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CENTRO DE CORTE

1. Introducción

Hasta ahora se ha analizado los efectos de la torsión asumiendo que no existía cortante. De la misma manera cuando se estudió el efecto del cortante, se admitió que no existía torsión.

Para que solo se produzcan tensiones por cortante sin que aparezcan tensiones por torsión no se pueden aplicar cargas arbitrariamente.

Además, se ha realizado la suposición de que el esfuerzo cortante pasa por el centro de gravedad de la sección. De hecho el esfuerzo cortante puede desplazarse de forma arbitraria paralelamente a sí mismo dentro del plano de la sección sin que cambien los momentos flectores ni, por tanto, tampoco la distribución de las tensiones tangenciales halladas.

La resultante de las anteriores tensiones tangenciales según los ejes locales de la sección y z son iguales a los esfuerzos cortantes Vy, Vz aplicados. No ocurre, sin embargo, lo mismo con el equilibrio de momentos. De hecho, el momento de las tensiones tangenciales respecto a un punto cualquiera P puede no coincidir con el momento de los esfuerzos cortantes respecto al mismo punto. El objetivo de éste numeral es obtener un punto C dentro de la sección tal que, si los esfuerzos cortantes pasan por dicho punto, se cumpla el equilibrio de momentos. A tal punto C se le denomina centro de esfuerzos cortantes.

2. Definición

Llamaremos centro de corte a un punto de la sección transversal tal que cuando la fuerza cortante para por él, se producen solamente tensiones rasantes por cortante y no por torsión.

Es decir, se llama centro de corte al punto de aplicación de la resultante de tensiones tangenciales provenientes de la flexión simple.

3. Estudio experimental de Bach

Bach comprobó por vía experimental en el año 1909, que una viga de sección asimétrica sometida a la acción de una carga concentrada en el centro de gravedad de la sección evidenciaba no cumplir en su deformación la ley de las secciones planas de Navier. Pero Bach, que desconoce la existencia del centro de corte, trata de explicar, de manera equivocada, el desacuerdo entre su experiencia y la hipótesis de Navier por la asimetría de la sección considerada, argumentando que la hipótesis de Navier solo es válida para secciones simétricas.

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En 1921, doce años después de las experiencias de Bach, Maillart con un razonamiento similar al que desarrollaremos a continuación, introduce el concepto de centro de corte y demuestra que cuando la carga está aplicada fuera del centro de corte provoca no solo flexión sino además torsión, lo cual genera un alabeo de la sección reportado por Bach.

Consideremos una ménsula de sección U, simétrica respecto al eje z ( principal de inercia ), sometida a un cortante constante a lo largo de la pieza, de valor Vy, vertical ascendente, cuya línea de acción pasa por un punto C situado a una distancia d del punto O centro de gravedad del alma, como se muestra en la figura.

De acuerdo con el cálculo de las tensiones rasantes producidas en una sección por una fuerza cortante, podemos representar en la figura c) su variación. Llamando R y R´ a las resultantes a las resultantes de las tensiones sobre las alas superior e inferior, respectivamente y V a la resultante de la tensión sobre el alma, sabemos que si efectivamente ésta distribución de tensiones rasantes es la debida al cortante Ty , los sistemas de fuerza Ty, y R,R´,V deberían ser equivalentes.

Para que dos sistemas de fuerzas sean equivalentes, deben cumplirse simultáneamente las dos condiciones siguientes:

a) Igualdad de resultante.

b) Igualdad de momento de ambos sistemas respecto de un punto cualquiera. La condición a),

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( )′ ′′ ′= = =

′

21 2

2 4

y y

z z

hT be T b heR R be

I e I (1)

con respecto a la condición b), si se toma momentos con respecto al punto o, se tiene:

′= + =

′= =

2

2 2

4

y

y z

h hT d R R Rh

Rh bh ed

T I

(2)

En conclusión, el sistema de tensiones tangenciales calculado es estáticamente equivalente a la fuerza cortante Ty que actúa sobre la sección, solamente si ésta pasa por el punto C. Se observa además, que la posición del punto C solamente depende de la geometría de la sección y no del cortante actuante Ty. Es por lo tanto una característica geométrica de la sección.

En las fotografías anteriores se muestra un perfil U cargado en su baricentro en la primera, y en su centro de corte en la segunda, se observa una deformación por flexo torsión en la primera y una por flexión simple en la segunda.

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4. Reducción de fuerzas al centro de corte

Como se mostró anteriormente, la posición del centro de corte no depende de las cargas aplicadas, sino que es una propiedad geométrica de la sección.

Es necesario saber en que secciones el centro de corte no coincide con el centro de gravedad, ya que pueden estar sometidas a flexo torsión, y en la gran mayoría de los casos las tensiones rasantes producidas por torsión NO son despreciables con respecto a las demás tensiones.

