Centro Estudiantes ingenieríaSecretar i a de Material de

Estud i o y B i b li oteca .

TORSION UN%PORD1E

BE LAS B ARRAS LASTICAS PRISMÁTICAS

Por

Horacio Rezk

Profesor Titular del

Departamento de Esta bilidad

44.00.02 Año 1985

PROLOGO

En este texto se desarrolla la tercera unidad temática del

programa de Estabilidad IIIb. Con su publicación aspiro a fa¿ili

tar la tarea de aprendizaje que realizan mis alumnos.

Para realizar este trabajo he contado , con el apoyo del se-

fior Director del Departamento de Estabilidad Ingeniero Angel Bar

letta Blumetti , a quien agradezco las facilidades que me ha pro-

porcionado.

Debo asimismo agradecer al Ingeniero Jorge Hirthe , Ayudan-

te de Trabajos Prácticos de la cátedra, por la colaboración pres

tada en la revisación del manuscrito, con respecto al cual me hi

zo algunas observaciones que fueron tenidas en cuenta y por su -

trabajo de escribir las fórmulas y realización de los dibujos.

A la,Srta, María I. Lattuada le agradezco la dedicación con

que realizó la escritura a máquina del texto y su ayuda en la co.

rrección final de los originales.

}Buenos Aires, 22 de agosto de 1985.

H.R.

e

IN!! CE

Pág.

Prólogo...........•....... • .............................. I

11. Introduccion ...........................:.................

2. El problema de torsión según Sa int- Venant ................ 2

3. La resolución del problema........ ..... .................. 4

4. Torsión de una barra de sección elíptica ................. 24

5. Torsión de una barra de sección rectangular .............. 31

6. Algunas propiedades de las tensiones tangenciales........ 38

7. La analogía de la mem tirana ............................... 40

8. Algunas aplicaciones de la analogía de la membrana ....... 50

8.1. Barra de sección rectangular alargada ............... 50

8.2. Barra de pared delgada de sección simplemente conexay espesor constante ................................. 53

8.3. Barra de pared delgada de sección simplemente conexay espesor variable .................................. 53

8.4. Perfiles laminados.... 54

8.5. Barras de pared delgada múltiplemente conexas ....... 57

8.6. Comparación entre el comportamiento de las barras deparedes delgadas múltiplemente conexas y simplementeconexas ... ... ....................................... 63

8.7. Barras constituidas por chapas soldadas o remachadas 65

9. Referencias.............................................. 67

Anexo I. Las soluciones generales de los desplazamientos. 68

11

1 IN `RO RUCCION

Las barras elásticas prismáticas solicitadas por esfuerzos

normales , momentos flexores y esfuerzos de corte pueden estudiar

se con los métodos sencillos de la Resistencia de Materiales, ob

teniéndose , en general, resultados satisfactorios desde un punto

de vista técnico.

Cuando las barras están solicitadas a torsión, mediante la

Resistencia , de. Materiales sólo puede obtenerse la solución si la

sección transversal de la barra es un círculo, una corona circur

lar o se trata de una barra tubular de paredes delgadas. Sí la -

sección transversal tiene una forma cualquiera, el problema pue-

de ser resuelto con la Teoría de la Elasticidad, bajo ciertas --

condiciones que explicamos detalladamente en los artículos que -

siguen,

En este texto estudiamos este problema clásico de la Teo-

ría de la Elasticidad, que fue resuelto por Saint-Venant en tér-

minos de desplazam ientos mediante su método sem i-inverso. Se lo

denomina problema de la torsión uniforme, o de torsión libre o -

torsión segun Saint-Venant.

La importancia de la solución de Saint-Venant radica en el

hecho de que muchas veces es directamente aplicable a problemas

prácticos en que se satisfacen las condiciones de la torsión uní

forme y además porque sus resultados sirven de apoyo para resol-

ver los problemas de torsión no uniforme (ver por ejemplo refe-

rencias 9.9 y 9.10).

En el presente trabajo se desarrolla la teoría de torsión

uniforme y se explica su resolución mediante la función de ten---

sión de Prandtl, Se obtienen las soluciones analíticas en el ca-

so de barras de sección elíptica y rectangular. Mediante la ana-

logía de la membrana se justifican soluciones aproximadas para -

las barras de pared delgada de sección abierta con espesor cons-

tante y variable, perfiles laminados, barras tubulares de pare-

des delgadas y barras constituidas por chapas soldadas o remacha

das.

2 EL PROBLEMA DE TORSION SEGUN SAINT- VENÁI.líT.

Supongamos un cuerpo prismático eV9tico, homogéneo e ¡86--

tropo cuya sección transversal tiene una forma arbitraria que --

puede ser simple o múltiplemente conexa, es decir, llena o con -

uno o varios huecos.

Usamos un sistema de coordenadas- cartesianas ortogonales -

x ,j , Z de modo que el eje E tenga la dirección longitudinal -

del prisma. El punto origen de coordenadas es un punto arbitra-

rio de una de las caras extremas del prisma, como se muestra en

la figura 2.1.

Fig. 2. 1

Supongamos que el sólido se encuentra. en equilibrio bajo -

la acción de fuerzas superficiales que actúan sobre las caras ex

trenas.

Las fuerzas que actúan sobre la superficie coordenada Z =i

1

2

son estáticamente equivalentes a un torsor, cuyo vector re--

presentativo es M= Mzéz y las que actúan sobre la otra cara ex

trema ( =o) , son estáticamente equivalentes a un par opuesto --

-M . La superficie lateral del prisma está descargada y las fuer

za.s volumétricas son nulas.

Si están específicamente determinadas las fuerzas superfi-

ciales que actúan en las curas extremas, se está frente a un pro

blet a elástico che primera especie (ver ref. 9. 8 ) que, en gente--

ral, presenta grandes dificultades matemáticas. Su resolución se

hace posible si se flexibilizan las condiciones de borde del pro

blema,- ranuiciann.4q a ®epecif icor completamente a las fuerzas su-

perf ie iales que actúan en las oáras extremas y estableciendo só-

lo la condición global de ser estáticamente equivalentes a un --

par torsor M1 y M rospectivumente.

Si las dim.er?siones. tranovorsales del prisma son pequ•etías -

fren.te a la longitud, la eoluoión que se halle bajo estas condi-

ciones de borde más flexibles, es aplicable a todos los puntos -

del prisma que no se enoueritrun en la inmediata vecindad -de las

caras extremas , cualquiera sea la distribtuoión efettiVá °de lat

fuerzas superficiales (principio de Saint- Venant).

Además, es conveniente destacar que, tratándose de un pro-

blema elástico de primera especie, la solución es única para las

tensiones y deformaciones, pero los desplazamientos quedan defi-

nidos como la suma de una solución particular máa la que corres-

ponde a un desplazamiento rigide arbitrario muy pequeño del caer

Po prismático.

3

3 LA RESOLUCION DEL PROBLEDIA.

Se comienza por aceptar una hipótesis respecto de la forma

de una solución propuesta para las componentes u, V,W de los --

desplazamientos. La solución completa del problema se obtiene ve

rificando que se cumplan todas: las ecuaciones básicas de la teo-

ría lineal de la elasticidad y las condiciones de borde del pro-

blema en estudio. La hipótesis consiste en aceptar que

u Z. v= e.z. w = W (x,^) (3.1)

donde 6 es una constante y W(xJ ) una función desconocida.

Puede comprobarse que esta hipótesis implica suponer que -

durante la deformación de la barra, las secciones transversales

(superficies coordenadas i ) giran rígidamente en su propio pla-

no alrededor del eje Z , en un ángulo proporcional a la coordena

da 2 y además sus puntos se desplazan normalmente al plano de -

la sección en forma independiente de la coordenada i .

La rotación rígida de las secciones en su plano puede ser

representada por el vector

0 = 4. éZ (3.2)

donde el módulo de la rotación es

© =e.2 (3.3)

De la ecuación (3.3), se obtiene

(3.4)

que justifica el nombre de rotación especifica con que se desig-

na a la constante e .

El desplazamiento de un punto cualquiera puede entonces ex

presarse en la forma

Q = Qxf + w , e-Z (3.5)

4

donde es

=xéx +^^^ (3.6)

el vector posición del punto considerado.

En la ecuación ( 3. 5) , el primer término del segundo m iem--

bro representa a la parte del desplazamiento debida al giro ríc

do de la sección en su plano y el segundo término la componente

de desplazamiento en dirección longitudinal.

Zas, componentes W(X,J de los desplazamientos pueden pro

ducir, en general, un alabeo de las secciones, es decir que debi

do a estas componentes de los desplazamientos, las posiciones f -i

nales de los puntos de una sección pueden dejar de pertenecer a

un plano. Como W es independiente de 7 , todas las secciones se

alabean del mismo modo.

Si en la ecuación (3.5), se introducen las ecuaciones (3.

.2), (3.3) Y (3.6), se obtiene

á=-6z^éY + 6^xé^+

que es equivalente a las ecuaciones (3.1).

Si admitimos las ecuaciones (3.1), de las relaciones cine-

máticas lineales

óu dvóx = ^ + ax

awaz - a

se obtienen las deformaciones

(3.7)

b- =¿^=^2=VxJ=0

Para obtener las tensiones, introti.á ,;imos las ecuaciones -

(3.7) en la ley generalizada de Hooke (ver ec. (7.4) de ref. 9.

.8)

Gx 2 ( 1 -o) 2k) ZI)1-

2

20 i-2v 1-2u

i) 2(1-v) 2U1-

2

21-2U 1-2v

y 21) 21-u)

E L- 2v 1-2v 1-21)

Cx^ 2 (1+v) 1 ^XJ

z 1 lis

. 1 r^z

y resulta

donde

(.3.8)

E2 (1 +U)

es el módulo de elasticidad transversal del material. -

En lo que sigue , desarrollamos la solución del problema ba

sada en la función de tensión de Prundtl. Este camino consiste -

en introducir una función de tensión Y _ T(x11) , tul que

t2 = Dy x é2

donde

l^ = Z Z) PY

(3.9)

(3.10)

es el vector tensión que actúa en el plano de la sección, y

Q^P = áx é k + óá1 ej

es el gradiente de la función . (El simoolo es el operador

Ham ilton fano) .

De las ecuaciones (3.9) y (3. 10) se obtienen las ecuacio-

nes escalares equivalentes a la ecuación (3.9)

Z x . á^ Zz _ á^ (3.11)a^ ^--ax

En el método de Prandtl, la función P es la función incóg

nita principal del problema, ya que se pretende obtener en base

a ella todas las demás funciones incógnitas ( tensiones, deforma-

ciones y desplazami entos).

