6to Grado Aritmetica

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria

TEMA 1: OPERACIONES COMBINADAS I

ORDEN DE LAS OPERACIONES Y SIGNOS DE COLECCIÓN

Mi hermano menor me pidió que lo ayudara a completar un álbum de Pokemon,

empecé con 12 figuritas, durante 3 días reuní 6 diarias, además un amigo me regalo la

mitad de sus 18 figuritas que tenía repetidas, hice una operación para saber la

cantidad de figuritas reunidas y obtuve los siguiente resultados.

Siguiente la orientación de mi profesor de verificar siempre la respuesta, resolví

el problema al revés y cual fue mi sorpresa:

Me encontraba en un verdadero problema y decidí entrar a la era de la

computación, apoyándome en la misma introduje la operación y el resultado fue 54.

Evidentemente algo estaba pasando, no podía creer que las matemáticas fueran tan

inapropiadas para tan sencillo problema, conté las figuritas una por una y para mi

sorpresa no era 99, 57, las volví a contar para rectificar y era 39.

¿Qué sucedió con las matemáticas? ¿Hice mal alguna Operación? La

computadora ¿También resolvió mal la operación? ¿Puedes ayudarme entonces a

encontrar el error?

Comenta esta situación y analiza con tus compañeros.

una expresión como 12 + 3 x 6 + requiere una interpretación y debemos establecer

el cálculo de acuerdo a una jerarquía operatoria. El orden es el siguiente:

1. Signos de colección: ( ), , 2. Multiplicación y división: x , 3. Suma y resta: + , -

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http://images.google.com.pe/imgres?imgurl=http://www.zelayaconsultores.com/images/logo_pamer.jpg&imgrefurl=http://www.zelayaconsultores.com/&usg=__GnLVFzfFYVnboAPRKqF0aT5yeuU=&h=95&w=132&sz=7&hl=es&start=2&um=1&itbs=1&tbnid=9_JoX4ch0QTIiM:&tbnh=66&tbnw=92&prev=/images%3Fq%3Dpamer%26um%3D1%26hl%3Des%26sa%3DN%26tbs%3Disch:1%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5


EJERCICIOS RESUELTOS

1- Efectuar:

M = 18 2 x 4 - ( 24 – 6 ) 3 + 2 + 12 4

Solución:

M = 36 - 8 + 3

M = 28 + 3

M = 31

2. Calcular:

A = 24 x 2 8 + 2 + 6 x 3 – 5 3 x 2 – 10

Solución:

EJERCICIOS

1. Efectuar las siguientes operaciones:

A) 12 3 x 4 + 2 2B) 8 x 3 2 - 6 x 2 3

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C) 4 x 16 8 - 6 x 4 2

2. Calcular:

M = 24 x 3 6 – 2 x 4 x 6 2

3. Reducir:

A = 16 x 2 3 + 25 x 3 15 – 2

4. Simplificar:

B = 40 2 2 + 62 2 x 2 – 18 x 3 9

5. Efectuar:

M = 12 – (6 3 + 6 x 2) 7

6. Operar:

A = 18 + - (2 – 1) x 3

7. Calcular:

I = ( 6 – 2 ) x 3 + 2 ( 4 – 12 4 ) + 3 x 5 + ( 3 – 2 )

8. Determinar:

E = 6 x 3 2 + (15 – 12) x 2 – 3 + 6 x 3

9. Determinar:

E = 6 x 3 2 + ( 15 – 12 ) x 2 – 3 + 6 x 3

10. Operar:

B = ( 16 – 12 ) 15 + 16 8 – 5 x ( 6 – 9 3 ) + A

Donde:

A = 12 + 6 + 4 x 2 + ( 12 – 5 ) x 4 2 - 17 + (6 3) x (18 9) 11. Calcular:

A = (24 – (25 (17–12) + 14 - 12 – 6x2 + 15) 4 – 2 x 2 – (6 – 5)

Dar como respuesta la suma de cifras.

12. Hallar A + B

A = 12– (6 x 3 2 x 4 – 12 x 5 - 2 2) 6

Aritmética 7



B = 16 x 12 2– 15 x 18 6 + 2 x (10 - 5x2)

13. Calcular: E =

A = 27 (18 + 3 X 4 2- 14 2 x 3 )

B = 10 x 3 15 + 6 x 8 (12 – 4 x 2)

14. El día domingo repartí S/. 120 entre mis cuatro hijos, en partes iguales, luego les di a cada uno la tercera parte de S/.24, pero mi hijo mayor tuvo que gastar el doble de S/. 15. ¿Cuánto es lo que tiene mi hijo mayor?

solución:

15. Pepe y Lucho jugaban a realizar cálculos mentales. Pepe le dice a Lucho: “Multiplica 5 y 3 luego divídelo entre la resta de 6 y 1. Al resultado súmale el producto de 18 con la diferencia de 5 y 3” ¿Cuánto obtuvo Lucho?

solución:

16. Juanito recibe 12 caramelos pero come “x”, luego su primo le da el doble de la diferencia entre 2 y 10, después de una hora su papá le regala la cuarta parte de 24 y ahora tiene 27 caramelos. Calcular “x”.

solución:

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TAREA DOMICILIARIA

1. Efectuar las siguientes operaciones:

A) 6 x 4 3 + 2 x 8 4B) 12 x 3 2 – 15 x 3 9C) 15 x 3 5 + 18 x 9 6

2. Calcular:

A = 16 x 4 8 – 2 x 2 x 2 x 2 4

3. Reducir:

B = 4 x 3 x 4 2 + 16 x 2 4 x 2 – 1

4. Simplificar:

C = 42 2 x 3 7 + 35 x 2 10 – 18 6 x 3 9

5. Oscar colecciona estampillas, hasta el momento tiene el doble de 18 pero se le pierde la mitad de 12. Luego recibe 10 estampillas de regalo y ahora tiene:

6. Calcular: A + B

A = 8 x 3 + 16 2 – 1 x 3 B = 12 4 – 6 3 + 3 x 2

7. Reducir:

A = 18 x ( 5 – 3) 4 + ( 2 + 5 x 3 ( 6 – 1) 5 + 16Dar como respuesta la suma de cifras.

