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Guía del docente
Eladio Jorge Oliveros Saúco
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Índice & presentación de la guía
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Carta a los maestros 3
Componentes Curriculares
Enfoque pedagógico del Documento de Actualización y Fortalecimiento
Curricular de la Educación Básica 4
Los componentes curriculares: ejes, bloques, destrezas, criterios de desempeño, conocimientos asociados 5
Componentes Metodológicos
Fundamentos, contenidos y orientaciones para el área de Matemática según
el Documento de Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica 6
Lineamientos metodológicos 9
Atención a la diversidad 10
El uso de situaciones de la vida real como fuente de conocimiento. 12
El ciclo del aprendizaje en el aula 13
Planificación de una clase modelo 14
Descripción de los textos
Conoce tu libro 16
Planificadores de los bloques curriculares 18
La evaluación en nuestros textos 30
Prueba de diagnóstico 31
Pruebas de módulo 32
Exámenes trimestrales 38
Componentes Didácticos
Actividades adicionales 44
Metodología para el tratamiento de conceptos y teoremas 56
Metodología para desarrollar destrezas 58
Metodología para la resolución de problemas 60
Desarrollo de un proyecto de aula 63
Solucionario 64
Bibliografía 72
A los maestros
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Estimados docentes:
Grupo Editorial Norma, en su afán de apoyar los cambios en la educación del país, presenta su nueva serie de textos denominada
, dirigida a los estudiantes de Educación Básica, en cuatroáreas de estudio: Entorno Natural y Social, Matemática, Lengua y Literatura y Ciencias Naturales.
Los textos de la serie están concebidos y elaborados de acuerdo con las demandas curriculares y didácticas propuestas en el Documento de Actualización y Fortalecimiento Curricular vigen-te desde el 2010.
Plantean el desarrollo de las destrezas con criterio de desempeño, contenidos asociados y ejes transversales, y responden a la lógica de organización propuesta en el documento, por medio de ejes de aprendizaje y bloques curriculares.
Los docentes podrán encontrar, no solo una relación directa entre los requerimientos del Ministerio de Educación, sino una interpretación enriquecedora que extiende y amplia la propuesta oficial.
Las guías del docente de la serie constituyen una herra-mienta de auto-capacitación y asistencia efectiva para los maestros. Explican cómo están elaborados los textos, su aplicación y funciona-miento; ofrecen instrumentos que facilitan la comprensión del diseño curricular del Ministerio de Educación; proveen modelos de diseño micro-curricular, solucionarios y herramientas para la evaluación y proponen sugerencias metodológicas que ayudan a enriquecer las didácticas.
Esperamos que los textos y las guías del maestro de la serie sean un apoyo efectivo en la labor del docente y en el proceso de aprendizaje del estudiante.
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Componentes Curriculares
Bases Pedagógicas del Documento de Actualizacióny Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica
¿En qué consiste el enfoque pedagógico del
Documento de Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica?
• Desarrollo de la condición humana y la com-
prensión entre todos y la naturaleza. Subraya
la importancia de formar seres humanos con
valores, capaces de interactuar con la sociedad
de manera solidaria, honesta y comprometida.
• Formación de personas con capacidad de resolver
problemas y proponer soluciones; pero, sobre
todo, utilizar el conocimiento para dar nuevas
soluciones a los viejos problemas. Propicia el de-
sarrollo de personas propositivas y capaces de
transformar la sociedad.
• Estimula la apropiación de valores como la solida-
ridad, honestidad, sentido de inclusión y respeto
por las diferencias. Insiste en la necesidad de
formar personas que puedan interactuar en un
mundo donde la diferencia cultural es sinónimo
de riqueza.
• Propone una educación orientada a la solución
de los problemas reales de la vida, la formación
de personas dispuestas a actuar y a participar
en la construcción de una sociedad más justa
y equitativa.
• Enfatiza el uso del pensamiento de manera críti-
ca, lógica y creativa; lo que implica el manejo de
operaciones intelectuales y auto reflexivas.
• Subraya la importancia del saber hacer; el fin
no radica en el conocer, sino en el usar el cono-
cimiento como medio de realización individual
y colectiva.
• Los conocimientos conceptuales y teóricos se in-
tegran al dominio de la acción, o sea al desarrollo
de las destrezas.
• Sugiere el uso de las TIC como instrumentos
de búsqueda y organización de la información.
• Prioriza la lectura como el medio de comprensión
y la herramienta de adquisición de la cultura.
• Propone una evaluación sistemática, criterial e in-
tegradora que tome en consideración, tanto la
formación cognitiva del estudiante: destrezas
y conocimientos asociados, como la formación
de valores humanos.
El Ministerio de Educación tiene como objetivo central y progresivo el mejoramiento de la educación del país, para
ello emprende varias acciones estratégicas.
En este contexto, presenta el Documento de Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica, con el
objetivo de ampliar y profundizar el sistema de destrezas y conocimientos que se desarrollan en el aula y de forta-
lecer la formación ciudadana en el ámbito de una sociedad intercultural y plurinacional.
El Documento, además de un sistema de destrezas y conocimientos, presenta orientaciones metodológicas e indi-
cadores de evaluación que permiten delimitar el nivel de calidad del aprendizaje.
El Documento de Actualización y Fortalecimiento Curricular ofrece a los docentes orientaciones concretas sobre
las destrezas y conocimientos a desarrollar y propicia actitudes favorables al Buen Vivir, lo que redundará en el
mejoramiento de los estándares de calidad de los aprendizajes.
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Componentes Curriculares
Descripción de los componentes curriculares del
Documento de Actualización y Fortalecimiento Curricular de la Educación Básica
El referente curricular de la Educación Básica se ha estruc-
turado sobre la base del siguiente sistema conceptual:
¿Qué es el perfil de salida?
Es la expresión de desempeño que debe demostrar un
estudiante al finalizar un ciclo de estudio; desempeño
caracterizado no solo por un alto nivel de generaliza-
ción en el uso de las destrezas y conocimientos, sino
por la permanencia de lo aprendido.
¿Qué son los objetivos de área?
Orientan el desempeño integral que debe alcanzar el
estudiante en un área de estudio: el saber hacer, los co-
nocimientos asociados con este “saber hacer”, pero, so-
bre todo, la conciencia de la utilización de lo aprendido
en relación con la vida social y personal.
¿Qué son los objetivos del año?
Expresan las máximas aspiraciones a lograr en el proce-
so educativo dentro de cada área de estudio.
¿A qué se llama mapa de conocimientos?
Es la distribución de las destrezas y conocimientos nu-
cleares que un alumno debe saber en cada año de estudio.
¿Qué son los ejes de aprendizaje del área?
Corresponden a las macro-destrezas que se desarrollan
en el área: escuchar, hablar, leer y escribir.
¿Qué es el trabajo con las tipologías textuales?
El medio que se utiliza para desarrollar las macro-destre-
zas es el trabajo con las tipologías textuales. Por ejemplo:
“Las recetas” es el tipo de texto que se utiliza como eje
vertebrador para lograr la competencia comunicativa
en uno de los bloques de quinto año.
¿Qué son los bloques curriculares?
Componentes de proyección curricular que articula e
integra el conjunto de destrezas y conocimientos alre-
dedor de un tema central de la ciencia o disciplina que
se desarrolla.
¿Qué son las destrezas con criterios de desempeño?
Son criterios que norman qué debe saber hacer el estu-
diante con el conocimiento teórico y en qué grado de
profundidad.
¿Cómo se presentan los contenidos?
Integrados al “saber hacer”, pues interesa el conoci-
miento en la medida en que pueda ser utilizado.
¿Qué son los indicadores esenciales de evaluación?
Se articulan a partir de los objetivos del año; son evi-
dencias concretas de los resultados del aprendizaje
que precisan el desempeño esencial que debe demos-
trar el estudiante.
¿Cómo funciona la evaluación con criterios de
desempeño?
Hace que se vea a la evaluación como un proceso continuo
inherente a la tarea educativa, que permite al maestro
darse cuenta de los logros y los errores en el proceso
de aprendizaje, tanto del maestro como del alumno, y
tomar los correctivos a tiempo.
¿Qué son los ejes transversales?
Son grandes temas integradores que deben ser desarrolla-
dos a través de todas las asignaturas; permiten el análisis
de las actitudes, la práctica de valores y en general, dan
a la educación un carácter formativo e integrador.
Promueven el concepto del Buen Vivir como el esfuer-
zo personal y comunitario que busca una convivencia
armónica con la naturaleza y con los semejantes:
• La formación ciudadana y para la democracia.
• La protección del medioambiente.
• El correcto desarrollo de la salud y la recreación.
• La educación sexual en la niñez y en la adolescencia.
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Componentes Metodológicos
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La propuesta del Ministerio de Educación
plantea que tanto el aprendizaje como la
enseñanza de la matemática deben estar
enfocada en el desarrollo de las destrezas
necesarias para que los estudiantes sean ca-
paces de resolver problemas cotidianos a la
vez que fortalecen su pensamiento lógico
y creativo.
En un mundo “matematizado” la mayoría de
las actividades cotidianas requieren decisio-
nes basadas en la matemática; esta situación
hace que nos interese esta disciplina más que
como fin como instrumento para formar pen-
sadores lógicos, críticos, capaces de resolver
problemas.
La mayoría de las acciones que desarrolla el
trabajador y profesional modernos exigen la
utilización de operaciones mentales y de la
aplicación de los conocimientos matemáticos.
(Ilustración de un ingeniero o un físico en un
laboratorio)
Desde esta perspectiva interesa proveer a
los estudiantes de conceptos matemáticos
significativos, bien aprendidos y con la pro-
fundidad necesaria, pero como instrumentos
operativos para el análisis y solución de pro-
blemas de la cotidianidad.
Estuvimos acostumbrados a un aprendizaje
de la matemática fragmentado en sistemas,
que no hacía relación entre los conceptos y
destrezas de un sistema y otro; desenfocado
de la realidad, como si la solución de los pro-
blemas no requiriera no solo del concurso de
todo el pensamiento matemático además del
de las otras disciplinas.
La Reforma plantea dinamizar el pensamiento
matemático más que desde la lógica de la dis-
ciplina desde puesta en práctica; recordando
que en el plano de lo concreto la organización
de lo abstracto no funciona de la misma ma-
nera y que los compartimentos de las ciencias
desaparecen ante la dinámica de las situacio-
nes de la vida.
Este planteamiento estimula al maestro a re-
acomodar su visión y metodología de ense-
ñanza a partir de una nueva lógica de aprendi-
zaje que va desde la acción, con la priorización
de las destrezas; situación puede constituirse,
al comienzo, en un elemento desestabilizador
para el maestro, quien ha estado acostumbra-
do a ver la enseñanza-aprendizaje de la mate-
mática desde los contenidos disciplinares y no
desde lo que debe hacer con ellos.
Por esta razón las destrezas y los contenidos
han sido seleccionados no solo en función de
los esquemas y estructuras de razonamiento
de los estudiantes de acuerdo con su edad, el
entorno que les rodea, de sus intereses y sus
necesidades, sino desde qué puede hacer con
ellos en la práctica.
Este enfoque estimula en el alumno la capaci-
dad de aprender, interpretar y aplicar la mate-
mática a partir de situaciones problemáticas
de la vida diaria.
Los fundamentos, contenidos y orientaciones del Área de Matemática
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Los textos para Matemática secundaria expresan con fidelidad y cuidado el modelo pedagógico
propuesto, enriquecido con el producto de la experiencia acumulada por autores, editores de
textos y capacitadores tanto a nivel de la educación particular como pública, especialmente esta
última.
Se ha organizado los textos para la enseñanza de la Matemática a través de la estructuración de
seis módulos.
Cada uno de los seis módulos desarrolla los conceptos, teoremas y las destrezas de varios blo-
ques curriculares, integrándolos de manera lógica, práctica y creativa. Este tipo de planificación
modular permite un manejo más globalizador de las destrezas y las capacidades para resolver
problemas intra y extramatemáticos.
Las páginas de entrada de los módulos contienen lecturas e imágenes que, además de expresar
la realidad de nuestro o región, se conectan con los contenidos que serán objetos de aprendiza-
je. Aquí aparecen las destrezas y contenidos que se van a desarrollar en el módulo, se sugieren
actividades para reflexionar y se proponen ejercicios que activan conocimientos y matematizan
el tema de la Lectura. Se señalan y describen, además, los ejes transversales de aprendizaje que
contextualizarán los temas.
En el inicio de cada lección, los profesores encontrarán tres elementos básicos:
¿Qué sé? Activa los conocimientos previos de los alumnos sobre el tema y los motiva hacia el
aprendizaje.
Para la vida. Contesta a los estudiantes, a través de alguna aplicación práctica, cómo y para
qué usará el contenido de la lección en la formación de su razonamiento y en la vida práctica.
Para Comenzar. Breve introducción del tema de la lección que muestra la importancia del
mismo y motiva la necesidad de un nuevo aprendizaje.
Mediante el uso del pensamiento crítico y el razonamiento, el proceso de aprendi-
zaje se desarrolla en momentos ordenados y bien definidos mediante los cuales se
propicia la construcción de los conceptos, el tratamiento de los teoremas, el desa-
rrollo de las destrezas y la creatividad en la resolución de problemas.
Propuesta de los textos para el Área de Matemática en Secundaria
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Zona de Aplicación. Permite al estudiante la aplicación inmediata del conocimiento al tiem-
po que propicia la fijación y sistematización de las destrezas matemáticas adquiridas en la lección.
Adicionalmente, nuestros textos, abren ventanas de extensión del conocimiento por medio de
recursos adicionales que permiten:
Conexiones con la vida. Establece relación con los ejes transversales del conocimiento.
Sí Se Puede. Desarrollo del pensamiento lógico y lateral, además de potenciar las destrezas
del trabajo racional unidas a la creatividad.
TIC. Uso de todo tipo de recursos tecnológicos; búsqueda y extensión del conocimiento.
Vocabulario. Refuerzo de los términos de la matemática.
Compruebo lo que sé. Actividades de autoevaluación para que el estudiante tome con-
ciencia de su aprendizaje en cada uno de los módulos y evalúe sus procesos, determine sus
fortalezas y debilidades.
El Proyecto de Integración. Explicita la relación e integración entre los diferentes elemen-
tos matemáticos entre si, ofreciendo la oportunidad de aplicar holísticamente las destrezas y
capacidades en la solución de un problema real.
Con mis palabras. Espacio que tiene el estudiante para verbalizar y socializar el aprendizaje
logrado en el módulo.
Ruta Saber. Comienza con una pequeña lectura relacionada con interesantes temas de la
matemática que ayudan al estudiante a comprender la importancia que tiene esta asignatura en
la transformación de la realidad objetiva. A continuación se propone una prueba estandarizada,
que se aplica cada dos módulos, que ayuda al estudiante al desarrollo de su razonamiento y lo
entrena para las pruebas de medición del aprendizaje que aplica el estado ecuatoriano.
El Sumak Kawsay o teoría del Buen Vivir es un concepto clave que rechaza la idea del hom-
bre como dueño y señor de la naturaleza y mas bien lo ve como parte de ella.
Significa alejarse del consumismo, individualismo y la búsqueda frenética del lucro por encima
de la preservación de la naturaleza. Promueve la relación armónica entre los seres.
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Componentes Metodológicos
El siguiente mapa resume los componentes metodológicos fundamentales en el proceso de
aprendizaje.
Lineamientos metodológicos generales
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TIC
bibliográficos
textos
videos
la realidad
Los recursos
3Tipo de
evaluación
Técnicas de
Observación
Herramientas
5Clima
emocional
Ambiente que el profesor
imprime en clase
6Confianza
Académica
Aprendizajes significativos, útiles
para la vida
1Selección de
conocimientos
Destrezas
activan procesos
Contenidos
significativos
importantes
cultura universal
actualizados
Valores
ejes transversales
2
Individual
atención a las
diferencias
Grupal
cooperativo
Enfoque
al aprendiz
es la
inventiva, estrategia, técnica
que se utiliza conscientemente
en el proceso de aprendizaje
repercute en
La metodología
7
Indagación. Estudio de casos,
proyectos, investigaciones,
cuestionamiento experimental.
Observación. Deducción, induc-
ción, comparación, clasificación,
análisis de perspectivas.
Reflexión. Resolución de proble-
mas, crítica, invención, soluciones.
Conceptualización. Construcción
de conceptos.
Estrategias
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La diversidad se presenta en todos los órdenes
de la vida: en el tipo de familia al que pertene-
cemos (familias disfuncionales, sobreprotec-
toras, poco afectivas); en las peculiaridades
psicológicas (timidez, hiperactividad, compul-
siones, apatías, deficiencias); peculiaridades
físicas (aptitudes) y en otros sentidos: intereses,
gustos, preferencias, ritmos y estilo; singulari-
dades que marcan lo que somos como indivi-
duos y como grupos.
Nadie mejor que el docente para observar,
registrar y evaluar las diferencias en sus alumnos,
con miras a dar una atención diferenciada.
El currículo está pensado para servir a la
mayoría, a un alumno prototipo; amerita
entonces que los profesores decidan cómo
y de qué manera adaptar ese currículo a las
particularidades que presentan los alumnos
en sus aulas, y recordar que no todos los seres
humanos aprendemos igual, lo mismo, a la
misma velocidad y de la misma manera.
El fenómeno del aprendizaje está directamente
vinculado a nuestra personalidad, pues las
personas tenemos rasgos cognitivos, afectivos
y fisiológicos que afectan el aprendizaje.
• Preferencias ambientales: luz, sonido, temperatura, distribución de los pupitres en la clase.
• Preferencias emocionales: motivación, simpatía, voluntad y responsabilidad.
• Preferencias de tipo social que se refieren a estudiar en grupo, en pares, con adultos, solos
o en equipo.
• Preferencias fisiológicas: tiempo y movilidad.
• Preferencias sicológicas relacionadas con los hemisferios: global, analítico.
• Se refieren a la interacción de los alumnos en clase.
• Independiente o dependiente del campo.
• Colaborativo o competitivo.
• Participativo o no participativo.
Atención a la diversidad
Preferencias relativas al modo de instrucción y factores ambientales
Preferencias de Interacción Social
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• Factores implicados en la forma en que el alumno asimila la información.
• Hemisferio derecho/izquierdo.
• Cortical/límbico.
• Concreto/abstracto.
• Activo/pensativo.
• Visual/verbal.
• Inductivo/deductivo.
• Extrovertidos/introvertidos.
• Sensoriales/intuitivos.
• Racionales/ Emotivos.
El concepto de necesidades especiales abarca situaciones personales muy diversas tanto de
carácter permanente como transitorio. Una vez identificadas, los docentes deberán elaborar
propuestas curriculares ajustadas a las características y posibilidades de los estudiantes. Estas
adaptaciones afectan al conocimiento, a los medios de acceso al currículo, al tiempo, así como
a la metodología y a los recursos.
Preferencia en el procesamiento de la información
Dimensiones de la personalidad
Estudiantes con necesidades especiales
El buen vivir es aceptarnos con
nuestras fortalezas y debilidades
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En la actualidad el concepto de aula se ha abierto a
todo el entorno, como un espacio de ilimitada riqueza,
a partir del cual los estudiantes pueden construir el co-
nocimiento individual o grupalmente, con la ayuda del
maestro mediador.
Un estudiante puede adquirir el conocimiento por
observación directa e indirecta de la realidad, lo que
significa que lo mismo se puede aprender dentro de un
aula que fuera de ella.
Este concepto de extensión del espacio físico del aula
ha hecho que la metodología de aprendizaje consi-
dere a la realidad y a la vida cotidiana como fuente de
conocimientos; situación que ha tenido un impacto con-
siderable en la metodología del maestro y en su forma
de mediar el aprendizaje.
Todas las metodologías que llevan al estudiante a in-
dagar la realidad no solo que son herramientas útiles
sino que tienen un especial atractivo para ellos; pues
las personas encuentran interesante encontrar el cono-
cimiento por sí mismas.
El estudio de casos, los talleres, la observación directa
de la realidad, el método de encuesta, la entrevista,
la recopilación de datos, el proyecto, el ensayo, la con-
versación informal y formal con expertos, la documen-
tación son estrategias que tienen la virtud de acercar
al alumno a la fuente de conocimiento. Por ser viven-
ciales desarrollan en el estudiante destrezas de comu-
nicación, le ofrecen seguridad y le ayudan a activar
su pensamiento crítico.
Por otra parte, el conocimiento fuera del aula, no se
encuentra en compartimentos estanco como suele
suceder cuando está organizado en la escuela. La inter-
disciplinaridad es una característica de la vida; por lo
tanto, el estudiante encontrará al conocimiento conec-
tado con diversas áreas del saber.
El método de proyecto refuerza destrezas de trabajo
individual y grupal; enseña responsabilidad, tolerancia,
respeto a las ideas ajenas, valoración de los cono-
cimientos y destrezas de los otros, pero sobre todo
a comprender que en la actualidad nadie es dueño del
conocimiento. A continuación ponemos un ejemplo
de Proyecto.
El uso de situaciones de la vida real como fuente de conocimiento
Investigo, reflexiono y discuto con mis
compañeros sobre qué creo que suce-
de con las tierras y las familias que son
abandonadas por los campesinos.
15
24
6
3
¿Qué efecto social
se produce con
la migración del
campo a la ciudad?
Investigo, reflexiono y discuto con
mis compañeros que debería hacer
el gobierno para que los campesinos
no tengan que dejar el campo.
Reflexiono y saco conclusiones persona-
les y propongo alternativas de trabajo
para que los campesinos tengan trabajo
en el campo.
Investigo en dónde se alojan las personas
que dejan sus casas en el campo y vienen
a la ciudad.
Investigo cuáles son las razones por
las cuales los campesinos dejan sus
tierras y vienen a la ciudad.
Investigo aqué trabajos realizan
las personas que vienen del campo,
a la ciudad.
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El aprendizaje es un proceso que implica el desarrollo de cuatro pasos didácticos; en cada uno de ellos los maestros
pueden desarrollar varios tipos de actividades. Está representado por un círculo que indica que el proceso se inicia
y se cierra. El maestro puede comenzar en cualquier fase del ciclo, aunque lo ideal es partir de la experiencia y cerrar
con la conceptualización.
