4. Problemas métricos en el espacio (6.2, 6.3, 6.4)

Algunos de los siguientes resultados son muy simples, por ejemplo la distancia entre dos puntos, pero a

fin de cuentas la distancia entre dos figuras cualesquiera (por ejemplo entre las órbitas de dos cuerpos

celestes), siempre la podrás calcular como la distancia entre los dos puntos más próximos de dichas

figuras (esto conecta con optimización, mínima distancia, puedes revisar algunos de los problemas que

planteamos en análisis en este contexto).

Observa que en estos problemas se utilizan de forma conjunta vectores (productos escalares,

vectoriales, módulos, ángulos, ecuaciones de rectas y planos, posiciones relativas, simetrías, puntos

medios,…). Este es el motivo de la importancia de este tipo de problemas, se utiliza todo lo anterior y

además nos permite hacer en la mayoría de los casos múltiples planteamientos.

B/ Distancias entre puntos, rectas y planos

En la siguiente situación vamos a describir tres métodos totalmente diferentes en cuanto a concepto,

pero finalmente similares en cálculo. Las tres estrategias son indispensables, las debes manejar, ya que te

proporcionarán herramientas para plantear con autonomía otros problemas.

Dado un punto P y una recta r:

Puedes interpretar este resultado como el Teorema de Pitágoras generalizado a tres dimensiones

Método 1. Método constructivo o del plano perpendicular

Trata de hacer siempre un planteamiento gráfico incorporando los datos que te suministre el problema. En este caso ecuación de la recta (por tanto vector de dirección) y el punto P. Incorpora igualmente el resto de figuras que vayas a necesitar en el desarrollo del

problema, en este caso el plano

Llamamos método constructivo a la incorporación de figuras auxiliares a las que proporciona el problema. En este caso nos dan una recta e introducimos un plano.

Dado un punto P y una recta r. Vamos a determinar el punto más próximo P´ mediante otra técnica. Si

unimos P con todos los puntos posibles de la recta r, de todos los vectores obtenidos, hay uno y sólo uno

especial, el vector ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ será el único permpendicular a la recta y esto nos permite calcular P´.

Para el ejemplo anterior:

Una vez determinado el valor del parámetro, terminaría el problema como el anterior: sustituir para

obtener P´ y calcular el módulo de ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ (también se puede sustituir el que hemos llamado vector ⃗⃗⃗⃗ ⃗ y

tendríamos directamente el ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ .

Observa que a nivel de cálculo, tenemos igualmente una ecuación para el parámetro .

La ecuación del plano suele obtenerse de forma más comprensiva utilizando su ecuación implícita. Ya que tenemos el vector normal, la implícita quedaría: −2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 𝑑 = 0 Si sustituimos el punto P, ya que pertenece al plano: 𝑃 ∈ 𝜋−2 ∙ 5 − (−1) + 6 + 𝑑 = 0 𝑑 = 3 Finalmente la ecuación implícita queda: −2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 3 = 0 Este proceso es más habitual

Esta parte del proceso la utilizábamos como herramienta para el estudio de posiciones relativas. Sustituimos la ecuación de la recta en la implícita del plano. Equivale a resolver un sistema de ecuaciones con ambas figuras.

Observa que en su desarrollo global, no se han introducido nuevas estrategias, sino combinado algunas de las conocidas

Método 2. Punto genérico y producto escalar Llamamos punto genérico de una recta no a un punto concreto de coordenadas conocidas, sino a la totalidad de sus puntos, es decir, aquel que viene expresado mediante sus coordenadas, pero, en función de un parámetro libre (coordenadas paramétricas)

Observa que el punto genérico, no es otra idea que expresar en forma de coordenadas las ecuaciones paramétricas de la recta. Esto permite realizar operaciones con vectores. Como concepto representa la idea de trabajar con todos los puntos de la recta a la vez, lo cual permite aplicar condiciones (en este caso perpendicularidad) para obtener los puntos de la recta que verifiquen dichas condiciones.