En primer lugar, podemos comprobar que si, adoptamos como -

función Y una función continua cualquiera con derivadas conti-

nuas , el equilibrio interno queda asegurado.

En efecto, si en las ecuaciones diferenciales de equili --

brio

3Gx a? x + ^Z^ _ o

aáx + áa2i +

+ aZy^+oax á^ a^

introducimos las ecuaciones ( 3.11) y las ecuaciones de la última

fila de ecuaciones ( 3.8), puede comprobarse que el equilibrio --

queda satisfecho , cualquiera sea la función 'Y elegida siempre -

que sea continua y con derivadas continuas.

Como a partir de la función Y se ha de obtener la función

desplazamiento W=W(x,,) , que debe ser uniforme para los pun-

tos de una sección de la barra, a continuación veremos cuales --

son las condiciones adicionales que tiene que cumplir la función

Si reemplazamos las ecuaciones ( 3.11) en las dos primeras

ecuaciones (3.8) , resulta

7

(3.12)

0 (_e )^y

y si llamamos M (Xj) y N ( K,j) a las funciones

M=^ á^+ej

N ay - oxG ax

de las ecuaciones ( 3.12) se obtiene

aw =M=!-.a^P +o^x G d^

(3.13)

aw _ 1 á'P (-3.14)a^ = N - 6 dx

Si en las ecuaciones ( 3.13) introducimos una función Y --

continua y con derivadas continuas , ello no asegura que M y N

sean las derivadas de una función potencial W , a menos que

dw = Mdx + N d1

sea una diferencial total exacta.

En el caso de una sección simplemente conexa, la condición

necesaria y suficiente para que ello ocurra es

é M _ á Ná^ áx

(3.15)

Si en la ecuación ( 3.15) reemplazamos las ecuaciones (3. -

.13), resulta la ecuación diferencial

j2q ^x + _ -2G6

o más brevemente

p2Ip = _ 2ge (3.16)

De modo que lu fuacióti "P , deoe satisfacer la ecuación di-

f erenc ¡al (3.16) para asa f;ur :r l e.x istenc la día la función p oten

cial 1,c/ eri el caso de erial garra cuy¿. sección transversal es siw-

plemente conexa.

Si la secc ión es ú:u1 ^ ij:lewc;n ^e conexa, la condición (3.15),

y por ende la ecuación es condición necesaria pero no su

f i c i ente, y se req uLere?ii condición s a icLOr]aleS para asegurar -

la existencia de la iunciócl pO Ce.Lciaa1 W

Pura obtener esGLis cOridi^;LOUt;s udicioriaies consideraremos

i:rLLcerum(--nte el caso ae Tia :3C-ce16t. 3. 1) .

Los resultados que se o l)t Leti ^^i . se fá c ilmente

y,ara secciones m ul t i 1eC :^ t : Or:t ;Cu:^ C l^llesu mera.

Fig. 3,1 Fig. 3.2

Si en la sección de lu figura 3.1, efectuar os uri corte co-

co el indicado en la f ig:Lru 3. 2, lu sección se convierte en sim-

y lemente conexa.

i la función Y sau e e u la e_ cuz., oioti d iferencial ( 3.16)

Queda asegurada la existencial ue la f unción potencial W en el -

aoininio SLwplewenue cone xo cio :strado en lu fig. 3.2. Los puntos -

A+. y A_ adyacentes que se encueci trae re:^pect ivaw n^e sobre una

y otra cara generadas por el corte podrían tener, sin ewbargo, -

despluzumientos W difereritcs en el ioc^i:rio siuipleciente conexo.

Lo mismo podría ocurrir con otro par ^_ua.lquiera de puntos como -

los B+ y B- .

Para que un par de puntos como A+ y A- tengan el mismo -

desplazamientu W , debe cumplirse la condición

Mdx + Nd^ =0 (3.17)

•c

donde la integral se extiende a una curva cualquiera C que va -

desde A+ hasta A- rodeando al hueco.

Puede demostrarse que la condición ( 3.17) es suficiente pa

ra asegurar que todos los pares de puntos adyacentes tengan el -

mismo desplazamiento . En efecto , si suponemos un par de puntos -

cualquiera , como el B+ y B- , la condición para que tengan --

igual desplazamiento Sri/ sería

MdY +N dj =o (3.18)Jc•

donde C' es una curva cualquiera que va desde b+ hasta B- ro-

deando al hueco.\/

En particular esta curva C' puede tomarse desde Bt hasta

Ai. sobre el corte, desde A+ hasta A- siguiendo la curva C y des-

de A- hasta B_ sobre corte, de modo que la ecuación (3.18) queda

aL o

Mdx+Nd^ =0J MdNd^ + Mdx+Ndj + ]A

-c(3.19)

Debemos notar que, si existe la función Y(K,j) en el do-

minio múltiplemente conexo , también están definidas en ese domi-

nio las funciones M y N (ver ecuaciones ( 3.12)) y, por conai--

guiente

At

Mdx+Nd^ + Mdr+Nd^ = 0 (3.20)

A_

pues se recorre en cada integral la misma curva en sentidos opues

tos.

La ecuación (3.19) queda reducida entonces a la condición

10

(3.17). Esto nos demuestra que basta la condición adicional (30

.17) para asegurar la existencia de W en la sección doblemente

conexa.

En el caso de una sección con m huecos será, necesario --

efectuar nl cortes adecuados para convertir la sección en simple

mente conexa y deberán plantearse m ecuaciones de la forma (3.

.17), o sea

JG

M.dx +Nd^ =o á = 2, ....., m (3.21)

donde CJ son curvas cerradas alrededor de cada uno de los hue-

cos.

En la figura 3.3 se representa una sección cuádruplemente

conexa y las curvas Ci , C2 , C3 correspondientes.

F g. 3.3

Las ecuaciones de le, forma (3.21) deben plantearse en ter

manos de la función de tensión Y . Para ello introducimos en -

la ecuación (3.17) las ecuaciones (3.13), con lo que resulta

aQ dx di = e x d _d y dx (3.,22)G d^ áxc c

Esta ecuación puede a su vez transformarse mediante las -

siguientes consideraciones. Sean

1 1

las ecuaciont: paramétricas de la curva C expresadas en función

de la coordenada curvilínea 5 , que es la longitud de la curva

medida a partir de un punto arbitrario (ver figura 3.4). El vec-

tor posición de los puntos de la curva es

= X(5) éx t á(s^ eá

Fig. 3.4

El vector tangente a la curva es

e5 = d^ = dx éx + -- eds ds ds

(3.23)

( 3.24)

y el vector normal a la curva de sentido saliente respecto de la

superficie encerrada por ella es

n=es xez_ ds éK-dds xed (3.25)

El producto escalar de este vector por el gradiente de Y

es

1 2

o^p . ñ . a ^ éY + á lp e ) i e dx e 1dx al ^ ds ds

DUP. ñ = á^ d - dW d5

(3. 26)

Si tememos en cuenta esta ecuación, vemos que . el primer

miem bro de la ecuación (3.22) puede ponerse en la forma

+ á^ dx d ñ ds (3.27)G á^ ax G

c

Para transformar el segundo miembro de la ecuación (3.22)

usaremos el teorema de la divergencia en el plano , expresado en

general por la ecuación

( ax + dx d^ _

Ac

(3.28)

donde A c es la superficie encerrada por la curva C y P y Q

son dos funciones de las coordenadas Y. e

Si en particular tomamos

p=

Q = ^

la ecuación (3.28) nos da

JJ(1^l)dxd 1 = rd^ - Jdx

JAC c

o sea

xd^- ^dx = 2AcJc

(3.29)

Si reemplazamos las ecuaciones (3.27) y ( 3.29) en la ecua

ción ( 3.22), se tiene la ecuación

Dup.ñ d5 = - 2 G5Acc

(3.30)

13

Esta es una manera conveniente de expresar las ecuaciones

del tipo de la (3.17), La forma (3.30) admite algunas variantes.

Por ejemplo, si tenemos en cuenta que

p^P•ñ=á(Pan

es la derivada direccional de la función Y en la dirección de -

la normal ^n a la curva, la ecuación (3.30) puede reescribirse -

en la forma

dy . ds 2 G 0Acdn

c

(3.31)

Esta ecuación puede deducirse también de una de las ecua-

ciones integrales de compatibilidad (las dos restantes se convier

ten en identidades); este camino de obtención es interesante con

ceptualmente ya, que esclarece el significado de la ecuación (3.

.31), pero es más engorroso que el que se ha seguido en este tra

bajo. (La deducción de la ecuación ( 3.31) partiendo de las ecua-

ciones integrales de compatibilidad fue obtenida en referencia -

(9.13)).

Existe otra forma de expresar las'ecuaciones (3.30) que a

veces resulta útil en las aplicaciones. Para obtenerla, multipli

Gamos escalarmente ambos miembros de la ecuación (3.9) por e.,

con lo que se obtiene

t2.^s O^Q x

^^ • es - - 0( é;s x ég

y si tenemos en cuenta a la ecuación (3.25), resulta

}Z. é5 = - aT•ñ (3.32)

Si introducimos la ecuación ( 3.32) en la ( 3. 30) , obtenemos '

1 iz -é5 ds = 2 G9 AcJC

(3.33)

1 .1

Al primer miembro de esta ecuación se lo denomina circular-

ción de a lo largo de la curva. C

Si la sección es rn +1 -plemente conexa, deberán plantearse

m ecuaciones del tipo de la (3.30) o sus equivalentes.

La función 1 que satisfaga á la ecuación diferencial (3.

.16) y las ecuaciones integrales (3.30) si la sección es múlti--

plemente conexa, asegura el cumplimiento de las ecuaciones bási-

cas de la teoría de la elasticidad en el interior del cuerpo con

siderado.

Debemos ahora plantear las condiciones de contorno que co-

rresponden al problema de torsión en estudio.

Para ello escribanos primeramente las ecuaciones generales

de equilibrio en la superficie

P =Zxjf +5m +ZZj.n

f2 = ng ^ t m + GZ. n

(3.34)

En estas ecuaciones px , a , p son las componentes de -

las fuerzas exteriores, referidas a la unidad de área, que actúan

sobre la superficie de la barra y , m , n los cosenos directo

res de la normal saliente.

Si en las ecuaciones (3.34), introducimos las componentes-

de tensión expresadas por la última fila de ecuaciones (3.8) y -

las ecuaciones (3.11), se obtiene

( 3.35)

Apliquemos estas ecuaciones a un punto cualquiera de la su

perficie lateral de la barra, sea interna o externa . Como se tra

ta de una superficie cilíndrica paralela al eje ¿ , n es cero

15

(ver figura 3. 5) y si expresamos la eciu-ci6n del contorno en la -

á

e X

Fig. 3.5

forma paramétrica

X = )C(s)

los cosenos directores son

ds n=o (3.36)

donde S es la longitud del arco del contorno de la sección medi-

do a partir de un punto arbitrario.

