uso de la teora de la probabilidad para calcular los parmetros de una poblacin.

Segn Conrado Gun la define como una tcnica especial apta para el estudio cuantitativo de los fenmenos en masa o colectivos.

Para Croxton y Cowden, es una recopilacin, presentacin, anlisis e interpretacin de datos numricos.

1.5.2 CONCEPTOS BSICOS

La Estadstica pasa a ser una ciencia bsica cuyo objetivo principal es el procesamiento y anlisis de grandes volmenes de datos, resumindolos en tablas, grficos e indicadores (estadsticos), que permiten la fcil compresin de las caractersticas concernientes al fenmeno estudiado.

Estadstica: es la ciencia de recolectar, organizar, presentar, analizar e interpretar datos para ayudar en una toma de decisiones ms efectiva.

Estadstico: Cualquier caracterstica medible calculada sobre una muestra o poblacin.

Poblacin (universo colectivo): Es el conjunto de todos los elementos, medidas, individuos u objetos que tienen una caracterstica comn.

Muestra: Es un subconjunto de una poblacin. Una muestra es representativa cuando los elementos son seleccionados de tal forma que pongan de manifiesto las caractersticas de una poblacin. Su caracterstica ms importante es la representatividad. La seleccin de los elementos que conforman una muestra pueden ser realizados de forma probabilstica o aleatoria (al azar), o no probabilstica.

Datos: Son medidas, valores o caractersticas susceptibles de ser observados y contados.

AUTOEVALUACIN

RESOLVER: AUTOEXAMEN 1-1ESTADISTICA PARA ADMINISTRACIN Y ECONOMAMASON/LIND/MARCHAL10 EDICIN PG. 8

1.6 LA MEDICIN ESTADSTICALa medicin tiene como caracterstica esencial la dependencia que tiene de la posibilidad de variacin, la validez y la confiabilidad de la medicin de una variable depende de las decisiones que se tomen para operacionalizarla y lograr una adecuada comprensin del concepto evitando imprecisiones y ambigedad, caso contrario, la variable se invalida debido a que no produce informacin confiable.Entonces quiere decir que la medicin estadstica se refiere a la cualificacin o cuantificacin de una variable, puesto que es posible realizar mediciones en cualquier campo de la Ciencia.

1.6.1 VARIABLE

Es la caracterstica o cualidad de la unidad de observacin, susceptible de asumir diferentes valores cuanti-cualitativos y que renen dos condiciones:

a) Conocer rasgos observables que permitan la confrontacin con la realidad objetiva.

b) Ser capaces de variar, es decir asumir diferentes valores y por lo tanto ser mensurables medibles.

Algunos ejemplos de variables:

Edad de los estudiantes del quinto Semestre de Gestin Empresarial

Estatura de los participantes en los Juegos Deportivos

Gnero

Tipo de automvil que posee un grupo de ejecutivos

Estado civil

1.6.2 CATEGORAS O TIPO DE VARIABLES:

1. Variable cualitativa: Es aquella que expresa un atributo o caracterstica, ejemplo: Rubio, moreno, etc.

2. Variable cuantitativa: Es aquella que podemos expresar numricamente: edad, peso, n. de hijos, etc. A su vez la podemos subdividir en:

2.1. Variable discreta es aquella que entre dos valores prximos puede tomar a lo sumo un nmero finito de valores.

Ejemplos: el nmero de hijos de una familia, el de obreros de una fbrica, el de alumnos de la universidad, etc.

2.2. Variable continua es aquella que puede tomar los infinitos valores de un intervalo. En muchas ocasiones la diferencia es ms terica que prctica, ya que los aparatos de medida dificultan que puedan existir todos los valores del intervalo.

Ejemplos, peso, estatura, distancias, etc.

La variable se denota por una letra maysculas X . A su vez cada una de estas variables puede tomar distintos valores, colocando un subndice

1.7 ESCALAS DE MEDICIN DE LAS VARIABLESLa medicin de las variables puede realizarse por medio de cuatro escalas de medicin. Dos de las escalas miden variables categricas y las otras dos miden variables numricas (Therese L. Baker, 1997). Los niveles de medicin son las escalas nominal, ordinal, de intervalo y de razn. Se utilizan para ayudar en la clasificacin de las variables, el diseo de las preguntas para medir variables, e incluso indican el tipo de anlisis estadstico apropiado para el tratamiento de los datos.1.7.1 ESCALAS DE MEDICIN NOMINALUna variable corresponde a una escala nominal cuando los sucesos elementales se usan para clasificar personas, caractersticas u objetos en categoras que no admiten jerarquizacin ni cuantificacin de los datos, pues a cada cosa que se est midiendo se le asigna un nmero o nombre distinto, por ejemplo, un nmero, letra o nmero romano.Ejemplos: La asignacin de nmeros a un grupo de jugadores de beisbol. Estos no tienen ningn significado ni utilidad, excepto la de identificar a cada jugador. Sexo: hombre, mujer.

Gnero: se asigna un valor a los hombres y otro diferente a las mujeres y por ms machistas o feministas que seamos no podramos establecer que uno es mayor que el otro.1.7.2 ESCALAS DE MEDICIN ORDINALSon variables numricas cuyos valores representan una categora o identifican un grupo de pertenencia contando con un orden lgico. Este tipo de variables nos permite establecer relaciones de igualdad/desigualdad y a su vez, podemos identificar si una categora es mayor o menor que otra, adems no se puede determinar la distancia entre sus categoras, ya que no es cuantificable o medible.Ejemplos: La jerarquizacin de personas o puntajes: del primero al ltimo o del ms alto al ms bajo.

El lugar que ocupan en la clase: quien fue primero, segundo o tercero.

Nivel socioeconmico: alto, medio, bajo.

Nivel de educacin, ya que se puede establecer que una persona con ttulo de Postgrado tiene un nivel de educacin superior al de una persona con ttulo de bachiller.

Escalas de actitudes1.7.3 ESCALAS DE MEDICIN DE INTERVALOSon variables numricas cuyos valores representan magnitudes y la distancia entre los nmeros de su escala es igual.. Las variables de intervalo carecen de un cero absoluto, por lo que operaciones como la multiplicacin y la divisin no son realizables.Con este tipo de variables podemos realizar comparaciones de igualdad/desigualdad, establecer un orden dentro de sus valores y medir la distancia existente entre cada valor de la escala Las mediciones ocupan un lugar en una escala de puntajes de intervalo constante. Ejemplos: El termmetro, cuando registra cero grados centgrados de temperatura indica el nivel de congelacin del agua y cuando registra 100 grados centgrados indica el nivel de ebullicin, el punto cero es arbitrario no real, lo que significa que en este punto no hay ausencia de temperatura.

El logro acadmico: se mide usualmente en escalas porcentuales o calificaciones de 1 a 10.

La temperatura; ya que podemos decir que la distancia entre 10 y 12 grados es la misma que la existente entre 15 y 17 grados. Lo que no podemos establecer es que una temperatura de 10 grados equivale a la mitad de una temperatura de 20 grados.

Una persona que en un examen de matemticas que obtiene una puntuacin de cero no significa que carezca de conocimientos, el punto cero es arbitrario por que sigue existiendo la caracterstica medida.

1.7.4 ESCALA DE MEDICIN DE RAZNUna escala de medicin de razn incluye las caractersticas de los tres anteriores niveles de medicin anteriores (nominal, ordinal e intervalo). Determina la distancia exacta entre los intervalos de una categora. Adicionalmente tiene un punto cero absoluto, es decir, en el punto cero no existe la caracterstica o atributo que se mide. Las variables de ingreso, edad, nmero de hijos, etc. son ejemplos de este tipo de escala. El nivel de medicin de razn se aplica tanto a variables continuas como discretas.Las variables de razn poseen las mismas caractersticas de las variables de intervalo, con la diferencia que cuentan con un cero absoluto; es decir, el valor cero (0) representa la ausencia total de medida, por lo que se puede realizar cualquier operacin Aritmtica (Suma, Resta, Multiplicacin y Divisin) y Lgica (Comparacin y ordenamiento). Este tipo de variables permiten el nivel ms alto de medicin. Ejemplos: Altura

Peso

Distancia

Nmero de hijos

Ingreso: Juan tiene en ahorros 15000, su hermana Rosa posee 30000, en cambio su amigo Pedro 0 ahorros. Lo que indica que Rosa tiene el doble de ahorros que Juan.

OBSERVACIN: Debido a la similitud existente entre las escalas de intervalo y de razn, se las puede reunir en un nuevo tipo de medida al cual se denomina ESCALA.

AUTOEVALUACIN


EJERCICIOS DE APLICACIN1) Determine en cada caso qu tipo de escala (nominal, ordinal de intervalo o de razn) usara para clasificar las siguientes variables:a) Filiacin polticab) Edad en aos cumplidos de un grupo de personasc) Grados de escolaridad de un grupo de personasd) Posicin de estudios en un curso de acuerdo a su rendimiento acadmico2) Para las siguientes variables determine cules podran ser las categoras que nos permitirn medir la variable.a) Nivel acadmicob) Ocupacin de un padre de familiac) Puntaje del ICFES de estudiantes del colegio Xd) Motivacin hacia la matemticae) Nivel de religiosidad

UNIDAD2ORGANIZACIN DE LA INFORMACIN

2 ORGANIZACIN DE LA INFORMACIN

2.1 ELABORACIN DE UNA DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS

La informacin estadstica, extrada de una poblacin o una muestra, puede contener resultados de observaciones de variables de tipo cuantitativo o cualitativo, que es necesario organizar para poder transmitir una informacin adecuada de los datos obtenidos.

