METODO RIGIDEZ DE SECCION VARIABLE

DEDICATORIA:

Con todo mi cario y mi amor para las personasque hicieron todo en la vida para que nosotroscumplieramos nuestros sueos, por motivarnos ydarnos su apoyo en todo momento.

A nuestros padres con mucho Amor.

RESUMEN

El Anlisis Estructural es la parte del proceso de proyecto que comprende el diseo, clculo y comprobacin dela estructura. Es esta una disciplina tcnica y cientfica que permite establecer las condiciones de idoneidad de laestructura, respecto a su cometido o finalidad. Por tanto, tiene establecido su objeto en la estructura y su finalidaden el clculo como comprobacin de lo diseado.En el presente trabajo se presentan las experiencias obtenidas durante el proyecto de desarrollo e implementacinpara la enseanza del Mtodo de la Rigidez de un programa de caractersticas didcticas que, funciona en elambiente MATLAB, con capacidad para la resolucin de estructuras de barras (reticulados y prticos en 3D)

.

ndice general

I PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 80.1. El problema de la investigacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0.2.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90.2.2. Objetivos Especficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

II FUNDAMENTO TERICO 10

1. CONCEPTOS BASICOS DE DIFERENTES TIPOS DE ESTRUCTURA 111.1. ANTECEDENTES TEORICOS PARA EL ANALISIS DEL METODO RIGIDEZ . . . . . . . . . 11

1.1.1. Algunas visiones del conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.2. Sistema de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.3. Convencion de Signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.4. Grados de Libertad (DOF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.5. Matrix Rigedez de Elemento[ke] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.6. Matrix Rigedez de La Estructura[K] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.7. Vector Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.8. Desplazamiento del Vector[U ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.9. Calculo Desconocido Desplazamiento y Reaccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.10. Fuerzas en Los Miembros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2. MATRIX DE RIGIDEZ DE UNA VIGA (BEAM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3. MATRIX DE RIGIDEZ DE UN PORTICO (FRAME 2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1. Matriz de rigidez del elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2. Matriz de transformacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA (TRUSS 2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.1. Matriz de rigidez del elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.2. Matriz de transformacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5. MATRIZ DE RIGIDEZ DE PORTICO ESPACIAL (FRAME 3D) . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.1. Matriz de rigidez del elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.2. Matriz de transformacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6. MATRIZ DE RIGIDEZ DE ARMADURA ESPACIAL (TRUSS 3D) . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6.1. Matriz de rigidez del elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6.2. Matriz de transformacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA PARRILLA (GRID) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

III MEMORIA DE CALCULO DE LAS ESTRUCTURAS 23

2. APLICACION DE UNA BEAM POR EL METODO RIGIDEZ 242.1. EJEMPLO DE UN VIGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.1. Solucion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3

NDICE GENERAL NDICE GENERAL

3. APLICACION DE UN FRAME 2D POR METODO REGIDEZ 403.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1.1. Solucion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4. APLICACION DE TRUSS 2D METODO RIGIDEZ 474.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.1. Solucion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5. SOLUCION DE FRAME 3D METODO RIGIDEZ 605.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.1.1. Solucion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6. APLICACION DE TRUSS 3D METODO RIGIDEZ 646.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.1.1. Solucion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7. APLICACION DE UN GRID POR METODO RIGIDEZ 787.1. EJEMPLO DE UN GRID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.1.1. Solucion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

IV CONCLUSIONES 84

V RECOMENDACIONES 86

VI BIBLIOGRAFIA 88

VII ANEXOS 90

UNSCH4

ANLISIS ESTRUCTURAL II

ndice de figuras

1.1. Sistema de Coordenadas Globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2. Sistema de Coordenadas Locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3. Convension de Signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Sistema de Grados de Libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Viga Idealizada De Una Estructura Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.6. Portico 2D Idealizada De Una Estructura Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7. Armadura 2D Idealizada De Una Estructura Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8. Portico 3D Idealizada De Una Estructura Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.9. Armadura 3D Idealizada De Una Estructura Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.10. Parrilla Idealizada De Una Estructura Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.11. Esquema Tipica de Una Parrilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.12. Elemento Sometido a Flexion y Corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.13. Elemento de la Primera Columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.14. Elemento de la Segunda Columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.15. Elemento de la Tercera Columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.16. Elemento de la Cuarta Columna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1. Viga con Diferentes Cargas en los Mienbros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2. Seccion de la Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3. Notacion de los Grados de la Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4. Caracterizacion de la Viga Para Obtener Vector de Cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5. Obtencion del Momento de Empotramiento Elemento I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6. Obtencion del Momento de Empotramiento Elemento II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.7. Obtencion del Momento de Empotramiento Elemento III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.8. Viga Con Sus Respectivas Fuerzas Primarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.9. Viga con Sus Respectivos Fuerzas y Momentos en Sus Nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.10. Seccion de Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.11. Viga Con Sus Fuerzas Externas en Los Nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.12. Seccionamiento en Del Elemento I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.13. Seccionamiento en Del Elemento II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.14. Seccionamiento en Del Elemento II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.15. Seccionamiento en Del Elemento III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.16. Seccionamiento en Del Elemento III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.17. Momento Flector de la Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.18. Fuerza Cortante De La Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.19. Fuerzas Axiales De La Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1. Portico Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2. Numeracion Grados y Elementos del Portico Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3. Elemento Cargado con Una Fuerza Distribuida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4. Portico Con Sus Cargas Puestas en su Nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5. Portico Con Sus Respectivas Reaciones y Desplazamientos en Sus Nodos . . . . . . . . . . . . . 443.6. Diagram Fuerza Cortante del Portico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.7. Diagrama de Momento Flector del Portico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.8. Portico Con su Respectiva Fuerzas Axiales en Los Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5

NDICE DE FIGURAS NDICE DE FIGURAS

4.1. Aramdura Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2. Designacion De Los Grados de Libertad de la Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3. Elemento (1) Aislado de La Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4. Elemento (2) Aislado de La Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.5. Elemento (3) Aislado de La Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.6. Elemento (4) Aislado de La Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.7. Elemento (5) y (6) Aislado de La Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.8. Elemento (7) Aislado de La Armadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.9. Armadura Con Sus Respectivas Fuerzas Internas y Externas Finales . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.1. Portico Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2. Numeracion de los Grados de Libertad de Portico Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.1. Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.2. Armadura Con Sus Respectivas Numeraciones en Los Nodos y Elementos . . . . . . . . . . . . . 656.3. Elemento (1) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.4. Elemento (2) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.5. Elemento (3) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.6. Elemento (4) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.7. Elemento (5) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.8. Elemento (6) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.9. Elemento (7) Aislado de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.10. Deformada de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.11. Equilibrio de Elementos de La Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.12. Equilibrio de Nodos de (IV) y (VI) De Armadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.13. Equilibrio de Nodos de (I) y (II) DeArmadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.14. Equilibrio de Nodos de (V) y (VII) DeArmadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.15. Equilibrio de Nodos de Los Apoyos (I) y (IV) DeArmadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . 756.16. Equilibrio de Nodos de Los Apoyos (II) y (VI) DeArmadura Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . 756.17. Armadura Espacial Con Sus Fuerzas Internas en los Elemtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.1. Parrilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.2. Momento de Empotramiento del Elemento (1-2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.3. Momento de Empotramiento del Elemento (1-3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.4. Diagrama de Fuerza Cortante de la Parrilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.5. Diagrama de Momento Flector de la Parrilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.6. Diagrama de Fuerza Axial de la Parrilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

UNSCH6


INTRODUCCIN

El anlisis estructural es la columna vertebral de cualquier diseo de ingeniera al permitir que uno sabe deantemano el comportamiento de cualquier estructura de ingeniera bajo diferentes condiciones de carga a la quela estructura se encontrar a lo largo de su vida. Este informe muestra cmo podra ser definido y analizado unaestructura usando el programa MATLAB por el mtodo de la rigidez .Por otra parte cmo un usuario puede uti-lizar este programa como una herramienta de aprendizaje para mtodo rigidez .Matlab ha desarrollado un anlisisestructural esttico elstica de porticos y armaduras en 2D y 3D asi como tambien de una parrillas.

En la etapa de procesamiento, la entrada de datos se utiliza para preparar matrices elemento de rigidez ytransformacin de cada uno en sistema de coordenadas globales antes suma para obtener la matriz de rigidezestructural global. Carga y el desplazamiento matriz es preparada. A continuacin, mediante el uso de la fuerzade desplazamiento estndar relacin y matriz de particionamiento, desplazamientos desconocidos, reacciones y secalculan las fuerzas miembros.

7

PARTE IPLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

8

0.1. EL PROBLEMA DE LA INVESTIGACIN

0.1. El problema de la investigacinElaborar una subrutina o programa que efecte una adaptacin al cdigo en MATLAB, el cual resuelva los

dierentes tipos de estructuras como: BEAM, PORTICO 2D, TRUUS 2D, PORTICO 3D,TRUSS 3D y GRID conel mtodo matricial de la rigidez, de tal modo que este sea capaz de resolver

0.2. Objetivos

0.2.1. Objetivo GeneralEl objetivo de este trabajo es desarrollar un anlisis estructural basado en un programa MATLAB, que pueda

resolver cualquier tipo de estructura en 2D 3D y grid.

0.2.2. Objetivos Especficos

1 Calcular parmetros de rigideces, momento de empotramiento y deflexiones por el mtodo de la rigideces.

2 Identificar las propiedades paramtricas de las vigas acarteladas y sus dimensiones

3 La adicin de todas las matrices elemento de rigidez en DOF pertinente para formar una matriz de rigidezestructural (K).

4 Comparar los resultados de los momentos de empotramientos y flechas segn cada elemento acarteladodiseado.

5 Formacin de elemento de carga Vector (Po) en coordenadas locales para marcos solamente.

6 Transformacin de carga de elementos del vector en coordenadas globales para marcos solamente.

7 Formacin de Nodal vector de desplazamiento (U).

8 Resolviendo P=KU para conseguir desplazamientos desconocidos en las juntas sin restricciones.

9 Haciendo uso de desplazamientos para el paso 6 para obtener reacciones en constreido articulaciones.

10 Transformacin de los desplazamientos globales a los desplazamientos locales a calcular las fuerzas en losmiembros.

UNSCH9


PARTE IIFUNDAMENTO TERICO

10

CAPTULO 1

CONCEPTOS BASICOS DE DIFERENTES TIPOS DEESTRUCTURA

1.1. ANTECEDENTES TEORICOS PARA EL ANALISIS DEL METO-DO RIGIDEZ

1.1.1. Algunas visiones del conjuntoPara el anlisis de cualquier estructura, se modela como un conjunto de simple, idealizada elementos conecta-

dos a los nodos. Anlisis por el mtodo de la rigidez puede ser directa dividido en pasos siguientes.

1 La formulacin de la matriz de rigidez elemental en coordenadas locales (Ke).

2 Formacin de elemento de matriz de transformacin T.

3 Transformacin de la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales (Ke).

4 La adicin de todas las matrices elemento de rigidez en DOF pertinente para formar una matriz de rigidezestructural (K).

