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GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 23

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONESINECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES

DESIGUALDADES

Llamaremos desigualdades a expresiones de la forma a > b, a < b, a b o a b.Las desigualdades cumplen con las siguientes propiedades:

PROPIEDAD 1 Si a los dos miembros de una desigualdad se suma un mismo número, elsentido de la desigualdad no cambia.

PROPIEDAD 2 Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismonúmero positivo, el sentido de la desigualdad no cambia.

PROPIEDAD 3 Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismonúmero negativo, el sentido de la desigualdad cambia.

PROPIEDAD 4 Si de los dos miembros de una desigualdad, ambos positivos o ambosnegativos se toman sus inversos multiplicativos (recíprocos), el sentidode la desigualdad cambia.

EJEMPLOS

1. Si a, b y c son número reales, con b > c > a y c 0, ¿cuál de las siguientesdesigualdades es FALSA?

A) c + a < b + aB) b – c > a – cC) c2 · a < c2 · bD) c3 > a · c2

E) (a – c) · b > (a – c) · c

Si a, b, c son números reales y a < b, entonces a + c < b + c

Si a, b, c son números reales tales que a < b y c > 0, entonces ac < bc

Si a, b, c son números reales tales que a < b y c 0, entonces ac > bc

Si a, b, c son números reales tales que 0 < a < b o a < b < 0, entonces1 1

>a b

. Si a < 0 < b, entonces, 1 1 <

a b.

C u r s o : Matemática

Material N° 23

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2. Si 0 < x < 1, entonces ¿cuál(es) de las siguientes desigualdades es (son) verdadera(s)?

I) 2 – x2 < 2 + x2

II) 3 – x2 < 3 – xIII) 1 + x2 < (1 + x) 2

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) I, II y III

3. Si 0 < x < 1, entonces ¿cuál (es) de las siguientes proposiciones es (son)verdadera(s)?

I)1

> 1x

II)1

0 < < 1x

III)1

0 < < xx

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIIE) I, II y III

4. ¿Cuál(es) de las siguientes condiciones se debe(n) cumplir para que de la desigualdadx < a, se pueda deducir que cx > ca?

I) Tanto a como x deben ser reales positivos.II) c debe ser un real negativo.

III) c debe ser distinto de cero.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

5. Si m < m, entonces se puede afirmar que

A) m es un número real positivo.B) m número real negativo.C) 0 < m < 1D) -1 < m < 1E) nada se puede asegurar.

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INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Son desigualdades que se pueden reducir a una de las formas siguientes: ax + b 0,

ax + b 0, ax + b > 0, o ax + b < 0, y que son verdaderas para un conjunto de valores de

la incógnita x, el cual se llama conjunto solución de la inecuación. Este conjunto se puede

representar mediante la notación de conjunto, intervalo o gráfica.

EJEMPLOS

1. El conjunto solución de la inecuación -2 · (3 – 4x) 10x es

A) {x lR / x -3}B) {x lR / x -3}

C)1

x lR / x -3

D)1

x lR / x -3

E)1

x lR / x3

2. El intervalo que es conjunto solución de la inecuación 3 x 2 + x2 3

es

A) ]1 +[B) ]-, 1]C) [1, +[D) [-1, +[E) ]-, -1]

3. El conjunto solución de la inecuación -2x +1 < -3 está representado en

A) lR – {2}B) lR – [-2, 2]C) lR – ]-, -2[D) lR – ]-, 2[E) lR – ]-, 2]

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SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

Es un sistema formado por dos o más inecuaciones de primer grado con una incógnita.

El conjunto solución del sistema es la intersección de los conjuntos de cada inecuación. SiS1, S2, ..., Sn son los conjuntos solución de cada inecuación y S es el conjunto solución delsistema, entonces:

EJEMPLOS

1. El conjunto solución del sistema de inecuaciones1

1 x2

3(5 x) > 3

es

A)1

x lR / x < 42

B)1

x lR / x < 52

C) {x lR / x > 4}

D)1

x lR / x2

E)

2. El conjunto solución del sistema de inecuaciones3x + 1 75x 2 8

es

A) [2, +[B) ]-, 2]C) [-2, 2]D) {2}E)

3. Al resolver el sistema -2 1 x2 + 3 2 se obtiene como conjunto solución

A) [1, 9]B) ]-, 3]C) [3, 11]D) [11, +[E)

S = S1 S2 S3 ... Sn

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4. El conjunto solución del sistema de inecuacionesx + 3 > -25 x 7

, está representado

gráficamente en

A)

B)

C)

D)

E)

5. ¿Cuáles de los siguientes sistemas de inecuaciones, tienen el mismo conjunto solución?