Un mtodo para organizar y clasificar los datos, consiste en la formacin de una llamada distribucin de frecuencias.

Llamaremos frecuencia al nmero de veces que se repite una caracterstica o un valor en un conjunto de observaciones.

Distribucin de frecuencias.- es un mtodo estadstico para describir el comportamiento de un conjunto de datos y consiste en arreglar los datos ordenndolos por clases o categoras e indicando la frecuencia correspondiente a cada una de ellas.

EJEMPLO 1:Se cont en un periodo de 20 das la inasistencia a clases en uno de los cursos de Informtica, y los datos se presentan a continuacin:

2,0,3,4,3,1,4,5,1,2,0,3,2,4,3,4,5,3,4,2,

Hacer la tabla correspondiente

Cuando se va a construir una distribucin de frecuencias de una variable numrica, debemos decidir si es necesario agrupar los valores en intervalos o no. Esto depende de:

La cantidad de elementos a clasificar Heterogeneidad de los valores de las variables.

En el caso de muestras pequeas, como las del ejemplo 1, donde el rango o amplitud es pequeo, no se justifica establecer intervalos, sino que se procede de la forma:

xFrecuencia 02122435455220

CUADRO N 1Cantidad de inasistencia a clasesUnidad Educativa Sol de AmricaMarzo de 2004

Si la muestra es muy grande o la variable toma demasiados valores diferentes, es recomendable y hasta necesario agrupar los datos en intervalos, para lo cual, definiremos primeramente, el tipo de variable, si es cuantitativa discreta o continua.

2.2 DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS PARA DATOS DISCRETOS

En este epgrafe comenzaremos construyendo una tabla de distribucin de frecuencias, para datos cuantitativos discretos a partir de un ejemplo.

EJEMPLO 2:

En una Agencia de Vehculos de Lujo, el Propietario de Whitner Pontiac, est interesado en reunir informacin sobre los precios de venta de los vehculos que tiene a disposicin del pblico en su empresa. Los precios se observan en la siguiente tabla:

PRECIOS DE VENTA DE LOS VEHCULO VENDIDOS EN MAYO 2008 EN WHITNER PONTIAC

20197203721745420591236512445314266150212568327872

16587201693285116251170472128521324216092567012546

12935168732225122277250342153324443168891700414357

17155166882065723613178951720320765227832366129277

17642189812105222799127941526333625143991496817356

18442187221633119817167661763317962198452328524896

26076294921589018740193742157122449253371764220613

21220276551944214891178182323717445185561863921296

2.2.1 INTERVALOS DE CLASE

No existe una forma nica de decidir cuntos intervalos debemos formar en la distribucin por lo que se considera lo siguiente:

1. El nmero de intervalos se puede determinar aproximadamente por:

2. La Regla de Sturges: 1+ 3.322 log n

En ambos casos, n es la cantidad total de datos.

Entonces: 1 + 3.322 log 80 = 7.32

3. Tambin por: 2 k n

y k = 7

Por lo tanto se construyen 7 u 8 clases o intervalos.

OBSERVACINES:

1. Las clases o categoras son mutuamente excluyentes (lo cual significa que un dato u observacin solamente puede ubicarse en una categora.

2. Los intervalos de clase utilizados en una distribucin de frecuencias deben ser de igual tamao, ya que las clases de tamao desigual ofrecen problemas al representarlos grficamente, con la excepcin de que pueden haber de ser necesarios para evitar un gran nmero de clases vacas o casi vacas.

3. Al juicio personal se puede determinar el nmero de clases, pero demasiadas clases o muy pocas no nos aseguran una real informacin, por ello es recomendable utilizar como mnimo 5 clases y mximo hasta 15 en la elaboracin de una distribucin de frecuencias.

AUTOEVALUACIN


2.2.2 TAMAO O AMPLITUD DE CADA INTERVALO

1. Para determinar el Tamao o amplitud de cada intervalo, se calcula el RANGO o RECORRIDO de los valores dados. As:

Rango = valor mximo valor mnimo R = 33625 12546 = 21079

2. Luego se calcula el tamao o la amplitud de cada intervalo. Si denotamos por a, la amplitud de cada intervalo, entonces:

La amplitud (2635) debe aproximarse, en general, al nmero natural inmediato superior, de manera que se garantice que el rango cubra la totalidad de las observaciones o datos. En este ejemplo, la amplitud ser igual a 3000 ya que estamos trabajando con valores discretos.

2.2.3 LMITES DE INTERVALO O DE CLASE (L)

Para variable discreta, como es el caso de este ejemplo, seguiremos como procedimiento tomar la observacin o dato menor como el lmite inferior del primer intervalo u otro valor por debajo de ste ($ 12000) y el lmite superior ($ 15000). Los dems lmites inferiores se obtienen agregando sucesivamente el tamao del intervalo a partir del primer lmite inferior establecido.

Con los Lmites inferiores (Lo) y los Lmites superiores (Ls) tambin denominados Fronteras de clase, formamos las 8 clases planificadas:

LMITE INFERIORLMITE SUPERIOR

12000a15000

15000a18000

18000a21000

21000a24000

24000a27000

27000a30000

30000a33000

33000a36000

En este caso el lmite inferior de la primera clase (12000) es menor que el dato menor de la distribucin (12546) y el lmite superior de la ltima clase (36000) es mayor que la observacin mayor de la distribucin (33625); luego se ampli el rango, pero se garantiz que la distribucin quedar equilibrada.

2.2.4 MARCA DE CLASE O PUNTOS MEDIOS DE CLASE (Xm)

El punto medio de clase o marca de clase, es equidistante entre los lmites inferior y superior de la clase considerada y se efecta la sumatoria entre ambos y se los divide entre 2, obteniendo la mitad del intervalo, o sea el valor representativo de cada intervalo de clase.

Donde:Lo: Lmite inferior de una clase o intervaloLs: Lmite superior de esa misma clase o intervalo.

Se observa la Marca de clase de cada intervalo del ejemplo dado:

LMITES REALES DE CLASEMARCA DE CLASE

LoLsXm

120001500013500

150001800016500

180002100019500

210002400022500

240002700025500

270003000028500

300003300031500

330003600034500

2.3 TABLA DE DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS

Para la construccin de una TABLA DE DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS, y en el diseo de la misma se debe tener en cuenta los siguientes aspectos:

Debe tener un ttulo, claro, conciso y completo, que debe responder a las preguntas: Qu es la tabla?Dnde sucedi lo que presentamos?Cundo sucedi?.

Cuerpo del cuadro.

La primera columna debe estar encabezada por el nombre de la variable y su correspondiente unidad de medida, adems contiene los intervalos de clase.

DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS DE LOS PRECIOS DE VENTA DE LOS VEHCULOS DE LUJO EN WHITNER PONTIAC VENDIDOS EN MAYO 2008

Precio de Venta (miles de $)

12000 15000

15000 18000

18000 21000

21000 24000

24000 27000

27000 30000

30000 33000

33000 36000

AUTOEVALUACIN


2.3.1 CLCULOS IMPORTANTES EN OTRAS COLUMNAS:

a) Frecuencias absolutas (f): es el nmero de veces que un suceso est presente en un determinado intervalo o clase.


Precio de Venta (miles de $) Conteof

12000 15000IIII III8

15000 18000IIII IIII IIII IIII III23

18000 21000IIII IIII IIII II17

21000 24000IIII IIII IIII III18

24000 27000IIII III8

27000 30000IIII4

30000 33000I1

33000 36000I1

Total80

b) Frecuencia relativa (fr): Es la divisin de la frecuencia absoluta de cada clase entre el nmero total de observaciones y la sumatoria de estas frecuencias debe ser igual a 1; Si multiplicamos este valor por 100 nos da el porcentaje de observaciones que pertenece cada clase o intervalo y al sumar todos los porcentajes obtenemos el 100%.

c) Frecuencias Absolutas acumuladas (Fa): Corresponde al nmero de observaciones que resulta ser menor o igual a un valor dado. Y la ltima frecuencia absoluta acumulada es igual al nmero total de observaciones.

d) Frecuencia relativa acumulada (Fr): Corresponde a la frecuencia absoluta acumulada de cada clase entre el nmero total de observaciones. Si se multiplica por 100 se obtiene el porcentaje del nmero de observaciones que resulta ser menor o igual que un valor dado.

Es usual incluir en el cuerpo de todo cuadro de distribucin de frecuencias, inmediatamente despus de los intervalos de clase, la llamada marca de clase, denotada por xm.

