6_El_plano

Geometra Analtica Y lgebra: Ciclo 2011-1

___________________________________________________________________ 1 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CAJAMARCA DOCENTE: MELBA ELIZABETH ALVITES CALIPUY

EL PLANO EN EL ESPACIO

As como en 2R , la grfica de una ecuacin de dos variables x e, y es una curva, en 3R

la grfica de una ecuacin en tres variables x, y, z es una superficie. La ms simple es el

plano, pues su ecuacin es de primer grado en tres variables.

1. Un plano en el espacio es un conjunto de puntos 3( , , )P x y z R . Si existe un punto

0 0 0 0( , , )P x y z y dos vectores no paralelos 1 2 3, ,a a a a , 1 2 3, ,b b b b , de tal manera que

3 0/ , ,P R P P ta b t R (Ecuacin Vectorial) .. (1)

2. De la ecuacin 0P P ta b , se tiene:

0 0 0 1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , ) , , , ,x y z x y z t a a a b b b

0 1 1

0 2 2

0 3 3

x x ta b

y y ta b

z z ta b

(2)

Ecuacin paramtrica del plano.

3. Sea el plano que pasa por 0 0 0 0( , , )P x y z y ( , , )N A B C vector normal al plano

P. Si P P, entonces: 0P P N , luego:

0 0P P N

0 0N P P

0 0N P P (Ecuacin normal o vectorial)

4. Luego reemplazando tenemos:

0 0 0 0A x x B y y C z z

La ecuacin tambin se puede escribir como:

0 0 0 0Ax By Cz Ax By Cz 0Ax By Cz D (Ecuacin General)

Donde A, B y C son las componentes del vector normal ( , , )N A B C

____________________________________________________________________ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CAJAMARCA DOCENTE: MELBA ELIZABETH ALVITES CALIPUY

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Ejemplo: Encuentre la ecuacin del plano que pase por el punto (3,4,-5) y es paralelo a

los vectores (3,1, 1)a y (1, 2,1)b

Solucin:

0 , ,P P ta b t R

3,4, 5 3,1, 1 1, 2,1 , ,P t t R (En forma vectorial)

Ejemplo: Encuentre la ecuacin del plano que pase por el punto (2,4,-1) con vector

normal (2,3,4)N

Solucin: Dada la ecuacin 0 0N P P

(2,3,4) ( , , ) (2,4, 1) 0

(2,3,4) 2, 4, 1 0

2( 2) 3( 4) 4( 1) 0

2 3 4 12

x y z

x y z

x y z

x y z

REPRESENTACIN GRFICA

Para representar grficamente un plano 0Ax By Cz D , debe hallarse, siempre

que sea posible, la traza de la grfica en cada uno de los planos coordenados.

La traza en el plano XY se obtiene haciendo 0z en la ecuacin dada; el resultado ser la ecuacin lineal 0Ax By D que, en general, podr representarse como una

recta en el plano XY.

Anlogamente, para obtener la traza en el plano XZ, debe hacerse 0y y dibujar la

recta 0Ax Cz D ; y para hallar la traza en el plano YZ, hgase 0x y dibjese la recta 0By Cz D

Ejemplo: Tazar la grfica del plano 2 3 4 12x y z

Solucin:

- La traza en el plano XY ; haciendo 0z

Se obtiene 2

43

y x

- La traza en el plano XZ, haciendo 0y

Se obtiene 1

32

z x

- La traza en el plano YZ, haciendo 0x

Se obtiene 3

34

z y


3

Ejemplo: Encuentre la ecuacin del plano que pase por los puntos (1, 2,3) P ,

( 1,1,3)Q , (0, 1,1)R .

Solucin:

Los vectores y a b corresponde a PQ y PR , luego:

( 2,3,0)a PQ Q P

( 1,1, 2)b PR R P

Puesto que y a b estn en el plano, su producto vectorial a b es ortogonal al plano y

puede tomarse como el vector normal.