8. Calcular:

M = (12–4) x 42+18x3 9 11 – 2

9. Operar:

N = 15 5 x 6 ( 10 - 1) + 12 x ( 6 - 14 – 4 x5 - 2)

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10. Un comerciante compra 6 cajas de cuadernos de 12 cuadernos cada caja y los reparte equitativamente entre 8 personas, pero cada una de ellas ya tenía la mitad de 10, entonces ¿Cuántos cuadernos tiene cada una de estas personas?

solución:

11. Hallar:

M = (12 – 9) x 18 x 4 (12 – 6) – 15 5 x 2 (16 - 13) + 7

12. Indicar el producto de las cifras del resultado de:

15 3 + 8x (3 + 2 x 6) -10 - 6 + 9 x 4 3 - 2

13. Determinar:

A = 24 6 x (18 - 6 + 18 6 x 3) -2 x (12 – 18 2

14. Cinco amigos van de compras y piensan gastar S/. 100 cada uno de ellos. Si los dos primeros gastaron S/. 10 más y los dos últimos gastan S/. 30 menos. ¿Cuánto gastó el quinto amigo si el gasto total fue de S/. 40 más?

solución:

15. Si mi sueldo fuera S/.420 más podría gastar S/. 500 en alimentos, S/. 520 en alquiler, S/. 610 en ropa y S/. 600 en movilidad, quedándome de ahorro S/. 480 ¿Cuál es mi sueldo?

solución:

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TEMA 2: OPERACIONES COMBINADAS IIEn esta parte de las operaciones combinadas consideraremos la potenciación y

la radicación para lo cual se establece otra jerarquía operatoria. El orden se resume a continuación:

1. Signos de colección: ( ), , 2. Potencias y radicales: 3. Multiplicación y División: x ; 4. Suma y resta: + ; -

OJO:

“Todo número natural que está elevado a la cero da por resultado…”


1. Simplificar:

Solución:

2. Reducir:

Solución:

Aritmética 11

“Ahora lo que necesitas para resolver los

problemas, es mucha paciencia y voluntad,

¡Vamos no te desanimes!Tú puedes….



EJERCICIOS

1. Efectuar:

A) 32 50 + 6 x 11B) 18 9 x 22 – 62 32

C) 24 x 2 24 + 52 5

2. Reducir:

E =

3. Operar:

4. Simplificar:

5. Juan García compró 12 cajas de leche en las cuales había 7 latas en cada caja, si el precio de cada lata es igual al número de latas que tiene cada caja. Calcular el valor total de las latas de leche.

solución:

6. Reducir:

7. Simplificar:

8. Calcular Ele producto de las cifras del resultado:

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9. Encontrar el valor de restar “A” de “B”, si:

10. En una granja para cercar con 5 hileras un corral cuadrangular se usaron 620 m de alambre. Hallar el área del cuadrado.

Solución:

11. Hallar M:

Si:

12. Determinar:

13. Tenemos cestas que contienen huevos, en unas cestas hay huevos de gallina, en las otras cestas hay de pato. Su número está indicado en cada cesta: 5, 6, 12, 14, 23 y 29. “Si vendo esta cesta –meditaba- me quedará el doble de huevos de gallina que de pato”.¿A qué cesta se refiere el vendedor?

solución:

14. ¿Cómo expresar la unidad, empleando al mismo tiempo las diez primeras cifras?

solución:

15. Intenta 4 maneras distintas de formar el número 23 usando sólo el 2 y el 5 y las cuatro operaciones: suma, resta, multiplicación y división.Por ejemplo: 23 = 5 x 5 – 2

solución:

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TAREA DOMICILIARIA

1. Efectuar: A)

B) C) 21 3 x 6 + 150

2. Reducir:

3. Operar:

4. Simplificar:

5. Un recipiente lleno de un reactivo químico cuesta S/. 12 000, pero cuando se retiran 6 litros, solo cuesta S/. 10 000. ¿Cuántos litros tiene el recipiente lleno?solución:

6. Calcular:

7. Efectuar:

8. Operar e indicar el producto de cifras del resultado:

9. Hallar:

10. Por dos procedimientos, exprese el número 100 de cuatro modos distintos, empleando cinco cifras iguales.

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solución:

11. Calcular:

12. Reducir:

13. Calcular:

14. En una escuela de 7 grados, para el almuerzo de 246 alumnos, se abona diariamente S/. 1722 al concesionario del comedor. A partir de las vacaciones de invierno, éste decide premiar a los cuatro mejores alumnos de cada grado, con un descuento del 50%. ¿Cuánto se abonará diariamente a partir de agosto?

solución:

15. En una granja para cercar con 5 hileras un corral triangular, se usarán 525m. de alambre. El triángulo, que es isósceles, tiene dos lados iguales que miden, cada uno, el triple de lo que mide el tercer lado. Hallar La longitud de cada lado del corral.

solución:

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TEMA: VALOR ABSOLUTO Y VALOR RELATIVO DE UNA CIFRA

El valor absoluto de una cifra es el valor que tiene la cifra, es decir, sin tener en cuenta el orden que ocupa dentro de un número.