Si construimos un cuadro de distribucin de frecuencias de los datos presentados al inicio de este ejemplo, teniendo en cuenta los aspectos tericos establecidos anteriormente.

Ubicados los datos en cada intervalo, se procede a completar la tabla de distribucin de frecuencias:


Precio de Venta (miles de $) XmffrFaFr%

12000 150001350080.100080.100010.00

15000 1800016500230.2875310.387528.75

18000 2100019500170.2125480.600021.25

21000 2400022500180.2250660.825022.50

24000 270002550080.1000740.925010.00

27000 300002850040.0500780.97505.00

30000 330003150010.0125790.98751.25

33000 360003450010.01258011.25

Total801100

AUTOEVALUACIN


2.4 DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS PARA DATOS CONTINUOS

Se sigue el mismo procedimiento que el utilizado para datos discretos, con excepcin de la formacin de las clases, donde se presentan varios criterios. Por ejemplo:

EJEMPLO 3

De un estudio realizado sobre el peso en kilogramos de 50 estudiantes, en el segundo ao de bachillerato de la especialidad de informtica en una Unidad Educativa, en el mes de Octubre del 2004, se obtienen los siguientes datos:

32.556.631.536.841.44538.641.845.241.4

3237.445.943.136.260.552.346.748.249.7

43.639.345.560.547.55144.4494646.8

39.54055.444.741.952.442.843.95051.9

43.652.54960.250.450.645504855.7

Construir un cuadro de distribucin de frecuencias.

Primero calculamos el nmero de clases o intervalos, de esta manera:

; entonces se construyen 7 u 8 intervalos

Si se construyen 7 intervalos, El rango o recorrido de este conjunto de datos primarios es:

R = valor mximo valor mnimoR = 60.5 31.5R = 29

De donde:

En el momento del clculo de la amplitud, nmero de clases y tamao del intervalo, se pueden considerar o no los decimales, a diferencia de los datos discretos en donde siempre se utilizan los valores enteros.

Es conveniente poner las clases con la misma aproximacin que se encuentran los datos, es decir si los datos presentan hasta centsimas, debemos ubicar los lmites de clases hasta las centsimas, y as con datos que tengan hasta dcimas.

Al armar las clases, los lmites inferiores se obtienen partiendo del lmite inferior de la primera clase, que puede ser la menor de las observaciones o un nmero menor, a partir del cual se suma la amplitud para obtener los siguientes lmites inferiores, como se hacen con los datos discretos, y el lmite superior de la primera clase se obtiene restando una centsima, o una dcima al lmite inferior de la segunda clase, y as hasta la formacin del resto de clases.

En el ejemplo propuesto se toma como amplitud, a = 4.2

Se forman los intervalos de clase:

Peso de estudiantes de Segundo ao de BachilleratoUnidad Educativa - Octubre de 2004

kilogramosConteo Frecuencia Absoluta

31.5 35.6III3

35.7 39.8IIIIII6

39.9 44.0IIIIIIIII9

44.1 48.2IIIIIIIIIIIIII14

48.3 52.4IIIIIIIIIII11

52.5 56.6IIII4

56.7 60.8III3

= 50

Completando la tabla:

Peso de estudiantes de Segundo ao de BachilleratoUnidad Educativa Octubre de 2004

kilogramosXmfafrFaFr

31.5 35.633.630.0630.06

35.7 39.837.860.1290.18

39.9 44.042.090.18180.36

44.1 48.246.2140.28320.64

48.3 52.450.4110.22430.86

52.5 56.654.640.08470.94

56.7 60.858.830.06501

501

Otra forma de organizar las clases o intervalos cuando los datos son continuos, que algunos autores utilizan, e incluso consideran ms sencilla, consiste en lo siguiente:

El lmite inferior del primer intervalo corresponde al valor mnimo del conjunto de las observaciones (o a otro valor menor que ste). El lmite superior del primer intervalo se obtiene agregando el tamao del intervalo al primer lmite inferior establecido.A partir de aqu se hace coincidir el lmite superior de cada clase, con el lmite inferior de la siguiente y as sucesivamente hasta llegar al lmite superior de la ltima clase. Damos por hecho, de esta forma, que trabajamos con tamaos de intervalos iguales, aunque en la prctica puede darse el caso que los tamaos de los intervalos no coincidan.

En esta variante que estamos trabajando, si aparece una observacin igual al lmite superior e inferior de una clase (pues coinciden) se tomar en la clase cuya observacin coincida con el lmite superior, excepto en la primera clase. La tabla de distribucin de frecuencia utilizando este mtodo quedara de la siguiente forma:

Peso de estudiantes de segundo ao de BachilleratoUnidad Educativa - Octubre de 2004


31.5 35.633.630.0630.06

35.7 39.837.860.1290.18

39.9 44.042.090.18180.36

44.1 48.246.2140.28320.64

48.3 52.450.4110.22430.86

52.5 56.654.640.08470.94

56.7 60.858.830.06501

501

OBSERVE QUE:

Como aparece en los datos el valor 52,5, ste se tom en la clase de 48,3 52,5, de acuerdo a lo convenido anteriormente de tomar un valor coincidente con el lmite inferior de una clase y el lmite superior de la anterior, tomarlo en esta ltima.

La excepcin de esta regla ocurre cuando aparece el valor 31,5 en los datos, que coincide con el lmite inferior de la primera clase, y que se debe tomar en esta, ya que no existe una clase anterior.

2.5 DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS PARA DATOS CUALITATIVOS

Es muy prctico, que muchas de las variables medidas, sean variables cualitativas. Pues el concepto de distribucin de frecuencias se mantiene para este tipo de variable, los intervalos o clases se constituyen ahora en las categoras de la variable medida en escala nominal u ordinal, se determina la frecuencia absoluta para cada categora y se calcula el porcentaje.

La investigacin de una empresa encuestadora, sobre la aceptacin de un cierto producto en el mercado, con vistas a su introduccin, mostr que 50 personas lo compraran, 120 personas se mostraron indecisas sobre su decisin de compra, y 75 dijeron categricamente que no lo compraran.

Una vez recogida la informacin se pudo construir el siguiente cuadro de distribucin de frecuencias[footnoteRef:1]: [1: ALVAREZ JARA/ ESTADSTICA DESCRIPTIVA 2]

CUADRO N 4Estudio sobre la introduccin de un producto en el mercadoEmpresa encuestadora Octubre de 2004

INTENCIN DE COMPRAFRECUENCIA%

S5020

INDECISOS12049

NO7531

245100

EJERCICIOS DE APLICACIN:ESTADSTICA PARA ADMINISTRACIN Y ECONOMAMASON/LIND/MARCHAL10 EDICINPG. 32-33 (1 AL 8)

2.6 REPRESENTACIONES DE TALLO Y HOJA

Es una tcnica estadstica que nos muestra un conjunto de datos y cada valor se divide en dos partes: los dgitos principales (decenas y centenas, etc) corresponden al TALLO y el dgito (unidades) corresponde a las HOJAS.

Los tallos se ubican a lo largo del eje vertical principal y las hojas con cada observacin, a lo largo del eje horizontal.

Tallo Hojas

Esta tcnica es muy utilizada para presentar informacin cuantitativa, considerando como ventaja sobre la distribucin de frecuencias es que no se pierde la identidad de cada observacin, a tal punto que se lo considera como un histograma con valores de datos en vez de grupos.

EJEMPLO[footnoteRef:2]: [2: Tomado de MASON/LIND/MARCHAL/ Estadstica para Administracin Y Economa]

El nmero de anuncios de radio de 30 segundos adquiridos por cada uno de los 45 miembros de la asociacin de agentes vendedores de automviles de Greater Buffalo el ao pasado, se presenta en la tabla a continuacin, se pide organizar los datos en una representacin de tallo y hojas. Alrededor de qu valores tienden a agruparse el nmero de anuncios de publicidad?Cul es el menor nmero de anuncios adquiridos por un agente de ventas?Cul es el mayor nmero de anuncios?.

Cantidad de anuncios de publicidad adquiridos durante 1997 por los miembros de la Asociacin de Agentes de Ventas de Automviles de Greater Buffalo.

969388117127951139610894148156

13914294107125155155103112127117120

1121351321111251041061391341199789

118136125143120103113124138

Tallo Hojas 88996356447108734631173272198312757055041395294681482315655En la solucin observamos que valor mnimo de anuncios es 88 y tomamos en cuenta para el valor de tallo el 8 y el valor mximo es 156 y su valor de tallo ser el 15. As sucesivamente se recorre cada dato u observacin para ubicarlo de acuerdo a su tallo sin importar el orden hasta cuando se hayan considerado todos los datos y realizamos la grfica:

Posteriormente se aplica el procedimiento normal, clasificando los valores de hoja en forma ordenada, tal como se muestra a continuacin:

Tallo Hojas 88993445667103346781112233778912004555771324568991423815556

Conclusiones de esta Representacin de Tallo y Hojas

1. El nmero ms bajo de anuncios adquiridos es 88 y el ms grande es 156.2. Dos agentes de ventas compraron menos de 90 anuncios y tres 150 o ms.3. La concentracin del nmero de anuncios est entre 110 y 130, nueve agentes adquirieron entre 110 y 119 anuncios y ocho compraron entre 120 y 129.