El ciclo del aprendizaje en el aula
Conceptualización
• Activar los conocimientos previos de los alumnos.
• Compartir anécdotas y experiencias vividas.
• Realizar observaciones, visitas, entrevistas, encuestas, simulacros.
• Presentar fotos, videos, testimonios.
• Observar gráficos, estadísticas, demostraciones.
• Presentar ejemplos reales, noticias, reportajes.
• Utilizar preguntas como: quién,
dónde, cuándo.
• Utilizar el conocimiento en una
nueva situación.
• Resolver problemas utilizando nuevos
conocimientos.
• Utilizar expresiones como: explique, identifi-
que, seleccione, ilustre, dramatice, etc.
• Revisar la información
y utilizarla para seleccio-
nar los atributos
de un concepto.
• Negociar ideas, discutir sobre lo que es
y no es un concepto; argumentación de ideas.
• Obtener ideas de lecturas, ensayos,
conferencias, películas, etc.
• Utilizar mapas conceptuales y otros organizadores.
• Utilizar preguntas como: qué significa,
qué parte no calza, que excepciones encuentra,
que parece igual y qué parece distinto.
• Relacionar lo que los alumnos
saben con el nuevo conocimiento.
• Presentar un mapa conceptual de partida.
• Generar la elaboración de hipótesis,
es decir, de provocar desequilibrio
cognitivo a través de cuestionamientos.
• Escribir y concluir sobre indagaciones e inves-
tigaciones realizadas.
• Utilizar preguntas como: qué,
porqué, qué significa.
Re
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Experiencia
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Clase modelo 10º año de educación básica
Paso 1
• Introducir el tema mediante un breve comentario histórico sobre los inicios del estudio de la probabilidad, a mediados del siglo XVII, y su importancia desde tiempos remotos para los seres humanos.
• Formar grupos de trabajo para que los alumnos realicen juegos de experimentación y anoten en sus cuadernos los resultados de los mismos.
• Grupo 1: Lanzará monedas al aire y registrará el resultado —sello o cara— para cada lanza-miento. Anoten los resultados que se obtienen para 10, 20, 50, y 100 lanzamientos.
• Grupo 2: Lanzará dados, anotará en tablas o gráficos los resultados que se obtienen al lanzar 50, 100 o más veces un dado.
• Grupo 3: Trabajará con la caja de canicas de diferentes colores, anotando los resultados de sacar una canica sin mirar, después de revolverlas, 5, 10, 20 y 30 veces.
• Grupo 4: Realizará una lista de juegos de salón u otros, considerando un análisis del factor azar y la de habilidades y estrategias, tanto de la memoria, técnicas de conteo, etc.
Paso 2
Terminado el trabajo de los grupos, pedir a los alumnos sus opiniones acerca del ejercicio, preguntar cómo se sintieron y qué pudieron observar. Abrir un debate sobre la posibilidad de cargar los dados, marcar de alguna forma las canicas, etc. El foco de esta parte de la clase debe estar en desarrollar la noción de probabilidad a través de actividades motivadoras e in-teresantes. Aunque el espacio muestral está presente, todavía no se lo menciona. Incentivar el debate entre los grupos que hicieron la experiencia manipulando y aquellos que sometieron a análisis crítico los juegos.
Nombre de la lección: Probabilidades simples
Objetivo: Calcular probabilidades simples aplicando el concepto.
Tiempo: 90’
Recursos: Monedas, dados, dominó, parchís, naipes, damas, 40 canicas de4 colores diferentes, 10 de cada color, caja o recipiente reciclado, adaptado para poner adentro las canicas y sacarlas a ciegas, ho-jas para reciclaje, libro de texto y cuaderno.
Eje transversal: Interculturalidad y formación ciudadana.
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Paso 3
Cuando el docente considere que los alumnos se han aproximado bastante a los concep-tos que quiere trabajar, invitar con preguntas concretas a los alumnos a definir con sus palabras lo que es la probabilidad clásica, en qué consiste un espacio muestral y qué es un evento.
Paso 4
Refuerzo: Dos o tres ejercicios sencillos elaborados por los propios alumnos a partir de la fórmula que dedujeron y sus experiencias en la clase. Esta parte de la actividad debe dar paso a preguntas importantes sobre el cálculo de probabilidades simples. Como los alumnos ya tienen el concepto, ahora pueden discriminar situaciones y comprender pro-piedades de las probabilidades. Realizar las siguientes preguntas.
• ¿Consideras que todo evento es probable? Pon un ejemplo en el que la probabilidad sea 0, es decir, que el evento no ocurrirá.
• ¿Qué significa que la probabilidad de un suceso sea igual a 1? ¿Se pueden citar ejem-plos?, ¿cuáles?
• Interpreta la siguiente frase: “La probabilidad de que ocurra una erupción volcánica en el Cotopaxi en los próximos 10 años es del 10 %” . También la frase “La posibilidad de que el
próximo carro que pase sea rojo es 1__5
”.
Paso 5
Evaluación
Técnica
La observación
Instrumento
Registro anecdótico, lista de cotejo.
Tarea
Los alumnos de cada grupo de trabajo traerán una memoria en limpio de su trabajo, observaciones y conclusiones de acuerdo al grupo de trabajo y la intercambiarán con los otros grupos de trabajo.
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Bloques, destrezas, contenidos que se aprenderán en el mó-
dulo de acuerdo a los bloques propuestos por el ME.
La lectura plantea una
situación problema,
valiéndose de datos
y acontecimientos
interesantes.
Entrada al tema general
del Módulo
Preguntas y actividades
relacionadas con la lectura.
Activan los conocimientos
previos.
Un cuestionamiento
relacionado con la lectura
que activa el pensamiento
crítico de el o la estudiante.
Sumak Kawsay. El Buen Vivir
Un concepto kechwa que
rechaza la idea del ser hu-
mano como dueño y señor
de la naturaleza y mas bien
lo ve como parte de ella.
Preguntas que activan los
conocimientos previos del
tema.
Contesta a los estudiantes,
a través de alguna aplica-
ción práctica, cómo y para
qué usará el contenido de
la lección en la formación
de su razonamiento y en
la vida práctica.
Vocabulario recoge el
significado de las palabras
y algunas definiciones y
conceptos que consoli-
dan el aprendizaje.
Concepto o teorema
define en pocas pala-
bras un tema general.
Recuerda consolida el conocimiento conceptual
y procedimental aprendido.
Destrezas con criterio de desempeño a tratarse en
cada tema. Conocimiento que se espera que alcance
el estudiante al final de cada lección.
Inicio de Módulo
Contenidos
Sumak Kawsay. El buen
vivir, Establece relación
con los ejes transversa-
les del conocimiento
Sí se puede sirve para
el desarrollo del pensa-
miento lógico y lateral,
además de potenciar
las destrezas del traba-
jo racional unidas a la
creatividad.
Tic trata sobre el
uso de todo tipo de
recursos tecnológicos;
búsqueda y extensión
del conocimiento.
Conoce tu libro
Descripción de los textos
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Conoce tu libro
Contiene un sistema
de ejercicios y proble-
mas que facilitan el
desarrollo de las des-
trezas y capacidades
generales de trabajo
matemático.
Actividades de
autoevaluación para
que el estudiante
tome conciencia de su
aprendizaje en cada
uno de los módulos
y evalúe sus procesos,
determine sus fortale-
zas y debilidades.
Ejercita el pensamien-
to lógico y crítico del
estudiante.
Prueba estandarizada,
que se aplica cada dos
módulos, que ayuda al
estudiante al desarrollo
de su razonamiento y
lo entrena para
las pruebas de medi-
ción del aprendizaje
que aplica el estado
ecuatoriano.
Actividad práctica para
ser desarrollada en el
salón de clase o fuera
de él y que permite la
integración y aplica-
ción de los contenidos
aprendidos.
Con mis palabras es un
espacio que tiene el
estudiante para verbalizar
y socializar el aprendizaje
logrado en el módulo.
Lectura relacionada con
interesantes temas de la
matemática que ayudan al
estudiante a comprender la
importancia que tiene esta
asignatura en la transforma-
ción de la realidad objetiva.
Zona de aplicación
Compruebo lo que sé
Taller de integración
Ruta saber
Actividades previas al trabajo del módulo
18
TemaDestrezas con criterio
de desempeñoRecomendaciones metodológicas
Tema 1
Producto cartesiano
• Representación del
producto cartesiano
• Diagrama de árbol
• Determinar el producto
cartesiano de 2 conjuntos.
• Representar gráficamente el
producto cartesiano en forma
tabular y por diagramas de
árbol.
Actividades de inicio
Si tengo 3 pantalones distintos y 4 camisas distintas también, ¿de cuántas maneras
diferentes me puedo vestir? Establecer un diálogo en torno a esta situación.
Culminar escribiendo los pares ordenados que se forman, por ejemplo: (pantalón
azul, camisa negra) y así hasta completar los 12 pares. Motivar el tema con este
ejemplo, pues hemos realizado un producto cartesiano.
Actividades de desarrollo
Seguir el orden del texto.
Tema 2
Relaciones
• Dominio y recorrido
de una relación
• Determinar analítica
y gráficamente los pares
ordenados de una relación.
• Establecer el dominio y
recorrido de una relación.
• Plantear relaciones de la vida
cotidiana.
Actividades de inicio
Establecer 2 conjuntos en el aula de clases: mujeres y varones. Establecre una
relación de forma tal que cada mujer se asocia con los varones cuyo nombre tenga
la misma letra inicial que su nombre. De esta forma, habrá mujeres que no tienen
asociados (imágenes), otras que tienen uno y otras que tienen varios.
Tema 3
Concepto de función
• Valor numérico de una
función o valor funcional
• Reconocer si una relación
dada es función o no.
• Reconocer funciones en
diferentes representaciones.
Actividades de inicio
Recordar el concepto de relación.
Actividades de desarrollo
Éste es el concepto más importante de toda la enseñanza de la Matemática y,
posiblemente, de toda la ciencia. El alumno debe tener una representación mental
clara del concepto, por lo que se debe dedicar todo el tiempo que sea necesario.
Tema 4
Patrones crecientes
y decrecientes
• Proporcionalidad y función
• Constante de
proporcionalidad
• Construir patrones de
crecimiento lineal con
su ecuación generadora.
• Determinar el
comportamiento gráfico
de un patrón de crecimiento
lineal. • Calcular la constante
de proporcionalidad.
Actividades de inicio
Recordar cómo se determina el valor numérico de expresiones algebraicas
sencillas.
Actividades de desarrollo.
Seguir el orden del texto y desarrollar en una conversación de clases el ejemplo de
la página 20 . Lo esencial es reconocer que un patrón de crecimiento lineal genera
una función.
Tema 5
Función lineal
• Gráfica y ecuación de la
función lineal
• Cero de una función lineal
• Determinar la ecuación de una
función lineal dado su gráfico.
• Representar gráficamente una
función lineal dada
su ecuación.
Actividades de inicio
Recordar los patrones de crecimiento lineal y su ecuación generadora.
Actividades de desarrollo
Dejar muy claro el concepto de función lineal. A partir de aquí, aclarar que existe una estrecha relación entre ecuación y gráfico, es decir, al hablar de función mentalmente divisamos: ecuación-gráfico. Hacer hincapié en las siguientes equivalencias: El par (a; b) � f si y solo si:
1. f (a) = b 2. El par ordenado (a; b) pertenece al gráfico de la función.
Es importante el concepto de cero de una función, en este caso lineal, que interpreten geométricamente que el cero es la intersección del gráfico de la función con el eje de las x.
Tema 6
Pendiente de una recta
• Función creciente
y decreciente
• Calcular la pendiente de una
recta.
• Evaluar si una función lineal es
creciente o decreciente según
su tabla de valores, gráfico
o ecuación.
Actividades de inicio
Preguntar, ¿cuál de las 2 funciones crece más rápido: y = 5x o y = 2x? Explicar que
este crecimiento, como ya conocen de clases anteriores, lo vemos en los valores de
las imágenes Por eso, la primera función crece más rápido que la segunda
FUNCIÓN LINEAL
Prueba diagnóstica para verificar las destrezas adquiridas en los niveles precedentes. Evaluar las destrezas que tienen
los alumnos en cálculo numérico, valor numérico de expresiones algebraicas y plano cartesiano.
MÓDULO
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Bloques curriculares
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Recomendaciones metodológicas RecursosRecomendaciones
de evaluación
Hacer algún producto cartesiano con material concreto para después llegar
al concepto y representación gráfica.
El alumno no debe aprender fórmulas, sino comprenderlas. De forma natural, hacer
comprender que, si el conjunto A tiene 7 elementos y el conjunto B tiene 4, entonces
el producto cartesiano tendrá 7 • 4 = 28 elementos.
Actividades de aplicación
Seleccionar ejercicios propuestos en la Zona de Aplicación de la página 11 del texto
• Regla graduada
• Texto
• Objetos que puedan
ser clasificados en 2
conjuntos diferentes
para determinar el
producto cartesiano
• Seleccionar ejercicios de la Guía
del docente y de la Zona de
Aplicación para proponer tarea
docente.
Actividades de desarrollo
Destacar que la relación es siempre un subconjunto del producto cartesiano y afianzar
los conceptos de dominio y recorrido de una relación. Ofrecer la mayor cantidad
y variedad de ejemplos posibles.
Actividades de aplicación
Ejercicios de la página 14 del texto
• Texto
• Regla graduada
• Pregunta escrita sobre producto
cartesiano y relaciones.
• Proponer como tarea de
investigación la siguiente
pregunta: “Si A tiene 3
elementos y B tiene 4
elementos, ¿cuántas relaciones
diferentes pueden establecerse
en A • B?
Explicar que no toda relación es una función. Lograr que interioricen la condición de
función: “A cada elemento del conjunto de partida le corresponde exactamente un
elemento en el conjunto de llegada” .
Actividades de aplicación
Zona de Aplicación de la página 19 del texto
• Regla graduada
• Texto
• Tres colores para
resaltar las gráficas
• Pregunta escrita donde se
evalúe el concepto de función.
Explicar que este crecimiento o decrecimiento es constante y que por eso podemos
determinar una constante de proporcionalidad.
Es importante comprender que la ecuación y = k • x genera un patrón de crecimiento
lineal y que cuando k es negativo este patrón es decreciente. Esta ecuación puede
generalizarse, pero no es el objetivo fundamental en este momento.
Actividades de aplicación
Todos los ejercicios de la página 24 del texto
• Regla graduada
• Texto
• Tarea con ejercicios
seleccionados de la Zona de
Aplicación y de la Guía del
docente.
Finalmente, desarrollar la destreza de representar gráficamente una función lineal,
de ecuación y = m x + b, que reconozcan que se trata de una recta, por lo que basta
buscar solo 2 puntos que pertenezcan a la misma. Incluso, reconocer que b representa
la intersección de la recta con el eje de las y y por tanto solo necesitamos un punto.
De esta forma se logra rapidez en la representación de las rectas cuando conocemos
las ecuaciones respectivas. Debe plantearse una ecuación como por ejemplo,
3x – y = 5, para que tengan que despejar y para obtener la representación normal,
y = 3x – 5 .
Actividades de aplicación
Zona de Aplicación de la página 30
• Regla graduada
• Texto
• Pregunta escrita donde se
evalúen las destrezas adquiridas
en las 2 direcciones. Por un
lado, representar la recta
dada su ecuación y, por otro,
encontrar la ecuación dado el
gráfico y algunos elementos.
Actividades de desarrollo
Explicar el concepto práctico de pendiente, como el nivel o grado de inclinación de la
recta y pedir que asocien este nuevo concepto con el crecimiento y decrecimiento de
la función.
Actividades de aplicación
Ejercicios y actividades de la página 36 del texto
• Regla graduada
• Graduador
• Texto
• Prueba del módulo que
aparece en la Guía del docente
Relaciones y Funciones Numérico Geométrico
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Actividades previas al trabajo del módulo
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A través de actividades simples, recordar cómo se resuelven las ecuaciones de primer grado con una variable. Propo-
ner ejercicios que se resuelvan por reflexiones lógicas y otros donde sea necesario usar las reglas de transformación.
SISTEMAS DE ECUACIONESMÓDULO
2
TemaDestrezas con criterio
de desempeñoRecomendaciones metodológicas
Tema 1
Operaciones combinadas
con números reales
• Suma, resta,
multiplicación, división,
potenciación y radicación
• Resolver operaciones
combinadas de adición,
sustracción, multiplicación,
división, potenciación y
radicación con números reales.
Actividades de inicio
Recordar las operaciones y sus propiedades. Recordar también la jerarquía de las
operaciones con ejercicios simples como 3 + 4 • 5 .
Actividades de desarrollo
Interpretar correctamente las propiedades que cumplen las operaciones conocidas
por los estudiantes.
Tema 2
Sistemas de ecuaciones
lineales
• Método de sustitución
• Método de suma y resta
• Resolver un sistema de 2
ecuaciones lineales con 2
incógnitas por cualquiera de
los métodos estudiados.
Actividades de inicio
Sea la ecuación: 2 x – y = 5, ¿cuántas variables tiene esta ecuación? ¿cuántas
soluciones tiene? Tiene 2 variables o incógnitas. Analizar que tiene infinitas
soluciones y que éstas tienen que ser pares ordenados pues tienen 2 variables. Por
ejemplo: (3; 1) y (10; 15) son 2 de las infinitas soluciones que tiene esta ecuación.
Actividades de desarrollo
Aprovechar el ejemplo anterior o el que se ilustra en el texto para que los alumnos
comprendan qué es un sistema de ecuaciones.
Tema 3
Resolución de problemas
• Interpretación geométrica
• Resolver problemas que
implican la resolución de
sistemas de 2 ecuaciones
lineales con 2 incógnitas,
aplicando los métodos
estudiados.
Actividades de inicio
Recordar que la representación gráfica de una ecuación de la forma a x + b y + c = 0
es una recta. Preguntar entonces, ¿cuál será la representación gráfica de un sistema
de 2 ecuaciones como las anteriores?
Actividades de desarrollo
Seguir el orden y los ejemplos del texto.
Tema 4
Factorización
de polinomios
• Esquema general
de la factorización
• Descomponer en factores
diferentes tipos de polinomios.
Actividades de inicio
Recordar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición
y mostrar que esta propiedad permite extraer factor común en expresiones
algebraicas. Diagnosticar las destrezas que poseen los alumnos en este tema.
Actividades de desarrollo
Éste es un tema muy delicado porque en este texto se sobreentiende que los
alumnos ya saben factorizar binomios y trinomios desde noveno de básica. Sin
embargo, en la práctica esto no ocurre siempre, por lo que el docente actuará
en correspondencia al conocimiento precedente de sus alumnos.
Tema 5
Simplificación de
expresiones algebraicas
• Concepto de fracción
algebraica
• Simplificación y
ampliación de fracciones
algebraicas
• Simplificar expresiones
algebraicas.
Actividades de inicio
Recordar el concepto de fracción y los diferentes tipos de descomposición factorial
del tema anterior.
Actividades de desarrollo
El concepto de fracción algebraica debe desprenderse de forma natural del
concepto de fracción que conocen los estudiantes. De esta forma, las propiedades
que usamos para simplificar fracciones comunes pueden ser empleadas para
simplificar o ampliar fracciones algebraicas.
Tema 6
Medida de los ángulos
• Parejas especiales
de ángulos
• Ángulos entre paralelas
cortadas por una secante
• Determinar amplitudes
de ángulos en grados
sexagesimales en diferentes
situaciones.
Actividades de inicio
Recordar el concepto de ángulo, sus elementos y su medida en grados
sexagesimales.
Actividades de desarrollo
Si queremos desarrollar destrezas en el cálculo de ángulos, los alumnos deben
tener una representación clara de los conceptos fundamentales. Se llaman parejas
especiales de ángulos los que son opuestos por el vértice (siempre son iguales), los
ángulos consecutivos (también en parejas).
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Numérico Relaciones y funciones Geométrico
Bloques curriculares
21
Recomendaciones metodológicas RecursosRecomendaciones de
evaluación
Recordar que en la aplicación de la propiedad conmutativa intervienen solo 2
elementos, mientras que en la asociativa intervienen, como mínimo 3 elementos. Los
alumnos deben dominar las propiedades básicas de las potencias y las raíces; esto se
logra realizando muchos y variados ejercicios en clases.
Actividades de aplicación
Todos los ejercicios de la página 46 del texto
• Texto • Pregunta escrita donde
aparezcan combinadas todas
las operaciones.
Si a la ecuación anterior se le añade otra, ésta también tendrá infinitas soluciones, se
las dispone en sistema para averiguar si existe intersección entre ambos conjuntos
de soluciones. Desarrollar destrezas en ambos métodos, pero en ningún momento
encasillar el trabajo del alumno, para cada caso, el estudiante estará en libertad de
escoger el método que le resulte más sencillo.
Actividades de aplicación
Ejercicios de la página 51 del texto
• Texto • Pregunta escrita para
comprobar destrezas adquiridas.
Ubicar algún literal donde
se evalúe si adquirieron el
concepto de solución de un
sistema. Para ello se le puede dar
el sistema y preguntarle si un par
determinado es la solución.
Los estudiantes siempre presentan dificultades en el planteo de las ecuaciones
(modelar del problema). Esto no se resuelve en una clase, presentar una amplia
variedad de problemas para desarrollar la destreza. Explicar la estrecha relación el
sistema y su gráfica.
Actividades de aplicación
Zona de Aplicación de la página 56 del texto
• Regla graduada
• Texto
• Seleccionar ejercicios de la
Zona de Aplicación y la Guía
del docente para proponer la
tarea.
Es por eso que en el texto se comienza con el esquema general de la página 57, el cual
es muy útil en uno u otro caso, pues no solo organiza el trabajo del estudiante sino que le
muestra sintéticamente todo lo que debe saber de la factorización. El tiempo dedicado a
este tema depende del nivel de destrezas que adquieran los alumnos.