2 3 0 ( 6, 4,1)

1 1 2

i j k

N a b

Entonce 0 0N P P

6, 4,1 1, 2, 3 0x y z 6 4 5 0x y z

PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD DE DOS PLANOS

Consideremos los planos

1 1 1 1 1: 0A x B y C z D , con normal 1 1 1 1( , , )N A B C

2 2 2 2 2: 0A x B y C z D , con normal 2 2 2 2( , , )N A B C

Paralelismo: 1 2 1 2// si y solo si //N N

Perpendicularidad: 1 2 1 2 si y solo si N N


4

PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD DE UNA RECTA Y UN PLANO

Si consideramos la recta : ( , , )L x y z P tv y el plano

1 1 1 1: 0A x B y C z D , con normal ( , , )N A B C

Paralelismo: // si y solo si L N v , es decir :

Perpendicularidad: si y solo si //L N v

Ejemplo: Hallar la ecuacin del plano que pasa por los A(1,3,2) y B(-2,5,0) y es

paralelo a la recta

3

2

2 3

x t

y t

z t

Solucin:

Sea ( 1,1, 3)v el vector de direccin de la recta.

El plano ser paralelo a ( 3,2, 2)AB

Entonces la normal al plano P es:

(4,7,1)N v AB

La ecuacin del plano es: 4 7 0x y z D , como el punto A(1,3,2) se encuentra

en el plano, entonces satisface la ecuacin de plano, por lo tanto

4(1) 7(3) 2 0

27

D

D

Entonces la ecuacin del plano es: 4 7 27 0x y z

A

B

N

v


5

Ejemplo: Hallar una ecuacin del plano que pasa por (-2,3, 5) y es perpendicular a

la recta L cuyas ecuaciones paramtricas escalares son

2

1 2

4

x t

y t

z

Solucin:

De la ecuacin de la recta, su vector director es (1,2,0)v

Como y L son perpendiculares, (1,2,0)N es un vector normal del plano .

As, una ecuacin de es:

0 0 0 0A x x B y y C z z

1 ( 2) 2 3 0 5 0x y z

2 2 3 0

2 4 0

x y

x y

La ltima ecuacin se parece mucho a la ecuacin de una recta en el plano XY. Si

estuviramos trabajando en el plano XY, la ecuacin 2 4 0x y representar una

recta. Sin embargo, estamos trabajando en el espacio tridimensional. Aqu, la ecuacin

2 4 0x y representa el conjunto de los puntos ( , , )Q x y z tales que

2 4 0x y sin restriccin para z. este conjunto forma un plano vertical que corta

al plano XY a lo largo de la recta que acabamos de mencionar.


6

INTERSECCIN ENTRE RECTA Y PLANO:

Para obtener la interseccin entre una recta 1 : ( , , )L x y z P tv y el plano

: 0Ax By Cz D , lo que se debe hacer es despejar x, y, z en la ecuacin de la recta y sustituimos este despeje en la ecuacin del plano. Resolvemos para t, si la

solucin es nica, con este valor de t obtenemos el punto de interseccin sustituyendo

en la ecuacin de la recta.

Observe que la ecuacin en t puede tambin tener infinitas soluciones (si la recta est en

el plano) o no tener solucin (no hay interseccin)

Ejemplo: Encuentre el punto en el que la recta con ecuaciones paramtricas

2 3 , 4 , 5x t y t z t cruzan al plano 4 5 2 18x y z

Solucin:

Sustituimos las expresiones para x, y, z de las ecuaciones paramtricas en la ecuacin

del plano

4 5 2 18x y z

4 2 3 5 4 2 5 18t t t

Esto se simplifica obteniendo: 10 20t , de modo que 2t . Por tanto, el punto de interseccin ocurre

cuando el valor de 2t .

Entonces:

2 3( 2), 4( 2), 5 2

4, 8, 3

x y z

x y z

Por lo tanto el punto de interseccin es

4,8,3


7

INTERSECCIN ENTRE PLANOS

Dos planos cuyos vectores normales no sean paralelos se interceptan en una recta; esta

recta recibe el nombre de recta de interseccin de los planos.

A la ecuacin de la recta que es la interseccin de

dos planos se denomina ecuacin biplanar de la recta

y se expresa en la forma siguiente:

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

: 0:

: 0

A x B y C z DL

A x B y C z D

La ecuacin de la recta biplanar se expresa en forma

vectorial, paramtrica y simtrica. El vector

direccin v de la recta se determina en la forma siguiente:

1 2v N N ,

Donde 1 1 1 1( , , )N A B C , 2 2 2 2( , , )N A B C son los vectores normales de los planos.

El punto 0 0 0 0( , , )P x y z por donde pasa la recta se determina resolviendo el sistema de

ecuaciones de los planos.