De forma similar al vector 𝑃𝑅⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, le podríamos llamar vector genérico, representan los infinitos vectores que unen el punto P con puntos de la recta…

Dado un punto P y una recta r. Vamos a determinar el punto cualquiera R. Si unimos P con R, el vector ⃗⃗⃗⃗ ⃗

junto con el vector de dirección , definen un paralelogramo. La altura de este paralelogramo, es la

distancia que buscamos. Observa en la figura que si tomamos otro punto diferente, cambiará el área (el

producto vectorial y su módulo), pero no la altura del paralelogramo.

No se trata de una fórmula más, es la del área de un paralelogramo en la que sustituimos los cálculos de

área y longitud de la base, realizados con vectores

Nota: Este método proporciona de una forma más rápida y directa la distancia, pero no el punto más

próximo de r a P. En muchos casos será necesario dicho punto, con lo que los dos métodos anteriores son

más completos.

En el caso de nuestro ejemplo:

Método 3. Área paralelogramo. Producto vectorial. En contraposición con la idea de punto genérico partimos de un punto concreto cualquiera de la recta R.

Comenzamos tomando un punto R de la recta, por ejemplo: R(1, 0, 5) obtenido directamente de las paramétricas.

Calculamos 𝑅𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗(4,−1, 0) (daría lo mismos considerar PR)

Calculamos el producto vectorial: 𝑅𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗𝑥𝑑 = 𝑖 𝑗 �⃗�

4 −1 1−2 −1 1

= (0, −6,−6)

Ejemplo:

Observa que como en los casos anteriores, las herramientas son comunes, ecuaciones, intersección de

figuras (sistemas), vectores, módulo…

Al margen de estos dos métodos puedes desarrollar otros propios. Si aplicamos esta expresión para

resolver el problema anterior:

Método 1. Método constructivo

Recuerda: en el método constructivo incorporamos figuras auxiliares a las que proporciona el problema. En este caso nos dan una plano e introducimos una recta

Recuerda que el vector normal al plano es el

de dirección de la recta: �⃗� = 𝑑 (1, -3, 5)

Método 2. Aplicación fórmula

La deducción de esta expresión no es inmediata, se trata de una versión del punto genérico tratado en el punto anterior. Puedes ver el detalle en la pág. 180. No obstante esta expresión se utiliza con mucha frecuencia y es fácil de recordar una vez que comienzas a utilizarla de forma reiterada. No te proporciona el punto más próximo a P, por tanto, dependiendo de qué necesites utiliza la fórmula o el método constructivo.

En estos casos, podemos utilizar sin problemas la fórmula de un punto a un plano sin necesitar justificar

nada más. Acuérdate sólo de expresar previamente la fórmula en la que vas a sustituir. Dicho esto, ten en

cuenta, que puedes utilizar en estos dos casos el método constructivo y obtener una recta perpendicular

al plano…

Ejemplos:

r está contenida en el plano

r es paralela al plano

r corta al plano

Debemos partir del estudio de posiciones relativas de la recta y el plano. Si la recta corta al plano, la distancia es nula Si la recta r es paralela al plano (o si está contenida en el plano), podemos tomar un punto P cualquiera de la recta y calcular la distancia al plano (si está contenida r en el plano esta distancia dará también cero)

𝑃 ∗

Debemos partir del estudio de posiciones relativas de los planos Si se cortan la distancia es nula Si son paralelos (o coincidentes), podemos tomar un punto P cualquiera de uno de los planos y calcular la distancia al otro plano (si son coincidentes esta distancia dará también cero)

𝑃 ∗

En este ejemplo, podríamos haber hecho un estudio de posiciones relativas más detallado, por ejemplo sustituyendo las paramétricas de la recta en la ecuación del plano (sistema). En este caso, encontraríamos un Sistema incompatible, se presentaría una ecuación absurda para el parámetro libre del tipo 0 ≠ 0.

También podríamos haber hecho un estudio de posiciones relativas usando rangos por ejemplo…