Recordar la aplicación de la factorización al cálculo; que esas variables con las cuales
trabajamos representan números. Por ejemplo, pedirles que calculen 78 • 82 operación
que pueden realizar mentalmente si aplican lo conocido sobre diferencias de
cuadrados: (80 – 2) (80 + 2) = 6 400 – 4 = 6 396 .
Actividades de aplicación
Todos los ejercicios de la página 60 del texto
• Texto
• Regla graduada
• Pregunta escrita con ejercicios
seleccionados de la Zona de
Aplicación
y de la Guía del docente.
Es necesario trabajar la ampliación puesto que la necesitarán para, posteriormente,
comparar y sumar fracciones algebraicas. Aprovechar este tema para corregir las
dificultades que aún presenten los estudiantes en la factorización de polinomios.
Actividades de aplicación
Zona de Aplicación de la página 64
• Texto • Pregunta escrita donde
se evalúen las destrezas
adquiridas.
• Proponer como tarea la
realización de un resumen
la factorización de polinomios.
Éstos son especiales por su posición, mientras que las parejas de ángulos
complementarios y suplementarios lo son por su medida. Aprovechar la oportunidad
para definir una pareja muy especial: los adyacentes, porque cumplen una condición
de posición (consecutivos) y una condición de medida (suplementarios).
Actividades de aplicación
Ejercicios y actividades de la página 68 del texto
• Regla graduada
• Escuadras
• Texto
• Graduador
• Examen trimestral que
aparece en la Guía del
docente.
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Actividades previas al trabajo del módulo
MÓDULO
3
22
TemaDestrezas con criterio
de desempeñoRecomendaciones metodológicas
Tema 1
Ampliación de los
conjuntos numéricos
• Reconocer la relación entre
los diferentes conjuntos
numéricos estudiados.
Actividades de inicio
Determina todos los pares de números naturales x y y tales que: x2 – y2 = 5 .
Después de un breve análisis, expresar la ecuación como (x + y) (x – y) = 5. Como x
y y deben ser naturales, tanto (x + y) como (x – y) lo son también, luego solo queda
la posibilidad: x + y = 5 ; x – y = 1. Resolviendo este sistema tenemos: x = 3 ; y = 2 .
Hacer notar que, si las variables fuesen enteras, entonces habría más soluciones.
Actividades de desarrollo
En este tema se hará una necesaria sistematización de los conjuntos numéricos �,
�, � y �, donde lo esencial es reconocer que � � � � � � �.
Tema 2
El exponente racional
• Propiedades de los
radicales
• Evaluar y simplificar potencias
de números enteros con
exponentes racionales.
Actividades de inicio
Ya sabemos calcular potencias con exponente entero, pues sabemos trabajar con
exponente negativo. Por ejemplo: 3 – 2 = 1__32 =
1__9
¿qué sucederá cuando
el exponente sea una fracción?
Actividades de desarrollo
La situación anterior motiva un nuevo concepto: necesitamos saber cómo
se efectúa una potencia cuando el exponente es fraccionario.
Tema 3
Racionalización de
denominadores
• Racionalizar expresiones
algebraicas y numéricas.
Actividades de inicio
¿Por cuál número debe multiplicarse 23
para que desaparezca la raíz? Los alumnos
llegarán a la conclusión que uno de ellos es 43
, pero existen infinitos más.
Actividades de desarrollo
Solo se tratarán 2 casos de racionalización.
Tema 4
Simplificación de
expresiones con raíces
• Multiplicación y división
de raíces
• Simplificar expresiones que
contienen radicales.
Actividades de inicio
Recordar que las raíces de índice par de números negativos no existen en �. De
igual manera aclarar que las raíces de índice par de números positivos siempre son
positivas.
Actividades de desarrollo
Seguir el orden del texto.
Tema 5
Operaciones combinadas
con números reales
• Resolver operaciones
combinadas de adición,
sustracción, multiplicación,
potenciación y radicación con
números reales.
Actividades de inicio
Recordar las propiedades de las potencias y las raíces.
Actividades de desarrollo
A las operaciones combinadas que ya conoce el estudiante agregar aquí la
dificultad del exponente racional y con ello realizar una sistematización
de todas las operaciones.
Tema 6
Medición de ángulos
• El sistema sexagesimal
• Sistema circular
• Relación entre grado
sexagesimal y radián
• Realizar conversión de ángulos
en grados a radianes
y viceversa.
Actividades de inicio
Recordar la medida de ángulos en grados sexagesimales. ¿Será ésta la única forma
de medir los ángulos? Recordar cómo se determina la longitud de un arco
de la circunferencia.
Actividades de desarrollo
Insistir en el concepto de la medida en radianes de un ángulo.
A través de preguntas orales recordar el concepto de potencia y de raíz de un número real. Proponer ejercicios senci-
llos en los que apliquen el concepto de potencia y de raíz.
RADICALES
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Bloques curriculares
23
Recomendaciones metodológicas RecursosRecomendaciones
de evaluación
Sin embargo, otras características de estos conjuntos o dominios numéricos deben ser
resaltados: � y � son conjuntos discretos, mientras que � y � son densos. Hacer notar
que �, a pesar de ser denso, no llena la recta numérica, que gracias al conjunto � o �’
de los irracionales se completa la recta numérica con los reales puesto que
� = � � �’ .
Actividades de aplicación. Todos los ejercicios de la página 79 del texto.
• Texto
• Regla graduada
• Seleccionar ejercicios de
la Zona de Aplicación y de
la Guía del docente para
proponer tarea docente.
• Adicionalmente enviar un
trabajo de investigación
sobre los números
irracionales.
Plantear la siguiente secuencia: a1_n = b ⇔ a
1_n
n
⇔ bn ⇔ a = bn
; luego b es la raíz
n-ésima de a, por lo que podemos escribir que: a1_n = a
n
. Luego ampliar: am_n = amn
.Es muy importante que el estudiante domine esta definición, de esta forma ya está
en condiciones de realizar, independientemente, una ejercitación graduada. Realizar
todos los ejemplos que aparecen en el texto.
Actividades de aplicación
Ejercicios de la página 84 del texto.
• Texto • Pregunta escrita para
comprobar destrezas
adquiridas. Ubicar algún
literal donde se evalúe si
adquirieron el concepto
de exponente fraccionario.
Monomio y binomio. Ambos en casos simples, desarrollar destrezas en esta
importante operación, pues será de gran aplicación en el futuro.
Actividades de aplicación
Zona de Aplicación de la página 88 del texto.
• Regla graduada
• Texto
• Pregunta escrita
evaluando los 2 casos
estudiados en clases.
Trabajar todos los ejemplos planteados, pues tienen diferentes dificultades. El
estudiante debe desarrollar destreza en reconocer raíces semejantes, son las únicas
que podemos sumar y esto nos permite reducir expresiones que ya han sido
simplificadas individualmente.
Actividades de aplicación
Todos los ejercicios de la página 92 del texto.
• Texto
• Regla graduada
• Pregunta escrita con
ejercicios seleccionados
de la Zona de Aplicación
y de la Guía del docente.
Seguir los ejemplos planteados en el texto. Detenerse en el análisis de la siguiente
dificultad.
–64– 1_
3 = 1_____
–641_3
= 1_____
–643 =
1__–4
= –1__4
Hacer notar la diferencia operacional entre los 2 signos menos existentes.
Actividades de aplicación
Zona de Aplicación en la página 99.
• Texto • Pregunta escrita donde
se evalúen las destrezas
adquiridas.
• Proponer tarea
seleccionando 2 ó 3
ejercicios de la Guía del
docente.
Aclarar el concepto de radián antes de pasar a las conversiones, de forma tal que
el estudiante esté consciente de lo que realiza posteriormente. Incluso, una vez
comprendido el concepto y que aprecien la amplitud en el plano del ángulo de 1
radián, pedir que estimen ¿cuántos radianes medirá un ángulo de 180º?
Actividades de aplicación
Ejercicios y actividades de la página 104 del texto.
• Regla graduada
• Escuadras
• Texto
• Graduador
• Prueba del módulo que
aparece en la Guía del
Docente.
Numérico Relaciones y funciones Geométrico
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Actividades previas al trabajo del módulo
24
TemaDestrezas con criterio
de desempeñoRecomendaciones metodológicas
Tema 1
Área lateral y volumen
de una pirámide
• Poliedros
• Área total
• Calcular áreas laterales de
pirámides en la resolución
de problemas. Calcular
volúmenes de pirámides,
aplicando el teorema
de Pitágoras.
Actividades de inicio
Preguntar: ¿qué relación existe entre el volumen de una pirámide y el volumen
de un prisma de igual base y altura que la pirámide? Hacer el experimento con
arena, para lo cual deben llevarse una pirámide y un prisma de igual base y altura.
Comprobar que el volumen del prisma es 3 veces el volumen de la pirámide.
Actividades de desarrollo
Seguir el orden del texto.
Tema 2
Área lateral y volumen
de un cono
• Cuerpos redondos
• Área total del cono
• Aplicar el teorema de Pitágoras
en el cálculo de áreas totales
y volúmenes de conos.
Actividades de inicio
Mostrar la diferencia entre poliedros y cuerpos redondos. Presentar proyección con
el mayor número de ejemplos posibles.
Actividades de desarrollo
Seguir el orden del texto y proceder de manera similar al tratamiento del cálculo en
las pirámides. Explicar qué se entiende por un cuerpo de revolución (se obtiene por
la rotación de una figura).
Tema 3
Unidades de longitud
y área
• Reconocer las unidades del SI
y realizar conversiones a otros
sistemas dentro del contexto
de la resolución de problemas.
Actividades de inicio
Realizar un análisis en clases sobre las siguientes expresiones.
- Mi casa tiene 147 metros cuadrados de construcción.
- Un barco camaronero pequeño tiene 18 metros de eslora.
Aprovechar la ocasión para establecer la diferencia entreambos tipos de medidas.
Tema 4
Unidades de volumen
y capacidad
• Reconocer las unidades de
volumen y capacidad del SI
y realizar conversiones a otros
sistemas dentro del contexto
de la resolución de problemas.
Actividades de inicio
Seguir el ejemplo introductorio de la página 125 del texto y aprovechar la ocasión
para hablar de la importancia de ahorrar el agua como fuente de vida y energía
de la humanidad.
Actividades de desarrollo
Al igual que en el tema de las unidades de longitud y superficie, es necesario que
los estudiantes adquieran una representación mental clara de la magnitud de las
medidas.
Tema 5
Notación científica
• Transformar cantidades
expresadas en notación
decimal en notación científica
usando exponentes positivos
y negativos.
Actividades de inicio
Recordar las propiedades de las potencias. De igual forma, recordar la
multiplicación de números por potencias de 10, tanto negativas como positivas.
Actividades de desarrollo
Primero destacar que la notación, llamada científica, es un acuerdo o norma creado
por los matemáticos para estandarizar y racionalizar las diferentes medidas de
magnitudes. Por tanto, hay que respetar la norma definida en el texto.
Tema 6
Función exponencial
• Patrón generador
• Dominio, recorrido
y crecimiento
• Reconocer una función
exponencial a partir
de su tabla de valores.
Actividades de inicio
Recordar el concepto de función y las funciones lineales estudiadas. Analizar que
estas funciones crecen o decrecen de forma constante y que por eso su gráfico
es siempre una recta.
Actividades de desarrollo
Seguir el orden del texto para que los alumnos comprendan cuándo estamos
en presencia de un patrón de crecimiento exponencial.
Hacer un resumen de los cuerpos conocidos por los estudiantes: prismas (dentro de ellos, los ortoedros y especial-
mente el cubo), cilindros, pirámides, conos y esferas.
PIRÁMIDES Y CONOSMÓDULO
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Bloques curriculares
25
Recomendaciones metodológicas RecursosRecomendaciones
de evaluación
Es importante desarrollar los cuerpos para que el alumno pueda verificar la aplicación
de las fórmulas. No obstante el experimento inicial, hacer la demostración que aparece
en el texto sobre el volumen de la pirámide, pues el experimento nos da una hipótesis
que debe ser comprobada matemáticamente.
Actividades de aplicación
Todos los ejercicios de la página 115 del texto
• Texto
• Regla graduada
• Arena
• Pirámide desarrollada
en cartón
• Pirámide y prisma de
cartón que tengan igual
base y altura
• Seleccionar ejercicios de
la Zona de Aplicación y de
la Guía del docente para
proponer tarea docente.
• Solicitar a los estudiantes
un resumen investigativo
sobre diferentes tipos
de pirámides.
Observar que el cono puede obtenerse por rotación de un triángulo rectángulo
alrededor de uno de sus catetos y, por eso, es un cuerpo de revolución. ¿Puedes
obtener un cilindro por revolución? Al final del tema resumir el cálculo de cuerpos.
Prismas → V = Ab • h Pirámides → V = 1/3 Ab • h
Cilindros → V = Ab • h = π r2 h Conos → V = 1/3 Ab • h = 1/3 π r2 h
Actividades de aplicación
Ejercicios de la página 119 del texto
• Texto
• Regla graduada
• Escuadras
• Proyector con imágenes
de poliedros y cuerpos
redondos
• Tres colores como mínimo
• Pregunta escrita para
comprobar destrezas
adquiridas en el cálculo
de volúmenes y áreas
laterales de pirámides
y conos.
Actividades de desarrollo
Lo esencial aquí es que los estudiantes adquieran una representación mental clara
de las medidas, que imaginen 1 metro cuadrado, que distingan las medidas para
que cuando lean una información o resuelvan un problema tengan conciencia
de lo que hacen.
Actividades de aplicación
Zona de Aplicación de la página 124 del texto
• Texto
• Cisternas o recipientes
en el exterior del aula
de clases para estimar
volúmenes y capacidades
• Artículos de la prensa que
refieran volúmenes
• Pregunta escrita.
• Enviar un trabajo de
investigación sobre
la superficie de las 24
provincias de Ecuador.
Por ejemplo, ¿qué significa 1 metro cúbico de agua?, ¿qué cantidad representa?
Observar alguna cisterna en el exterior del aula y pedir a los alumnos que estimen
cuál es su capacidad en metros cúbicos. De igual forma, por la condición de ser
exportadores de petróleo, explicar con exactitud la capacidad de un barril de crudo.
Actividades de aplicación
Todos los ejercicios de la página 128 del texto
• Texto
• Tarea con ejercicios
seleccionados de la Zona
de Aplicación y de la Guía
del docente.
Resaltar de igual forma las ventajas que tiene este tipo de notación para expresar
cantidades muy grandes o muy pequeñas, lo cual sería demasiado tedioso sin el
empleo de este convenio. Por supuesto, la notación científica trae beneficios al cálculo,
trabajemos o no con calculadoras. Hacer la mayor variedad de ejercicios posibles.
Actividades de aplicación
Zona de Aplicación de la página 133
• Texto
• Cisternas o recipientes
en el exterior del aula
de clases para estimar
volúmenes y capacidades
• Artículos de la prensa que
refieran volúmenes
• Proponer trabajo de
investigación sobre la
capacidad de los embalses
de agua en nuestro país
y las nuevas capacidades
que se crean
en la actualidad.
Valorarlo en la tabla y en la gráfica de esta función en el plano cartesiano. Establecer
la diferencia entre un patrón de crecimiento lineal y un patrón de crecimiento
exponencial. Por ejemplo, y = 2 x es lineal, mientras que y = 2x es exponencial. Ambos
crecen, pero la segunda lo hace mucho más rápido. Hacer comparaciones y hablar en
estos términos es muy beneficioso para la ulterior vida matemática del alumno.
Actividades de aplicación
Ejercicios y actividades de la página 138 del texto
• Regla graduada
• Texto
• Dos colores para
diferencias curvas
en el plano
• Examen trimestral que
aparece en la Guía del
docente.
Numérico Relaciones y funciones Geométrico Medida
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Actividades previas al trabajo del módulo
26
TRIGONOMETRÍA
TemaDestrezas con criterio
de desempeñoRecomendaciones metodológicas
Tema 1
Razones trigonométricas
• Seno, coseno y tangente
de un ángulo agudo
• Funciones recíprocas
• Cofunciones
• Definir y aplicar las razones
trigonométricas en el triángulo
rectángulo y aplicarlas al
cálculo y resolución de
triángulos rectángulos.
Actividades de inicio
Recordar los elementos y propiedades elementales del triángulo rectángulo, haciendo
hincapié en la determinación del lado opuesto y adyacente a un ángulo agudo.
Actividades de desarrollo
Seguir el orden del texto para definir las funciones trigonométricas. Es importante
que los estudiantes conozcan por qué, por ejemplo, se puede definir el seno de
un ángulo, es decir, por qué es único este valor independientemente del triángulo
donde se encuentre esta amplitud.
Tema 2
Ángulos especiales
• Complementarios
y suplementarios
• Ángulos coterminales
• Ángulos de referencia
• Reconocer parejas de
ángulos complementarios,
suplementarios y coterminales,
así como ángulos de referencia
en la resolución de problemas.
Actividades de inicio
Representar en el plano el ángulo de 500º. Establecer un análisis de esta pregunta
y provocar que sean los propios estudiantes quienes ofrezcan la solución al
problema. En realidad, este ángulo ha dado una vuelta completa y, además, ha
recorrido 140º más, por tanto, 500º y 140º se comportan de la misma forma; se trata
de una pareja de ángulos coterminales, porque tienen el mismo lado terminal.
Tema 3
Ángulos en polígonos
regulares
• Elementos de un polígono
• Suma de los ángulos
interiores
• Ángulos exteriores
• Calcular medidas de ángulos
internos en polígonos
regulares y establecer
patrones.
Actividades de inicio
Recordar los diferentes tipos de polígonos. Preguntar por el polígono del menor número
de lados (triángulo) y establecer las condiciones para que un polígono sea regular.
Actividades de desarrollo
Explicar la fórmula para obtener la suma de los ángulos interiores de un polígono
cualquiera (regular o no) se puede obtener de diferentes formas.
Tema 4
Unidades de masa
• Masa y peso
• Realizar conversiones y
reducciones de unidades de
masa del SI y de otros sistemas,
aplicándolos a la resolución
de problemas.
Actividades de inicio
Plantear la siguiente situación: Un estudiante de 10º de básica viaja en avión de
Guayaquil a Quito. Antes de salir se toma el peso en una balanza del aeropuerto
y registra 60 kg . Sin ingerir alimentos en el trayecto, ¿pesará lo mismo al llegar a
Quito? Establecer una conversación de clases y analizar la situación. Concluir que
masa y peso son 2 magnitudes diferentes, aunque están muy relacionadas.
Actividades de desarrollo
Efectivamente, a diferencia de la masa, en el peso interviene la gravedad y es por eso
que, en condiciones normales, una persona pesa menos en Quito que en Guayaquil.
Tema 5
Unidades de tiempo
• Realizar reducciones y
conversiones de unidades
de tiempo del SI y de otros
sistemas y aplicarlos a la
resolución de problemas.
Actividades de inicio
¿Por qué existen los años bisiestos? Explicar la causa de esta existencia, que el
año bisiesto trae 366 días y cómo los científicos acordaron resolver el problema.
Aprovechar para hablar de la importancia de usar correctamente el tiempo.
Actividades de desarrollo
Las medidas de tiempo son cíclicas. Por ejemplo, la semana tiene 7 días. Esta
situación debe explotarse en el aula de clases para combinar estos contenidos
con el conteo y la aplicación de la división euclidiana.
Tema 6
Media aritmética
• Diagramas estadísticos
• Diagramas de tallo y hojas
• Medidas de tendencia
central: media, mediana,
moda y rango
• Calcular la media aritmética
de una serie de datos reales.
Actividades de inicio
Realizar la actividad inicial que aparece en la página 172 del texto. Explicar la
importancia de la media aritmética en la planificación.
Actividades de desarrollo.
Aprovechar el concepto de media aritmética para desarrollar destrezas en el cálculo
de estimaciones. Habituarlos a realizar estimaciones antes de proceder al cálculo
matemático de la media aritmética.
Exponer ejemplos de lo que significa la palabra razón en nuestra ciencia matemática. Aclara que la razón siempre se
establece entre magnitudes del mismo tipo y que por eso siempre resulta un número. Este número, que es la razón,
representa la cantidad de veces que cabe una magnitud en la otra.
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Bloques curriculares
27
Recomendaciones metodológicas RecursosRecomendaciones
de evaluación
Usar el Teorema de Tales, mostrando que la razón entre el cateto opuesto y la
hipotenusa es la misma, independientemente de las longitudes de los lados del
triángulo, siempre que el ángulo sea el mismo claro está. Prestar especial atención
a las cofunciones, pues tiene una gran importancia en el cálculo. Mostrar que es
interesante que sen 80º = cos 10º .
Actividades de aplicación
Ejercicios de la página 152 del texto.
• Regla graduada
• Texto
• Pregunta escrita para
verificar si dominan los
conceptos, propiedades
y, en una segunda parte,
si ya tienen las destrezas
para aplicarlas.
Actividades de desarrollo
Aclarar que los conceptos complementarios, suplementarios y coterminales son
binarios, es decir, se refieren a 2 ángulos. Es importante que los alumnos fijen las
fórmulas para determinar los ángulos de referencia en los 4 cuadrantes.
Actividades de aplicación
Ejercicios de la página 158 del texto.
• Texto
• Regla graduada
• Escuadras
• Compás
• Dos colores como mínimo
para diferenciar ángulos
• Pregunta escrita para
comprobar destrezas
adquiridas en el cálculo
de ángulos de referencia.
Seguir el orden del texto porque así el estudiante adquiere una estrategia para formar
patrones, lo cual podrá aplicar en muchas otras situaciones. La ventaja del polígono
regular es que todos sus ángulos internos son iguales, lo cual nos permite su cálculo.
Actividades de aplicación
Zona de Aplicación de la página 164 del texto.
• Regla graduada
• Texto
• Escuadras
• Compás
• Pregunta escrita para
comprobar destrezas
en el cálculo de ángulos
en polígonos regulares.
La acción de la gravedad es menor en las ciudades de la sierra ya que están más
alejadas del centro de la tierra, . Es importante que los alumnos conozcan, además de
las medidas del Sistema Internacional, otras que son muy utilizadas en nuestro medio,
como la libra y el quintal. Hacer prácticas con una balanza para que los alumnos
adquieran la capacidad de estimar masas.