AUTOEVALUACIN


EJERCICIOS DE APLICACIN:ESTADSTICA PARA ADMINISTRACIN Y ECONOMAMASON/LIND/MARCHAL10 EDICINPG. 37-38 (9 AL 14)2.7 GRFICOS ESTADSTICOS

2.7.1 GENERALIDADES

Aunque los cuadros son el resultado de una agrupacin de datos, stos, en general, son muy amplios y complejos, de modo que, en algunos casos pueden perder lo que deba ser su cualidad fundamental: la claridad.

Las graficas se emplean para visualizar mejor la informacin, pero en general no deben sustituir al cuadro, por lo que se debe considerar como un complemento de ste; para disear un grfico, en general, se debe tener construido antes el respectivo cuadro y de esa forma recurrir a la representacin grfica para la mejor comprensin de los datos.Las grficas llevan el mismo ttulo del cuadro correspondiente en la parte superior del mismo, as como la fuente de procedencia, que siempre va debajo del grfico.Junto con el ttulo debe ir la enumeracin del grfico, para podernos referir en el momento de una exposicin o anlisis al grfico correspondiente.

La eleccin de un grfico depende de:

El objetivo que se pretende lograr en la transmisin de la informacin y el tipo de personas que lo van a observar.

La escala de medicin de la variable.

Existe gran variedad de grficos, algunos de ellos muy sofisticados, pero en nuestro curso nos referiremos solamente a los Grficos de barras, histogramas, grficos circulares o de pastel y polgonos de frecuencia.

Para variables medidas en escala nominal u ordinal, utilizaremos los diagramas de barras o los grficos circulares y para las variables medidas en escala de intervalos o de razn o proporcin utilizaremos los histogramas o los polgonos de frecuencia si la variable es continua, y los grficos de barras si la variable es discreta.

A continuacin caracterizaremos los grficos mencionados ilustrando con el ejemplo correspondiente. 2.7.2 GRFICO DE BARRAS

Se representa sobre el primer cuadrante de un sistema de coordenadas rectangulares y se ubica la variable que queremos representar sobre el eje horizontal y por el eje vertical se construye una escala de acuerdo a la variable medida.

A partir de aqu se levantan rectngulos de acuerdo a las divisiones hechas sobre el eje horizontal hasta una altura igual a la frecuencia absoluta o relativa correspondiente en la escala del eje vertical, las barras deben tener separacin entre ellas, ya que se utiliza para variable cuantitativa discreta o variable cualitativa.

Los grficos de barras pueden ser simples o compuestos; este ltimo se emplea cuando se quiere mostrar los cambios de una variable respecto a otra, y pueden ser utilizados para mostrar tanto datos cualitativos, como datos cuantitativos.

EJEMPLO 4

Construir Grfico de Barras para el cuadro de distribucin de frecuencias del ejemplo 1.

CUADRO N 1

Resultados de un test de inteligencia

Centro Educativo Matriz

Marzo de 2004

Puntajes xmfafrFaFr

55-716320.0520.05

72-888080.19100.24

89-10597110.26210.5

106-122114110.26320.76

123-13913180.19400.95

140-15614820.05421

Totales421

GRFICO N 1

Resultados de un test de Inteligencia

Centro Educativo Matriz

Marzo de 2004

EJEMPLO 5

Construir Grfico de Barras para el cuadro N 4



S5020

INDECISOS12049

NO7531

245100

GRFICO N 2

Estudio sobre la introduccin de un producto en el mercado

Empresa encuestadora

Octubre de 2004

2.7.3 HISTOGRAMA Y POLGONO DE FRECUENCIAS

Posee las mismas caractersticas de un grfico de barras, solo que por ser la variable continua, los intervalos no tienen separacin sobre el eje horizontal; y las barras quedan unidas.

EJEMPLO 6

Construir el Histograma de frecuencia a los datos continuos presentados en el ejemplo 3 que corresponde al cuadro N 3.

CUADRO N 3Peso de estudiantes de segundo ao de BachilleratoUnidad EducativaOctubre de 2004


31.5 35.633.630.0630.06

35.7 39.837.860.1290.18

39.9 44.042.090.18180.36

44.1 48.246.2140.28320.64

48.3 52.450.4110.22430.86

52.5 56.654.640.08470.94

56.7 60.858.830.06501

501

GRFICO N 3

Peso de estudiantes de segundo ao de Bachillerato

Unidad Educativa

Octubre de 2004

2.7.4 GRFICO CIRCULAR

Se trata de representar grficamente utilizando una circunferencia de cualquier radio los porcentajes correspondientes a cada categora de una variable medida fundamentalmente, en escala nominal u ordinal, hacindole corresponder una cantidad de grados de acuerdo con la frecuencia absoluta de cada categora, para lo que utilizamos la siguiente frmula:

Ni

Donde: Ni: frecuencia absoluta de la clase.N: nmero total de observaciones.EJEMPLO 7

Construir Grfico Circular para los datos cualitativos presentados en el cuadro N 4.



S5020

INDECISOS12049

NO7531

245100

Comenzamos realizando algunas operaciones auxiliares:

Como N = 245, entonces, 360 / 245 = 1,4959, que es la amplitud del ngulo central que corresponda a una observacin o dato.

Luego, si multiplicamos el valor obtenido por la frecuencia de cada una de las categoras, estaremos calculando el valor del ngulo central que corresponde a cada una de ellas.

Categora Frecuencia AbsolutaValor del ngulo en grados aproximado

S 5074

Indecisos 120176

No 75110

GRFICO N 4Estudio sobre la introduccin de un producto en el mercadoEmpresa EncuestadoraOctubre de 2004

2.7.5 POLGONO DE FRECUENCIA ACUMULADA menor que U OJIVA

En el caso de frecuencias acumuladas, los grficos se denominan ojivas, y se representan por una lnea poligonal y para construirlo se necesita de la marca de clase y de la frecuencia acumulada, las que se van marcando y uniendo puntos de acuerdo a los valores de la tabla de distribucin de frecuencia.

EJEMPLO 8

Representar un Polgono de frecuencia acumulada para el cuadro N 3.

CUADRO N 3Peso de estudiantes de segundo ao de BachilleratoUnidad EducativaOctubre de 2004


31.5 35.633.630.0630.06

35.7 39.837.860.1290.18

39.9 44.042.090.18180.36

44.1 48.246.2140.28320.64

48.3 52.450.4110.22430.86

52.5 56.654.640.08470.94

56.7 60.858.830.06501

501

GRFICO N 5

Peso de estudiantes de segundo ao de Bachillerato

Unidad Educativa

Octubre de 2004

2.7.6 OTROS TIPOS DE GRFICOS

Existen otros de tipos de grficos, que son variantes de los presentados, como las grficas de barras horizontales, las grficas de barras compuestas, los pictogramas etc.

Generalmente la construccin de grficos, se lleva a cabo mediante programas de computacin como el EXCEL, donde existe una variedad de grficos a escoger.

Debemos tener la base terica de cmo se construye un grfico, para poder incidir en un buen diseo por computadora. Otra cuestin a tener en cuenta, es que no siempre el grfico ms complicado y llamativo realizado por un programa de computacin, es el ms adecuado. Los grficos no deben perder nunca su razn de ser, que es el de transmitir informacin integralmente de forma rpida mediante una visin del mismo. EJERCICIOS DE APLICACIN:ESTADSTICA CON APLICACIONES EN MICROSOFT EXCELALVAREZ /JARAPG. 41-48

1. Un conjunto de datos consta de 72 observaciones. Cuntos intervalos recomendara para la distribucin de frecuencias?

2. Se recogen los datos sobre los ingresos mensuales de 65 trabajadores (en valores enteros), que van de $200 hasta $550. Si se quiere formar una distribucin de frecuencias con intervalos de igual amplitud Qu amplitud recomendara?

3. Un conjunto de datos discretos consta de 110 observaciones, donde la mayor observacin es 78 y la menor 33. Los datos deben organizarse en una distribucin de frecuencias.

3.1 Cuntas clases puede proponer?3.2 Cul sera la amplitud?3.3 Determine los lmites de clase. 4. El siguiente cuadro de distribucin de frecuencia, presenta informacin sobre la edad de una poblacin rural con 2375 habitantes.

Cuadro N 1Distribucin por edadesBarrio San JulioDiciembre de 2004

Aos Xm fafrFaFr

0 4180

May 4450

15 441300

45 64 320

65 90 125

Total 2375

4.1 Determine cuantas clases se han formado?4.2 Es igual la amplitud de todas las clases? Explique.4.3 Complete el cuadro de distribucin de frecuencias, calculando la marca de clase, la frecuencia relativa, la frecuencia absoluta acumulada y la frecuencia relativa acumulada.4.4 Conteste:a) Cuntos habitantes tienen una edad menor de 45 aos?b) Qu porcentaje de personas estn en una edad de 65 a 90 aos?c) A qu clase corresponde la mayor frecuencia absoluta. Cmo interpreta este resultado?

