4 to año guia nº 3 - triángulos - propiedades basicas

I BIM – GEOMETRÍA – 4TO. AÑO

122

Nació en Samos. Aunque no se poseen datos ciertos de su vida, parece que estuvo en contacto con sacerdotes egipcios que agudizaron su interés por la especulación matemática. Su auténtico interés radica en ser el fundador de una secta místico-religiosa caracterizada por su dedicación al estudio de las matemáticas y por practicar un tipo de vida comunitaria de fuertes resonancias órficas.La aportación filosófica de Pitágoras es inseparable del conjunto doctrinal que llamamos pitagorismo. Se le atribuye la invención de la tabla de multiplicar, del sistema decimal, de las proporciones aritméticas y del teorema que lleva su nombre.

Considerado el primer matemático. Pitágoras fundó un movimiento en el sur de la actual Italia, en el siglo VI a.C. que enfatizó el estudio de las matemáticas con el fin de intentar comprender todas las relaciones del mundo natural. Sus seguidores, llamados pitagóricos, fueron los primeros en formular la teoría que decía que la Tierra es una esfera que gira en torno del sol.

TRIÁNGULOSTRIÁNGULOS


PROPIEDADES BÁSICAS

• CONCEPTO :

....................................................

....................................................

....................................................

....................................................

Elementos :

� Vértices : A, B, C� Lados : AC,BC,AB (a, b, c)� Medidas de los ángulos internos :

αº, βº, θº� Medidas de los ángulos externos :

xº, yº, zº� Perímetro : 2p

⇒ 2p = a + b + c

Además, notación : ⇒∆ABC = Triángulo ABC

PROPIEDADES

a) Suma de medidas de los ángulos internos.

b)

c) Propiedad de Existencia del triángulo

Ejemplo :

Calcular el máximo valor entero del lado AC del

∆ABC.

.............................................................................................

.............................................................................................

.............................................................................................

.............................................................................................

d) Propiedades Adicionales

I)

NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 3 CUARTO AÑO

A

xº αº θº

zº

C

βº

yº

B

c a

b

αºxº

zº

θº

βº

yºαº + βº + θº = 180º

xº + yº + zº = 360º

αº xº

θºx = αº + θº

a

c

b→ b – c < a < b + c→ a – c < b < a + c → a – b < c < a + b

4 7

αº

θº mº

nº

αº + θº = mº+ nº

“P” : Punto exterior relativo al lado BC

R : Punto interior al triángulo ABC

R

P

B

A C

123

xº = αº + βº + θº


II)

III)

IV)

V)

Ejm : Hallar “x” ;

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. En la figura. Calcular “x”

a) 100ºb) 120ºc) 130ºd) 140ºe) 150º

2. Determinar el menor ángulo interior de un triángulo, sabiendo que son tres números consecutivos.

a) 60º b) 39º c) 69ºd) 59º e) 61º

3. Determine el valor del ángulo “x”

a) 10ºb) 5ºc) 15ºd) 20ºe) 30º

4. Calcular “xº + yº + zº”

a) 60ºb) 120ºc) 180ºd) 90ºe) 360º

5. Calcular “x” , Si : m∢CBE = m∢BEC

a) 108ºb) 72ºc) 36ºd) 24ºe) 12º

6. Calcular “x”

a) 100ºb) 75ºc) 25ºd) 70ºe) 50º

αº θº

βº

xº

mºnº

xº

yº

xº + yº = mº + nº

yº

xº nº

mº

xº

αº θº

⇒ 180º + xº = αº + θº

140º

60º xº

xº 2xº+10

θº θº θº

αº αº

xº

yº

zº

αº 36º αº

2xº

xºB C

A E

D

xº

bº

aº

70ºaº

bºE A D

C B

⇒ xº + yº = mº + nº

40º

αº

124


7. Calcular “x”

a) 60ºb) 20ºc) 30ºd) 10ºe) 15º

8. Calcular “x”

a) 108ºb) 72ºc) 36ºd) 20ºe) 10º

9. Calcular “x”

a) 20ºb) 15ºc) 18ºd) 12ºe) 10º

10. Determinar “x”

a) 100ºb) 80ºc) 160ºd) 120ºe) 135º

11. Del gráfico, calcular “x”

a) 28ºb) 56ºc) 20ºd) 30ºe) 10º

12. Calcular “x” , si : “y” toma su mínimo valor entero.

a) 26ºb) 30ºc) 46ºd) 88º

e) N.A.

13. Calcular “x”

a) 20ºb) 24ºc) 36ºd) 72ºe) 64º


a) 9θºb) 6θºc) 3θºd) 2θºe) θº


a) 10ºb) 30ºc) 45ºd) 65ºe) 85º

TAREA DOMICILIARIA

1. Determina “x”

a) 50ºb) 100ºc) 120ºd) 110ºe) 130º

2. Del gráfico, calcular “x”

a) 20ºb) 30ºc) 40ºd) 80ºe) 110º

3. Calcular “x”

a) 100ºb) 180ºc) 200º

xº

2xº2xº

2xº

2xº

θº

θº θº

θº

xº

θº

2xº

2xº xº

100º

xº

120º

aºaº bº

bº

50º xº yº 22º

αº αº αº

B

A C

x + y

x - y 2y-x

2xº

D

72º

C

A

60º

xº

xº

2θº

5θº

9θº

65º

xº θº

30º 50º

130º

170º 140º

xº

θº

θº

θº+30ºxº

40º

yºzº

αº αº αº

θºθº

θº

B

B C

A

θº

125


d) 260ºe) 360º

4. Calcular “x”

a) 100º

b) 108º

c) 72º

d) 144º

e) 288º

5. Calcular el máximo valor entero que puede tomar el tercer lado de un triángulo, sabiendo que dos de sus lados son 5 y 9.

a) 13 b) 14 c) 11d) 6 e) 5

6. Calcular “x”

a) 56ºb) 64ºc) 42ºd) 24ºe) 12º

7. Calcular “x”

a) 50b) 30c) 20d) 10e) 15

8. Calcular la suma de los valores pares que puede tomar AC .

a) 6b) 8c) 7d) 14e) 21

9. Calcular el mínimo valor que puede formar el perímetro del ∆ABC.

a) 29b) 19c) 10d) 8e) N.A.

10. Calcular “x” , si ba

a) 40ºb) 30ºc) 20ºd) 70ºe) 50º

11. Calcular ”x”

a) 30ºb) 72ºc) 54ºd) 36ºe) 18º


a) 100ºb) 150ºc) 160ºd) 170ºe) 175º


a) 45ºb) 30ºc) 25ºd) 15ºe) 10º


a) 50ºb) 55ºc) 60ºd) 65ºe) 70º


a) 140ºb) 40ºc) 90ºd) 60ºe) 30º

θº

θº

θº

θº

θº

48º αº

xº

αº2xº

30º

θº

θº

50º

xº

60º

2 7

A C

B

4 9

xº140º

2xº

a

b

αº

xº xºαº

2θº

θº

2αº

αº

xº

120º

45º

2αº

αº2θº

θº

xº

B 80º 30º

C

A D

E xº

120º100º

mº mº

xº

140º nº nº

xº

A

B

C

xº

A

B C

αº αº

βº βº

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