Actividades de aplicación
Todos los ejercicios de la página 168 del texto.
• Texto
• Balanza y masas de
distintos tipos
• Artículos de la prensa que
refieran medidas de peso
• Proponer trabajo de
investigación sobre la
cantidad de toneladas
métricas que se produce
anualmente en el país de
un producto seleccionado.
Por ejemplo, se puede plantear el siguiente problema: Dos compañeros de aula se
encuentran un día martes y deciden volverse a encontrar 2 010 días después en el
mismo lugar. ¿Qué día de la semana se encontrarán? ¿Cuántos años, meses, semanas
y días han transcurrido? Para la primera pregunta basta escribir: 2 010 = 287 • 7 + 1 .
Por tanto, han transcurrido 287 semanas completas y 1 día, por tanto, se verán un
miércoles.
Actividades de aplicación
Zona de Aplicación en la página 171.
• Texto • Pregunta escrita donde
se evalúen las destrezas
adquiridas.
Entre otros muchos ejemplos podemos estimar y hallar medias aritméticas en
precipitaciones en una región determinada del Ecuador, producción de arroz por
hectárea de cultivo, producción de flores por hectárea, ingreso mensual de un grupo
de trabajadores, etc.
Actividades de aplicación
Ejercicios y actividades de la página 176 del texto.
• Regla graduada
• Texto
• Artículos de la prensa
escrita donde se
evidencien medias
aritméticas
• Prueba del módulo que
aparece en la Guía del
Docente.
Relaciones y funciones Geométrico Medida Estadístico
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Actividades previas al trabajo del módulo
28
TemaDestrezas con criterio
de desempeñoRecomendaciones metodológicas
Tema 1
Resolución de triángulos
rectángulos
• Aplicar las razones
trigonométricas en el cálculo
de lados y ángulos de
triángulos rectángulos.
Actividades de inicio
Proyectar 4 triángulos rectángulos con las siguientes situaciones.
1. Están dados un ángulo agudo y un lado.
2. Están dados los 2 ángulos agudos.
3. Están dados 2 lados.
4. Están dados el área y un cateto.
Preguntar en cuáles de esos casos podemos determinar con seguridad los
restantes elementos del triángulo. Establecer un diálogo y concluir que el único
caso imposible es el 2. debido a que podemos construir infinitos triángulos
semejantes.
Tema 2
Problemas de ángulos de
elevación y depresión
• Aplicar las razones
trigonométricas para calcular
ángulos de elevación
y depresión en la resolución
de problemas cotidianos.
Actividades de inicio
Seleccionar un artículo de Internet o revista que narre el ángulo de elevación de
un avión determinado al despegar de la pista. Hacer la ilustración en la pizarra del
triángulo rectángulo que se forma hasta el punto en que toma la altura de vuelo
normal. Usar esta situación para motivar el tema.
Actividades de desarrollo
Explicar claramente los conceptos de ángulos de elevación y depresión, de lo
contrario sería imposible resolver problemas afines al tema.
Tema 3
Aplicación de los ángulos
notables
• Signos de las funciones en
los cuatro cuadrantes
• Ángulos notables en los
cuatro cuadrantes
• Utilizar funciones de ángulos
notables en la resolución
de ejercicios y problemas.
Actividades de inicio
Recordar que los llamados ángulos notables del primer cuadrante son: 30º, 45º
y 60º. Explicar por qué se consideran notables.
Actividades de desarrollo
Debido a su importancia es conveniente deducir los valores de las funciones
trigonométricas para estos ángulos. Explicar al alumno que no tiene que
aprenderse de memoria estos valores, sin embargo, el conocerlos ahorra tiempo
en el cálculo.
Tema 4
Probabilidades simples
• Propiedades de las
probabilidades
• Calcular probabilidades
simples aplicando el concepto.
Actividades de inicio
¿Qué posibilidad existe de que el próximo carro que divisemos en la calle sea de
color azul? Debatir esta pregunta y escuchar respuestas de los alumnos. Unos dirán
muchas, otros dirán pocas, otros ninguna. Explicar que en Matemática existe una
rama que se encarga de predecir este tipo de eventos: las probabilidades, las cuales
tenemos que ver (inicialmente) como la medida de que ocurra o no un suceso
determinado.
Actividades de desarrollo
Proponer la idea de observar los colores de 50 carros y llevar la estadística.
Tema 5
Dependencia de eventos
• Eventos independientes
• Eventos dependientes
• Principios fundamentales
del conteo
• Calcular la probabilidad
de que ocurran eventos
independientes o
dependientes.
• Determinar cantidad de
posibilidades y maneras
diferentes de realizar una
actividad.
Actividades de inicio
Recordar el concepto de probabilidad. A partir de aquí seguir el orden del texto
para motivar el tema.
Actividades de desarrollo
Explicar si se tratan de eventos dependientes o independientes. Agotar todas las
posibilidades de ejemplos para que se desarrolle la destreza correspondiente.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Y PROBABILIDAD A través de ejemplos sencillos recordar las propiedades universales de los triángulos, en especial de los triángulos
rectángulos: los ángulos agudos son complementarios, la hipotenusa es el mayor de los lados, desigualdad triangular
y área del triángulo rectángulo, cuya fórmula se simplifica pues basta calcular el semiproducto de sus catetos.
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Bloques curriculares
29
Recomendaciones metodológicas RecursosRecomendaciones
de evaluación
Actividades de desarrollo
El alumno debe comprender aquí un concepto nuevo: resolver un triángulo. Esto
es, calcular sus 6 elementos más el área, pero que para ello siempre necesitaremos 2
elementos dados: un ángulo agudo y un lado o 2 lados, nunca resolveríamos con 2
los ángulos agudos (incluso si conocemos un ángulo agudo ya conocemos el otro
porque son complementarios).
Actividades de aplicación
Ejercicios de la página 185 del texto
• Texto
• Regla graduada
• Graduador
• Compás
• Proyector o infocus
• Pregunta escrita para
comprobar destrezas
desarrolladas en la
resolución de triángulos
rectángulos.
Queda absolutamente claro que, en general, no podemos hablar del desarrollo de
destrezas en procesos si no existe una sólida base conceptual, pues de lo contrario
los alumnos trabajarían memorizando procesos particulares, los cuales olvidarían
fácilmente. La finalidad aquí es que los alumnos resuelvan problemas. En este
contexto es conveniente que trabajen solos, sin figuras de análisis dadas por el
docente, pues deben ser capaces de construir las figuras de análisis y determinar
si se trata de un ángulo de elevación o de un ángulo de depresión.
Actividades de aplicación
Zona de Aplicación de la página 190 del texto
• Texto
• Regla graduada
• Tres colores para realizar
los gráficos o esquemas
ilustrativos
• Artículo de Internet o
revista que revele el
ángulo de elevación
de un avión
• Pregunta escrita donde
se valore el nivel de
adquisición de las
destrezas en la resolución
de problemas afines
al tema.
Esto quiere decir, que no está mal que lo memoricen después que sean deducidos.
Mucha atención a la determinación de los ángulos de referencia y el signo de la
función en ese cuadrante. El estudiante debe desarrollar destrezas para calcular, por
ejemplo: cos 240º
Primeramente, determina que 240º está en el tercer cuadrante y su ángulo de
referencia es 240º - 180º = 60º, luego cos 240º = - cos 60º debido a que el coseno es
negativo en el tercer cuadrante y finalmente, cos 240º = - 1/2
Actividades de aplicación
Zona de Aplicación de la página 199 del texto
• Texto
• Regla graduada
• Escuadras
• Compás
• Pregunta escrita para
evaluar el nivel de
destrezas en el cálculo
de las funciones
trigonométricas de
ángulos notables en los 4
cuadrantes.
Los estudiantes toman notas y ellos asumen estrategias particulares para controlar
los datos. Supongamos que, de los 50 carros, 12 fueron azules. Entonces el docente
vuelve a preguntar, ¿cuál es la probabilidad de que el próximo carro sea azul? De una
conversación de clases debe surgir la idea de dividir 12 ÷ 50 = 0,24 . Luego pedimos
que expresen porcentualmente esa cantidad. El 24 %, luego se puede estimar que,
aproximadamente, de cada 4 carros que pasan por la calle uno es azul. El resto del
tema se ciñe al orden del texto.
Actividades de aplicación
Zona de Aplicación de la página 204 del texto
• Texto
• Salida al exterior de la
sala de clases para realizar
experimentos aleatorios
• Seleccionar ejercicios de
la Zona de aplicación y de
la Guía del docente para
proponer tarea.
• Pregunta escrita, con
cuaderno y libro abierto,
pues ésta debe ser
una línea de acción
permanente.
Por otro lado, deben reconocer que la fórmula P(E1, E2) = P(E1) • P(E2) se aplica en ambos
casos, solo que cuando los eventos son dependientes varía el espacio muestral.
Resolver la mayor cantidad y variedad de ejercicios posibles.
Actividades de aplicación
Ejercicios de la página 210 del texto
• Regla graduada
• Texto
• Examen trimestral que
aparece en la Guía del
docente.
Numérico Relaciones y funciones Geométrico
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Sistema de evaluación
El sistema de evaluación en los textos
Enfatiza que los docentes deben evaluar en forma sistemática lo que el alumno es capaz de hacer al enfrentarse a
diversas situaciones y problemas.
Al seleccionar las técnicas de evaluación se deben preferir aquellas que ayuden al maestro a seguir
el proceso de aprendizaje de un estudiante.
Siguiendo los lineamientos del ME, hemos concebido
y organizado el proceso de evaluación de dos maneras:
Evaluación en el texto del estudiante:
Una evaluación endógena pensada para que sean
los propios alumnos los que realicen el seguimiento
y valoración de su proceso de aprendizaje. Mediante, lo
que aprendí.
En la Guía del Maestro:
Una evaluación exógena, que proviene del maestro,
y que sirve para conocer el grado de apropiación por
parte del alumno del conocimiento, y por otra, para
concretizar la observación del proceso en parámetros
traducibles a notas. Mediante:
Prueba de Diagnóstico, con el objetivo de que el pro-
fesor obtenga una idea general sobre los conocimien-
tos previos de los alumnos y si tienen o no los prerre-
quisitos que se necesitan para los nuevos aprendizajes.
Pruebas de Unidad, están pensadas para seguir un
tramo corto del proceso de aprendizaje que dan cuen-
ta sobre las debilidades y fortalezas de conocimiento
frente a temas concretos.
Pruebas Acumulativas Trimestrales para que el do-
cente pueda conocer qué ha aprendido el estudiante
en un período más largo y pueda tomar decisiones
cómo dar explicaciones adicionales, tutorías de alum-
nos aventajados, presentar el conocimiento por medio
de otros recursos, revisar los aspectos que generan tra-
bas en el conocimiento, entre otras técnicas.
Sugerencias para el manejo de las Pruebas de Mó-
dulo y Trimestrales.
La Guía del maestro presenta a los docentes modelos
de pruebas. Espera que las utilicen como ejemplos; los
docentes deberán diseñar las suyas de acuerdo con las
características, nivel y ritmo de los alumnos en su clase.
El ME sugiere aplicar las siguientes técnicas:
· Observación directa del desempeño de los
estudiantes.
· La valoración de la defensa de las ideas.
· La utilización de los diferentes puntos de vista.
· Argumentación sobre conceptos e ideas teóricas.
· Explicación de los procesos realizados.
· Solución de problemas.
· Producción escrita que refleje procesos reflexivos del
alumno.
· Realización de pruebas.
Instrumentos de evaluación
· Mapas mentales
· Método de caso
· Proyectos
· Diario
· Debate
· Técnica de la pregunta
· Portafolio
· Ensayo
· Lista de cotejo
· Rúbricas
· Rangos
Nombre:
Fecha: Año: Paralelo:
Prueba de diagnóstico
31
Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja.
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1 Al calcular la operación 1_2
+5_6
4 –10__3
obtenemos como resultado:
a) –1__
10
b) 1_4
c) –3_4
d) 1_6
a) 8__
13
b) 5_8
c) 9__
40
d) 3_5
a) 8 cm
b) 5,13 cm
c) 10 cm
d) 12 cm
a) 2 010
b) 2 013
c) 2 023
d) 13
a) 50 años
b) 45 años
c) 52 años
d) 53 años
a) 30 cm3
b) 15 cm3
c) 60 cm3
d) 10 cm3
a) 2x – 1
b) 3x – 2
c) 6x + 1
d) x – 2
2 El triángulo ABC de la figura es rectángulo
en B. Entonces la medida del segmento AB es
igual a:
3 El volumen de una pirámide regular cuya
base es un cuadrado de lado igual a 6 cm
y su altura es h = 5 cm, es igual a:
5 Ana, Bety y Cecilia se reparten una torta de
chocolate. Ana toma 3_8
de la torta, Bety se
come2_5
, mientras que a Cecilia
le corresponde el resto.
¿Qué parte le corresponde a Cecilia?
7 Hace 3 años, la edad de la hija era 2_5
de
la edad del padre y entre ambas edades
tenían la edad de la abuela, que era 70 años.
¿Cuántos años tiene actualmente el padre?
6 Si x + 7 + y = 20, entonces x + y + 2010
es igual a:
4 Uno de los factores del trinomio 6x2 + x – 2 es:
A B
C
5 cm 13 cm
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������������������
Prueba de módulo 1
32
Nombre:
Fecha: Año: Paralelo:
Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja.
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scrito d
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Ed
itoria
l.
1 Al lado de cada proposición escribe
V si la consideras verdadera
o F si la consideras falsa.
2,5 puntos
4 Una fábrica produce enlatados
durante una semana. El primer día su
producción es de 8 000 latas y a partir
del segundo día produce 2 000 latas
más que el día anterior.
5 puntos
5 Una recta r pasa por los puntos (2,0)
y (–2, –4). Determina la ecuación
de la recta r, determina su pendiente
y grafícala.
2,5 puntos
2 Dada la función lineal f definida por la
ecuación: f(x) = –2 x + 4, realiza lo siguiente.
7 puntos
3 La función f(x) = 3x + 2 representa una
fuerza variable.
3 puntos
Toda relación es función.
Toda función es relación.
No existe pendiente negativa.
La gráfica de la función lineal es una recta.
La ecuación y = 4 genera una función
lineal.
a) Halla f(–1).
b) ¿En qué punto intersecta el gráfico de f al
eje de las y?
c) Representa gráficamente la función dada.
d) Investiga si el punto P de coordenadas (3; -
2) pertenece al gráfico de la función.
e) ¿Para qué valor de x se obtiene f(x) = –18?
f ) ¿Para qué valores de x el gráfico de f pasa
por debajo del eje x?
g) ¿Es f creciente o decreciente? Justifica
tu respuesta.
a) Escribe la expresión funcional
de su producción.
b) Determina la producción del sexto día.
c) Elabora una tabla de pares ordenados.
d) Construye la gráfica correspondiente
a la tabla anterior.
e) Si continúa la misma tendencia productiva,
cuál será la producción después de 30, 60
y 90 días.
a) Construye una tabla de pares ordenados
de F.
b) Elabora su gráfica.
c) Calcula la pendiente.
d) Determina su intersecto con el eje de las x.
e) Calcula el valor inicial de f.
f ) Calcula el valor de F para x = 2,5 .
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Pro
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Prueba de módulo 2
33
Nombre:
Fecha: Año: Paralelo:
Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja.
a) 3x – y = 4
–x + 2y = 8b)
5x = y – 15
7y = 6 + 2x
c) 2y – x = 9
4x– y = –1d)
2__3
x – 5__6
y = 3__2
–x__2
+ 3y__4
= –5__4
1 Al lado de cada proposición escribe
V si la consideras verdadera
o F si la consideras falsa.
4 puntos
2 Resuelve cada uno de los siguientes
sistemas de ecuaciones por el método
que estimes pertinente.
4 puntos
3 Tatiana compró 4 fundas de galletas
y 5 de caramelos, pagando en total
� 9,30. Si cada funda de caramelos
cuesta las tres cuartas partes de una de
galletas, ¿cuánto costó cada funda?
4 puntos
4 Las ecuaciones de posición de 2
móviles son x = 3t – 2 ; x = –2t + 4, con
x en kilómetros y t en horas.
4 puntos
5 Se sabe que la suma de los ángulos
interiores de un triángulo es igual
a 180º. Si el primero es de 36º y el
segundo es la mitad del tercero, ¿cuáles
son las amplitudes de estos 2 últimos
ángulos?
4 puntos
Todos los sistemas de 2 ecuaciones
tienen solución.
Dos rectas siempre se cortan
en un punto.
Número negativo elevado a potencia par
es negativo.
La gráfica de la función de
proporcionalidad directa pasa por
el origen.
Si resuelvo un sistema por varios
métodos, el resultado es el mismo.
c) Resuelve el sistema.
d) Verifica los resultados
e) Realiza la interpretación geométrica.
a) Designa variables.
b) Construye las ecuaciones.
a) ¿En qué tiempo han recorrido la misma
distancia?
b) Verifica el resultado anterior.
c) Construye una gráfica e interpreta
geométricamente la situación planteada.
34
Nombre:
Fecha: Año: Paralelo:
Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja.
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l.
Prueba de módulo 3
1 Al lado de cada proposición escribe
V si la consideras verdadera
o F si la consideras falsa.
4 puntos
4 Resuelve la siguiente operación
combinada de números reales.
4 puntos
5 En un triángulo, uno de sus ángulos
tiene una amplitud de 75 º 28 ‘
y el segundo ángulo mide 39 º 45’.
Calcula la amplitud del tercer ángulo
en radianes.
4 puntos
2 Considerando los conjuntos numéricos,
� de los naturales, � de los enteros,
� de los racionales y � de los reales,
señala el conjunto numérico más
restringido al cual pertenecen los
siguientes números.
4 puntos
3 Racionaliza las siguientes expresiones. 4 puntos
Un radián equivale a 180º.
Los conjuntos �, � y � son subconjuntos
de �.
Ángulos alternos internos entre paralelas
son iguales.
Dos ángulos opuestos por el vértice son
consecutivos.
El producto de 2 números irracionales es
siempre un irracional.
a) –6
b) π
c) 0
d) – 361
e) –2 009_____2 010
f ) 81___49
a)
b)
c)
d)
e)
f )
3 ___ √
__ 3
5 – 1 __ 2
6 ____ 4 √___
16
√
__ 2 _______
√__
3 – √__
2
1 ______ x – √
__ x
1 _______ √
__ x + √
__ y
2 __ 3
– 0,4 ________
√__
9 __ 4
+ 2,6 � ( – 1 __
2 )
–3
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35
Nombre:
Fecha: Año: Paralelo:
Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja.
Prueba de módulo 4
1 Al lado de cada proposición escribe
V si la consideras verdadera
o F si la consideras falsa.
2,5 puntos
2 Considera un triángulo rectángulo
de catetos 3 y 4 cm respectivamente.
2 puntos
3 Halla el área lateral de un cono
sabiendo que la generatriz mide
27 cm y el radio de la base mide 15 cm .
2 puntos
4 El área total de un cono es 39 π cm2.
El radio de la base y la altura están en
relación 1:3, en ese orden. Halla el radio
y la altura del cono.
4 puntos
5 Se estima la producción petrolera
de los campos de Petroecuador y de
la empresa privada en 520 mil barriles
diarios. Determina este valor en litros
y en metros cúbicos.
3 puntos
6 ¿Qué datos necesitas para poder
calcular el volumen de un tetraedro
regular? ¿Es un tetraedro una
pirámide? Explica tus respuestas
elaborando gráficos.
3 puntos
7 La siguiente tabla corresponde a una
función exponencial.
2,5 puntos
Todo prisma tiene mayor capacidad que
cualquier pirámide.
La unidad de longitud del SI es el km.
La unidad de volumen del SI es el litro.
El número 41, 32 • 108 está expresado
en notación científica .
Todo polinomio se puede factorizar.
a) ¿Cuánto mide la hipotenusa de este
triángulo?
b) Se rota el triángulo dado alrededor del
cateto mayor y se obtiene un cono 1. Halla
el volumen de este cono.
c) Se rota el triángulo dado alrededor
del cateto menor y se obtiene otro cono,
al cual llamaremos 2 . Halla el volumen
del cono 2 .
d) Compara los volúmenes de los conos
1 y 2. ¿Puedes establecer alguna
conjetura?
a) Completa los casilleros vacíos.
b) Grafica la función.
c) Explica el comportamiento obtenido.
d) Escribe la ecuación de la función.
e) Identifica el dominio y el rango
de la función.
x 1 2 3 4 5
y 2/5 2/25
36
Nombre:
Fecha: Año: Paralelo:
Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja.
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Prueba de módulo 5
1 Al lado de cada proposición escribe
V si la consideras verdadera
o F si la consideras falsa.
2,5 puntos 4 ¿Cuál es el ángulo de referencia en
el primer cuadrante del ángulo cuya
medida en radianes es 7π__4
?
3 puntos
5 Indica si es posible que los ángulos
interiores de un cuadrilátero sean 103º,
66º, 122º y 69 º. Explica tu respuesta.
2 puntos
6 Determina cuántos gramos hay en una
tonelada métrica. Expresa el resultado
en notación científica.
2 puntos
7 Determina cuántos segundos hay
en un lustro. Expresa el resultado
en notación científica.
2 puntos
8 Las notas de Matemática de un paralelo
de tu colegio son las siguientes.
3 puntos
Seno y secante son funciones recíprocas.
Coseno es la cofunción de la cotangente.
La unidad de masa del SI es el gramo.
La unidad de tiempo del SI es la hora.
La suma de los ángulos internos
de un polígono es igual a 180º.
a) Elabora la tabla de frecuencias.
b) Calcula la media aritmética de estas
calificaciones.
c) Interpreta el resultado obtenido.
2 En los círculos de la columna B escribe
el número de la columna A que
corresponda.
3 Calcula todas las funciones
trigonométricas del ángulo XOA, sabiendo
que A es el punto (–3, –7), O es el origen
de coordenadas y X es el punto
de coordenadas (1; 0).
