ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS POR EL METODO DE LA RIGIDEZ ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 1 Introduccin LosmtodosclsicosdeanlisisestructuraldesarrolladosafinesdelsigloXIX,tienenlas cualidadesdelageneralidad,simplicidadlgicayeleganciamatemtica.Desgraciadamente, conducan a menudo a clculos muy laboriosos cuando se los aplicaba en casos prcticos, y en aquella poca, esto era un gran defecto. Porestaraznsucesivasgeneracionesdeingenierossededicaronatratardereducirel conjuntodeclculos.Muchastcnicasingeniosasdegranvalorprcticofueronapareciendo (Mtodo de Cross), pero la mayora de las mismas eran aplicable slo a determinados tipos de estructuras. Laprincipalobjecinalosprimerosmtodosdeanlisisfuequelosmismosconducana sistemas con un gran nmero de ecuaciones lineales, difciles de resolver manualmente. Con loscomputadores, capacesderealizar el trabajo numrico, esta objecinno tiene ahora sentido,mientrasquelageneralidaddelosmtodospermanece.Estoexplicaporqulos mtodos matriciales deben en su tratamiento bsico de las estructuras ms al siglo XIX que al XX. El empleo de la notacin matricial presenta dos ventajas en el clculo de estructuras. Desde el puntodevistaterico,permiteutilizarmtodosdeclculoenformacompacta,precisay,al mismotiempo,completamentegeneral.Estofacilitaeltratamientodelateoradeestructuras comounidad,sinquelosprincipiosfundamentalesseveanoscurecidosporoperacionesde clculo, por un lado, o diferencias fsicas entre estructuras, por otro. Desde el punto de vista prctico, proporciona un sistema apropiado de anlisis de estructuras y determina una base muy conveniente para el desarrollo de programas de computacin. Encontrasteconestasventajas,debeadmitirsequelosmtodosmatricialessecaracterizan por una gran cantidad de clculo sistemtico Las virtudes del clculo con computadora radican en la eliminacin del la preocupacin por las operacionesrutinarias,elingenionecesarioparaprepararelmodeloconquesepretende representar la realidad y el anlisis crtico de los resultados. Sedebeserconscientequesinunmodeloadecuadoosinunainterpretacinfinal,el refinamiento en el anlisis carece de sentido. Mtodo de la Rigidez Hiptesis:Estructuralineal-Todoslosmovimientosyesfuerzossonfuncioneslinealesdelas cargas- Pequeas deformaciones (ecuaciones de equilibrio en la estructura no distorsionada).Las barras son rectas y de seccin constante. Paraestudiarunaestructuraporelmtododelarigidez,aligualqueencualquierotro problema elstico, disponemos de tres conjuntos de ecuaciones que deben cumplirse. Ecuaciones de compatibilidad Ecuaciones constitutivas Ecuaciones de equilibrio ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 2 Lasecuacionesdecompatibilidadrelacionanlasdeformacionesdebarrasconlos desplazamientosnodales.Introduciendoestasrelacionesenlasecuacionesconstitutivas, relacionamos las fuerzas en los extremos de barras con los desplazamientos nodales Introduciendo estas ltimas relaciones en las ecuaciones de equilibrio se obtiene un conjunto deecuacionesdefuerzasnodalesenfuncindedesplazamientosnodales,quepuedenser consideradas como Ecuaciones de Equilibrio de la estructura en funcin de desplazamientos. Laresolucindeestesistemadeecuacionesnospermiteobtenerelvalordelasincgnitas (desplazamientosnodales),apartirdeloscualesseobtienenlassolicitacionesdelasbarras de la estructura, as como las reacciones. Cuando se van a calcular las relaciones esfuerzos de extremo de barra - desplazamientos, es naturalescogerunsistemadecoordenadasquehagaestasecuacioneslomssencillas posible.Tomaremos por lo tanto como eje x el que coincide con el eje geomtrico de la pieza y los ejes y y z coincidentes con los ejes principales de la seccin transversal. Tal sistema pertenece a la barra, y no depende de la orientacin de la misma en la estructura y lo denominaremos sistemas de ejes locales. Porelcontrario,cuandolaspiezasseunenentresparaformarlaestructura,esnecesario tener un sistema de coordenadas comn para todos los movimientos y esfuerzos de extremo de barras para poder aplicar las condiciones de equilibrio y compatibilidad. A dicho sistema lo denominaremos sistema de ejes globales. Dichos esfuerzos de extremos de barras y desplazamientos dependern del tipo de estructura que estamos resolviendo, para barras de: a) Reticulado Plano: tendremos dos desplazamientos por nudo b) Reticulado Espacial: tres desplazamientos por nudo. En ambos casos slo tendremos esfuerzos normales. c)PrticoPlano:tresdesplazamientospornudo.