Ejemplo: Sea 472568

Valor absoluto de 7 es 7, es decir: V.A(7)=7

Valor absoluto de 2 es 2, es decir: V.A(2)=2

El valor relativo de una cifra es el valor que tiene dicha cifra de acuerdo al orden que ocupa dentro de un número.

Ejemplo: Sea 12460256

Valor relativo de 4 es 400 000, es decir:

V.R(4) = 400 000

Valor Relativo de 1 es 10 000 000, es decir: V.A(1) = 10 000 000

RERESENTACIÓN LITERAL DE LOS NÚMEROS

Un número de una cifra: a ó x…etc

(1; 2; 3; 4;…………; 9) (Cualquier letra)

Un número de dos cifras: ó ó (10; 11; 12;……; 99)

Un número de tres cifras:

(100; 101; 102;………; 999)

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1) Si: a + b + c = 18. Calcular:

Solución:

Colocamos los números en columnas:

+

M = 1998

2) Si a un número de dos cifras se resta 54; se obtiene otro número que tiene las cifras invertidas, si el dígito de las decenas es el triple de la cifra de las unidades ¿Cual es el número?

solución:

Planteamiento:

Luego nos piden que el número tenga como dígitos de las decenas el triple de la cifra de las unidades, veamos posibilidades:

Ahora probemos:

31 – 54 = No se puede porque: 31 < 5462 – 54 = 8 ¡No!93 – 54 = 39 ¡Sí!

El número es 93.

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EJERCICIOS

Si: (a + b + c)2 = 196

1. Calcular:

U =

2. Hallar:

3. Determinar el valor absoluto de la cifra de las decenas de x:

4. Hugo tenía dólares y luego en un “trabajito” recibió dólares. ¿Cuánto tiene al final, si a + b = 14?

5. Lucho “El lechero” tenía litros de leche y luego compró litros. ¿Cuántos litros de leche tiene para vender, si x + y = 12?

Si:

6. Hallar: M =

7. Si: P = dar como respuesta el valor absoluto de la cifra de decena de millar de P.

8. Hallar:

N =

9. Escribiendo un cero a la derecha de un número natural, se ha aumentado este número es 729. Dar como respuesta la suma de cifras del número original.

10. Escribiendo dos ceros a la derecha de un número natural, se ha aumentado este número en 1386. Dar como respuesta l suma de las cifras del número original.

11. Si a un número de dos cifras se resta 27, se obtiene otro número que tiene las cifras invertidas, si el dígito de las decenas es el cuádruple de la cifra de las unidades ¿Cuál es el número?

12. La edad de Alberto es años y la de Julio es años, además entre los dos suman 96 años.

¿Cuántos años deben pasar para que Julio tenga años, si a + b + c = 14?

TAREA DOMICILIARIA

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Si: (a + b + c)2 = 225; calcular:

1. A =

2. M =

3. N =

4. P =

5. Papelucho tenía dólares y luego de un juego ganó dólares. ¿Cuánto tiene al final, si x + y = 11?

Si:

6. Hallar: A =

7. Hallar: B =

8. Hallar: C = y dar como respuesta el valor absoluto de la cifra de unidades de millar de C.

9. Escribiendo un cero a la derecha de un número natural, se ha aumentado este número en 1008. Dar como respuesta la suma de cifras el número original.

10. Escribiendo dos ceros a la derecha de un número natural, se ha aumentado este número en 3465. Dar como respuesta la suma de las cifras del número original.

11. Si a un número de dos cifras se resta 36, se obtiene otro número que tiene las cifras invertidas. Además el dígito de las decenas es el doble de la cifra de las unidades ¿Cuál es el número?

12. La edad de Inés es años y la de Ximena años, además entre las dos suman 81 años. ¿Cuántos años deben pasar para que Ximena tenga años, si a + x + y = 14?

13. A una fiesta asistieron varones y mujeres. Si el total fue 91 personas. Calcular ab.

15. Se sabe que: . Hallar “b”

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TEMA 4: CUATRO OPERACIONES I

ADICIÓN

Es una operación directa que consiste en acumular términos llamados “sumandos” en una sola cantidad llamada “total”.

Se dice que el signo (+) posiblemente fue usado por los mercaderes fenicios. Cuando llegaban los víveres a los puertos; y en los sacos existía un excedente de peso; se indicaba este exceso con la marca (+).

Los problemas que trataremos a continuación deberán ser analizados con mucho cuidado ya que no existen procedimientos establecidos y solo requiere de ingenio y razonamiento para encontrar su solución.


1. Hallar las cifras que debemos escribir en los casilleros para que la operación sea correcta.

1 1 9 + 2 9 1 1 1 1

Solución:Unidades: 2 + 9 =…1 = 11

(Pongo 1 llevo 1)

Decenas: 1 + 8 + 2 =…1=11(Pongo 1 llevo 1)

Centenas: 1 + 9 + 1 = …..1 = 11 (Pongo 1 llevo 1)

Las cifras son las encontradas.

2. Calcular la cifra de centenas del resultado:

7 + 7 7 7 7 7

7 7 7 7 12 sumandos . . .

77…7 7 7 7 ……… x y z

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Solución:

Unidades:

(Pongo 4 y llevo 8) z = 4

Decenas:

(Pongo 5 y llevo 8) y = 5

Centena:

(Pongo 8 y llevo 7) x = 8

La cifra de centenas es 8.