3 puntos
Columna A
1 Coterminales
2 Cuadrantales
3 Suplementarios
4 De referencia
5 Complementarios
Columna B
27º y 63º
50º y 230º
90º y 270º
60º y – 300º
115º y 65º
12 14 12 19 20 16 18 15 19
19 17 16 18 20 15 16 20 18
12 20 19 19 12 11 14 16 16
14 13 20 16 14 20 20 19 18
16 14 18 10 20 14
2,5 puntos
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37
Nombre:
Fecha: Año: Paralelo:
Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja.
Prueba de módulo 6
1 Al lado de cada proposición escribe•
V si la consideras verdadera
o F si la consideras falsa.
2,5 puntos
2 Realiza los cálculos indicados en cada
caso, aplicando los conocimientos
adquiridos de las funciones trigonométricas
de los ángulos notables, las cofunciones y los
ángulos de referencia. Racionaliza cuando sea
necesario.
3 puntos
3 Resuelve un triángulo rectángulo,
conociendo que un cateto mide 4,5 cm
y se opone al ángulo de amplitud igual
a 36º.
3 puntos
4 De un triángulo rectángulo se conoce
que su área es igual a 6 cm2 y que los
catetos se encuentran en la relación 1 ÷ 3.
3 puntos
5 En un colegio fiscal de Guayaquil,
sólo pueden ser candidatos al directorio del
curso quienes tienen más de 17 en disciplina.
El curso tiene 45 alumnos y15 cumplen
la condición exigida. El directorio tiene 4
miembros, ¿de cuántas maneras se podría
conformar?
3 puntos
6 Para un ángulo del primer cuadrante,
la cotangente del mismo es 0,2 . Calcula las
demás funciones trigonométricas de este
ángulo.
3 puntos
7 Efectúa la siguiente operación con
unidades de tiempo.
16h25 con 56 seg + 13h45 con 34 seg
– 8h56 con 45 seg
2,5 puntos
Ángulos de elevación y de depresión son
siempre agudos.
Las funciones de 45º y 225º tiene los
mismos valores.
La probabilidad de cualquier evento es
siempre 1 .
Hay eventos imposibles.
Todo evento depende de otro.
a) Halla la longitud de la hipotenusa
y de la altura relativa a la hipotenusa.
b) Determina las amplitudes de los ángulos
agudos de este triángulo.
a)
b)
c)
sen 31 5 0 + cos 33 0 0 _________________ tan4 5 0 • csc 21 0 0
ctg 22 5 0 – sen 15 0 0 • cos 18 0 0
_________________________ sec 13 5 0 � sen 9 0 0
ta n 2 21 0 0 + se n 2 33 0 0 + cos ______________________ tan4 5 0 • csc 21 0 0 – ctg 9 0 0
38
Examen trimestral 1Nombre:
Fecha: Año: Paralelo:
Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja.
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1 Al lado de cada proposición escribe
V si la consideras verdadera
o F si la consideras falsa.
2 puntos 3 En los círculos de la columna B escribe
el número de la columna A que
corresponda.
2 puntos
2 Completa las siguientes proposiciones. 2 puntos
4 Una recta pasa por los puntos (–2,–5)
y (–3, 7). La pendiente de la recta es:
2 puntos
a) Un polinomio queda totalmente
descompuesto en factores cuando
b) Una relación es función cuando
c) La pendiente de una recta se define como
d) Un par ordenado es solución de un
sistema de ecuaciones cuando
e) Una fracción algebraica es irreducible
cuando
Columna A
1 A x B
2 y = 3x – 5
3 2x + y = 3
3x + 2y = 4
4 y = 6 – 5x
5 y = 12x
Columna B
Función decreciente
Función de proporcio-
nalidad directa
Producto cartesiano
Función creciente
Sistema de ecuaciones
En los siguientes problemas se debe seleccionar
la respuesta correcta y justificar la elección
a través de un desarrollo.
a) 5__
12
b) 2__5
c) 12__5
d) 5__2
a) 1__2
; 0
b) –1__2
; 0
c) 1__
12; 0
d) –1__
12; 0
a) una línea recta horizontal .
b) una recta inclinada descendiente.
c) una recta inclinada descendiente.
d) una recta vertical.
La gráfica de la funcione es:
El intercepto con el eje horizontal es:
Hay relaciones que no son funciones.
Toda relación entre 2 conjuntos está
contenida en el producto cartesiano
de esos conjuntos.
Una ecuación del tipo y = kx define una
función lineal.
Todo sistema de 2 ecuaciones lineales
tiene 2 soluciones.
La suma de 2 ángulos agudos
es un ángulo obtuso.
39
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Examen trimestral 1
5 Una empresa distribuidora de
bolígrafos organiza una promoción
para vender estuches de 12 bolígrafos a
��1 cada uno. Se instalan en una institución
educativa que tiene 2 500 alumnos y la
promoción dura 10 días hábiles. El primer día
vende 150 estuches. A partir del segundo día
vende 50 estuches más que el día anterior,
manteniendo esta tendencia hasta el final
de la oferta.
2 puntos
6 Un cuerpo que asciende se rige por
la ecuación v = 20 – 9,8t y otro que
desciende tiene una ecuación
v = 40 + 9,8t. ¿En que instante la velocidad
del que cae es el triple de la velocidad del
cuerpo que sube? ¿Qué velocidad tiene cada
uno en ese instante?
2 puntos
7 Dos ángulos son complementarios
y la diferencia entre ellos es de 14º.
2 puntos
9 Dada la función f definida por la
ecuación f(x)= –3x + 5. Es cierto que:
3 puntos
8 ¿Cuál debe ser el valor de k en el
sistema 2x – y = –5
x + ky = 11 para que la
solución sea el par ordenado (–1; 3)?
3 puntos
a) 0; 0
b) 0; 1__5
c) 0; – 1__5
d) 0; –5
a) y = 150t + 50
b) y =150t – 50
c) y = 50t – 50
d) y =150 + 50
a) 5.52 seg
b) 5.25 seg
c) 255 seg
d) 1,28 seg
a) 52º
b) 38º
c) 19º
d) 43º
a) 250
b) 300
c) 350
d) 400
a) 15 seg
b) 30 seg
c) 40 seg
d) 45 seg
a) 38º
b) 52º
c) 71º
d) 47º
a) –1
b) 2
c) –3
d) 4
a) f(–1) = –8
b) f es creciente .
c) f(1,25) = 1,25
d) f(0) = 0
a) 5 seg
b) 10 seg
c) 133 seg
d) 13 seg
a) 5º
b) 6º
c) 7º
d) 8º
a) 4º
b) 6º
c) 6º
d) 7º
El intercepto con el eje horizontal es:
Plantea la ecuación desde el segundo día.
¿Cuál es el tiempo?
¿Cuál es el primer ángulo?
¿Cuántos estuches vendió el quinto día?
¿Cuál es la velocidad del que cae?
¿Cuál es el segundo ángulo?
¿Qué día vendió 450 estuches?
¿Cuál es la velocidad del que sube?
¿Qué día vendió estuches a 1 200 alumnos?
40
Nombre:
Fecha: Año: Paralelo:
Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja.
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l.
Examen trimestral 2
1 Al lado de cada proposición escribe
V si la consideras verdadera
o F si la consideras falsa.
2 puntos 3 En los círculos de la columna B escribe
el número de la columna A que
corresponda.
2 puntos
2 Completa las siguientes proposiciones. 2 puntos
4 Se tiene una pirámide regular cuya
base es un hexágono de 15 cm de lado
y 8 cm de apotema, cuya altura es 17 cm .
2 puntos
a) Un metro cuadrado es
b) Un cono es
c) Un radián es
d) El conjunto de números reales es la unión
de los conjuntos
e) La generatriz de un cono es siempre
mayor que su altura porque
Columna A
1 Generatriz
2 π radianes
3 Enteros
4 Conjugada
5 Exponencial
Columna B
Crecimiento multiplicativo
Racionalización
Sistema circular
Cono
Naturales y sus opuestos
En los siguientes problemas se debe seleccionar
la respuesta correcta y justificar la elección
a través de un desarrollo.
a) 90 cm2
b) 180 cm2
c) 360 cm2
d) 720 cm2
a) 18,79 cm
b) 17,98 cm
c) 15 cm
d) 9 cm
a) 300 cm2
b) 545,6 cm2
c) 675,6 cm2
d) 845,55 cm2
¿Cuál es la altura de la cara?
¿Cuál es el área de la base?
¿Cuál es el área lateral?
Para racionalizar denominadores se usan
sus conjugadas.
La suma de 2 números reales no siempre
es real.
La función exponencial crece en línea
recta.
El volumen de un prisma es siempre
el triple del volumen de cualquier
pirámide.
La unidad de capacidad del
SI es el litro.
41
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Examen trimestral 2
5 Resuelve la siguiente operación con
números reales.
2 puntos
6 En un triángulo, el primer ángulo
es el doble del segundo y el tercero es de
2 radianes. Halla el valor de los 2 ángulos
desconocidos en radianes.
2 puntos
10 Sea el trinomio 4a + 2a – 12 .
Si descomponemos en factores
el trinomio dado se obtienen dos factores
y uno de ellos es:
1 punto
11 ¿En qué cuadrante se encuentra
el ángulo α = 6 radianes?
1 punto
9 ¿Cuál es la mitad del número 22 010? 2 puntos
a)
b)
c)
d)
a) 1,52 rad
b) 1,14 rad
c) 0,76 rad
d) 0,38 rad
a) 1,52 rad
b) 1,14 rad
c) 0,76 rad
d) 0,38 rad
¿Cuál es el primer ángulo?
¿Cuál es el segundo ángulo?
a) 855,55 cm2
b) 1 205,55 cm2
c) 1 265,6 cm2
d) 1 665,55 cm2
a) 2 040 cm3
b) 1 632 cm3
c) 1 385 cm3
d) 1 104 cm3
a) 2–
1_4 • 3
–1_
10
b) 21_4 • 3
–1_
10
c) 21_4 • 3
1_10
d) 2–
1_4 • 3
1_10
a) 21 005
b) 1 005
c) 22 009
d) 12 010
a) 2a – 4
b) 2a – 3
c) 2a
d) 2
a) I cuadrante
b) II cuadrante
c) III cuadrante
d) IV cuadrante
a) 2 010,815 2 dm3
b) 0,201 081 52 • 104 dm3
c) 2,010 815 2 • 103 dm3
d) 201 081,52 dm3
a) 2 010,815 2 kl
b) 0,201 081 52 • 104 kl
c) 2,010 815 2 • 103 kl
d) 201.081 52 kl
¿Cuál es el área total?
¿Cuál es el volumen de la pirámide?
¿Qué se obtiene como resultado?
Expresa el resultado en decímetros cúbicos
y en notación científica.
Expresa el resultado en kilolitros
y en notación científica
7 Determina la suma de
814 cm3 + 1 200 mm3 + 10 dm3 + 2 m3.
2 puntos
8 Al resolver la operación 2 puntos
3 +2_5
+ 0,4 – 1,5
1,25 – 23_4
+ 162___2
315 + 2 835 2____________13 203
–35 + 315 2___________1 467
1 467___________–35 + 315 2
35 – 315 2___________1 467
23_4 • 3
2_5
______
41_2 • 9
1_4
42
Nombre:
Fecha: Año: Paralelo:
Realiza los ejercicios propuestos, si necesitas más espacio, usa la parte posterior de la hoja.
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Examen trimestral 3
1 Al lado de cada proposición escribe
V si la consideras verdadera
o F si la consideras falsa.
2 puntos 3 En los círculos de la columna B escribe
el número de la columna A que
corresponda.
1 puntos
2 Completa las siguientes proposiciones. 2 puntos
4 El triángulo de la figura es rectángulo y
se conoce que α es un ángulo agudo,
la hipotenusa mide 4,1 y un cateto 2,4 .
5 puntos
a) La suma de ángulos interiores
de un polígono es
b) La probabilidad es igual a cero cuando
c) Dos ángulos son coterminales cuando
d) Un triángulo rectángulo está resuelto
cuando
Columna A
1 Ángulo notable
2 Funciones
complementarias
3 Funciones recíprocas
4 Ángulo llano
5 Ángulo recto
Columna B
180º
90º
Seno
y cosecante
Seno y coseno
45º
En los siguientes problemas se debe seleccionar
la respuesta correcta y justificar la elección
a través de un desarrollo.
¿Cuál es el seno α?
¿Cuál es el coseno α?
La tangente es la inversa
de la cotangente.
La unidad SI de masa es la libra.
La media aritmética es lo mismo que
el promedio.
El ángulo de referencia de 210º
es 60º
sen 40º = cos 50º
a) 22__
37
b) 885____9
c) 885____37
d) 885____885
a) 22__
37
b) 885____9
c) 885____37
d) 885____885
α
2,44,1
43
� ����������������
���������������������
������������������
����������
Pro
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ep
rod
ucc
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al.
Examen trimestral 3
5 Resuelve la siguiente operación con
unidades de tiempo. 7h25 con 42 seg
+ 12h43 con 39 seg – 17h22 con 55 seg.
2 puntos
7 Se lanza un dado. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener un número
mayor que 4?
6 puntos
6 Las siguientes son las calificaciones
trimestrales obtenidas en matemática
en un paralelo de décimo año
de un colegio fiscal de Guayaquil.
2 puntos
¿Cuál es la tangente α?
¿Cuál es el ángulo α?
¿Cuál es el otro ángulo agudo del triángulo?
El resultado es.
Transforma el resultado a segundos
y exprésalo en notación científica.
a) 22__
37
b) 885____9
c) 885____37
d) 885____885
a) 36,48º
b) 38,64º
c) 46,38º
d) 48,63º
a) 53,52º
b) 51,36º
c) 43,62º
d) 41,37º
a) 3 h 41 con 42 seg .
b) 3 h 11 con 12 seg .
c) 2h46 con 26 seg .
d) 2 h 16 .
a) 99,86 • 102 seg
b) 13,302 • 103 seg
c) 9,986 • 103 seg
d) 1,330 2 • 104 seg
16 12 15 20 17 13 12
20 19 14 10 12 12 15
18 20 14 18 14 16 17
12 14 12 14 18 16 16
11 10 14 12 20 14 14
a) 14 b) 14,86 c) 15 d) 15,4
a) 1__
6
b) 1__
3
c) 1__
2
d) 2__
3
a) 1__
6
b) 1__
3
c) 1__
2
d) 2__
3
a) 1__
6
b) 1__
3
c) 1__
2
d) 2__
3
a) 1__
6
b) 1__
3
c) 1__
2
d) 2__
3
a) 1__
6
b) 1__
3
c) 1__
2
d) 2__
3
a) 1__
6
b) 1__
3
c) 1__
2
d) 2__
3
¿Cuál es la media aritmética exacta?
¿Cuál es la probabilidad de obtener
un número primo mayor que 4?
¿Cuál es la probabilidad de obtener
un número menor que 4?
¿Cuál es la probabilidad de obtener
un número par menor que 4?
¿Cuál es la probabilidad de obtener
un número primo menor que 4?
¿Cuál es la probabilidad de obtener
un número primo impar menor que 4?
Actividades adicionales
Resuelve los ejercicios propuestos en tu cuaderno de trabajo.
44
Módulo 1
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rial.
1 Se tiene la ecuación y + 2_3
x = 3_4
correspondiente a una recta. ¿Cuál es la pendiente?
2 La expresión y = (x + 1)2 representa:
¿Cuál es ell intercepto con el eje de las x?
3 La expresión y = (x + 1)1/2 representa:
4 ¿Cuál de los siguientes pares ordenados
corresponde a la función: f(x) = 0,8x + 4,2?
5 Considera la ecuación v = 20 – 10t. ¿Qué valor
toma v cuando t = 0?
6 Considera la ecuación v = 15 + 10t. ¿Cuál
es valor de t, para v = 40?
7 Una recta r pasa por los puntos 3_4
; 0 y 0; –2 ,
entonces ¿cuál es su pendiente?
a) 1_3
b) 2_3
c) 1
d) 2_3
a) (0; 0)
b) (–1; 5)
c) (1; 5)
d) (–2; 5,8)
a) 2
b) 5
c) 10
d) 20
a) 1,5
b) 2,5
c) 10
d) 25
a) 3_4
b) 2
c) 2,5
d) 5
a) 3_4
b) 8_9
c) 9_8
d) 4_3
a) una función lineal.
b) una función cuadrática.
c) una función cúbica.
d) una relación.
a) una función lineal.
b) una función cuadrática.
c) una función cúbica.
d) una relación.
Actividades adicionales
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45
10 La siguiente tabla representa una función de
proporcionalidad directa.
8 Sea la relación dada por la regla
de correspondencia y = 5x +1, si el dominio
es el conjunto de números naturales menores
que 5, ¿cuál es el número de pares ordenados
que satisface la relación?
9 Una recta pasa por los puntos (2; –1,16)
y (–2; 3,2), entonces su intercepto con
el eje de las y es:
11 Un artesano de calzado elabora 10 pares
de zapatos el primer día de la semana,
aumentando su producción en 20%
diariamente, durante 10 días.
a) 4
b) 5
c) 20
d) infinito
a) 0,3
b) 0,6
c) 0,8
d) 1
a) 8
b) 9
c) 17
d) infinito
a) (5; 8)
b) (10; 4)
c) (10; 8)
d) (8; 10)a) –2
b) 0
c) 2
d) 4
a) –2
b) –4
c) –6
d) –8
a) 20
b) 15
c) 10
d) 5
a) –2
b) 0
c) 2
d) 4
a) 3
b) 5
c) 7
d) 9
a) 0,3
b) 0,6
c) 0,8
d) 1
¿Qué punto contiene esa recta r?
El valor de y para x = 0 es:
El valor de y para x = 4 es:
¿Después de cuántos días duplica
su producción?
La constante de proporcionalidad es:
¿Después de cuantos días elabora 48 pares?Su intercepto en el eje de las x es:
Si el dominio es el conjunto de números
enteros mayores que –5 y menores que 5, la
cantidad de pares ordenados que satisface la
relación es igual a:
x –2 0 2 4
y 4 –4
Actividades adicionales
Resuelve los ejercicios propuestos en tu cuaderno de trabajo.
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Módulo 2
1 La ecuación de la posición en el movimiento
uniforme es x = v t + xo . Un móvil viaja hasta
la posición 9 m en 5 segundos y alcanza
posición 14 m a los 10 segundos. Entonces,
la velocidad de este móvil es:
2 El peso de un cuerpo viene dado por la
ecuación W = 10 m, donde W está dado en
newtons y m en kilogramos. La fuerza, según
la ley de Newton es igual a: F = m a .
Si W = 50N y F = 80N, ¿cuál es el valor de a?
3 La ecuación de la velocidad en el movimiento
variado es v = vo + at. Para el tiempo 8 seg, la
velocidad v es 20 m/seg y para el tiempo t =
12 seg, la velocidad v es 25 m/seg. Entonces,
la aceleración es:
La posición inicial es:
La velocidad inicial es:
4 En un comisariato de calzado popular, las
ventas de zapatos de niñas crecen de acuerdo
a la ecuación x = 200t + 15. En cambio, las
ventas del calzado de los niños obedecen a la
ecuación x = 100t + 25. ¿Cuántos días deben
pasar para vender el mismo número de pares
a niñas y niños?
5 En las pruebas mensuales de Matemática el
rendimiento de Betsy sigue la ecuación
x = 20 – 7,5t, donde t está dado en meses.
Mientras Betsy desciende, Mariela aumenta
sus calificaciones de acuerdo a la ecuación
x = 60 + 5t, con t dado en meses también.
¿Después de cuántos meses el rendimiento
de Mariela duplica al de Betsy?
a) 1m/seg
b) 2m/seg
c) 3m/seg
d) 4m/seg
a) 2,5 m/seg
b) 5 m/seg
c) 7,5 m/seg
d) 10 m/seg
b) 2,5 m/seg2
c) 3,75 m/seg2
d) 5 m/seg2
a) 5
b) 10
c) 15
d) 25
a) 2,5
b) 5
c) 7,5
d) 10
a) 1 m
b) 2 m
c) 3 m
d) 4 m
a) 5
b) 8
c) 10
d) 16
a) 1,25 m/seg2
Actividades adicionales
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6 Al simplificar la expresión algebraica
¿qué obtenemos como resultado final? 10 En la figura, las 2 rectas verticales son
paralelas.
7 ¿Cuál es la simplificación de la expresión
algebraica ( x 2 – 8x + 15) ( x 2 + 11x + 24)
_______________________ ( x 2 – 9) ( x 2 – 4)
?
8 Dos ángulos suplementarios cumplen la
condición de que el segundo es menor que el
primero en 24º. Entonces, el primer ángulo es:
9 Dos ángulos son complementarios y el
segundo es mayor que el primero en 15º.
Entonces, el primer ángulo es:
a) x (x + 3)
b) x (x – 3)
c) x (x + 2)
d) x (x – 2)
a) x + 3
b) x – 5
c) x + 8
d) 1
a) 60º
b) 78º
c) 102º
d) 120º
a) 37,5º
b) 45º
c) 37,5º
d) 60º
a) 60º
b) 78º
c) 102º
d) 120º
El segundo ángulo es:
a) 27º
b) 63º
c) 107º
d) 153º
a) 27º
b) 63º
c) 107º
d) 153º
a) 27º
b) 63º
c) 107º
d) 153º
a) 27º
b) 63º
c) 107º
d) 153º
El valor de α es:
El valor de β es:
El valor de γ es:
El valor de θ es:
θ
63°
α γ
βφ
(x2 + 3x) (x + 2)2 (x2 – 5x + 6)_____________________(x2 – 9) (x2 – 4)
Actividades adicionales
Resuelve los ejercicios propuestos en tu cuaderno de trabajo.
48
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Módulo 3
3
2
4 ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación
con números reales?
5 Después de racionalizar la siguiente
expresión √
___ 50 – √
____ 125 __________
√__
5 – √___
98 ¿qué se obtiene?
La amplitud del � BOC es:
Calcula el área de trapecio de la figura.
Determina el valor de los ángulos de la figura.