5. En un estudio realizado entre 20 familias en una manzana en la Urbanizacin San Felipe, sobre el nmero de hijos, se obtuvieron los siguientes datos:

3211240212

0123342104

5.1 Teniendo en cuenta que el rango o recorrido de las observaciones es pequeo, realice una distribucin de frecuencias.

6. Una estacin de servicios contabiliz la cantidad de clientes atendidos, en solicitud de cambios de aceite y lavado, durante 30 das, obteniendo los siguientes datos:

5574729569

8580856074

6680718077

7160638674

7176637570

5591807181

6.1 Construya una distribucin de frecuencias utilizando 6 clases y 54 como lmite inferior de la primera clase.7. Las siguientes observaciones representan los gastos en galones de combustibles por da de 40 equipos en una empresa agropecuaria.

6072788488636980

8488627482838565

7581809068757985

9267767985967077

8090957178818991

7.1 Construya una distribucin de frecuencias, utilizando 6 intervalos o clases.

8. Los siguientes datos corresponden a la estatura en metros de cincuenta nios y nias.

1.561.591.631.621.651.611.591.511.621.62

1.531.491.571.541.531.591.581.571.471.64

1.551.591.531.561.531.561.531.471.571.60

1.541.561.51.621.591.621.591.491.651.53

1.591.561.541.581.521.631.561.621.561.47

8.1 Identifique y clasifique la variable medida.8.2 Construya una tabla de distribucin de frecuencias.8.3 Haga una interpretacin tomando en cuenta los aspectos ms relevantes de la tabla.

9. El siguiente cuadro representa los hbitos de compra de 1200 personas en una cadena de farmacias durante un mes del ao 2004, teniendo en cuenta el indicador predominante en su factura, por lo que se marc cada persona en una sola categora.

Cuadro N 2Hbitos de comprasFarmacias UnidasMayo de 2004

Indicadores de comprasFrecuencia Absoluta%

Cuidado personal45638

Medicinas 54

Alimentos 60

Regalos 2

Otras 12

Total 1200100

9.1 Complete la tabla anterior9.2 Haga una breve interpretacin de los resultados.

10. Durante el mes diciembre del 2003, se recogen datos relacionados con la cantidad de turistas por nacionalidad que visitan la ciudad de baos; del total de turistas registrados en los hoteles, 1724 fueron norteamericanos, 2910 fueron alemanes, 1515 canadienses y 820 de otros pases.10.1 Construya una tabla de distribucin de frecuencias.

11. Los siguientes datos, se corresponden con el precio de una accin en la bolsa de los valores, durante 11 das del mes de febrero del ao 1998, con los que se ha confeccionado un polgono de frecuencias.

Datos del cierre de una acciones en la Bolsa de ValoresPrecios

Dia 110120

210225

310350

410210

510350

610420

710630

810580

910700

1010600

1110700

11.1 Partiendo de estos datos construya un grfico de lnea, o polgono de frecuencia.

11.2 Observe el grfico presentado y diga cul fue la tendencia de los precios de estas acciones en los 11 das observados.

11.3 Qu das tuvieron estas acciones el precio ms alto y el precio ms bajo?

11.4 Qu das durante el perodo analizado los precios bajaron?

12. El siguiente grfico presenta los resultados de medir el estado civil de las personas que se acercan a la renovacin de la clula en el registro civil, durante cinco das de una semana del mes de Octubre del 2004.

a. Identifica el grfico utilizandob. Realiza una interpretacin de los resultados.c. Si la cantidad de personas muestreadas fue de 3500. Construye la tabla de distribucin de frecuencias correspondientes.

13. Elabora una carpeta con los distintos tipos de grficos, uno en cada hoja, donde debe aparecer: un histograma, un polgono de frecuencias, una grfica de barras compuestas, un diagrama circular, un pictograma y otras dos grficas de diferentes tipos, y presentarlas segn el siguiente formato:

Identificacin del grfico Variable de la cual se presenta la informacin del grfico Ttulo del grfico Presentacin del grfico, recortado de un peridico, revista, o bajando de internet. Breve interpretacin del contenido del grfico

14. Construye un grfico de barras y un grfico de ojiva, tomando como bases el cuadro de distribucin de frecuencias de la Actividad No. 4

15. Construye un grfico de barras para cada una de las tablas correspondientes a las actividades 5 y 6, as como los grficos de frecuencias acumuladas.

16. Construye un histograma para el cuadro de distribucin de frecuencias de la Actividad No. 8 y un polgono de frecuencias acumuladas.

17. Construye un grfico de barras horizontales para el cuadro de distribucin de frecuencias de la Actividad No.9.

18. Construye un grfico circular para el cuadro de distribucin de frecuencias de la Actividad No. 10.19. Construye un grfico de barras horizontales para el cuadro de la Actividad No. 11.20. Se presentan los datos de entradas vendidas en 4 salas de cine de un centro comercial, que cuenta con 550 butacas, y donde se realizan como promedio cuatro funciones por da.

SemanaLunesMartesMircoles Jueves Viernes Sbado Domingo

1230900115030084015001900

23205001050420120020001600

3290880840500140014502100

4300380900340135015001980

Totales

a. Elabora una distribucin de frecuencias, tomando 6 clases de amplitud 320, haciendo el primer lmite inferior igual a 210.b. Haz un grfico de barras para la distribucin de frecuencias elaborada.c. Construye un polgono de frecuencias acumuladas.

d. Completa los totales por cada da de la semana, y elabora un polgono de frecuencias que refleje el comportamiento de la asistencia a estas salas de cine, cada da de la semana.

UNIDAD3MEDIDAS DE UBICACIN O CENTRALIZACIN O DE TENDENCIA CENTRAL

3.- MEDIDAS DE UBICACIN, CENTRALIZACIN O DE TENDENCIA CENTRAL

3.1. GENERALIDADES

Con las tablas de distribucin de frecuencia y sus correspondientes grficas se puede observar la tendencia general del fenmeno en estudio; estas tcnicas estadsticas son incompletas pues presentan limitaciones en cuanto a la descripcin y el anlisis de los datos, sin embargo, es posible el clculo de ciertas cantidades numricas que permitan caracterizar de mejor forma un conjunto de datos u observaciones.

Esta buena caracterizacin la proporcionan las medidas de tendencia central y de variacin, cuyo propsito es reducir el conjunto de datos primarios a unos valores descriptivos llamados parmetro o estadgrafos, segn procedan lo datos de la poblacin o de la muestra respectivamente.

Entonces, un parmetro es cualquier caracterstica medible de una poblacin, y un estadgrafo es cualquier caracterstica medible de una muestra.

Recordemos que por poblacin entendemos el conjunto de todos los elementos que poseen una caracterstica comn para la investigacin y una muestra es cualquier subconjunto de la poblacin.

Existen varios tipos de parmetros o estadgrafos como se muestran en el siguiente esquema:

Tipos de Estadgrafos

De posicin o tendencia centralRangoDesviacin MediaVarianzaDesviacin Tpica o EstndarCoeficiente de VariacinAlrededor de que valor se encuentran agrupados un conjunto de datosGrado de dispersin o concentracin de los datos alrededor de un determinado valor centralCoeficiente de asimetraAsimetra o DeformacinDispersin

Media AritmticaMedia PonderadaMedia GeomtricaModaMediana

El estudio de las medidas de tendencia central, de dispersin y de Asimetra o deformacin, nos permitirn caracterizar de una forma efectiva un conjunto de datos.3.2 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

En forma general las medidas de tendencia central, nos describen datos para el que se encuentra un nico valor que representa un conjunto de datos y se lo conoce tambin como promedio.

3.3 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS NO AGRUPADOS

3.3.1 MEDIA ARITMTICA SIMPLE

3.3.1.1 MEDIA DE LA POBLACIN

Muchos estudios utilizan los valores de una poblacin, por ejemplo si hay 12 asociados de ventas trabajando en la Sucursal Reynolds Road de la Emprea New York Carpet World, la media de las comisiones devengadas el mes pasado fue de $1345, consideramos esto un valor de poblacin porque incluye a todos los vendedores.

Tambin puede ser la media del nmero de horas adicionales trabajadas la semana pasada por los empleados de la Fiscala, que es de 3.25 horas, etc.

Para los datos que no han sido agrupados en una distribucin de frecuencias o en una representacin de tallo y hoja, la media de una poblacin es la suma de todos los valores de esta dividida entre el total de valores en la poblacin, su frmula es:

O sea:

Donde:

Un parmetro es cualquier caracterstica medible de una poblacin, entonces la media de una poblacin es un parmetro, as como la amplitud de variacin (la diferencia entre el valor ms grande y el ms pequeo en un conjunto de datos).

Ejemplo:

Hay 12 fabricantes de automviles en EEUU. A continuacin presentamos el nmero de patentes otorgadas por el gobierno de EUA a cada empresa el ao pasado.

CompaaNmero de patentes otorgadasCompaaNmero de patentes otorgadas

General Motors511Mazda210

Nissan385Chrysler 97

Daimier Benz275Porsche 50

Toyota257Mitsubishi 36

Honda249Volvo 23

Ford 234BMW 13

Esta informacin es una muestra o una poblacin?Cul es la media aritmtica de los nmeros de patentes otorgadas?Cmo se interpreta el valor de la media?.

