28

Página 109

A) 8 IV 8 De proporcionalidad inversa.

B) 8 V 8 Cuadrática.

C) 8 III 8 Cuadrática.

D) 8 I 8 Lineal.

E) 8 II 8 Raíz.

Página 111

1 a) Falso. Por ejemplo, el dominio de la función cuadrática f (x) = 2x 2 + 5x – 3 es .

b) Verdadero. Siempre que x ≥ 0 la función está definida.

c) Verdadero. Cuando x ≤ 0, se tiene que –x ≥ 0 y la fun-ción está definida correctamente.

2 a) (–∞, –1] « [1, +∞) b) [1, +∞)

c) (–∞, 1] d) [–2, 2]

e) f ) (– ∞, –1) « (1, +∞)

g) (1, +∞) h) (– ∞, 1)

i) – {–2, 2} j) (– ∞, –2) « (2, +∞)

k) l) – {0}

m) – {0} n) – {–2, 2}

ñ) o) – {–1}

p) (0, +∞)

Página 113

1

1

1

Y

X

2 y = – x49

447+ , x é [0, 10]

3 a) f (2003) = 10 960 alumnos

b) f (2005) = 12 080 alumnos

c) f (2000) = 9 280 alumnos

d) f (2010) = 14 880 alumnos

e) f (2040) = 31 680 alumnos, aunque la extrapolación es demasiado grande.

4 a) 6,2 l

b) 7,7 l

c) 12,7 l, aunque la extrapolación es demasiado grande.

Página 114

1 a)

–2 2

2

–2

4

6

4

–4

c)

–2 2

2

–2

4

6

4

–4

b)

–2 2

2

–2

4

4

–4

–6

Y

X

Y

X

Y

X

d)

–2 2

2

–2

4

6

4

–4

f )

2–4

4

–6–10

–8

8

12e)

–2 2

2

–2

4

4

6

8

Y

X

Y

X

Y

X

a)

–2 2

2

–2

4

6

4

–4

c)

–2 2

2

–2

4

6

4

–4

b)

–2 2

2

–2

4

4

–4

–6

Y

X

Y

X

Y

X

d)

–2 2

2

–2

4

6

4

–4

f )

2–4

4

–6–10

–8

8

12e)

–2 2

2

–2

4

4

6

8

Y

X

Y

X

Y

X

a)

–2 2

2

–2

4

6

4

–4

c)

–2 2

2

–2

4

6

4

–4

b)

–2 2

2

–2

4

4

–4

–6

Y

X

Y

X

Y

X

d)

–2 2

2

–2

4

6

4

–4

f )

2–4

4

–6–10

–8

8

12e)

–2 2

2

–2

4

4

6

8

Y

X

Y

X

Y

X

a)

–2 2

2

–2

4

6

4

–4

c)

–2 2

2

–2

4

6

4

–4

b)

–2 2

2

–2

4

4

–4

–6

Y

X

Y

X

Y

X

d)

–2 2

2

–2

4

6

4

–4

f )

2–4

4

–6–10

–8

8

12e)

–2 2

2

–2

4

4

6

8

Y

X

Y

X

Y

X

2 2 4

a) c)6

–2

–4

–6

–8

XY

1

b)1 X

Y

2–2

2468

X

Y

2 4a) c)

6–2

–4

–6

–8

XY

1

b)1 X

Y

2–2

2468

X

Y

2 4a) c)

6–2

–4

–6

–8

XY

1

b)1 X

Y

2–2

2468

X

Y

4 Funciones elementales

29

Página 115

1 Hazlo tú.

y = x 2 – 5x + 3

2 Hazlo tú.

y = p + m (x – 0) + n (x – 0)(x – 2)

(0, 3) 8 p = 3

(2, –3) 8 3 + 2m = –3 8 m = –3

(6, 9) 8 3 – 18 + 24n = 9 8 n = 1

La parábola buscada es y = x 2 – 5x + 3.