5 Formacin del vector de carga nodal (P) en coordenadas globales.

6 Formacin de elemento de carga Vector (Po) en coordenadas locales para marcos solamente.

7 Transformacin de carga de elementos del vector en coordenadas globales para marcos solamente.

8 Formacin de Nodal vector de desplazamiento (U).

9 Resolviendo P=KU para conseguir desplazamientos desconocidos en las juntas sin restricciones.

10 Haciendo uso de desplazamientos para el paso 6 para obtener reacciones en constreido articulaciones.

11 Transformacin de los desplazamientos globales a los desplazamientos locales a calcular las fuerzas en losmiembros.

11

1.1. ANTECEDENTES TEORICOS PARA EL ANALISIS DEL METODO RIGIDEZ CAPTULO 1

1.1.2. Sistema de CoordenadasGlobal: Estructura nodos siempre se describen en coordenadas globales. podra ser expresada por las letras

maysculas de X, Y y Z.

Figura 1.1: Sistema de Coordenadas Globales

Locales: fuerzas internas de elementos se describen en las coordenadas locales. Se representa por letras mins-culas de x, y y z.

Figura 1.2: Sistema de Coordenadas Locales

Estructuras 2D se definirn en el plano X-Y donde como estructuras 3D sern se define en X-Y-Z plano.

1.1.3. Convencion de SignoFuerza horizontal es positiva si se dirige a la derecha, fuerza vertical es positivo hacia arriba y momento es

positivo en la direccin hacia la izquierda como se muestra en la figura 3.3.

Figura 1.3: Convension de Signos

UNSCH12



1.1.4. Grados de Libertad (DOF)Se define como un desplazamiento independiente de un nodo a lo largo de X, Y o Z axis.These desplazamientos

son siempre independientes de cada other.For ejemplo, un soporte de la bisagra slo puede tener un desplazamiento(rotacin ) .Displazaniento Est siendo utilizado en un contexto generalizado aqu, ya que podra ser rotacin,as como translation. Displazamiento en una estructura depende de tipo de estructura, ya que podra ser uno, dos oninguno. DOF tanto en el sistema local y global de coordenadas sigue siendo igual para un particular, caso. Peroen el caso de armazones este no es el caso ya que slo hay uno axial deformacin en coordenadas locales y doso tres traducciones en cada nodo en 2D y 3D cerchas respectivamente. Los grados de libertad asociados con cadatipo de elemento y su numeracin se puede resumir como se muestra en la Fig (3.4)

Figura 1.4: Sistema de Grados de Libertad

1.1.5. Matrix Rigedez de Elemento[ke]Cada elemento de propiedades de rigidez se calculan en funcin de la naturaleza del elemento DOF en cada

nodo, estas propiedades se agrupan juntos para formar un elemento matriz de rigidez.

1.1.6. Matrix Rigedez de La Estructura[K]Matrices de rigidez de elementos se luego se ha completado en una sola matriz que gobierna el comportamiento

de toda la estructura idealizada, conocida como matriz de rigidez estructural. Esto se obtiene por multiplicacin deelemento de matriz de rigidez a la matriz de transformacin como en (3.1a)

K = T T keT (1.1)

K =

K11 K12 K1nK21 K22 K2nK31 K32 K3n

......

. . ....

Km1 Km2 Kmn

(1.2)

UNSCH13



1.1.7. Vector CargaCargar vector se calcula de manera que las fuerzas conocidas y desconocidas son reacciones dispuestos como.

P =

Pf Ps

(1.3)Pf :are the known forcesPf :are the unknown rections

1.1.8. Desplazamiento del Vector[U ]El desplazamiento Vector se obtiene mediante la colocacin de desplazamiento desconocido en la parte superior

y despus de que los desplazamientos conocidos como

U =

U f Us

(1.4)U f :are the unknown displacementsU f :are the known displacements

1.1.9. Calculo Desconocido Desplazamiento y ReaccionMatriz de rigidez estructural se reordena con respecto al desconocido desplazamientos y despus se reparti

con respecto a la desconocida y conocida de tal manera que los desplazamientos.

Pf Ps

= K f f

... K f s Ks f

... Kss

U f

Us

(1.5)U f =

[K f f]1 (Pf K f sUs) (1.6)

Ps = Ks fU f +KssUs (1.7)

1.1.10. Fuerzas en Los MiembrosUna vez conocidos los desplazamientos nodales, fuerzas en los miembros son calculados por utilizando la

siguiente ecuacin estndar.

P = KeU (1.8)

Pe = T P (1.9)

SOPe = T keU (1.10)

Whe are Pe denote the member forces

UNSCH14


1.2. MATRIX DE RIGIDEZ DE UNA VIGA (BEAM) CAPTULO 1

1.2. MATRIX DE RIGIDEZ DE UNA VIGA (BEAM)Una VIGA se define como una estructura larga y recta que se carga perpendicular a su eje longitudinal .

Las cargas se aplican generalmente en un plano de simetra de la seccin transversal de la viga, causando a susmiembros a ser sometido slo a la flexin momentos y fuerzas cortantes

Figura 1.5: Viga Idealizada De Una Estructura Real

1.3. MATRIX DE RIGIDEZ DE UN PORTICO (FRAME 2D)Un marco plano se compone de elementos rectos unidos entre s por rgido o conexiones articuladas. Tienen

carga y reacciones que acta siempre en el plano de la estructura. Debido a las cargas de la estructura puede sersometida a una fuerza axial as como de corte y momentos de flexin. As marco presenta el comportamiento detanto barra y viga. Matriz de rigidez del bastidor se puede obtener combinacin de viga y viga avin elementorigidez.

Una unin rgida puede transmitir axial, cortante y flexin fuerzas de momento. elemento puede ser cargado enlos nodos, as como entre los nodos tanto por cargas puntuales como as como cargas distribuidas uniformementeque podran ser transferidos a las cargas nodales por las frmulas estndar.

Figura 1.6: Portico 2D Idealizada De Una Estructura Real

UNSCH15


1.4. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA (TRUSS 2D) CAPTULO 1

1.3.1. Matriz de rigidez del elementoEn el local de coordinar elemento del sistema matriz de rigidez de un marco de avin elemento puede ser

denotado por:

[k] =

AEL 0 0 AEL 0 00 12EIL3

6EIL2 0 12EIL3 6EIL2

0 6EIL24EI

L 0 6EIL2 2EILAEL 0 0 AEL 0 0

0 12EIL3 6EIL2 0 12EIL3 6EIL20 6EIL2

2EIL 0 6EIL2 4EIL2

1.3.2. Matriz de transformacinMatriz de transformacin de un bastidor planar se denota por la frmula estndar como:

{T}=

cos() sin() 0 0 0 0sin() cos() 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 cos() sin() 00 0 0 sin() cos() 00 0 0 0 0 1

1.4. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ARMADURA (TRUSS 2D)

Una armadura de avin es una estructura articulada pin que se encuentra slo en un nico plano (XY). Bragueroplano est formado por miembros conectados en bisagras. Por lo general, formar un patrn triangular con la cargay miembro acostado en el mismo plano en las juntas que se denominan como nodos.

Figura 1.7: Armadura 2D Idealizada De Una Estructura Real

1.4.1. Matriz de rigidez del elementoUna conexin de bisagra slo puede transmitir fuerzas de un miembro a otro miembro, pero no el momento.

Para fines de anlisis, la armadura se carga en el articulaciones. En el local de coordinar elemento del sistemamatriz de rigidez de un plano elemento de armazn puede ser denotado por:

[ke] = EAL

[1 11 1

]

UNSCH16


1.5. MATRIZ DE RIGIDEZ DE PORTICO ESPACIAL (FRAME 3D) CAPTULO 1

1.4.2. Matriz de transformacinMatriz de transformacin de una armadura plana se denota por la frmula estndar como:

{T}=

cos() sin() 0 0sin() cos() 0 0

0 0 cos() sin()0 0 sin() cos()

1.5. MATRIZ DE RIGIDEZ DE PORTICO ESPACIAL (FRAME 3D)Marcos espaciales son las estructuras cuyos miembros podran ser dirigidos en cualquier direccin en el es-

pacio y podran ser conectados por conexiones de ambos rgido y el tipo flexible. Carga externa sobre las artic-ulaciones, as como en los miembros pueden estar en cualquier direccin arbitraria en el espacio tridimensional.Como resultado de aplicada carga externa estas estructuras son sometidas a momentos de flexin sobre su los dosejes principales, las fuerzas axiales, de torsin y fuerzas de cizallamiento en tanto el capital direcciones. Deberemarcarse que esos parmetros son distintos a los calculados para las barras prismticas; por ejemplo, en la vigamostrada se tiene:Cualquier articulacin sin apoyo de un marco tridimensional puede traducir as como girar encualquier direccin. As seis grados de libertad siempre estn asociadas a ninguna conjunta de una estructura demarco de los cuales tres son traducciones en X, Y y Z direcciones y otros tres son rotaciones alrededor de los ejesanteriores. Las articulaciones de un marco de espacio pueden numerarse de cualquier manera, sin embargo la gra-dos de libertad estn numerados tal que al primer nodo de cada elemento primer nmero saldr a la traduccin X,segundo nmero ser para la traduccin Y y tercer nmero se adjudicar a Z direccin de traduccin. Del mismomodo cuarta nmero ser para rotacin alrededor de X, quinto nmero ser para rotacin alrededor de Y y sextode numeracin se le dar a la Z direccin de giro. Moda similar se llevarn a cabo en cada junta para numerar losgrados de libertad

Figura 1.8: Portico 3D Idealizada De Una Estructura Real

UNSCH17


1.5. MATRIZ DE RIGIDEZ DE PORTICO ESPACIAL (FRAME 3D) CAPTULO 1

1.5.1. Matriz de rigidez del elementoEn el local de coordinar elemento del sistema matriz de rigidez de un elemento de estructura espacial puede

ser indicado por un elemento bisymmetric dimensiones 12x12 tres

Ke=

AEL 0 0 0 0 0 AEL 0 0 0 0 00 12EIZL3 0 0 0

6EIZL2 0

12EIZL3 0 0 0

6EIZL2

0 0 12EIYL3 0 6EIY

L2 0 0 0 12EIY

L3 0 6EIY

L2 00 0 0 GJL 0 0 0 0 0 GJL 0 00 0 6EIYL2 0

4EIYL 0 0 0 6EIYL2 0

2EIYL 0

0 6EIZL2 0 0 04EIZ

L 0 6EIZL2 0 0 02EIZ

LAEL 0 0 0 0 0 AEL 0 0 0 0 0

0 12EIZL3 0 0 0 6EIZ

L2 012EIZ

L3 0 0 0 6EIZ

L2

0 0 12EIYL3 06EIY

L2 0 0 012EIY

L3 06EIY

L2 00 0 0 GJL 0 0 0 0 0 GJL 0 00 0 6EIYL2 0

2EIYL 0 0 0

6EIYL2 0

4EIYL 0

0 6EIZL2 0 0 02EIZ

L 0 6EIZL2 0 0 04EIZ

L

1.5.2. Matriz de transformacinMatriz de transformacin de un marco de espacio se denota por la frmula estndar como:

T =

r 0 0 00 r 0 00 0 r 00 0 0 r

Donde res la matriz de rotacin que depende el ngulo entre eje Y locales y Y-eje global del elemento. Nodode inicio Elemento es i nodo final es j ,z

