63103742 08 Dinamica de Lagrange

Este cuadernillo:

08 Dinmica de Lagrange

2011

Teoremas de la Dinmica Cinemtica

Sistemas de Partculas Ecuaciones Cardinales de la Dinmica

Dinmica del Movimiento Plano Campo de Fuerzas

Oscilador Lineal Unidimensional Funcin Lagrangiana

Diego E. Garca Dinmica de Lagrange 142

Presentacin

El presente texto Teoremas de la Dinmica, corresponde a una seleccin de contenidos tomados del amplio campo de la Mecnica Clsica. Est destinado a los estudiantes de diversas ramas de Ingeniera, que hayan completado los cursos de Anlisis Matemtico y de Fsica. Parte de ellos, corresponden a las clases Mecnica Analtica (Ingeniera Civil), en el Departamento de Fsica de la F. de C.E.F y N. de la UNC, a mi cargo entre 2001 y 2010. El trabajo lo desarroll a partir de una Mecnica de nivel intermedio, necesariamente limitado a un curso breve, por las restricciones de tiempo en la formacin de grado en Ingeniera. En este cuadernillo se analizan la configuracin de un sistema de partculas, los conceptos de desplazamientos reales y virtuales, coordenadas generalizadas y se presentan, sin demostracin, las Ecuaciones de Lagrange, expresadas a partir de la Funcin Lagrangiana, todo ello a efectos de servir de introduccin para la resolucin de algunos problemas por el mtodo de Lagrange. En cuadernillo separado se desarrolla este tema con mayor amplitud.

8 Dinmica de Lagrange Pgina Contenidos de este cuadernillo

Determinacin de la posicin de un sistema de partculas, parmetros de configuracin con vnculos fijos, (sistema esclernomo) 143 Configuracin de un sistema de partculas en el caso de vnculos mviles, (sistema renomo) 144 Desplazamiento virtual y desplazamiento real de las partculas de un sistema 145 Grados de libertad, sistemas holnomos y anholnomos 146 Coordenadas generalizadas 147 Algunos ejemplos de coordenadas generalizadas 147 Funcin Lagrangiana, ecuaciones de Lagrange 149 Resolucin del pndulo simple mediante las ecuaciones de Lagrange 150 Algunas aplicaciones de la funcin lagrangiana 152 1 Pndulo simple con punto de suspensin oscilante 152 2 - Cadena deslizante 159 3 Cilindro rodante en plano inclinado 161 4 - Partcula en un plano vertical rotante 163 Referencias Bibliogrficas 168

Derechos reservados. Ley 11723 ISBN 978-987-05-4041-0 Impreso en la ciudad de Crdoba, Argentina 2 edicin, marzo 2008 Reimpresiones en 2009, 2010, 2011

Prof. Diego Edgardo Garca Crdoba, marzo de 2008

Teoremas de la dinmica. Dinmica de Lagrange 143

8 Dinmica de Lagrange Determinacin de la posicin de un sistema de partculas, parmetros de configuracin con vnculos fijos, (sistema esclernomo)

Un sistema con vnculos fijos, se denomina esclernomo. (del griego sklers, duro rgido y de nomos, ley).

Imaginemos una partcula que se puede mover libremente en el espacio, en ese caso, su posicin queda determinada cuando se conocen, en cada instante, sus 3 coordenadas. Si se tienen N partculas, habr que fijar 3N coordenadas para determinar la posicin del sistema. El trmino configuracin del sistema se refiere a las posiciones que ocupan las partculas en un determinado instante: cuando se conocen las ubicaciones de las mismas, decimos que el sistema est configurado.

Ahora bien: puede ocurrir que algunos puntos del sistema estn vinculados entre s, por ejemplo: 2 masas puntuales libres en el plano, suman 4 grados de libertad y hacen falta 4 coordenadas para configurar el sistema. Pero supongamos que las dos partculas estn vinculadas entre s por un segmento inextensible de longitud l : en este caso bastar fijar las 2 coordenadas de una de ellas ms el ngulo que forma el segmento con la horizontal, en total 3 coordenadas independientes entre s, para tener determinado el sistema. Ciertamente, esta restriccin de vnculo, se podr establecer mediante una determinada ecuacin que debern satisfacer las coordenadas. Esa ecuacin es:

2 2 22 1 2 1x x y y l

Se llaman parmetros de configuracin , o coordenadas de Lagrange, a las coordenadas que se usan, o que se pueden usar, para configurar un sistema. Decimos, que se pueden usar, porque, en realidad, la posicin de las dos masas acopladas por una barra, queda definida tambin usando los 4 parmetros 2 3 41x x x x , aunque si la definimos as, estaramos usando un parmetro superabundante:

Llamaremos por lo tanto parmetros de Lagrange a todas las coordenadas de configuracin, ya sean estas superabundantes o ya sean independientes. Designaremos con kq

a estos parmetros, con 1,2,3,...k n .

De acuerdo con el ejemplo que se ha mostrado, resulta entonces, que, si los parmetros de configuracin deben satisfacer una ecuacin de vnculo, eso hace que el sistema se configure con 3, en vez de con 4 parmetros. Hablando en general, si llamamos n

a la cantidad de parmetros de Lagrange y m

a la cantidad de ecuaciones que representan las restricciones de vnculo, podemos expresar:

Cantidad de parametros independientes n m

Si llamamos iP O

al vector posicin de una partcula i

del sistema, podemos expresar finalmente la configuracin de un sistema de partculas mediante la siguiente funcin vectorial:

i i kP O P q con 1, 2,3,...k n m (1) en donde los kq

son parmetros independientes entre s. Cada uno de estos parmetros es funcin del tiempo.

Tambin podemos expresar, en forma escalar, las coordenadas de posicin , ,i i ix y z

de una

partcula i del sistema, en funcin de los n m parmetros independientes:

i i kx x q

i i ky y q (1) con 1, 2,3,...k n m

i i kz z q

Si N es la cantidad de partculas del sistema tendremos 3 N ecuaciones como las (1) que nos permitirn conocer las coordenadas de cada una de las N partculas en funcin de los parmetros

kq independientes. Entonces podemos llamar a las (1) o (1), ecuaciones de transformacin, porque nos permiten pasar de los parmetros de configuracin, a las coordenadas de posicin de las partculas. Tambin podramos designarlas como ecuaciones de configuracin.


Debemos observar que en las (1) y (1), no aparece el tiempo en forma explcita: ello significa que si bien las coordenadas , ,i i ix y z dependen del tiempo, lo hacen a travs a travs de las kq .

