Tema 16.- 0B Esttica de los fluidos

16.1.- Los fluidos como medios continuos.

16.1.a. Propiedades mecnicas

Un fluido es una sustancia

Esttica de los fluidos16.10/13 que puede fluir que carece de forma fija, de modo que adopta la del recipiente que la contiene.

El trmino fluido se aplica a los lquidos y a losgases.

Los slidos

poseen elasticidad de volumen poseen elasticidad de forma (rigidez).

Los fluidos

slo poseen elasticidad de volumen carecen de elasticidad de forma (rigidez)

Lo que representa que:

esfuerzo cortante

esfuerzo cortante

En los fluidos no aparecen esfuerzos cortantes recuperadores. Los fluidos son sustancias incapaces de resistir fuerzas o esfuerzos cortantes.

16.1.b. Fuerzas intermoleculares

Lquidos: poco compresibles, existencia de superficie libre.

Gases: muy compresibles, volumen indefinido.

Gases perfectos:

pV = nRT

r = pM RT

R = 8.31103 J/kmol K

16.1.c. Medios continuos

Aunque los fluidos poseen una estructura discreta (se componen de molculas que se mueven y colisionan constantemente), vamos a considerarlos los fluidos como medios continuos (medios materiales sin espacios vacos o soluciones de continuidad).

Utilizaremos trminos como: partcula fluida, elemento de fluido, volumen de control,16.2.- Fuerzas msicas y superficiales. Presin.

Entre las fuerzas msicas se incluyen aquellas fuerzas exteriores que actan sobre el fluido sin contacto directo con el mismo. La fuerza msica ms comn es el propio peso del fluido.

Las fuerzas superficiales incluyen todas las fuerzas ejercidas sobre el contorno de un elemento de fluido por el resto del fluido o cualquier otro material (v.g., las paredes del recipiente,...) mediante contacto directo.

Presin

Los fluidos en equilibrio debern estar libres de esfuerzos cortantes. La superficie que delimita cierto volumen de fluido slo soportar esfuerzos normales, bien sean tensores o compresores. La situacin prctica ms frecuente corresponde a los esfuerzos normales compresores.

Definimos la presin como la fuerza de compresin normal por unidad de rea que acta sobre una superficie sumergida en un fluido.

La presin en un punto queda definida mediante el proceso de paso al lmite cuando imaginamos el rea sobre la que acta el esfuerzo normal compresor cada vez ms pequea, pero conteniendo siempre al punto P.S fuerza

p = lim

F = dFS 0 S dS

La presin es una magnitud escalar a pesar de que la fuerza sea una magnitud vectorial.

Sus unidades son el newton/metro cuadrado (N/m2), que recibe el nombre de pascal (Pa).

La presin en un punto de un fluido en equilibrio es independiente de Pla orientacin del elemento de superficie sobre el que se defina.

La presin en un punto de un fluido en equilibrio es isotrpica y recibe el nombre de presin hidrosttica; y tambin el de presin.

La presin toma un valor nico en cada punto y variar, en general, de un punto a otro. As pues, tenemos una distribucin de presiones dada por una funcin escalar de punto p(x,y,z) que nos define un campo escalar de presin.Conocido el campo escalar de presin, p(x,y,z), podemos calcular la fuerza neta superficial que acta sobre el contorno de una porcin de fluido. Consideremos un elemento de superficie dS sobre el contorno del volumen V; convencionalmente, tomamos dS dirigido hacia el exterior. La fuerza superficial elemental que acta sobre dS es

dF =- pdS

siendo p la presin en el punto P. La fuerza que acta sobre una superficie abierta S ser

F = -S '

pdS

y la fuerza que acta sobre toda la superficie cerrada Sque delimita al volumen V ser

SF = -

pdS

16.3.- Esttica de los fluidos en el campo de la gravedad.

La presin es funcin de z; esto es, p(z). Fuerza neta hacia arriba =

F1 - F2 z Fuerza neta horizontal = 0 (por simetra)

p dS -( p + dp)dS = p -( p + dp) dS = r g dS dz

\ -dp = r g dz

Ecuacin diferencial de la esttica de fluidos en un campo gravitatorio.