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EJERCICIOS

Hallar las cifras que debemos escribir en los casilleros para que la operación sea correcta:

1. 5 + 2. 7 + 2 2 3 1 3 6 6

3. 9 + 4. 2 2 + 2 3 2 5 1 1 4 3 9 1

5. 5 4 + 6. Calcular y en: 3 + 7 6 2

7. ¿Qué valor toma en la siguiente suma:

1 4 + 8 7 2 1 6 8 8

8. ¿Qué valor toma en la siguiente suma:

32 + 8 + 142 = 2

9. Calcular las dos últimas cifras de la siguiente suma:

5 + 5 5 5 5 5

5 5 5 5 14 sumandos .

. .

55………5 5 5 5

10. Hallar la suma de las dos últimas cifras del resultado de la suma:

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2 + 3 3 2 2 2

3 3 3 3 12 sumandos . .

.______________

11. Calcular “m” si:

12. El matemático alemán Widma, nació en 1479 y murió en a la edad de años. Diga Ud. El valor de a + b.solución:

13. Calcular: “x + y + z” si:

14. Clifor tenía dólares y después de vender su auto cobró dólares, si en total tiene dólares. Calcular a + b + c.solución:

15. Justo tiene S/. 848 y se da cuenta que le falta S/. para comprar un repuesto de su carro que cuesta S/. . Hallar “c + a”solución:

Aritmética 23



TAREA DOMICILIARIA

Hallar las cifras que debemos escribir en los casilleros para que la operación sea correcta.

1. 3 + 2. 5 +

2 9 2 3 2 5 6 9 7 4

3. + 4. 2 3 +

4 3 4 5 1 9

3 2 1 1 4 9 7 8

5. 2 1 +

6 1 9 4 5 5

solución:

6. Calcular:

+ + Si:

6 3 + 7 8 5 1 5 1 6

solución:

7. ¿Qué mismo número debe ir en todos los recuadros para que la suma sea correcta?

solución:

7 3 + 1 0 7 3 5 2 5 4 2 1 9 2

8. Calcular: 2 + 2

Si: 4 + 1 7 5

solución:9. Calcular las dos últimas cifras de la siguiente suma:

7 + 7 7

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7 7 7 . 19 sumandos .

. 77………7 7 7

solución:

10. Determinar la suma de las dos últimas cifras del resultado de sumar:

4 + 7 7

4 4 4 7 7 7 7 18 sumandos

. .

. _____________

11. Calcular “m” si:

solución:

12. El gran Napoleón Bonaparte nació en y murió en a la edad de años. Calcular: a + b

solución:

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13. Calcular: a + x + y

Si:

solución:

14. Donato tenía S/. y después de recibir S/. de préstamo tiene S/. . ¿Cuánto le falta para comprar un T.V que cuesta S/. ?

solución:

15. Ricardo tiene S/. y nota que le faltan S/. para comprar una colección de libros que cuesta S/.

¿Cuánto tiene?

solución:

Aritmética 26



TEMA 5: CUATRO OPERACIONES II

SUSTRACCIÓN

Es una operación inversa a la adición mediante la cual conociendo dos términos llamados minuendo y sustraendo se determina un tercero llamado diferencia.

Se dice que el signo (-) en primera instancia fue usado como una simple marca que indicaba faltas de peso por los mercaderes portuarios fenicios.

Los problemas que trataremos a continuación deberán ser realizados con mucho cuidado para ser resueltos con razonamiento.


1. Calcular: -

Si:

7 5 -

1 4

Solución:

Unidades:

- 1 =

3 ó 2 ( Se deduce de las centenas)

Centenas:

7 - = 4

3 ó 2 (Sería “2” en el caso que “7” preste)

Probando con “3”:

7 5 3 - = 3

3 2 1 = 2

4 3 2

- = 3 -2 = 1

2. Calcular el valor de “a”:

Aritmética 27



Si:

Solución:

Unidades: b = 0

Decenas: Nos prestamos de las centenas y formamos:

10 - 2 = c c = 8

Centenas: a = 5 (Para que preste y luego restemos)

Aritmética 28



EJERCICIOS

Hallar las cifras que debemos escribir en cada figura en blanco:

1. 3 3 4 - 3 7 1 9 7

Dar como respuesta la suma de cifras halladas.

2. 2 2 0 7 - 5 3 4 9 6 8 6 5 2

Dar como respuesta la mayor cifra encontrada.

3. 2 0 - 4 2 3 8 6 7

Calcular la suma de cifras de la diferencia.

4 Si:

Indicar la suma de las cifras halladas.

solución:

5. La mamá de Juan Luis va de compras a “Wong” con S/. y gasta S/. Quedándole S/. . Calcular a + b +c.

Determinar las cifras que debemos escribir en lugar de las letras.solución:

6. Si: - Dar el producto de cifras del minuendo.

solución:

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7. -

Indicar la mayor cifra hallada.

solución:

8. -

Indicar la diferencia entre la mayor y la menor cifra encontrada.

solución:

9. -

Indicar la suma de cifras del sustraendo.

solución:

10. De socios de un club votaron en las últimas elecciones, quedándose sin votar socios. ¿Cuántos socios no votaron?

solución:

11. Calcular el valor de “a” si:

solución:

12. Si:

Calcular: “a + b + c + d”

solución:

13. Si:

Calcular el valor de “x + y + m”

solución:

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14. Kike recibió S/. de indemnización pero invirtió S/. en un negocio y le quedo S/. . ¿Cuánto invirtió en el negocio?

solución:

15. Fui a comprar a “METRO” con S/. 1000 e hice compras por un monto de S/. Quedándome al final con S/. . ¿Cuánto me quedó al final?

solución:

Aritmética 31



TAREA DOMICILIARIA

Hallar las cifras que debemos escribir en cada figura en blanco:

1. 1 4 7 - 6 2 1 5 8

Dar como respuesta la mayor cifra encontrada.

solución:

2. 4 3 2 7 - 5 1 6 9 1 1 6 0 4

Dar como respuesta la suma de cifras halladas.

solución:

3. 6 4 - 3 8 1

7 9 3

Indicar la suma de las cifras halladas.

solución:

4. Si:

Calcular la suma de cifras de la diferencia.

solución:

5. Richard vende huevos en el mercado. Tenía huevos y vende , quedándole huevos. ¿Cuántos huevos vendió? Determinar las cifras que debemos escribir en lugar de las letras.

solución:

Aritmética 32



6. Si:


solución:

7. Si:

Indicar la diferencia entre la mayor y la menor cifra encontrada.

solución:

8. Si:

Calcular el producto de cifras del minuendo.

solución:

9.


solución:

Aritmética 33



10. De personas que asistieron a un espectáculo, se retiran personas. Los que se quedaron hasta el final fueron personas. ¿Cuántos se retiraron?

solución:

11. Calcular el valor de “a”, si:

solución:

12. Si:

Calcular: m + n

solución:

13. Si: Calcular: m x n

solución:

14. Don Chuma recibió S/. de su jubilación pero tuvo que pagar una deuda de S/. y le quedó S/. . Calcular a + b + c + d.

solución:

15. Fui a “Santa Isabel” con S/. 1000 y realicé compras pro un monto de S/. quedándome al final con S/. . ¿Cuánto gasté?

solución:

Aritmética 34



TEMA 6: CUATRO OPERACIONES III

MULTIPLICACIÓN

Es una operación directa que consiste en abreviar la suma, es decir:

Donde:

A multiplicando

B multiplicador

P producto

Se dice que en la antigüedad se mandaba a hacer con los esclavos las

multiplicaciones, para lo cual tenían que sumar varias veces la misma cantidad en

lugar de multiplicar.

Gottfried Wihelm Von Leibniz, matemático alemán, alucinando que el aspa (x) se

confundía con la letra equis, introdujo el punto como el signo de la multiplicación.

René Descartes, genial matemático francés en 1637 suprimió todo signo para indicar

la multiplicación y sólo colocaba los factores unos a continuación del otro.

Aritmética 35



EJERCICIOS

1. Calcular: +

X 6 4 3 6 3 2

2. Calcular el multiplicando en:

a b c d e X 9

2 1 1 1 0 4

Dar como respuesta la suma de sus cifras.

3. Calcular: a + b

Si: X 5 1 9 3 6 0

4. Calcular la suma de cifras del multiplicando en:

X 7

1 7 2 2 7

5. Un sargento quiere formar a sus soldados en 5 filas de 6 soldados cada uno, pero observa que le faltaría 4 soldados, entonces los forma en 4 filas de 5. ¿Cuántos le sobran ahora?

6. Si: 4 2 8 X

a _______________

M N 4 0

Dar como respuesta la suma de cifras del producto.

Aritmética 36



7. Giancarlo compró 6 camisas y Diego la mitad de las que compró Piero que fueron el doble de los que Giancarlo. ¿Cuántas camisas compraron en total?

8. Si:

Calcular: a + b + c

9. Si:

Calcular: a + b + c + d

10. Si:

Calcular: a2 + b2 + c2

11. Se tiene una multiplicación de dos factores. Si se duplica uno de ellos y se triplica el otro. ¿En cuánto varía el producto inicial?

12. ¿En que cifra termina el resultado de multiplicar?

E = 8754 x 73 x 428 x 9001 x 39

Aritmética 37



TAREA DOMICILIARIA

1. Si: X 4 3 6 4 5

Hallar: -

2. Si: 28 x = 1484

Calcular el multiplicador.

3. Calcular la suma de cifras del producto.

4 9 3 X a

4. Si:

X 7

Indicar: a + b

5. Indicar la suma de las cifras del multiplicando:

X 6

6. Un profesor quiere formar a sus alumnos en 7 filas de 6 cada fila, pero observa que le faltarían 3 alumnos, entonces los forma en 4 filas de 8. ¿Cuántos le sobran ahora?

7. Si: Hallar: a + b + c

Aritmética 38



8. Sabiendo que:

Calcular: a x b

9. Carmen va de compras y gasta el triple de lo que gastó Ingrid más 10 soles. Si Ingrid gastó 20 soles. ¿Cuánto gastó Carmen?

solución:

10. Entre Renzo y Ned tienen S/. 400. Si la cantidad que tiene Renzo es 19 veces la que tiene Ned. ¿Cuánto más tiene Renzo que Ned?

solución:

11. Si:

Calcular el valor de p.

solución:

12. 37 x = ………..54

Calcular: a + b

solución:

13. Si: Calcular: m + n + p

solución:

14. Se tiene una multiplicación de dos factores. Si se triplica uno de ellos y se cuadriplica el otro. ¿En cuanto varía el producto inicial?

solución:

15. ¿En que cifra termina el resultado de multiplicar:

M = 4767 x 93 x 1249 x 642 x 736

solución:

Aritmética 39


Conjunto

A = { 1 , 2 , 3 } A

Elem entos 12

3

Conjunto de N úm eros


TEORIA DE CONJUNTOS

¿Qué es un conjunto?