Esta no dependencia en forma explcita del tiempo, se debe a que hemos considerado que los vnculos permanecen fijos en el tiempo, por ejemplo, si un punto se mueve sobre una curva en el espacio, esa curva no cambia su forma con el tiempo, entonces, si dejamos constante un valor del parmetro ( por ejemplo el recorrido sobre la curva), la posicin de la partcula no cambia porque la curva no se mueve.

Veamos el siguiente ejemplo, figura 2: Una partcula P se mueve en un plano sujeto a un vnculo tal que su distancia al punto O es constante e igual a l , figura 1

Los parmetros de Lagrange son 1q x

; 2q y

y la ecuacin de ligadura es 2 2 21 2 0q q l .

Podemos tomar como parmetro independiente a 1q , en cuyo caso 2q

es superabundante. Tambin podemos tomar como parmetro independiente al ngulo

en cuyo caso 1q

y 2q

pasan a ser superabundantes. Si consideramos los 3 parmetros 1 2,,q q , 3n podremos establecer entre ellos 2 ecuaciones de ligadura ( 2m ), de manera que la cantidad de parmetros independientes siempre ser 3 2 1.

Las ecuaciones de transformacin que dan las coordenadas de la partcula en funcin del parmetro

son:

cosx ly lsen

donde es una cierta funcin del tiempo. Como vemos, el tiempo no aparece explcitamente en la expresiones que dan las coordenadas

de P , cuando los vnculos son fijos.

Configuracin de un sistema de partculas en el caso de vnculos mviles, (sistema renomo)

Cuando los vnculos cambien su forma, o su posicin en funcin del tiempo, el sistema se llama sistema renomo, ( del griego rhos, corriente y nomos, ley). En este caso, en la funcin (1), que da el vector posicin de la partcula, o en las ecuaciones de transformacin (1), aparecer explcitamente el tiempo. Para que ello ocurra, es necesario que la ley que representa la variacin de la forma, o posicin del vnculo, sea un dato. Veamos un ejemplo, consistente en un pndulo simple, con su articulacin oscilante, como se muestra en la figura 2:

El punto de suspensin del pndulo se mueve de acuerdo con:

1O O sen t i (2) La posicin queda determinada con una nica coordenada , ya que

la posicin de 1O est predeterminada por la (2). La coordenada vectorial de posicin de la partcula P ser:

cosP O sen t l i lsen j (3) o bien:

cosx sen t ly lsen (3)

Como vemos, se trata de un sistema renomo y en la (3) aparece explcitamente el tiempo, cosa que no ocurre cuando los vnculos no se mueven.

y

x

l f

Figura 1

y

x

l f

Figura 2

o i o1

j

i

m


Tambin podramos haber expresado la posicin con vnculo superabundantes:

1 2iP O q i q j , con 1q x y 2q y

con la siguiente ecuacin de ligadura: 2 2 2

1 2 0q sen t q l (4)

Desplazamiento virtual y desplazamiento real de las partculas de un sistema Llamaremos desplazamiento virtual de un sistema, al conjunto de desplazamientos que

experimentan las partculas del mismo, cuando se produce una variacin de uno, de varios, o de todos los parmetros de configuracin del sistema, con la condicin de suponer que las ligaduras que vinculan a los elementos del sistema con el exterior, permanecen inmviles mientras dura esa variacin.

Desplazamiento real o simplemente desplazamiento es el que experimentan las partculas del sistema debido a la variacin del, o los parmetros de configuracin, mas el desplazamiento producido por el movimiento de la o las ligaduras del sistema, mientras dura esa variacin.

Si el sistema tiene ligaduras fijas ( sistema esclernomo), no hay diferencia entre un desplazamiento real y un desplazamiento virtual.

Si el sistema tiene ligaduras mviles, los desplazamiento reales son diferentes de los virtuales: para tener el desplazamiento real de las partculas, hay que sumar, al desplazamiento virtual de las mismas, el desplazamiento provocado por el movimiento de las ligaduras durante el intervalo de tiempo considerado.

Consideremos el siguiente ejemplo: Designemos con i

a un punto genrico del pndulo con articulacin deslizante de la figura 3. El desplazamiento real que experimenta dicha partcula cuando transcurre un tiempo dt , proviene de la variacin del nico parmetro 1q

y del desplazamiento de la ligadura, que en este caso, es la articulacin 1O . Si llamamos iP

al vector posicin de la partcula, referido al sistema ,x y , resulta que dicho vector ser una funcin de 1q

y del tiempo, a la que llamaremos 1,i iP P q t . En esta funcin, el tiempo aparece en forma explcita, por tratarse de un sistema renomo. Entonces, podemos expresar el desplazamiento real de la partcula i , como el diferencial de la funcin vectorial iP , que se obtiene como la suma de los 2 diferenciales parciales con respecto a cada variable:

11

i ii

P PdP dq dtq t

(5)

Si se tratase de un sistema de partculas con h coordenadas independientes, el desplazamiento real de una partcula, de un sistema renomo se expresara como:

1

k hi i

i kk k

P PdP dq dtq t

(6)

Si ahora, en cambio, queremos expresar el desplazamiento virtual, de una partcula del pndulo de la figura 3, desaparece el segundo trmino de la (5), porque suponemos que la ligadura no se mueve. Entonces, se tendr

11

ii

PP qq

(7)

Si se tratase de un sistema de partculas con h coordenadas independientes, el desplazamiento virtual de una partcula, de un sistema renomo se expresara como:

1

k hi

i kk k

PP qq

(8)

Observamos que si se trata de un sistema esclernomo, o de vnculos fijos, las (5) y (6), se transforman en las (7) y (8).

En las (7) y (8) se han indicado tanto la variacin de 1q

como el desplazamiento de la partcula, con la letra

en lugar de usar la letra d de diferencial de una funcin. El uso de iP

para el

Vector desplazamiento real de la partcula i , con una nica coordenada 1q

Vector desplazamiento real de la partcula i , con h coordenadas independientes kq

Vector desplazamiento virtual de la partcula i , con una nica coordenada 1q

Vector desplazamiento virtual de la partcula i , con h coordenadas independientes kq


desplazamiento, es para indicar que se trata de un desplazamiento virtual, que, como se dijo, se realiza imaginando que los vnculos se inmovilizan mientras ocurre la variacin de las coordenadas kq . El uso de kq

es para poner de manifiesto que dicha coordenada experimenta una variacin, mientras el vnculo permanece inmovilizado en la posicin que ocupaba en un determinado instante 1t t

2t t . Llamamos isocrnica a esa variacin kq . El trmino isocrnico se refiere a la suposicin ya

expresada que, mientras dura la variacin de las kq , el vnculo queda transitoriamente inmovilizado en la posicin que ocupaba en un determinado instante 1t t 2t t etc.