F2p + p

pF1

y x

Gradiente de presin:

- dp = r gdz

Integrando:

p2 z2dp = -p1 z1

z2

r g dz = -r g dz z1

p2 - p1 = -r g (z2 - z1 )

Obtenemos la ecuacin fundamental para un fluido homogneo (densidad constante) en un campo gravitatorio uniforme:

p1 + r gz1 = p2 + r gz2

p + r gz = cte.16.4.- Principio de Pascal.

La diferencia de presin existente entre dos puntos P1 y P2 en el seno de un fluido en equilibrio, tales que puedan unirse mediante una trayectoria que se encuentre dentro del fluido, viene dada por

p2 - p1 = -r g (z2 - z1 )

Por consiguiente, cualquier cambio de presin en un punto de un fluido esttico implicar un cambio exactamente igual en todos los dems puntos del fluido siempre que el fluido pueda considerarse como incompresible. Este resultado fue enunciado por Blaise PASCAL, en 1653:

Todo cambio de presin en un punto de un fluido incompresible confinado en un recipiente se transmite ntegramente a todos los puntos del fluido y a las paredes del recipiente que lo contiene.

Pascal puso en evidencia su clebre principio por medio de un curioso experimento; hizo que se abrieran las duelas de un tonel, slidamente construido y lleno de agua, por cuya cubierta superiorpenetraba un tubo muy estrecho y muy alto, sin ms que llenar de agua el tubo, i.e., aadiendo al peso total un peso insignificante. Las paredes del tonel portaban entonces las mismas presiones que si hubiesen tenido encima una masa de agua cuya base fuera la del tonel y su altura la del tubo. De este modo, un kilogramo de agua puede producir el mismo efecto que miles de kilogramos.

El principio de Pascal queda ilustrado en el funcionamiento de la prensa hidrulica, dispositivo en el que nos servimos de un pistn de pequeo dimetro para ejercer una fuerza pequea directamente sobre la superficie de un lquido (agua, aceite,...). La presin se transmite a travs del fluido al cilindro de mayor dimetro, equipado con el correspondiente pistn; de modo que

p = F1 = F2

F2 = A2 > 1A1 A2

F1 A1

Por tanto, la prensa hidrulica es una mquina para multiplicar la fuerza por un factor igual a la razn de reas de los pistones. Resulta fcil comprobar que los trabajos realizados por F1 y F2 son iguales y de signos opuestos, de modo que no se economiza energa con esta mquina.16.5.- Ejemplos de aplicacin

16.5.a. Lquidos homogneos

Midiendo las cotas desde la solera:

1 2:

p1 + r gz1 = p2 + r gz2

Si un lquido tiene una superficie libre, sta ser el nivel de referencia natural para medir distancias verticales (profundidades).

1 2:

p1 - r gh1 = p2 - r gh2

0 P:

p0 - r gh0

= p - r gh

p = p0 + r gh

La presin es la misma en todos los puntos situados a la misma independencia de la forma del recipiente que contenga al fluido.

profundidad,

con

16.5.b. Lquidos no homogneos

Si las dos ramas de un tubo U en contuvieran dos lquidos inmiscibles de diferentes densidades (v.g., agua y aceite), la presin sera diferente en el mismo nivel en cada una de las ramas.

(A C)

pA + r1 gz = pC

pA + r1 gz = pB + r2 gz (C B)

pC = pB + r2 gz

pA - pB = (r2 - r1 ) gz > 0

Por otra parte:

(1 C)

p0 + r1 gz1 = pC r z r gz

= r gz

1 = 2 (C 2)

pC =

p0 + r2 gz2

1 1 2 2

r2 z116.6.- Presin atmosfrica.

El peso de la atmsfera origina lo que llamamos presin atmosfrica.

La presin atmosfrica en un punto es numricamente igual al peso de una columna de aire de rea de seccin recta unitaria que se extiende desde ese punto hasta el lmite superior de la atmsfera.

