Cap III Metodo de Rigidez en Armaduras2014b

CAPITULO III METODO DE RIGIDEZ EN ARMADURAS

"Ninguno tenga en poco tu juventud, sino s

ejemplo de los creyentes en palabra, conducta,

amor, espritu, fe y pureza." 1 Tim

oteo 4:12

COORDENADAS GLOBALES PARA UNA BARRA DE ARMADURA "N

inguno tenga en poco tu juventud, sino s ejem

plo de los creyentes en palabra, conducta, am

or, espritu, fe y pureza." 1 Timoteo 4:12

1

2

3

4

Recordando del capitulo anterior , la matriz de rigidez de una armadura es:

Los ngulos deben medirse en sentido antihorarioy con respecto al eje x positivo




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[ ]

=

22

22

22

22

/

SCSSCSCSCCSCSCSSCSCSCCSC

LEAkglobal

En dondeC= cos S= sen

PROCEDIMIENTO GENERAL PARA RESOLVER UNA ESTRUCTURA POR EL METODO DE RIGIDEZ

Para resolver ejercicios manualmente por elmtodo matricial de rigidez se sugiere seguirla siguiente metodologa que ayudar asimplificar los clculos.

1.-Numere todos los grados de libertad de laestructura, tanto libres como restringidos.No tiene que llevar un orden especfico,aunque se estila colocar primero los libres yluego los restringidos




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2.-Estudie la estructura en cuanto a la posibleforma de moverse. Identifique cuales grados delibertad son libres y cuales son restringidos, comotambin cuales son iguales ya sea por simetra opor despreciar deformaciones axiales. En estepaso tambin es importante identificar si unelemento aporta o no rigidez a un tipo demovimiento especificado.




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3.- Ensamblar esquemticamente lasmatrices de rigidez de los elementos.Esto quiere decir que no se escriben lostrminos interiores de la matriz, solo seidentifican los nmeros de las filas ycolumnas con el nmero del grado delibertad correspondiente. Se pierdetiempo al escribir todos estos trminosque al final no se necesitan.

4.- El ensamble de la matriz se harteniendo en cuenta las conectividadesentre barras y basndose en los gradosde libertad comunes.




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5.-Una vez ensamblada la matriz en filas ycolumnas esquemticas, reconozca laseparacin entre grados de libertad libres yrestringidos y trace dos lneas perpendiculares.Por lo tanto debe dividir la matriz global ensubmatrices de la siguiente manera:




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[ ] { } { }{ } { }

=

krrkrfkfrkff

Kglobal

en donde: Kff = matriz de rigidez correspondientes a los grados

de libertad reales es simtrica y de orden NxN en donde N es el numero de grados de libertad reales

Krr = matriz de rigidez correspondientes a los grados de libertad restringidos es simtrica y de orden N1xN1 en donde N1 es el numero de grados de libertad restringidos

Krf = matriz de rigidez correspondientes a la influencia de los grados de libertad reales sobre los restringidos y de orden N1xN

Kfr= matriz de rigidez correspondientes a los grados de libertad restringidos sobre los reales y de orden NxN1




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El mtodo directo de rigidez hace uso de cargasaplicadas sobre los nudos de la estructuraestas cargas son positivas si estn dirigidas enel sentido positivo de las coordenadas globalesy viceversa ; si hubiesen cargas actuantessobre las barras debe aplicarse el principio desuperposicin desdoblando la estructuraoriginal en dos estados:




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ESTADO PRIMARIO En este estado se aplican todas las solicitaciones externas

y se restringen los grados de libertad , produciendoempotramientos ficticios , a partir de ah se obtienenreacciones en los apoyos ficticios que se almacenan en elvector de reacciones , como estas reacciones son ficticiasno existen en la estructura original debern eliminarseaplicando en el estado complementario un vector decargas nodales =

es el vector de reacciones Ficticias o tambin llamadas reacciones de

empotramiento

{ } { } { }rdonderQ ___=

"Ninguno tenga en poco tu juventud, sino s ejemplo de los creyentes en palabra, conducta, amor, espritu, fe y pureza." 1 Timoteo 4:12

Aclaracin importante ,para armadurassolo se utiliza el estado complementario , noes necesario el primario , ya que las cargasestn colocadas directamente en los nudosde la estructura.




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ESTADO COMPLEMENTARIOEn este caso se aplica el vector de

cargas nodales y se liberan losgrados de libertad este estado es elque se resuelve por el mtodo derigidez directo




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Encuentre, solo en los grados de libertad libres, elvector de cargas nodales = -.