Si reemplazamos las ecuaciones (3.36) en las (3.35) se ob--

t iene

Px =o

(3.37)

áY dj cYP d xp^ - ds t dX ds

Las .condiciones de borde del problema planteado establecen

que en la superficie lateral no hay fuerzas superficiales actuan-

tes.

Las dos primeras ecuaciones (3.37) satisfacen estas condi--

-I 01

ciones y es necesario establecer qu- también Pt sea nula, es de

ir

ay dx !v d^ _ odx ds } á^ ds

(3.38)

Si consideramos el. espacio unidimensional de los puntos del

contorno se tiene

y = ? [ (s),j)]

y la ecuación (3.38) puede escribirse

ds -(3.39)

Si integramos esta ecuación, se tiene que para los puntos -

del contorno considerado es

y_Y¿ (3.40)

donde YI es una constante.,

En general la función tomará un valor constante diferen-

te en cada uno de los contornos de la sección (contorno exterior

y contornos interiores si es múltiplemente conexa).

Supongamos ahora un punto sobre una de las bases del pris-

ma, o sea una de las secciones extremas de la barra. Para ese pun

to la normal saliente es paralela al eje 1 y por consiguiente --

son nulos los cosenos directores ? y rn , mientras que n = } 1

correspondiendo el signo + para la cara donde la normal saliente

coincide con é,

Si introducimos

1= o m =o n . i

en las ecuaciones (3.35), se tiene

(3.41)

1 '

3. 41)

Las condiciones de borde para esta cara establecen que las

fuerzas superficiales actuantes son estáticamente equivalentes a

un par M = M2 é2 . ái reducimos entonces el conjunto de fuerzas -

superficiales definidas por las ecuaciones (3.41) a un punto del

plano de esa cara, la fuerza resultante debe ser nula y el siste

ma debe ser equivalente a un par.

En la figura 3. b se muestra una cara de una barra triple--

mente conexa y la uer^^; diferc^nci-_^l que actúa sobre un elemento

r`ig. 3.6

de superficie.

Si reducimos las fuerzas superficiales al origen de

nadas se tiene una fuerza

y un par

co orde

(3.42)

M= p dxd^ 3.43)JJA

1d

En éstas ecuaciones las in terTnuies dobles se extienden a -

la superficie de la cara, siendo

(3.44)

la fuerza superficial cuyas componentes son las expresadas por -

las ecuaciones (3.41) y

r = Kext^e^ (3.45)

el vector posición de un punto genérico.

Si en la ecuación ( 3.42) introducimos las ecuaciones (3.44)

y (3.41 ), se o bt ieerie

F ` IJ

d'P dxdj ex - á^P dxd1A á^ A dx

(3.46)

Puede demostrarse que las dos componentes de esta fuerza -

son nulas . Para ello aplicamos _el teorema de la divergencia en -

el plano expresado por la ecuación (3.28). Consideremos como cur

va C la indicada en la figura 33. Esta curva recorre el con--

torno exterior y todos los contornos interiores, a los que se --

llega por tramos que se recorren una vez en un sentido y otra --

vez en sentido contrario. La superficie encerrada por esta curva

es la de la sección de la barra, cuya `rea es A

Si tomamos las funciones P= T y Q=0 , la ecuación (3.28)

queda

1I, dx dx do l) dx di (3.47).ic

El segundo miem bro de esta igualdad puede descomponerse en

una suma de integrales que corresponden a distintos tramos en --

que puede dividirse la curve. C . Las integrales que correspon-

den a un mismo tramo recorrido en un sentido y en el contrario -

se cancelan entre sí y quedan las integrales extendidas a lo lar

go de cada contorno. Como de acuerdo con la ecuación (3.40) la

función Y es constante en cada contorno, su valor puede ponerse

fuera de la integral y la ecuación (3.47) queda

119

aI dxdjAax 1o

dxci

(3.48)

En esta fórmula C^ , i = son los contornos, Y¿ los

valores de la función de tensión en cada uno de. ellos y m el nú

mero de huecos que presenta la sección ( asignamos el índice ¡=o

para el contorno exterior).

Como es

dx = oice

por ser una curva cerrada, se deduce que

dxd, = 0

A

En forma similar, se demuestra que

1'dLd1 = 0

A

(3.49)

(3.50)

Reemplazando las ecuaciones (3.49) y (3.50) en la ecuación

( 3.46) , se deduce que

F . 0 (3.51)

Calculemos ahora el par M expresado por la ecuación (3.

.43). Para ello introducimos en esa ecuación las ecuaciones (3.

.44)', (3.41) y (3.45), con lo que se obtiene

e, 5 e z

dx d1 _ _11 (x + á ) dxd1 é^x

4

20

o bien

m= MZ

donde

(xax+yá^}dxdd (3.52)

Esta ecuación establece la relación ei'i.stente entre la fun

ción y el par torsor . M2 que solicita la barra.

El problema de torsión queda entonces resuelto si se obtie

ne la función Y tal que

a) Satisfaga la ecuación diferencial de Poisson (3.16) -

con las condiciones de borde ( 3.40), es decir , que 9 debe ser -

constante en el contorno exterior ( y en los contornos interiores

si la sección es múltiplemente conexa ). Debemos s eñalar que en -

la ecuación diferencial ( 3.16), 0 es una constante incógnita y

que también son desconocidas las constantes YI

b) Si la sección es múltipiemente conexa, la función 9

debe satisfacer ecuaciones como la ( 3.30) de circulación alrede-

dor de cada uno de los huecos de la sección . Estas m ecuaciones

permiten obtener las constantes Y¡ ' ( = ...,m .

La rotación especifica 6 se determina mediante la ecua---

ción (3.52), que relaciona a la función P con el momento torsor.

Más abajo transformamos a la ecuación (3.52) para darle una ex-

presión más conveniente.

Las dos componentes de tensión no nulas se obtienen luego

con las ecuaciones (3.11).

Conviene señalar aquí que puede atribuirse un valor arbi-

trario a 40 , constante correspondiente al contorno exterior. Es

to se debe a que en la ecuación diferencial (3.1Ó), las ecuacio-

nes de circulación (3.30), la relación (3.52) y las ecuaciones -

(3.11) que permiten el cálculo de las tensiones , sólo aparecen -

las derivadas de la función P , pero nunca la función misma. --

Por consiguiente, si LP(c ) es una solución del problema, tam-

bién lo es En todo lo que sigue, supondremos arbi

i

21

trariamente que es

Ya . o

Conoclú:-s las componentes de tensión, pueden hallarse las

deformaciones aplicando la ley generalizada de Hooke y luego los

desplazamientos se obtienen en base a las ecuaciones (3.1) y (3.

.14). (ver Anexo 1)

Como es un problema elástico de primera especie, la solu-

ción es única en tensiones y- deformaciones, pero los desplaza---

mientos quedan definidos a menos de los que corresponden a un mo

vimiento rígido muy pequefío.

La resolución efectiva de problemas 1e torsión será ilus-

trada en los artículos que siguen con algunos ejemplos.

Para terminar este artículo encontraremos una forma alter-

nativa de la ecuación (3.52), que resulta más conveniente en las

aplicaciones. Tomamos como ejemplo la sección mostrada en la fi-

gura 3.6 y aplicamos el teorema de la divergencia en el plano a

la curva C que encierra el área A

En la ecuación (3.28) introducimos

p=x.1P Q=^.Y

con lo que se obtiene

l l+ á^^^P)ldxd, C

Al JX

C

De esta ecuación se deduce

(Y-!- + ^P +114 c

o sea

x ^Y + x.di = 2 T dx di j.du ► .A ( dx d^) 11A (3.53)

La segunda integral que aparece en el segundo miembro de -

esta ecuación puede descomponerse en una suma de integrales ex--

tendidas a distintos tramos en que puede dividirse la curva C

Las integrales que corresponden a un mismo tramo recorrido en ur.

sentido y en el contrario, se cancelan entre sí y quedan laq inte

grales extendidas a lo largo del contorno exterior y los contor-

nos interiores. En cada una de esas integrales P ,que es constan-

te, puede sacarse fuera de la integral. Si hacemos esto y reempla-

zamos la ecu•-t c ' ) n ( 3 . 5 3 ) en la 52) , se obtiene

m - .

2 drdi - d 44 - dx. - Eg,. xd, - dx (3.54)A d i=1 C,

En estar ¿^e _a iad ^:ado con una flecha el sentido de

circulación alrededor de lus curvas cerradas.

Si tenemos en cuenta la fórmula podemos poner

Cpxd^-^dx xdj - jdx - -2A¿

donde At es el área del hueco i , Como , •ademú . s tomamos q0=0 , la

ecuación (3.54) queda

tg .2 Y dxdi + WL AL-A ice!

(3.55)

Cabe séfialar que, en el caso de una sección simplemente co-

nexu, al no existir huecos, la ecuación (3.55) se reduce u

2 r y d-cd1JA

(3.56)

La ecuación (3.52) se su:-tituye entonces por la ecuación

(3.55) o (3.56), según que la sección sea aiúltiplemente conexa o

simplemente conexa, respectivamente,

4 TORilON DE UNÁ BARRA DE SECCION ELI.PTICri.

Consideremos una barra prismática cuya sección transversal

es una elipse de semidiámetros 4 y b . Para estudiar este pro-

blema disponemos los ejes x , ^ , 7 de la terna cartesiana de -

modo que los ejes X e coincidan con los diámetros principa--

les de la cara extrema, según se muestra en la figura 4.1

..o

-o

Fig. 4.1

a

La ecuación del contorno de la sección de esta barra es

2 2 =0X- b2 _i

(4.1)

Como la sección es simplemente conexa, la función. % debe-

rá satisfacer a la ecuación diferencial (3.16) con la condición

de borde Y=O en el contorno de la misma.

Supongamos una solución de la forma

(p lx2Tn +

I2_ 1

i - a2 b2 (4.2)

donde m es una coristarite . Esta función satisface obviamente la

9íl

condición de borde, pues se anula en los puntos que satisfacen -

la ecuación del contorno (4.1).