3 a) y = ax 2 + bx + c

(–1, 0) → a – b + c = 0

(2, 12) → 4a + 2b + c = 12

(8, –72) → 64a + 8b + c = –72

Resolvemos el sistema: a = –2, b = 6, c = 8

La parábola buscada es y = –2x 2 + 6x + 8.

b) y = p + m (x + 1) + n (x + 1)(x – 2)

(–1, 0) 8 p = 0; (2, 12) 8 m = 4; (8, –72) 8 n = –2

La parábola buscada es y = –2x 2 + 6x + 8.

4 Los puntos son (0, 5), (3, 32) y (5, 60).

y = p + m (x – 0) + n (x – 0)(x – 3)

(0, 5) 8 p = 5; (3, 32) 8 m = 9; (5, 60) 8 n = 1

La parábola buscada es y = x 2 + 6x + 5.

Página 116

1 Hazlo tú.

Tomamos como año cero el año 1994. Hemos de obtener la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (0; 24,1), (3; 20,6) y (6; 13,9).

La parábola es: P (x) = y = –0,178x 2 – 0,633x + 24,1

El porcentaje de paro estimado es:

1998 8 18,72 (está muy próximo al valor real, 18,6).

2001 8 10,947 (está muy próximo al valor real, 10,63).

2003 8 3,985 (muy alejado del valor real, 11,37).

5 y = 10 400 + 450x + 36,67x(x – 2) = P (x)

a) 2010 8 x = 1 8 P (1) = 10 813,33

b) 2012 8 x = 3 8 P (3) = 11 960

c) 2007 8 x = –2 8 P (–2) = 9 793,36

d) 2017 8 x = 8 8 P (8) = 15 760,16

6 a) y (80) = 6,5b) y (100) = 8,1c) y (200) = 28,1

Página 117

1 a) b)

22

Y

X

Y

X2

2

c) d)

Y

X22

Y

X2

2

e)

Y

X2

2

Página 118

1 a) b)

2

2

Y

X

2

2

Y

X

c) d)

2

2

Y

X

2

2

Y

X

e)

2

2

Y

X

30

Página 119

2 A 8 L4 B 8 R3 C 8 L2 D 8 C4

E 8 PI2 F 8 R4 G 8 C1 H 8 L3

I 8 L1 J 8 PI4 K 8 PI3 L 8 R2

3 1 8 D 2 8 E 3 8 F 4 8 H 5 8 A 6 8 J

Página 120

1

4

2

2 6–2–4

–4

–2

Y

X

2

4

2

2–2–4–6

–4

–2

Y

X

3 f (x) =

≤≤

≤

x

x

xxx

x

21

12

3

44 22 1

1

–– ––

si –si – –si –si

<<<

+Z

[

\

]]]

]]

Página 121

Practica

Ent (6,48) = 6Ent (7) = 7Ent (–3,9) = – 4Ent (–11,3) = –12Ent (– 8) = – 8

Practica

Mant (3,791) = 0,791Mant (– 6,94) = 0,06Mant (2) = 0Mant (– 4,804) = 0,196

4 a) Verdadero

b) Falso. La gráfica verdes es y = 5 – Ent x4b l

5 a) y = Ent (x) + 2

4

2

2–2–4

4

–4

–2

Y

X

b) y = Ent (x + 0,5)

4

2

2–2–4

4

–4

–2

Y

X

6 a) Verdaderob) Falsoc) Verdadero

7 a) y = Mant (x) – 0,5

X

Y

1–1–2–3

1

–1

2 3

b) y = |Mant (x) – 0,5|

X

Y

1–1–2–3

1

2 3

Página 122

1 a) b)

Y

X–2

2

2

–2

Y

X–2 2

2

–2

c) d)

Y

X–2 2

2

–2

Y

X–2 2

2

31

Página 123

2 y = f (x) – 6 8 (3, 2)y = f (x + 4) 8 (–1, 8)

y = 21 f (x) 8 (3, 4)

y = 2f (x) 8 (3, 16)y = –f (x) 8 (3, –8)y = f (–x) 8 (–3, 8)y = –2f (–x) + 3 8 (–3, –13)

