60133860 PSU MATEMATICA Ejercicios Resueltos I

Matemtica

Ejercicios

RESUELTOS

Patricio Alcano Martnez

Derechos Reservados

PSU

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PSU Matemtica-Ejercicios resueltosPatricio Alcano Martnez Derechos Reservados

Palabras iniciales

Estimados usuari@s:

Este material que pongo a su disposicin est creado a partir de las directrices dadas por el DEMRE para la PSU Matemtica ao 2011, en cuanto los ejes temticos y contenidos que abarca y el tipo de ejercicios que comprende.

La prueba original consta de 75 ejercicios y se debe responder en un mximo de 2 horas y 25 minutos.

Este documento contiene 20 preguntas similares a las que se encuentran en la prueba original.

Para trabajar con este material el usuario NO deber hacer uso de calculadora.

Atentamente;

Patricio Alcano Martnez

2


3

1. Se tienen dos nmeros naturales, p y q. Se puede determinar si su producto es par o impar, si:

(1) p es par

(2) q es impar

A) (1) por s sola

B) (2) por s sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por s sola (1) (2)

E) Se requiere informacin adicional

Solucin:

(1) por s sola

Si p es par, entonces cualquier producto de p ser par.

Luego, (1) por s sola, s lleva a determinar si el producto pq es par o impar.

(2) por s sola

Si q es impar, entonces la paridad de su producto estar determinada por la paridad del otro nmero.

Luego, (2) por s sola, no lleva a determinar si el producto pq es par o impar.

Alternativa correcta: A.


3

2. En la ciencia demogrfica se utiliza el concepto ndice de feminidad para describir, en una poblacin humana, la cantidad de mujeres por cada cien hombres.

Si en cierta regin se registra un ndice de feminidad 80, significa que mujeres y hombres estn en la razn:

A) 8 : 1

B) 5 : 4

C) 4 : 5

D) 1 : 8

E) 1 : 4

Solucin:

Siguiendo la definicin de ndice de feminidad, se puede establecer la siguiente razn:

breshom100mujeres80

Simplificando:

5:454

breshom100mujeres80

Alternativa correcta: C.


3

3. Segn una reciente investigacin social, 13 de cada 20 mujeres brasileas se sienten aquejadas de estrs debido a la presin por alcanzar ciertos niveles de ingreso para el hogar.

Segn estas cifras, qu porcentaje de las brasileas se sienten estresadas?

A) 13%

B) 15%

C) 26%

D) 65%

E) 75%

Solucin:

Ordenando los datos:

13 de cada 20

X de cada 100

Lleva a la proporcin:

100

20

X

13

Despejando:

%651002013

X

Alternativa correcta: D.


3

4. El valor numrico de la expresin: 625257

A) 1/5

B) 5

C) 25

D) 75

E) 125

Solucin:

Aplicando propiedades de las races en el numerador, queda:

625257

62525

7

En el numerador se extrae raz y el denominador se expresa como potencia:

4

77

5

562525

Dividiendo potencias de igual base:

125555

5 3474

7

Alternativa correcta: E.


3

5. El valor numrico de la expresin:

1

32

8

2log5log

A) 8

B) 4

C) 2

D) 1/2

E) 1/4

Solucin:

Se obtendr primero el recproco de la expresin, que surge del exponente (-1):

1

32

8

2log5log2log5log

832

Aplicando propiedades en el numerador, se convierte la potencia de exponente fraccionario en raz. En el denominador se plica la propiedad de la suma de logaritmos:

2log5log83

2

=

)25(log)8( 23

Resolviendo:

)25(log)8( 23

= 414

10log22

Alternativa correcta: B.


3

6. Si x = 2 , entonces, el valor numrico de la expresin: 2

xx1

es:

A) 0

B) 1

C) 2

D) 1/2

E) 3/2

Solucin:

Trabajando con la expresin al interior del parntesis, se realiza la suma algebraica:

xx1

xx1 2

Aplicando el exponente negativo:

2

2

22

x1

xxx1

Reemplazando:

2

2x1

x

=

2

2)2(1

2

=

2

212

2

12

212



3

7. La expresin: 16x25 4 =

A) 2)4x5(

B) 22 )4x5(

C) 22 )3x(5

D) )4x5()4x5( 22

E) )3x()4x5(2 22

Solucin:

Analizando la expresin se llega a determinar que se trata del desarrollo del producto de una suma por su diferencia.

