MAXIMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES

Profesor: Carlos Mendizábal Jiménez

1. Hallar los valores extremos (máximos y mínimos relativos) de la función: f(x,y) = x2 + y2

R: f(0,0) = 0, es un mín.loc.

2. Hallar los extremos relativos de la función: f(x,y) = 3x2 – 4xy + 4y2 – 4x +8y + 4 R: f(0,-1) = 0; es un mín.loc.

3. Hallar los valores extremos de la f unción: f(x,y) = 4y3 + x2 -12y2 -36y + 2 R: (0,-1) es un punto silla f(0,3) = -106 es un mín.loc.

4. Los ingresos semanales totales (en dólares) de Cronosonic al producir y vender sussistemas de sonido están dados por:

I(x,y) = -

donde x denota el número de unidades ensambladas e y indica el número de paquetes producidos y vendidos por semana. El costo total por semana que se puede atribuir a la producción de estos sistemas es: C(x,y) = 180x + 140y +5000dólares, donde x e y tienen el mismo significado anterior. Determinar el número de unidades ensambladas y de paquetes que Cronosonic debe producir cada semana para maximizar la ganancia: U(x,y). R: U(208,64) = 10608 dólares.

5. Hay que construir una caja rectangular abierta con un volumen de 108 , u unidad de longitud, a partir de una hoja de metal. Encuentre las dimensiones de la caja si la cantidad por utilizar en su construcción debe ser mínima.

R: 6; 6 y 36. Determine los valores extremos, si procede, de cada función:

6.1. f(x,y) = 1 – x2 – y2 R: f(0,0) = 1; máx.loc.6.2. f(x,y) = x2 – y2 -2x + 4y +1 R: f(1,2) = 4; punto silla6.3. f(x,y) = x2 +2xy + y2 – 4x + 8y – 1 R: f(8,-6) = -416.4. f(x,y) = 2x3 + y2 – 9x2 – 4y + 12x – 2 R: f(1,2) = -1; punto silla

f(2,2) = -2; mín.loc.

6.5. f(x,y) = x3 + y2 – 2xy + 7x – 8y + 4 R: ; silla

; mín.loc.

6.6. f(x,y) = x3 – 3xy + y3 – 2 R: f(0,0) = -2; punto silla f(1,1) = -3; mín.loc.

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6.7. R: f(2,1) = 6; mín.loc.

6.8. R: f(0,0) = -1; punto silla

6.9. R: f(0,0) = 1; mín.loc.

6.10. f(x,y) = ln(1 + x2+ y2) R: f(0,0) = 0; mín.loc.

MAXIMOS Y MINIMOS CONDICIONADOS

1. Una empresa desea construir un tanque rectangular con capacidad de 1500 pies cúbicos de agua. La base y las paredes verticales deberán ser de concreto y la tapa de acero. Si el costo del acero es el doble por unidad de área que el de concreto,determine las dimensiones del tanque que minimizan el costo total de construcción.

R: 10; 10; 15 pies.2. (Decisiones sobre inversiones en mano de obra y capital). Empleado L unidades

de mano de obra y K unidades de capital, una empresa puede elaborar P unidades

de su producto, con: .

Le cuesta a la empresa U.S$ 100 por cada unidad de mano de obra y U.S$ 300 porcada unidad de capital empleado. La empresa dispone de una suma de U.S$45000para propósitos de producción. Determine las unidades de mano de obra y de capital que la empresa debería utilizar con objeto de maximizar su producción. R: 300 unidades de mano de obra 50 unidades de capital

3. Una compañía puede destinar su planta a la elaboración de dos tipos de productos, A y B. Obtiene una utilidad de 4 dólares por unidad de A y de 6 dólares por unidad de B. Los números de unidades de los dos tipos que puede producir mediante la planta están restringidos por la ecuación de transformación del producto: x2 + y2 + 2x + 4y – 4 = 0 con x e y los números de unidades (en miles) de A y B, respectivamente, producidas por semana. Halle las cantidades de cada tipo que deben producirse para maximizar la utilidad. R: 664 unidades de A por semana 496 unidades de B por semana

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4. El costo de producir x modelos regulares , y de y modelos de lujo del producto de una empresa está dado por la función de conjunto de costo:

C(x,y) = x2 + 1.5y2 + 300 ¿Cuántas unidades de cada tipo debe producirse a fin de minimizar los costos los costos totales si la empresa decide producir un total de 200 unidades? R: x = 120; y = 80

5. Mediante el método de multiplicadores de Lagrange determine los puntos críticos de sujetos a las restricciones dadas: 5.1. (x,y) = x2 + y2 ; 2x + 3y = 7

R:

5.2. (x,y) = 3x + 2y ; x2 + y2 = 13 R: (3,2), (-3,-2) 5.3. (x,y,z) = x2 + y2 + z2 ; 2x + 3y + 4z = 29 R: (2,3,4) 5.4. (x,y,z) = x2 + 2y2 – 3z2 ; x + 2y - 3z = 5 ; 2x – 3y + 6z = -1

R:

6. Hallar los máximos y los mínimos de la función f(x,y) = xy, sujeta a la restricción

R: f(2,2) = f(-2.-2) = 4, máx. f(2,-2) = f(-2,2) = -4, mín.

7. Hallar el valor mínimo de la función f(x,y) = x2 + y2 sujeta a la restricción xy = 1. R: f(1,1) = f(-1,-1) = 2

8. Un fabricante tiene US$8000 para invertir en el desarrollo y la promoción de un nuevo producto. Se estima que si se gastan x miles de dólares en desarrollo, y miles de dólares en promoción, las ventas serán aproximadamente:

unidades

¿Cuánto dinero debe asignar el fabricante a desarrollo y cuánto a promoción paramaximizar las ventas?

R: en desarrollo x = 2000 en promoción y = 6000

9. Un agricultor desea cercar un área de pastos rectangular, a la orilla de un río. El área tiene 3200 metros cuadrados y no es necesaria la cerca de la orilla del río.Hallar las dimensiones del área que requieren la menor cantidad de cerca. R: 40 por 80 metros.