3 a) Representamos:

y = x4 8 y =

x 84+

8 y = – x 8

4+

8 y = – x 8

4+

– 3

–4y = — – 3 x + 8

Y

–2–1

–5

–7

–4

1

X–6 –4–10 –7–12

–9

b) Representamos y = 3 x 8 y = 3 x– 8 y = 3 ( )x 10– –

y = 3√—–x + 10

X

Y

1 9 106

3

6

9

Página 124

4 a) b)

Y

X2

2

Y

X2

2

c)

Y

X2

2

d)

Y

X2

2

Página 125

1 Hazlo tú. (– ∞, –1] « [5, +∞)

2 Hazlo tú. La población estimada en el año 2005 es, apro-ximadamente, 24 542 personas.La población estimada en el año 2013 es, aproximadamen-te, 26 305 personas.

3 Hazlo tú.

f (t)

t2 4 6 8

2

4

6

Página 126

5 Hazlo tú.

Y

X1–2–3–4 2 4

1234

–1

–3–4

Página 127

6 Hazlo tú.

a) b)

Y

X2 4 6 8

2

4

Y

X4 6 8

2

–2

c)

Y

X2 4 6 8

2

4

32

7 Hazlo tú.

a)

Y

X2

2

b)

Y

X2

2

Página 128

1 a) f (x) =

x

x

xx

x

2 1020100 4

0 55 2020–

si ≤si ≤si ≤

<<

+*

b) El dominio de definición es el intervalo [0, 25]. El recorrido es el intervalo [0, 20].

2 a) B (q) = –q 2 + 500q – 40 000

Y

X100–100 200 300 400 500

5000

5000

10000

15000

10000

15000

20000

25000

b) El beneficio máximo de 22 500 euros se obtiene produ-ciendo 250 unidades.

3 a) V (x) = ( )x x3

225π – 3 b) (0, 15)

4 Si la distancia es inferior a 200 km, es más ventajosa la op-ción B. Ocurre lo contrario si recorremos una distancia su-perior a 200 km, es decir, es más ventajosa la opción A.

Página 129

1 a) – {–5} b) – {0} c) d) – {–2, 0}

2 a) , ∞25– + m< b) (–∞, 7] c) d) [2, +∞)

3 a) (– ∞, 4) b) Ác) (– ∞, 0) « (3, +∞) d) (–3, 3)

4 a) Dominio: [– 4, 4] Recorrido: [–2, 2]b) Dominio: (– ∞, 3] Recorrido: [0, +∞)c) Dominio: – {–2, 2} Recorrido: d) Dominio: [–3, 5] Recorrido: [–3, 4]

5 [0, 5]

6 La función área es A (x) = x (8 – x) = 8x – x 2. Dom = (0, 8).El recorrido de la función es el intervalo (0, 16].

7 El dominio es el intervalo [0, 12].El recorrido es el intervalo [37; 40,6].

8 a) y x9

16 61–= b) y = –0,75x – 3,25

2

2

Y

X

2

2

Y

X

c) y = 710 x – 5 d) y = 3x + 3

2

2

Y

X

2

2

Y

X

9 • Recta r → m = 43 8 y =

43 (x + 2)

• Recta s → m = 3 8 y = 3x – 3• Recta t → m = –3 8 y = –3x + 3

33

10 a) y = 1,42 b) 39,32

11 f (1 200) = 7,08 f (2 000) = 1,8

12 a) b)

2

2 4–4 –2

4

Y

X

2

2–4 –2

–4

–6–2

Y

X

c) d)

2 4–4 –2

–4

–6

–2

YX

2

4

6

–4–6–8 –2

Y

X

e) f )

–4–8 4 8

4

8 Y

X

–4–8 4 8

4

8

–8

Y

X

–4

13 a) y = x x4

8–2

+ b) y = x42

+ x – 8

14 a) y = –x 2 + 6x – 6 Los puntos (4, 2) y (–3, –33) pertenecen a la parábola.b) y = x 2 – 3x – 4 Los puntos (4, 0) y (–3, 14) pertenecen a la parábola.