(unarotacinenelplanodelprticoydos traslaciones), como solicitaciones de extremo de barra una fuerza axial, un esfuerzo de corte y un momento flector. d)PrticoEspacial:seisdesplazamientospornudo,trestraslacionesytresrotaciones.como solicitacionesdeextremodebarraunafuerzaaxial,dosesfuerzosdecortedosmomentos flectores y un momento torsor. e)Emparrilladodevigas:tresdesplazamientosnodales(uncorrimientonormalalplanodela grilla)ydosrotacionesalrededordelosejescontenidosenelplanomencionado).Los esfuerzos son un cortante y dos momentos (un torsor y un flector). Mtodo de la Rigidez utilizando una computadora Unadelascaractersticasmsimportantesdelmtododelarigidezeslaformaenquelas propiedades elsticas de las piezas, y su orientacin dentro de la estructura, son introducidas enelclculoantesdequeseefecteningunaconsideracinsobreelequilibrioola compatibilidad de los nudos. ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 3 Estonospermiteestablecerrelacionesentrelasfuerzasdeextremodebarrasylos desplazamientosdenudo.Estasrelacionesexpresadasenformamatricialsedenominao conforma la matriz de rigidez de barra. Alconsiderarlainterrelacindecadabarraconlasdemsseobtieneunsistemaglobalde ecuaciones que define el comportamiento de toda la estructura y nos conduce a la solucin del problema. Podemos considerar seis etapas fundamentales en la solucin de un problema: 1) Identificacin estructural 2) Clculo de la matriz de rigidez de barra y del vector de cargas nodales equivalentes 3) Clculo de la matriz de rigidez global y del vector de cargas global de la estructura.4) Introduccin de las condiciones de borde 5) Solucin del sistema de ecuaciones 6) Clculo de solicitaciones en los extremos de barras y reacciones nodales.Identificacinestructural . Esta etapa consiste en definir a travs de nmeros y datos las barras de la estructura. a)Definirunsistemadeejesglobalesparalaestructura.Lascoordenadasdelosnudosse refieren a dicho sistema.b)Conectividaddeloselementos,identificandoparacadabarraelnudoinicialyelfinal.A cada barra est asociado un sistema de ejes locales al cual se refieren todas las dimensiones ycaractersticasdelabarra.Elmismoquedadefinidoautomticamenteporelorden establecido para la numeracin de los nudos de la barra.El eje x local coincide con el eje geomtrico de la barra, siendo el sentido positivo el que va del nudo inicial (nudo de menor numeracin) al final (nudo de mayor numeracin). Los otros ejes localesdeberncoincidirconlosejesprincipalesdeInerciadelaseccintransversaldela barra formando un triedro directo.c)Propiedadesdelaseccintransversaldecadabarra.Dependiendodeltipodeestructura (reticulado,prticoplano,prticoespacial,emparrillado)sedebedarelreadelaseccin transversal, los momentos de inercia en relacin a los ejes principales y la inercia a la torsin.d)Propiedadesdelmaterial.Sedebeindicar,paracadabarra,elmdulodeelasticidad longitudinal y/o el mdulo de elasticidad transversal.e)Especificacindelosvnculos:sedebeindicarelnombredelnudoquetieneunaoms restricciones y cuales son las mismas.f)Descripcindelacarga:sedaelnombredelnudoyloscomponentesdeglobalesdelas cargas externas y las reacciones de empotramiento perfecto en relacin a los ejes locales de la barra, si hay cargas en el tramo.Matri zdeRi gidezyVectordeCargasNodal es Equi v.a) Barra de reticulado plano Consideremos una barra de reticulado plano, supongamos que la misma est arbitrariamente orientada con relacin a un sistema de ejes globales X e Y. ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 4 Supondremosquelabarraesrecta,deseccintransversalconstanteyqueelmaterial responde a la ley de Hooke. Fig. n 1-Sistema local de ejes Enlabarraidelafiguraelnudoinicialeseljyelfinaleselk,quedandodefinidala orientacin de los ejes locales x e y. Considerandoquenoexistendeformacionesinicialesyqueladeformacineselsticael alargamiento de la barra i estar dado por: Lj XLk X iD D L = (1)Donde DxkL y DxjL son los desplazamientos del nudo k y j respectivamente en la direccin local xl. Paraunabarradereticuladoexisteunasolasolicitacinposiblequeeselesfuerzoaxilo normal. Suponiendounmaterialelsticolinealsometidoaesfuerzodetraccintendremosparalos nudos j y k respectivamente: i X i XLLEAF LLEAFk J = = (2)) D D (LEAFLJ XLK X XJ = (3)) D D (LEAFLJ XLK X XK = (4)Donde:E= Mdulo de elasticidad L= Longitud de la barra A= Area de la seccin transversal de la barra.Como en la direccin yl para barras de reticulado no existen solicitaciones podemos expresar las ecuaciones anteriores en forma matricial: ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 5 ((((((