Si reemplazamos la función (4.2) en la ecuación diferencial

('.16), se obtiene

(4.3)'°2G62

.:+ b2^ =-a

Para que la función (4.2) satisfaga a la ecuación diferen-

cial, la constante -rn debe tener el valor que surge al despejar-

la de la ecuación (4.3), o sea

Si reemplazamos este valor en la ecuación (4. 2), se obtie-

ne

Para hallar la constante & que aparece en esta expresión,

planteamos la ecuación (3.56), con lo que resulta

M 2 eGdb2= 02+ b2

JJx2dx d t b ^2dxd -JJ d )xJJ

A

(4.4)

4.5)

(4.6)

Las integrales que aparecen en el segundo miembro de esta

ecuación son, respectivamente, el momento de inercia de la sec-

ción respecto del eje d , el momento de inercia respecto del eje

k y el área de la sección. Sus valores son los siguientes

Ij _

G 6a2b2a2+ b2

Gea2b2 ( X2

Q2 + b2 02

x2dxd^ = tba4

J A

^2dxd^Ix= ^

A= dxd^ ►Tab

25

Si introducimos estos valores en la ecuación (4.6), pode-

mos despejar la rotación específica y se obtiene

e - M 1G d a3b3

a2+ b2

Esta ecuación se puede escribir en la forma

G

ÍT

donde

r a3 b3IT= Q2tb2

(4.7)

(4.8)

(4.9)

es la constante de torsión libre de la sección elíptica.

En general, para una barra cuya sección tiene una forma --

cualquiera, siempre es posible expresar la rotación específica -

6 mediante una fórmula como la (4.8), donde IT depende sólo de

las propiedades geométricas de la sección.

La constante de torsión libre para una sección circular --

puede obtenerse como un caso particular de la ecuación (4.9), --

cuando

-b2

siendo d el diámetro del circulo. Se obtiene

Ir=rd4 -IP32

(4.10)

o sea que coincide cori el momento de inercia polar respecto del

centro del círculo.

Si en la ecuación ( 4.5), introducimos la ecuación (4.7), -

se obtiene la función de tensión

kP= _ M ( x2 }^abl az b2 JJ

(4.11)

26

El cálculo de las tensiones se realiza con las ecuaciones

(3.11), donde reemplazamos la ecuación (4.11) y resulta

2 Mtr, nb3

2MiC^^ =r 03b

(4.12)

En la figura 4. 2, representamos los diagramas de estas ten

siones

aj -4

- IQ

-o

P

2Mz.iinb2

1. 2 MfTi a2 b

r'ig. 4.2

En los puntos Pi y P2 , extremos del menor diámetro de -

la elipse se presentan las tensiones tangenciales de mayor valor

absoluto,

mnxI Í I`?': b2M2

Tí ab2(4.13)

En el caso de la sección circular, de acuerdo con las

ciones (4.10), la ecuación (4.13), nos da

96Mz-M Xj =LTi d3

ecua

27

resultado que confirma al Obtenido en 1, esistenc la de Llateriales.

Para determ inar los desplazum ientos W , - primeramente reem-

plazamos la ecuación (4.5), en las ecuaciones (3.12), con lo que

se tiene

_ - e a2. b2 2 Jo2+b2 b2

- 8 a2_ b20 2+b2 (4.14)

aw = e Q2 b2 2 X _ 6_x _ _ e j- b2 . Xaj 02+b2 02 Q2 +b2

Sea Po (1Co,jo) un punto arbitrariamente elegido en una --

sección de la barra y P(Y,^) un punto genérico de la misma sec-

ción . Se tiene queP

W-wo - aW dx + aWdpo U ay

(4.15)

En esta ecuación, W es el desplazamiento correspondiente

al punto genérico P-, Wo es el desplazam iernto correspondiente al

punto Po y a la derecha del signo igual tenemos una integral --

curvilínea entre los puntos Po y P , que es independiente del -

camino elegido.

Por comodidad adoptamos el camino mostrado en la figura --

4.3

Fig. 4.3

Si en la ecuación (x+.15) introducimos las ecuaciones (4. -

.14), se tiene

J- b2W- Wo = - 0 x.^ +a 2+ b2

dx

02- b2 90 X,1 1a + b 2 XPIO z, Jo J

a2- bZa2+ b2

e Q? bZ x d^o2+b2

P (x,4ya)

8 a 2 - b2 x^ ^a02+ b2

(4,,15)

En esta ecuación la constante Wo es indeterminada, razón -

por la cual, el segundo térTi, irlo del segundo mies bro de la igual-

dad, que e9 cor stant,:, cure ce de importancia.

En realidad, a esta solución para los desplazamientos W, -

así como a la solución correspondiente a los desplazamientos U -

y V expresada por las dos primeras ecuaciones (3.11), podemos su

marle los desplazamientos correspondientes u un movimiento rígido

muy pequeño. La solución general para lomos desplazamientos es en--

tonces (ver ecuaciones(iO.lO) die referencia 9.8)

ll=-ei1+uo +1,. ( -z0}-

v = e.zx +vo + w o K-Yo - wxo ( z -Z0) ( 4.17)

02- b2W . - 6Q 2

+ b 2 . x .t^ , l^o t L,,"> (1 - yo) _ u (x YO)

1 ve u/o , W) f. i0 =1 ">^ ÉO

En la última de las ecuaciones (4.17), el primer término --

del segundo miembro describe el alabeo de una sección cualquiera

de la barra ya que los términos restantes, que son una función li

neal x e ^ , corresponden a un movimiento rígido durante el cual

p ^(9o)

W-Wo a2-bz02 +b1

Po(x0,0)

En estas ecuaciones x0 yo , Zo sorn ka s coordenadas de un

punto elegido arbitrariamente y Uó

son seis constantes inde ter: Triadas.

29

la sección permanece plano.

Las lineas equipotenciales de la función

W = , g a2- b2 . x .Q2+ b2

son hipérbolas , según se muestra en la figura 4. 3.

Fig. 4.3

(4.18)

Los puntos de los cuadrantes i y 3 tienen desplazamientos

del mismo signo, que es contrario al signo de los desplazamientos

en los cuadrantes 2 y A .

En el caso particular de una sección circular , si en la

ecuación ( 4.18) ponemos Q = 6 = P , , se obtiene

W=0

Este resultado nos indica que la sección circular no se ala

bea durante la torsión, en concordancia con la hipótesis empleada

en Resistencia de Materiales.

30

5 TORSION DE UNA JE ;;UION RECTANGULhR.

Supongamos que la sección de la barra sea un rectángulo de

lados 2a y 2b , según se muestra en la figura 5.1

Fig. 5.1

Debemos encontrar la función de tensión Y que satisfaga -

la ecuación diferencial (j.16) con las condiciones de borde

f7 )x=a = 0

(Y)rb=o

Para ello se propone como solución la serie

bn CO-.11 = 1,3,5,..

2a ir1

donde bt , b3 , b5 , .... son constantes y

^-,, - 1, (^)

son funciones desCauocldus (le la coordenada 4

Puede comprobarse fácilmente que la serie

las dos primeras condiciones de borde (5.1).

Las derivadas segundas de esta serie son

(5.2)

(5.2)

(5.3)

sat isface

^o p

auP= ^bcC5nrx. unú

x 12- 2 n n2a d2dx n= ^,a,..G a 2a

31

Ll laplaciano es,

2 dZrn _ n2G Z,n bn Coy nú Y-\7 -n 3,.. d 2 4 02 2a.

Desarrollemos ahora en serie de Vourier la constante -26@

que aparece a la derecha del si .o igual en- la ecuación (3.16).

Para ello suporigrawos que se t Lene una función par de X , -

periódica de período T_ 4q , como la que se representa gráf icamer_-

te en la figura 5. 2. (pare. -a<X < CL , la función toma el valor --

-2G6 ).

1 N)

T= 4a

20-266

1 ig. 5.r

3a Ga

Esta función puede desaarrollurse en una serie de Fourier de

cosenos

r(x) Qo + L 0n Cos

n=1

con coeficientes

Ix

00 T f(x)dx Qn=

oT

o

(ver referencia 9.12).

Si en las ecuaciones

T =4a

T2

f(x)C0

5 2n-1i x.drT

( 5.5)

o< y-< CL

CL< X < 2a

'1=1,2,... (5.6

se obtiene

00=o

n21 (5.7)n -i,

n = 2,4,...

Reemplazamos esto s valores en la serie ( 5.5) y resulta

n-1

2 0e 2 n Ti(-í) 2 cos za

n=1,3,..

.r (5.8)

Esta función es el desarrollo en serie del segundo miembro

de la ecuación diferencial (3.'1-6).

ái introducimos lis ecuaciones (5. 11 ) en la ecuación

diferencial se o,-,tiene

ZIP n-1d?fn - n2C 2 . fn ) bn Cos

n.r.r = - 2 G64

( -i 2 cos 2^axd l- 4a2 20 n ra n.1,3..

igualamos los térm -no:3 que corresponden u un mismo n , con

lo que resultan las ecu,lcione-y dif er(enciules

n-1

d rn c5i _ 8C9d^t ^, a2 n f.bn n /

n=1,3 , (5.9)

Las soluciones generale s de estas ecuaciones diferenciales

son

-i1Tn = ^^ 5ñ ni-( [^^ c ni^J + 32.690 2 ^_1) n 2

za 2a ü3n3b.-7r1_ 1,3,... (5.10)

Como la función de ce satisfacer la segunda fila de con

diciones de borde (:. 1) , en la serie ( 5. 2), debe ser

! Cn )^.-b(5.11)

.33

Si introducimos la solución ( 5.10) en las ecuaciones ( 5.11),

se obtienen sistemas de dos ecuaciones lineales algebraicas en A. y

Bn que una vez resueltos permiten obtener

n-i_ 32 ' o2 2

1

An = o (-7, n;^6 ; nr 3 n3 bn

za

Si introducimos estas constantes en las soluciones (5.10),

se tiene

2 n-1 nu

fn326 9a

l1) 2 ^- t1 =1,3,...

u n 3 b l I G^. rt j bn Za

(5.12)

Reemplazando estas funciones en la serie (5.2), resulta la

función de tensión que resuelve el problema.

Ci,^n _ 32.G6Q ¡-i 2 (í - Za l Cog n.ii.aC

`r r3 n3 ` l C1 nñb 2Q

n=1,3, .. 20

(5.13)

Las componentes de tensión tangenciul ce obtienen, de acuer

do con las ecuaciones ( 3.11), mediante lis derivadas primeras de

Y.

ZTk _ -

2° n_)2 s^ "16GAQ 1 _ 20 Cos n! x

TI 2 L/- n2 ck nñb za

20

(5.14)::° Y)-1 ',nrr

/16@OaA ) Sen núx

í1 n 1 ni b{ 2an= Za

La máxima tensión tangencial se produce en los puntos me---

dios de los lados mayores. Si suponemos b> Q , se tiene

} 7 _ ► ó c^en 1 _ (5.15)m nY I l^ I = (`Z^ ^Y_q Ír 2 r12 i n ^íb

O n'!3.