Esta informacin es una poblacin, ya que se consideran todas las compaas automovilsticas que obtuvieron patentes.

El nmero tpico de patentes recibido (195) es un parmetro de poblacin.

3.3.1.2 MEDIA DE UNA MUESTRA

Si se selecciona una muestra de la poblacin para determinar algo acerca de una caracterstica especfica de esta, por ejemplo, un departamento de control de calidad necesita tener la seguridad de que los cojinetes que se estn produciendo tienen un dimetro exterior aceptable. Resultara muy costoso y tardado verificar el dimetro exterior de todos los elementos que se estn produciendo en masa, por lo tanto, se selecciona una muestra de 5 cojinetes y calcular el dimetro exterior promedio de los mismos para estimar el dimetro de todos los cojinetes que son producidos.

Para datos no agrupados, la media es la suma de todos los valores dividida entre el nmero total de los mismos, su frmula es:

La media de una muestra y la media de una poblacin se calculan de igual manera, pero se utiliza diferente simbologa, o sea:

Donde:

La media de una muestra, o cualquier otra medida basada en datos muestrales, se denomina dato estadstico por lo que es una caracterstica de la muestra.

Ejemplo:

La empresa Merrill Lynch Global Fund se especializa en tratos a largo plazo de pases extranjeros. Interesa saber la tasa de inters de estos acuerdos financieros. Una muestra aleatoria de seis bonos present lo siguiente:

Artculo Tasa de inters

Bonos del gobierno de Australia 9.50%

Bonos del gobierno de Blgica 7.25%

Bonos del gobierno de Canad 6.50%

B-Tan del gobierno de Francia 4.75%

Bonos del gobierno de Italia12.00%

Bonos del gobierno de Espaa 8.30%

Cul es la media de las tasas de inters en esta muestra de tratos de finanzas a largo plazo?

La tasa de inters media de la muestra es igual al valor 8.05%.

3.3.1.3 PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMTICA:

1. Para un conjunto de datos, medidos en escala de intervalos o de razones y proporciones, existe una y solo una media aritmtica. Por lo que se considera la UNICIDAD de la media aritmtica.

2. Al evaluar la media se incluyen todos los valores.

3. La media es una medida muy til para comparer dos o ms poblaciones. Por ejemplo se puede comparer el desempeo en la produccin de los operarios del primer turno de una planta de tratamiento de agua, con el de los del segundo turno.

4. La media es la nica medida de ubicacin donde la suma de las desviaciones de cada valor con respect a la media, siempre sera cero. Lo que se expresa en forma simblica, as:

EJEMPLO:

La media de 3, 8 y 4 es 5. Entonces:

Por lo tanto la media se la puede considerar como un punto de equilibrio para un conjunto de datos.

3.3.1.4 DESVENTAJAS DE LA MEDIA ARITMTICA

1. S uno de sus datos o valores es muy pequeo o muy grande, la media no podra ser un promedio adecuado para representar los datos. Por ejemplo:

S los ingresos anuales (dlares) de un pequeo grupo de empleados del sector pblico, fueran de $ 62 700, $ 61 500, $ 62 800, $ 60 200 y $ 800 000, el ingreso medio ser de $ 209 440, resulta obvio que un dato no es representativo como es el del ltimo empleado que su ingreso est afectando la media de los dems que est en el intervalo de $ 60 000 a $ 63 000.

2. La media es inadecuada s hay una clase de extremos abiertos para datos agrupados en una distribucin de frecuencias. Por ejemplo:

S una distribucin tiene una clase de extremo abierto $ 50 000 y mayor y si hay 5 personas en ese intervalo desconocemos si su ingreso ser de $ 80 000, $ 200 000 o $ 5 000 000 y no es posible determinar su media de ingreso por su extremo abierto.

EJERCICIO DE APLICACIN SOBRE DESVENTAJA DE LA MEDIA ARITMTICA

Se toma el sueldo mensual (dlares) de cuatro trabajadores: 350, 2000, 400, 310 y se calcula la media aritmtica (se aplican las 2 desventajas):.

Resulta 10 y no cero (0), por lo tanto se comprueban las desventajas.

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EJERCICIOS DE APLICACIN:ESTADSTICA PARA ADMINISTRACIN Y ECONOMAMASON/LIND/MARCHAL10 EDICINPG. 72-73 (1 AL 10)3.3.2 MEDIA ARITMTICA PONDERADA.

La media ponderada es un caso especial de la media aritmtica. Se presenta cuando hay varias observaciones del mismo valor que pueden ocurrir si los datos se han agrupado en una distribucin de frecuencias.

La media ponderada de un conjunto de nmeros designados por X1, X2, X3,, Xn, con las ponderaciones (o pesos) correspondientes W1, W2, W3,, Wn, se calcula por:

Abreviando la frmula, tenemos:

EJEMPLO

Supongamos que el puesto de refrescos cercano a la Universidad, vendi refrescos medianos, grandes y extragrandes por $ 0.60, $ 080 y $ 1.20 centavos, respectivamente. De los ltimos 10 refrescos vendidos, 5 eran medianos, 2 eran grandes y 3 extragrandes. Se desea calcular la media de estos refrescos:

El promedio de precio de venta de los refrescos es de $ 0.82.

Pero lo ideal para encontrar el precio de venta medio, es determinar la media ponderada, es decir multiplicando cada observacin por el nmero de veces que aparece. Se representa por: y se lee x con raya subndice w y tenemos:

EJEMPLOSupongamos que un inversionista deposita $3000 en un banco al 5,32% de inters anual y $7500 en bonos a un 7,54% de inters anual. Vamos a determinar el promedio de inters anual del total de inversiones que ha realizado.

El promedio de inters anual del total de inversiones realizadas es de aproximadamente de un 7%.

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EJERCICIOS DE APLICACIN:ESTADSTICA PARA ADMINISTRACIN Y ECONOMAMASON/LIND/MARCHAL10 EDICINPG. 74 (11 AL 14)

3.3.3 MEDIANA

Es una medida de posicin que en un conjunto de observaciones finitas divide al mismo en dos partes iguales; es un valor tal, que deja el 50% de las observaciones por encima y por debajo del valor mediano. Para determinar la mediana en datos no agrupados se ORDENAN stos y se determina que valor est en el centro, tal que deje la misma cantidad de observaciones por encima y por debajo del mismo. Si existe un nmero par de observaciones se promedian los dos valores centrales para obtener la mediana.

Simblicamente la denotaremos por Me aunque tambin puede ser

EJEMPLO

Dado el conjunto de observaciones: 5, 2, 4, 7, 3, 10, 8. S queremos calcular la mediana, lo primero que tenemos que hacer e proceder a ordenarlos.

2, 3, 4, 5, 7, 8, 10

De donde el valor central ser Me = 5

EJEMPLO

Dado el conjunto de observaciones: 17, 14, 13, 16, 20, 18, 17, 19, 17, 18, 13, 20. S queremos calcular la mediana, tenemos que ordenar las observaciones de la siguiente forma: 13, 13, 14, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 19, 20, 20

Y como existe un nmero par de observaciones, entonces la mediana ser igual a la suma de los dos valores centrales divididos para 2. As:

3.3.3.1 CARACTERSTICAS O PROPIEDADES DE LA MEDIANA:

1. Siempre existe.2. Es nica.3. No se ve afectada por valores extremos.4. Se expresa en las mismas unidades de medida que las observaciones.5. Puede obtenerse para datos de nivel de razn, de intervalo y ordinal excepto para el nivel nominal.

EJEMPLO

La mediana del precio de las unidades disponibles es $ 70 000. Para determinar ese valor, se ordenaron los precios de menor ($ 60 000) a mayor ($ 275 000) y se seleccion el valor medio ($ 70 000).

Precios ordenados de menor a mayorPrecios ordenados de mayor a menor

$ 60 000$ 275 000

$ 65 000$ 80 000

$ 70 000Mediana$ 70 000

$ 80 000$ 65 000

$ 275 000$ 60 000

3.3.4 MODA

Es el estadgrafo de posicin que representa el valor ms tpico en el conjunto de observaciones. Indica el o los valores que aparecen con mayor frecuencia.

Se denota como Mo, aunque tambin se utiliza

EJEMPLO

Dado el conjunto de observaciones: 17, 14, 13, 16, 20, 18, 17, 19, 17, 18, 13, 20.

17, 14, 13, 16, 20, 18, 17, 19, 17, 18, 13, 20 la moda Mo = 17, ya que es el dato que ms se repite.

EJEMPLO

El conjunto de observaciones 10, 20, 35, 40, 32 no tiene moda.

EJEMPLO

El conjunto de observaciones 5, 3, 8, 5, 3, 3, 5, 3, 4 y 5 tiene dos modas, a saber:

Mo = 5 y Mo = 3

3.3.4.1 CARACTERSTICAS O PROPIEDADES DE LA MODA:

1. Puede no existir2. Puede no ser nica3. No se afecta por valores extremos4. Puede determinarse para todos los niveles de datos: nominal, ordinal, de intervalo y de razn.5. Puede utilizarse como complemento de la media.