En sentido corriente, un conjunto es una colección de objetos de cualquier clase, que tiene en común una propiedad cualquiera.

Cada uno de los componentes de un conjunto recibe el nombre de elemento.

En una empresa, el conjunto de las personas que trabajan en ella es el personal de la misma. Este conjunto esta integrado por elementos que son los trabajadores de la empresa.

Es costumbre designar los conjuntos con letras mayúsculas y los elementos con minúsculas.

PERTENENCIADiremos que un elemento

pertenece a un conjunto si dicho elemento se encuentra dentro de ese conjunto; en caso contrario, si el elemento no esta dentro del conjunto, diremos que ese elemento no pertenece a dicho conjunto.

Sea A el conjunto formando por los números 1, 2, 3.

1 es un elemento de A; se dice que 1 pertenece a A y se escribe 1 A. 4 no es un elemento de A; se dice

que 4 no pertenece a A y se escribe 4 A.

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTOUn conjunto estará bien definido si tenemos un criterio claro para decidir si

un objeto es o no, elemento de este conjunto. Para determinar los elementos de un conjunto se puede hacer de dos formas.

Por extensión:Consiste en nombrar uno por uno los elementos. Se escriben entre dos

llaves y separados por comas.

El conjunto.

A = {1, 4, 5, 10, 11} esta formando por los elementos 1, 4, 5, 10 y 11.

Por comprensión:Consiste en dar una propiedad que caracteriza los elementos de forma única.

Aritmética 40

A1

23

ELEMENTOS


P a

u

i

oe


A = { x/x es par } es el conjunto de los números x tales que x es par.Ejemplo: Determinar el siguiente conjunto:

Por comprension:

P = { x/x es ____________________ }

Por extensión:

P = { __________________________ }

Si definimos por comprensión el conjunto B de los días de la semana escribiremos.

B = { x / x es un día de la semana }

Este conjunto definido por extensión es:

B = { lunes, martes, miercoles, jueves, viernes, sábado, domingo }

Cuando un conjunto tiene un número ilimitado de elementos es imposible definirlo por extensión.

Entonces sólo puede definirse por comprensión; por ejemplo; el conjunto N de los números naturales.

CONJUNTOS IGUALESDos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos. Los

elementos de un conjunto pueden poner en cualquier orden. Los conjuntos formados por las letras de las palabras monja y jamón son iguales porque tienen las mismas letras.

A = { m, o, n, j, a }B = { j, a, m, o, n }

A = B

Un mismo elemento cuando está repetido no se tiene en cuenta nada más que una vez.

Sea A = { s, a, l, m, n, c } yB = { x / x es una letra de la palabra Salamanca }

La a aparece 4 veces en la palabra Salamanca, pero es el elemento a. Luego A = B, porque tienen los mismos elementos.

Aritmética 41



EJERCICIOS PARA LA CLASE

Determinar por comprensión los siguiente conjuntos:

01. A = {Ámerica, Asia, Europa, África, Oceanía }

02. E = { lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo }

03. B = { c, a, r, l, o, s, v, i, d}

04. F = { a, e, i, o, u }

05. C = { rojo, blanco }

06. G = { primavera, verano, otoño, invierno }

07. D = { monera, protista, fungi, plantae, animalia }

08. R = { 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Determinar por extensión:

09. K = { 2x – 3/2 < x < 7; x N }

10. L = { x/1 < x < 5; x N }

11. M = { 3x + 1 / x < 5; x N }

12. N = { 5x / 4 < x < 9; x N }

13. H = { 5x + 2 / 9 < x < 15; x es par }

14. P = { x2 / 2 < x < 10; x N }

15. I = { x3 / 3 < x < 5; x N }

16. J = { x / x es una moneda del Perú }

17. Guiándote de la figura, coloca o según corresponda:

A

B

C1

76 2

3

10

4

8

95

7 _________ B 10 ________ A

Aritmética 42



6 _________ A 10 ________ B

2 _________ A 2 ________ A

9 _________ C 2 ________ B

2 _________ C 8 ________ C

9 _________ A 1 ________ C

18. De acuerdo a las afirmaciones, coloca los elementos en sus respectivos conjuntos.

PQ

R

9 R 8 R

8 Q 2 P

5 Q 7 R

9 Q 2 Q

7 Q 5 Q

Aritmética 43



EJERCICIOS PARA LA CASA

Determine los siguientes conjuntos por comprensión:

01. A = { p, a, b, l, o }

02. B = { 11, 12, 13, 14, 15 }

03. C = { poder legislativo, poder ejecutivo, poder judicial}

04. D = { cabeza, tronco, extremidades }

05. E = { costa, sierra, selva }

06. F = { sólido, líquido, gaseoso }

Determinar los siguientes conjuntos por extensión:

07. G = { x/x es un planeta del sistema solar }

08. H = { 9x/5 < x < 10; x N }

09. J = { 10x – 5 / 1 < x < 4; x N }

10. K = { x / x es una letra de la palabra calavera }

11. L = { x / x es un sentido del ser humano }

12. M = { x2 / 10 < x < 10; x N }

13. N = { x3 -1 / 1 < x < 5; x N }

14. De acuerdo al gráfico completa con V o F según corresponda

A

B

C

1

7

2 8

10

96

11

3

Aritmética 44



a) 5 A f) 8 A

b) 9 C g) 2 C

c) 5 B h) 12 C

d) 13 A i) 4 A

e) 4 B j) 12 C

15. De acuerdo a la afirmaciones, coloca los elementos en sus respectivos conjuntos.

P

Q

R

e P e Q a P d R

a Q c Q b Q f P

b R b P d P f R

c P a R a Q

d Q e R c R

Aritmética 45



CLASES DE CONJUNTOS

De acuerdo al número de elementos se clasifican en:

a. Conjunto Vacío o NuloEs aquel que no tiene elementos, se denota por la letra griega (fi), también se denota por “{ }”.