Frmula estndar para la rotacin de un elemento de 3D con ngulo = 0 entre eje local y global y Y estdada por:

L =(XiX j)2+(YiYj)2+(ZiZ j)2

CX =XiX j

L CY =YiY j

L CZ =ZiZ j

L

CXZ =

C2X +C2Y

r =

CX CY CZ (CXCYcos+CZsen)CXZ CY cos (CYCZcos+CXsen)CXZ (CXCYcos+CZsen)CXZ CY cos

(CYCZcos+CXsen)CXZ

Frmula estndar para la rotacin de un elemento de 3D con ngulo de = 90 o 270 entre eje local y globaly

Y est dada por:

r =

0 CY 0CY cos 0 senCY cos 0 cos

UNSCH18


1.6. MATRIZ DE RIGIDEZ DE ARMADURA ESPACIAL (TRUSS 3D) CAPTULO 1

1.6. MATRIZ DE RIGIDEZ DE ARMADURA ESPACIAL (TRUSS 3D)Una armadura de cubierta espacial es una estructura articulada pasador que se encuentra en una de tres dimen-

siones plano de cercha (X, Y, y Z) .espacio se compone de miembros prismticos conectados en las juntas. Comocerchas planas cerchas espaciales tambin se cargan a slo sus articulaciones con los miembros que tenga la ten-sin o compresin fuerzas en ella. El anlisis estructural de cerchas espaciales y aviones es idntico. En armadurade cubierta espacial, la ubicacin de cada nodo est representado por tres mundial coordenadas (X, Y, y Z). Cadanodo en una armadura de cubierta espacial puede traducir en cualquier direccin en un espacio de tres dimensionespor lo que es importante encontrar los tres desplazamientos en X, Y y Z para definir completamente el desviadoforma de la estructura. Significa una armadura espacial tiene tres grados de libertad en cada uno tres coordenadasestructurales conjuntas y en cada junta a completamente analizar la estructura. Las juntas de una armadura espa-cial pueden numerarse de cualquier manera, sin embargo la grados de libertad estn numerados tal que al primernodo de cada elemento primer nmero ir a X, el segundo nmero ser de Y y tercer nmero ser adjudicado a Zdireccin. De manera similar se llevar a cabo en cada junta para numerar los grados de libertad.

Figura 1.9: Armadura 3D Idealizada De Una Estructura Real

1.6.1. Matriz de rigidez del elementoEn el local de coordinar elemento del sistema matriz de rigidez de un elemento de celosa espacial puede ser

denotado por:

[ke] = EAL

[1 11 1

]

1.6.2. Matriz de transformacinMatriz de transformacin de una armadura espacial se representa por la frmula estndar como:

T =[

cos(x) cos(x) cos(x) 0 0 00 0 0 cos(x) cos(x) cos(x)

]

:es el ngulo entre el elemento local de eje x y el eje X global :es el ngulo entre el elemento de eje y local y Y-eje global:es el ngulo entre el elemento local de eje Z y el eje Z global

UNSCH19


1.7. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA PARRILLA (GRID) CAPTULO 1

1.7. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA PARRILLA (GRID)La parrilla son marcos planos cargado en el plano de la estructura, mientras que las cargas sobre las rejillas

se aplican en la direccin perpendicular al plano de la estructura (Fig. 1.7). Los miembros de las redes pueden,por lo tanto, ser sometido a momentos de torsin, adems de la flexin momentos y cizallas correspondientes quehacen que los miembros se doblen fuera de la plano de la estructura. Grids son comnmente utilizados para apoyarlos techos que cubren amplias zonas libres de columnas en este tipo de estructuras como estadios deportivos,auditorios, y hangares

Figura 1.10: Parrilla Idealizada De Una Estructura Real

las estructuras tipo parrilla son estructuras reticulares sometidos a cargas que actan perpendicularmente a suplano. podemos encontrar muchas de ellas en las estructuras industriales,en losas de entrepiso con viguetas en dosdirecciones, en tableros de puentes y en culatas de bodegas y fabricas sometidas a la accion de viento. los nudosse suponen rigidos en consecuencia las acciones principales sobre sus mienbros son torsin,flexin y corte.

Figura 1.11: Esquema Tipica de Una Parrilla

UNSCH20



ELEMENTO SOMETIDO A FLEXION Y CORTE, ORIENTADO EN EL EJE X

Figura 1.12: Elemento Sometido a Flexion y Corte

PRIMERA COLUMNA

Figura 1.13: Elemento de la Primera Columna

POR MANEY

Mi j = 2EIL (2i+ j3i j) M ji = 2EIL (i+2 j3i j)

Mi j = 2EIL (2+030) M ji = 2EIL (1+2030)

Mi j = 4EIL M ji =2EI

L

V =4EI

L +2EI

LL

Vi = 6EIL2 Vj =6EIL2

SEGUNDA COLUMNA

Figura 1.14: Elemento de la Segunda Columna

POR MANEY


Mi j = 2EIL(0+03 1L

)M ji = 6EIL2

Mi j = 2EIL(0+203 1L

)M ji = 6EI

L2

UNSCH21



V =6EI

L2 +6EI

L2

L

Vi = 12EIL2 Vj =12EI

L2

TERCERA COLUMNA

Figura 1.15: Elemento de la Tercera Columna

POR MANEY


Mi j = 2EIL (0+130) M ji = 2EIL (0+2130)

Mi j = 2EIL M ji =4EI

L

V =4EI

L +2EI

LL

Vi = 6EIL2 Vj =6EIL2

CUARTA COLUMNA

Figura 1.16: Elemento de la Cuarta Columna

POR MANEY


Mi j = 2EIL(0+03 1L

)M ji = 2EIL

(0+203 1L

)Mi j = 6EIL2 M ji =

6EIL2

V =6EIL2 +

6EIL2

L

Vi = 12EIL2 Vj =12EI

L2

MYiZ

MYiZ

=

4EIL

6EIL2

4EIL

6EIL26EI

L212EI

L26EI

L212EI

L24EI

L6EI

L24EI

L6EIL2

6EIL2

12EIL2

6EIL2

12EIL2

yiwi jw j

UNSCH22


PARTE IIIMEMORIA DE CALCULO DE LAS ESTRUCTURAS

23

CAPTULO 2

APLICACION DE UNA BEAM POR EL METODO RIGIDEZ

2.1. EJEMPLO DE UN VIGAUse el anlisis matricial de la rigidez para calcular las reacciones en los apoyos de la viga de tres claros que se

muestra en la figura. De igual forma, determine las funciones de momento, de fuerza cortante, de fuerza normal,de pendiente y de deflexin, y detalle los resultados.

Figura 2.1: Viga con Diferentes Cargas en los Mienbros

Figura 2.2: Seccion de la Viga

24

2.1. EJEMPLO DE UN VIGA CAPTULO 2

2.1.1. Solucion:NOTACION DE LA VIGA

Figura 2.3: Notacion de los Grados de la Viga

HALLANDO VECTOR DE CARGAS

Obsrvese que sobre la longitud del elemento 1 se extiende una carga distribuida tipo parablica, y que loselementos 2 y 3 soportan a la mitad de su claro y de forma respectiva, una carga puntual inclinada y un momentode par. El anlisis matricial de la rigidez requiere que la carga externa se aplique en los nodos debido a que lamatriz de rigidez del elemento ha sido deducida para cargas aplicadas en sus extremos. Para atender esta situacin,se usa el principio de superposicin. Suponemos que cada nodo est restringido de movimiento, motivo por el cualse les impone un empotramiento.

Figura 2.4: Caracterizacion de la Viga Para Obtener Vector de Cargas

UNSCH25



A continuacin se calculan las fuerzas de fijacin y momentos de empotramiento perfecto asociadas a cadaelemento. Para ello remtase al tema 4.1 y note como los elementos 1 y 3 corresponden a vigas del tipo 4 y 7;adems, el caso general para el elemento 2 ya fue resuelto en el tema 3.1.

ELEMENTO 1

Figura 2.5: Obtencion del Momento de Empotramiento Elemento I

RAY = RBY =wL3

=32

3= 2T

MA = MB =wL2

15=

3223

= 0.8T.m

ELEMENTO 2

Figura 2.6: Obtencion del Momento de Empotramiento Elemento II

RAY = RBY =Psin

2=

5 sin5002

= 1.915T

RAX = RBX =Pcos

2=

5 coos5002

= 1.6070T =

MA = MB =PL sin

8=

52 sin5008

= 0.9576T m

UNSCH26



ELEMENTO 3

Figura 2.7: Obtencion del Momento de Empotramiento Elemento III

RAY = RBY =3M2L

=3222 = 1.5T

MA = MB =M4=

24= 0.5T m

Las fuerzas de fijacin y momentos de empotramiento calculados existiran si restringiramos de movimientoa todos los nodos, algo que en no ocurre. En consecuencia, las fuerzas y momentos elsticos o efectivos actansobre los nodos en sentido contrario al que definimos, por lo que para fines de anlisis estas son las fuerzas queaparecen

Figura 2.8: Viga Con Sus Respectivas Fuerzas Primarios

Al hacer la suma algebraica de las fuerzas y momentos en cada nodo se obtiene la viga cargada que se analizarcon el mtodo de la rigidez.

Figura 2.9: Viga con Sus Respectivos Fuerzas y Momentos en Sus Nodos

UNSCH27



ORDENANDO LOS VECTORES DE CARGA

D=(

CDCC

)=

C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10C11C12

=

0.50

1.45760.15761.6070RDY 1.5

RCY 0.4151RCX 1.6070RBY 3.9151

RAY 2RAX

MA0.8

ENSAMBLAJE DE MATRIX DE RIGIDEZ DE CADA ELEMEMTO

Figura 2.10: Seccion de Viga

bloque Io(cm4

)A(cm2

)d(cm) Ad2

(cm4

)1 106.6667 80 9.5 72202 1125 60 0 03 106.6667 80 9.5 7220 t 1338.3334 220 14440

Aplicando el teorema de los ejes paralelos se tiene.Aplicando el teorema de los ejes paralelos se tiene.