Página 130

15 a) IV b) III c) Id) VI e) V f ) II

16 a) b)

2

4

2 4

6

6 8

–2

–6

–4

2 4–2

6

X

XY Y

a) b)

2

4

2 4

6

6 8

–2

–6

–4

2 4–2

6

X

XY Y

c) d)

2

4

2 4

6

6 8

–2

–6

–4

2 4–2

6

X

XY Y

c) d)

2

4

2 4

6

6 8

–2

–6

–4

2 4–2

6

X

XY Y

17 a)

2

4

2 4

–4

–2–2–4

b)

2

4

2 4

–4

–2–2–4

c)

2

2 4

d)

–4

–2–2–4

4

2

4

2

–4

–2–2–4

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

a)

2

4

2 4

–4

–2–2–4

b)

2

4

2 4

–4

–2–2–4

c)

2

2 4

d)

–4

–2–2–4

4

2

4

2

–4

–2–2–4

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

18 a) b)

X

Y

2

2

4

–2

–4

X

Y

2–1

c) d)

X

Y

2

2 4–4 –2

4

–4

–2

Y

X2

2

e) f )

2

2

Y

X

X

Y

2

–2

–4

2–2–4

4

4

19 a) III

b) IV

c) I

d) II

20 a)

2

2 4

–4

–2–4 –2

Y

X

34

b)

2

2 4–2

–4

–4 –2

Y

X

c)

2

2 4–2

–4

–4 –2

Y

X

d)

4

4

–4–4

Y

X

21 a) b)

–4–8 4 8

4

8

–8

Y

X

2

2 4

4

–2–4 –2

Y

X

c) d)

–4–8–4

–8

Y

X4 8

4

8

4

Y

X4 8–4–8

8

–8

–4

22 a) y = x x

x x7

3 9 4

7 4

si

– si ≤

<+*

b) y = x x

x x3 6 1

2 1si –si – ≤

<2

++

*

Página 131

23

2

4

2 4 6

6 Y

X8 10 12

24 a)

2

4

2 4 6

6 Y

X8 10 12

b)

2

4

2

6

–2–4–6

c)

2

4

2 4

6

Y

X6–2–4

d)

2

4

2

6

–2–4–6

Y

X

25 a)

X1

Y

2 3–1–2–3

1

2

3

4b)

X1 2 3 4

Y

5–1

21

3

4

c)

X1

Y

2–1–2–3–4

1

2

3

4d)

X1 2 3 4

Y

5–1

2

1

3

4

a)

X1

Y

2 3–1–2–3

1

2

3

4b)

X1 2 3 4

Y

5–1

21

3

4

c)

X1

Y

2–1–2–3–4

1

2

3

4d)

X1 2 3 4

Y

5–1

2

1

3

4

a)

X1

Y

2 3–1–2–3

1

2

3

4b)

X1 2 3 4

Y

5–1

21

3

4

c)

X1

Y

2–1–2–3–4

1

2

3

4d)

X1 2 3 4

Y

5–1

2

1

3

4

35

a)

X1

Y

2 3–1–2–3

1

2

3

4b)

X1 2 3 4

Y

5–1

21

3

4

c)

X1

Y

2–1–2–3–4

1

2

3

4d)

X1 2 3 4

Y

5–1

2

1

3

4

26 a) b)

2 4

–4

–2–4 –2

Y

X

2 4–4 –2

2

4

–2

Y

X

c) d)

2 4

–4

–2

2

–4 –2

Y

X

Y

X2 4

–4

–2

2

–4 –2

27 a)

2

2

4

–4

–2

–6

–4 –2

b)

2

2

4

–4

–2–4 –2

Y Y

XX

a)

2

2

4

–4

–2

–6

–4 –2

b)

2

2

4

–4

–2–4 –2

Y Y

XX

28 b)

2

2

4

–4 –2

Y

X

a)

4

2

2

4

–4 –2

Y

X

b)

2

2

4

–4 –2

Y

X

a)

4

2

2

4

–4 –2

Y

X

29 a)

