6 Matricial Rigidez

7/23/2019 6 Matricial Rigidez

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CONCEPTO DE RIGIDEZ Y FLEXIBILIDAD

RIGIDEZ DE BARRAS ELEMENTALES

CARACTERSTICAS DE LA MATRIZ DERIGIDEZ

Jos Miguel Dvila Martn. Profesor Asociado


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CONCEPTOS DE RIGIDEZ Y FLEXIBILIDAD

Sea un muelle sometido en su extremo inferior a una carga P. Por efecto de estacarga el muelle sufrir una alargamiento L proporcional a la carga. De igual forma, si el

muelle sufre una alargamiento

L, aparecer una carga P proporcional al alargamiento y a laconstante K del muelle.

LP

P= KL; L= (1/K)P= FP

(K= P, si L= 1) (F= L, si P= 1)

M MFMK

1

L

IE4KKM ====

(K= M, si = 1) (F= , si M= 1)

KF= 1

Consideremos ahora el caso de una barra elemental con un extremo empotrado yel otro articulado. Si sometemos el extremo articulado a un desplazamiento angular ,aparecer un momento de igual sentido de giro y proporcional al mismo.



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RIGIDEZ: es la fuerza !P, f, t" #ue aparece ante un mo$imiento unidad.

FLEXIBILIDAD: es el mo$imiento !u, $, , f" #ue produce una fuerza unitaria.

Se dice #ue un material es muy r%gido !& grande" cuando hace falta una gran

fuerza para deformarlo !la unidad".Se dice #ue una material es muy flexible cuando una pe#ue'a fuerza !unidad" lo

deforma mucho! ( grande".

COMPRESIN

FLEXIN

RGIDO FLEXIBLE

RGIDO FLEXIBLE



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RIGIDECES DE BARRAS ELEMENTALES

BARRA DE CELOSA, ESTRUCTURAS PLANAS (CERCHAS

)plicando la ley de *oo&e, el alargamiento producido por una esfuerzonormal es L+ !L-"!)/"0 si por el contrario obtenemos el esfuerzo a partir de ladeformaci1n, -+ !!)/"L" L= K L

Sea una barra elemental de longitud L y nudos extremos 1y !

L1 2

Si en el nudo 2 se aplica un mo$imiento unitario, como respuesta apareceruna fuerza en el nudo 2 y otra de reacci1n en el nudo 3.

"1=1 "!=# L

EAK

=11

L

EAK

=

21

Si el mo$imiento se aplica ahora en el nudo 3, aparecer una fuerza en elnudo 3 y la reacci1n en el 2.

"1=# "!=1 L

EAK

=

12

L

EAK

=

22



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Si aplicamos los dos mo$imientos de forma sucesi$a y sumamos los t4rminos de cadafuerza en los extremos de la barra5

2121111 uKuKF +=

2221212 uKuKF +=

=

2

1

2

1

u

u

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

F

F

esa misma ecuaci1n se puede escribir en forma matricial como sigue



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v1

V1

M V!

M"

BARRA DE PRTICO, ESTRUCTURA PLANA (BARRA INEXTENSIBLE$!-o se considera tracci1n 6 compresi1n"

7maginemos una barra del tipo indicado0 al despreciarse la tracci1n 6

compresi1n !y con ello deformaciones axiales, alargamientos 6 acortamientos" losmo$imientos posibles de los nudos sern el perpendicular a la barra y el giro, cuatromo$imientos en total por barra.

1

!"

L

Si aplicamos sucesi$amente mo$imientos unitarios en los nudos 2 y 3,obtendremos las fuerzas y momentos en el propio nudo y en el opuesto.

/mpecemos pu4s aplicando un mo$imiento $ertical unitario en el nudo 2!manteniendo el resto de desplazamientos nulos". Como consecuencia de 4l aparecern

dos fuerzas $erticales y dos momentos proporcionales al desplazamiento y a la rigidez.

V1= v

1k

11; M

2= v

1k

21

V3= v1k31; M4= v1k41



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V1

M

V!

M"

/n el siguiente estado se somete a la barra a un giro unitario en el nudo 2 !3+ 2,$2+ 8, 9+ 8, $:+ 8". Como consecuencia de 4l aparecern dos fuerzas $erticales y dosmomentos proporcionales al desplazamiento y a la rigidez.

V1= #1$ M= #

V!= #!$ M"= #"

= 1

v!

V1

M V!

M"

Seguimos con el proceso, aplicando los mo$imientos restantes !primero $ :+ 2y despu4s + 2".

V1= v!#1!$ M= v!#!

V!= v!#!!$ M"= v!#"!

V1

M

V!