I = I0+Ad2 = 1338.3334+14440 = 15778.3334cm4 = 0.000157783El rea de la seccin transversal y el mdulo de elasticidad del acero son

A = 220cm2 = 0.022 E = 2.1107 Tm2

Se calcula la matriz de rigidez global para cada elemento aplicando la ecuacin (K). Los nmeros de cdigopara cada columna y fila de estas matrices, que tienen la peculiaridad de ser siempre simtricas, deben establecerseapropiadamente

K1 =

EAL 0 0 EAL 0 00 12EIL3

6EIL2 0 12EIL3 6EIL2

0 6EIL24EI

L 0 6EIL2 2EILEAL 0 0

EAL 0 0

0 12EIL3 6EIL2 0 12EIL3 6EIL20 6EIL2

2EIL 0 6EIL2 4EIL

UNSCH28



ELEMENTO 1

K1 = 105

2.31 0 0 2.31 0 0

0 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.04970 0.0497 0.0663 0 0.0497 0.0331

2.31 0 0 2.31 0 00 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.04970 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.0663

ELEMENTO 2

K2 = 105

2.31 0 0 2.31 0 0

0 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.04970 0.0497 0.0663 0 0.0497 0.0331

2.31 0 0 2.31 0 00 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.04970 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.0663

ELEMENTO 3

K3 = 105

2.31 0 0 2.31 0 0

0 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.04970 0.0497 0.0663 0 0.0497 0.0331

2.31 0 0 2.31 0 00 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.04970 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.0663

ENSAMBLAJE TOTAL DE LA MATRIX DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA

Ya que las matrices de rigidez de todos los elementos fueron determinadas, se ensamblan para calcular K lacual tambin debe ser simtrica y tiene un orden de 12X12 debido a que doce grados de libertad fueron designadospara la viga.

K = 105

0.00663 0 0.0331 0 0 0.0497 0.0497 0 0 0 0 00 2.31 0 0 0 0 0 2.31 0 0 0 0

0.0333 0 0.1325 0.0331 0 0.0497 0 0 0.0497 0 0 00 0 0.0331 0.1325 0 0 0.0497 0 0 0.0497 0 0.03310 0 0 0 4.62 0 0 2.31 0 0 2.31 0

0.0497 0 0.0497 0 0 0.0497 0.0497 0 0 0 0 00.0497 0 0 0.0497 0 0.0497 0.0497 0 0.0497 0 0 0

0 2.31 0 0 2.31 0 0 4.62 0 0 0 00 0 0.0497 0 0 0 0.0497 0 0.0497 0.0497 0 0.04970 0 0 0.0497 0 0 0 0 0.0497 0.0497 0 0.04970 0 0 0 2.31 0 0 0 0 0 2.31 00 0 0 0.0331 0 0 0 0 0.0497 0.0497 0 0.0663

K =(

K11 K12K21 K22

)

CALCULOS DE LAS INCOGNITAS DE LA ESTRUCTURA

Al hacer C = K*D se tiene

0.50

1.45760.15761.6070

RDY 1.5RCY 0.4151RCX 1.6070RBY 3.9151

RAY 2RAX

MA 0.8

= 105

0.00663 0 0.0331 0 0 0.0497 0.0497 0 0 0 0 00 2.31 0 0 0 0 0 2.31 0 0 0 0

0.0333 0 0.1325 0.0331 0 0.0497 0 0 0.0497 0 0 00 0 0.0331 0.1325 0 0 0.0497 0 0 0.0497 0 0.03310 0 0 0 4.62 0 0 2.31 0 0 2.31 0

0.0497 0 0.0497 0 0 0.0497 0.0497 0 0 0 0 00.0497 0 0 0.0497 0 0.0497 0.0497 0 0.0497 0 0 0

0 2.31 0 0 2.31 0 0 4.62 0 0 0 00 0 0.0497 0 0 0 0.0497 0 0.0497 0.0497 0 0.04970 0 0 0.0497 0 0 0 0 0.0497 0.0497 0 0.04970 0 0 0 2.31 0 0 0 0 0 2.31 00 0 0 0.0331 0 0 0 0 0.0497 0.0497 0 0.0663

D4HDCB4HB

0000000

UNSCH29



El sistema matricial anterior es equivalente a(CCCD

)=

(K11 K12K21 K22

)(DDDC

)Se calculan los desplazamientos desconocidos al extraer y resolver un primer subsistema que corresponde a

CC = K11DD+K12DC

Como DC vale cero, la ecuacin anterior pasa a ser

CC = K11DD

Por lo tanto:0.50

1.45760.15761.6070

= 105

0.0663 0 0.0331 0 00 2.31 0 0 0

0.0331 0 0.1325 0.0331 00 0 0.1325 0.1325 00 0 0 0 4.62

D4HDCB4HB

D4HDCB4HB

=

0.0000176rad0

0.0001158rad0.0000408rad0.0000035m

Las reacciones se obtienen de resolver un segundo subsistema que es

CD = K21DD+K22DC

Como ya se mencion,DC = 0 , as que

CC = K21DD

Al usar los desplazamientos calculados se tiene

RDY 1.5RCY 0.4151RCX 1.6070RBY 3.9151

RAY 2RAX

MA0.8

=

0.0497 0 0.0497 0 00.0497 0 0 0.0497 0

0 2.31 0 0 2.310 0 0.0497 0 00 0 0 0.0497 00 0 0 0 2.310 0 0 0.0331 0

0.0000176

00.00011580.00004080.0000035

=

0.66280.29020.80350.57550.20300.80350.1353

OPTENCION DE LAS RECCIONES

RDY -1.5=-0.6628 = RDY =0.6628+1.5 = 0.8372T RDY = 0.8372T RCY -0.4151=0.0902 = RCY = 0.2902+0.4151 = 0.7053T RCY = 0.7053T RCX -1.6070=0.8035 = RDY = 0.8530+1.6070 = 2.4105T RCX = 2.4105RBY -3.9151=0.5755 = RBY = 0.5755+3.9151 = 4.4906T RBY = 4.4906 RAY -2=-0.2030 = RAY =0.2030+2 = 1.797T RAY = 1.7970T RAX =0.8035 = RAX = 0.8035RA-0.8=-0.1353 =MA =0.1353+0.8 = 0.664T m.MA = 0.6647T x

UNSCH30



Se muestran los resultados obtenidos en el siguiente diagrama

Figura 2.11: Viga Con Sus Fuerzas Externas en Los Nodos

Se comprueba el equilibrio externo de la viga. Al resolver la fuerza de 5T en sus componentes x y y resulta

F1Y = 5 sin50o = 3.8302T F1X = 5 cos50o = 3.2139La fuerza resultante de la carga distribuida y su punto de aplicacin son.

CP =( 2

3

)(3)(2) = 4T X = 1m.

+ FY = 1.79704+4.49063.8302+0.7053+0.8372 = 0 OK+ FX = 0.80353.2139+2.4105 = 0 OK+y MA =0.6647+44.4906(2)+3.8302(3)0.7053(4)+20.8372(6) 0 OKFunciones de momento, de fuerza cortante, de fuerza normal.

0 X 2m.

Figura 2.12: Seccionamiento en Del Elemento I

AC = 4w3L2 X3+ 2WL X2 = 43322 X3+ 232 X2 =X2+3X2y su lnea de accin se localiza a una distancia de

X = W

L2X4+ 4W3L X

3

AC= 3

22X4+ 4332 X

3

X3+3X2 = 34 X4+2X3X3+3X2

UNSCH31



+y Mcorte =M10.6647+1.7970X(X3+3X2)( 34 X4+2X3X3+3X2 )= 0

M1 = X4

4 X3+1.7970X0.6647V1 =

dM1dx = X

33X2+1.7970+ FX = 0 N1+0.8035 = 0 N1 =0.8035

2m X 3m.

Figura 2.13: Seccionamiento en Del Elemento II

Mcorte = 0M20.6647+1.7970X4(X1)+4.4906(X2) = 0M2 = 2.2876X5.6459 V2 = dM2dx = 2.2876+ FX = 0 N2+0.8035 = 0 N2 =0.8035

3m X 4m.

Figura 2.14: Seccionamiento en Del Elemento II

UNSCH32



Mcorte = 0M30.6647+1.7970X4(X1)+4.4906(X2)3.8302(X3) = 0M3 = 5.84471.5426 V2 = dM3dx =1.5426+ FX = 0 N3+0.80353.2139 = 0 N3 = 2.4104

4m X 5m.

Figura 2.15: Seccionamiento en Del Elemento III

Mcorte = 0M40.6647+1.7970X4(X1)+4.4906(X2)3.8302(X3)+0.7053(X4) = 0M4 = 3.02350.8373X V4 = dM4dx =0.8373+ FX = 0 N4+0.80353.2139+2.4105 = 0 N4 = 0

5m X 6m.

Mcorte = 0M50.6647+1.7970X4(X1)+4.4906(X2)3.8302(X3)+0.7053(X4)+2 = 0M5 = 5.02350.8373X V5 = dM5dx =0.8373+ FX = 0 N5 = 0

Figura 2.16: Seccionamiento en Del Elemento III

UNSCH33



Se aplica el mtodo de la doble integracin. Al Aplicar la ecuacin diferencial

EId2ydx2

= M

e integrarla dos veces en cada tramo se obtiene

0m X 2m.

EId2ydx2

=X4

4X3+1.7970X0.6647

EI

d (dy)dx

=

(X4

4X3+1.7970X0.6647

)dx

EIdydx

= 0.05x50.25x4+0.8985x20.6647x+C1

EI = 0.05x50.25x4+0.8985x20.6647x+C1............................(1)

EI

dy = (

0.05x50.25x4+0.8985x20.6647x+C1)

dx

EIy1 = 0.008333x60.05x5+0.2995x30.33235x2+C1+C2...............(2)

2m X 3m.

EId2ydx2

= 2.287X5.6459

EI

d (dy)dx

=

(2.2876X5.6459)dx

EI2 = 1.1438x25.6459x+C3............................(3)

EI

dy = (

1.1438x25.6459x+C3)

dx

EIy2 = 0.38127x32.82295x2+C3X +C4...............(4)

3m X 4m.

EId2ydx2

=1.5426X +5.8447

EI

d (dy)dx

=

(1.5426X +5.8447)dx

EI3 = 5.8447X0.7713X2+C5............................(5)

EI

dy = (

5.8447X0.7713X2+C5)

dx

EIy3 = 2.92235x20.2571X3+C5X +C6...............(6)

UNSCH34



4m X 5m.

EId2ydx2

= 3.02350.8373X

EI

d (dy)dx

=

(3.02350.8373X)dx

EI4 = 3.0235X0.41865X2+C7............................(7)

EI

dy = (

3.0235X0.41865X2+C7)

dx

EIy4 = 1.51175x20.13955X3+C7X +C8...............(8)

5m X 6m.