La amplitud del � COA es:
a) 35º b) 75º c) 105º d) 145º
a) 35º
b) 75º
c) 105º
d) 145º
a) –5_9
b) 5_9
c) –5__
18
d) 18__5
a)
b)
c)
d)
1 Calcula el perímetro del rectángulo de la figura.
a) 46/3 m
b) 23/3 m
c) 18/6 m
d) 15/6 m
5 __ 3
m
2,16 m
A BO
C
2,3 x 1,6 x
5 __ 4
– 2,3 + 5 __ 3
–1 _______________
12 + 0,25 – 3 __ 4
– 10
60 √
__ 5 – 45 _________
93
60 √
__ 5 + 45 _________
93
– 60 √
__ 5 + 45 ___________
–93
– 60 √
__ 5 – 45 ___________
–93
a) 149/18 m
b) 10 m
c) 149/5 m
d) 149/15 m
6 __ 5
m
12,5 m
8,1 m
Actividades adicionales
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49
a) 15 5 + 9 3
b) 15 5 – 9 3
c) 9 5 + 15 3
d) 15 3 + 9 5
b) 8,53/2
c) 2,53/2
d) 5 8
7 Reduce tanto como sea posible la siguiente
expresión – 125 + 80 + 300 + 75 .
6 El perímetro del siguiente rectángulo es:
10 Al efectuar las operaciones indicadas
2 __ 3
– 5 __ 4
+ 0,25 + 7 – 1,1 __________________
0,75 + 2 – 3,5 ¿qué queda?
11 Al simplificar la expresión
2 48 – 4 18 – 3 108 + 72_______________________8 – 4 2
y racionalizar
el resultado se obtiene.
12 En la figura, la suma de los dos ángulos
menores formados por las rectas r y s es igual
a 50º. Halla la amplitud del ángulo mayor
formado por estas rectas.
8 Simplifica la siguiente expresión
9 Simplifica la siguiente expresión
a) 25/6___3
b) 21/6___3
c) 25/6___
3
d) 21/6___
3
a) 8 5
(31/4) (24/3) (41/2)___________21/3 33/4
.
a) –29__4
b) –200___29
c) 29___
200
d) 4__
29
a) 5 6___2
+ 3
b) 5 3 + 3 2 __________
2
c) 5 2 + 6
d) 3
a) 145º
b) 150º
c) 155º
d) 130º
a)
b)
c)
d)
( √__
5 – 2 √__
7 )m
( √__
5 + √__
7 )m
– √___
7m
(–4 √___
10 + 2)m
(4 √__
5 – 2 √__
7 )m
(3 √__
5 – √__
7 )m
( √
__ 2 ) 3 ( √
___ 10 ) 3 ( √
__ 5 ) 3 ________________
( √__
5 ) 3 __ 2
( √__
5 ) 6 __ 3
.
s
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Actividades adicionales
Resuelve los ejercicios propuestos en tu cuaderno de trabajo.
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Módulo 4
1 El área lateral de un cono es 226 cm2. Si su
generatriz es 50 % mayor que el radio de la
base, entonces ¿cuál es el radio de la base?
2 El área total de un cono es 400 cm2. Si la
generatriz equivale al 75 % del radio de las
base, determina los valores de ambos.
3 La siguiente tabla representa una función
exponencial.
4 La ecuación y = 2(3)x representa una función
exponencial. Si y toma el valor 54, entonces
x es igual a:
a) 3,39 cm
b) 6,93 cm
c) 9,36 cm
d) 10,4 cm
a) 3,58 cm2
b) 5,38 cm2
c) 8,53 cm2
d) 12 cm2
a) 2,59 cm
b) 4,04 cm
c) 6,4 cm
d) 9 cm
a) 3___
1 124
b) 3___
2 048
c) 3___
4 096
d) 9___
9 192
La generatriz es:
El valor de y para x = 4 es:
x 1 2 3
y 3/8 3/64 3/512
a) y = 3__
8
x
b) y = 3 1__
8
x
c) y = 3x 1__
8
x
d) y = 3x__
8
a) 1__
8
b) 3__
8
c) 1
d) 3
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
La función es:
La razón de crecimiento es:
a) 243
b) 486
c) 972
d) 1 844
Cuando x = 5, para y se obtiene el valor:
Actividades adicionales
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51
5 El volumen de una pirámide es 1 600 cm3.
Su base es un pentágono regular de 18 cm
de lado.
El área de la base es:
8 La cantidad 8m3, 25 litros más 200 cm3, expresada
en litros, es igual a:
9 Al efectuar la operación
(6,023 4 + 25,031 2 – 1,05)12,5 y expresar el
resultado en notación científica se obtiene.
10 La operación e3 + e2+ e, expresada en notación
científica, da como resultado.
11 Al sumar la cantidades 40 dam2 + 750 m2
+ 2,15 hm2 + 85 dm2 y expresar en notación
científica el resultado, obtenemos como
resultado.
12 El volumen del cono de la figura es igual
a 5 000 cm3. Entonces, el diámetro de la base es.
6 El área total de una pirámide es 1 000 cm2. Si la
base es un hexágono regular de 12 cm de lado,
¿cuál es la altura de la pirámide?
7 La suma 8 m2 + 125 cm2 + 14 dm2 + 40,5 mm2,
expresada en decímetros cuadrados
y en notación científica es igual a.
a) 8,0252 m3
b) 80,252 m3
c) 802,52 m3
d) 8025,2 m3
a) 337,56
b) 33,756 • 10
c) 3,3756 • 102
d) 0,337 56 • 103
a) 0,301 93 • 102
b) 3,019 3 • 10
c) 30,193
d) 301,93
a) 26 250,85
b) 262,508 5 • 102
c) 25,250 85 • 103
d) 2,625 085 • 104
a) 3,10 cm
b) 6,20 cm
c) 10,3 cm
d) 20,6 cm
a) 80 252
b) 80 252
c) 802,52
d) 8 025,2
a) 7,11 cm
b) 1,71 cm
c) 1,17 cm
d) 21,33 cm
a) 22,78cm
b) 27,28cm
c) 72,28cm
d) 78,27cm
a) 81 525,405 dm2
b) 8,152 540 5 • 104 dm2
c) 815,254 05 •102 dm2
d) 8 152,540 5 • 104 dm2
a) 1 350 cm2
b) 675 cm2
c) 338 cm2
d) 219 cm2
Expresada en metros cúbicos, es igual a.
La altura de la pirámide es:
45 cm
Actividades adicionales
Resuelve los ejercicios propuestos en tu cuaderno de trabajo.
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Módulo 5
5 La tangente de un ángulo α equivale a:
6 Si α es un ángulo del primer cuadrante
y ctg α = 0,25, el seno α es:
7 ¿Cuántos lados debería tener un polígono
regular para que la suma de sus ángulos
interiores sea 1 080º?
1 Si csc α = 2,4, el valor de α es:
2 La suma del seno y el coseno de un ángulo
es 1,366 y la diferencia entre el coseno de este
ángulo y el seno del mismo es 0,366.
Halla el ángulo.
3 La suma de la tangente de un ángulo más el
seno del mismo es 1,707. Si la diferencia entre
ellos es 0,293, ¿cuál es este ángulo?
4 Si sumamos la función seno de un ángulo,
elevada al cuadrado, más la función coseno al
mismo ángulo, también elevada al cuadrado,
obtenemos como resultado:
a) 155,4º
b) 65,4º
c) 24,6º
d) 12,3º
a) 10º
b) 20º
c) 30º
d) 40º
a) 11,25º
b) 22,5º
c) 33,75º
d) 45º
a) 1
b) 75
c) 50
d) 0,25
a) cos α_____
sen α
b) sen α_____
cos α
c) 1_____
tg α
d) 1_____
sec α
a) 1
b) 0,97
c) 0,79
d) 0,25
a) 44
b) 50
c) 56
d) 62
a) 0,24
b) 0,25
c) 0,76
d) 1
El coseno α es:
8 ¿Cuánto mide un ángulo interior
de un dodecágono regular?
a) 50º
b) 100º
c) 150º
d) 200º
Actividades adicionales
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53
9 ¿Cuánto debe medir el ángulo exterior
de un decágono regular?
El seno de α es:
El tangente de α es:
La media aritmética de estos salarios es:
10 Si sumamos 140 kg + 15 dag + 300 g
+ 5,82 g , ¿Cuál es el resultado que
obtenemos en notación científica?
11 El Barcelona Sporting Club fue fundado
el 1 de Mayo de 1925 . Al 1 de enero
de 2 010, ¿cuál es su edad exacta?
14 El siguiente cuadro ilustra los salarios
mensuales, en dólares, de 40 operarios
de una empresa.12 Si sumamos 2 horas más 47 minutos, más 6,5
segundos, el resultado que obtenemos,
en segundos, en notación científica es:
13 Halla las funciones seno, coseno y tangente
del ángulo α del triángulo rectángulo
de la figura.
a) 36º
b) 72º
c) 108º
d) 144ºa) 4 65____
65
b) 7 65____65
c) 4__7
d) 7__4
a) 4 68____65
b) 7 68____65
c) 4__7
d) 7__4
a) � 293
b) � 283
c) � 273
d) � 263
a) 140 455,82 g
b) 14,045 582 • 103 g
c) 1 404,558 2 • 102 g
d) 1,404 558 2 • 105 g
a) 85 años
b) 84 años, 12 meses
c) 84 años, 8 meses
d) 84 años, 6 meses
a) 10 026,5 seg
b) 100,265 • 102 seg
c) 1,002 65 • 104 seg
d) 0,010 026 5 • 106 seg
a) 4 65____65
b) 4 65____65
El seno de α es:
c) 4__7
d) 4__7
320 240 260 300 220 320 300
280 300 290 220 240 240 260
320 300 300 260 240 240 260
280 240 240 260 300 260 260
260 300 280 260 300 240 300
300 300 300 240 240 240 260
α1,3
2,3
Actividades adicionales
Resuelve los ejercicios propuestos en tu cuaderno de trabajo.
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Módulo 6
1 Resuelve el siguiente triángulo rectángulo.
4 Resuelve la siguiente operación con ángulos
notables, racionalizando denominadores.
2 Resuelve el siguiente triángulo rectángulo.
a) 4__
9
b) 14__
9
c) 2 407_____9
d) 58__
9
a) 146,72º
b) 56,72º
c) 32,28º
d) 16,14º
a) 6
b) 6___5
c) 6___6
d) 6___30
a) 4__
9
b) 14__
9
c) 2 407_____9
d) 58__
9
La medida de la hipotenusa es:
El ángulo α mide:
El lado adyacente al ángulo de 30º es:
a) 16__
9
b) 505_____9
c) 361___
85
d) 377___
81
La hipotenusa mide:
30°
3,1
α
1,3
2,1
3 Resuelve la siguiente operación con ángulos
notables.
a)
b)
c)
d)
El resultado es:
sec 600 + sec 300 _______________
sen2 300 + csc2 450
24 – 8 √
__ 3 ________
27
– 24 + 8 √
__ 3 __________
27
– 24 + 8 √
__ 3 __________
– 27
24 + 8 √
__ 3 ________
27
tg 300 + cos 450
_____________ tg 60 + sec 450
Actividades adicionales
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7 En una caja hay 8 tarjetas, de las cuales 3 son
de cortesía y el resto de oferta, con precio
menor. ¿Cuál es la probabilidad de que
saquemos una de oferta en primer lugar,
reponemos la tarjeta extraída, repetimos
la operación y la segunda vez saquemos
la de cortesía?
a) 116,78 m
b) 61,55 m
c) 55,23 m
d) 27,62 m
a) 3__
8
b) 5__
8
c) 5__
64
d) 15__
64
a) 6,66 m
b) 10,66 m
c) 12,57 m
d) 15,08 m
a) 16__
25
b) 32 %
c) 0,16
d) 8 %
a) 0,08 b) 4 % c) 0,4 d) 5 %
a) 1__
10b) 0,25 c) 20 % d) 0,4
a) 1__
5b)
1__
3c)
1__
55d)
1__
72
a) 1 % b) 0,01 c) 1 % d) 0
a) 40 % b) 0,04 c) 4__
5d) 0,75
a) 6,66 m
b) 10,66 m
c) 12,57 m
d) 15,08 m
a) 6,66 m
b) 10,66 m
c) 12,57 m
d) 15,08 m
5 Calcula la diferencia de altura entre los 2
edificios de la figura.
8 En una ciudadela hay 50 vehículos, de los
cuales se conoce que 16 son rojos. 10 son
blancos, 20 son azules y 4 son grises. Al salir,
de forma aleatoria, uno de estos automotores
por la puerta de la garita de la ciudadela:
9 Dentro de una urna tapada totalmente
sellada se introducen 5 canicas blancas, 4
verdes y 3 rojas. Sacamos de una sola vez, 3
canicas al azar, sin distinguir su color. ¿Cuál
es la probabilidad de que las tres canicas
extraídas de la urna sean verdes?
6 Halla las longitudes AB , AD y BE del esquema
representándolo en la figura.
La longitud de AB es:
¿Cuál es la probabilidad de que salga un carro
rojo?
¿Cuál es la probabilidad de que salga un carro
gris?
¿Cuál es la probabilidad de que salga un carro
azul?
¿Cuál es la probabilidad de que salga un carro
verde?
¿Cuál es la probabilidad de que salga un carro
blanco?La longitud de AD es:
La longitud de BE es:
° 4°
x
66 mm 22 mm
B
4m
CA
D
E
x °
30°
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En su trabajo diario, el maestro debe enfrentar las
llamadas situaciones típicas de la enseñanza de la
Matemática. Éstas vienen dadas por el propio ca-
rácter de la ciencia y pueden resumirse en:
• Formación de conceptos.
• Tratamiento de teoremas y sus demostraciones.
• Formación de destrezas y capacidades para de-
sarrollar diferentes procesos.
• Resolución de problemas.
En cada clase encontramos al menos una de estas
situaciones, pero desde el punto de vista metodo-
lógico se diferencian y de su adecuado tratamien-
to depende en gran medida el exitoso aprendizaje
que esperamos.
La formación de conceptos
en la enseñanza de la Matemática
Ésta es, sin dudas, la actividad que más dificulta-
des presenta. Los maestros prestan poca atención
a la formación de conceptos, pues en realidad no
los formamos, los decimos. Los conceptos no se
dicen, se forman y el docente debe procurar que,
finalmente, el estudiante enuncie la definición
correspondiente. Una representación clara del
concepto en la mente del alumno garantiza una
adecuada secuencia en el pensamiento y da so-
lidez a las destrezas que en torno a él se crean y
desarrollan. Cuando existen falencias en la esencia
del concepto es imposible comprender los teore-
mas y los procesos asociados al concepto y es por
eso, principalmente, que ante la imposibilidad de
entender, los alumnos recurren a la memoria y a la
repetición.
Es conveniente aclarar que existen diferencias
etimológicas entre concepto y definición. El con-
cepto es la representación mental que crea el in-
dividuo acerca de un objeto o fenómeno, lo cual
se realiza a través de la generalización de sus ca-
racterísticas comunes esenciales, mientras que la
definición es la expresión formal de este concepto.
Ambas cosas son importantes, pero no cabe duda
alguna de que en la enseñanza básica nos interesa
mucho más el concepto, es decir, que el alumno
adquiera una representación mental clara del ob-
jeto o fenómeno. Exigir lo contrario (definiciones
exactas) sería estimular la repetición sin sentido
de los entes matemáticos.
Para cada año de Educación Básica el docente de-
berá determinar los conceptos fundamentales y
estructurar un esquema que le permita establecer
las prioridades y las conexiones pertinentes entre
los contenidos. Se sugiere trabajar los conceptos
según los siguientes pasos.
Pasos metodológicos
para la formación de conceptos
• Aseguramiento del nivel de partida.
• Presentación de objetos pertenecientes
al concepto.
• Determinación de las características
comunes esenciales.
• Definición del concepto.
• Fijación del concepto.
• Análisis de casos especiales y extremos.
Asegurar el nivel de partida es indispensable. No es
posible formar un nuevo concepto si el estudiante
no domina los conocimientos previos necesarios.
Por ejemplo, si se quiere formar el concepto de
número primo, el estudiante debe conocer con
seguridad el concepto de divisor de un número.
Metodología para el tratamiento de conceptos y teoremas
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Debe hacerse especial hincapié en la fijación
del nuevo concepto, lo cual se realiza mediante
diferentes actividades, entre las cuales podemos
citar las siguientes: clasificación, preguntas de
verdadero y falso, construcción e identificación del
concepto y el análisis de casos especiales y extre-
mos. De igual forma, el docente insistirá en la
semántica de cada concepto pues, al sistematizar
esta actividad, se desarrolla el pensamiento
matemático y se logra un aprendizaje significativo.
El tratamiento de teoremas
y sus demostraciones
Esta situación típica nos brinda una excelente
oportunidad para desarrollar el pensamiento lógi-
co, crítico y lateral de los estudiantes. Al igual que
con los conceptos, se ofrecen como sugerencias
algunos pasos metodológicos para tratar las re-
glas, propiedades o teoremas.
Pasos metodológicos
para el tratamiento de teoremas
• Necesidad de la proposición.
• Búsqueda de la suposición.
• Búsqueda de la idea de la demostración.
• Presentación de la demostración.
• Análisis retrospectivo.
• Fijación y aplicación del teorema.
Los estudiantes deben sentir la necesidad de una
nueva ley o propiedad que les permita resolver
determinados ejercicios y problemas. Para lograr
este objetivo, el docente puede partir de una acti-
vidad que los estudiantes no puedan realizar pues
necesitan “herramientas” matemáticas; aquí surge
la necesidad. Luego, a través de actividades bien
planificadas, los mismos estudiantes intentarán
encontrar una regularidad que concluye en una
suposición (el teorema).
Sin embargo, en ocasiones y por diversas razo-
nes, no podemos demostrar los teoremas que se
tratan. En esos casos, al menos debe mostrarse la
propiedad. Por ejemplo, en la escuela es necesario
que los niños y las niñas comprendan que la suma
de las amplitudes de los ángulos interiores de un
triángulo cualquiera es igual a 180º. Para ello, se
pueden hacer algunas actividades prácticas, con
material concreto, de modo que ellos comprue-
ben la regularidad y arriben a la citada conclusión,
aunque esta propiedad no puede demostrarse en
este nivel, debido a que los estudiantes no poseen
aquí los conocimientos esenciales para ello.
El análisis retrospectivo en el tratamiento de un
teorema es insustituible. Aquí, además de analizar
casos especiales y extremos, se analizarán las posi-
bles aplicaciones del teorema objeto de estudio. In-
cluso, cuando sea el caso, se harán las derivaciones
respectivas, enunciando propiedades que desde el
punto de vista lógico se desprenden de la principal
(lemas).
Con o sin demostración debe fijarse el teorema a
través de una ejercitación variada y holística. No se
trata de repetir situaciones en la aplicación de lo
estudiado, sino de establecer un orden creciente
de dificultades que despierte el interés en el estu-
diante por lo que hace y desarrolle valores como
la persistencia. En este último aspecto, la motiva-
ción, deberá ser un eje principal en todas las acti-
vidades de la enseñanza de la Matemática.
Sin embargo, para lograr la fijación y comprensión
efectiva de un teorema, no basta una excelente
ejercitación. Se necesita además una adecuada
sistematización de estos contenidos a lo largo de
todo el año lectivo y de los grados siguientes a
éste. Esto significa que debemos integrar los nue-
vos conocimientos con los que ya posee el estu-
diante y retomar, siempre que el tiempo y las con-
diciones lo permitan, las propiedades anteriores.
Este carácter secuencial en la enseñanza aporta
gran seguridad en el aprendizaje.
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Es evidente que todo el trabajo que se realiza con
los conceptos y los teoremas tiene la finalidad de
garantizar que los estudiantes desarrollen destre-
zas en la resolución de ejercicios diversos. Si no
existe una representación mental clara de los con-
tenidos mencionados, es imposible lograr destre-
zas para enfrentar con éxito las diferentes tareas y
actividades porque, a lo sumo, puede lograrse una
repetición estéril de algoritmos mecanizados que,
más temprano que tarde mostrarán su ineficacia.
El maestro debe conocer que en el aprendizaje de
la Matemática existen dos componentes esencia-
les que se complementan mutuamente: saber y
poder. Se entiende por saber el cúmulo de cono-
cimientos que posee el estudiante, mientras que
el poder representa la capacidad del alumno para
aplicar esos conocimientos en diferentes situacio-
nes teóricas y prácticas. Queda claro que sin saber
no existe el poder, pero ambas categorías deben
trabajarse proporcionalmente en el aula de clases,
puesto que sirve de poco o nada el conocimiento
que no se aplica en problemas prácticos o teóri-
cos. Es deber del maestro preparar a sus alumnos
para que, con un mínimo de conocimientos, desa-
rrolle una gran capacidad de razonamiento lógico
y lateral.
En Matemática, casi todas las actividades desem-
bocan en procesos que deben ser ejecutados de
manera solvente y organizada. Es por ello que el
maestro debe encaminar su actividad a desarrollar
en sus alumnos las destrezas generales y especí-
ficas que establece la Reforma del Ministerio de
Educación. Para lograr que los estudiantes desa-
rrollen la capacidad resolutoria esperada, se ofre-
cen las siguientes sugerencias.
• Cuando se imparta un contenido nuevo, de-
sarrollar uno o varios ejemplos, procurando la
participación activa de sus alumnos y exigien-
do en cada caso que éstos argumenten cada
uno de los pasos necesarios para calcular, re-
solver, demostrar, etc.
• Proponer un sistema de ejercicios en el que no
se repitan las mismas dificultades, pues de lo
contrario los estudiantes tienden a mecanizar
los algoritmos de solución. El sistema debe in-
cluir los diferentes tipos de ejercicios: fijación,
reproducción, aplicación y creación. Es impor-
tante la integración de conocimientos intra y
extramatemáticos.
• Usar la forma de taller para la resolución del
sistema de ejercicios planteados. Es menes-
ter que las actividades más complejas sean
analizadas detalladamente y que los alumnos
muestren sus fundamentaciones para justificar
las estrategias empleadas y los recursos uti-
lizados. Esto es esencial porque, en nuestros
tiempos, es mucho más importante pensar
que saber.