- .,

Si tenemos en cuenta que

4n

n_1, 3,..2

-2

8

( ver referencia 9.14, pág.346), la ecuación ( 5.15) puede reescri-

birse en la forma

mók It.I = 2G6ak

donde

k=1w

g L 1Ú2 2 L nüb

2Q

(5.16)

(5,17)

es función de la relación de lados b/Q . Sus valores se consig-

nan en la segunda columna de la tabla 5.1.

Puede observarse que cuando la relación b/Q es suficiente

mente grande , puede ponerse k=i y la ecuación ( 5.16) queda

áx 1Iz 1 = 2 G & o (5.18)

Sobre este resultado volveremos má.s adelante.

Para determ inar la constante & , usamos la ecuación (3.56).

Reemplazamos en ella la ecuación (5.13), con lo que resulta

„Q „b

MZ = 2

w

1 32C^6o2) i^- iíl 3 L 3

-b n_1,3,..f

c& nii

2a Cos 2Q >< drdy =núb a

. 2a

n1 a nii^6L, G0 2

Q i i Z 24 gen niix

il3 L n3 n tí ( a c, nrbJ-b -a 2a

32 Ge (2a)3/ ' 41,4 n y

n-1,3,..

r 2Q n ií b_ h>í 20

nüb2a i -b

35

m 32G6 (20)3 2b - 4o V 1 { ntb lli4 n4 Ti h5 2a /

n_ 1, 3,..

Si tenemos en cuenta que

n4 96

(ver referencia 9.14, pág. 346) , la ecuación anterior puede escri-

birse en la forma

M7 = Ge IT

donde la constante de torsión libre es

3IT- (a).(2 b)k1

y Ki es función de la relación de lados b/p

n=i,&,..

192r5 n5 2a

(5.19)

(5.20)

(5.21)

Los valores de ki se consignan en la tercera columna de la

tabla 5.1. Cuando b/a es grande, puede tomarse aproximadamente

k, = 1 ( - 0, 630 a )

De la ecuación ( 5.19) , obtenemos

(5.22)

(5.23)

Si reemplazamos esta ecuación en la ( 5.16) y tenemos en --

cuenta la ecuación ( 5.20), se obtiene la máxima tensión tangencial

en función del momento torsor

rnáx I} I = Mik2 (zo)2 (Zb)

donde es

(5.24)

1:.

(5.25)

k

Los valores kz se consignan en la cuarta columna de la ta-

bla 5.1

Tabla 5.1

ba

k k, kz

1,0 0,675 0,1406 0,208

1,2 0,759 0,166 0,219

1,5 0,848 0,196 0,231

2,0 0, 930 0,229 0,246

2,5 0,968 0,249 0,258

3 0,985 0,263 0,267

4 0,997 0,281 0,282

5 0 , 999 0 , 291 0 -, 291

10 1,000 0,312 0,312

00 1,000 0,333 0,333

37

6 ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS TENSIONES T.L GENCIALES.

6.1. El vector tensión t. tiene dirección tangente a las lí,--

neas equipotenciales de la función . Su módulo es igual

al del gradiente de

Esto puede deducirse si tenemos en cuenta que, de acuerdo

con la ecuación (3.9), el vector en un punto está conteni-

do en el plano de la sección y es perpendicular al vector gra-

diente de Y . Como O(Q es normal a las líneas equipotencia--

les de , se deduce la propiedad enunciada. (Ver fig. 6.1)

Fig. 6.1

Las líneas Y= c.e pueden denominarse entonces como "tra--

yectoria" de las tensiones tangenciales. Los contornos de la -

sección son líneas equipotenciales de Y y las tensiones en -

los puntos de los contornos son de dirección tangente al con--

torno.

De la ecuación (3.9), se obtiene que It, I = IVYI

6.2. Las componentes de tensión Z^z y en una sección sim

plemente conexa toman sus valores máximos y mínimos sobre

el contorno.

Esta es una propiedad de las funciones armónicas ( Princi-

pie de máximo ; ver referencia 9.12, pág. 916). Por consiguiente

debemos demostrar que 1-hr. y Zzi son funciones armónicas pa

ra que quede probado el enunciado.

Esto se prueba aplicando el operador laplaciario a ambos -

miembros de las ecuaciones (3.-U_--), con 1

Oz^^x = ^2^ á) = aa z,^

`^ l áX-! - óáC

que resulta

Si tenemos en cuenta que de acuerdo con la ecuación (3.16),

^12^Q es constante, se obtiene

=0

lo que demuestra que las componentes de tensión son funciones -

armóriica s.

6. El vector tz alcanza su mayor módulo sobre el contorno de

una sección simplemente conexa.

Esto puede prooarse por el absurdo de la p roposición con-

traria. Si suponemos que I t I toma su vulor máxLwo en un punto

interior de lag sección., '.oaríamos adoptar un sistema de coorde-

nadas • , tal cut: el t.; k fuera r;a:.ralelo al vector

con lo cual Z x^ tomwría :: ^ r^ ior úximc en un punto interior.

pero esto es (13 armónica respecto de las -

coordenadas X' Por tiene su máximo so

bre el contorno. 4

7 LA ANALO GI? DE LA ME1 iBitxNtl.

Esta analogía permite obtener la función de tensión P de

una manera experimental.

Si bien en la actualidad los métodos experimentales son ge

neralmente sustituidos con ventajas por métodos númericos de aná

lisis, la analogía de la membrana conserva su valor porque, me-

diante la misma y sin realizar experimento alguno es posible te-

ner una idea cualitativa de la distribución de las tensiones tan

genciales en una barra prismática :solicitada a torsión y de la -

ubicación de los puntos donde se producen las tensiones máximas;

en el caso de las barras de paredes delgadas suministra los ele-

mentos básicos para realizar los cálculos de las tensiones de --

una manera aproximada que resulta. muy útil en las aplicaciones.

En este articulo vamos a explicar el fundamento de esta

analogía en los casos de secciones simplemente conexas y múlti.--

plemente conexas . En el artículo que sigue explicamos sus aplica

ciones a las barras de paredes delgadas.

Consideremos en primer lugar el caso de una barra cuya sec

ción es simplemente conexa. En una chapa delgada se practica un

orificio cuyo contorno es igual al de la sección de la barra que

se quiere estudiar. Se cierra el orificio con una membrana soli-

citada solamente con esfuerzos normales N por unidad de long¡--

tud, de magnitud constante en cualquier punto y en cualquier di-

rección. Con tal fin se usa como membrana una película de agua -

jabonosa.

La chapa y la membrana constituyen el cierre de una amara

según se muestra en la figura 7.1.

Si se establece una pequenzt dlferenci,.: de presión P en-

tre ambos lados de la membrana, asta se deforma abandonando su -

f orma plana inicial y adquiere anal f o=" curva.

Los desplazamientos de los puntos de la membrana en la

dirección normal al plano L.: la chapa son proporcionales a los -

valores de la función T . Esta propiedad puede demostrarse siem

pre que las pendientes que tome la membrana con respecto al pla-

a:

no de la chapa sean muy 1;.equt: í:..,;3 en valor absoluto , o sea que con

sideramos sólo pequeh,,,s efl•ex orr s de la membrana.

Membrana curvada.

chapa con or pComo ra

Membrana en conf,u rac,on

L-niCial U

La eCuaCLon ..1 r'•":•r1_ 1..1 .z(; 11 Lor o l^i a:em tirana se O b-

t Lene estudiando el e:; uzi i !;,•zo T e lrl o _ ecta nr ular de la -

membrana en 1u corii 1; ^ .ac tón d ^i orz:T..l.^.l, se ún e m ue^:otra en la f¡

u. a 7.2. (Los ejes x coro .erii!ob en cl plano dé

la chupa). E-r. l a t' 1 `ui , e Lrl? i...rT 1^. f'ue ^a , u;. el resto de la

m:emborana ejerce sonrc 1J. 2 uerz,a exterior

actuante sobré el m i smo.

Las in clinacior^ 1_: iu^- rzis Ndx Nd, con respecto -

al plano ^e Ofe q !::Utir e n V--11 s.- ab s oluto y pueden

ser represente as wedt:.r t^ i4. seri r :i.Í:rira^ zis de C . La di-

rección de la fuerz :^xLerinr pdrd? _'orma. un ángulo muy pequeño

con respecto a lai ao:^m l al 1...:o Xy

Si tenemos en CUeriL,, 1Z., de ,o;;tos ¿ingulos, 1T;, ecua-

ción de equilibrio de s a io :rcyeccion; e de 1¿,9 fuerzas en la -

dirección es

41

-Nd^cá +Ndx(a + ^Cdd2 -

Nd^^ áx +2dx)dxd^._o

Esta ecuación se simplifica cancelando términos iguales que

se suman y se restan y d=ividiéndola por dxdd , con lo que queda

+ p =0N^ á + á, 2)

o bien

20N (7.1)

Como el segundo miembro de esta ecuación diferencial es una

constante , vemos que tiene unu t ormu und.logu u la ecuación dife--

renciul ( 16) que debe sutisf'ucer lu función Y

^d^ ^Nd I Ndr a2c d

x

Ná

xt Ndá

4)

Además observ-,Los que la unción

tiene como condición de borde

z, =o

para los puntos del contorno ,e la S ección, condición idéntica a

la que debe satisfacer la f unc ió n Yp .

Como las funciones i7 ; y satisfacen a ecuaciones dife-

renciales análogas e iguales condiciones de borde podemos suponer

que sus valores son proa orc:onal ;;: , o sea

= k.T (7.2)

donde k es una const^_znte.

Si introducimos la ?cu<lc^ón (7. 2) en la ecuación ( 7.1), se

obtiene

(7.3)

El segundo miembro de, esta ecuación debe ser igual al de la

ecuación (3.16), o sea

A= 268

dde donde, se tiene que la constante de proporcionalidad entre

;; y es

k = Me (7.4)

Las curvas de nivel de la membrana (o sea las curvas que --

contienen puntos del plano Y4 ciouát: la membrana toma una altura

constante) coinciden con lai^ curvas equipotenciales de la función

y y, según sabemos, el vector tk es t^ir1,=E nte a dichas curvas. -

El módulo del vector tea:;ión, es

4 Jl

1t. -zJ=j7TI (7.5)

según se deduce de la ecuación (3.9). Por consiguiente, los valo-

res máximos dese producen en los puntos donde la membrana -

toma la máxima pendiente.

Para una dada sección, sin realizar el experimento, es pos¡

ble imaginar la configuración que tomaría la membrana y con ello

tener una idea de las trayectorias de tensiones y de los puntos -

donde se producen las máximas pendientes.

Por ejemplo, para una sección rectangular como la mostrada

en la figura 7.3, el contorno exterior es la línea equipotencial

^-_0 y las demás líneas equipotenciales forman una familia de --

curvas cerradas como las mostradas.

