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Hidrología Aplicada a Obras Hidráulicas*Mercedes Alexandra Villa AchupallasFebrero, 2011B7. ESTADÍSTICA HIDROLÓGICAUsando el método de los momentos, ajustar la distribución normal a laprecipitación máxima anual en 24 horas de la estación Alhama-Alcaicería, de laTabla del ejercicio 1. Graficar las funciones de frecuencia relativa y deprobabilidad incremental, y las funciones de frecuencia acumulada y distribuciónacumulada. Utilizar el test c 2 para determinar si la distribu ión normal se ajustaade

uadamente a los datos.Año hidrológi o0/11/22/33/44/55/66/77/88/99/0

195055.3

47.363.677133.43571.5135.4121.8

1960136.8147.573.6

756860.572.486.814080.7

197095.566.781.5121.5

90.592.58810710793

Se determina la pre ipita ión media:Ʃ=2624.80 mmx=


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n= 29 datos

ån

=

2624.80= 90.51mm29

Cal ulo de la Desvia ión Estándar, en la tabla se presentaAño hidrológi

o0/11/22/33/44/55/66/77/88/99/0

Ʃ

(xi - x )2

= 24695.33

19502239.771867.13724.17182.531839.52

3081.4361.392015.08979.04

19602142.733247.82285.96240.57506.72900.62327.98

13.772449.2396.24

(xi - x )2197044.9566.9381.19960.36


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03.966.3271.91271.916.2

:


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1

2 12()S=xx-å i n -1 1(24695.33)S= 29 - 1S = 29.70

Primero se divide el intervalo de pre ipita ión (R) en 7 intervalos. El primero es

R£ 40 y el último intervalo es R>140 y los intervalos intermedios son

ada 20, a

ada intervalo asigno un número de datos (ni) en base a la los datos del ejer

i

io:Rango (mm)ni

< 401

40 602

60 80

9

80 1008

100 1202

120 1406

>1601

Así también se determina la fre uen ia relativa para ada intervalo, en base a lasiguiente expresión:

fs ( x i ) =Rango (mm)fs(xi)

< 400.034


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40

600.069

60 800.310

nin80

100 100

120 120

1400.2760.0690.207

>1600.034

Partiendo de estos datos se determina la fre

uen

ia a

umulada:Rango (mm)Fs(xi)

< 400.034

40

600.103

60 800.414

80 100 100 120 120 1400.6900.7590.966

>1601.000

Cál ulo de la variable normal estándar z orresponde al límite superior en adauno de los intervalos estable idos, mediante la siguiente expresión:

zi =Rango (mm)X SupZi

< 4040

1.701

40

6060

1.027

x sup - xs

60 8080

0.354


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80

100 100

120 120

1401001201400.3200.9931.666

>1601602.340


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Considerando los valores obtenidos en Zi, se determina la Probabilidada

umulada de la distribu

ión normal estándar F(xi), en la tabla que se indi

a a ontinua ión, para los Zi negativos, el valor de F(xi) orresponde a una diferen iaentre la unidad (1) y el valor obtenido en la tabla, para Zi positivos, F(xi)

orresponde a la le

tura realizada en di

ha tabla.

A

ontinua

ión se resumen el

ál

ulo de la Probabilidad a

umulada de ladistribu ión normal estándar F(xi)Rango (mm)ZiLe

t. tablaF(xi)

< 40

1.701

40

60 1.027

60 80

0.354

0.955

0.045

0.8490.152

0.6370.363

80 100 100 120 120 1400.3200.9931.6660.626

0.626

0.8390.839

0.9520.952

>1602.34011


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La fun ión de probabilidad in remental p(xi) se al ula mediante una diferen iaentre F(xi) del intervalo anterior y F(xi) del intervalo que se evalúa, de tal forma que:Rango (mm)F(xi)p (xi)

< 400.0450.045

40

600.1520.107

60

800.3630.212

80

100 100

120 120

1400.6260.8390.9520.262

0.2130.114

>16010.048

Finalmente, se determina, el valor del CHI CUADRADO:

m= número de intervalosIntervalo i Rango (mm)1< 40

240 60360

80480 1005100

1206120 1407>160Ʃ=

ni129826129


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fs (xi)0.030.070.310.280.070.210.031.00

Fs(xi)0.030.100.410.690.760.971.00

zi

1.70 1.03

0.35

0.320.991.672.34

F(xi)0.960.850.640.630.840.951.00

p (xi)0.040.110.210.260.210.110.051.00

X2

0.07

0.391.330.022.832.290.12

7.05

A ontinua ión se grafi a la ªFre uen ia Relativaº de la muestra ªfs


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ajustada ªp (xi)º, y la pre ipita ión máxima anual en 24horas.

(xi)ºy

Fun ión de Fre uen ia Relativa0.35

Fre

uen

ia Relativa

0.30.250.20.15

fs (xi)p (xi)

0.10.050< 40

40 60

60

80

80 100

100 120

120 140

Pre ipita ión Máxima Anual en 24h (mm)

>140

la


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Así también se presentan las distribu iones de probabilidad a umulada de lamuestra ªFs (xi)ºy la ajustada ªF (xi)º.

Fun ión de Fre uen ia A umuladaFre uen ia A umulada

1.210.8F (xi)

0.6

Fs(xi)

0.40.20< 40

40 60

60 80

80

100 100

120 120

140

>140

Pre ipita ión Máxima Anual en 24h (mm)

El valor de

X v2,1-a

p r un prob bilid d cumul d de 1- =0.95 y

v = m - p -1

m= número de intervalosp= número de parámetros utilizados en elajuste

v = 7 - 2 -1v = 4 grados de libertadde tal forma que:

X 2v,1-a = X 24;0.95Y de

cuerdo

l

siguiente t

bl

:


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2De l

t

bl

nterior, se obtiene que 4.0.95= 9.49 es m

yor que 2 = 7.05, por lot nto el juste de l distribución norm l l inform ción de precipit ciónmáxim

nu

l se ACEPTA.


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