Podemos establecer el siguiente resumen con respecto a las caractersticas salientes del desplazamiento virtual de una partcula i del sistema:

Suponiendo el vnculo fijo, debe ser compatible con la condicin de vnculo, es decir moverse segn la tangente a la trayectoria que le impone dicha condicin.

Si los vnculos son mviles, se consideran inmovilizados mientras dura la variacin de las kq .

En el caso que los vnculos sean fijos, no se establece diferencias entre el vector desplazamiento real dPi y el vector desplazamiento virtual Pi de cada partcula. Tal sera el caso que el vnculo fuese realmente fijo en la figura 3. Como no lo es , para tener dPi el vector desplazamiento de arrastre de Pi debido al movimiento del vnculo.

No necesariamente debe ser un valor diferencial: puede ser un valor finito, siempre cuando los desplazamientos de las partculas del sistema, sean compatibles con los vnculos.

El smbolo

usado para indicar un desplazamiento virtual, cuando ste es una magnitud diferencial y participa de las mismas propiedades usuales del smbolo d usado como diferencial.

Un desplazamiento virtual puede ser un desplazamiento de un punto, como tal, pero tambin puede corresponder a la variacin de un ngulo. O sea que puede medirse en metros o en radianes.

Grados de libertad

Se llaman grados de libertad a cada uno de los desplazamientos virtuales, independientes entre s, que pueden tener las partculas de un sistema.

Supongamos un sistema de N partculas materiales, tal que su configuracin est dada por n parmetros de Lagrange. jq

con 1,2,3......j n . El sistema est sometido a m ecuaciones de restriccin de vnculo, o tambin puede no tener vnculos. Esta definicin de grados de libertad es vlida independientemente de la forma que tengan las ecuaciones de vnculo, es decir, ya sean estas ecuaciones finitas o diferenciales, integrables o no.

Entonces, si llamamos h

a la cantidad de grados de libertad de un sistema, sta queda dada por:

h n m (9)

Sistemas holnomos y anholnomos Decimos que un sistema es holnomo, si no tiene vnculos, o bien, si los tiene, stos son

expresables mediante m ecuaciones finitas en los parmetros de Lagrange. Mediante estas m ecuaciones finitas, podemos obtener m parmetros del sistema en funcin de los otros n m

parmetros que hemos tomado como independientes. En ese caso, siempre ser posible considerar el sistema como si fuese un sistema libre, sin

vnculos, pero que, en vez de tener 3N grados de libertad, tuviese 3h N m grados de libertad. En un sistema holnomo, la cantidad de parmetros o coordenadas necesarios para

configurar el sistema, coincide con la cantidad de grados del libertad del mismo.


Decimos que un sistema es no holnomo o anholnomo si una, o ms, de las m relaciones de vnculo, est expresada como una ecuacin diferencial no integrable. Si la ecuacin diferencial que expresa el vnculo fuese integrable, dicha expresin se transformara en finita y el sistema pasara a ser holnomo. Es importante hacer notar que, si el sistema es anholnomo, no es posible encontrar los m parmetros de configuracin en funcin de los restantes. En este tipo de sistemas, la cantidad de grados de libertad sigue siendo h , pero es posible demostrar que ya no resultan suficientes h parmetros para configurar el sistema, sino que para ello son necesarios h r

parmetros, en donde r

es la cantidad de ecuaciones de vnculo que no son integrables. (ver nota 1)

Nota 1: puede consultarse al respecto, el captulo XIII del texto Mecnica Analtica del Ing. Nilo Penazzi, Ctedra de Mecnica, Ingeniera Aeronutica de la Facultad de Ingeniera de la UNC, 1998.

Coordenadas generalizadas A los parmetros kq independientes entre s, que determinan la configuracin instantnea de un

sistema y ya mencionados al hablar de la configuracin de un sistema, es usual y resulta cmodo, darles el nombre de coordenadas generalizadas.

En los sistemas holnomos, como ya se dijo, la cantidad de coordenadas generalizadas coincide con la cantidad de grados de libertad h

del sistema. En consecuencia podemos expresar las ecuaciones de transformacin que dan las coordenadas cartesianas de las N partculas, en funcin de las h

coordenadas generalizadas kq , de la siguiente forma:

1 2

1 2

1 2

, ,... ,

, ,... ,

, ,... ,

i i h

i i h

i i h

x x q q q t

y y q q q t

z z q q q t

1, 2,3,...i N y 1, 2,3,.........k h

En las ecuaciones (1) aparece el tiempo en forma explcita, porque se considera el caso general de vnculos mviles.

Algunos ejemplos de coordenadas generalizadas a) Partcula que se mueve sobre vnculo con forma de elipse

La partcula tiene un solo grado de libertad. Tomamos como coordenada generalizada el ngulo , en forma tal que (figura 1):

sen

cos

y bx a

b) Cilindro que rueda sobre un plano inclinado Si la rodadura se hace sin deslizamiento se tiene una sola coordenada generalizada, que puede

ser la coordenadax ( ver en la figura 2). El ngulo se relaciona con x mediante la relacin:

x R

b

a

x

y

Pm

Figura 1

Ecuaciones de transformacin


En cambio si hay deslizamiento en el punto de contacto, el sistema tiene 2 grados de libertad y las coordenada generalizadas son x y . c) Barra articulada, con una masa deslizante, sujeta a un resorte

Se tiene una barra puede girar en un plano vertical alrededor de la articulacin O1 , como se muestra en la figura 3. La masa m , puede deslizar sobre la barra y a su vez, est sujeta por un resorte a la articulacin 1O . El sistema est formado por la barra y la masa m

y al resorte, lo consideramos sin masa. La ligadura del sistema con el exterior es la articulacin 1O , la que, a su vez, puede, o no, deslizarse a lo largo del eje X

. a es una determinada longitud del resorte, a partir de la cual medimos las elongaciones x de la masa m.