Conocido el centro de corte, la respuesta de la barra sometida a una carga y un momento torsor determinados se resuelve descomponiendo la carga en una fuerza que pase por el centro de corte y un momento torsor. La primer componente causará flexión sin torsión, y la segunda torsión pura, lo que producirá un giro de la sección entorno al centro de torsión, que como ya se ha visto coincide con el centro de corte.

Entonces, hecha la reducción del momento torsor al centro de corte, pueden resultar tres casos:

a) T=0, y * 0tM ≠ . La sección está únicamente solicitada a torsión o a torsión y flexión

pura (con cortante cero) y las tensiones tangenciales son las debidas únicamente al momento torsor.

b) *0, 0t

T M≠ = . La sección está únicamente solicitada a flexión simple, y las

tensiones tangenciales son las debidas únicamente a T pasando por el centro de corte C.

c) *0, 0t

T M≠ ≠ . La sección está solicitada a flexo-torsión, y las tensiones

tangenciales totales, serán las debidas a flexión (estáticamente equivalentes al esfuerzo cortante T pasando por C ) y a torsión (equivalentes al momento torsor *

tM ).

Como conclusión de éste análisis se concluye que una viga flexa sin torsión, si y solamente si, las cargas transversales están aplicadas en el centro de corte.

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5. Relación entre el centro de corte y el centro de torsión.

El centro de corte y el de torsión coinciden.

Esta propiedad se puede demostrar fácilmente en la base del teorema de Betty.

Para demostrar la propiedad, vamos a razonar por el absurdo, suponemos que el centro de corte, K, y el centro de torsión A, sean dos puntos diferentes.

A continuación, se consideran dos estados de la barra de pared delgada diferentes, el primero cargando con un par M en el centro de torsión es el estado 1, y el segundo con una fuerza V aplicada en el centro de corte y perpendicular al eje de la barra, X, es el estado 2.

El trabajo de las fuerzas de Estado 1 sobre los desplazamientos de Estado 2 es igual a cero, porque la fuerza V provoca una flexión de la barra sin ninguna torsión. Por otro lado, el trabajo de las fuerzas de Estado 2 sobre los desplazamientos de Estado 1 es diferente de cero, porque el desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza, K, en la torsión de la barra alrededor del punto de A es distinto de cero.

Esta es una contradicción con el teorema de Betty, y deriva de nuestra suposición de que los dos puntos no son coincidentes, lo cual demuestra el enunciado original.

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6. Posición del centro de corte

La posición del centro de corte C se determina directamente a partir de su definición, es decir, su posición es tal que un esfuerzo cortante de dirección cualquiera, supuesto aplicado en C es estáticamente equivalente al sistema de fuerzas resultante de las tensiones tangenciales debidas a dicho esfuerzo cortante. En particular, el momento de un esfuerzo cortante de dirección cualquiera, supuesto aplicado en C, respecto a un punto arbitrario O de la sección debe ser igual al momento resultante de las tensiones tangenciales debidas a dicho esfuerzo cortante, respecto al punto O (ver siguiente figura).

Es decir:

o

S

OC T r dSτ× = ×∫

(3)

Ecuación que denominaremos ecuación de igualdad de momentos.

En general, ésta es una ecuación con dos incógnitas: las dos coordenadas del punto C en el plano de la sección. Por tanto, para resolverla hay que plantearla dos veces, para cortantes T actuando según dos direcciones distintas.

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Demostraremos a continuación que cuando la sección tiene un eje de simetría, el centro de corte esta en dicho eje de simetría, con lo que se reduce a una la coordenada incógnita del centro de corte.

Para probarlo consideremos que la carga T solo tiene componente según el eje de simetría z, que llamaremos Vz, y apliquemos la ecuación de igualdad de momentos para O coincidiendo con el origen de coordenadas y el centro de corte de coordenadas (cy, cz).

Por la simetría el segundo miembro de la ecuación de igualdad de momentos será nulo, por lo que:

× = × =∫

0o

S

OC T r dSτ (4)

Sustituyendo las coordenadas se tiene:

× = = = ⇒ =

0 0 0

0 0

x y z

y z y z x y

z

e e e

OC T c c c V e c

V

(5)

Lo que demuestra que el centro de corte pertenece al eje de simetría.

Tal es el caso, por ejemplo, de la sección en U, donde la posición del centro de corte se puede calcular planteando exactamente la igualdad de momentos de la ecuación.

Si la sección tiene dos o más ejes de simetría, el centro de corte está necesariamente en la intersección de dichos ejes y coincide con el centro de gravedad. Tal es el caso, por ejemplo, de las secciones rectangulares o circulares, así como el de las secciones simétricas en doble T.

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En las secciones abiertas de pequeño espesor formadas por tramos rectos que concurren en un punto, tales como las que se muestran en la figura, dicho punto es necesariamente el centro de corte, al ser nula la suma de momentos, respecto de dicho punto, de las tensiones tangenciales que un esfuerzo cortante arbitrario produce sobre la sección, puesto que todas las tensiones tangenciales pasan por él.