EId2ydx2

= 5.02350.8373X

EI

d (dy)dx

=

(5.02350.8373X)dx

EI5 = 5.0235X0.41865X2+C9............................(9)

EI

dy = (

5.0235X0.41865X2+C9)

dx

EIy5 = 2.51175x20.13955X3+C9X +C10...............(10)

Se plantean diez condiciones que permitan resolver el sistema de ecuaciones. Se sabe que en el empotre A nohay rotacin ni deflexin, as que se tienen las siguientes dos condiciones de frontera

1) si y = 0 en x = 0 y 2) = 0 en x = 0

Sustituyendo las condiciones 1) y 2) en (1) y (2) respectivamente, da

EI ((0)) = 0.0500.250+0.898500.66470+C1C1 = 0

EI ((0)) = 0.00833300.050+0.299500.332350+C2C2 = 0

Las otras ocho constantes se pueden conocer a partir de establecer un mismo nmero de condiciones de con-tinuidad, tal y como se efecta a continuacin

3) si1 = 2 en x = 2m entonces

0.05250.2524+0.8985220.66472+C3C3 = 6.5812

UNSCH35



4) si y1 = y2 en x = 2 tenemos

0.008333260.0525+0.2995230.3323522 = 0.38127232.8229522+6.58122+C4

C4 =4.920848


1.1438325.64593+6.5812 = 5.84430.771332+C5

C5 =10.6547

6) si y2 = y3 en x = 3m entonces

0.38127332.8229532+6.581234.920848 = 2.92235320.27513310.65473+C6

C6 = 12.3151

7) si2 = 3 en x = 4m .entonces

5.844740.77134210.6547 = 30.23540.4186542+C7

C7 =5.0123

8) si y3 = y4 en x = 4m .entonces

2.92235420.25714310.65474+12.3151 = 1.51175420.13955435.01234+C8

C8 = 4.7919


3.023550.41865525.0123 = 5.023550.4186552+C9

C9 =15.0123

10) si y4 = y5 en Xx = 5m entonces

1.51175520.13955535.01235+4.792.51175520.139555315.01235+C10

C10 = 29.7919

UNSCH36



Las funciones de la pendiente y la deflexin de la viga se obtienen al sustituir las constantes de integracin enlas ecuaciones correspondientes

EI =(2.1107)(0.000157) = 3313.443T.m2

06 x0 2m

1 =(

13313.443

)(0.05x50.25x4+0.8985x20.6647x

)y1 =

(1

3313.443

)(0.008333x60.05x5+0.2995x30.33235x2

)2m6 x0 3m

2 =(

13313.443

)(1.1438x25.6459x+6.5812)

y2 =(

13313.443

)(0.38127x32.82295x2+6.5812x4.920848)

3m6 x0 4m

3 =(

13313.443

)(5.8447x0.7713x210.6547x)

y3 =(

13313.443

)(2.92235x20.257x310.6547x+12.3151)

4m6 x0 5m

4 =(

13313.443

)(3.0235x0.41865x25.0123)

y4 =(

13313.443

)(1.5117x20.13955x35.0123x+4.7919)

5m6 x0 6m

5 =(

13313.443

)(5.0235x0.41865x215.0123)

y5 =(

13313.443

)(2.511750.13955x315.0123x+29.7919)

UNSCH37



FINALMENTE SE DIBUJAN LOS DIAGRAMAS DE LA VIGA

Figura 2.17: Momento Flector de la Viga

Figura 2.18: Fuerza Cortante De La Viga

UNSCH38



Figura 2.19: Fuerzas Axiales De La Viga

UNSCH39


CAPTULO 3

APLICACION DE UN FRAME 2D POR METODO REGIDEZ

3.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 2DAnalice el portico de la figura

Figura 3.1: Portico Plano

40

3.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 2D CAPTULO 3

3.1.1. Solucion:.Se adopta la siguiente numeracin y orientacin

Figura 3.2: Numeracion Grados y Elementos del Portico Plano

PROPIEDADES DE LOS MIEMBROS

Miembro o AEL EI 2EIL 4

EIL 6

EIL2 12

EIL3

1-2 26.56 0.89443 0.44721 44610 2037 911 1822 611 2734-1 53.13 0.60000 0.80000 34200 1282 513 1026 308 1232-3 -71.56 0.31623 -0.94868 27037 1282 406 811 192 61

OPTENCION DE LAS FUERZAS DE MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO

Figura 3.3: Elemento Cargado con Una Fuerza Distribuida

UNSCH41



XF12 = XF21 = 0

Y F12 = YF21 = 2.82 = 5.60T

MF12 =MF21 =2.816

12= 3.733T m

Figura 3.4: Portico Con Sus Cargas Puestas en su Nodos

Aplicando las ecuaciones a cada miembro obtenemos:BARRA 1

X12Y12M12X21Y21M21

=

35743 17735 273 35743 17735 27317735 9141 546 17735 9141 546273 546 1822 273 546 9113574 17735 273 35743 17735 27317735 9141 546 17735 9141 546273 546 911 273 546 1822

U1V11U2V22

+

05.60

3.7330

5.603.733

(a)

UNSCH42



BARRA 2 X41Y41M41X14Y14M14

=

0 0 0 12391 16357 2460 0 0 16357 21932 1850 0 0 246 185 5130 0 0 12391 16357 2460 0 0 16357 21932 1850 0 0 246 185 1026

000

U1V11

(b)

BARRA 3 X23Y23M23X32Y32M32

=

2758 8093 182 0 0 08093 24339 61 0 0 0

182 61 811 0 0 02758 8093 182 0 0 08093 24339 61 0 0 0182 61 406 0 0 0

U2V22000

(c)

Al ensamblar los trminos correspondientes a los nudos libres se llega a :

X1 = X12 + X41 = 1.5Y1 = Y12 + Y41 = 0M1 = M12 + M41 = 0X2 = X21 + X14 = 0Y2 = Y21 + Y14 = 0M2 = M21 + M14 = 0

=

48134 34092 27 35743 17735 27334092 31073 362 17735 9141 54627 362 2848 273 546 91135743 17735 273 38502 9642 45617735 9141 546 9642 33480 486273 546 911 456 486 2633

U1V11U2V22

+

05.60

3.7330

5.603.733

RESULTADO DE LOS DESPLAZAMIENTO

U1 = 13.29 103 m V1 = 10.16 103 m 1 = 1.655 103 rad yU2 = 7.09 103 ms V2 = 2.10 103 m 2 = 4.64 103 rad x

Reemplazando estos valores en las ecuacion (a), (b) y (c) se obtienen las fuerzas internas, referidas a coordenadasgenerales:

BARRA 1:

X12 = 3.428 T Y12 = 5.155 T M12 = 3.452 T m y

X21 = 3.429 T Y21 = 6.045 T M21 = 5.185 T m y

BARRA 2:

X41 = X4 = 1.929 T Y41 = Y4 = 5.156 T M41 = M4 = 4.301 T m x

X14 = 1.929 T Y14 = 5.156 T M14 = 3.452 T m x

BARRA 2:

X23 = 3.429 T Y23 = 6.045 T M23 = 5.185 T m x

X32 = 3.429 T Y32 = 6.045 T M32 = 3.303 T m x

UNSCH43



Figura 3.5: Portico Con Sus Respectivas Reaciones y Desplazamientos en Sus Nodos

Fx = 0.000 Ton

Fy = 0.001 Ton

Para hallar las fuerzas internas referidas a coordenadas locales se utilizan las matrices de transformacin[F]= [T ] [F ]

BARRA 1

X12Y 12M12X21Y 21M21

=

0.89443 0.44721 0 0 0 00.44721 0.89443 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 0.89443 0.44721 00 0 0 0.44721 0.89443 00 0 0 0 0 1

3.4285.1553.4523.4296.0455.185

=

5.372 T 3.078 T 3.452 T m y0.364 T 6.940 T 5.185 T m y

BARRA 2

X41Y 41M41X14Y 14M14

=

0.6 0.8 0 0 0 00.8 0.6 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 0.6 0.8 00 0 0 0.8 0.6 00 0 0 0 0 1

1.9295.1564.3011.9295.1563.452

=

5.282 T 1.550 T 4.301 T m x5.282 T 1.550 T 3.452 T m x

UNSCH44



BARRA 3

X23Y 23M23X32Y 32M32

=

0.31623 0.94868 0 0 0 00.94868 0.31623 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 0.31623 0.94868 00 0 0 0.94868 0.31623 00 0 0 0 0 1

3.4296.0455.1853.4296.0453.303

=

6.819 T 1.342 T 5.185 T m x6.819 T 1.342 T 3.303 T m x

FINALMENTE SE DIBUJAN LOS DIAGRAMAS DEL PORTICO

Figura 3.6: Diagram Fuerza Cortante del Portico

UNSCH45



Figura 3.7: Diagrama de Momento Flector del Portico

Figura 3.8: Portico Con su Respectiva Fuerzas Axiales en Los Elementos

UNSCH46


CAPTULO 4

APLICACION DE TRUSS 2D METODO RIGIDEZ

4.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 2DEmpleando el mtodo de la rigidez matricial, calcule las reacciones en los soportes y la fuerza en cada uno de

los elementos de la armadura mostrada en la figura 1-1a. La seccin transversal de los elementos 1, 2, 3, 4 y 5 esrectangular con un ancho de 30cm y una altura de 40cm, mientras que la seccin transversal de los elementos 6,7 y 8 es cuadrada de 40cm por lado. El mdulo de elasticidad para todas las barras es el de las maderas duras, esdecir, 2.1106 Tm2 .

Figura 4.1: Aramdura Plana

47

4.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 2D CAPTULO 4.

4.1.1. Solucion:A = (0.3m)(0.4m) = 0.12m2 AE =

(0.12m2

)(2.1106 Tm2

)= 252000T

y para los elementos 6, 7 y 8 se sabe queA = (0.4m)(0.4m) = 0.16m2 AE = (0.16m)

(2.1106 Tm2

)= 336000T

Figura 4.2: Designacion De Los Grados de Libertad de la Armadura

Se aislar cada elemento de la armadura, figuras 1-1c hasta 1-1j, con el objetivo de visualizar con mayorfacilidad individualmente su longitud y nmero, as como sus nodos N y F con sus correspondientes coordenadasglobales xN ,yN y Fx ,Fy, y sus debidos nmeros de cdigo de grado de libertad Nx ,Ny y Fx ,Fy. Adems, con elnico fin de esclarecer quienes son los cosenos directores de las barras, se coloca el sistema local x, y, y seidentifican los ngulos x y y.