22 ba)ba()ba(

Factorizando:

16x25 4 = )4x5()4x5( 22



3

8. Al simplificar la expresin: 9x

9x6x2

2

, queda:

A) 2)3x

3x(

B) 3x

3x

C) 3x

3x

D) 3x

1

E) X10

Solucin:

Analizando la expresin, se llega a determinar que el numerador se trata del desarrollo de un cuadrado de binomio y el denominador, una suma por su diferencia.

Factorizando:

)3x()3x()3x(

9x

9x6x 2

2

2

Simplificando por :)3x(

3x3x

)3x()3x()3x( 2

Alternativa correcta: B.


3

9. El valor de la incgnita en la ecuacin: 110log)10x2(log es:

A) 0

B) 1/2

C) 1

D) 45

E) 55

Solucin:

Se trata de una ecuacin logartmica, con logaritmos en base 10. Para su solucin primero se expresar el segundo miembro, 1, como log 10. Entonces:

10log10log)10x2(log

Aplicando propiedades de los logaritmos:

10log10log)10x2(log )1010(log)10x2(log

100log)10x2(log

Cancelando logaritmos:

10010x2 10100x2

552

110x



3

10. La inecuacin siguiente: 3x25 , tiene como solucin:

A) 1x B) 1x C) 1x D) 1x E) 4x

Solucin:

Aplicando propiedades:

3x25 x235

x22 x1

Es decir:

1x



3

11. Cierta tcnica para confeccionar cermica consiste en cocer las piezas a 1.150C y luego bajar su temperatura linealmente, a razn de 75C por hora, hasta alcanzar la temperatura ambiente.

Si T es la temperatura de las piezas de cermica, en C, y t el tiempo de enfriado, en horas; de las funciones siguientes, cul representa la temperatura de la cermica en funcin del tiempo durante el perodo de enfriamiento?

A) T = 75 + 1.150 t

B) T = 1.150 + 75 t

C) T = 1.150 - 75 t

D) T = 75 - 1.150 t

E) t = 75 T - 1.150

Solucin:

Una funcin lineal es de la forma y = a + bx, donde la constante a corresponde a las condiciones iniciales (en este caso cuando t = 0, es decir, cuando comienza el enfriamiento) y la constante b es la pendiente o variacin que experimenta la variable dependiente (en este caso la temperatura T), por cada unidad de variacin de la variable independiente (en este caso el tempo t).

Como al inicio del enfriamiento la temperatura de la cermica es 1.150C, entonces a = 1.150.

Como la cermica se enfra a razn de 75C por hora, entonces b = -75. Ntese que el signo negativo revela la disminucin de la temperatura T a medida que transcurre el tiempo t.

Entonces, la funcin lineal de enfriamiento en este caso es: T = 1.150 - 75 t.



3

12. De los siguientes grficos, cul representa mejor la funcin: x310y ; con 0x ?

A) B) C)

D) E)

Solucin:

La funcin dada, no es lineal. Por lo tanto, se descarta alternativa A.

Cuando x = 0, el valor de la funcin es 10. Por lo tanto, se descarta alternativa E.

La funcin de la forma xbay , es creciente cuando 1b , como en este caso en que b = 3. Por lo tanto, se descarta la alternativa B.

La funcin de la forma xbay , es exponencial, la cual tiene el crecimiento tpico que se muestra en la alternativa C.


x

y

10

0 x

y

10

0

x

y

10

0 x

y

0

3

y

x10

0


3

13. Se tiene un tringulo rectngulo, con ngulo interno agudo, tal que 4,0sen .Cul es el valor de tg ?

A) 84

B) 2121

C) 14

1

D) 21

1

E) 21

2

Solucin:

En un tringulo rectngulo, el seno de un ngulo es la razn entre el cateto opuesto al ngulo y la hipotenusa. Entonces:

Como 4,0sen = 10

4=

5

2, grficamente esto es:

Se calcula el cateto AB , mediante el teorema de Pitgoras.

22 25AB

21AB

Se calcula ahora tg , aplicando la definicin de la razn tangente:

21

2tg


A B

C

52

A B

C

52

21


3

14. En la figura, ABCDE pentgono inscrito en una circunferencia de centro O.

Es posible calcular la altura OP del tringulo ABO, si:

(1) Radio de la circunferencia = 10

(2) ABCDE pentgono regular

A) (1) por s sola

B) (2) por s sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por s sola, (1) (2)

E) Se requiere informacin adicional

Solucin:

(1) por s sola. Radio de la circunferencia = 10

Con esta informacin es posible determinar que en el tringulo ABO,

10BOAO .Falta saber la medida de AB .

Por lo tanto, (1) por s sola no lleva a resolver el problema.