En la tabla siguiente, se analizan diversas alternativas que pueden presentarse

Situacin Coordenadas generalizadas

Ecuaciones de Transformacin Vnculo

O1 Fijo , x

( , )( , )

P P

P P

X X x

Y Y x

Esclernomo

O1 Fijo, variacin de ley conocida: t

x

( , )( , )

P P

P P

X X x t

Y Y x t

Renomo

Distancia 1O O y siguen una ley conocida 1O O sen t y t

x

( , )( , )

P P

P P

X X x t

Y Y x t

Renomo

Situacin Coordenadas generalizadas Ecuaciones de Transformacin Vnculo

O1 se puede mover sobre colisas deslizante y sigue ley

conocida: t

1O O , x

1

1

( , , )( , , )

P P

P P

X X x O O t

Y Y x O O t

Renomo

Slo la distancia 1O O sigue una ley conocida

, x

( , , )( , , )

P P

P P

X X x t

Y Y x t

Renomo

x

R

Figura 2

x

a

X

Y

O O1

m

Figura 3


Ninguno de los parmetros obedece a una ley predeterminada

, x , 1O O

1

1

( , , )( , , )

P P

P P

X X x O O

Y Y x O O

Esclernomo

d) Pndulo doble En la figura 4 se muestra un sistema formado por dos varillas articuladas que se conoce como

pndulo doble. Las coordenadas generalizadas son 1

y 2 . Como se observa en la figura, 1

puede variar independientemente de 2 y adems 2 puede variar independientemente de 1 .

e) Bloque deslizante y polea En la figura 5, se muestra un bloque que desliza sobre un plano horizontal liso. El bloque es

traccionado por una cuerda, cuyo otro extremo est enrollado sobre una polea. Al caer la polea, se va desenrollando la cuerda.

Las coordenadas generalizadas pueden ser: 1x

y 2x , o tambin 1x

y

, como se indica en la figura 5.

Funcin Lagrangiana, ecuaciones de Lagrange Si llamamos P a los vectores velocidad de cada una de las partculas del sistema, la energa

cintica del sistema resulta expresada por: 2

1

12

N

i ii

T m P (10)

donde N es la cantidad de partculas del sistema. A su vez, el vector posicin iP

, es una funcin de las coordenadas generalizadas kq

y del tiempo. Entonces, de acuerdo con la (10), la energa cintica de un sistema de partculas, puede expresarse como una funcin de las coordenadas generalizadas kq

del sistema, de sus derivadas con respecto al tiempo, kq y del tiempo:

, ,k kT f q q t (11)

2!

1

2

!1

Figura 4

1x

2x

Polea

Nudo

Figura 5

2x


Supongamos ahora, que la totalidad de las fuerzas que obran sobre el sistema son de carcter conservativo: En este caso y de acuerdo con la definicin de fuerzas conservativas, es posible definir una cierta funcin energa potencial, correspondiente a dichas fuerzas.

Sabemos, por otra parte, que en un campo de fuerzas, la energa potencial depende de la posicin de las partculas del sistema y del tiempo, pero no depende de la velocidad de las mismas. Ello significa que la energa potencial, ser una funcin de las coordenadas generalizadas y del tiempo, pero no de las derivadas con respecto al tiempo de dichas coordenadas generalizadas. Entonces, si V

es la energa potencial del sistema, podemos expresar la misma como funcin de las coordenadas kq

y del tiempo, de la siguiente forma:

,kV f q t (12) De acuerdo con las consideraciones precedentes, en aquellos sistemas conservativos que

admiten energa potencial V , vamos a definir una cierta funcin

que llamaremos Funcin Lagrangiana, de la siguiente manera:

T V (13) Funcin Lagrangiana Las ecuaciones que se expresarn a continuacin, se conocen como Ecuaciones de lagrange y

fueron desarrolladas por Louis de Lagrange, en Mcanique Analytique, Paris, 1788. En ellas interviene la Funcin Lagrangiana y su importancia consiste en que permiten la resolucin de problemas, sin intervencin de las ecuaciones cardinales de la dinmica. En ese sentido, constituyen un mtodo autnomo de la dinmica.

Las ecuaciones de Lagrange, que presentamos sin demostracin, se expresan de la siguiente manera:

0k k

ddt q q

(14) 1, 2, ...,k h

Podemos hacer el siguiente resumen de los pasos a seguir para plantear las ecuaciones de Lagrange:

Determinar el nmero de grados de libertad del sistema y elegir las coordenadas generalizadas.

Expresar la energa cintica T del sistema kq y kq y del tiempo (si se tienen vnculos mviles).

Calcular la energa potencial V en funcin de kq y del tiempo y plantear la expresin del Lagrangiano T V .

Calcular las correspondientes derivadas del Lagrangiano con respecto a kq , kq

y el tiempo, para ser introducidas en las ecuaciones de Lagrange:

0k k

ddt q q

1, 2, ...,k h

Es decir:

1 1

0ddt q q

2 2

0ddt q q

(14)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0h h

ddt q q

Resolucin del pndulo simple mediante las ecuaciones de Lagrange

A modo de ejemplo, encontraremos la ecuacin diferencial correspondiente al pndulo simple por el mtodo de Lagrange.

Se trata de un sistema con un solo grado de libertad y podemos adoptar la coordenada

como

nica coordenada generalizada, 1q , como se muestra en la figura 1.


La variacin de energa potencial cuando el peso mg

experimenta un desplazamiento dxi , es igual, por definicin, al trabajo de mg , pero cambiado de signo y lo expresamos mediante el siguiente producto escalar:

dV mg dxi cos180dV mgdx dV mgdx

Si integramos la expresin anterior, entre cero y la posicin x , resulta: V mgx

Pero:

cosx l l 1 cosx l

Entonces, obtenemos finalmente la siguiente expresin para la energa potencial: 1 cosV mgl (1)

Seguidamente, debemos calcular la energa cintica este sistema, que es: 21

2T mv

donde v

es la velocidad de la partcula. El mdulo de la misma lo calculamos multiplicando el largo del

pndulo por su velocidad angular que vale: ddt

. Entonces:

v l

Si reemplazamos este valor de la velocidad en la expresin de la energa cintica se tendr: 21

2T m l (2)

Reemplazamos ahora (1) y (2), en la expresin del Lagrangiano: T V

2 21 1 cos2

ml mgl (3) De acuerdo con las (14) y como se tiene un solo grado de libertad, la nica ecuacin de

Lagrange que se tiene en este caso es:

1 1

0ddt q q

O bien:

0ddt

(4) Seguidamente, efectuaremos las correspondientes derivadas del Lagrangiano, para poder

reemplazar en la (4). Observamos que la (3) es funcin de 1q

y de 1q , pero el tiempo no aparece en forma

explcita, porque se trata de un sistema con ligadura fija. Para derivar la (3) con respecto a 1q debemos considerar a

como constante y cuando derivemos con respecto a , supondremos

constante. Derivando (3):

x

m

m

l

cota cero

Figura 1


2ml (5)

