PROBLEMAS DE MAXIMOS Y/O MÍNIMOS

Prof. Luis Martínez Catalán Prof. Luis Martínez Catalán 20082008

a)

Hallar dos números enteros positivos cuya suma sea 20 y

Su producto sea máximo.

b) La suma de sus cuadrados sea mínima.

c) El producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro sea máximo.

Solución:

Sea “x” uno de los números, el otro es “20-x”

a) Sea el producto. )(xp

xxxxxxxp 2020)20()( 22

dx

xdp )( 100202 xx

2

2 )(

dx

xpd 2

10

2

2 )(

xdx

xpd 02

Para el producto de los números es máximo10x

1001010)1020(10)10( p

b) Sea la suma de los cuadrados de los números )(xS

)(0)10(,04)(

100404)(

40040240400)(

)20()(

222

22

xSSRxxS

xxxS

xxxxxxS

xxxS

tiene un mínimo relativo

para y es 10x 200)10(min S

c) 23 )20()( xxxP

)(

1

xP )(xP

xx

20

23

23 )20()( xxxP

xx 20

23

)20(2)20(3)( 322 xxxxxP

xxxxxP 2)20(3)20()( 2

)20ln(2ln3)(ln xxxP

0)560)(20()( 2 xxxxP

120560 3 xx

)()( xPxP

0)0( P

)560ln()20ln(ln2)(ln xxxxP

xxx 560

5

20

12

)20(5)12(5)12()20(10)( 22 xxxxxxxxP

no hay información, además el producto 0 no es un producto máximo (valor extraño)

00 12 xx

20020 2 xx

0)12(

0)20(

0)20(

P

P

P un mínimo del producto

(valor extraño)

un máximo para y el

producto es

12x23 812)12( máxP

,

Ej: Demostrar que entre todos los terrenos rectangulares de perímetro dado, conviene adquirir (invertir), en aquel que es cuadrado, por ser de área máxima.

Solución

syx 222

y

x

xsysyx

Deseamos qué el área del rectángulo sea máxima

yxA , sustituyendo en función de , se tiene:y x

2

)(

xxsA

xsxA

Derivando con respecto a

dx

dA

Sustituyendo en

xs 2

x

xsxdx

dA20

2

s

,022

2

dx

Adpara x

máxAs

2

xsy

sy22

ss

Los lados del rectángulo de área máxima son e , que son x2

s y2

s

los lados de un terreno cuadrado

4

1

22ss 2smáxA

Ej: Un barco se fleta para un paseo. El precio del pasaje es de $100 y el mínimo de personas inferior o igual a 100, la compañía reduce el pasaje en $0,6 por cada persona que exceda los 100. ¿Qué número de pasajeros produce la mayor ganancia, si la capacidad del barco es para 150 personas?

Solución

x6,0100 x100

: precio de c/u de los pasajes

: número de pasajeros

33402,10

2,140

6,01006,060

)6,0100()100(

xxC

xC

xxC

xxC

El número de pasajeros es 133, el que produce mayor ganancia.

36,0/103

16,0/101

uca

uca

DEF: Si y son funciones de , tales que y

; entonces, la función tome la forma

indeterminada en a.

axlím

f

REGLA DE L’HÔPITAL, atribuida al matemático frances Guillaume Francois de L’Hôpital (1661 – 1707)

Sea y funciones en , las cuales son diferenciables en un intervalo excepto, posiblemente, con el número

xg 0)( xf

axlím

0)( xg)(

)(

xg

xf

0

0

TEOREMA: (para la indeterminación )0

0

f g xI Ia

Supóngase que para todo en ,

axlím

x

ax

0)( xf Lxg

xf

)(

)(

0

0

I 0)( ag

Entonces, si yax

lím

0)( xg y Si ,ax

lím

entonces se cumple ax

lím L

xg

xf

)(

)(

NOTA: la regla de L’Hôpital también es válida para la forma

indeterminada si

Ej:

1) 4x

lím

43

122

2

xx

xx HL'

4xlím

5

7

32

12

x

x

2) 2x

lím 2

42

x

x HL'2x

lím4

1

2x