Solucion de examen rapido maximos y minimos

P á g i n a 1 | 4

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Calcular los máximos y mínimos de cada una de las siguientes funciones así como

donde es creciente y decreciente

a. 5 4x 5x

Solución

Primero encontramos los puntos críticos de la función, a través del criterio de la

primera derivada

4 3 3y'(x) 5x 20x y'(x) 5x x 4

Esto implica que los puntos críticos del polinomio son:

1 2x 0;x 4

Tenemos los siguientes conjuntos solución para determinar si la función es

creciente, decreciente, y si tiene un máximo local o mínimo local.

Conjuntos Valor de

x 3y'(x) 5x x 4

Creciente/Decrecient

e

f ' 0 o f ' 0

,0 x 1 3

y'(x) 5 1 1 4

Creciente f ' 0

0,4 x 2 3

y'(x) 5 2 2 4 Decreciente f ' 0

4, x 5 3

y'(x) 5 5 5 4 Creciente f ' 0

Por lo tanto en 1x 0 tenemos un Máximo Local en 0,0

5 4

5 4

y(x) x 5x

y 0 0 5 0 0

Por lo tanto en 2x 4 tenemos un Máximo Local en 4, 256

P á g i n a 2 | 4


5 4

5 4

y(x) x 5x

y 4 4 5 4 256

Su grafica seria:

b.

42

2

ax

x

c. Solución

Primero encontramos los puntos críticos de la función, a través del criterio de la

primera derivada

2 4 3 3 4 4y'(x) 2x 2a x y'(x) 2x x a

Esto implica que los puntos críticos del polinomio son:

1 2x 0;x a

P á g i n a 3 | 4


Tenemos los siguientes conjuntos solución para determinar si la función es

creciente, decreciente, y si tiene un máximo local o mínimo local.

Conjuntos Valor de

x 3 4 4y'(x) 2x x a

Creciente/Decrecien

te

f ' 0 o f ' 0

,0 x a 3 4 4y'(x) 2 a a a 0

------------------ f ' 0

0,a ax

2

3 4

4

4 4 44

3 3

a ay'(x) 2 a

2 2

2 a 16 a 16ay'(x) a

16 16a a

8

y'(x) 15a

Decreciente f ' 0

a, x 2a

34 4

3 4 4

2ay'(x) 2 2a a

2

y'(x) 2 a 16a a

y'(x) 30a

Creciente f ' 0

Por lo tanto en 1x 0 tenemos no tenemos ni un Máximo Local ni Mínimo Local

42

2

42

2

ax

x

a0 indefinido

0

Por lo tanto en 2x a tenemos un Mínimo Local en 2a,2a

42

2

42 2

2

42 2

2

ay(x) x

x

ay a a 2a

a

ay a a 2a

a

P á g i n a 4 | 4


Su grafica seria:

x^5-5x^4

Input:

x5

- 5 x4

Plots:

-2 2 4

x

-600

-400

-200

200

400

y

Hx from -2 to 4L

-30 -20 -10 10 20 30

x

-1 ´ 107

-5 ´ 106

5 ´ 106

1 ´ 107

y

Hx from -30 to 30L

Alternate forms: Step-by-step solution

x4 Hx - 5L

Hx - 4L5+ 15 Hx - 4L4

+ 80 Hx - 4L3+ 160 Hx - 4L2

- 256

Roots: Step-by-step solution

x � 0

x � 5

Generated by Wolfram|Alpha (www.wolframalpha.com) on March 17, 2014 from Champaign, IL.

© Wolfram Alpha LLC— A Wolfram Research Company1

Properties as a real function:

Domain:

R Hall real numbersLRange:

R Hall real numbersLSurjectivity:

surjective onto R

R is the set of real numbers »

Derivative: Step-by-step solution

â

âx

Ix5- 5 x

4M � 5 Hx - 4L x3

Indefinite integral: Approximate form Step-by-step solution

à I-5 x4

+ x5M â x �

x6

6

- x5

+ constant

Local maximum:

max9x5

- 5 x4= � 0 at x � 0

Local minimum:

min9x5

- 5 x4= � -256 at x � 4

Definite integral:

More digits

à0

5I-5 x4

+ x5M â x � -

3125

6

» -520.833

Definite integral area below the axis between the smallest and largest real roots:

More digits

à0

5I-5 x4

+ x5M ΘI5 x

4- x

5M â x � -3125

6

» -520.833

ΘHxL is the Heaviside step function »

x^5-5x^4



x^2+Ha^4�x^2L

Input:

x2

+a

4

x2

3D plot: Show contour lines

-0.2

0.0

0.2

a

-0.2

0.0

0.2

x

0.0

0.2

0.4

0.6

Contour plot:

-0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

a

x

Alternate forms: Step-by-step solution

a4

+ x4

x2

a4

+ x4

x2



Roots: Approximate forms

x � - -14

a , a ¹ 0

x � -14

a , a ¹ 0

x � -H-1L3�4a , a ¹ 0

x � H-1L3�4a , a ¹ 0

Properties as a real function:

Domain:

8x Î R : x ¹ 0<Parity:

even

R is the set of real numbers »

Derivative: Step-by-step solution

¶

¶x

x2

+a

4

x2

� 2 x -2 a

4

x3

Indefinite integral: Approximate form Step-by-step solution

à a4

x2

+ x2

â x �

x4

- 3 a4

3 x

+ constant

Global minima:

min:x2

+a

4

x2

> � 2 a2

for a � x

min:x2

+a

4

x2

> � 2 a2

for x � -a

x^2+(a^4/x^2)



Series representations:

a4

x2

+ x2

� ân=-1 ¥

¥1 n � 2

a4

n � -2x

n

a4

x2

+ x2

� ân=-1 ¥

¥ 1

x2

n � 4

x2

n � 0

an

a4

x2

+ x2

� ân=-1 ¥

¥

1

x2

n � 4

4

x2

Hn � 1 or n � 3L6

x2

n � 2

1

x2

+ x2

n � 0

H-1 + aLn

a4

x2

+ x2

� ân=-1 ¥

¥H-1Ln

a4 H1 + nL n > 2

1 + H-1Ln

a4 H1 + nL Hn � 0 or n � 2L

2 - 2 a4

n � 1

H-1 + xLn

x^2+(a^4/x^2)



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