29

Fig. 7. 3

En el centro del rectángulo la membrana toma su altura máxi

ma; como en ese punto el vector V es nulo ( plano tangente hori-

zontal ), la tensión + también lo es. Es fácil deducir por consi

deraciones cualitativas , que la membrana toma su máxima pendiente

en los puntos medios de los lados mayores del rectángulo.

La determinación cuantitativa de la tens6n en un punto de

la sección en estudio requiere la efectiva realización de la ana-

logía y la determinación experimental de en ese punto y del

volumen comprendido entre la membrana y el plano horizontal, o --

44

sea

(7.6)

Con esos dos datos experimentales puede calcularse la rela-

ción entre el módulo de la tensión en ese punto y el par torsor -

actuante . La fórmula correspondiente la obtenemos teniendo en --

cuenta la ecuación (7.5) e introduciendo en ella la relación (7.

.2), con lo que resulta

Itz I = I k^l (7.7)

Si en la ecuación ( 3.56), reemplazamos la relación (7.2) y

tenemos en cuento udemús la expresión (7.6), puede obtenerse

-Zk (7, 8).

Dividiendo miembro a miem bro las ecuac iones (7.7) y (7.8),

se tiene

1t7 1= VI IM 2V¿:

(7.9)

Para poder determ finar la constante de torsión libre IT de-

la sección en estudio, es necesario realizar un orificio circular

de- radio R en la misma chapa donde se ha practicado el orificio

con la forma de la sección estudiada y tender en ambos orificios

membranas que tengan igual tensión N . Esto se consigue usando --

membranas líquidas de igual composición. Si sometemos a ambas mem

branas a la misma sobre ;.presióri se tiene de acuerdo con la

ecuación (7.4) queI

kGe= 2Ñ k& = Ñ

donde ko y 0,o son las constantes correspondientes a la sección --

circular. De estas ecuacion:^s deducimos que

kGe = k0Geo ( 7.10)

Para de:.eminaar IT , es necesario medir el módulo del má.xi-

mo gradiente de lu membrana en la seccion circular o sea-Para I0^I b

obtener la fórmulc, de cálculo correspondiente, dividimos pri

meramente ambos miembros de la ecuación (7.7) por G6

I iz I _ 1adl00 - kGe

Similarmente, ;ara la sección circular

CS 6a k,G6o

( 7.11)

( 7 .12)

donde It11 es el módulo de la máxima tensión en la sección circu

lar.

wi dividimos miembro a miembro las ecuaciones (7.11) y (7,

.12), tememos en cuenta la ecuación (7.10) y que pera lu sección

lít 1. = R , se tienec ircalar ^^ Geo

It^l_ IVCIC^8 R (7.13)

IQIo

Si dividimos miembro u miembro las ecuaciones (7.1j) y (7,

.9), resalta

1{, 1 Io I RG& Iv^iolE^l - Ivcl

zV.

de donde

IT - M7 - V¿7 R6 e I QClo

(7.14)

Si se desean conocer lo:, ietalle; rc <<:renL+. s la parte ex-

,:rimentui y la real i'Lación e l:^ r^ ü; .. tic =oric ._., cor.: alt ^r referen-

c i-

Para realizar la analogía de la membrana en el caso de una

burra m últiplemen te conexa es necesario practicar en una chapa un

orificio de contorno igual al del borde exterior de la sección en

estudio. Esta chapa se dispone horizontalmente como tapa de una -

cámaru de manera similar al caso de una sección simplemente cone-

xa. ideo s Le necesario disponer de chupas delgadas cuyo contorno

coincida con el de los huecos de la sección en estudio y vincula-

das de modo que deban mantenerse horizontales (f i aura. 7.4). El pe

so de las placas y vástagos está convenientemente contra.balaneea-

i

do.

La membrana tendida entre el borde del orificio y los con—

tornos de las placas cuando en la croara se establece una peque ha

sobrepresión P , tiene alturas 1 que son proporcionales a la -

función di tensión 19 , de acuerdo cori la ecuación (7.2).

F

1 Membrana

2 Chapa con orif ic io igual al --contorno exte-rior de la seo-ción

3 Placas con con-torno igual alde los huecos -de la sección

4 Vástago

5 Cámara

Fig. 7.4

Como ya se ha visto , la ecuación diferencial de equilibrio

de la membrana es la ecuación (7.1), análoga a la ecuación dife--

renclal (3.16) que debe satisfacer la función 1 . También las --

condiciones de borde . de la función 1 son análogas a las de LQ , -

47

ya que se anula en el contorno exterior y coma valores constantesy

en los contornos interiores. De la comparación entre las ecuacio-

nes (7.1) y (3.16) se deduce el valor de la constante k , exprese,

do por la ecuación (7.4). Pero, para que la analogía sea completa,

en el caso de las secciones mdltiplemente conexas, la función 9

debe satisfacer las ecuaciones de circulación (3.31) a lo largo -

de curvas cerradas alrededor de cada hueco.

Vamos a comprobar que el equilibrio de las placas guiadas -

asegura que la función Z satisface también ecuaciones análogas a

las (3.31). Para ello supongamos una lineo cerrada C alrededor -

de una de las placas e imaginemos un corte de la membrana a lo --

largo de esa linea.

En la figura 7.5 se representa a una de las placas y la par

te de la membrana que queda entre la placa y la curva C . Se indi

can en la m isma,f igura las fuerzas exteriores actuantes y las que

Fig. 7. 5

el resto de la membrana ejerce u lo largo de la curva C

Las fuerzas exteriores actuantes tienen como resultante --

pAc donde Ac es el áreu encerrada por la curva C . La fuerza --

que el resto de la membrana ejerce a través de un elemento ds de.

48

la curva C es Nd5 , cuya respecto del plano horizontal

es la derivada direccional án

La ecuación de equilibrio de suma de fuerzas en la dirección

vertical es

o bien

N. á ds + p.Acc

dnds= Ñ A. (7.15)

ecuación similar a la (3.31) .

Si en la ecuación (7.15) introducimos la ecuación (7. 2) , se

obtiene

.JC

dl ds ?AC

dn kN (7.16)

Si igualamos entre si los segundos miembros de las ecuacio-

nes (3 .31) y (7.16), se deduce el valor de la constante k , que -

resulta coincidente con el de la ecuación (7.4).

Con esto queda probado que la función es proporcional a

A Ci

8 ALGUNAS APLIChCION::S DE L1; áNaLOGIa DE L.á b1k^1BR.^N.i.

8.1. Barra de sección rectangular alargada.

Supongamos que la sección de la barra es un rectángulo de

largo b y ancho e , siendo

e ¿Z1b

o sea que el espesor del rectángulo es muy pequeño comparado --

coa su largo.

-c

1

e

Fig. 8.1

Sin necesidad de realizar experimentalmente la analogía de

de la membrana, es fácil deducir que en caso de practicarse un

orificio alargado, la membrana adoptaría una forma aproximada-

mente cilíndrica a lo largo del rectángulo salvo en la zona cer

cuna a los dos lados pequeíios del mismo, donde T es cero.

Por consiguiente, puede suponerse que Y depende solamente

de la coordenada aC , con suficiente aproximación en toda la ---

parte central del rectángulo, pero cometiendo un error evidente

en dos pequehas zonas próximas u los extremos del rectángulo.

Si es T = T(X) , lu ecuación diferencial (3.16) queda

50

doy = - z66dX2

Si integramos dos veces esta ecuación se obtiene

y=-Gex2+el x +C2

donde Ci y C2 son constantes.

Las condiciones de borde correspondientes son

ltp)x =- 2 = 0 l^P)x =?=0

(8.1)

(8.2)

(8.3)

Si en estas ecuaciones reemplazamos la ecuación (8.2), se

obtiene un sistema de ecuaciones lineales algebraicas en Ci y

C2 , cuya. resolución permite decervinar las constantes, resul-

tando

Cl = o

Si reemplazamos las ecuaciones (8.4) en la ecuación (8.2)

resulta

=GG( 42 -X^ (8.5)

Las componentes de tensión tangencial pueden obtenerse con

las relaciones (3.11), resultando

Za =o 17á = 266Y- (8.6)

En la figura 8. 1, se representan grtíf icamente las funcio-

nes ^ y La máxima teasióri, que se produce en los bordes,

es

7náx ¡ i I ==G6 e (8.7)

Este resultado coincide con el de la ecuación (5.18), si -

tenemos en cuenta que es e = ea .( comparar figuras 5.1 y 8.1) .

Pura obtener, la relación entre m e , introducimos la

51

ecuación ( 8.5) en la ecuación (3.56) y resolvemos la integral

dobleb

e $Z

Mz =2 F Ge Ce2-x2^ d^dx = 3 be3Gs

z z

Esta ecuación puede ponerse en la forma

_ MiG IT

(8.8)

similar a la ecuación ( 5.23), donde IT es la constante de tormo

eión libre , que en este caso tiene el valor

IT = 3 b e3(8.9)

Este resultado coincide con el de la fórmula (5.20) obte-

nida para la sección rectangular , cuando la relación de lados

b/ o, a infinito.

Desde un punto de vista práctico, sin embargo , las fórmu

las obtenidas en este artículo pueden ser aplicadas a rectánéZ

los relativamente alargados con un error aceptable. Por ejem-

plo, si comparamos los resultados obtenidos para la máxima ten

Sión tangencial con la fórmula aproximada (8.7) y la fórmula -

exacta ( 5.16), se comprueba que cuando la relación entre lados

del rectángulo es superior a 2,5, el error relativo es menor -

que 3,2%-, en lo que concierne, a la constante de torsión IT , --

los resultados obtenidos con la fórmula ( 8.9), comparados con

la expresión exacta (5.20) adolecen de un error relativo infe-

rior a 6,4% cuando la relación de lados es mayor o igual que 10.

La fórmula para el cálculo.de la máxima tensión tangencial

puede expresarse en función del momento torsor. Para ello, reem

plazamos las ecuaciones (8.8) y (8. 9) en la ecuación (8.7), --

con lo que resulta

rnáxlt^I= 3M-b ez

(8.10)

52

8.2. Barra de pared delgada de sección simplemente conexa y es-

pesor constante.

Si aplicamos la analogía de la membrana a barras cuyas sec

ciones transversales son como las mostradas en la figura 8.2, -

/b

r

b

Fig. 8. 2

es fácil inferir intuitivamente que la configuración de la mem-

brana y el volumen encerrado por ella no difieren mucho de los

resultados correspondientes a una sección rectangular de

igual espesor e y un largo b igual a la longitud de la linea

media de los espesores de las secciones de la figura 8.2.

Pueden por consiguiente emplearse las fórmulas (8.7), (8.