M""= 1

V1= "#1"$ M= "#"

V!= " #!"$ M"= "#""

Como 3 es un mo$imiento unitario, se deduce #ueV1= #1% 3+ &33, ;:+ &:3, 9+

&93



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BARRA DE PRTICO PLANO EXTENSIBLE

Supongamos una barra similar a la del caso anterior en la #ue ahora no sedesprecien las deformaciones axiales. Las cargas $erticales y momentos las obtendr%amosde forma id4ntica a las del apartado anterior, y los t4rminos correspondientes a las

deformaciones axiales seguir%an el procedimiento a las obtenidas de las barras de celos%a,aplicando la ley de *oo&e5 K+ /)L

!

'&

L

1 "

=perando de esta manera obtendr%amos la matriz de rigidez de este tipo de

barra, #ue relacionar%a fuerzas y momentos en los nudos con los mo$imientoscorrespondientes en los mismos.

=

&

'

"

!

1

!!

!!

&

'

"

!

1

v

u

v

u

L

()"

L

()&*

L

()

L

()&*

L

()&

L

()1*

L

()&

L

()1*

**L

(A**L

(A

L

()

L

()&*

L

()"

L

()&*

L

()&

L

()1*

L

()&

L

()1*

**L

(A**

L

(A

M

V

+

M

V

+

/sta matriz se puede escribir de forma condensada5

=

1

1

111

1

U

U

KK

KK

F

F



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/L//->= D/ /P)??7LL)D=Se considera como elemento de emparrillado a#uel #ue tiene las cargas

perpendiculares al plano de la estructura. /n este tipo de elementos pueden aparecerdesplazamientos $erticales y giros en dos planos perpendiculares al de la estructura0 es el

tipo de elemento #ue suele utilizarse para discretizar las estructuras tipo placa.

/n esas condiciones los $ectores defuerzas y desplazamientos #uedar%an as%5

=

=

,

-

-

,

/

M

0

0$

u

M2/3

-

,

Criterio de signos

)islando uno de los elementos nos #uedar%an seis mo$imientos o fuerzas, tres pornudo.

1!

"&'

-1tese #ue los giros 3 y @ sonde flexi1n, mientras #ue los : y A ser%ande torsi1n.



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Si recordamos el t4rmino correspondiente a la barra de celos%a, #ue obtu$imospor aplicaci1n de la ley de *oo&e, podr%amos as% mismo determinar el t4rminocorrespondiente a la rigidez a torsi1n.

L

4)

L

(A 5

/n esta ecuaci1n B es el m1dulo de elasticidad trans$ersal, 7p el momento deinercial polar y L la longitud de la barra.

Con este t4rmino de rigidez y los ya determinados en los casos de barraselementales sometidas a flexi1n obtenemos la matriz de rigidez del elemento deemparrillado.

=

&

'

"

!

1

55

!!

55

!!

&

'

"

!

1

v

v

L

4)**

L

4)**

*L

()"

L

()&*

L

()

L

()&

*L

()&

L

()1*

L

()&

L

()1

L

4)**

L

4)**

*L

()

L

()&*

L

()"

L

()&

*L

()&

L

()1*

L

()&

L

()1

/

M

V

/

M

V



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6

7

1

1

&

1

!'

8

7

11

" 1*

BARRA DE PRTICO TRIDIMENSIONAL

Se trata del caso ms completo de elementos tipo barra. /n 4l cada nudo tieneseis posibles mo$imientos, tres desplazamientos y tres giros

Para entender este elemento estudiemos las fuerzas y mo$imientos #ue

aparecen en cada uno de los planos coordenados.

Como se obser$a, los momentos del plano xy son de flexi1n !A y 23", al igual #uelos del plano xz !@ y22", mientras #ue los del planos yz ser%an momentos torsores !9 y 28".

-

,

6

1*

11

771*

1

8

1

& "

!

'



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/ntendidos los distintos mo$imientos y fuerzas #ue aparecen en este tipo debarra, pasemos a escribir la matriz de rigidez de la misma, y la ecuaci1n #ue relacionafuerzas y desplazamientos.

=

1

11

1*

8

6

7

&

'

"

!

1

/

M

M

V

V

+

/

M

M

V

V

+

L

()"***

L

()&*

L

()***

L

()&*

L

()"*

L

()&***

L

()*

L

()&**

L

4)*****

L

4)***

L()1***

L()&*

L()1**

L

()1*

L

()&***

L

()1*

L

(A*****

L

(A

L

()"***

L

()&*

L

()"*

L

()&**

L

4)***

L

()1**

L

()1*

L

(A

,

,,

,

.

..

.

PP

!

.

.

!

.

!

,

,

!

,

,

,

.

.

P

!

.

!

,

1

11

1*

8

6

7

&

'

"

!

1

v

v

u

v

v

u

9)M(/:;A9)M(/:;A

9)M(/:;A



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CARACTERSTICAS DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ

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