Adems, pare obtener el primer trmino de la (4), falta an derivar la (5) con respecto al tiempo, para lo cual deberemos tener presente que la velocidad angular es funcin del tiempo:

2d d mldt dt

2

k

dml

dt (6)

Llevamos ahora (5) y (6) a la ecuacin de Lagrange (4): 2 sen 0ml mgl (7)

Para oscilaciones pequeas, resulta que: sen

Entonces, la (7) queda: 0l g

O bien: 0g

l (8)

La (8) es la conocida ecuacin diferencial de un movimiento armnico simple, cuya solucin es: A cos t Bsen t

en donde:

2 gl

; 2 gT l

2 2 lT g gl

Ejemplos de aplicacin de la funcin Lagrangiana 1 Pndulo simple con punto de suspensin oscilante

Hallar, por el mtodo de Lagrange, la ecuacin diferencial del movimiento de un pndulo cuyo punto de suspensin oscila segn la ley tsenax1 , suponiendo que la amplitud de las oscilaciones es pequea.

Resolucin: Grados de libertad

El sistema tendra dos grados de libertad, si la posicin de la articulacin 1O

no estuviese

determinada. Pero como la posicin del punto o1 est definida por la funcin )(1 tx que es un dato, tenemos slo un grado de libertad. Tomaremos el ngulo como coordenada generalizada. Energa cintica

Las coordenadas de posicin de la masa son: (ver en figura 1)


cos

sen1

lylxx

Derivamos con respecto al tiempo para obtener las componentes del vector velocidad: (ver en figura 2)

sen

cos1

lylxx

Entonces, podemos expresar: 2 2 2v x y

Teniendo en cuenta que la energa cintica es: 221 mvT , resulta: 2 2

12 1

2 2 2 2 2 2 212 1 1

2 2 212 1 1

cos sen

cos 2 cos sen

2 cos

T m x l l

T m x l x l l

T m x l x l

De la expresin precedente surge que la energa cintica es funcin de 1x , 1x , y (aparte de las constantes m y l ) Energa Potencial Tomamos el potencial cero de referencia en el eje x, y teniendo en cuenta la definicin de potencial resulta: (ver en figura 3)

dV = -m g dy V = - m g y

Entonces:

cosmglV

y

x

y mg

Figura 3

v

lcos

1x l sen

x1 o1 x

y Figura 1

v

y j

xiFigura 2

1O


Funcin Lagrangiana Recordemos que VTL por lo tanto la funcin lagrangiana resulta:

2 2 211 12

2 2 211 12

2 cos cos

2 cos cos

L m x l x l mgl

L m x l x l mgl

a continuacin efectuaremos las derivadas que corresponden para poder escribir el binomio de Lagrange:

cos

cos22

12

12

21

lxlm

lxlmL

derivamos ahora con respecto al tiempo para tener el 1 trmino del binomio:

sencos 112 lxlxlmL

dtd

(1)

Tngase en cuenta que:

cos senddt

Para hallar el segundo trmino del binomio de Lagrange, para lo cual derivamos el lagrangiano con respecto a :

sensen1 mglxmlL

(2)

reemplazaremos 1) y 2) en la nica ecuacin de Lagrange para este problema:

0LLdtd

resulta: 2

1 1 1

21 1 1

21

cos sen sen sen 0

cos sen sen sen 0cos sen 0

m l x l x l mlx mgl

l x l x l lx gll x l gl

dividiendo miembro a miembro por 2l :

1 cos sen 0x gl l

(3)

si tsenax1 , ser:

1

12

1

sen

cos

sen

x a t

x a t

x a t

(4)

reemplazando (4) en (3), queda:

0sencossen2

2

2

lg

tl

a

dtd


Esta ecuacin diferencial permitira encontrar la funcin solucin de la misma )(tf , en el caso ms general en que la amplitud de las oscilaciones no sea pequea.

Se trata de una ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden que no es lineal. Teniendo en cuenta las condiciones impuestas en el enunciado de pequeos valores de , podemos considerar que:

0sen1cos

En el supuesto anterior se obtiene la siguiente ecuacin diferencial ordinaria lineal no homognea

la cual permitir encontrar = f(t) para oscilaciones pequeas:

tl

a

lg

dtd

sen2

2

2

(5)

Los valores de g; a; l; y

son constantes y datos del problema; y la solucin de esta ecuacin diferencial constar de dos partes:

Una parte, ser la solucin de la homognea asociada

La otra parte, ser la solucin particular. La ecuacin homognea asociada es:

2

2 0d gdt l

(6)

La (6) es la ecuacin diferencial del pndulo simple, para valores pequeos de . La solucin de esta ecuacin es la misma del oscilador armnico simple (ver la (4) de ese tema), donde en vez de la elongacin x , aparece el ngulo . Entonces es:

1 2homg gC cos t C sen tl l

(7)

donde 0gl

es la frecuencia angular del pndulo ideal de longitud l , supuesto que la articulacin

1O

fuese fija. Los valores de las constantes son 1 0C

,

02

0

C . La (7) tambin se puede expresar

como (ver la (5) de movimiento armnico simple): 0hom A cos t (7)

donde 2 21 2A C C y 21

Carc tan

C.

La solucin particular es de la forma:

part Mcos t N sen t (8)

Si reemplazamos la funcin part en la ecuacin diferencial (5), resulta:

0M 2

2 20

aNl

Finalmente, la funcin solucin para el caso de 0 , ser la suma de (7) y (8):

hom part


0A cos t Nsen t (9)

La (9) corresponde a la suma de dos funciones armnicas de diferentes frecuencias, 0

y , lo

que ya no es una funcin armnica simple, el valor de un determinada elongacin mxima, no es igual a

la que le sigue. En forma cualitativa, la curva f t , tendr la forma que se muestra en la figura (4)

La funcin f t

es anloga a la funcin x t

del oscilador forzado sin amortiguamiento,

caso a), ver la expresin (10) y la figura (5) de ese tema. Si fuese 0 , es decir, si la frecuencia de la articulacin oscilante coincidiera con la

frecuencia natural del pndulo, la funcin (8) ya no es solucin de la ecuacin diferencial (5). Debe buscarse una solucin de la forma (ver ):

part M cos t Nsen t t (10)

Puede consultarse el texto clsico de Anlisis Matemtico N. Piskunov, Clculo diferencial e Integral, captulo Ecuaciones Diferenciales, artculo ecuaciones diferenciales de las oscilaciones mecnicas.