(2) por s sola. ABCDE pentgono regular

Con esta informacin es posible determinar que EADECDBCAB y que los ngulos centrales son congruentes = 72. Por lo tanto, los ngulos en A y en B son congruentes y miden 54.

Falta saber alguna medida de los lados del tringulo ABO.

Por lo tanto, (2) por s sola no lleva a resolver el problema.

Ambas juntas, (1) y (2)

En este caso se tiene la medida de un lado del tringulo rectngulo APO y se tiene un ngulo OAP = 54. Con estos dos datos, aplicando trigonometra se puede

calcular la altura OP .


o

A B

C

D

E

P


3

15. En la siguiente figura se observa la transformacin isomtrica:

A) Simetra axial

B) Simetra puntual

C) Rotacin de 90 en el plano

D) Rotacin de 180 en el plano

E) Traslacin en el plano

Solucin:

Analizando la figura es posible distinguir que una parte de ella es el reflejo (o simetra) de la otra. En la figura siguiente se ha trazado una recta vertical, que es el eje de simetra.

Por lo tanto, se trata de una simetra axial.



3

16. Dentro de un vaso cilndrico recto de 10 cm de dimetro que est con agua hasta la

mitad de su nivel, se deposita un objeto de 25 3cm de volumen, que queda completamente cubierto de agua, haciendo subir el nivel de esta.

Cuntos centmetros sube el nivel del agua en el vaso?

A) 25B) 5C) 2D) /5E) /1

Solucin:

El agua sube su nivel en una medida igual a la altura de un cilindro de volumen 25 3cm y de radio 5 cm.

Como el volumen de un cilindro de radio r y altura h es igual a: hrV 2 , entonces:

25hr2

Reemplazando r = 5:

25h52 25h25

Despejando h y simplificando:

2525

h

1

h



3

17. En la figura, PQR tringulo rectngulo en R y RS = altura.

Si PS = 4 y QS = 6, entonces, QR =

A) 32

B) 62

C) 132

D) 152

E) 10

Solucin:

Agregando los datos relevantes a la figura, queda:

Aplicando el teorema de Euclides en el tringulo PQR:

2464h2

Ahora, aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo QSR:

3624QR2

60QR

152QR


Otra solucin: por ser PQR tringulo rectngulo y RS altura, de acuerdo al teorema de Euclides se da que:

)46(6QR2

06QR2

Llegando a la misma solucin:

152QR

R

P QS

R

P QS4 6

h


3

18. En la figura, semicircunferencia de dimetro PQ y centro O, con un crculo inscrito tangente en el centro O.

Si 20PQ , entonces, el rea de la regin achurada es igual a:

A) 5B) 10C) 25D) 40E) 50

Solucin:

rea del semicrculo de radio 10:

501021 2

rea del crculo pequeo, de radio 5:

2552

Diferencia = 252550



3

19. Un estudio realizado con una muestra aleatoria de empresas de distintos rubros, recab informacin del nmero de mujeres que ocupan cargos directivos en la empresa.

Con los datos generados se construy el siguiente grfico:

Segn el grfico, qu porcentaje de las empresas de la muestra tienen mujeres en el nivel directivo?

A) 80%

B) 60%

C) 32%

D) 28%

E) 12%

Solucin:

Segn el grfico, se encuestaron 75 empresas.

De estas, 60 tenan al menos una mujer en su nivel directivo.

Llevando a porcentaje:

%8010075

60P


2421181512

963

0 N

N de casos

N de mujeres en el nivel directivo

0 1 2 3 4


3

20. Se tiene una urna A con 3 bolas rojas y 2 verdes, y una urna B con 5 rojas y 3 verdes. Se realiza con ellas el siguiente experimento: se elige una urna al azar y luego se extrae de ella una bola al azar.

La probabilidad de extrae bola verdes es:

A) 1/5

B) 1/10

C) 3/16

D) 5/13

E) 31/80

Solucin:

La probabilidad de elegir urna A es: P(A) = 1/2

La probabilidad de extraer bola verde de la urna A es: P(V/A) = 2/5

Luego, la probabilidad de elegir urna A y extraer bola verde es:

51

52

21

La probabilidad de elegir urna B es: P(B) = 1/2

La probabilidad de extraer bola verde de la urna BA es: P(V/B) = 3/8

Luego, la probabilidad de elegir urna B y extraer bola verde es:

163

83

21

La probabilidad pedida, entonces, es la suma de ambas probabilidades, ya que extraer bola verde puede ocurrir de cualquiera de estas dos maneras:

80

31

80

1516

16

3

5

1


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