ELEMENTO 1

L = 3m x =30

3= 1 y =

003

= 0

K1 =

84000 10 7 0

0 0 84000 084000 0 0 0

0 0 84000 0

Figura 4.3: Elemento (1) Aislado de La Armadura

UNSCH48



ELEMENTO 2

L =(2m)2+(3m)2 =

13m x =

5313

= 0.5547 y =30

13= 0.8321

K2 =

21505.8375 32262.2509 21505.8375 32262.250932262.2509 48393.3764 32262.2509 48393.376421505.8375 32262.2509 21505.8375 32262.250932262.2509 48393.3764 48393.3764 48393.3764


ELEMENTO 3

L = 2m x =53

2= 1 y =

332

= 0

K3 =

126000 0 126000 0

0 0 0 0126000 0 126000 0

0 0 0 0


UNSCH49



ELEMENTO 4


L = 3m x =30

3= 1 y =

333

= 0

K4 =

84000 0 84000 0

0 0 0 084000 0 84000 0

0 0 0 0

ELEMENTO 5

L = 3m x =00

3= 0 y =

303

= 1

K5 =

0 0 0 00 84000 0 840000 0 0 00 84000 0 84000

Figura 4.7: Elemento (5) y (6) Aislado de La Armadura

UNSCH50



ELEMENTO 6:

L =(3m)2+(3m)2 = 3

2m x =

303

2= 0.7071 y =

033

2=0.7071

K6 =

39597.9798 39597.9798 39597.9798 39597.979839597.9798 39597.9798 39597.9798 39597.979839597.9798 39597.9798 39597.9798 39597.979839597.9798 39597.9798 39597.9798 39597.9798

ELEMENTO 7

L = 3

2m = x =303

2= 0.7071 y =

303

2= 0.7071

K7 =

39597.9798 39597.9798 39597.9798 39597.979839597.9798 39597.9798 39597.9798 39597.979839597.9798 39597.9798 39597.9798 39597.979839597.9798 39597.9798 39597.9798 39597.9798


ELEMENTO 8

L = 3m x =33

3= 0 y =

303

= 1

K8 =

0 0 0 00 112000 0 1120000 0 0 00 112000 0 112000

UNSCH51



OPTENCION DE LA MATRIX DE RIGIDEZ DE CADA ELEMENTO

Como se designaron diez grados de libertad para la armadura, figura 1-1b, la matriz de rigidez tiene un ordende 10 10 y se obtiene al sumar algebraicamente los elementos correspondientes a las ocho matrices anteriores.Para visualizar el proceso de ensamble con mayor facilidad, se expanden con ceros las filas y columnas numricasfaltantes en cada Ki . Los valores calculados previamente cuando se emple la ecuacin 1 4 aparecen de colorazul con la finalidad de distinguirlos.

K1 =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 84000 0 84000 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 84000 0 84000 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

K2 =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 21505.8375 32262.2509 21505.8375 32262.2509 0 00 0 0 0 32262.2509 48393.3764 32262.2509 48393.3764 0 00 0 0 0 21505.8375 32262.2509 21505.8375 32262.2509 0 00 0 0 0 32262.2509 48393.3764 32262.2509 48393.3764 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

K3 =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 126000 0 126000 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 126000 0 126000 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

K4 =

84000 0 84000 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

84000 0 84000 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

UNSCH52



K5 =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 84000 0 0 0 0 0 0 0 840000 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 84000 0 0 0 0 0 0 0 84000

K6 =

39597.9798 39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 39597.9798 0 039597.9798 39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 39597.9798 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

39597.9798 39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 39597.9798 0 039597.9798 39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 39597.9798 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

K7 =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 39597.9798 39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 39597.97980 0 39597.9798 39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 39597.97980 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 39597.9798 39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 39597.97980 0 39597.9798 39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 39597.9798

K8 =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 112000 0 0 0 112000 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 112000 0 0 0 112000 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Una vez efectuado el procedimiento de expansin en todas las Ki , estas se suman. Por consiguiente,

K = K1+K2+K3+K4+K5+K6+K7+K8

K =

123597.9798 39597.9798 84000 0 0 0 39597.9798 39597.9798 0 00 123597.9798 0 0 0 0 39597.9798 39597.9798 0 -840000 0 249597.9798 39597.9798 126000 0 0 0 39597.9798 -39597.97980 0 39597.9798 151597.9798 0 0 0 -112000 -39597.9798 39597.97980 0 126000 0 147505.8357 32262.2509 -21505.8375 -32262.2509 0 00 0 0 0 32262.2509 48393.3764 32262.2509 -48393.3764 0 0

39597.9798 39597.9798 0 0 21505.8375 32262.2509 145103.8173 7335.7289 -84000 039597.9798 39597.9798 0 112000 32262.2509 48393.3764 7335.7289 199991.3562 0 0

0 0 39597.9798 39597.9798 0 0 84000 0 123597.9798 39597.97980 84000 39597.9798 39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 123597.9798

UNSCH53



Para no realizar el proceso de ensamble anterior, obsrvese como puede calcularse cada entrada de la matrizde rigidez de la estructura. Por ejemplo, para obtener K1,1, es decir, la entrada de K correspondiente a la fila 1 ycolumna 1, se detectan todas las entradas 1,1 que son visibles en las matrices Ki sin expandir, en este caso, de loselementos 4,5 y 6 se tiene(K1,1)4 =84000, (K1,1)5 = 0 y (K1,1)6 = 39597.9798. Luego, es obvio que las Ki sinexpandir restantes almacenan valores nulos en sus respectivas entradas 1,1 al no ser visibles, as que, (K1,1)1 =(K1,1)2 = (K1,1)3 = (K1,1)7 = , (K1,1)8 = 0, por lo que podemos ignorarlos. En consecuencia,K1,1 = 84000 + 0 +39597.9798 = 123597.9798. Se debe efectuar un procedimiento anlogo para las dems entradas hasta obtener Ken su totalidad. Ya que siete desplazamientos fueron identificados como desconocidos en la armadura, la matriz derigidez de la estructura se seccion de tal forma que en la parte izquierda quedaran siete columnas y en la porcinsuperior se tuvieran siete filas; esta particin se efectu con el fin de que sea compatible con las particiones de losvectores de desplazamientos y de cargas que en el prximo apartado se formularn. Entonces, K qued divididaen cuatro submatrices que tienen la siguiente nomenclatura:

K =(

K11 K12K21 K22

) (15)

Vectores de desplazamientos y de cargas:

Se plantea el vector total de desplazamientos externos D y se divide en dos vectores: el de desplazamientosdesconocidos DD y el de desplazamientos conocidos DC . Como ya se haba comentado en el apartado denotacin, los desplazamientos codificados del 1 al 7 son desconocidos, por lo que DD comprende desdeD1 hasta D7, en tanto, los desplazamientos codificados del 8 al 10 corresponden a los conocidos, as queevidentemente DC abarca D8, D9 y D10.

Para denotar un desplazamiento en la direccin horizontal se usa 4H , mientras que para significar un de-splazamiento vertical se emplea V ; en ambos smbolos aparece tambin como subndice un nmero queindica el nodo donde ocurre el desplazamiento. Siendo as y con base en la figura 1-1b, obsrvese como,por ejemplo, el desplazamiento codificado con 1 es el desplazamiento horizontal en el nodo (5), es decir, D1=4H5, o bien, el desplazamiento 2 es el vertical del nodo (5), o sea, D2 =V 5. A su vez, recordemos quelos desplazamientos codificados con 8,9 y 10 son nulos debido a que los soportes (2)y (1) los impiden demanera respectiva, dado que a esos apoyos no se les ha impuesto un desplazamiento, en consecuencia, D8=D9 =D10 =0

D =(

DDDC

) (16) D =

D1D2D3D4D5D6D7D8D9D10

=

4H5V 54H4V 44H3V 34H2

000

Se procede a plantear el vector total de cargas externas C, el cual se secciona dando origen al vector de cargasconocidas CC y al vector de cargas desconocidas CD. De la figura 1-1b, ntese que las cargas externas en lasdirecciones 5 y 6 son de 5T y y 6T actuando en las direccciones x positiva y y negativa respectivamente, porconsiguiente, C5 = 5T y C6 = 6T. Tambin vease como no hay cargas externas aplicadas en las direcciones1, 2, 3, 4 y 7, de ah que C1 = C2= C3 = C4 = C7 = 0. As mismo, por inspeccin, se puede apreciar que enlas direcciones 8, 9 y 10 se presentan las reacciones en y del soporte (2), y en x y y del soporte (1); como sedesconoce la magnitud y el sentido de ellas, estas fuerzas deben proponerse en el vector como positivas, espor eso que C8 = R2y, C9 = R1x,C10 = R1y.

UNSCH54



C =(

CCCD

) (17) C =

C1C2C3C4C5C6C7C8C9C10

=

0000560

R2yR1xR1y

Clculo de los desplazamientos incgnita y las reacciones en los soportes Luego de haber construido lamatriz de rigidez de la estructura, las componentes de la carga global C que actan sobre la armadura sevinculan con sus desplazamientos globales D por medio de la ecuacin de rigidez de la estructura que es

C = KD (18)Combinando las ecuaciones 1 5, 1 6 y 1 7 con la ecuacin 1 8 da(

CCCD

)=

(K11 K12K21 K22

)(DDDC

) (19)

Ahora se infiere como este sistema de ecuaciones tiene la propiedad de que puede descomponerse en dossubsistemas de ecuaciones: el primero de estos sistemas relaciona nicamente los desplazamientos incgnitacon las fuerzas conocidas y los desplazamientos conocidos, y constituye un sistema compatible determinado,mientras que el segundo subsistema contiene las reacciones incgnita y una vez resuelto el primer subsistemaes de resolucin trivial.

Expandiendo la ecuacin 1 9 se tiene

C = K11DD+K12DC (110)CD = K21DD+K22DC (111)

Atendemos al subsistema 1. Puesto que para esta armadura el vector de desplazamientos conocidos es unvector nulo dado que los soportes no se desplazan,DC = 0. De ese modo, la ecuacin 1 10 se reducenotablemente a

CC = K11DD (112)Despejando DD de la ecuacin 1 12, se obtienen evidentemente los desplazamientos incgnita directa-mente.

DD = (K11)1 CC (113)

De inmediato nos ocupamos del subsistema 2. La ecuacin 1 11 tambin se simplifica notoriamente por elhecho de que DC es nulo. Por lo tanto, las reacciones en los soportes se infieren con la siguiente expresin:

CD = K21DD (114)Al plantear la ecuacin 1 8 (o la ecuacin 1 9) para esta armadura resulta

0000560

R2yR1xR1y

=

123597.9798 39597.9798 84000 0 0 0 39597.9798 39597.9798 0 039597.9798 123597.9798 0 0 0 0 39597.9798 39597.9798 0 -8400084000 0 249597.9798 39597.9798 126000 0 0 0 39597.9798 -39597.9798

0 0 39597.9798 151597.9798 0 0 0 -112000 -39597.9798 39597.97980 0 126000 0 147505.8357 32262.2509 -21505.8375 -32262.2509 0 00 0 0 0 32262.2509 48393.3764 32262.2509 -48393.3764 0 0

39597.9798 39597.9798 0 0 21505.8375 32262.2509 145103.8173 7335.7289 -84000 039597.9798 39597.9798 0 112000 32262.2509 48393.3764 7335.7289 199991.3562 0 0

0 0 39597.9798 39597.9798 0 0 84000 0 123597.9798 39597.97980 84000 39597.9798 39597.9798 0 0 0 0 39597.9798 123597.9798

4H5V 54H4V 44H3V 34H2

000

Se extrae el primer subsistema y se resuelve. Puede verse que la ecuacin resultante es como la ecuacin 1 12 y el despeje de la misma tiene la forma de la ecuacin 1 13.