Y

–1

–2

g (x) = f (x) – 2

X2–1

b)

Y

h (x) = f (x – 3)

X2 4

2

–1

c)

Y

1

2

–1

i (x) = – f (x)

X1–1

d)

j (x) = |f (x)|

X2 3 41–1–2–3

30 Y

f (x) = √—x

X1 2 3 4

1

2

a)

g (x) = √—x + 1

X–1 1 2 3

1

2

36

b)

h (x) = √—x – 3

YX

1 2 3 4

–2

–3

–1

31 a) y = x2 b) y =

x 32–

2

2

Y

X

2

Y

X2

c) y = x2 1+ d) y = –

x 32–

2

2

Y

X

2

Y

X2

32 a) b)

2 4

4Y

X–4 –2

–4

–2

2

2 4

4Y

X–4 –2

–4

–2

2

c) d)

2 4

4Y

X–4 –2

–4

–2

2

2 4

4Y

X–4 –2

–4

–2

2

33 En 2008, el 85,6 % de los hogares españoles tenían telé-fono móvil.

34 6,94 euros.

35 a) Si se invirtieran 4 000 € en publicidad, se estimarían unas ventas de 33 500 €.

b) Si se invirtieran 4 000 € en publicidad, se estimarían unas ventas de 35 000 €.

36 La temperatura en la cima es de 5,56 ºC.

Representamos la función y = x1801 10– + :

10

2

4

6

8

200100 300 400 500 600 700 800

TEMPERATURA ºC

ALTURA (m)

37 Cinco cocineros podrían atender a 55 comensales.

38 Para dar una vuelta a las 3 100 páginas, con jornadas de 10 horas, necesita, aproximadamente, 382 días.

39 a) Representamos la función:

15

6 8

20

5

10

42 10 12 14 16 18 20 22 24

Y

X

f (x) = ≤ ≤

≤x

x

xxx

10 220

96 4

0 55 1919–

sisisi

<<

+Z

[

\

]]

]]

b) El dominio es el intervalo [0, 24]. El recorrido es el intervalo [0, 20].

Página 132

40 a) 100 € es el precio de equilibrio. La cantidad de equili-brio es 150 miles de unidades.

b) Si x = 80, hay escasez, porque la demanda supera a la oferta. Si x = 120, hay exceso, porque la oferta supera a la demanda.

c) El precio de equilibrio es x = 30 €, y la cantidad de equilibrio, 125 miles de unidades.

41 a) B (x) = x x2

15 25– –2

+

b) Deben venderse 15 unidades.

42 El área del triángulo es la función A (x) = x x2

100 – 2 y

su dominio es el intervalo (0, 10).

37

43 a) En este caso vendería 90 electrodomésticos a 450 euros cada uno, y los ingresos serían de 40 500 euros.

b) I (x) = –20x 2 + 200x + 40 000 c) 5 euros

44 a)

2TONELADASDE PRODUCTOS

BENEFICIOS MENSUALES

2

6 8 10 12 14 16 18 22 24

468

–8–10

–6–4–2 4 20

b) Debe vender, como mínimo, 5 toneladas de producto para no tener pérdidas.

c) El beneficio máximo lo obtiene vendiendo 12,5 tonela-das de producto y es de 5 625 €.

45 a)

20

2 3 4 6 7 8

406080

N

t

100120140160180

1 5

b) El número de clientes es máximo, 160, cuando lleva 4 horas abierta, a las 2 de la mañana.

c) La discoteca cerrará 8 horas después de abrir, es decir, a las 6 de la mañana.

46 a = 8, b = – 48, c = 100

2 3 4 6 7 8 9 10

20

40

P

t

60

80

100

1 5

47 a)

2 3 4 6 7 8 9 10

10

20

P

t

30

40

50

60

1 5

b) Las ganancias serán máximas dentro de 5 años y ten-drán un valor de 55 millones de euros.