•8). y (8.9).

8.3. Barras de pared delgada de sección simplemente conexa y es

pesor variable.

Si el espesor es suavemente variable, como en las seccio-

nes mostradas en la figura 8.3, puede suponerse que la membrana

adopta una configuración parabólica a través de un espesor e ,

del m ismo modo que en una-sección rectangular estrecha. Enton.--

ces, el volumen delimitado por la membrana sobre un elemento de

área el , viene expresado por una fórmula similar a la corres

pondiente al rectángulo, pero con ds en lugar de b . El volt--

men total es entonces la suma integral de los elementos de volt

men mencionados y resulta

53

IT = +j e3ds

JL

(8.11)

donde la integral se extiende a toda la longitud de la línea me

dia de los espesores.

Fig. 8.3

La rotación especifica 6 se obtiene con la fórmula (8.8)

y la máxima tensión tangencial se calcula con la fórmula (8.7),

poniendo e= e.aX , ya que se produce en los extremos del mayor

de los espesores.

8.4. Perfiles laminados.

Pueden obtenerse soluciones aproximadas si descomponemos -

las secciones L T , Z o I en un conjunto de rectán-

gulos de largo bL y espe:3or e; , yn el caso de perfiles G o

I que tienen alas de espesor variable, podrá considerarse un

rectángulo con un espesor igual .al espesor medio del ala.

El volumen encerrado por la membrana es aproximadamente la

suma de los volúmenes correspondientes a los rectángulos en que

puede dividirse la sección y por consiguiente , la constante de

torsión libre resalta

,1

IT = 3 e3 ( 8.12)Ilai '

donde fl es el número de rectánin los en que se ha dividido la -

sección.

La rotación específica e se puede calcular entonces con

la fórmula (8.8). La máxima tensión tangencial en cada rectán

lo se calcula con la ecuación (8.7), poniendo en ella e - e¿ .

El error que adolece la fórmula (8.-12), para la determina-

ción de IT se origina en el carácter aproximado de la fórmula

(8.9) en la cual se basa y además en el hecho de que la conf i u

ración de la membrana. en la proximidad de los ángulos redondea-

dos que presentan las secciones de los perfiles laminados se a-

parta de la correspondiente a una sección rectangular alargada.

Si se desea una evaluación más afinada del valor de IT -

podrá resolverse el problema de torsión en forma numérica con -

el método de diferencias finitas.

Exvsten fórmulas que son variantes de la ecuación (8.12) y

que dan una mejor aproximación que ésta.

La fórmula (8.12) puede afectarse con un coef iciente de co

rrección 11 , resultando

IT = 3 Í.T biesi=!

El coeficiente r puede tomarse de la tabla 8.1

Tabla 8.1

Seccion L I T U

1,00 1,20 1,15 1,13

( 8.13)

En el caso de una .3ecc ión I como la indicada en la figura

8.4, la constante de torsión libre puede calcularse con la fór-

m ula

55

'T . [ be(1_o163o

Fig. 8.4

J-Q7

El coeficiente que aparece en esta fórmula se obtiene

de la figura 815

d

0.2 0.4 0.6

A

e2

h- 2e1)e2 + 2oc D4

vT

1,501,25t,oo0.750,50o,x5o

fe,

eíle

Fig. 8. 5

jaba señalar que, con 1:.L t'6r-ilula (8 .7) pueden calcularse

las tensiones en 1ae parten de la seec ióri ale jadas de los da,

los entrantes , ya que en `3 ton :3p pr•oiuer:; an..l eoncentraci6n de

tensiones que depende de la reluri5n entre el radio de redon-

deo y el ancho de la pared.

En el caso de perfiles L. que tienen ambas. alas de igual

espesor la máxima tensión tangencial que se produce en el angu

lo entrante redondeado de radio CL (ver figura 8.6.1) es

3a

2.5

2.0

L5

o1.0

0.5 1.0 1.5 ne

(mcx =c¿Cl(8.14)

donde `s la ten.3i0'n tangencial máxima en las alas de espe

sor e calculada s mediante la fórmula (8.7) y oc un coeficien

te Je concentración de tensiones que depende de la relación -

a/e según - e m u; ^_tra t:n el gráfico, de la figura 8.6.2. Estos

resultados fueron extraídos de referencia 9.1 y se obtuvieron

aplicando el método de diferencias finitas.

8.5. Barras de paredes delgadas múltiplemente conexas.

La analogía de la mcmmbrairia en el caso de secciones múlti-

plemente conexa s re-3ui^^rt disponer, como se ha visto en el ax

t ículo 7, de placas gr, iu:ias cuyo contorno es igual al de los -

kiuecos de l La el tuso de secciones tubulares de pa-

rel s delgaia coco rl espesor de las paredes es muy pequeño

frente u las i uuteri.giorio_ tran:3versales de la sección, la defor

mil: Lór, de la i:aericial.xente determinada por las

fuerzas que actúan sobre las.' placas, rnuc:lo mayores que las que

actúan sobre la membrana y puede sup:'onerse que. aproximadamente

las alturas de. la membrana a través. de, un espesar cualquiera -

de una pared varían linealmente entre. uno y otro borde.

Supongamos como ejemplo ;el caso de una, sección triplemen-

te conexa de paredes delgadas como la que se muestra en la fi-

gura 8.7

m nY2

Fig. 8.7

m

En la figura se' indican con las longitudes

de las líneas

son las áreas

cos); y,no interior.

medias de las 'tres paredes mostradas; A, , A2 --

encerradas por los dos contornos interiores (hue

12 los valores de la función en cada contor-

El espesor e de las paredes puede suponerse sua-

vemente variable a lo largo de las paredes.

En la parte inferior de la f i`u)ra se representan las altu

ras de la función

Para resolver el problema p lanteam os primeramente tantas

ecuaciones de circulación ( 3.31), como huecos tenga la sección.

La circulación la, realizamos a lo largo de la lineo media de -

las paredes que rodean . cada hueco . (:ocio hemos ss^.a:sto que la

función varia según una ley 1 ineal a través de un espesor

de la pared, la derivada. direecional, en dirección normal a la

línea de circulación (normal saliente), se calcula haciendo la

diferencia entre los valores de en los extremos de un espe

sor y dividiendo esta diferencia por e

En el ejemplo considerado resultan las ecuaciones de cir-

culación

o -Y, d5 +e eTI ds 266 Ale

^z f (8.15)

j 0-5 ds+

ds = 2GeA2 Le e

*i3 Y* e2donde A, y Az son las -reas encerradas por las líneas medias

de las paredes que rodean cada hueco.

Como Y, y '2 son constantes, pueden salir fuera de las

integrales y las ecuaciones (8.15) pueden reescribirse en la -

forma. 9

s + 2 GGA; _ 0d

2

05 _ T 15 + 051 e T2 e e

2 jt.z e3..:'

(8.16)

h, estas ecuaciones le agregamos la ecuación ( 3.55), que -

en este ejemplo torna la forma

M^ =z f kp -t rd^ + zTi A, +2`?2Az]A

(8.17)

Los valore^^ m^:c1Lu de la función en el espesor son --Z^2 :.. 0Lvamente para las paredes de --

long Ltades ti , i2 ^3 :,or"o las pured es: son delgadas, po

err^oy i:o r^ r uue

ifA

drd = ed5 + eds + ^? e dsá 2 z

Reemplazando esta expresión en la ecuación (8,17)' se tie

ne

+ Z (^pl + Ya) 2 ds + 2 9z É ds + 2 f1 Al + 2'P2 A2

1,2

M= 2 T1 Z ds + Z ds + A, + 2T2 f -a+ 2 ds +A2

e! t2. tt ta(8.18)

Si tenemos en cuenta que las cantidades encerradas entre

paréntesis son respectivamente Al

queda

^1 = 2 YI A 1 + 2 ^Z A 2

A'2 1 la ecuación (8.18)

(8.19)

El conjunto, de ecuaciones (8.16) y (8.19) forma un siste-

ma de tres ecuaciones lineales algebraicas donde las incógni--

ta s son (Qi , y2 y e .

En general , si una sección tiene NI huecos el número de

incógnitas es rn +i (las incógnitas son Ti , 92 , .. • • , Tm y

6 ), y el nfxnero de ecuaciones que pueden plantearse es , tam-

bién Tn+1 ( M ecuaciones de circulación y una del tipo de la

(8.19)).

Una vez resuelto el sistema de ecuaciones algebraicas pue

den calcularse las tensiones tangenciales mediante la ecuaci6n

(3.9).

Como los contornos son lineas e:quipotenciales de la fun-

ción y y teniendo en cuenta que las paredes son delgadas, el

vector 0' resulta _de dirección noi ul u la línea media de -

las paredes. Como supusimos que t varia linealmente erg el es

60

pesor, Ql^ es con: tante en cado ,spesor y ta bión lo son las

tensiones tungenciales, las cuales tienen la lirecc ión de la --

tangente a la lineu media de las paredes. Su módulo es igual al

módulo de V19

En la figura (8.7) se representan 'con carácter ilustrativo

los vectores V y t en puntos arbitrarios de cada una de --

las tres paredes. Los sent idos dibujados corresponden al caso -

en que resulte Y, T2 > 0 . Los módulos correspondientes a

estas tensiones tangenciales son (tzI = Y, /e en la pared de

longitud {i I }z I (lQí - ^2 e en la de longitud i2 y

en .Lt de longitud t3

En el caso de una sección de pared delgada doblemente co--

nex:i como la sección tubular mostrada en la figura 8.8 las ecua

clones b , sicus para resolver el problema son la ecuación de cir

Fig. 8.8

calución

l0 -Y,) eg = -2GoA

y la úloga a la (8 .19), (íui: en este caso es

mi = Z^P1 A^

(8.20)

(8.21)

En estas ecuaciones Al C::1 ,:1 area encerrada por la línea

media de los espesores de L:-i.,> paredes.

De la ecuación (ti.21) oéti ne

i^ - Al (8.22)

Si introducimos esta ecuación en lu, ecuación (8.20) y des

pejumos la rotación especfficu e , resulto,

6 = Mi ds1 GA"z e

Esta ecuación puede ponerse en la forma

(8.23)

(8.24)

donde IT es la constante de torsión libre de la sección, ca-

yo valor es

IT (8.25)

.'.1 módulo de la tensión tangencial es, de acuerdo con la

ecuación ( 3.9)

Si en esta ecuación reemplazamos el valor cie según

la ecuación ( 8.22), resulta

_ MiIt^ I ZA;e (8.26)

i;abe consignar que en los ángulos entrantes redondeados -

se pro. aten tetlslone.s :cucho mas elevadas que lis calculadas --

con lis ecuaciones obternidas. Los -.ngulos entrantes pue-

den aparecer cuando la línea media de las parecies cambia brus-

camente de dirección o bien =eri la zona donde concurren tres o

más paredes en la s seccl^^t:e :;ultil lzment^ conexas.