Si reemplazamos la funcin (10) en la ecuacin diferencial (5), obtendremos 2

2aM

l

;

0N o bien, siendo 0 :

0

2aM

l 0N (11)

Entonces, la solucin particular resulta:

002part

at cos t

l (12)

La elongacin en funcin del tiempo, la escribimos finalmente como:

00 02

aA cos t t cos tl

(13)

Como vemos, cuando 0

se tiene una situacin de resonancia y la amplitud de las

oscilaciones comenzar a crecer indefinidamente. En este caso, la funcin part f t

(segundo

trmino de la (13), es anloga a la funcin partx

del oscilador forzado sin amortiguamiento, ver el tema

oscilador forzado sin amortiguamiento caso a), segundo trmino de la expresin (9). Ver nota 2

Figura 4

t


La grfica de la funcin representada por la solucin particular, en el caso de resonancia, se muestra en la figura 5 siguiente y es anloga a la del oscilador forzado sin amortiguamiento en resonancia, tema oscilador forzado sin amortiguamiento caso a), figura 4 de ese tema.

No obstante, debe recordarse que este problema ha sido resuelto con la aproximacin de cos 1 y sen 0 y que tanto la ecuacin diferencial (5), como sus soluciones (9) y (13), son vlidas para pequeas amplitudes de oscilacin. Entonces la figura (5) ser representativa mientras que las amplitudes de la oscilacin se ajusten a esta hiptesis. Cuando las amplitudes sean mayores, la ecuacin diferencial que describe el comportamiento del sistema, ser de la forma

2 2

2 sen cos send g a

tdt l l

.

Nota 2 Podemos plantear cierta analoga entre la ecuacin diferencial (8) de oscilador forzado sin amortiguamiento,

captulo oscilador lineal, y la ecuacin diferencial (5), en donde 2a

sen tl

sera anlogo al 0Q

cos tm

de la (8).

Adems,

de este problema sera equivalente al

del oscilador forzado y 0

del pndulo sera equivalente a la frecuencia natural del resorte.

Es interesante destacar que mediante la formulacin de Lagrange hemos hallado la ecuacin diferencial que permite resolver el sistema, por un camino prescindente de las ecuaciones cardinales de la dinmica; si hubiremos usado estas ecuaciones, habramos llegado a la misma ecuacin diferencial.

Resolucin usando la ley de Newton en un sistema no inercial Elegimos un sistema de referencia x1 e y1 que tiene movimiento armnico simple de traslacin,

dado por

= a sen t, se trata de un sistema llamado no inercial por que todos los puntos del mismo estn sometidos a una aceleracin de arrastre que vale:

22

2 send

a tdt

(14) En estas condiciones, cualquier masa de ese sistema est sometida a fuerzas de inercia que

vale: 2

2indF mdt

Las fuerzas que actan sobre la masa en este sistema no inercial se muestran en la figura 6 y son: T : fuerza del vnculo sobre la masa mg : peso

inF : fuerza de inercia

Figura 6

mg

inF

T

1O

1y

1x

m

part

t

Figura 5


Escribimos ahora la ley de Newton en la direccin de la tangente a la trayectoria de m: cos90 sen cosinT mg F ma

a

es la componente de la aceleracin de la masa m, en la direccin de . Como se trata de

oscilaciones pequeas aceptamos que: cos 1 sen

: Como a cos x resulta que a x

Con las hiptesis simplificativas, la ecuacin diferencial de Newton queda entonces: 2

12d

mg m mxdt

(15)

Adems: 1

1 1 1

sen

; y (16)x lx l x l x l

Reemplazamos en (15) 2

2ddt

y 1x dadas por (14) y (16): 2 seng a t l

o bien dividiendo ambos miembros por l , llegamos finalmente a la misma ecuacin diferencia (5) que habamos obtenido por el mtodo de lagrange:

2sen

g at

l l


2 - Cadena deslizante

Una cadena cuya densidad lineal es k

y apoyada sobre un plano horizontal liso como se muestra en la figura, se suelta, desde una posicin inicial en reposo. En el instante inicial, la coordenada del extremo inferior de la cadena es 0y y .

Se pide encontrar la coordenada y en funcin del tiempo

Resolucin Se trata de un sistema con un solo grado de libertad y adoptamos la coordenada y

como

coordenada generalizada. Energa cintica

La energa cintica del sistema se expresa como 21

2T mv (1) donde m

es la masa del sistema, o sea, en este caso la masa de la cadena y v

es la velocidad, que es la misma para todos los puntos de la cadena.

Es: mk m k ll

(2) dy

v v ydt

(3) Reemplazamos (2) y (3) en (1):

212T k l y (4)

Energa potencial Tomamos como referencia el plano horizontal, entonces la energa potencial de la cadena

coincide con la energa potencial del tramo y:

2122 2

y yV mg V k y g V k g y (5)

2y

es la distancia al centro de masa

Funcin lagrangiana y ecuacin diferencial La funcin lagrangiana es:

L T V

Reemplazamos los valores de T y V de (4) y (5): 2 21 1

2 2 (6)L k l y k g y A continuacin efectuaremos las derivadas correspondientes para plantear la ecuacin de

Lagrange: L k l yy

d L k l ydt y

(7)

Ahora, buscamos el segundo trmino del binomio de Lagrange, para lo cual derivamos el lagrangiano con respecto a y

L k g yy

(8) Reemplazamos (7) y (8) en las ecuaciones de Lagrange: 0d L L

dt y y


Resulta la ecuacin diferencial: 0gy y

l (9)

cuya solucin es: cos ( ) sen ( )y A h t B h t (10)

en donde: lg

Calcularemos las constantes A y B: Para t =0 es y = y0 entonces, si valuamos la (10) en 0t resulta:

0 cosh(0) senh(0)y A B , de donde surge que: 0A y (11)

La segunda condicin inicial, es la de velocidad cero, '0 0y , porque la cadena parte del reposo. Para encontrar la constante B , derivamos la (10):

senh( ) cosh( )y A t B t (12) Valuamos la (12) en 0t , lo que conduce a: 0 senh(0) cosh(0)A B de donde surge que: 0B (13) Si reemplazamos (12) y (13) en la (10), resulta finalmente:

tlgyy cosh0


3 Cilindro rodante en plano inclinado Se tiene un cilindro de radio R

y masa m

que rueda sin resbalar sobre un plano inclinado de ngulo y altura h , como se muestra en la figura siguiente. El cilindro parte del reposo.