En 1643, Evangelista TORRICELLI ide un mtodo para medir la presin atmosfrica y construy el primer barmetro de mercurio.

Consiste en un tubo largo de vidrio, de unos 100 cm de longitud, cerrado por uno de sus extremos, que se llena completamente de mercurio. Evitando que se vierta el mercurio (tapando el extremo abierto del tubo se invierte el tubo y se introduce su extremo abierto en una cubeta que contiene mercurio, situando el tubo en posicin vertical.

Torricelli observ que el nivel del mercurio descenda dentro del tubo hasta que quedaba una columna (columna baromtrica) de unos 760 mm de altura sobre el nivel del mercurio en la cubeta.

El espacio que se forma sobre la columna de mercurio (cmara baromtrica) slo contiene vapor de mercurio, cuya presin podemos despreciar por ser muy pequea a las temperaturas ordinarias.

La diferencia de niveles (h) del mercurio en el tubo y en la cubeta permite calcular la presin atmosfrica.

patm = r gh

donde es la densidad del mercurio a la temperatura correspondiente a la realizacin de la experiencia.

Barmetro aneroide

Consiste en una caja metlica (C), aplanada, de forma circular y tapa ondulada, cerrada hermticamente y en la que se ha hecho el vaco; se evita el aplastamiento de la caja colocando un resorte adecuado (R). Cuando la presin atmosfrica vara, la deformacin del resorte se modifica. Dicho cambio es amplificado y transmitido, mediante un dispositivo mecnico adecuado (D), a una aguja indicadora (A) que puede moverse frente a una escala que se ha calibrado por comparacin con un barmetro de mercurio.La presin atmosfrica decrece a razn de 1 mmHg por cada 10 m de elevacin en los niveles prximos al del mar. En la prctica se emplean unos instrumentos, llamados altmetros, que son simples barmetros aneroidescalibrados en alturas; estos instrumentos no son muy precisos.

16.7.- Unidades de presin.

1 atm = 760 Torr = 13 596 kg 9.806 m 0.760 m = 101 325 Pam3 s2

Definicinnombresmboloequivalencia

Sistema Internacional (S.I.)N/m2pascalPa1 Pa = 10 barias

Sistema cegesimaldyn/cm2baria----1 baria = 0.1 Pa

barbar1 bar = 106 barias1 bar = 105 Pa

milibarmbar1 mbar = 1000 barias1 mbar = 1 hPa

Sistema tcnicokg/m2atmsfera tcnicaat1 at = 0.968 atm

atmsferaatm1 atm = 1013.25 hPa1 atm = 760 Torr

La presin atmosfrica estndar equivale a 101 325 Pa (1013 hPa o mbar).

PabariabaratmatTorrm.c.a.

1 Pa =11010-59.86910-61.019710-57.500610-31.019710-4

1 baria =0.1110-69.86910-71.019710-67.500610-41.019710-5

1 bar =100 00010610.98691.0197750.0610.197

1 atm =101 3251 013 2501.013211.033276010.33

1 at =98 067980 6650.98070.96781735.69.997

1 Torr (mmHg)=133.321333.20.0013330.001320.0013610.0136

1 m.c.a. =9 80798 0670.0980670.09680.1000373.571

16.8.- Manometra.

Los manmetros son aparatos empleados para la medida de presiones Utilizan la presin atmosfrica como nivel de referencia Miden la presin manomtrica, i.e., diferencia entre lapresin real o absoluta y la presin atmosfrica.

Manmetro abierto

(A M B)

p + r gd = pM = patm + rm gh

\ pman = p - patm = rm gh - r gd

Mide directamente la presin relativa o manomtrica.

Manmetro truncado

(A M B)

p + r gd = pM = rm gh

\ p = rm gh - r gd

Mide directamente la presin absoluta.16.9.- Fuerza sobre superficies sumergidas. Centro de presin.

16.9.a. Superficies planas.