• Promulgar el trabajo en equipo pues realza la
autoestima, contribuye a la formación de la
personalidad y, aún más importante, prepara
al estudiante para su vida presente y futura. En
este sentido, para ser consecuente con los pro-
cedimientos empleados en clase, practicar en
los exámenes escritos la integración de la mo-
dalidad colectiva con la individual, otorgando
un valor proporcional a cada tipo de evalua-
ción. Los estudiantes deben comprender que
la evaluación de su aprendizaje es un proceso
continuo, que constituye una oportunidad más
Metodología para desarrollar destrezas y procesos
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para aprender y un momento muy importante
en su educación integral.
• Observar detenidamente el desempeño indivi-
dual de cada estudiante, pues cada uno de ellos
tiene características diferentes. Esto le permite
al docente conocer cuáles son las dificultades
y deficiencias específicas de cada alumno. Las
destrezas no se forman homogéneamente en
todos ellos y, por eso, las actividades que se
propongan deben abarcar una amplia gama
de situaciones.
• Los ejercicios propuestos deben contener la
mayor variedad posible de situaciones, lo cual
permitirá evaluar de diferentes formas el mis-
mo contenido de enseñanza. El texto propues-
to cumple estas exigencias.
• Procurar que las tareas docentes que se sitúen
como ejercicios para la casa (deberes) sean re-
sueltos de manera independiente por los estu-
diantes. Se aprende más y se desarrollan más
destrezas pensando un ejercicio o problema
que viendo cómo se resuelven varios. En este
sentido también es importante recordar que
es mucho más significativo para el aprendizaje
la variedad que la cantidad de ejercicios pro-
puestos.
• Tanto en la fundamentación de los procesos
como en el enunciado de proposiciones, pro-
curar el uso de gráficos y esquemas que am-
plíen la visión y comprensión de los alumnos.
Al respecto, siempre sería interesante que sean
los propios alumnos quienes propongan el
modelo gráfico correspondiente.
• Estimular al máximo los logros de los estudian-
tes. Esto eleva la autovaloración de cada uno
de ellos y los predispone para conseguir obje-
tivos más complejos. No se puede pretender
que todos alcancen un óptimo nivel de destre-
zas en un corto período de tiempo.
En la actualidad, es imposible enseñar todos los
conocimientos que la humanidad ha acumula-
do. Por eso, una destreza general esencial que
los docentes deben priorizar es la búsqueda de
información necesaria para resolver un problema
dado. Los estudiantes deben familiarizarse con los
medios modernos que se encuentran a su dispo-
sición; deben manejar con seguridad la calculado-
ra porque les ahorra tiempo y energías. De igual
modo, deben tener destrezas para encontrar fór-
mulas, datos y propiedades en libros, Internet, etc.
Las destrezas para desarrollar procesos aparece-
rán como lógica consecuencia de todas las activi-
dades que dirige el maestro en el aula de clases.
Hay dos aspectos importantes que no pueden
perderse de vista: los diferentes caminos para
conseguir un mismo objetivo y la racionalidad
para ejecutar los procesos. A continuación se ex-
ponen dos ejemplos que ponen de manifiesto
estos aspectos.
1. Calcular: 4 • 2 009 • 25 .
Aquí debe concluirse que, aunque existen varias
formas de realizar el cálculo pedido, la vía más
racional se logra aplicando las propiedades con-
mutativa y asociativa del producto y, así, multipli-
camos primero los números 4 y 25 pues da como
resultado 100, de manera que el resultado final
será 200 900 .
2. Calcula: 17 • 2 010 + 26 • 2 010 – 42 • 2 010 .
Es demasiado largo realizar todos los productos
indicados para luego sumar los resultados parcia-
les obtenidos. Es preferible aplicar la propiedad
distributiva de la multiplicación con respecto a la
suma y nos queda:
2 010 • (17 + 26 – 42) = 2001 • 1 = 2 010 , lo cual
se puede realizar mentalmente.
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Innumerables son los autores que refieren uno u
otro esquema para adiestrar a los estudiantes en
el campo de la resolución de problemas, pues éste
constituye uno de los objetivos más importantes
de la enseñanza de la Matemática. Cierto es que
resulta imprescindible en el mundo moderno de-
sarrollar destrezas para resolver problemas de la
vida práctica, sin embargo, debe quedar muy claro
que no existen recetas mágicas ni modelos para
resolver problemas matemáticos. En realidad, para
resolver problemas se requieren tres condiciones
básicas.
• Tener motivación para hacerlo y la voluntad
necesaria para enfrentar diversas dificultades
cognitivas.
• Poseer un mínimo de conocimientos básicos re-
lacionados con el problema en cuestión.
• Poseer estrategias adecuadas y resolver la ma-
yor cantidad de problemas posibles.
En general podemos establecer, sin que esto cons-
tituya un dogma, cuatro indicadores de trabajo
en la resolución de problemas.
• Comprensión del problema.
• Análisis del problema.
• Solución del problema.
• Consideraciones retrospectivas.
En la enseñanza básica, los tradicionales métodos
de enseñanza tan centrados en el maestro hacen
que el alumno constantemente recurra ante el do-
cente para cerciorarse si lo que hace es correcto
o no, generando de esta manera una enorme in-
seguridad y un bajo nivel de autoestima personal,
provocando un pobre desarrollo de las destrezas
necesarias para resolver problemas.
Es común escuchar a estudiantes su malestar por no
poder resolver determinados problemas en los exá-
menes, a pesar de conocer “todo el contenido”. Y es
que no podemos estudiar Matemática únicamen-
te leyendo conceptos, teoremas y repasando pro-
cedimientos trabajados en clases. Verdaderamente,
se aprende matemática resolviendo problemas.
En general, en Matemática existen dos tipos de
procedimientos: algorítmicos y heurísticos. Am-
bos se utilizan en la resolución de problemas. Es
claro que los procedimientos heurísticos son fun-
damentales a la hora de encontrar la vía de solu-
ción y, si no conseguimos encontrar esta idea, no
servirían para nada aplicar los procedimientos al-
gorítmicos. Por eso, el dominio de la heurística se
considera determinante.
La aplicación de las reglas y principios de la heurís-
tica ayudará mucho al docente y, en especial, a los
estudiantes, a desarrollar destrezas en la resolu-
ción de problemas y a la adquisición de estrate-
gias generadoras de métodos de solución para de-
terminados problemas intra y extramatemáticos.
Las reglas heurísticas son específicas para resolver
determinados tipos de situaciones matemáticas
problémicas, mientras que los principios son ge-
nerales y nos permiten encontrar las vías de solu-
ción. Entre las reglas y principios más importantes
podemos mencionar los siguientes.
• Dibuja una figura de análisis; realiza un bos-
quejo de la situación planteada. En esa figura,
pinta de un color los datos dados y de otro los
elementos buscados.
• ¿Recuerdas conceptos y teoremas relaciona-
dos con la situación planteada?
• En los problemas de Geometría realiza cons-
trucciones auxiliares.
Metodología para la resolución de problemas
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• Principio de analogía: ¿Te enfrentaste alguna
vez a un problema similar a éste?, ¿cómo lo
resolviste?, ¿qué estrategias usaste?, ¿pueden
servir en este caso?
• Principio de reducción: Reduce el problema
nuevo a uno ya conocido.
• Transforma la pregunta; tal vez encuentres al-
guna conexión de lo desconocido con los con-
tenidos que ya conoces.
• Intenta probar con casos particulares y utiliza
la inducción para encontrar regularidades.
• Trabaja hacia atrás: puedes partir de lo que de-
bes demostrar e intentar la búsqueda del ca-
mino que te lleve hacia los datos y las premisas
dadas.
Pueden plasmarse muchos ejemplos reveladores
de la aplicación de reglas y principios heurísti-
cos. El maestro debe saber que en la práctica, en
la solución de un problema específico, los princi-
pios no aparecen aislados aunque, por lo general,
predomina uno más que otro. Veamos el siguiente
ejemplo.
Supongamos que queremos determinar una fór-
mula para determinar la suma de los ángulos in-
teriores de un cuadrilátero cualquiera. El docente
puede establecer la siguiente guía de preguntas
para activar el pensamiento de sus alumnos.
1. Tenemos el cuadrilátero
convexo ABCD. ¿Podremos
determinar cuánto suman
sus ángulos interiores?
2. ¿Conoces algún teorema que relacione los án-
gulos interiores de alguna figura en particular?
La suma de las amplitudes de los ángulos inte-
riores de un triángulo es igual a 180º.
3. ¿Podemos reducir este problema al conocido?
¿Cómo podemos aplicar, en el caso del cuadri-
látero, lo que sabemos acerca de los triángu-
los? Tal vez, pero aquí no tenemos triángulos.
4. ¿Podemos obtener triángulos en esta figura?,
¿cómo? Quizás trazando una diagonal. Enton-
ces tracemos la diagonal.
5. Así, trazamos la diagonal BD y formamos el
triángulo ABD, con los ángulos señalados con
los números 1, 2 y 3, además del triángulo BCD
y sus ángulos 4, 5 y 6 .
6. ¿Qué relaciones puedes plantear con esos
ángulos?
7. Queda claro que la suma de los ángulos 1, 2 y
3 es igual a 180º. Por otro lado, la suma de los
ángulos 4, 5 y 6 también es igual a 180º.
8. ¿Puedes ya concluir cuánto suman los ángulos
interiores del cuadrilátero dado?
9. Finalmente tenemos que:
�1 + �2 + �3 + �4 + �5 + �6 = 360º .
Aquí culmina la resolución del problema plantea-
do. Sin embargo, para desarrollar el pensamiento
del estudiante deben darse otros impulsos como
los siguientes.
• ¿Existen otras vías para resolver el problema
anterior? Piensa un poco.
• ¿Se cumplirá esta propiedad en todos los cua-
driláteros convexos?, ¿en los cóncavos?
• ¿En qué situaciones matemáticas podemos
aplicar este resultado? ¿Podremos calcular la
suma de las amplitudes de los ángulos interio-
res de un pentágono?
Como se puede apreciar, en el ejemplo anterior,
combinamos un grupo numeroso de reglas y prin-
cipios heurísticos y la planificación del maestro es
fundamental para lograr este objetivo: enseñar
a pensar.
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Componentes Didácticos
• Observo a mi profesor cómo resuelve el problema.
• Escribo los pasos del proceso, comparo mis anotaciones con las de mis compañeras y compañeros.
• Me pregunto sobre las dificultades en el desarrollo de la actividad.
• Pongo en práctica mi nueva destreza para resolver problemas de la vida real.
• Ejecuto los pasos necesarios para resolver el problema.
• Digo en voz alta las acciones que realizo mientras resuelvo el problema.
• Ensayo la resolución del problema, utilizando diferentes variables.
• Se recoge, analiza, sistematiza y resume la información.
• Mediante un proceso de discución, se selecciona un problema que resulte significativo para todos y de interés
para el desarrollo de la investigación.
• Se reparte y organiza la información.
• En equipo, se plantean diversas estrategias de indagación de la realidad y de búsqueda y recolección de información.
• Se buscan métodos de expresión del conocimiento adquirido.
• Se buscan problemas presentes en la vida cotidiana y se ponen en práctica los conocimientos adquiridos.
Pasos para el desarrollo de destrezas
Pasos para la ejecución de proyectos de aula
Proyecto de aula
¿Que es un proyecto de aula?
• Proyecto es una investigación a profundidad de una situación problema real que debe ser resuelta en un tiempo
y espacio suficientes.
¿Como se plantea un proyecto de aula?
• Se propone a los estudiantes la búsqueda de situaciones problemas en la realidad.
• Se selecciona alguna que sea de interés general.
• En grupo, se plantean diversas estrategias para abordar el problema y se visualizan
las posibles soluciones.
• Se socializa, sistematiza y resume la información obtenida.
• Se plantean, con la participación del grupo, las formas de presentar los datos obtenidos.
• Se emiten conclusiones a las cuales se ha llegado con la ejecución del proyecto.
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Componentes DidácticosP
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����������
a)
b) y = 500 x
c) Es una recta que pasa por el origen de coordenadas, muy
pegada al eje “y”
a)x = 7/3 b b) x=2.5 c) x=-4.5 d) x=0
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a) A x B = {(a; 3), (a; 4), (a; 5), (a; 6), (b; 3), (b; 4), (b; 5), (b; 6), (c; 3),
(c; 4), (c; 5), (c;6)}
c) A x B = {(1; 0), (1, 2), (2; 0), (2; 2), (3; 0), (3; 2), (4; 0), (4; 2)}
b) A • A = {(a; a), (a; c), (a; j), (c; a), (c; c), (c; f ), (f; a), (f; c), (f; f )}
a) 10 b) 35 c) 0
a) no se cumple b) no se cumple c) no se cumple
a) A = {0,1} ; B = {3, 4, 5} b) A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ; B = {1}
c) A = {a, b}; B = {2, 3, 4, 5} d) A = {t, a, r, p}; B = {4, 0}
a) R = {(–6; –3), (6; 9), (12; 15)}
b) R = {(Guaranda; Bolívar), (Puerto Baquerizo; Galápagos),
(Guayaquil; Guayas), (Quito; Pichincha)
a) D = {Barcelona, LDUQ, Nacional, Rocafuerte}
R = {Guayaquil, Quito}
b) D = {Petróleo, cacao, café, gas, minería, flores, banano, camarón}
R = {Hidrocarburos, agro exportación, no tradicional}
a) R = {(Samborondón; Guayas), (Machala, El Oro), (Ibarra,
Imbabura,), (El Triunfo, Guayas), (Pasaje, El Oro)}
a) R = {(81; 9), (81; –9), (49, 7); (25; 5)}
b) R = {(Arroz, Hidrato de carbono), (Leche, proteína), (Carne,
proteína), (pan, hidrato de carbono); (manteca, grasa), (jamón,
grasa), (leche, vitamina), (carne, vitamina), (pan, vitamina)}
c) R = {(locro, Sierra), (Guatita, costa), (Cebiche, costa), (papas
con maní, sierra), (Yaguar locro, Regio Amazónica), (Arroz con
menestra, Costa)}
a)
a) Si b) No c) Si d) Si
a) Si b) Si c) Si
a) No b) Si c) Si d) No
p = 4x ; D: IR > o ; R: IR > o
a) y =1,5 x b) y = � 60
a) y = 1,5 x b) k = 1,5
c) Es una recta que pasa por el origen de coordenadas y por (2; 3)
a)
b) y = 35 x c) k = 35
b) f(1) -3
f(–2) 9
f( 1 __ 2
) –1
f(– 3 __ 4
) 4
f(a) –4a+1
f(a + 1) –4a–3
f(0) –1
f(-1) 0
f(2) 15
f( 3 __ 4
) 35 ___ 16
(a + 1) 3a2 + 8a + 4
f(a – 1) 3a2 – 4a
Zona de aplicación. Pág. 24
Zona de aplicación. Pág. 30
Día 1 2 3 4 5 6 7
Precio 35 70 105 140 175 210 245
x 1 2 3 4 5 6 7
y 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500
m B
5 1 __ 4
– 2 __ 5
8
1 – 1 __ 7
4 __ 3
2 __ 5
a)
– 16
16
b)
c) d)
– 2 2 __ 3
– 3
1 __ 5
1
___
10
a) y = x___
300+ 1,5 b) D: IR > 0 R: IR > 0
c) d)��2.66 e) 30km
a) V0 = 60 km/h b) Si
c) a, V para diferentes valores de “t” interpolar y extrapolar
a) y= 50 x + 250 b)
a) y = 34 x + 156 b)
c) 292
250
y
x
y
x
150
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a) Decreciente b) Creciente c) Decreciente
d) Creciente e) Decreciente
a) – 4/5 b) –16 c) 17/2 d) 1/5
a) Recta descendiente que pasa por el punto 7 del eje “y”
b) Paralela al eje “x” que pasa por el punto ½ del eje “y”
c) Recta ascendente que pasa por el punto 5 del eje “y”
d) Recta descendiente que pasa por el origen.
Los intersectos son: a) (– 4; 0) y (0; 8) b) (0; 38__3
) y (38__5
; 0)
c) (0; –21__5
) y (– 7; 0) d) (0; – 7) y (7__
12; 0)
a) y = –7__
11x +
16__11
b) y = x + 1__
13 c) y =
3__2
x + 11__4
d) y = 2 x – 75
a) D: N* b) � 300 c) 4 200 pares
a) y = 1 600x – 4 800 b) decreciente porque se deprecia.
a) 170 b) 20 c) creciente por va en aumento
a) 97,8 ºC
a) 5 5 b) 0,9 c) –1 d) –7 2
a) F b) F c) V d) V
a) 2 b) 13,86 c) 20 3 d) –38,41
a) 9a4
___ 8b6 b) 10a6c2
______ 5b4 c) 3a5
_____ 5b4c4 d) 4a5 c
3 __ 4
_____ 3 b
4 __ 3
a) 3y y 7z b) –5 y 9 c) +1 y –28 n d) 9 y 2b = 15
a) (–2, –5) b) (2, 0) c) (1, 3) d) (–3, –7)
e) (2, 2) f) (1, 2009)
a) x = 33/80, t = – 1/80 b) t = 4, v = –3
c) x = 4, y = 3 d) x = 4, y = –2 e) x = 3, y = –1,8
a) F b) V c) V d) V
3a + 2b = 0 y 5a – 2b = –13
a) F b) F c) V d) V e) F
a) 11 y 7 b) Medias � 0,5; Camisetas � 1,25
c) bolígrafo � 0,5; cuaderno � 2
d) 55 de � 5 y 38 de � 1
e) Andrea 45 años y Paty 30 años
f) Largo 30.6 cm y ancho 11. 6 cm
g) conocimiento 4 y procesos 6.
a) x = 20, y = 12 b) x = – 3, y = 2
c) x = 5, y = – 1 d) x = – 1/29, y = 101/58
a) 8 b) y = 3 x – b c) y = 3 x
a) Recta creciente que pasa por el – 5 del eje “y”
b) –7/4 c) 2(5) – 4(1) ≠ 5
d) Porque si las coordenadas son enteras, el valor de 2x – 4y es
siempre par, pero 5 es un número impar.
El problema tiene dos soluciones: y = 2x –4 ; y = –2x –4
a), b), c), d) Son rectas que pasan por el origen de coordenadas.
Decrece solo en el literal a).
a) x = 9 b) x = 35/3 c) x = 0.625 d) x = – 0.183
a) Recta creciente que pasa por el – 1 del eje “y”
b) Recta decreciente que pasa por el 7 del eje “y”
c) Recta creciente que pasa por el – 1, 25 del eje “y”
d) Recta creciente que pasa por el 0,55 del eje “y”
Las ecuaciones son, en orden decreciente, las siguientes: y = –3 x
+ 4 ; y = ½ x – 7 ; y= – 0,75 x + 0.4 ; y = 0,5 x + 1 ; y = – 1,8 x + 0,6
En cada literal se sitúan los puntos dados en el plano cartesiano y
luego se traza la recta que pasa por ellos.
De arriba hacia abajo tenemos: Crece, decrece, decrece, crece,
crece.
k = 5,25
Si, k = –7/2
a) Todos pasan por el origen.
b) En h(x) y p(x) la pendiente es negativa. c) y = k x
a) y = 4 x – 3 b) 4 c) 8 037
Compruebo lo que sé. Pág. 38 - 39
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1
1
1
2
f(x) K
2x 2
–0,2x –0,2
0,67x 0,67
1,5x 1,5
–120x –120
f(-2) f(0) f(7) f(3x-1)
f(x)= -3x 6 0 – 21 – 9a + 3
f(x)= 0.3 – 2x 4,3 0,3 – 13,7 2,3 – 6
f(x)= 0.15x + 7 6,7 0 8,05 0,45a + 6,85
13
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7
6
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9
Módulo 2
a)
c)
g)
b) (5t2 + 2tu – 6u2)(5t2 – 2tu – 6u2)
d) (w + a – 7) (w – a – 7)
h)
(z + a – b) (z – a – b)
e)
i)
k)
f)
c (d2 – c) (d – 3 __ 2
c)
j) (8q4 – 7t2) + 36q4t2
(a4 + 2q2 + 3)(a4 – 2a2 + 3)
(z2n + 5zn – 10) (z2n – 5zn – 10)
(2a2 + 2b + 3d) (2a2 – 2b – 3d)
(a – b)(a + b)
(3s2 + 9st – 20t2) (3s2 + 9st + 20t2)
(3b2 – bc – 4c2) (3b2 + bc – 4c2)
Solucionario
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dito
rial.