Ejemplo:

A = { x/x es virrey actual del Perú}A = { } ó A = { }M = {x/x es un perro que habla}M = ó M = { }

b. Conjunto UnitarioEs aquel que tiene uno y sólo un elemento.

Ejemplo:B = {x/x es capital del Perú}B = { Lima }

c. Conjunto Finito Es aquel que tiene una cantidad determina de elementos.

Ejemplo:C = { x/x es una letra del abecedario }C = { a, b, c, d, e, f, g, h, … , x, y, z }

d. Conjunto InfinitoEs aquel que tiene una cantidad ilimitada de elementos y cuyo último elemento no se puede señalar.

Ejemplo:D = { x/x es una estrella del cielo }

e. Conjuntos IgualesUn conjunto “A” es igual a un conunto “B”, si es que ambos conjuntos tienen los mismos elementos.

Es decir:A = B A B B A

Ejemplo:E = { 3, 5, 8 }F = { 8, 5, 3 }

E = F E F F E

(pues tiene los mismos elementos)

Aritmética 46



f. Conjuntos DisjuntosSon aquellos conjuntos que no tienen ningún elemento en común.

Ejemplos:H = {1, 3, 5, 7 }J = {2, 4, 6, 8}

g. Conjunto Universal (U)Es el conjunto que contiene, comprende o dentro del cual están todos los demás conjuntos; se le simboliza por la letra U y gráficamente se le representa mediante un rectángulo en cuyo vértice (cualquiera) se coloca la letra U.

Ejemplo:H = { 1, 3, 5, 7 }J = { 2, 4, 6, 8 }

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN CONJUNTO

A. DIAGRAMA DE VENN - EULERConsiste en representar el Conjunto Universal mediante un rectángulo y los otros conjuntos mediante círculos, triángulo o cualquier figura plana.

A BU

B. DIAGRAMAS LINEALESSirven para representar las relaciones de inclusión de 2 o más conjuntos. Se representa por medio de segmentos verticales.

B

C

A A

B C

Aritmética 47



SUBCONJUNTOS RELACIÓN DE INCLUSIÓN

Un conjunto A es subconjunto o parte de otro conjunto B cuando todos los elemenetos de A pertenecen a B.

Para expresar que A es subconjunto de B se utiliza el simbolo y se escribe.

Sea B el conjunto de los números pares y A el de los pares menores que 10.

B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, … } A = { 2, 4, 6, 8}

Observamos que todo elemento de A también lo es de B, por lo tanto A B.

B A Significa que B no es Subconjunto de A.

SÍMBOLO SIGNIFICADO EJEMPLOEl conjunto P = { a, b, c, l } no es

subconjunto de H = { a, b, c, d },

ya que: P tiene un elemento (l)

que no esta en H.

Incluído en

Contenido enA B

No incluido en

No contenido enP H

CONJUNTO POTENCIA

Es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado, si el conjunto dado es “A”, el Conjunto Potencia de “A” se denota por P(A); u se lee: “P” de “A”.

Ejemplo: Si el conjunto “A” tiene “n” elementos: P(A) = 2n subconjuntos.

A = { a, b } P(A) = {{a} ; {b}; {a, b}; }P(A) tiene 4 subconjuntos.P(A) = 22 = 4

B = { 1, 2, 3 } P(B) = {{1} ; {2}; {3}; {1, 2}; {2,3}; {1, 3}; {1,2,3} ; }P(B) tiene 8 subconjuntosP(B) = 23 = 8

Aritmética 48

A

B



PROBLEMAS PARA LA CLASE

01. Dados los conjuntos:

A = { x / 7 < x < 9; “x” es número natural }B = { x / x + 5 = 11; “x” es número natural }

De ellos cuál o cuáles son unitarios.

a) A b) B c) A y B d) Nulos e) N.A.

02. Si:

A = { x / “x” es número natural mayor que 2 }

B = { x / “x” es un país }

C = { x / “x” es una fruta }

De ellos cuál es un conjunto (escribe V) y cuál no (escribe F)

a) VFV b) VFF c) VVV d) FFF e) FFV

03. Dado el diagrama:

1

5

2

4

67

3

BA

C

Y las proposiciones:

i) 1 A ii) 4 Biii) 6 C iv) 2 Cv) 5 B vi) 7 A

a) VVVFVF b) VVFFVV c) VVVVVF d) FFVVFV e) VVVVFV

Aritmética 49



04. Si A = {{a} ; {b}, {d}; {a, b}} cuál de las siguientes relaciones es verdadera.

a) {a} A b) d A c) a a d) {b} A e) a {a, b}

05. Observa el diagrama. Luego indica cuál es la respuesta correcta:

12

3 4

5 6

78

9

M N

P

a) M = {1,2,3,4,8,9} b) N = {3,4,5,6,7,8,9} c) P = {2,5,6,9}d) M = {2.3.4.8.9} e) Ninguna

06. Dado el diagrama y las proposiciones:

AB

C D

I) D CII) B AIII) C A

Decir cual o cuales es verdadera o verdaderas.

a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) Las tres e) N.A.