Placa plana inclinada sumergida en un fluido incompresible en reposo.

p0

hcp

x hc h

F dF

yc

ycp x

dS

cy S cp

A. Fuerza resultante que acta sobre la cara superior de dicha placa, debida a la presin que se ejerce sobre ella.

Facilitaremos los clculos adoptando un sistema de ejes coordenados apropiado.

Eje x definido por la interseccin del plano de la placa con el de la superficie libre del lquido, Eje y contenido en el plano de la placa

Consideraremos un elemento de superficie, de rea dS, tal que cada uno de sus puntos se encuentre a la misma profundidad h respecto a la superficie libre del lquido, y, por tanto,sometido a una presin constante

( p0 + r gh) . El mdulo de la fuerza que acta sobre dichoelemento de superficie ser

dF = ( p0 + r gh)dS

y el valor del mdulo de la fuerza resultanteF sobre toda la superficie plana, de rea S, de la cara superior de la placa se determina por integracin

F =

dF =

( p0 + r gh)dS =

( p0 + r gy sen q)dS = p0 S + r g sen q

ydSS S S S

\ F = p0 S + r gyc sen qS = p0 S + r ghc STEOREMA DE LA PRESIN:

La fuerza resultante que acta sobre una superficie plana sumergida en un lquido puede calcularse como si la presin que acta sobre su centroide es la que actuase uniformemente sobre toda la superficie.

B. Centro de presin.

La presin crece linealmente con la profundidad, por lo que el punto de aplicacin de la fuerza resultante estar situado a mayor profundidad que el centroide de la superficie plana considerada.

Determinaremos ahora la coordenada ycp del punto de aplicacin de la fuerza resultante F. El momento de la resultante F, respecto al eje Ox, ser igual al momento resultante debido a la distribucin de presin sobre la cara superior de la placa, respecto al mismo eje. Esto es,

2ycp F =

ydF =

( p0 y + r gy

sen q

)dS = p0

ydS + r g sen q

2y dS = p0 yc S + r g sen qI xxS S S S

donde Ixx es el momento de segundo orden del rea de la placa respecto al eje Ox.

TEOREMA DE CENTRO DE PRESIN:

La posicin del centro de presin queda determinada mediante la expresin:

ycp

= p0 yc S+ r g sen qI xx p0 S + r gyc sen qS

En muchos problemas de inters prctico, la presin p0 acta no solamente sobre la superficie libre del lquido, sino tambin sobre una de las caras de la superficie sumergida. As, en el ejemplo que se ilustra en la figura, las fuerzas producidas por la presin uniforme p0 en ambas caras de la compuerta se compensan y la fuerzaresultante de inters es la debida nicamente al aumento de presin con la profundidad; en consecuencia, las

F = r gyc sen qS = r ghc S

yc ycp

= I xx S

o hc hcp

= I xx sen 2 qS16.9.b. Superficies curvas.

Para calcular la fuerza resultante que acta sobre la dicha superficie tomaremos un elemento de rea genrico dS. La fuerza debida a la presin que acta sobre dicho elemento de rea ser dF =- pdS y lafuerza que acta sobre toda la superficie curva se calcular por integracin:

F = -S

pdS .

La integracin no constituye necesariamente el mtodo ms conveniente para calcular las componentes de la fuerza.

Las componentes horizontales, Fx y Fy, paralelas a la superficie libre del lquido, pueden determinarse fcilmente por los mtodos para superficies planas sumergidas.

1. Proyectamos toda la superficie curva S sobre los planos coordenados x=0 e y=0; as obtendremos las superficies planas de reas Sx y Sy, respectivamente.2. Calculamos las fuerzas resultantes Fx y Fy sobre dichas superficies planas, as como sus respectivos puntos de aplicacin.

La componente vertical Fz es igual al peso de la columna de fluido que se encuentra por encima de la superficie curva y su lnea de accin pasa por el centro de gravedad de la dicha columna.

As, podemos determinar las tres componentes Fx, Fy y Fz de la fuerza resultante y las lneas de accin de las mismas. En general, estas lneas de accin no son concurrentes; esto significa que el sistema de fuerzas Fx, Fy y Fz se reduce a una fuerza nica y un par, en el caso general.16.10.- Principio de Arqumedes.

Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un fluido experimenta una fuerza de empuje dirigida verticalmente hacia arriba cuya magnitud es igual al peso del fluido desalojado y cuya lnea de accin pasa por el centro de gravedad de dicho lquido desalojado.

El volumen de fluido desalojado por el cuerpo recibe el nombre de carena. El centro de gravedad de dicho volumen recibe los nombres de centro de carena o centro de empuje y lo representaremos por el punto C.

La fuerza de empuje o empuje hidrosttico (o aerosttico) es una consecuencia del aumento de presin con la profundidad. En la parte baja acta una presin mayor que en la parte alta; el resultado es una fuerza neta dirigida hacia arriba.

El principio de Arqumedes puede demostrarse con la ayuda del llamadoprincipio de solidificacin de Cauchy.

La magnitud de la fuerza de empuje viene dada por

FE = r gV

donde es la densidad del fluido y V es el volumen de la carena.

16.10.a. Cuerpo sumergido totalmente en un fluido

Cuerpo homogneo de densidad m:

El centro de gravedad coincide con el centro de carena La fuerza de empuje FE y a su propio peso P representan una fuerza netaFE - P = r gV - rm gV = (r - rm ) gV El cuerpo subir, permanecer en equilibrio (de traslacin) o se hundir en el fluido segn que su densidad sea menor, igual o mayor que la del fluido.

Cuerpo no homogneo, de densidad media m:

En general, el centro de gravedad G del mismo no coincide con el centro de empuje C. En general, al no coincidir las lneas de accin de las fuerzas F y P, el cuerpo estar sometido a una fuerza resultante y a un momento resultante o par, El cuerpo se hundir o subir al tiempo que gira (movimiento rototraslatorio).

16.10.b. Flotacin. Estabilidad de la flotacin

Flotador, un cuerpo slido parcialmente sumergido bajo la superficie libre de un lquido. Plano de flotacin, el definido por la superficie libre. Superficie de flotacin, la parte de plano de flotacin contenida en el interior del flotador. Lnea de flotacin, contorno es la superficie de flotacin. Carena, el volumen del flotador situado bajo el plano de flotacin. Centro de carena o de empuje, el centroide de la carena. Desplazamiento, el peso del lquido desplazado por el flotador (igual al empuje hidrosttico sobre la superficie de la carena).

El equilibrio del flotador puede ser estable, inestable o indiferente.

La condicin suficiente para que el equilibrio del flotador sea estable es que su centro de gravedad G se encuentre en la misma vertical que el centro de carena C y situado por debajo de ste.

Se presenta esta situacin en las embarcaciones de regatas que tienen la quilla lastrada con plomo. Cuando la embarcacin se inclina hacia un lado de su plano de simetra longitudinal, aparece un momento adrizante que tiende a enderezar la embarcacin.

La condicin anterior, aunque suficiente, no es necesaria.

En un buque, el centro de gravedad est situado por encima del centro de carena. Cuando el buque se inclina, el centro de carena se desplaza hacia el costado ms hundido, ya que ha cambiado la forma de la carena. Este desplazamiento del centro de carena es suficiente para que aparezca un momento adrizante que tiende a enderezar al buque. Naturalmente, el momento adrizante, y por tanto la estabilidad, aumenta cuando el centro de gravedad desciende, por lo que resulta conveniente colocar la maquinaria y la carga en la parte ms baja del buque.

Resulta fcil observar que la condicin necesaria y suficiente para que el equilibrio de un flotador sea estable es que, para una posicin prxima a la de equilibrio, la vertical que pasa por el nuevo centro de carena C corte a la vertical primitiva CG en un punto M, llamado metacentro, situado por encima del centro de gravedad G.

En realidad, el equilibrio as definido es metaestable, por estar limitado a pequeos ngulos de inclinacin; un buque puede zozobrar si la inclinacin es suficientemente grande.