Se pide encontrar la ecuacin diferencial del movimiento, mediante el mtodo de lagrange

Parmetros de configuracin, coordenada generalizada La coordenada de posicin x

del centro de la esfera y el ngulo , que ha girado el cilindro, desde su posicin inicial hastala posicin x , son parmetros de configuracin. Como no hay resbalamiento no son independiente una del otro, sino que estn relacionadas con la siguiente condicin de vnculo (ver en la figura 1)

Rxx 0

El sistema tiene un solo grado de libertad. Elegimos como coordenada generalizada, a la coordenada x . Funcin Lagrangiana

Se trata de un sistema conservativo, porque las fuerzas actuantes son gravitatorias y porque no hay disipacin de energa, debido a que, por hiptesis, el cilindro no desliza sobre el plano. En consecuencia, podemos usar la funcin lagrangiana para plantear la ecuacin de Lagrange correspondiente a la coordenada x .

Encontraremos, en primer trmino, la energa cintica del cilindro rodante, usamos el teorema de Knig, con polo en el centro G

2 21 12 2 GT m x I

El 1 trmino es la energa cintica de traslacin y el 2 es la energa cintica de rotacin; GI

es

el momento de inercia del cilindro con respecto al eje que pasa por G. En lo que sigue suprimiremos por simplicidad el subndice G. La velocidad del centro de masas G

es Rx , de donde surge que

Rx

. Si reemplazamos xR

en la expresin anterior, queda:

h- xsen

x x0 G

Figura 1

Rcos

R

h

Y

X


221 1

2 2xT mx IR

2

2 2I xT m

R (1)

Para determinar la energa potencial del cilindro rodante, tomamos como referencia el plano horizontal. La altura del punto de contacto sobre la base, vale: senh x , ver en la figura 1. Para encontrar la altura del centro G , habr que sumarle Rcos :

sen cosGh h x R

La energa potencial es:

GV mgh

o bien:

sen cosV mg h x R (2) Expresamos ahora la funcin lagrangiana:

VTL (3) por lo tanto, reemplazando (1) y (2) en (3), resulta:

2

2 sen cos2I xL m mg h x R

R

Efectuamos las derivadas parciales correspondientes para formar las ecuaciones de Lagrange:

2

sen (4)

L Im x

x RL

mgx

derivando ahora con respecto al tiempo:

xRI

mx

Ldtd

2 (5)

Reemplazamos (4) y (5) en la ecuacin de Lagrange correspondiente a x :

0x

Lx

Ldtd

2 sen 0I

m x mgR

2

senmgx I

mR

considerando que el momento de inercia de masas es: 2

2mRII G ; entonces

2

2

sen sen

1122

mg gx x

mRm

R

2sen

3x g

Como la aceleracin de G es constante, su trayectoria corresponde a un movimiento rectilneo

con aceleracin constante: 2

sen3

x g . A este mismo resultado hubiramos llegado con las

ecuaciones cardinales de la dinmica.


4 - Partcula en un plano vertical rotante

Una partcula de masa m se mantiene sobre una placa sin masa que rota con velocidad angular

constante alrededor del eje Z

y no hay rozamiento entre la placa y la partcula. , ,x y z

son los ejes del cuerpo que rotan con la placa y , ,X Y Z son los ejes fijos. Las condiciones iniciales son, para t= 0

0x x , 0z z ; 0 0, 0x z

Se pide encontrar las ecuaciones paramtricas de la trayectoria, referidas al sistema del cuerpo, planteando: a) Las leyes de newton, en el sistema no inercial , ,x y z

b) La funcin lagrangiana y las ecuaciones de lagrange c) Encontrar la fuerza de reaccin N que el plano ejerce sobre la partcula

a) Planteo de las Leyes de Newton en el sistema no inercial x y z Un punto cualquiera del plano ,x z , tiene una aceleracin centrpeta que vale:

2ca x

En consecuencia, la masa m estar sometida en ese plano rotante, a una fuerza de inercia de arrastre de sentido contrario a la aceleracin centrpeta ac y que vale (ver en la figura 1):

x

2x

(1)in c

in

F m a

F m x

Esta es la nica fuerza actuante en la direccin del eje x, por lo tanto la ecuacin diferencial de Newton en esta direccin es:

m

x

z

mg

2in

xF m xi

Figura 1

Z

y

t

x X

Y

mg

z


2

2

ind xF mdt

(2)

De acuerdo con (1) y (2), la ecuacin diferencial del movimiento, resulta entonces: 2 2 0m x mx x x (3)

Se trata de una ecuacin de 2 orden lineal, homognea y cuya solucin, para las condiciones iniciales establecidas, da una de las ecuaciones paramtricas de la trayectoria, correspondiente a la coordenada x : (ver en la figura 2)

La pendiente de esta curva es la velocidad en x de la partcula; inicialmente es cero y es mayor a medida que se aleja del eje de rotacin.

Con respecto a la ecuacin paramtrica correspondiente a la coordenada z : La nica fuerza actuante en la direccin de z es mg , de manera que la ecuacin de Newton en

esta direccin es: 2

2d z

mg mdt

0z g z g

La partcula, como no poda ser de otro modo al no haber rozamiento, tiene, en la direccin z , una aceleracin g . Entonces:

20

12

z z g t (4)

b) Planteo por el Mtodo de Lagrange Coordenadas generalizadas En principio, el sistema tiene tres grados de libertad, que corresponderan a las coordenadas x , z

y . Pero el valor de ya est determinado previamente por la funcin t , que es dato del problema.