0000560

=

123597.9798 39597.9798 84000 0 0 0 39597.979839597.9798 123597.9798 0 0 0 0 39597.979884000 0 249597.9798 39597.9798 126000 0 0

0 0 39597.9798 151597.9798 0 0 00 0 126000 0 147505.8357 32262.2509 -21505.83750 0 0 0 32262.2509 48393.3764 32262.2509

39597.9798 39597.9798 0 0 21505.8375 32262.2509 145103.8173

4H5V 54H4V 44H3V 34H2

UNSCH55



4H5V 54H4V 44H3V 34H2

=

123597.9798 39597.9798 84000 0 0 0 39597.979839597.9798 123597.9798 0 0 0 0 39597.979884000 0 249597.9798 39597.9798 126000 0 0

0 0 39597.9798 151597.9798 0 0 00 0 126000 0 147505.8357 32262.2509 -21505.83750 0 0 0 32262.2509 48393.3764 32262.2509

39597.9798 39597.9798 0 0 21505.8375 32262.2509 145103.8173

0000560

RESULTADOS FINALES DE LOS DESPLAZAMIENTOS HORIZONTALES Y VERTICALES EN LOS

NODOS

4H5V 54H4V 44H3V 34H2

=

0.000135574m4.4452105m0.000180026m

4.7024105m0.000251459m

0.000293739m3.1742106m

Note como el nodo(5) se desplaza horizontalmente hacia la derecha 0.000135574m y verticalmente haciaarriba 4.4452 * 105 m, o perctese de la ocurrencia de un movimiento hacia la derecha y hacia abajodel nodo(4) de 0.000180026 m y 4.7024 * 105 m. Tambin, vea como el nodo (3) tiene componenteshorizontal y vertical de desplazamiento de 0.000251459 m hacia la derecha y de 0.000293739 m haciaabajo. Por su parte, el nodo (2) se desplaza 3.1742 * 106 m hacia la izquierda.

Se escribe el segundo subsistema y se le da solucin. Visualice como la ecuacin originada que posee elaspecto de la ecuacin 1 14 se simplifica sencillamente al realizar la multiplicacin de matrices correspon-diente y con ello se llega a los valores de las fuerzas reactivas en los soportes (1) y (2).

R2yR1xR1y

= 39597.9798 39597.9798 0 112000 32262.2509 48393.3764 7335.7289199991.3562000 0 39597.9798 39597.9798 0 0 840000123597.979839597.9798

0 84000 39597.9798 39597.9798 0 0 0039597.9798123597.9798

0.000135574m4.4452105m0.000180026m

4.7024105m0.000251459m

0.000293739m3.1742106m

=

15T5T9T

Los signos negativos de R1X y R1Y indican que estas reacciones actan en las direcciones x negativa y ynegativa respectivamente. Por consiguiente,

R2y = 15T

R1x = 5T R1y = 15T

CALCULANADO LAS FUERZAS EN LOS ELEMENTOS

Para determinar la fuerza de tensin q de un elemento i, se utiliza la ecuacin que se muestra a continuacin:

qi =AEL

( x y x y )

DNxDNyDFxDFy

(115)dondeA =rea de la seccin transversal del elemento.E =mdulo de elasticidad del elemento.L =longitud del elemento.x ,y = cosenos directores.DNx ,DNy = desplazamientos horizontal y vertical del nodo N del elemento en turno.DFx ,DFy= desplazamientos horizontal y vertical del nodo F del elemento en turno.

UNSCH56



Finalmente se aplica la expresin 1 15 en cada elemento. Si se obtiene un resultado negativo, entonces elelemento est en compresin.

ELEMENTO 1

AE = 252000T , L = 3m , x = 1, y = 0 ,

DNxDNyDFxDFy

=

D9D10D7D8

=

004H2

0

q1 = 84000( 1 0 1 0 )

00

3.17421060

=0.266633T

ELEMENTO 2

AE = 252000T ,L =

13m,x = 0.5547,y = 0.8321 ,

DNxDNyDFxDFy

=

D7D8D5D6

=4H2

04H3V 3

q2 = 69892.2247( 0.5547 0.8321 0.5547 0.8321 )

3.1742106

00.0002514590.000293739

=7.21114T

ELEMENTO 3

AE = 252000T , L = 2m , x = 1, y = 0 ,

DNxDNyDFxDFy

=

D3D4D5D6

=4H4V 44H3V 3

q3 = 126000( 1 0 1 0 )

0.0001800264.7024105

0.0002514590.000293739

= 9.00056T

ELEMENTO 4

AE = 252000T , L = 3m , x = 1, y = 0 ,

DNxDNyDFxDFy

=

D1D2D3D4

=4H5V 54H4V 4

q4 = 84000( 1 0 1 0 )

0.000135574

4.70241050.0001800264.7024105

= 3.73397T

UNSCH57



ELEMENTO 5

AE = 252000T , L = 3m , x = 0, y = 1 ,

DNxDNyDFxDFy

=

D9D10D1D2

=

004H5V 5

q5 = 84000( 1 0 1 0 )

00

0.0001355744.4452105

= 3.73397T

ELEMENTO 6

AE = 336000T , L = 3

2m , x = 0.7071, y =0.7071 ,

DNxDNyDFxDFy

=

D1D2D7D8

=4H5V 54H2

0

q6 = 79195.9595( 0.7071 0.7071 0.7071 0.7071 )

0.000135574

4.44521053.1742106

0

=5.28054T

ELEMENTO 7

AE = 336000T , L = 3

2m , x = 0.7071, y = 0.7071 ,

DNxDNyDFxDFy

=

D9D10D3D4

=

004H4V 4

q7 = 79195.9595( 0.7071 0.7071 0.7071 0.7071 )

00

0.0001800264.4452105

= 7.44804T

ELEMENTO 8

AE = 336000T , L = 3m , x = 0, y = 1 ,

DNxDNyDFxDFy

=

D7D8D3D4

=4H2

04H4V 4

q8 = 112000(

0 1 0 1 )3.1742106

00.0001800264.7024105

=5.26669T

En la figura (0.12.9) k se aprecian los resultados obtenidos para las reacciones en los soportes y las fuerzasinternas de la armadura. Recuerde que un elemento en compresin empuja a la junta y un elemento en tensinjala a la junta.

UNSCH58



ARMADURA CON SUS RESPECTIVAS FUERZAS INTERNAS Y EXTERNAS

Figura 4.9: Armadura Con Sus Respectivas Fuerzas Internas y Externas Finales

UNSCH59


CAPTULO 5

SOLUCION DE FRAME 3D METODO RIGIDEZ

5.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 3DAverigue la matriz de rotacin de cada elemento y parte de la matriz de rigidez de la estructura

Figura 5.1: Portico Espacial

60

5.1. EJEMPLO DE UN PORTICO 3D CAPTULO 7.

5.1.1. Solucion:La estructura espacial tiene seis grados de libertad, que son traducciones y las rotaciones de unin 1 en la

global, X, Y y Z. Estos estn numerados 1, 2,3,4,5 y 6 respectivamente. Grados de libertad restringidos se numerana travs de 7 a 24 en la figura.

Figura 5.2: Numeracion de los Grados de Libertad de Portico Espacial

PARA EL ELEMENTO 1

Conjunto 2 es el nodo de inicio y la articulacin 1 es el nodo final de este elemento del modelo analtico.

L =(X1X2)2+(Y1Y2)2+(Z1Z2)2

L =(2400)2+(00)2+(00)2 = 240in

CX =X1X2

L =2400

240 = 1

CY =Y1Y2

L = 0

CZ =Z1Z2

L = 0

CXZ =

C2X +C2Y =

12+02 = 1

ngulo entre el eje Y local y Y-eje global,=0

cos = cos0 = 1

sin = sin0 = 0

UNSCH61



Mediante el uso de la matriz de rotacin est dada por

r1 =

1 0 00 1 00 0 1

Matriz de transformacin para el elemento 1 se calcular utilizando.

T1 =

r1 0 0 00 r1 0 00 0 r1 00 0 0 r1

PARA EL ELEMENTO 2


L =(X1X3)2+(Y1Y3)2+(Z1Z3)2

L =(240240)2+(0240)2+(00)2 = 240in

CX =X1X3

L =240240

240 = 0

CY =Y1Y3

L =0+240

240 = 1

CZ =Z1Z3

L = 0

CXZ =

C2X +C2Y =

02+12 = 1

ngulo entre el eje Y local y Y-eje global,=90 deg

cos = cos90 = 0

sin = sin90 = 1

Mediante el uso de la matriz de rotacin est dada por

r2 =

0 1 00 0 11 0 0

Matriz de transformacin para el elemento 2 se calcular utilizando

T2 =

r2 0 0 00 r2 0 00 0 r2 00 0 0 r2

PARA EL ELEMENTO 3


L =(X1X4)2+(Y1Y4)2+(Z1Z4)2

L =(240240)2+(00)2+(0240)2 = 240in

CX =X1X4

L =240240

240 = 0

UNSCH62



CY =Y1Y4

L =0+0240 = 1

CZ =Z1Z4

L = 0

CXZ =

C2X +C2Y =

02+02 = 0

ngulo entre el eje Y local y Y-eje global,=30 deg

cos = cos30 = 0.86603

sin = sin30 = 0.5

Mediante el uso de matriz de rotacin es dada por

r2 =

0 0 10.5 0.86603 00.86603 0.5 0

Matriz de transformacin para el elemento 3 se calcular utilizando

T3 =

r3 0 0 00 r3 0 00 0 r3 00 0 0 r3

K f f =

3990.3 5.2322 0 627.87 1075.4 712.925.2322 4008.4 0 1800.4 627.87 2162.9

0 0 3987.3 712.92 712.92 0627.87 1800.4 712.92 402860 100460 01075.4 627.87 712.92 100460 286860 0712.92 2162.9 0 0 0 460860

UNSCH63


CAPTULO 6

APLICACION DE TRUSS 3D METODO RIGIDEZ

6.1. EJEMPLO DE UNA ARMADURA 3DEn la siguiente armadura espacial obtener los desplazamiento , fuerzas internas y externas de la estructura poer

metodo de ridez.