Ejemplo: Encuentre la ecuacin de la recta dado por la interseccin de los planos

1x y z y 2 3 1x y z

Solucin:

Calculando el vector de direccin v de la recta:

1 2 1 1 1 (5, 2, 3)

1 2 3

i j k

v N N

Ahora calculando un punto de la recta L, para esto resolvemos el sistema de ecuaciones:

1

2 3 1

x y z

x y z

Entonces 2 5 2x y

Ahora damos un valor a cualquiera de las variables de x e y por

ejemplo: 1, 0, 0x y z

Entonces 0(1,0,0)P

As las ecuaciones simtricas de L pueden escribirse como: 1

5 2 3

x y z


8

NGULO ENTRE DOS PLANOS

Consideremos las ecuaciones generales de dos planos:

1 1 1 1 1: 0A x B y C z D , cuya normal es 1 1 1 1( , , )N A B C

2 2 2 2 2: 0A x B y C z D , cuya normal es 2 2 2 2( , , )N A B C

El ngulo formado por los planos es igual al ngulo formado sus respectivas

normales, es decir.

1 2

1 2

cosN N

N N


9

Ejemplo: Encuentre el ngulo los planos 1x y z y 2 3 1x y z

Solucin:

Los vectores normales de los planos 1 (1,1,1)N y 2 (1, 2,3)N respectivamente

1 2

1 2

cosN N

N N =

1(1) 1( 2) 1(3) 2

1 1 1 1 4 9 42

72

Ejemplo: Se consideran los siguientes planos:

1 2: 2( 1) 3 5( 2) 0, : 4 6 10 24 0,x y z x y z

3 4: 4 6 10 1 0, : 2 3 5 12 0,x y z x y z

a) Indicar cules son idnticos.

b) Indicar cules son distintos pero paralelos

c) Hallar el ngulo entre 1 2 y .

Solucin

a) 1 4 y son idnticos, como se puede comprobar simplificado la ecuacin de

1 .

b) 2 3 y son distintos pero paralelos. Los planos son distintos puesto que

10,0,

10

est en 3 pero no en 2 ; son paralelos puesto que sus normales

2 ( 4,6,10)N y 3 (4, 6, 10)N son paralelas.

c) Tomando 1 (2, 3,5)N y 2 ( 4,6,10)N tenemos:

1 2

1 2

8 18 50 24 6cos

194 9 25 16 36 100 38 152

N N

N N

Luego 71,59


10

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO

Consideremos la ecuacin general de un plano : 0Ax By Cz D y un punto

1 1 1( , , )Q x y z que no pertenece al plano

PQ

Nd Proy

.Q P N

dN

=1 1 1 1

2 2 2

Ax By Cz D

A B C

Ejemplo: Determine la distancia desde el punto B(1,0,2) hasta el plano cuya

ecuacin general es: : 1x y z

Solucin:

De la ecuacin del plano se tiene: A=1, B=1, C=-1 D=-1

22 2

1(1) 1(0) 1(2) 1 2 2 3

331 1 1d


11

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Obtenga la forma general del plano que pasa por el punto dado S y que tiene el vector normal dado:

a) (1,2,3); ( 1,3,5)S N

b) (2, 1,4); (2,3, 1)S N

c) ( 1, 1, 1); (3,4, 5)S N

d) (2, 1,0); (2, 1, 2)S N

2. Obtenga una ecuacin general del plano que pasa por los puntos A, B y C

a) (1,0,1), (2,1,0), (1,1,1)A B C

b) (1,1,1), (2, 2,1), (0,2,1)A B C

c) (2,1,3), ( 1, 2,4), (4,2,1)A B C

d) (3,2, 1), (3, 2,4), (1, 1,3)A B C

e) ( 1, 2, 1), ( 3, 1, 4), (1,2,3)A B C

3. Cules de los puntos P(3,2,1), Q(2,3,1), R(1,4,1) estn en el plano

3( 1) 4 5( 2) 0x y z ?

4. Cules de los puntos P(2,1,-2), Q(2,0,0), R(4,1,-1),S(0,-1,-3) estn en el plano

0(r r ) 0N si 3N i j k y 0r 4i j k ?