I)x + 2 > 7

3 2x < 1

II)x + 3 > 8

1 2x < 2

III)2x 7 > 3

x > -2

A) Sólo I y IIB) Sólo I y IIIC) Sólo II y IIID) I, II y IIIE) Ninguno de ellos

6. ¿Cuál de los siguientes valores pertenece al conjunto solución del sistema7 < 2x + 3 20?

A) 1B) 2C) 8D) 10E) 12

-2-5

-2-5

-2-5

-2-5

-2-5

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INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Dado un número real positivo a, tenemos los siguientes casos de inecuaciones con valorabsoluto:

1. x a, si y sólo si -a x a2. x a, si y sólo si x -a o x a

EJEMPLOS

1. Si x - 2 3, entonces

A) x 5 o x -5B) 5 > x 5C) x -5 o x 5D) -3 x 3E) -5 x 5

2. Si x + 1 > 6, entonces

A) x > -7 o x < 5B) -7 < x < 5C) x < -7 o x > 5D) x < -5 o x > 7E) -5 < x < 7

3. El conjunto solución de la inecuación2x 1

3 5 es

A) {x lR / -7 x 8}B) {x lR / -8 x 8}C) {x lR / -8 x 7}D) {x lR / x -7 o x 7}E) { x lR / -2 x 3}

4. El conjunto solución de la inecuación 3x – 1 < -2 es

A)1

x lR / -1 < x < -3

B)1

x lR / - < x < 13

C)1

x lR / -1 < x <3

D) E) lR

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PROBLEMAS DE INECUACIONES

En estos problemas aparecen expresiones que hay que traducir a los símbolos >, <, o ,

tales como: “a lo menos” (), “cuando mucho” (), “como mínimo” (), “como máximo” (),

“sobrepasa” (), “no alcanza” (), etc. Una vez planteada la inecuación o sistema de

inecuaciones, se determina el conjunto solución, y al igual que en los problemas de

ecuaciones hay que fijarse en la pregunta del problema.

EJEMPLOS

1. Un artesano fabrica x collares, vende 60 y le quedan más de la mitad. Tras esta venta,fabrica 5 collares más, vende 27 y le quedan menos de 40 collares. ¿Cuántos collaresfabricó en total?

A) 120B) 121C) 125D) 126E) 127

2. ¿Cuántos números enteros cumplen simultáneamente con las dos condicionessiguientes?

I) El triple del número no supera su mitad, aumentada en 25 unidades.II) El exceso del cuádruplo del número sobre 2 supera las 6 unidades.

A) 6B) 7C) 8D) 9E) 10

3. “A Pedro le faltan a lo menos 5 años para completar la mitad de la edad que tiene Juan,el cual tiene 20 años”. Este enunciado se puede expresar matemáticamenteconsiderando P a la edad de Pedro, de la manera siguiente

A) P – 5 =202

B) P + 5 202

C) 2(P – 5) 20D) 2(P + 5) < 20E) 2P + 5 < 20

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4. En una cesta de frutas hay cuando mucho dos docenas de duraznos. Al sacar 8duraznos queda a lo menos una docena de ellos. Si x representa el número deduraznos en la cesta, el sistema de inecuaciones que resuelve este enunciado es

A)

x 24

x 8 > 12

B)x > 24

x + 8 < 12

C)x > 24

x + 8 > 12

D)x 24

x 8 < 12

E)x 24

x 8 12

5. “La décima parte de un número es por lo menos igual a su mitad, disminuida en 2”.¿Cuántos números enteros positivos satisfacen esta condición?

A) NingunoB) Menos de 3C) A lo menos 6D) Solo 5E) Más de 6

RESPUESTAS

DMTRMA23

EjemplosPágs. 1 2 3 4 5 6

1 y 2 E D A B B

3 A C E

4 y 5 A D C A D C

6 E C A D

7 y 8 D C B E D

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