Figura 6.1: Armadura Espacial

Ei = 2107Kn/m2

Ai = 0.05m2

64


6.1.1. Solucion:Todas las posicines de cada nodo del sistema, puntos de vista y los coeficientes de desplazamiento nodal

Figura 6.2: Armadura Con Sus Respectivas Numeraciones en Los Nodos y Elementos

Elementos No x(i)m y(i) z(i) x(J)m y(j)m. Z(j)m DesplasamientosI 0.00 4.00 0.00 4.00 8.00 0.00 1-0-0 2-3-4II 3.00 0.00 4.00 0.00 4.00 0.00 0-0-0 1-0-0III 3.00 0.00 4.00 4.00 8.00 0.00 0-0-0 2-3-4IV 8.00 4.00 0.00 4.00 8.00 0.00 5-0-0 2-3-4V 5.00 0.00 4.00 4.00 8.00 0.00 0-0-0 2-3-4VI 5.00 0.00 4.00 8.00 4.00 0.00 0-0-0 5-0-0VII 4.00 8.00 0.00 4.00 0.00 -4.00 2-3-4 0-0-0

UNSCH65



OPTENIENDO MATRIX DE TRANSFORMACION DE CADA ELEMENTO

Matriz de trasformcion del elemento I

Figura 6.3: Elemento (1) Aislado de La Armadura Espacial

l = cos() = 12

m = cos( ) = 12

n = cos() = 12

[T ]I =

12

12

0.00 0.00 0.00 0.00 1

212

0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 1

20.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 12

12

0.000.00 0.00 0.00 1

212

0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Matriz de trasformcion del elemento II


l = cos() = 341

m = cos( ) = 441

n = cos() = 441

[T ]II =

341

441

441

0.00 0.00 0.00 4

41 3

410.00 0.00 0.00 0.00

441

0.00 341

0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 3

41441

441

0.00 0.00 0.00 441 3

410.00

0.00 0.00 0.00 441

0.00 341

UNSCH66



Matriz de trasformcion del elemento III


l = cos() = 19m = cos( ) = 89n = cos() = 49

[T ]III =

19

89 49 0.00 0.00 0.00

89 19 0.00 0.00 0.00 0.0049 0.00

19 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 1989 49

0.00 0.00 0.00 89 19 0.000.00 0.00 0.00 49 0.00 19

Matriz de trasformcion del elemento IV


l = cos() = 12

m = cos( ) = 12

n = cos() = 0.00[T ]IV =

12 1

20.00 0.00 0.00 0.00

12

12

0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 1

20.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 12 1

20.00

0.00 0.00 0.00 12

12

0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1

2

UNSCH67



Matriz de trasformcion del elemento V


l = cos() = 19m = cos( ) = 89n = cos() = 49

[T ]V =

19 89 49 0.00 0.00 0.00 89 19 0.00 0.00 0.00 0.00

49 0.00 19 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 19 89 490.00 0.00 0.00 89 19 0.000.00 0.00 0.00 49 0.00 19

Matriz de trasformcion del elemento VI


l = cos() = 341

m = cos( ) = 441

n = cos() = 441

[T ]V I =

341

441 4

410.00 0.00 0.00

441

341

0.00 0.00 0.00 0.00441

0.00 341

0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 3

41441

441

0.00 0.00 0.00 441 3

410.00

0.00 0.00 0.00 441

0.00 341

UNSCH68



Matriz de trasformcion del elemento VII


l = cos() = 0.00m = cos( ) = 2

5n = cos() = 1

5

[T ]V II =

0.00 25 1

50.00 0.00 0.00

12

12

0.00 0.00 0.00 0.0015

0.00 12

0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 2

50.00

0.00 0.00 0.00 25

0.00 0.000.00 0.00 0.00 1

50.00 0.00

MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE CADA ELEMENTO

Matriz de rigidez global del eje del elemento I

[K]I =AE

4

2

0.00 25 1

50.00 0.00 0.00

12

12

0.00 0.00 0.00 0.0015

0.00 12

0.00 0.00 0.000.00 0.00 0.00 0.00 2

50.00

0.00 0.00 0.00 25

0.00 0.000.00 0.00 0.00 1

50.00 0.00

Matriz de rigidez global del eje del elemento II

[K]II =AE

41

941 1241 1241 941 1241 1241 1241 1641 1641 1241 1641 1641

1241 1641 1641 1241 1641 1641 941 1241 1241 941 1241 1241

1241 1641 1641 1241 1641 16411241

1241 1641 1241 1641 1641

UNSCH69



Matriz de rigidez global del eje del elemento III

[K]III =AE9

181 881 481 181 881 481881

6481

3281

881 6481 3281

481 3281 1681 481 3281 1681 181 881 481 181 881 481 881 6481 3281 881 6481 3281

481

3281 1681 481 3281 1681

Matriz de rigidez global del eje del elemento IV

[K]IV =AE

4

42

12 12 0.00 0.00 12 0.00 12 12 0.00 0.00 12 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12 12 0.00 0.00 12 0.00 12 12 0.00 0.00 12 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Matriz de rigidez global del eje del elemento V

[K]V =AE9

181 881 481 181 881 481 881 6481 3281 881 6481 3281

481 3281 1681 481 3281 1681 181 881 481 181 881 481

881 6481 3281 881 6481 3281 481 3281 1681 481 3281 1681

Matriz de rigidez global del eje del elemento VI

[K]V I =AE

41

941

1241 1241 941 1241 1241

1241

1641 1641 1241 1641 1641

1241 1641 1641 1241 1641 1641 941 1241 1241 941 1241 1241 1241 1641 1641 1241 1641 1641

1241

1241 1641 1241 1641 1641

Matriz de rigidez global del eje del elemento VII

[K]V II =AE

4

45

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 45

25 0.00 45 25

0.00 2515 0.00 25 15

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 45 25 0.00 25 250.00 25 15 0.00 25 15

UNSCH70



OBTENCION DE MA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA

K11 = AE [

12 142 +

941 141

]= 0.12267AE

K12 = AE [ 12 142

]= 0.08838AE

K13 = AE [ 12 142

]= 0.08838AE

K14 = AE [0.00] = 0.00

K15 = AE [0.00] = 0.00

K22 = AE [

12 142 +

181 19 + 12 142 +

181 19 +0.00

]= 0.17952AE

K23 = AE [

12 142 +

881 19 + 12 142

881 19 +0.00

]= 0.000

K24 = AE [0.00 481 19 +0.00+ 481 19 +0.00

]= 0.00

K25 = AE [ 12 142

]=0.08838AE

K33 = AE [

12 142 +

6481 19 + 12 142 +

6481 18 + 45 145

]= 0.26869AE

K34 = AE [0.00+ 3281 19 +0.00+ 3281 18 + 25 145

]=0.043070AE

K35 = AE [

12 142

]= 0.26869AE

K36 = AE [0.00+ 1681 19 +0.00+ 1681 19 + 15 145

]= 0.066256AE

K44 = AE [

12 142

941 141

]= 0.122670AE

K45 = AE [0.00] = 0.00

K55 = AE [

12 142

941 141

]= 0.122670EA

RESULTADO DE LOS DESPLAZAMIENTOS DEL SISTEMA GLOBAL

[K]{D}= {P}

0.122760 0.088388 0.088388 0.000 0.0000.088388 0.179250 0.000 0.000 0.0883880.088388 0.000 0.441802 0.04307 0.08838

0.000 0.000 0.04307 0.066256 0.0000.000 0.00388 0.088388 0.000 0.122670

D1D2D3D4D5

=

10.000.0030.00

0.0010.00

D1 = 42.3AE =

42.30210E+70.005 = 0.4230E4metro = 0.042mm

D2 = 0.00

D3 = 54.4444AE =54.4444

210E+70.005 =0.5443E4metro =0.054mm

D4 = 35.380AE =35.380

210E+70.005 = 0.3538E4metro =0.035mm

D5 = 42.300AE =42.300

210E+70.005 = 0.4230E4metro =0.042mm

UNSCH71



DEFORMADA DE LA ARMADURA ESPACIAL

Figura 6.10: Deformada de La Armadura Espacial

OBTENCION DE LAS REACCIONES GLOBALES EN NODOS Y ELEMNTOS

Reacciones en los nodos globales de elementos I

[Pg]I =AE

4

2

12 12 0.00 0.00 12 0.00 12 12 0.00 0.00 12 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12 12 0.00 0.00 12 0.00 12 12 0.00 0.00 12 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

42.3000.0000.00054.44435.38042.300

=

8.548.54980.0008.54988.5498

0.000

Reacciones en los nodos globales de elementos II

[Pg]II =AE

41

941 1241 1241 941 1241 1241 1241 1641 1641 1241 1641 1641

1241 1641 1641 1241 1641 1641 941 1241 1241 941 1241 1241

1241 1641 1641 1241 1641 16411241

1241 1641 1241 1641 1641

0.0000.0000.00042.3000.0000.000

1.45021.93371.93371.45021.93371.9337

UNSCH72



Reacciones en los nodos globales de elementos III

[Pg]III =AE9

181 881 481 181 881 481 881 6481 3281 881 6481 3281

481 3281 1681 481 3281 1681 181 881 481 181 881 481

881 6481 3281 881 6481 3281 481 3281 1681 481 3281 1681

0.0000.0000.0000.00054.44435.380

=

0.40313.22511.61260.40313.22511.6126

Reacciones en los nodos globales de elementos IV

[Pg]IV =AE

4

42

12 12 0.00 0.00 12 0.00 12 12 0.00 0.00 12 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12 12 0.00 0.00 12 0.00 12 12 0.00 0.00 12 0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

42.3000.0000.0000.00054.44435.380

=

8.54988.54980.0008.54988.5498

0.000

Reacciones en los nodos globales de elementos V

[Pg]V =AE9

181 881 481 181 881 481 881 6481 3281 881 6481 3281

481 3281 1681 481 3281 1681 181 881 481 181 881 481

881 6481 3281 881 6481 3281 481 3281 1681 481 3281 1681

0.0000.0000.0000.00054.44435.380

=

0.40313.22511.61260.40313.22511.6126

Reacciones en los nodos globales de elementos VI

[Pg]V I =AE

41

941 1241 1241 941 1241 1241 1241 1641 1641 1241 1641 1641

1241 1641 1641 1241 1641 1641 941 1241 1241 941 1241 1241

1241 1641 1641 1241 1641 16411241

1241 1641 1241 1641 1641

0.0000.0000.00042.300

0.0000.000

1.45021.93371.93371.45021.93371.9337

Reacciones en los nodos globales de elementos VII

[Pg]V II =AE

4

45

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 45

25 0.00 45 25

0.00 2515 0.00 25 15

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000.00 45 25 0.00 25 250.00 25 15 0.00 25 15

0.00054.4435.380

0.0000.0000.000

=

0.0006.45023.2251

0.0006.45023.2251

UNSCH73



OBTENCION DE LAS REACCIONES DE NODO BORDE LOCALES DE CADA ELEMENTO

Figura 6.11: Equilibrio de Elementos de La Armadura Espacial

EQULIBRIO DE ELEMENTOS

Figura 6.12: Equilibrio de Nodos de (IV) y (VI) De Armadura Espacial

Figura 6.13: Equilibrio de Nodos de (I) y (II) DeArmadura Espacial

Figura 6.14: Equilibrio de Nodos de (V) y (VII) DeArmadura Espacial

UNSCH74



PARA LOS APOYOS

Figura 6.15: Equilibrio de Nodos de Los Apoyos (I) y (IV) DeArmadura Espacial

Figura 6.16: Equilibrio de Nodos de Los Apoyos (II) y (VI) DeArmadura Espacial

OBTENCION DE LAS REACCIONES DE NODO BORDE GLOBALES DE CADA ELEMENTO

Efectos nodo de frontera eje locales del elemento I

[PL]I =

12

12

0.00 0.00 0.00 0.00 1

212

0.00 0.00 0.00 0.000.00 0.00 1

20.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 12

12

0.000.00 0.00 0.00 1

212

0.000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

8.54988.54980.0008.54988.5498

0.000

=

12.09120.0000.00012.0912

0.0000.000

Efectos nodo de frontera eje locales del elemento II

[PL]II =

341

441 4

410.00 0.00 0.00

METODO RIGIDEZ DE SECCION VARIABLE

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