(((((((

=((((((

LYLXLYLXYXYXKKJJKKJJDDDDx0 0 0 00LEA0LEA0 0 0 00LEA0LEAFFFF (5)Laexpresin(5)correspondealaecuacinmatricialdelabarraiencoordenadaslocalesy expresalasFuerzasdeextremodebarra L~FI enfuncindelosdesplazamientosdenudos L~DIA la Matriz que relaciona L~FIy L~DIse la denomina matriz de Rigidez de barra de reticulado en coordenadas locales L~SI . Expresando en forma compacta o simblica: L~L~L~DI . SI FI = (6)La ecuacin (6) define las fuerzas de extremo Fj y Fk para cualquier pareja de corrimientos Dj , Dk dados.Estasecuacionessonsimtricas,comopodamosesperarapartirdelteoremade reciprocidad.Noesposible,sinembargo,resolverlasyobtenerlosdesplazamientos(D)en trminos de las fuerzas (F), puesto que la matriz S es singular. Esto refleja el hecho de que la pieza puede sufrir un movimiento arbitrario de conjunto, sin afectar las fuerzas que actan en sus extremos. Interpretacin fsica de la Matriz de Rigidez de barra Si en la ecuacin (5), hacemos nulos todos los desplazamientos excepto DxjL que es igual a la unidad, entonces los esfuerzos en los extremos de la barra sern los indicados en la figura Fig.n2 - Corrimiento unitario Dxj LEAF y LEAFK JX X = = (7)ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 6 que corresponden a la primera columna de S. De la misma forma podemos hacer DyjL =1 y el resto de los corrimientos nulos, siendo en este caso nulos los esfuerzos en los extremos de barra, ya que se considera una barra doblemente articuladaypequeosdesplazamientos.Porestaraznloscuatrovaloresdelasegunda columna son nulos. Si en cambio hacemos DxKL =1 y el resto de los desplazamientos nulos, los esfuerzos sern: LEAF y LEAFK JX X= = (8)0 F y0 FK JY Y= = (9)que corresponden a la tercera columna de la matriz de rigidez de la barra i Fig. n3 - Corrimiento unitario Dxk En forma anloga se puede analizar la cuarta columna aplicando un desplazamiento Dyk=1 Asociandolosdesplazamientosyreaccionesdenudosenlasdireccionesindicadasenla figura, podemos deducir el significado fsico de la matriz de rigidez de la barra. ConlocualpodemosobservarqueloselementosSijdelamatrizderigidez,representanlas fuerzas que se generan en i al aplicar un desplazamiento unitario en j, permaneciendo fijos los restantes. ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 7 Ademsparaundesplazamientodelnudokobtenemosunareaccinenjqueeslamisma que la obtenida en k para un desplazamiento en j, lo cual nos es expresado por la simetra de la matriz de rigidez. (((((((

0 0 0 00LEA0LEA0 0 0 00LEA0LEA4321=~SIL(10)Tambinpodemosverqueunacolumnajestformadaporlasreaccionesdebidasaun desplazamiento unitario impuesto en la direccin j, y una fila i no es ms que las reacciones en i debido a corrimientos unitarios impuestos en las distintas direcciones. b) Barra de Prtico Plano En base al significado fsico de los elementos de la matriz de rigidez, deduciremos la Matriz de Rigidez para una barra de Prtico Plano en coordenadas locales. Para este tipo de elemento corresponden tres desplazamientos por nudo (2 traslaciones y una rotacin en el plano). Fig. n 4 Lamatrizderigidezseobtienedandodesplazamientosunitariosdeaunoporvezenlas direcciones de la figura mientras los otros permanecen nulos. ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 8 Fig. n 5 - Desplazamientos unitarios p/ prtico plano Lasreaccionesmostradasenlafiguran5constituyenlasrespectivascolumnasdelamatriz de rigidez de la barra de Prtico Plano de la ecuacin (11) (((((((((

(((((((((((((((

=(((((((((

LZkLykLXkLZjLYjLXj2 22 3 2 32 22 3 2 3LZkLykLkjLZjLYjLXjDDDDDD.LEI 4LEI 60LEI 2LEI 60LEI 6LEI 120LEI 6LEI 1200 0LEA0 0LEALEI 2LEI 60LEI 4LEI 60LEI 6LEI 120LEI 6LEI 1200 0LEA0 0LEAFFFFFF(11) Escribiendo en forma compacta: L~L~L~DI . SI FI = (12) Estamatrizrelacionalasfuerzasdeextremodebarraconlosdesplazamientosnodalesen ejes locales.ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 9 Fig.n 6 - Solicitaciones para barra de Prtico Plano Cargas nodales equivalentes Hastaahorahemossupuestoquelascargasestabanaplicadasenlosnudos,yporlotanto existeunacorrespondenciabiunvocaentrelospuntosdeaplicacindelascargasylos desplazamientosqueestnsiendocalculados.Siestonoocurriera,porejemplotuviramos cargaseneltramodelasbarras,enformadistribuidaoconcentrada,debemossustituirlas cargasenlasmismasporunsistemadecargasequivalentesaplicadasenlosnodosque produzca en la estructura el mismo efecto que las cargas originales. Aplicandoelprincipiodesuperposicin,queesvlidoporhabersupuestoqueelsistemaes lineal, podemos descomponer las cargas tal como se indica en la figura: Fig.n 7 - Barra de prtico con cargas en el tramo Comopodemosobservarlascargas,reaccionesydeformacionesdelaestructuraa)sern equivalentes a la suma de los dos estados b) y c).Comolasdeformacionesdenodosenb)sonnulas,sernigualeslasdeformacionesdelos casosc)ya).Oseaquelascargasdec)producenlamismarespuestaestructuralenlo referenteadesplazamientosdenudosquelascargasoriginales.Estassernentonceslas cargasequivalentesenlosnudos,quenosonmsquelasreaccionesdeempotramiento perfecto cambiadas de signo. ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 10 Los esfuerzos en los extremos de barra se obtienen por la suma de los casos (b) y (c).c~b~a~F F F + =c~a~D D =Porlotantoalaecuacin(12)habrqueadicionarlelasfuerzasdeempotramientoperfecto del caso b).L L L L~AI~DI .~SI~FI + = (13)L~AI representaelvectordefuerzasdeempotramientoperfectodelabarraencoordenadas locales. Rotacin de ejes en el plano Hastaelmomentoexpresamoslamatrizderigidezdelelementobarra,tantodereticulado plano como de prtico plano, segn un sistema de ejes locales, estando los desplazamientos y esfuerzos de extremo de barra referidos a los mismos. Noobstante,segnyalomencionamos,antesdepoderaplicarlascondicionesdeequilibrio enlosnudosydecompatibilidaddedesplazamientosesnecesariotransformarlasfuerzasy corrimientos a un sistema de ejes globales. Fig. n 8 - Rotacin de un vector Supongamos el vector V de la figura referido al sistema de ejes X e Y. Las componentes del mismo sern Vx=V.cos Vy=V.sen (14)En el sistema de ejes xL e yL, las componentes sern VxL=V.cos(-) VyL=V.sen(-)(15)ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 11 Luego:VxL=V.cos .cos + V.sen .sen (16)VyL=V.sen .cos - V.cos .sen (17)Teniendo en cuenta la ecuacin (14) y escribiendo en forma matricial: ((