5. Dibujar la grfica de los planos siguientes:

a) 2 3 6 0x y z

b) 5 4 10 20x y z

c) 3 2 6 0x y

d) 3 2 12 0x z

6. Obtenga las ecuaciones simtricas de la recta que pasa por el punto S y que es perpendicular al plano cuya ecuacin se da:

a) ( 2,1,3); 2 2 5 0S x y z

b) (1, 3,4); 3 2 4S x y z

c) (1, 2, 3); 3 2 4 0S x y z

d) ( 6,4,1); 3 2 5 8 0S x y z

7. Encuentre el punto en el que la recta dada intersecta al plano

a) : 1 , 2 , 3 ; : 1L x t y t z t x y z

b) : 2 , 4 2 , 3 5 ; : 2 3 4 8 0L x t y t z t x y z

c) : 1 2 , 1, ; : 2 5 0L x t y z t x y z

d) 3 8 6

: ; : 4 5 01 2 11

x y zL x y z


12

e) 1 3 4:1 2 2

x y zL

; : 2 2 22x y z

f) 1 3 3:3 4 2

x y zL

, : 2 3 5 1x y z

8. Hallar una ecuacin del plano que cumple las siguientes condiciones dadas:

a) Pasa por el punto A(2,3,4) y es perpendicular a 4 3i j k

b) Pasa por el punto A(1,-2,3) y es perpendicular a 2j k

c) Pasa por el punto A(2,1,1) y es paralelo al plano a 3 2 5 2 0x y z

d) Pasa por el punto A(3,-1,5) y es paralelo al plano a 4 2 7 5 0x y z

9. Obtenga una ecuacin paramtrica, vectorial de la recta de interseccin de los planos cuyas ecuaciones son.

a) 2 0; 3 2 7 0x y z x y z

b) 2 3 1 0; 5 4 17 0x y z x y z

c) 2 6 0; 4x y z

d) 3 6 0; 4 2 3 2 0x y z x y z

10. Un plano pasa por el punto A(3,1,-1), es perpendicular al plano 2 2 4x y z ,

y un intercepto z es igual a -3, hllese su ecuacin.

11. Obtenga una ecuacin del plano que contiene al punto S(1,1,1) y que es perpendicular a la recta de interseccin de los planos cuyas ecuaciones son

2 2 0x y z y 2 3 2 3 0x y z .

12. Hallar una ecuacin del plano que pasa por (-2,3,5) y es perpendicular a la recta L cuyas ecuaciones paramtricas son 2 , 1 2 , 4x t y t z

13. Obtenga una ecuacin del plano que contiene al punto S(3,0,2) y T(4,1,-1) y que es paralelo a la recta de interseccin de los planos cuyas ecuaciones son

2 5 0x y z y 2 2 5 0x y z .

14. Obtenga una ecuacin del plano que contiene al punto S(2,1,-4) y que es perpendicular a la recta de interseccin de los planos cuyas ecuaciones son

4 3 2 7 0x y z y 4 5 0x y z .

15. determine si los planos son paralelos, perpendiculares o ninguna de las dos cosas. Si no son ni paralelos, ni perpendiculares encuentre el ngulo entre los planos.

a) 1 ;1 zyzx

b) 034 ;1268 yxzzyx

c) 0122 ;0322 zyxzyx

d) 0763 ;134 zyxzyx

e) 022424 zx; zyx


13

16. Dados los plano 0132 zymx y 05642 zyx , hallar m para que sean:

a) Paralelos. b) Perpendiculares.

17. Calcule la distancia que separa al punto Q del plano cuya ecuacin se da: a) (2, 1,3); 2 4 1 0Q x y z

b) (3, 5,2); 8 2 5Q x y z

c) (1, 3,5); 3 4 5 0Q x z

d) (1,3,4); 2 0Q x y z

e) (5, 2,3); (2,-1,6) t(1,0,3) (2,-2,3)Q

f) (5, 7, 1); 2 2 6 0Q x y z

18. Calcular el valor de m para que la recta 1 2 2

:3 2

x y zL

m

sea paralela al

plano : 3 6 7 0x y z

19. Determinar el valor de m para que los planos 1 : 2 2 7 0mx y z y

2 :4 6 9 0x my z sean perpendiculares.

20. Hallar el valor del parmetro t para que los planos 3 4 2 9 0x y z ,

3 4 7 0x y tz son perpendiculares.

21. Hallar la ecuacin del plano que contiene a la interseccin de los planos

2 5 3x y z y 5 1x y z y es paralelo al plano 4 3 4 7 0x y z

22. Hallar el coseno del ngulo entre los planos dados:

a) 2 2 3, 3 2 6 7x y z x y z ,

b) 5 3 2 3, 3 2 11x y z x y z

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