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3.3.5 MEDIA GEOMTRICA

Se presenta a la media geomtrica en dos formas, ya que es til para calcular el promedio cuando tenemos porcentajes, razones, ndices o tasas de crecimiento. Adems es aplicada ampliamente en los negocios y en la economa porque frecuentemente interesa encontrar el cambio porcentual en ventas, sueldos o cifras econmicas, como el PIB.

APLICACIN 1: Su clculo para un conjunto de n nmeros positivos se define como la raz n-sima del producto de los n datos o valores.

Su frmula es:

La media geomtrica siempre ser la media aritmtica y todos sus valores deben ser positivos para su respectivo clculo.

EJEMPLO

Suponemos que Juan recibe un aumento de 5% en su sueldo este ao, y recibir uno de 15% el prximo ao. Para el primer aumento si es 5% entonces sera 105% o sea 1.05 y el segundo aumento es 15% entonces sera 115% o sea 1.15, calculamos:

Consideramos el aumento porcentual promedio en el valor de 9.866 y no 10.0, recuerde que la media geomtrica debe ser menor a la media aritmtica (5% +15%)/2 = 10%, entonces por ello el valor de 0.09886.

S fuera el caso de Juan que su ingreso mensual inicial era de $ 3 000 y que recibi dos aumentos; de 5% y 15%.

Aumento 1 =$ 3 000 (0.05) =$ 150.00

Aumento 2 =$ 3 150 (0.15) =$ 472.50

Total$ 622.50

El aumento total en el sueldo es de $ 622.50. Esto equivale a:

$ 3 000 (0.09886) =$ 296.58

$ 3 150 (0.09886) =$ 325.90

$ 622.48Redondeado $ 622.50

CONCLUSIN: Este ejemplo nos muestra la media geomtrica de varios porcentajes.

APLICACIN 2: Encontrar un aumento porcentual promedio en un intervalo de tiempo.

La tasa de aumento se determina a partir de la siguiente frmula:

AUMENTO PORCENTUAL PROMEDIO EN UNPERIODO DADO

EJEMPLOSupngase que la Poblacin de Jipijapa, Manab, en 1998 el aumento fue de 2 personas y para 1998 era 22. Cul fue la tasa del incremento porcentual anual promedio para el periodo?. Entre 1988 a 1998 hay 10 aos, o sea n = 10

El valor final es 0.271. Por lo que la tasa de aumento anual es de 27.1%, esto significa que la tasa de crecimiento de la poblacin en Jipijapa es de 27.1% al ao.

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EJERCICIOS DE APLICACIN:ESTADSTICA CON APLICACIONES EN MICROSOFT EXCELALVAREZ /JARAPG. 58-61 (1 AL 13)

3.4 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS:

En forma general los datos sobre ingresos, edades, etc, se agrupan y presentan en una distribucin de frecuencias, por lo que es necesario obtener un valor representativo para los datos y es imprescindible estimarlo con base en la distribucin de frecuencias. 3.4.1 MEDIA ARITMTICA

Para calcular la media aritmtica de datos agrupados en una tabla de distribucin de frecuencias, vamos a asumir que la marca de clase representa a todos los datos de cada clase o intervalo.

As, la media aritmtica de una muestra de datos agrupados se calcula por:

Donde:

EJEMPLO

Si tomamos el ejemplo de Whitner Pontiac, elaboramos una distribucin de frecuencias para los precios de venta de los vehculos. Determine la Media Aritmtica del precio de venta de los vehculos.

Precio de Venta (miles de $) f

12 158

15 1823

18 2117

21 2418

24 278

27 304

30 331

33 361

Total80

Precios de venta de los vehculos de lujo en Whitner Pontiac vendidos en mayo 2008

Precio de Venta (miles de $) fXmfX

12 15813.5 $ 108.0

15 182316.5 379.5

18 211719.5 331.5

21 241822.5 405.0

24 27825.5 204.0

27 30428.5 114.0

30 33131.5 31.5

33 36134.5 34.5

Total80$ 1 608.0

En consecuencia, la media del precio de venta de los vehculos es aproximadamente de $ 20 100.

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3.4.2 MEDIANA

Al ubicarse los datos en una tabla de distribucin de frecuencias, no es posible utilizar el mtodo empleado para los datos sin agrupar, ya que parte de la informacin no es identificable.

Como resultado no es posible determinar exactamente el valor de la mediana, sin embargo puede estimarse, partiendo de identificar la clase donde se encuentra la mediana, y a partir de ah aplicar la frmula:

Donde:

L es el lmite inferior de la clase que contiene a la medianan es el nmero total de frecuenciasf es la frecuencia de la clase antes mencionadaFA es la frecuencia acumulada anterior que precede a la clase de la medianai es el ancho de la clase en que se encuentra la mediana

Si tomamos el ejemplo:

Precios de venta de 80 vehculos nuevos vendidos el mes de julio en Whitner Pontiac.

Precio de venta(miles de $)Nmero vendido(f)Frecuencia acumulativa(FA)

12 1588

15 182331

18 211748

21 241866

24 27874

27 30478

30 33179

33 36180

Total80

Primero se estimar la mediana localizando la clase en la cual se encuentra, e interpolando. Despus se aplicar la frmula para el clculo de la mediana a fin de verificar su respuesta.Aplicando la frmula:

3.4.3 MODA

Definimos la moda, como el valor que ocurre con ms frecuencia. Para datos agrupados en una distribucin de frecuencias, es posible aproximar la moda usando el punto medio de la clase que contiene el mayor nmero de frecuencias de clase.

Su frmula es:

EJEMPLO

Utilicemos el siguiente cuadro para ejemplificar el clculo de la moda.

CUADRO N 3Peso de estudiantes de Segundo ao de BachilleratoUnidad EducativaOctubre de 2004

31,5 35,733,630,0630,06100,8

35,7 39,937,860,1290,18226,8

39,9 44,14290,18180,36378

44,1 48,346,2140,28320,64646,8

48,3 52,550,4120,24440,88604,8

52,5 56,754,630,06470,94163,8

56,7 60,958,830,06501176,4

501

Sustituyendo en la frmula:

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3.5 CONFIGURACIN DE LAS DISTRIBUCIONES

Significa que la distribucin tiene la misma forma (simtrica) (sesgo cero) a ambos lados del centro, es decir si se dobla el polgono se observan dos mitades idnticas.S la distribucin se vuelve asimtrica o sesgada hacia la derecha (asimetra positiva), la relacin entre los tres promedios cambia.S la distribucin se vuelve asimtrica o sesgada hacia la izquierda (asimetra negativa), la relacin entre los tres promedios cambia.

La Moda, la Mediana y la Media se localizan en el centro y siempre son igualesLa Media Aritmtica es el mayor de los tres promedios, le sigue la Mediana y de ltimo la Moda como el valor menor.La Moda es el mayor de los tres promedios, le sigue la Mediana y de ltimo queda el valor de la Media Aritmtica.

Moda = Media = MedianaMedia Mediana ModaModa Mediana Media

Mo = = Me Me MoMo Me

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EJERCICIOS DE APLICACIN:ESTADSTICA PARA ADMINISTRACIN Y ECONOMAMASON/LIND/MARCHAL10 EDICINPG. 92-97 (37 AL 62) LOS IMPARES

3.6 CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES

Me

Q1 Q2 Q3

D5

P50

3.6.1 CUARTILESLos cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.Q2 coincide con la mediana.

3.6.1.1 CLCULO DE LOS CUARTILES1. Ordenamos los datos de menor a mayor. 2. Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresin:

Nmero impar de datos: 2, 5, 3, 6, 7, 4, 9 2345679

Q1Q2Q3

Nmero par de datos: 2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 912345679

2.54.56.5

Q1Q2Q3

3.6.1.2 CLCULO DE LOS CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOSEn primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

EJEMPLOCalcular los cuartiles de la distribucin de la tabla:

fiFi

[50, 60)88

[60, 70)1018

[70, 80)1634

[80, 90)1448

[90, 100)1058

[100, 110)563

[110, 120)265

65

CLCULO DEL PRIMER CUARTIL

CLCULO DEL SEGUNDO CUARTIL

CLCULO DEL TERCER CUARTIL

3.6.2 DECILES

Los deciles, son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.D5 coincide con la mediana.3.6.2.1 CLCULO DE LOS DECILESEn primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

3.6.2.2 CLCULO DE LOS DECILES PARA DATOS AGRUPADOSEJEMPLOCalcular los deciles de la distribucin de la tabla:

fiFi

[50, 60)88

[60, 70)1018

[70, 80)1634

[80, 90)1448

[90, 100)1058

[100, 110)563

[110, 120)265

65

CLCULO DEL SEGUNDO DECIL

CLCULO DEL QUINTO DECIL

CLCULO DEL OCTAVO DECIL

3.6.3 PERCENTILESLos percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.P50 coincide con la mediana.3.6.3.1 CLCULO DE LOS PERCENTILESEn primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