((

=((

YXLYLXVV.cos sensen cosVV(18)o en forma compacta:~ ~L~V . R V= (19)A la matriz de cosenos directores ~R la llamaremos matriz de rotacin. Siqueremoselpasajedelsistemalocalalglobal,enestecasolamatrizderotacinesla transpuesta de ~R. ((

((

=((

LYLXYXVV.cos sensen cosVV(20)L~T~ ~V R V = (21)Premultiplicando la ecuacin (19) porR~1 L~1~ ~V R V= (22)Lo que implica queR~ es una matriz ortogonal (su inversa es igual a su traspuesta):T~1~R R =(23)Ecuacin fundamental de la barra en el sistema global Tantolassolicitacionescomolosdesplazamientospuedenexpresarsecomovectoresenel plano, podemos entonces aplicar la transformacin lineal antes vista para llevar los esfuerzos y desplazamientos de extremos de barra del sistema local al global. K ~ ~LKJ ~ ~LJD . R~DD . R~D==(24)ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 12 Donde LJ ~D y LK ~D representanrespectivamentelosdesplazamientosdelosnudosjyken coordenadaslocalesy J ~D ., K ~D representanlosmismosdesplazamientosencoordenadas globales.Escribiendo en forma compacta:~DI .~RT~DIL= (25)Siendo:(((

=~R~0~0~R~RT(26)La matriz de rotacin de la barra por incluir ambos nudos de la misma.L~DIcontiene los desplazamientos de los dos nudos de la barra en coordenadas locales y~Dilos desplazamientos de los mismos en coordenadas globales.Para las solicitaciones tendremos:~FI .~RT~FIL= (27)L~FIcontiene las solicitaciones de los dos extremos de la barra en coordenadas locales y~FIen coordenadas globales.La inversa de la matriz de rotacin de la barra ser: (((

=111~R~0~0~R~RT (28)Pero como 1~R=T~RserT 1~RT~RT = L L L L~AI~DI .~SI~FI + = (29)L T~FI .~RT~FI = (30)L T L L T~AI .~RT~DI .~SI .~RT~FI + = (31)L T L T~AI .~RT~DI .~RT .~SI .~RT~FI + = (32)~AI~DI .~SI~FI + = (33)ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 13 ~RT .~SI .~RT~SIL T= (34)L T~AI .~RT~AI = (35)Matriz de rotacin para barra de reticulado plano (((((

=cos sen 0 0sen cos 0 00 0 cos sen0 0 sen cos~RT (36)((((((

=2 22 22 22 2s s . c s s . cs . c c s . c cs s . c s s . cs . c c s . c c~Si .EA/L(37)Matriz de rotacin para barra de prtico plano (((((((((

=1 0 0 0 0 00 cos sen 0 0 00 sen cos 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 cos sen0 0 0 0 sen cos~RT (38)ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 14 Matriz de Rigidez de barra de Prtico Plano L / EI 4 L / EIc 6 L / EIs 6 L / EI 2 L / EIc 6 L / EIs 6L / EIc 6 ) L / EIc 12 L / EAs ( ) L / EIcs 12 L / EAcs ( L / EIc 6 ) L / EIc 12 L / EAs ( ) L / EIcs 12 L / EAcs (L / EIs 6 ) L / EIcs 12 L / EAcs ( ) L / EIs 12 L / EAc ( L / EIs 6 ) L / EIcs 12 L / EAcs ( ) L / EIs 12 L / EAc (L / EI 2 L / EIc 6 L / EIs 6 L / EI 4 L / EIc 6 L / EIs 6L / EIc 6 ) L / EIc 12 L / EAs ( ) L / EIcs 12 L / EAcs ( L / EIc 6 ) L / EIc 12 L / EAs ( ) L / EIcs 12 L / EAcs (L / EIs 6 ) L / EIcs 12 L / EAcs ( ) L / EIs 12 L / EAc ( L / EIs 6 ) L / EIcs 12 L / EAcs ( ) L / EIs 12 L / EAc (I S2 2 2 22 3 2 2 3 2 3 2 2 32 3 3 2 2 2 3 3 2 22 2 2 2 2 2 22 3 2 2 3 2 3 2 2 32 3 3 2 2 2 3 3 2 2~ + + + + + + +=Tabla n 1 ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 17 17 Matri zdeRi gidez yVectorde CargasGl obaldel aEstruct. Fig. 9 - Reticulado Plano Las ecuaciones de equilibrio exigen que las cargas externas aplicadas en los nudos deben ser iguales a la suma de las solicitaciones de extremo de las barras que concurren al nudo. Siendo el vector de cargas externas aplicadas en j : (((((