48 a) f (x) = ≤≤

x

x

xxx

2 4840 4

0 22 88 10–

sisisi

≤

≤

<<

+Z

[

\

]]

]]

b) f (x) = x 0si <

≤x x

4

32 4 0– si+*

c) f (x) = x x

x1

233

– – si ≤si >

*

d) f (x) = x x

x42

2sisi ≤

<2*

49 a) b)

Y

X2

2

Y

X2

2

c) d)

Y

X2

2

Y

X2

2

50 a) y = |2x + 5| = x x

x x

2 525

2 525

– – si –

si ≥ –

<

+

Z

[

\

]]

]]

Y

X2

2

b) y = |4 – x 2| = x

xx

xx

x

44

4

22 2

2

––

–

sisisi

–– ≤

≤

<<

2

2

2

+

+*

Y

X2

2

38

c) y = xx

x

x

x23 3 2

3 3

23 3

2

2–

–

–

si

si ≤

<=

+Z

[

\

]]

]]

Y

X2

2

d) y = |–x 2 + 2x + 3| = x xx x

x x

xx

x

2 32 3

2 3

11 3

3

– ––

– –

sisisi

–– ≤

≤

<<

2

2

2+ +*

Y

X2

2

Página 133

51 a) Falso

b) Verdadero

c) Falso

d) Falso

e) Verdadero

52 a) Puede tener como máximo dos soluciones, dependiendo de la posición relativa de la parábola y la recta. Es decir, el sistema puede tener 0, 1 o 2 soluciones.

Y

X2

2

b) En función de la posición re-lativa de la semiparábola y la recta, el sistema puede tener 0, 1 o 2 soluciones.

Y

X2

2

c) Puede tener, como máximo, dos soluciones.

Y

X2

2

53 Como el vértice de la función es el punto (2, –3), la grá-fica es el resultado de desplazar la gráfica de la función y = x 2 tres unidades hacia abajo y dos unidades hacia la derecha. Por tanto, m = 2 y n = –3.

54 a) Dominio: Á

Recorrido: (0, +∞)

b) Dominio: (0, +∞)

Recorrido: Á

55 a) y = |x – 4| – |x | = xx

xx

2 44

00 44

4––

sisisi

≤≤ ≤≤

+*

6

4

2

–2

–4

4

6 8–4 –2 2–6–8

Y

X

b) y = |x + 1| + |x – 3| = ≤

≤x

x

xx

x

2 242 2

11 3

3

–

–

sisisi

–– ≤

≤

+*

6

4

8

10

2

4

6–4 –2 2

Y

X

c) y = |2x – 4| – |x – 1| = ≤

≤xx

x

xxx

33 5

3

11 22

––

–

sisisi

≤≤

++*

2

4–2

–4

–4 –2

Y

X

56 a) (– ∞, –3] « (2, +∞)

b) (– ∞, 0) « [9, +∞)

39

57 a) a = 50b)

10

4 6 8 12

203040

Y

X

5060

2 103 5 7 111 9

El número de socios fue máximo en el mes número 3, con 59 socios, y mínimo en el mes número 10, con 46 socios.

c) Obtuvo pérdidas en el mes número 10.

58 a)

10

200

400

600

800

1000

INGRESOS

CARGA (t)20 30

b) f (x) = xx x

xx

4060

0 2020 30–

sisi

≤ ≤≤<2)

Autoevaluación1 a) Á b) Á – {3} c) (– ∞, 2] d) [0, 5]

2 a) b) c)

XY

X

Y

X

Y

XY

X

Y

X

Y

XY

X

Y

X

Y

3 a) b)

Y

X

2

2

Y

X

2

2

c) d)

Y

X2 2

Y

X2

2

4 Habrá que pagar 462 €.

5

f (x) = ≤≤ ≤

x xx

18 10100

0 55 35

sisi

<+*

25

40302010

50

75

100TEMPERATURA (°C)

TIEMPO(min)

6 a) Ingresos = 350 000 €

b)

1 000

2 000

3 000

4 000

100 600N.º DE ARTÍCULOS

INGRESOS

1200

I(x) = p · x = 12x – 0,01x2

c) Deben fabricar 600 artículos para obtener unos ingresos máximos (360 000 euros).