����������
a) a1/2 b1/2 b) a1/3 – (2b)1/2 c) (a + b)1/2
d) a2 e) a2b f) a1/3b2/3
a) 5
√___
a3 b) 4 2
√___
a3 c) a113
d) 5
√____
343 x2 e) √_____
a5b5 f) 4 √__
a
a) a b) a8/3b2 c) (a + b)3
d) (b + 2)5 e) 2a3 f) (b+2)8
a) a1/4 b) a4/3 c) 2a5/3b4/5
d) a1/2b e) 22/7a8/3b2/3 f) 25/3a4/3b3
a) 10 6 b) 51__2
c) 20 d) 63π
c c d c c
c c d b a
c a c
a) 2 __ 5
(a – 1) (a + 1) (a2 + 1) (a4 + 1)
b) 0,25 (a3 – 2) (a3 + 2) (a6 + 4) (a12 + 16)
c) 3x(x + 9y) (x – 9y) ( x2 + 9y2)
d) (1 + x10)(1 – x5)(1 + x5)
a = 120º, b = 40º, c = 120º, d = 160º
a = 90º, b = 30º, c = 60º, d = 120º
a) 3 √__
2 – 53 √__
4 b) – 8 √__
5 c) 9 √__
2 d) – 36 3
√__
2
k = 2
2a – 3b = –13 y –4a + 5b = 25 ; – x + y = 6 con 2x – y = – 11
a) 4 _____ x + 7
b) x(x + 5)
_______ (x – 5)2 c)
(2x + 12) (2x – 1) ______________
0,5 (1 – 4x) d) a + x _____ x
m) (a3 – a + b) (a3 + a – b)
n)
o)
p)
(z3 – z + 1) (z3 + z – 1)
(ed – 11 – a2) (ed – 11 + a2)
1 __ 2
(1 + x4) (1 + x2) (1 + x) (1 – x)
ñ) 0,5(a2 + 16) (a + 4) (a – 4)
q)
b(b – 3) (b2 + 7)
3
3
4
4
7
6
6
5
8
2
2
1
(2 a2 + 3 a – 5)
–3a2 + 4a +4
2(a+1)(4b+1)
49
3
(r – 2) y (x + 3)
a) V b) V c) F d) V
a) 3aabbbbb _________ 2aaabb
b) 5pppprrsss
_________ 10prrrssss
c) 33ccddddeeeee _____________ 22cdddeee
d) 9xxyyyzz
________ 4xxyz
a) 3b2
___ 3a
b) p5
___ 2rs
c) 3de2
____ 2
d) 9y2z
____ 4
a) 1 b) (x – y)2
_________ x2 + xy +y2 c) m – 4 _______
(m – 3)2 d) 5d _________
16(1 – 3e)
a) 1 b) 1 c) a2 + a b + b2
d) Porque al dividir factores iguales da 1 y no 0
P(x) = x (2x + 3)
x = 70º
a = 65º, b = 60º, c = 120º
a = 55º, b = 125º, c = 125º, d = 55º, f = 125º, g = 125º, h = 55º
No
90º
45º
<1 = 44º; <2 = 136º; <3 = 44º; <4 = 44º; <5 = 136º; <6 = 44º; <7 =
136º
<MOK = 45º, <KON=135º 9. x = 40º ; y = 50º
a) 1 b) 54 c) 20 736 d) 9
a) a4
b) a4 c) x4
d) 384
x4y
a) W = – 20, y = –54 b) x = 1/a; y = 1/b c) p = 1, r = 0
d) x = 2/a ; y = 1/b
a = – 49, b = 57
a) largo41, 6 ancho 58,3 b) Largo: 56cm, ancho: 52 cm
Zona de aplicación. Pág. 64
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11 12 13 14 15
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Módulo 3Zona de aplicación. Pág. 79
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2
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a) N b) I c) R d) Z e) I f) Q
a) 5 b) – 2 c) 3/8, – 8/3 d)1, 7
e) 3__5
, 5,321, –4π, 23
a) 5/2 b) – 5 c) 19/2 d) 2 e) 17/2 f) –25
a) R b) I c) R d) I e) R f) I
a) SI b) SI c) SI d) NO e) SI f) NO
a) 4 b) –4 c) 2 d) 0 e) 6 f) 1
Zona de aplicación. Pág. 88
1 a) 3 √
___ 5a _____
5 b)
√___
3d ____
3 c)
4 √__
7 ____
7
d) 8 √
___ 3a _____
3a e)
√__
2 ___
3 f) 6 √
__ 3
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3
4
5
6
7
a) √
__ 5 – √
__ 3 _______
2 b)
2 √___
55 – 15 √__
2 ___________
30 c)
a – 2 √___
ab + b ___________
a – b
d) 4 4 – 4b + a(a – b) + b (a – b)___________________________16 – a + b
e) 3 √
___ 18 + 7 √
__ 7 – 21 – √
____ 126 _____________________
31 f)
6 √__
3 – b – 9 __________
b – 9
g) 13 + 5 √__
7 h) √
___ ab – √
___ ac _________
b – c i)
4 √__
5 + 5 √__
2 _________
25
a) √
___ 15 + 6 + √
___ 10 + √
__ 6 _________________
4
k m 2 __ 2
____ m
39,74 seg
28,1 seg
v = √
____ 2Em ______ m
Zona de aplicación. Pág. 92
1
2
3
4
5
6
a) √__
2 b) 13 √__
3 – 4 √__
2 c) – 2 √__
2 – 19 √__
6 d) 90 √__
2
a) 252 √___
30 – 238 √___
10 b) –16 c) 8 √__
5 – 2
d) 2 √__
5 – √__
7 + 5 √__
6 – 3 √__
2
a) 10 b) 5 √
____ 735 + 5 √
____ 126 + 42 + 6 √
___ 21 ________________________
42
a) √___
12 b) 36 √__
2 c) 40 d) 144 (1 + √__
3 – √__
2 – √__
6 )
a) l = 10 √__
2 cm b) P = 40 √__
2 cm c) d = 20 cm
3 √
__ 2 + 7 _______
4 √__
2
Zona de aplicación. Pág. 99
1
1
2
2
3
3
4
4
5
6
500___3
– 120___17
11,95
0,005
– 896_____10 935
2 545,2
a) 11,22 π rad. b) 5π/4 c) 0,64 πd) 7π/4 e) 1,73 π f) 10 π
a) 120º b) 157,5º c) 22,5º
d) 30º e) 75º f) 216º
a) 5π/12, 75º b) 40º, 2π/9 c) 105º 47´25´´
d) 72º, 2π/5 e) 88º 44´34´´ f) π/4, 45º
a) – 8 __ 3
, 2 __ 5
b) √___
15 – 2π ___ 5
, √
__ 6 ___
6 c) ) 0,75; 0,3; 1,41
d) 7π/4 e) 1,73 π f) 10 π
a) x b) 31/5bc8/5 c) 25/4a7/2b2
d) 50961/24a2b6
a) 10 √__
5 cm b) 80 √__
3 cm c) (6 √__
5 – √__
3 )cm
d) 4 √__
5 cm
a) 7 __ 3
b) 5 √
__ 2 + 0 _______
– 19 c)
5 √__
2 + 19 ________
2
d) 9 √___
10 – 10 e) 8 √
__ 2 + 2 √
__ 7 _________
25 f)
5
√__
8 4 ____
4
T = 2 seg
T = 1 Seg
a) 36 √___
30 b) 4 √____
270 + 36 √____
180 – 150 – 450 √__
6
c) 90(2 – 3 √___
12 ) d) 432 √__
3 – 72 √__
2 e) 90 √____
120 + 675 √__
5
2EK____K
72º 34´50´´
72º
1,27 rad
a) 9 – 5 √
__ 5 _______
10 ( 2 __
3 )
1 __ 4
– √__
5 ____
5 b) 45 10 + 135 – 360 2 – 95 5_________________________
40 10
c) 48 √
__ 3 – 1 + 6 √
__ 5 _____________
6
24º 27´30``, 0,43rad
Zona de aplicación. Pág. 104
Rad 8π/45 5π/6 31π/18
Grados 54º 75º 210º 225º
150 vueltas
25 π rad.
0,41 π rad.
75º
143,24º
Compruebo lo que sé. Pág. 106
Grados 24 18 16 45
Radianes 7π/3 7π/36 5π/6 10π/9
Módulo 4Zona de aplicación. Pág. 115
1
5
3
7
6
4
8
a) 182 cm2, 212,33 cm3 b) 84 cm2, 56 cm3
c) 102,1 cm2, 86,67 cm3 d) 78 cm2, 80 cm3
324 cm3
2 255,21 cm3
a) 12,12 cm b) 9,9 cm c) 277,2 cm2 d) 646,8 cm3
107 250 m3
10 208,32 m3
l = 9,52 cm h = 14,28 cm
Solucionario
68
Pro
hib
ida
la re
pro
du
cción
tota
l o p
arcia
l po
r cua
lqu
ier m
ed
io sin
pe
rmiso
escrito
de
la E
dito
rial.
����������
a) 9,5 • 10–1 b) 3 • 10–8 c) 3,05
d) 5 • 10–5 e) 3,33 • 10–4 f) 2,5 • 107
a) 6 • 10–2 b) 4 • 102 c) 2,5• 104
d) 1,98 • 10–6 e) 5 • 10 f) 4,762 • 106
Zona de aplicación. Pág. 119
Zona de aplicación. Pág. 138
Zona de aplicación. Pág. 124
Zona de aplicación. Pág. 128
Zona de aplicación. Pág. 133
1
1
4
5
6
1
1
1
2
3
4
10
5
5
5
5
3
3
3
12
2
2
3
2
11
7
7
7
6
6
6
6
4
4
4
8
8
753,98 cm2
763,41 cm2
678,58 cm2
4,16 cm
r = 3,3 cm ; h = 6,6 cm
1 159,18 cm2; 1 512,15 cm2
33,51 cm2
a) 6 433,98 cm3 b) 1 039,08 cm3
254,15 cm2; 1 047,2 cm3
1 319,47 cm2; 1 590,69 cm3
No
a) SI b) SI c) SI d) SI e) NO f) NO
a) NO b) NO c) SI d) NO
a)
El gráfico es una curva creciente que pasa por los puntosque
aparecen en esta tabla.
b)
Gráfico: curva decreciente.
c)
Gráfico: curva creciente.
d)
Gráfico: curva decreciente.
e)
Gráfico: curva creciente.
f)
Gráfico: curva decreciente.
a) f (x) = 2 • 3x
b)
La gráfica es una curva creciente que pasa por los puntos de la tabla.
c) f (4) = 162 d) f (2010)
f(x) = 1
a) Creciente b) Creciente c) Decreciente
d) Decreciente e) Creciente f) Creciente
a) 0,006213 h b) 21 100 mm c) 0,00023114 Dm
d) 0, 6096 m e) 42 200 cm f) 0,032 m
a) < b) > c) > d) < e) < f) <
0,0756 m
11,2796 m
112,5 cm2
21 cm
1 250 cm2
a) 6 500 b) 0,008512 c) 0,135 d) 825
a) 750 000 b) 0,000 000 000 275 c) 47 130 000
d) 0,000 000 008 25 e) 213 000 000
f) 0,000 000 004 112 313
a) 325 b) 312,115 c) 25
d) 3,22342 e) 2,1531423 f) 0,0145
a) 812 cm3 b) 30,22 dm3 c) 140,05 m3
d) 145 cm3 e) 1,320 m3 f) 2,105 m3
a) 0.32 l b) 215 160 000 000 kl c) 31 583,12 l
d) 20,00085 ml e) 1 415 220 kl f) 3 110 000 kl
100 mil litros
18 galones
a) 8,015 • 106 b) 3,9421 • 104 c) 1,128 10–5
d) 3,252 • 10– 13 e) 3,41215 • 10– 3 f) 3,96 • 1011
a) 0,00000815 b) 1 020 c) 312 400
d) 121 000 000 000 e) 0,000403 f) 0,000000703
a) 106 b) 10–3 c) 10–15
d) 10–12 e) 103 f) 109
a) 8,8 • 10–1 b) 1,0965 • 10–1 c) 6,56 • 10–5
d) 2,52 • 10–4 e) 9,92 1010 f) 1,0965 • 10–1
x 0 1 2 3
y 1 3 9 27
x 0 1 2 3
y 0,25 0,1875 0,1406 0,1055
x 1 2 3 4 5
y 0,25 1 2 4 16
x 0 1 2 3 4
y 2 1/2 1/8 1/32 1/128
x 0 1 2 3 4
y 2 2,7 7,39 20,08 54,6
x 0 1 2 3 4 5
y 1 1/2 1/4 1/8 1/16 54,6
x 0 1 2 3 4 5
f(x) 2 6 18 54 162 486
Compruebo lo que sé. Pág. 140 - 141
64 cm3
942,48 cm3
2 700 cm2, 9 000 cm3
7,85 mm3
El primero
14 m ,7 m
Si
475; 68; 565; 68; 800
3
4
7
8
1
2
10
11
Solucionario
69
Pro
hib
ida
la r
ep
rod
ucc
ión
to
tal o
pa
rcia
l po
r cu
alq
uie
r m
ed
io s
in p
erm
iso
esc
rito
de
la E
dit
ori
al.
����������
Zona de aplicación. Pág. 158
Zona de aplicación. Pág. 164
Zona de aplicación. Pág. 168
Zona de aplicación. Pág. 176
Zona de aplicación. Pág. 171
1
1
1
1
1
60º y 30º
72º y 18º
67,5º y 22,5º
a) 134º33´ b) 164º 31´ c) 143º 14´21´´
d) 66º 50´44´´ e) 92º 15´ f) 68º 45´55´´
a) 78º 15´55´´ b) 37º 24´ c) 71º 9´
d) 48º 19´15´´ e) 37º 11´17´´ f) 46º 41´
126º y 54º
a) 20,53º b) 65º c) 20º
d) 114,59º y 65,41º e) 30º f) 67.5º
a) 1080 b) 1440 c) 1620 d) 1800 e) 3240
a) 15 b) 21 c) 11 d) 17 e) 10 f) 13
a) 120º b) 135º c) 144º
60º
93º 53´53´´
116º; 116º y 48º
a) 93º y 31º b) 78,66 y 157,33
a) No b) Si c) No d) Si e) Si f) No
a) Si, 19 lados b) No c) No
a) 421,3 kg b) 0,44 g c) 21,5 g
d) 0,1249 kg e) 500,8 g f) 40 000 mg
a) 25,505 hg b) 4,55512 kg c) 32,764 kg
d) 3,24947 kg e) 40,58225 kg
a) 35 104,55 hg b) 157 245,45 hg c) 2 877,72 hg
d) 33 961,37 dg e) 134 727,27 hg f) 9 927,71 hg
a) 1 136,36 dg b) 3 140 qm c) 568,18 hg
d) 5 753 lb e) 20,31 lb f) 10 000 Kg
6 432,72 dg
194,7 meses
� 338,36
a) 7,17 b) 11,17 c) Resulta de sumar 4 a cada término.
a) Aproximadamente 9 días b) 70
a) 1 000 años b) 240 meses c) 20 lustros
d) 1 825 días e) 168 horas f) 2 lustros
a) 18 h 58 min 24 seg b) 11 h 34 min 3 seg
c) 29 h 25 min 38 seg d) 27 h 38 min 20 seg
a) 6 h 57 min 57 seg b) 1 h 30 min 35 seg
c) 2 h 53 min 14 seg
d) 24 min 43 seg 6. 2años, 4meses, 29dias
13
15
16
12
17
18
19
x –2 –1 0 1 2
y 49 7 1 1/7 1/49
La “h” del como debe ser 3 veces la “h” del cilindro.
2,19 dm
400
a) 4; 100; b) Creciente
67 200 l
0 1 2 3 4
3 6,44 15,78 41,17 110,2
d b a a) d; b) d; c) a
c d d y = 5 • (1/3)x
c a b b
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
Ruta saber. Pág. 142 - 143
Módulo 5Zona de aplicación. Pág. 152
1
3
4
5
6
2
5
5
5
5
3
3
3
3
7
7
8
9
2
2
2
2
6
6
4
4
4
4
4
a) 7 √
___ 58 _____
58 ,
3 √___
58 _____
58 , 7 __
3 , 3 __
7 ,
√___
58 ____
3 ,
√___
58 ____
3 ,
√___
58 ____
7
b) 1 __ 4
, √
___ 15 ____
4 ,
√___
15 ____
5 , √
___ 15 ,
4 √___
15 _____
15 , 4
c) √
__ 3 ___
2 , 1 __
2 , √
__ 3 ,
√__
3 ___
3,2 ,
2 √__
3 ____
3
d) √
__ 5 ___
5 ,
2 √__
5 ____
5 , 1 __
2 , 2 ,
√__
5 ___
2 , √
__ 5
e) √
__ 5 ___
3 , 2 __
3 ,
√__
5 ___
2 ,
2 √__
5 ____
5 , 3 __
2 ,
3 √__
5 ____
5
f) 7 √
____ 113 ______
113 ,
8 √
____ 113 ______
113,7 ______
8 , 8 __
7 ,
√____
113 _____
8 ,
√____
113 _____
7
a) √
___ 55 ____
8 ,
√___
55 ____
3 ,
3 √___
55 _____
55 , 8 __
3 ,
8 √___
55 _____
55
b) 2 √
__ 5 ____
5 ,
√__
5 ___
5 , 1 __
2 ,
5 √__
5 ____
5 ,
5 √__
5 ____
10
c) 3 __ 5
, 4 __ 5
, 3 __ 4
, 4 __ 3
, 5 __ 3
d) 1 __ 4
, √
___ 15 ____
4 ,
√___
15 ____
15 , √
___ 15 ,
4 √___
15 _____
15
e) 2 √
__ 2 ____
3 ,
√__
2 ___
4 , 2 √
__ 2 ,
3 √__
2 ____
4 , 3
f) √
__ 2 ___
2 ,
√__
2 ___
2 , 1 , √
__ 2 , √
__ 2
Para α : √
__ 3 ___
2 , 1 __
2 , √
__ 3 ,
√__
3 ___
3 , 2 ,
2 √__
3 ____
3 Para β : 1 __
2 ,
√__
3 ___
2 ,
√__
3 ___
3 , √
__ 3 ,
2 √__
3 ____
3 , 2
5 √
___ 34 _____
34 ,
3 √___
34 _____
34 , 5 __
3 , 3 __
5 ,
√___
34 ____
3 ,
√___
34 ____
5
5 √
___ 29 _____
29 , –
2 √___
29 _____
29 , – 5 __
2 , – 2 __
5 ,
√___
29 ____
–2 ,
√___
29 ____
5
a) 67º b) 50 c)1
d) 45º e) 69º f) 44º
Solucionario
70
Pro
hib
ida
la re
pro
du
cción
tota
l o p
arcia
l po
r cua
lqu
ier m
ed
io sin
pe
rmiso
escrito
de
la E
dito
rial.
����������
1
1
a) 43,18 kg b) 44,32 kg c) 1,14 kg
a) 317,18 lb b) 617,14 kg c) 7 405,68 kg
14 años, 6 meses, 25 días
19 h 7 min 3 seg
a = 3, b = 4, c = 5 a) 3/5 b)4/5 c) 35/12
3/4
a) 540º b) 36º
a) 23º b) 164,35º
1 505
a) � 344,02 b) 8/155
162º y 18º
a) 15º b) 27º y 63º
2 592 000 seg
262 800 min
a) 8 784 h b) 20
a) 84º y 96º b) Ni una porque es 7/8 c) β = 96º y α = 84º
a) Si, 3ero b) 216º c) 36º
a/16, 1/16, a, 1/a, 1,6/a
c) 141,47 lb
Compruebo lo que sé. Pág. 178 - 179
3
13
4
14
5
15
7
6
16
8
19
2
12
18
17
10
11
Módulo 6Zona de aplicación. Pág. 185
1
5
3
2
4
a) 0,68 b) 1,04 c) 0,70 d) 1,28 e) – 0,36 f) 1,00
a) 73º b) 23º c) 11º d) 78º e) 80º f) 87º
a) b= 5 3 cm, α = 30°, = = 60°
b) a= 55cm, α = 67,98°, β = 22,2°
c) b= 5 cm, α = 67,38°, β = 22,62°
d) b= 6 2 dm, α = 50,48°, β = 39,52°
e) b= 4 13 km, α = 31,97°, β = 58,03°
f) a= 20 cm, α = 53,13°, β = 36,87°
a) �B = 51º, b = 9,88 cm, c = 12,71 cm
b) �B = 28º, a = 17,66 cm, b = 9,39 cm
c) �A = 62º, c = 25,16 m, a= 22,57 m
d) �A = 20º, a=14,11 hm, b=5,12 hm
e) b= 4,8 cm, c=11,09 cm, α=25,64º, β=64,36º
f) �A = 38º, c=22,7 mm, b = 17,9mm
a) c= 5,83, �A = 30,96º, �B= 51,04º
b) b = 4 7 , �A = 15,83º, �B = 74,17º c) b = 8, �A = 27º
Zona de aplicación. Pág. 199
1
1
1
5
2
2
6
3
3
7
4
4
3
4
2
a) + b) + c) + d) – e) –
a) 3 + √
__ 3 – √
__ 2 __________
2 b)
√__
2 – 3 ______
2 c) –
3 √__
2 ____
2 d) 1/2 e) 1 f) 1
P = 20 ( √__
3 ___
3 + √
__ 2 + 1 ) , A = 200 ( √
__ 3 ___
3 + 1 )
a) 4/3 b) 1/2 c) 3/4 d) √
__ 2 + √
__ 6 _______
4 e)
√__
2 – √__
6 _______
4 f)
√__
2 ___
2
a) Em
= {diamante, trébol, corazón rojo, pica negra}
b) Em
= {amarillo, azul, rojo} c) Em
= {g, a, l, p, o, s}
d) Em
= {1, 2, 3,4, 5, 6}
a) Em
= {1,2, 3, 4, 5, 6}, Ef = {1, 3, 5}
b) Em
= {1,2, 3, 4, 5, 6} Ef = {1, 2, 3}
c) Em
= {1,2, 3, 4, 5, 6} Ef = ø
d) Em
= {e, e, u, a, d, o, r} Ef = {e, u, a, o}
a) 8/21 b) 1/3 c) 2/7 d) 0 e) 1
a) 23/79 b) 29/79 c) 27/79 d) 23/79 e) 21/79 5. 13/22
Zona de aplicación Pág. 210
b) 4/25 c) 9/25 d) 16/25
a) 6/25 b) 3/10
2 amarillas 25/121; 2 blancas 36/121
14/15
2/3
1/121
6 9. 5 040
Zona de aplicación. Pág. 204
130 m
7,55 m
4,79 m
62,93 m
h = 30,5 m
3,65 m y 36,10º
6
5
7
9
8
10
Zona de aplicación. Pág. 190
1
3
2
4
4 289,01 m
54,95 m
98,23 m
186,60 m
Solucionario
71
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12
14
13
15
5/33
10/153
362 880
67 600 000
Compruebo lo que sé Pág. 121
a) 29,51º b) 74,68º c) 41,24º d) 38,54º
654,35 m
85,35 m
150,12 m
+, –, +, +, –, –
30 6 m
1/2 + 3 – 2
a) 1/6 b) 5/12 c) 0 d) 1/12 e) 1/3 f) 0
a) 1/2 b) 1/2 c) 1/2
a a sen b, cosd c c
c c lado b –– d, lado c ––a, β –– b
b �A –– c, �B –– B, lado a –– d d
a d d c c
1
11
2
12
3
13
4
5 6 7
8
14
9 10
15
Ruta saber. Pág. 214 - 215
5
9
6
10
3
7
11
4
8
Pro
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pe
rmiso
escrito
de
la E
dito
rial.
72
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