7. Coordenadas del centro de corte de una sección abierta.

Inicialmente analizaremos una sección abierta como la que se indica en la figura.

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Para hallar el centro de cortante analizaremos las tensiones que se producen en la sección asumiendo que no se produce un giro en la sección (ausencia de torsión).

En ese caso, las tensiones rasantes pueden ser calculadas como:

2 2

z y y yz y z z yzy z

y z yz y z yz

I I I Iq e V V

I I I I I I

µ µ µ µτ

− −= = − + − −

(6)

El flujo de corte q en toda la sección (definido considerándolo positivo cuando gira en sentido antihorario, al igual que la coordenada s) queda determinado por la expresión: q = τ e

La resultante del flujo de corte, integrando en s para recorrer toda la sección, será igual al cortante. Además el momento de la resultante de integrar el flujo de corte, en relación a cualquier punto genérico A, será también igual al que produce el cortante.

Se asume el origen de coordenadas O en el baricentro de la sección y que los ejes x e y se encuentran ubicados en las direcciones principales de la sección. Vy y Vz actúan en el centro de cortante E, que se supondrá que tiene coordenadas en el sistema de ejes elegido ey y ez .

La fuerza desarrollada por el flujo de cortante en cualquier elemento ds de la pared es q.ds

A partir de la definición de centro de cortante, anulando los momentos en E se obtiene:

0

s

z y y zV e V e qrds− = ∫ (7)

S es el largo total de la pared y r es la distancia perpendicular desde E hasta la línea de acción de q.ds (que a su vez es tangente a la pared de la sección).

El flujo cortante q, es el producto de e (el espesor de la pared) por la tensión rasante que viene dada por la primera ecuación, mientras que r.ds es dω, por lo que sustituyendo se tiene:

2 20

sz y y yz y z z yz

y zy z yz y z yz

I I I I I I I Iqrds V V

I I I I I Iω ω ω ω − −

= − + − − ∫ (8)

donde:

0 0

,ω ωµ ω µ ω= =∫ ∫s s

y y z zI d I d (9)

Como hemos establecido que cualquiera que sea la fuerza que pasa por el centro de corte no existe torsión la igualdad anterior debe cumplirse para todo Vy y Vz y en consecuencia deberá ser:

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2

2

y z z yzy

y z yz

z y y yzz

y z yz

I I I Ie

I I I

I I I Ie

I I I

ω ω

ω ω

−= −

−

−=

−

(10)

8. Coordenadas del centro de corte de una sección cerrada.

Haciendo un corte en la sección cerrado, su flujo q es la suma del flujo en la sección abierta qa, que podemos calcular y hallar su centro de corte como en la sección anterior mas un flujo constante qo, dado por la expresión:

= =∫

∫

a

o o o

qds

eq edse

τ (11)

Donde a

τ es la tensión rasante en la sección abierta y viene dado por

2 2

2 2

. .. .

. .

. .con ,

. .

− − = + = + − −

− −= =

− −

+= =

∫ ∫

∫

z y y yz y z z yza y z y y z z

y z yz y z yz

z y y yz y z z yzy z

y z yz y z yz

y zy z

o o o

I I I Iq V V F V F V

I I I I I I

I I I IF F

I I I I I I

F FV ds V ds

e eq eds

e

µ µ µ µ

µ µ µ µ

τ

(12)

Las coordenadas (ey,ez) del centro de corte de la sección verificarán:

0 0 0

− + = − = − −∫ ∫ ∫s s s

y z z y a oV e V e qr ds q r ds q r ds (13)

Mientras que las coordenadas (cy,cz) del centro de corte de la sección abierta, verificarán:

0 0 0

− + = − = − −∫ ∫ ∫s s s

y z z y a oV c V c qr ds q r ds q r ds

(14)

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( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Restando las dos ecuaciones anteriores:

Observando que si , y

y z z z y y o

y z

y z z z y y o

y zy z

y z z z y y

V e c V e c q r ds

r ye ze r r n

r ds r n ds r dA dA A

V e c V e c Aq

F FV ds V d

e eV e c V e c A

∂Ω

∂Ω ∂Ω Ω Ω

− − + − = −

= + = ⋅ ⇒

⇒ = ⋅ = ∇⋅ = =

− − + − = − ⇒

+⇒ − − + − = −

∫

∫ ∫ ∫ ∫

s

ds

e

∫ ∫

∫

De las ecuaciones anteriores se obtienen las coordenadas:

(15)

2

2

. .

.

. .

.

yz

y yzy

z z zy z yz

y z

z yzz

y y yy z yz

ds dse eI IF ds ds

dse e ee c A c Ads I I Ie

ds dse eI I

F ds dsds

e e ee c A c Ads I I Ie

µµ

µ µ

−

= + = +−

−

= − = −−

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

(16)

De forma análoga se determinan las coordenadas del centro de corte de una sección multicelular.