Entonces, tenemos 2 grados de libertad y adoptaremos como coordenadas generalizadas a las coordenadas cartesianas ,x z de la partcula en el plano rotante. Energa cintica

El vector velocidad de la partcula, referido o visto desde el sistema fijo , pero expresado en funcin de sus proyecciones sobre los ejes en rotacin es:

v xi xj zk (5) En la figura (3) se ha dibujado el plano rotante ,x y

y all se han indicado las componentes xv

y

yv del vector velocidad expresado por la (5).

x

x0

t Figura 2

0 cos ( )x x h t

y

j

x

i

yv x

xv x i

m

Figura 3


El cuadrado del mdulo del vector velocidad resulta entonces: 2 2 2 2( )v x x z (6)

La energa cintica de la partcula es:

212

T mv

Si reemplazamos el valor de 2v dado por (6), se tendr: 2 2 21 1 1 ( )

2 2 2T mx mz m x (7)

Energa potencial, funcin lagrangiana, ecuaciones

Planteamos

V = mgz (8)

L = T V Reemplazamos en la funcin lagrangiana los valores de (7) y (8):

2 2 21 1 1 ( )2 2 2

L mx mz m x mgz

2

(9)

(10)

(11)

(12)

d Lmx

dt xL

m xx

d Lmz

dt zL

mgz

Las ecuaciones de Lagrange , referidas a cada una de las coordenadas generalizadas x , z son:

0

0

d L Ldt x x

d L Ldt z z

Reemplazando (9) (10) (11) y (12) en las ecuaciones de Lagrange resultan las siguientes ecuaciones diferenciales, para cada una de las coordenadas x , z :

2 00

mx m x

mz mg

2 00

x x

z g (13)

La solucin de la segunda de las (13), para las condiciones iniciales dadas, es inmediata:

20

12

z

z g

z z gt

v gt

(14)


la solucin de la primera de las (13) es: sen ( ) cos ( )x A h t B h t (15)

Determinaremos seguidamente las constantes, de acuerdo con las condiciones iniciales. Para 0t es 0x x , entonces:

0 0 cos 0x senh B h 0B x

Derivamos ahora, con respecto al tiempo, la (15): cos ( ) sen ( )x A h t B h t (16)

Pata 0t , es 0x , de lo cual resulta que: 0 cos 0 sen 0A h B h 0A

Entonces, la (15) queda, finalmente:

0 cos ( )x x h t (17) La velocidad en x de la partcula es:

0 sen ( )x x h t (18)

c) Reaccin N del plano sobre la partcula Para calcular el valor de la fuerza N

que el plano ejerce sobre la partcula usaremos la expresin correspondiente a la fuerza sobre la partcula que ve un observador del sistema no inercial

, ,x y z . Ver el artculo: Anlisis de las fuerzas de inercia, a partir del teorema de Coriolis en el captulo Leyes de Newton, fuerzas de inercia, expresiones (8) y (9).

irel arr corma F ma ma (1) Como lo que buscamos es conocer la reaccin N , que es perpendicular al plano ,x z , nos

interesa la proyeccin, en la direccin del eje y , de la ecuacin (1): irel arr cor

y y yma F ma ma

(2) Con respecto a las fuerzas que intervienen en la (2), podemos decir que:

0rely

ma (3) porque el movimiento de la partcula ocurre en el plano ,x z .

0arry

ma (4) porque la nica fuerza de inercia de arrastre que acta en la partcula, es la fuerza de inercia centrfuga, dada por la (1) de la parte (a) de este problema, 2in

xF m xi , ver tambin en la figura 1.

La nica fuerza de interaccin que acta sobre la partcula en la direccin normal al plano, es N (ver en la figura 4), entonces:

iy

F N j (5) La fuerza de inercia de Coriolis vale (ver en la figura 4):

2coriolma x j (6) Reemplazamos (3), (4), (5), y (6) en la (2), de lo que resulta:

2N j m x j (7) Si expresamos en forma escalar y reemplazamos el valor de x

de la (7) por su igual, dado por la (18) del tramo (b), resulta la siguiente expresin para el mdulo de la reaccinN :

202 sen ( )N m x h t (8)

En la figura 4 se observan la fuerza de Coriolis y la reaccin normal que actan sobre la partcula.


La (8) nos permite expresar las siguientes observaciones:

La reaccin normal es creciente a medida que la partcula se aleja del eje de rotacin

El valor de la reaccin normal coincide, en valor absoluto, con el de la fuerza de Coriolis. El sentido de la fuerza de Coriolis es tal, que hace que la partcula presione, empuje, contra el plano rotante y a su vez, ste ejerce una reaccin N

sobre la partcula.

En la direccin normal al plano, la fuerza resultante sobre la partcula es nula y corresponde a la suma de los vectores de igual mdulo y sentido opuesto iner corF y N .

En cambio, sobre el plano y en su direccin normal slo acta una fuerza -N : esta fuerza produce un momento con respecto al eje de rotacin en sentido contrario al sentido de giro del plano rotante.

Esto significa que si pretendemos que la velocidad angular se mantenga constante, tal como indica el enunciado del problema ser necesario aplicar un momento exterior al sistema plano rotante masa, para que el plano no pierda velocidad angular. Significa tambin que debe entregarse una potencia al sistema para que la velocidad rotacin se mantenga constante. Esta potencia suministrada se traducir, a su vez, en una energa cintica creciente de la masa.

iner corF

Plano rotante

m

N

O

Figura 4


Referencias bibliogrficas Bedford Fowler, Mecnica para Ingeniera, Dinmica, Addison Wesley Iberoamericana, 1996 y siguientes. Boresi Arthur, Schmidt Richard, Ingeniera Mecnica:Dinmica, Universidad de Wyoming, editora Thomson Learning, Mxico 2002 Argello Luis R, Mecnica, editorial Answer Just in Time, Mxico, 2000 Meriam L. - Kraige L.G., Mecnica para Ingenieros, Dinmica, editorial Revert, S.A. 1998 Marsicano, Fnix R. Mecnica, UBA, Facultad e Ingeniera, 1985 y siguientes Wells, Dare A.. Teora y Problemas de Dinmica de Lagrange Mxico, Mx : McGraw-Hill, 1972 Steidel R.F. Jr, Introduccin al estudio de las vibraciones mecnicas, editorial Cecsa, 1981. Spiegel, Murray R.. Teora y Problemas de Mecnica Terica, Mxico, McGraw-Hill,1979-1980 Synge-Griffith, Principios de Mecnica,.Mc. Graw Hill Book 1965 y siguientes. Symon Keith, Mecnica, Editorial Aguilar, 1979 y siguientes. Beer, F Jhonston, E Mecnica Vectorial para Ingenieros. Mxico, McGraw-Hill, 1998-2003 Longhini Pedro, Mecnica Racional, Palumbo Editores, Buenos Aires 1960 Marsicano Fnix, Mecnica, Facultad de Ingeniera de la UBA, 1980. Hertig Ricardo, Mecnica Terica, el Ateneo editorial, 1976. Targ S. Curso Breve de Mecnica terica, editorial Mir 1971 Yavorski Detlaff, Manual de Fsica, editorial Mir, Mosc, 1975 y siguientes

La digitalizacin y edicin de los originales se efectu durante 2004, 2005, 2006 y 2007. Reimpresiones en 2008, 2009 y 2010. Crdoba, Argentina.

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63103742 08 Dinamica de Lagrange

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