Mximos y mnimos

Introduccin

El anlisis del comportamiento de las funciones que a continuacin se explicar puede aplicarse en numerosas situaciones de la vida cotidiana para conocer en qu condiciones se obtienen los resultados ptimos, mximos o mnimos, o cmo se debe actuar para influir en las variables en la forma deseada, o en qu intervalo de variacin de una de ellas la otra aumenta o disminuye ms rpidamente.

Como se ver, para ello bastar con escribir la relacin entre las variables como una

funcin, fijar el objetivo deseado y hacer el anlisis correspondiente.

Mximos y mnimos relativos y absolutos

Se dice que la funcin f alcanza su valor mximo en un punto a si f x( ) f a( )

para toda x de su dominio. De la misma forma se dice que la funcin f alcanza su

valor mnimo en un punto a si f x( ) f a( ) para toda x de su dominio, como se

muestra a continuacin.

Dada una funcin f(x) y dos arcos PQ y QR de la curva representativa de la funcin f(x), si para un valor determinado a de la variable independiente x en el intervalo [x1, x2] su ordenada correspondiente es mayor que la ordenada de cualquier

otro punto x del intervalo, esto es:

f x( ) f a( )

Se dice que f(a) es el valor mximo o que la funcin alcanza su mximo relativo

en el punto a.

Asimismo, la funcin f(x) alcanza su mnimo relativo en el punto b dentro del

intervalo [x2, x3], ya que para cualquier x dentro del intervalo se tiene f b( ) f x( ).

Para calcular el valor mximo absoluto de una funcin en un intervalo cerrado

[a,b], es necesario comparar los mximos relativos de la funcin en ese intervalo con

sus valores f(a) y f(b) y elegir el mayor de todos.178 Unidad 5

Asimismo, para calcular el valor mnimo absoluto de una funcin en un intervalo

cerrado [a,b] es necesario comparar los mnimos relativos de la funcin en el intervalo

con sus valores f(a) y f(b), y elegir el menor de todos.

Definicin. Sea f(x) una funcin continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces

c (a, b)es un punto crtico si f '(c) = 0 o f '(c) no existe

Instrucciones:

Resuelve cada uno de los ejercicios presentados a continuacin.

Puedes resolver tus ejercicios a mano, con letra legible y escanearlos o tomar una fotografa que debers pegar en un documento de word. Otra opcin es que utilices el editor de ecuaciones de word para capturar los ejercicios con sus soluciones.

Maximos y minimos 1. Sea la funcin:

xxx

xf 43

5

5)(

35

a) Calcula los puntos crticos y de inflexin de f(x).

b) Define los intervalos crecientes y decrecientes.

c) Define los intervalos de concavidad.

d) Clasifica los puntos crticos mediante el criterio de la 2 derivada como mximos, mnimos o puntos de inflexin.

e) Esboza la grfica de f(x).