3.6.3.2 CLCULO DE LOS PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOSEJEMPLOCalcular el percentil 35 y 60 de la distribucin de la tabla:

fiFi

[50, 60)88

[60, 70)1018

[70, 80)1634

[80, 90)1448

[90, 100)1058

[100, 110)563

[110, 120)265

65

CLCULO DEL PERCENTIL 35

CLCULO DEL PERCENTIL 60

AUTOEVALUACIN



UNIDAD4MEDIDAS DE DISPERSIN O DE VARIABILIDAD

4.1 MEDIDAS DE DISPERSIN O DE VARIABILIDAD

Las medidas de dispersin nos informan sobre cunto se alejan del centro los valores de la distribucin.El conocimiento de la forma de la distribucin y del respectivo promedio de una coleccin de valores de una variable, puede servir para tener una idea bastante clara de la conformacin, pero no de la homogeneidad de cada una de los valores con respecto a la medida de tendencia central aplicada.En el caso de las variables con valores que pueden definirse en trminos de alguna escala de medida de igual intervalo, puede usarse un tipo de indicador que permite apreciar el grado de dispersin o variabilidad existente en el grupo de variantes en estudio.A estos indicadores les llamamos medidas de dispersin, por cuanto que estn referidos a la variabilidad que exhiben los valores de las observaciones, ya que si no hubiere variabilidad o dispersin en los datos inters, entonces no habra necesidad de la gran mayora de las medidas de la estadstica descriptiva.Las medidas de tendencia central tienen como objetivo el sintetizar los datos en un valor representativo, las medidas de dispersin nos dicen hasta que punto estas medidas de tendencia central son representativas como sntesis de la informacin. Las medidas de dispersin cuantifican la separacin, la dispersin, la variabilidad de los valores de la distribucin respecto al valor central. Distinguimos entre medidas de dispersin absolutas, que no son comparables entre diferentes muestras y las relativas que nos permitirn comparar varias muestras.

Al igual que sucede con cualquier conjunto de datos, la media, la mediana y la moda slo nos revelan una parte de la informacin que necesitamos acerca de las caractersticas de los datos. Para aumentar nuestro entendimiento del patrn de los datos, debemos medir tambin su dispersin, extensin o variabilidad.La dispersin es importante porque: Proporciona informacin adicional que permite juzgar la confiabilidad de la medida de tendencia central. Si los datos se encuentran ampliamente dispersos, la posicin central es menos representativa de los datos.

Ya que existen problemas caractersticos para datos ampliamente dispersos, debemos ser capaces de distinguir que presentan esa dispersin antes de abordar esos problemas.

Quiz se desee comparar las dispersiones de diferentes muestras. Si no se desea tener una amplia dispersin de valores con respecto al centro de distribucin o esto presenta riesgos inaceptables, necesitamos tener habilidad de reconocerlo y evitar escoger distribuciones que tengan las dispersiones ms grandes.Pero si hay dispersin en la mayora de los datos, y debemos estar en capacidad de describirla. Ya que la dispersin ocurre frecuentemente y su grado de variabilidad es importante, cmo medimos la variabilidad de una distribucin emprica?, vamos a considerar slo algunas medidas de dispersin absolutas: el rango, la desviacin media, la varianza, la desviacin estndar y el coeficiente de variacin.4.1.1 RANGO O RECORRIDO O AMPLITUD DE VARIACIN

El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribucin estadstica.

R = Dato mayor Dato menorR = Valor Mximo Valor Mnimo

4.1.2 DESVIACIN MEDIA (DM)

La desviacin respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable estadstica y la media aritmtica.

DM = x -

La desviacin media es la media aritmtica de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media. La desviacin media se representa por: DM

Donde:

EJEMPLO

Calcular la desviacin media de la distribucin: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

AUTOEVALUACIN



4.1.3 VARIANZA O VARIANCIA (2)

La varianza es la media aritmtica del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribucin estadstica.

VARIANCIA POBLACIONALVARIANCIA MUESTRAL

FRMULA CONCEPTUAL

FRMULA OPERATIVA

EJEMPLOLas edades de los pacientes del pabelln de aislados del Hospital Verdi Cevallos, son: 38, 26, 13, 41 y 22 aos. Cul es la variancia de esa poblacin?

Edades(X)X - (X - )2

38+10100

26-24

13-15225

41+13169

22-636

1400534

EJEMPLO

Los sueldos por hora en una muestra de trabajadores de medio tiempo en la empresa Fruit JSCB, son (en dlares): $2, $10, $6, $8 y $9. Cul es la variancia muestral?.

Mtodo 1Mtodo 2

Sueldo por hora(x)

24

10100

636

864

981

35285

Sueldo por hora(x)x -

2- 525

10 39

-11

8 11

9 24

35040

4.1.3.1 PROPIEDADES DE LA VARIANZA

La varianza ser siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

Si a todos los valores de la variable se les suma un nmero la varianza no vara. Si todos los valores de la variable se multiplican por un nmero la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho nmero.

Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.

4.1.3.2 OBSERVACIONES SOBRE LA VARIANZA

La varianza, al igual que la media, es un ndice muy sensible a las puntuaciones extremas.

En los casos que no se pueda hallar la media tampoco ser posible hallar la varianza.

La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones estn elevadas al cuadrado.

4.1.4 DESVIACIN TPICA o ESTNDAR ()

La desviacin tpica es la raz cuadrada de la varianza, es decir, la raz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviacin.

La desviacin tpica se representa por .

DESVIACIN TPICA POBLACIONALDESVIACIN TPICA MUESTRAL

De los ejercicios anteriores, tenemos las desviaciones, respectivamente:

DESVIACIN TPICA POBLACIONALDESVIACIN TPICA MUESTRAL

10.33S = 3.16

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4.1.4.1 PROPIEDADES DE LA DESVIACIN TPICA

La desviacin tpica ser siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

Si a todos los valores de la variable se les suma un nmero la desviacin tpica no vara. Si todos los valores de la variable se multiplican por un nmero la desviacin tpica queda multiplicada por dicho nmero.

Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones tpicas se puede calcular la desviacin tpica total.

4.1.4.2 OBSERVACIONES SOBRE LA DESVIACIN TPICA

1. La desviacin tpica, al igual que la media y la varianza, es un ndice muy sensible a las puntuaciones extremas.

2. En los casos que no se pueda hallar la media tampoco ser posible hallar la desviacin tpica.

3. Cuanta ms pequea sea la desviacin tpica mayor ser la concentracin de datos alrededor de la media.

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4.2 MEDIDAS DE DISPERSIN PARA DATOS AGRUPADOS4.2.1 RANGO PARA DATOS AGRUPADOSR= (lim. Sup. de la clase n lim. Inf. De la clase 1)Ejemplo:Si se toman los datos del ejemplo resuelto al construir la tabla de distribucin de frecuencia de las cuentas por cobrar de Cabreras y Asociados que fueron los siguientes:ClasesP.M.XiffrFafra

7.420 21.83514.628100.33100.33

21.835 36.25029.04340.13140.46

36.250 50.66543.45850.17190.63

50.665 65.08057.87330.10220.73

65.080 79.49572.28830.10250.83

79.495 93.91086.70350.17301.00

TotalXXX301.00XXXXXX

El rango de la distribucin de frecuencias se calcula as:R = (lim. Sup. de la clase n lim. Inf. De la clase 1)R = (93 910 7 420) = 86 490

4.2.2 LA VARIANZA (S) () PARA DATOS AGRUPADOSEJEMPLO:Se tienen los datos de una muestra de 30 cuentas por cobrar de la tienda Cabreras y Asociados dispuestos en una tabla de distribucin de frecuencias, a partir de los cuales se deber calcular la varianza, para lo cual se construye la siguiente tabla estadstica de trabajo, si se calcul anteriormente la media aritmtica y result 43 458 (ver ejemplo del calculo en "media aritmtica para datos agrupados) de la siguiente manera:

ClasesMarca de clase XiFrecuenciafiXi2Xi(fi)X2(fi)

7.420 21.83514 62810 213 978 146 280 2,139 780

21.835 36.25029 0434 843 496 116 172 3,373 984

36.250 50.66543 4585 1,888 598 217 270 9,442 990

50.665 65.08057 8733 3,349 284 173 61910,047 852

65.080 79.49572 2883 5,225 555 216 86415,676 665

79.495 93.91086 7035 7,533 025 433 96537,665 125

TotalXXX3019,053 9361,304 19078,346 396

Respuesta: la varianza de las cuentas por cobrar es igual $ 721 645

4.2.3 DESVIACIN TPICA PARA DATOS AGRUPADOS

EJEMPLO

Calcular la desviacin tpica de la distribucin de la tabla:

xifixi fixi2 fi

[10, 20)15115225

[20, 30)2582005000

[30,40)351035012 250

[40, 50)45940518 225

[50, 60)55844024 200

[60,70)65426016 900

[70, 80)75215011 250

421 82088 050

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EJERCICIOS DE APLICACIN:ESTADSTICA PARA ADMINISTRACIN Y ECONOMAMASON/LIND/MARCHAL10 EDICIN

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