=YjXjAA~j A (39)La ecuaciones matriciales de las barras a) y b) son: b b b ba a a a~AI~DI .~SI~FI~AI~DI .~SI~FI+ =+ =(40)Que pueden representarse en funcin de los nudos de la siguiente forma: ((((

+((((

((((

=((((

((((

+((((

((((

=((((

bkbjbbb bb bbbajaiaaa aa aaa~AI~AI~Dk~Dj.~Skk~Skj~Sjk~Sjj~Fk~Fj~AI~AI~Dj~Di.~Sjj~Sji~Sij~Sii~Fj~Fi(41)dnde: =a~Fi vector solicitacin en el extremo i de la barra (a) =a~Di vector deformacin en el extremo i de la barra (a) =a~AIi vector fuerza de empotramiento perfecto en el extremo i de la barra (a)ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 18 18 =a~Sij submatrizconteniendoloscoeficientesderigidezdelnudoiqueprovienendeun desplazamiento unitario del nudo jde la barra (a)Las condiciones de equilibrio para el reticulado de la figura en el nudo j resultan: 0~Fj~Fj~j Ab a= b a~Fj~Fj~j A + =(42)bjb b b b aja a a a~AI~Dk .~Sjk~Dj .~Sjj~AI~Dj .~Sjj~Di .~Sji~j A + + + + + =(43)Por condicin de compatibilidad de desplazamientos: kckbk iciai jbjaj ~D~D~D ; ~D~D~D ; ~D~D~D = = = = = = (44)Reemplazando la (44) en la (43) y extendiendo el razonamiento a los nudos restantes: ckbkb c b cciaic c a abjajb b a a~AI~AI~Dk .~Skj~Dk ).~Skk~Skk (~Di .~Ski~k A~AI~AI~Dk .~Sik~Di ).~Sii~Sii (~Dj .~Sij~i A~AI~AI~Dk .~Sjk~Dj ).~Sjj~Sjj (~Di .~Sji~j A+ + + + + =+ + + + + =+ + + + + =(45)Si la organizamos en forma matricial: ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 19 19 ((((((

++++(((((

((((((

+++=(((((((

ckbkbjajciaic b b cb b a ac a c a~AI~AI~AI~AI~AI~AI~Dk~Dj~Di.~Skk~Skk~Skj~Ski~Sjk~Sjj~Sjj~Sji~Sik~Sij~Sii~Sii~k A~j A~i A(46)Querepresentaelsistemaglobaldeecuacionesdelaestructura,escribiendoenforma compacta: ~D .~S~A Aeq ~= +(47)Dnde: =~A vector de acciones externas aplicadas en los nudos. ~S = matriz de rigidez global de la estructura ~D= vector deformacin de nudos =eq ~A =vectordecargasnodalesequivalentes(fuerzasdeempotramientoperfecto cambiadas de signo) debido a las cargas aplicadas en los tramos de barras. Haciendo: eq ~A~A~A + = (48)~D .~S~A = (49)ElvectorArepresentalascargasnodalesequivalentesmslascargasaplicadasenlos nudos. Laecuacin(49)nopuedeserresuelta(lamatrizSessingular)sinoseaplicanlas condiciones de contorno o de borde de la estructura. Esquemadel aformacindelamatri z de ri gi dezgl obaly del vector decargas Consideremoselreticuladodelafiguran9.Lamatrizderigidezglobaldelreticulado tendr 6 filas y 6 columnas ya queson 3 nudosycada uno tiene 2 grados de libertad(un desplazamiento segn el eje x y uno segn el eje y). La contribucin de cada nudo deber ser colocada en las posiciones que se indican en la figura n10. Los nudos i,j,k definen las filas y columnas de la matriz (submatrices) ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 20 20 Ijk a+ca+caacc i a+ca+caacc aAa+ba+bbb S =j aAa+ba+bbb cCbbb+cb+c k cCbbb+cb+c Fig. n 10: Esquema Formacin Matriz Reticulado iJk i aii ~S +cii ~Saij ~Scik ~SS =j aji ~Sbjj ~S +ajj ~Sbjk ~S k aki ~Sbkj ~Sbkk ~S +ckk ~S Las submatrices tendrn tantas filas y columnas como grados de libertad tenga cada nudo. En el caso del reticulado este nmero es 2. Analicemos la posicin en figura n 10 de las submatrices de la matriz de rigidez de la barra b de la figura n 9. ((((