En el coso de tubos r. et«ncT^;l._^re^ e esl,:^sor constante co

mo el representado er, iu T' i.ru^•^:. tS.^^.l, la máxima tensión tan.--

gencia,Ii, que se proda e en !;1 entrante le radio interior

donde Ca es la tensión tangenetal calculada de acuerdo con la30

T

1.5

Fig. 8.9.1

1.01 1 1 - Q0 o.5 1.0 S e

Fig. 8.9. 2

fórmula (8.26) y o( un coeficiente que se obtiene de la figu-

ra 8.9. 2.

8.6. Comparación entre el comportam].ento de las barras de pare

des delgadas múltiplemente conexas y simplemente conexas,

Para facilitar esta comparación consideremos dos barras;

una de ellas es un tubo de pared delgada de espesor constante

y la otra es una barra de sección abierta que se obtiene si se

corta al tubo con un plano longitudinal cualquiera normal a la

linea media (ver figura 8.10.1 y 8.10.2).

l'ig, ti.10.1 Fig. 8.10. 2

En ambos caso l l=n o b u la. longitud de la línea m e--

dia de la pared , m a no ¡,o el área de la sección es en ambos

casos

A. be (8.27)

Suponbamos que ambas barras están solicitadas por, el mis-

mo momento torsor M2 : n el caso de la sección doblemente co

nexo la rotación específica 81 correspondiente se obtiene de

las fórmalas (8.24) y (8. 25), resultando

-

ti2 e2^(8.28)

1--

La tensión tan encial en la barra d e sección tubular ce--

rr,idju, e constünte en cualquier espesor , como se indica en la

ó. 1G. 1`y su vulor puede obtenerse con la fórmulu (8.26),

o sea

(8.29)

1 2,..sc la barro de sección simplemente conexa de -

i:l fi J.10. la rotación específica se obtiene con las --

iérr:. resultando

_ 3 M62 Gbe3

(8.30)

L z., t._'nsione:: t,.ri enciules varían linealmente en un espe-

sor cu,.^: ;uiera, siendo aulas en correspondenci-.l con la línea -

Wed l_4 ;e 1, ;;urgid, tal .corno se representa: en la figura 8.10.2.

Su rul^^r Wsxurnc se obtiene con la fózwul^a (d.1O), o sea

3 Mz^z = b e2 (8.31)

Bou f ine s compurutivos calculemos l ., rclac iórt riere Lus -

rot. cL D ne s 'esp.cl-ic, . is de uno y otro J'1190; 24 7. de las -

ecua ciones (8.28) y (.3o)

i.

62e2e,6z - 12 Aiz

Teniendo en cuenta la ecuación (8.27) podemos también es-

cribir .

e,ot (8.32)

Como el área A - de la sección es muy pequeña comparada -

con el marea Ai encerrada por la lírica media de las paredes,

es 61{^ e2 o sea que la rigidez torsional de la barra tubu-

lar cerrada es mucho mayor que la correspondiente a la sección

abierta.

Si hacemos la relación entre las tensiones tangenciales -

máximas `en una y otra burra, de las ecuaciones (8.29) y (8.31)

obtenemos

71 _ be AZ2 6A, bar

(8.33)

Como esta relación es también muy pequefía frente a ¡ , -

se deduce que, a igualdad del momento torsor MI , las tensio-

nes tangenciales en la sección tubular cerrada son mucho meno-

res que en la abierta.

8.7. Barras constituidas por chapas soldadas o remachadas.

En los casos de burras con varias platabandus soldadas o

remachadas como las mostradas en las figuras 8.11 y 8.12 puede

resolverse aproximadamente el problema de torsión descomponien

do la sección en un conjunto de rectángulos y calculando la --

constante de torsión libre con la fórmula (8.11). Cabe aclarar

la manera como deben considerarse los rectángulos en donde hay

dos o más chapas adosadas. En las figuras se indica la forma -

de división mediante rayados apropiados.

Entre cordones de soldadura o entre filas de remaches de-

65

be considerarse un rectángulo único co; espesor igual a la suma

ZUE

11 111 717 1 11 / IMIIIIIII

Fig. 8.11 Fíg. 8.12

de los espesores de las chapas adosadas y ancho igual a la dis-

tancia entre cordones de soldadura o filas , de remaches . Las par

tes salientes deben ser consideradas en forma separada como reo

tángulos cuyos espesores son iguales a los espesores simples de

cada chapa o ala.

El procedimiento puede justificarse mediante la analogía -

de la membrana . Si bien las secciones descriptas son múltiple--

mente conexas , los contornos interiores que definen loa huecos

son líneas que encierran una superficie cuya área se ha reduci-

do a cero ya que son segmentos de recta recorridos en'uno y

otro sentido.

Las placas guiadas, que de acuerdo con la analogía de la -

membrana habría que disponer en correspondencia con los huecos,

tienen , pues, dimensiones nulas. Por consiguiente es cero la --

fuerza que la presión ejerce sobre ellas y no modifican la con-

figuración de la membrana en una sección rectangular estrecha -

cuyo espesor es la suma de los espesores de las chapas.

Estas conclusiones fueron corroboradas . en forma experimen-

tal (ver referencia 9.7).

66

9. REFERENCIAS

9.1. Timoshenko S. y Goodier J.N. "Theory of Elasticity". Ed.

Me Graw-Hill, 1951.

9.2. Amenzade Yu. A. "Theory of Elasticity". Ed. MIR, 1979.

9.3. Wang Ch. "Applied Elasticity ". Ed. Me Graw_Hill, 1953.

9.4. Filonenko-Borodich M. "Teoría de la elasticidad". Ed. --

Platina, 1963.

9.5. Kollbrunner C. y Basler K. "Torsion. Application a 1'etu

de des structuree". Ed. SPES, 1970.

9.6. FlUgge W. "Handbook of Engineering Mechanice". Ed. Me --

Graw_Hill, 1962.

9.7. Chang F. y Johnston B. "Torsion of -Plate Girdere". Trans.

A. S. C. E. Vol 118 A, 1953.

9.8. Rezk H. "Fundamentos de la teoría lineal de la elastici-

dad". Ed. Fac. de Ingenier ía de -la U.B.A., 1980.

9.9. Rezk H. "Teoría de segundo orden de las barras elásticas

prismáticas de sección ab ierta y paredes delgadas". Ed.

Fac. de Ingeniería de la U.B.A., 1981.

9.10. Rezk H. "Teoría lineal de las barras elásticas prismáti-

cas de sección abierta y paredes delgadas". Ed. Fac. de

Ingeniería de la U.B.A., 1983.

9.11. Pisarenko G., Yácovlev A. y. Matvéev Y. "Manual de resis-

tencia de materiales". Ed. MIR, 1979.

9.12. Kreyazig E. "Matemáticas avanzadas para ingeniería". Ed.

Limusa - Wiley, 1969.

9.13. Rezk H. "Nota sobre la torsión de barras según la teoría

de Saint-Venant". Ed. Fac. de Ingeniería de la U.B.A., -

1974.

9.14. Bronshte in I. y Sem endiaev K. "Manual de matemáticas". -

Ed. MIR, 1973.

67

ANEXO I

LAS SOLUCIONES GENERALES DE LOS DESPLAZAMIENTOS

Las dos primeras ecuaciones ( 3.1) son soluciones partícula

res de loa desplazamientos U y V . Para obtener una solución par-

ticular de los desplazamientos W , tomados la expresión

dw = ax dx + w dyY

e introducimos en ella las ecuaciones ( 3.14), con lo que resulta

dw= (' " + Oy ) dx - ( 1- áT- +ex)dy (I.1)Y

Consideremos ahora un punto genérico P(x,y,Zo ) y un punto

Po (Xo,yo, Zo) arbitrariamente elegido , perteneciente a la misma -

sección transversal (Z--2o) de la barra ( ver f ig. 1.1) . La curva

C contenida en la misma sección , pasa por los puntos P y P

rCo

Fig. 1.1

x

Sea S una coordenada curvilínea definida para los puntos -

de la curva de modo que sea igual a la longitud del arco que va

de P. a P (P es el origen cíe la coordenada curvilínea).

La curva C puede quedar def ini da por el vector posición -

be

ro= xe,+yey

donde

X -X (S)

son las coordenadas de los puntos de la curva.

El vector base de la coordenada curvilínea 5 es

é = dx-^ + dy5 ds ds ds

Este vector unitario es tangente a la curva en cada punto -

considerado . El vector normal en , podemos definirlo en la forma

en = e,x e,

Si en esta ecuación introducimos la fórmula (1.3), resulta

d dxe d5X - dS ey

Para obtener una solución particular de W, integramos la -

ecuación (1.1) entre P. y P a lo largo de la curva C

P P P

dw= G [ dx - á dy - 9 x dy -y dx

P. y P.de donde se obtiene

P P

W -W. = - l ^y _ dx d5 _ e x dy- y dxax d5 c^ d5 ¡ í2.Po

Si tenemos en cuenta la ecuación ' (I. 5) , resulta

W = wo -

P

ds _ 6 ^Jo

P.c

En esta ecuación Wo es una constante que representa al des-

plazamiento del punto P y ^o es una función de la coordenada cur

vilínea 5 expresada por

P

xóy -.ydx (I.7)

Esta integral puede escribirse en la forma

P

^ydy JX^°- d ds)t^s

JP

y si tenemos en cuenta las ecuaciones (1.5), (1.2) y (1.4), resul

tap

roXés•e, ds (1.8)

que es la expresión del área sectorial coro respecto al punto Co -ti

( ver ecuación (3.39) de referencia ^j.10).

La ecuación (1.6) es una solución particular de los despla-

zamientos W. Esta solución es independiente de la coordenada

de la sección elegida y por consiguiente es aplicable a puntos --

que pertenecen a una secc ión cualquiera.

Si a las soluciones particulares expresadas por las dos pri

meras ecuaciones (3. 1) y la ecuación (1.6), le sumamos los despla

zamientos correspondientes a un movimiento rígido muy pequeño, se

obtienen las soluciones generales k vcr ecuaciones (10.10) de rete

rencla j.o)

;i _ 6 x + . V0 ±. ( x - xo) - ^ ^^o ^ 'o) (l. 9 )P

en y_,L,Po Q J

En estas ecuaciones X0 ,y0 , Eo ;por. la.s coordenadas del punto

P. arbitrariamente elegido; J0,vo YVr, -w, 2Dson seis constan-

JG

tes lrideteru,laadas y W,, está del Lr.i lia tor iu ecuación (I.a).