Esta ultima notacin se usa en prticos, como enarmaduras no hay reacciones de empotramiento , lascomponentes de Q serian las cargas nodales

No hay necesidad de calcular Q para los grados delibertad restringidos o despreciados. Es por eso que apartir de ahora solo consideramos = vector decargas nodales en los grados de libertad libres

Encuentre los desplazamientos de los grados delibertad libres usando la expresin:

en donde:

{ } { }rQ =

{ }Qf

"Ninguno tenga en poco tu juventud, sino s ejemplo de los creyentes en palabra, conducta, amor, espritu, fe y pureza." 1 Timoteo 4:12

{ } { } { } { }{ }[ ]DrKfrQfkffDf = 1

desplazamiento en la direccin de losgrados de libertad restringidos

Conocido Las reacciones correspondientesal estado complementario se calculanmediante la expresin:

Estas reacciones debern sumarse con lasobtenidas en el estado primario

Esto ultimo no es aplicable en armadurassolo en porticos, por lo que en armaduras Qrseria nulo

Para obtener las reacciones finales usamos la expresin Las fuerzas internas se pueden calcular por

equilibrio esttico en los nudos




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{ }=Dr{ }Df

{ } { }{ } { }{ }DrKrrDfkrfariocomplementQr +=

{ } { } { }primarioQrariocomplementQrR +=

{ } { }rprimarioQr =

EJEMPLO DE ARMADURAS EN ARCHIVO ADJUNTO




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CASOS ESPECIALES ESFUERZOS POR TEMPERATURA A veces sucede que las barras de una armadura

estn sujetas a cambios de temperatura comoincremento o reduccin de esta, por lo tantodichas barras podrn dilatarse o contraerse ,estos efectos generan esfuerzos internos quedeben ser calculados




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En la construccin y en el diseo de miembros de unmecanismo o elementos estructurales, es necesario teneren cuenta las deformaciones trmicas, sobre todo cuandose emplean distintos materiales.

Algunas veces, los valores del coeficiente de dilatacin trmicason casi iguales, entonces se favorece su uso conjunto, comoocurre con el hormign y el acero cuando se utilizan ambos en elhormign armado.




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Experimentalmente se ha obtenido que lavariacin de la longitud con la temperaturaes una funcin lineal, por lo que losalargamiento sern directamenteproporcionales a los incrementos detemperatura.

= o (1 + T)

o bien

l = T




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La constante de proporcionalidad es una caracterstica fsica del material y se llama coeficiente de dilatacin lineal.

Los valores que toma este coeficiente para los materiales ms usuales en construccin se reflejan en la tabla que se muestra en la siguiente diapositiva.




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En consecuencia, el cambio unitario en la longitud de la barra debido a la variacin de temperatura, T, ser:

Tll ==




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Es evidente que si la barra sometida a un cambio de temperatura es libre, no aparecer tensin alguna, ya que no existe ninguna fuerza sobre la misma.

En cambio, si la barra como frecuentemente ocurre est impedida a alargarse, el fenmeno es equivalente a una compresin cuyo acortamiento sea igual al alargamiento trmico.




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Por la ley de Hooke, en la barra se crear una tensin normal dada por la ecuacin

= -E = -E Ty consecuentemente esta tensin o esfuerzo se manifiesta mediante una carga axial nodal

cuyo valor seria P= (-E T) A




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DEFORMACION LIBRE"N




T TLo

T TLf

Elemento sometido a tensin.

C C

Lf

Elemento sometido a compresin.

LoCC

DEFORMACIN IMPEDIDA"N




C CLo

Elemento sometido a incremento de temperatura

T TLo

Elemento sometido a reduccin de temperatura

Por lo tanto solo habra que considerar este cargaen el sentido contrario y ponerla en el estadocomplementario y continuar la solucin de laarmadura por el mtodo de rigidez con losprocedimientos conocidos




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T es positivo T es negativo En la primera figura se observa el resultado de

una dilatacin en la barra diagonal y en la segunda una contraccin.




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ESFUERZOS DE MONTAJE

Tambin en algunos casos se presentanproblemas en las dimensiones de una barras lascuales con coinciden con las dimensionesespecificadas en planos y al hacer el montaje seproducen esfuerzos , los cuales generan cambiosen el comportamiento de la estructura




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En estos caso habr que hallar las fuerzas paraproceder a colocar en su lugar la barra de laarmadura , estas fuerzas pueden ser dealargamiento o acortamiento y se deducen apartir de la ley de Hooke conociendo lasdimensiones del ajuste a realizar

A partir de esta ecuacin despejamos la carga P




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AEPL

=

LEAP =




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P

P

De esta manera se colocara la carga P en sentido contrario a la fuerza de ajuste

El procedimiento para el mtodo de rigidez continuara considerando esta carga nodal de sentido contrario al ajuste .




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