=ajj ~aji ~aij ~aii ~a~S SS S1 S((((

=bkk ~bkj ~bjk ~bjj ~b~S SS S1 S((((

=ckk ~cki ~cik ~cii ~ c~S SS S1 S (50) Lassubmatricessondeorden2x2.Laposicin b~1 S enlamatriz ~Sestindicadaenal figura n 10 a partir del siguiente esquema: bjj ~S = indica fila j columna j bjk ~S = indica fila j columna k bkj ~S = indica fila k columna j bkk ~S = indica fila k columna k Ntese que en las posiciones dnde ya existen valores provenientes de otras barras, estos son sumados a aquellos. ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 21 21 Generalizando, debemos considerar una barra de reticulado que une los nudos j y k segn la figura n11. Figura n 11 Lasposicionesocupadasporlamatrizderigidezdelabarra(m)enlamatrizderigidez global son las siguientes: 1 2 3 2(j-1)+1 2(j-1)+2 2(k-)+1 2(k-)+2 1 2 . . 2(j-1)+1XXXX 2(j-1)+2XXXX ~S= . 2(k-1)+1XXXX 2(k-1)+2XXXX Figuran12-PosicionesocupadasporunabarradeReticuladoPlanoenlamatriz de Rigidez Global Paraunprticoplanooestructurascon3gradosdelibertadpornudotendramosla siguiente configuracin: ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 22 22 1 2 3 3(j-1)+1 3(j-1)+2 3(j-1)+3 3(k-1)+1 3(k-1)+2 3(k-1)+3 1 2 . . 3(j-1)+1XXXXXX 3(j-1)+2XXXXXX 3(j-1)+3XXXXXX ~S= . 3(k-1)+1XXXXXX 3(k-1)+2XXXXXX 3(k-1)+3XXXXXX Figuran13-PosicionesocupadasporunabarradePrticoPlanoenlamatrizde Rigidez Global Del mismo modo, un vector de cargas equivalentes en los nudos para una barra de la figura n11 ocupa la posicin indicada en la figura n 14 del vector acciones globales nodales. 1 2 . 3(j-1)+1X 3(j-1)+2X 3(j-1)+3X ~A = . 3(k-1)+1X 3(k-1)+2X 3(k-1)+3X a) Prtico plano 1 2 . . 2(j-1)+1X 2(j-1)+2X ~A = . 2(k-1)+1X 2(k-1)+2X b)ReticuladoplanoFigura n 14 Posicin del vector Acciones nodales ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 23 23 Formaci n de l aMATRI Z deRI GI DEZGLOBALenformadematri z banda-si mtrica. LaMatrizdeRigidezGlobaldelaestructuraessimtricarespectodeladiagonalprincipaly tienenormalmentecaractersticasdematrizdebandas.Porellonoesnecesarioalmacenar todosloselementosdelamatriztodavezqueestoimplicatiempodeprocesamientoparael computadoryademsmayormemoriadealmacenamiento.Bastarentoncesalmacenarlos elementosdeltringulosuperior(oelinferior)delamatriz.Tambinestapartetriangular superior(oelinferior)puedesufrirunaracionalizacindelarreglomatricialdenmeros.Esto secorrigeaprovechandolacaractersticadebandadelamatrizypreviniendosu reorganizacin para un arreglo bidimensional de dimensin NGLTxB dnde: NGLT= es el nmero de grados de libertad total de la estructura. B= es el semi largo de banda del sistema. Seaelejemplodelafiguran15.LaMatrizdeRigidezdelaestructuraensuformade almacenamientoconvencionalrepresentadaenlafiguran16-ayenlaformadebanda simtrica en la figura n 16-b. Figura n 15: Ejemplo de Reticulado Plano. Figura n 16: Formas de almacenamiento de la Matriz de Rigidez Ntese que el semi-ancho de banda est vinculado a la mayor diferencia de numeracin entre nudos que estn unidos por una barra. En el caso de la figura n 15, la mayor diferencia entre dos nudos de una barra es 2 y el semi-ancho de banda es 6. De modo general el semi-ancho debandaesobtenidaporB=(L+1)*N1.DndeLeslamayordiferenciaentrenudosque ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 24 24 concurren a una misma barra y N1 es el nmero de grados de libertad del nudo. En el caso del Reticulado Plano N1=2, y entonces el semi ancho de banda es B=(2+1)x2=6. Influencia de la Numeracin de nudos sobre el ancho de Banda En el ejemplo que sigue se puede apreciar como varan tanto la cantidad de elementos a almacenar como el semiancho ancho de banda con la forma de numerar los nudos de la estructura. Condi ci onesdeContorno odeBorde Unsistemadeecuaciones: ~ ~ ~D . S A = correspondienteaunaestructuracompletaantesde aplicarlascondicionesdecontornoesINDETERMINADO,pues ~Sessingular.Laraznde estasingularidadeselresultadodenohaberconsideradolasvinculacionesoapoyosdela estructuraconelexterior.Alintroducirlascondicionesdevnculodesaparecela indeterminacin(osingularidaddelamatrizderigidez),siemprequeelnmerodevnculos seaporlomenoselmnimonecesarioparaeliminarlosmovimientosdecuerporgidodela estructura. Elconocimientodedeterminadoscorrimientosnodales,disminuyeelnmerodeincgnitas, tornndose innecesarias las ecuaciones correspondientes a estos corrimientos. La eliminacin de laecuacin de un desplazamientoimplica la destruccin de labanda de la matriz, lo cual exigira un reacomodamiento de las incgnitas del problema. Al sistema de ecuaciones~ ~ ~D . S A = (51) Podemos expresarlo de la siguiente forma: ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 25 25 II ~~II , II ~ I , II ~II , I ~~I , I ~II ~I ~D.S SS SAA = (52) Dnde: I ~A =reaccionesdeapoyocondesplazamientoimpedido. I ~D =0,reaccionesqueporel momento desconocemos. II ~A = agrupa las fuerzas externas sobre nodos con desplazamientos II ~D desconocidos. II , II ~S =Matrizderigidez(cuadrada)querelacionafuerzasconocidas(cargasexternas II ~A ) con desplazamientos desconocidos II ~D . Tcnica nmero 1: SuprimiroeliminardelaMatrizdeRigidezdelsistemalascolumnascorrespondientesa desplazamientos impedidos y las filas correspondientes a reacciones exteriores. Ventaja: reduce el tamao del sistema de ecuaciones a resolver (en un orden determinado por los grados de libertad eliminados por los apoyos). Dicha reduccin es importante en el caso de pocas barras y muchos vnculos externos, fcilmente aplicable en forma manual, es la tcnica que emplearemos en el curso. Desventaja: no podemos resolver as desplazamientos prescriptos. Tcnica nmero 2: Unartificiousadonormalmenteparaintroducirundesplazamientoconocidoenladireccini, consiste en hacer el elemento de la diagonal principal de la matriz ~S de la lnea i igual a 1 y anulartodaslasrestantesposicionespertenecientesaesalneaycolumna.Luegodebeser colocadoelvalordelcorrimientoconocidoi denlaposicinanteriormenteocupadaporai,y tambin pasar al vector ~A los coeficientesi~ijd . S con el signo cambiado. = + + + + += + + + + += + + + + += + + + + +n n nn i ni 2 2 n 1 1 ni n in i ii 2 2 i 1 1 i2 n n 2 i i 2 2 22 1 211 n n 1 i i 1 2 12 1 11a d . S .... d . S .... d . S d . S.a d . S .... d . S .... d . S d . S..a d . S .... d . S .... d . S d . Sa d . S .... d . S .... d . S d . S(53) ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 26 26 ini n n nn 2 2 n 1 1 ni iii 2 2 n n 2 2 22 1 21ii 1 1 n n 1 2 12 1 11d . S a d . S .... 0 .... d . S d . S.d 0 .... d ....0 0..d . S a d . S .... 0 .... d . S d . Sd . S a d . S .... 0 .... d . S d . S = + + + + += + + + + + = + + + + + = + + + + + (54) En forma matricial ini niii 2 2ii 1 1ni21nn 2 n 1 nn 2 22 21n 1 12 11d . S a..d..d . S ad . S ad..d..dd.S ... 0 ... S S............0 ... 1 ... 0 0....................S ... 0 ... S SS ... 0 ... S S= (55) Como caso particular, cuando un corrimiento di sea nulo, o sea, cuando exista un vnculo en la direccin i, la ecuacin anterior toma la siguiente forma: n21ni21nn 2 n 1 nn 2 22 21n 1 12 11a..0..aad..d..dd.S ... 0 ... S S............0 ... 1 ... 0 0....................S ... 0 ... S SS ... 0 ... S S=(56) Esimportantemencionar,queconestaformadeaplicacindelascondicionesdeborde,las cargas que estn aplicadas en la direccin i del apoyo quedaran sin considerar. Ventaja:Nodestruyelaorganizacinsimtricaybandadelsistemadeecuaciones.Es fcilmente implementable en computador. Tcnica nmero 3: Modificarloscoeficientesdeladiagonalprincipalenlamatrizderigidezdelsistemaque correspondan a desplazamientos impedidos. ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 27 27 Siendo una ecuacin cualquiera en el sistema: iij ij ii i ii j ij iSd . S add . S d . S a= + = (57) Luego, haciendo Sii suficientemente grande (por ejemplo multiplicarlo por 1020) obtenemos un di prximo a cero. Ventajas: no altera la organizacin del sistema de ecuaciones, ni tampoco reduce el orden del sistema. Desventaja: puede provocar problemas numricos. Sol uci ndel si stema gl obaldeecuaciones Unavezintroducidaslascondicionesdebordeocontornoenelsistemadeecuaciones, podemosresolverlomediantecualquiermtodoconocido(Gauss,Cholesky,GaussJordan, etc.) Existen en la literatura mtodos eficientes de clculo teniendo en cuenta la simetra, banda y formaespecficadearchivo.Lasolucindelaecuacin55nosproveeloscorrimientoso desplazamientos de los nudos de la estructura. Muchasvecesexistemsdeunestadodecarga.Paraestasituacinsepuedendesarrollar algoritmosdesolucinquetrabajandoconmsdeunvectordecargas(trmino independiente)nosdancomorespuestamsdeunvectordesplazamiento(unoparacada estado de cargas). Cl cul o desol i ci taci ones enextremosdebarras La ecuacin matricial de una barra (m) con conexiones i,j se expresa en forma particionada de acuerdo a la ecuacin 41: mj ~jmjj ~imji ~mj ~mi ~jmij ~imii ~mi ~A D . S D . S FA D . S D . S F+ + =+ + =(58) Losdesplazamientos i ~D , j ~D sonobtenidosdelvectordesplazamientodenudosdela estructura,solucindelsistemadeecuaciones(54).Particionadalamatrizderigidezdela barram) S , S , S (mj , j ~mj , i ~mi , i ~yelvectordeempotramientoperfecto ) A , A (mj ~mi ~,debenser almacenadasalconfeccionarlamatrizderigidezglobalyelvectordecargasglobal. Entretanto,dependiendodelacapacidaddememoriadelprocesador,puedeserms aconsejable recalcular la matriz derigidez y elvector dereaccin de empotramiento perfecto de cada barra, para despus obtener con el trmino (58) las solicitaciones de extremo de barra ) F y F (mj ~mi ~. Las solicitaciones de barras nos interesan referirlas al sistema de ejes de coordenadas locales, yaqueenestaformatendremoslosesfuerzosnormales,cortantes,etc.Paraestodebemos hacer una rotacin de ejes sobre las solicitaciones obtenidas por (58), para lo cual: ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 28 28 mj ~ ~L , mj ~mi ~ ~L , mi ~F . R FF . R F==.