REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR

I.U.P. SANTIAGO MARIÑOCABIMAS-EDO.ZULIA

AUTOR:

JESÚS RONDÓN

CONDICIONES DE KUHN TUCKER Y LAGRANGE

C.I: 21211520

Historia

Condiciones de Kuhn TuckerFue desarrollada por Albert William Tucker (28 de noviembre de 1905 – 25 de enero de 1995), matemático nacido en Canadá, pero de nacionalidad norteamericana, que hizo grandes contribuciones en diversas disciplinas relacionadas directamente con la matemática y la física. Fue complementada por Harold Kuhn, quien permitió mejoras en el proceso, pero se le adjudico un papel secundario.

Aportes

Condiciones de Kuhn TuckerLos trabajos realizados por Albert William Tucker y Harold Kuhn trajeron múltiples beneficios en muchas áreas del conocimiento, la mayoría de ellos elaborados en universidades como la de Princeton, Cambridge y Harvard. Por nombrar algunas de las ciencias y temas a los que causo un efecto positivo son:•Topología.•Teoría de juegos.•Programación lineal.•Programación no lineal.•Optimización.

Definición

Condiciones de Kuhn Tucker

Se definen simplemente como una generalización del método de losmultiplicadores de la teoría de Lagrange para restricciones dedesigualdad.

Objetivo

Condiciones de Kuhn Tucker

Cubrir todos los aspectos necesarios para satisfacer los problemas relacionados con la optimización de programaciones lineales y no lineales, independientemente de la causa o de la intensidad de estas, otorgando como resultado final que no existan restricciones de desigualdad que generen incertidumbre.

Aplicación

Condiciones de Kuhn TuckerConsideremos el problema general de optimización:

Min f(x)Sujeto a:

gi(x) ≤ 0,i = 1,…,mhj(x) = 0,j = 1,…,l

Donde f(x) es la función objetivo a minimizar, gi(x) son las restricciones de desigualdad, con m y l con el número de restricciones de desigualdad e igualdad respectivamente.

Condiciones de regularidad

Condiciones de Kuhn Tucker

Este caso se denomina degenerado o anormal. La condición necesaria no tiene en cuenta las propiedades de la función sino la geometría de las restricciones.Existen una serie de condiciones de regularidad que aseguran que la solución no es degenerada, pues incluyen:

1) Cualificación de la restricción de independencia lineal (CRIL): los gradientes de las restricciones activas de desigualdad y los gradientes de las restricciones de igualdad son linealmente independientes en .

Condiciones de regularidad

Condiciones de Kuhn Tucker

2) Cualificación de la restricción de Mangasarian-Fromowitz (CRMF): los gradientes de las restricciones activas de desigualdad y los gradientes de las restricciones de igualdad son linealmente independientes positivos en .

3) Cualificación de la restricción de rango constante (CRRC): para cada subconjunto de las restricciones activas de desigualdad y los gradientes de las restricciones de igualdad, el rango en el entorno de es constante.

Condiciones de regularidad

Condiciones de Kuhn Tucker

4) Cualificación de la restricción de dependencia lineal constante positiva (DLCP): para cada subconjunto de restricciones activas de desigualdad y de gradientes de las restricciones de igualdad, si es linealmente dependiente positivo en entonces es linealmente dependiente positivo en el entorno de . ( es linealmente dependiente positivo si existe distintos de cero tal que )

5) Condición de Slater: para un problema únicamente con restricciones de desigualdad. Poco utilizado puesto a que en la práctica, se prefiere cualificación de restricciones más débiles, ya que proporcionan condiciones más fuertes.

Historia

Condiciones de LagrangeFue desarrollada por Joseph Louis de Lagrange (25 de enero de 1736 – 10 de abril de 1813), físico, matemático y astrónomo nacido en Italia, pero de nacionalidad norteamericana, que hizo grandes contribuciones en diversas disciplinas, y que es conocido por todos como un “adelantado a su época”, debido a que en los años en que se desempeño creo trabajos que aún en el presente son considerados como vigentes.

Aportes

Condiciones de Lagrange

Entre las magnificas creaciones y procesos que perfecciono Lagrange se encuentran:•El haber dado a conocer mucho de lo que en la actualidad se conoce sobre astronomía.•El haber desarrollado la mecánica Lagrangiana.•El haber demostrado el teorema de valor medio.

Definición

Condiciones de Lagrange

En optimización, se define como un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones.

Objetivo

Condiciones de Lagrange

Al permitir encontrar los puntos máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones, permite que esta teoría se adapte a problemas de la vida cotidiana o inclusive mucho más complejos, por permitir ver los resultados óptimos y peores posibles, manejando con ello una amplia gama de oportunidades para visualizar el panorama con el que se encuentra el o los individuos al ejecutar una actividad o proyecto.

Aplicación

Condiciones de LagrangeSea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ∈ Rn}. Se definen s restricciones gk (x) = 0, k=1,..., s, y se observa (si las restricciones son satisfechas) que:

Se procede a buscar un extremo para h:

lo que es equivalente a

Diferencias

Diferencias entre condiciones

La principal diferencia entre las condiciones de Kuhn Tucker y Lagrange, y a pesar que comparten más similitudes que diferencias, es que la primera fue creada con el fin de dar solución a problemas relacionados con la programación lineal, la segunda se adapta a una mayor cantidad de casos (inclusive cotidianos), por lo que se podría decir que a pesar de tener un mayor tiempo desde su creación, tiende a ser más importante la de Lagrange.