(59) Estanoeslanicaformadeobtenerlassolicitacionesdelasbarras.Podemosobtenerlos corrimientos i ~D y j ~D ytransformarlosacoordenadaslocalesmedianteelproductocon ~R. Entonces tendramos las ecuaciones (58), todas en coordenadas locales para as obtener las solicitaciones en las mismas coordendadas. Cl cul o del as reacci ones de nudos Paraunnudosobreunapoyo,podemosobtenerlasaccionesdetodaslasbarrasque concurren a un nudo y sumarlas. El resultado de esta suma ser el vector reaccin del nudo. = == = p1 mmi ~ i ~p1 mmi ~ i ~F R0 F R==p1 mmi ~ i ~F R (60) dnde p es el nmero de barras ligadas al nudo i y i ~Res la reaccin del nudo i. Si hacemos esta misma suma para un nudo que no sea apoyo, tendremos como resultado las cargasaplicadasalnudo.Esimportantequelassolicitacionesdelextremodebarrasean referidas a un sistema global de coordenadas. ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 29 29 TOPICOS ESPECIALES EN ANALISIS MATRICIAL Efectos Trmi cos Lo analizamos en forma similar al caso de cargas aplicadas en el tramo. Fig. n 17 L .h) T T (; L .2) T T (2 1t j2 1t Xj = + = (61) El giro d de un tramo de viga dx ser: dx .h) T T (d2 1t = (62) teniendo en cuenta que: I . EMdxy ddxd22 = = h) T T (dxy d2 1t22 = (63) integrando dos veces y particularizando para el nudo j. 2 2 1t jL .h . 2) T T (dy = (64) Las fuerzas de empotramiento necesarias para restaurar el extremo de la barra a su posicin primitiva sern: (para prtico plano). L .h) T T (.L .h . 2) T T (.L .2) T T (..LI . E . 4LI . E . 60LI . E . 6LI . E . 1200 0LA . EMQN2 1t2 2 1t2 1t22 3LjLjLj + = (65) ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 30 30 j ~ jj ~ j ~. S P = (66) Cmo estas fuerzas son de empotramiento perfecto, y adems estn en coordenadas locales, hayquellevarlasalsistemaglobalyrestarlas(cargasnodalesequivalentes)alvectorde cargas en los nudos. hA . E). T T .(02A . E). T T .(MQN2 1 t2 1 tLjLjLj + = (67) Apoyosel sti cos Unapoyoelsticosecaracterizaporelhecho dequeeldesplazamientoquesufrees proporcional a la fuerza que recibe, definida por suconstantederesortek(fuerzanecesaria para producir un desplazamiento unitario) Un desplazamiento genera una fuerza k. en la misma direccin. Siendo una ecuacin cualquiera en el sistema: Fig. n 18 i ii j ij i. S S a + =(68) Si establecemos ahora el equilibrio en el nudo i teniendo en cuenta la fuerza del resorte: i ii j ij i i. S S a . k + = + (69) i ii j ij i). k S ( S a + + =(70) Es decir debemos sumar la rigidez del resorte k en la diagonal principal de la matriz de rigidez del sistema en la fila y columna correspondiente a la direccin en la que acta el resorte. ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 31 31 Apoyosdesl i zantes noconcordantes Fig. n 19 Si el plano de desplazamiento no es paralelo a uno de los ejes globales, debemos modificar la ecuacin matricial de la estructura, transformando en el nodo en cuestin los vectores fuerza y desplazamiento al sistema de ejes global. L1 ~ 1 ~ 1 ~L1 ~ 1 ~ 1 ~F . R F . R = = (71) dnde el 1 indica el nmero de nodo. Con 1 0 00 cos sen0 sen cosR = (72) 4 ~3 ~2 ~L1 ~ 1 ~44 ~ 43 ~ ~ ~34 ~ 33 ~ 32 ~ ~~ 23 ~ 22 ~ 21 ~~ ~ 12 ~ 11 ~4 ~3 ~2 ~L1 ~ 1 ~. R.S S 0 0S S S 00 S S S0 0 S SFFFF . R= (73) ij ~S =3x3 para prtico plano Enestaecuacineslomismopremultiplicar L1 ~ por 1 ~Rquepostmultiplicarlaprimera columnade ~Spor 1 ~R .Porotraparte,premultiplicandolaprimerafilaaambosladosdela igualdadpor 1 ~TR nosealteralaigualdadyademsconsiderandoqueensistemasde coordenadas ortogonales ~ 1 ~ 1 ~TI R . R =ESTABILIDAD III CAPITULO IV: ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASPg. 32 32 4 ~3 ~2 ~L1 ~44 ~ 43 ~ ~ ~34 ~ 33 ~ 32 ~ ~~ 23 ~ 22 ~ 1 ~ 21 ~~ ~ 12 ~T1 ~ 1 ~ 11 ~T1 ~4 ~3 ~2 ~L1 ~.S S 0 0S S S 00 S S R . S0 0 S . R R . S . RFFFF= (74) Resumen:Semodificalaecuacinmatricialdetodalaestructura,premultiplicandolafila, correspondientealnodoconapoyoinclinadopor 1 ~TR ypostmultiplicandolacolumna correspondiente por 1 ~R . Tcnica alternativa Consiste en adicionar un barra ficticia que deber impedir desplazamientos en la direccin v y permitir desplazamientos en la direccin u y giro. Para que esto sea posible, el rea de la seccin transversal de la misma deber ser mucho mayor que las barras restantes y la inercia mucho menor a la de las otras barras. (Adems de pequea longitud para evitar acortamientos de la barra ficticia) Fig. n 20