Determinar por extensión en cada caso.

07. P = { x/x es una letra de la palabra lápiz}

08. Q = {x/5 < x < 9; x N }

09. R = { las primeras 5 consonantes del alfabeto }

Aritmética 50



10. S = { x/x es una vocal de la palabra colegio}

11. T = { 3x / 5 < x < 7; x N }

12. V = { x2 / x < 1; x N }

Representa mediante diagramas de Venn los siguientes conjuntos:

13.A = { x/4 < x < 8; x N}B = { 2x / 2 < x < 4; x N}C = { 4, 5, 6,7, 8, 9, 10 }

14.D = { x / x es una letra de la palabra Ana }E = { x / x es una vocal }F = { x / x es una letra de la palabra enano }

15. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?

AB C

D

C D C BA B B CD B C AB A D B

Aritmética 51



PROBLEMAS PARA LA CASA

01. Indica que conjunto es unitario

A = { x / x es un satélite natural de la tierra }B = { x / 5x – 7 = 13; x N}C = { x / 8 < x < 10; x N}

a) A b) C c) B d) B y C e) A y B

02. Indica que conjunto es vacio.

D = { x / x es una vocal de la palabra sol }E = { x / 8 < x < 9; x N }F = { x / 2x = 1; x N }

a) D b) F c) E d) E y F e) D y E

Hallar el conjunto potencia de:

03. G = { x / x es una letra de la palabra JUAN }

04. H = { x / 9x – 12 = 15; x N }

05. I = { x2 / x < 4; x N }

06. J = { x / x es una vocal de la palabra camino }

Representa los siguientes conjuntos mediante diagramas de Venn:

07.

08.

Aritmética 52



09. Dado el diagrama, escriba los elementos de los conjuntos:

AB

C

1

3 654

2

A = { ________________________ }

B = { ________________________ }

C = { ________________________ }

10. Coloca V ó F según correspona:

AB C

A B ( )B C ( )C A ( )B A ( )B A ( )

11. Indica la respuesta correcta:

A

B

C

1

2 75 6

4

3

a) A = {1, 2, 5} b) C = {4, 5, 6}c) B = {3, 6} d) C = {3, 4, 5, 6, 7}e) A = {1, 2, 5, 7}

Aritmética 53



12. Dado el diagrama y las proposiciones.

B

A

CD

I) B C II) D A III) C A IV) B A V) D C

¿Cuáles son verdaderas?

a) II y IV b) II c) IV y V d) II, IV y V e) Todas menos II

13. Si:

M = {{m}; n ; m ; {m, n}}

¿Cuál de las siguientes relaciones es verdadera?

a) {m, n} M b) m {m, n} c) {m} M d) {m} m e) n M

14. Coloca los elementos en el conjunto que corresponden:

P

M N

2 M 3 N

4 P 6 M

2 N 4 N

4 M 3 P

2 P 6 N

3 M 6 P

Aritmética 54


D(9)

D(9) D (15)

D(15)1

3


OPERACIONES CON CONJUNTOS

1. REUNIÓN DE CONJUNTOSLa reunión o unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto que tiene por

elementos a los elementos que pertenecen a A o pertenecen a B o a ambos.

Dicho conjunto se designa A U B

Dados los conjuntos

A = { 1, 2, 3, 5, 6} y B = {4, 6, 8, 10, 12 }

El conjunto unión se obtiene reuniendo los elementos de A en los de B.

En forma simbólica se denota:

A U B = { x / x A ó x B }

Ejemplo 01: Gráficamente

Sean los conjuntos:

A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7 } B = { 6, 7, 8, 9, 10 }

A U B = { …………………………. }

2. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto que tiene por elementos los que pertenecen simultáneamente al conjunto A y también al conjunto B.

Este conjunto se designa por A B.En forma simbólica se denota:

A B = { x / x c A y x B }

Ejemplo 02:

Consideremos el conjunto formado por los divisores de 9: D(9) = {1, 3, 9) y también el conjunto formado por los divisores de 15: D(15) = {1, 3, 5,1 5}

D(9) D(15) = { 1, 3 }

Aritmética 55

A

12

3

5

46

12 8

10B

A BU




Sean los conjuntos:

P = { a, b, c, d, e }

Q = { a, t, u, d, z }

P Q = { ……………………………. }

3. DIFERENCIA DE CONJUNTOS

La diferencia de dos conjuntos A y B, es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. Se denota por: A – B y se lee: “A menos B”.

En forma simbólica se denota: A – B = { x / x A y x B }

A B A B


Sean los conjuntos:

A = { a, b, c, d }

B = { a, e, i, o, u }

A – B = { ………………………………… }

B – A = { ………………………………… }

4. DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS

Dado los conjuntos A y B, definimos el “diferencia simétrica de A y B”, denotado por A B, al conjunto ( A – B) U (B – A)

Aritmética 56



Es decir.

A B = (A – B) U (B – A) ó A B = (A U B) – (A B)

A B

A B

Ejemplo 04:

Sean los conjuntos:

A = {1, 3, 5, 6 }B = { 3, 5, 7, 8 }A B = { ………………………………….}

5. COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

Es lo que le falta al conjunto para ser igual al Conjunto Universal (U) si el conjunto es A su complemento se denota A’, también se usan las notaciones:

En forma simbólica se denota: A’ = U – A = { x / x U y x A}

Representación gráfica:

A

U

A

Aritmética 57



ACTIVIDADES PARA EL AULA

01. Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y los conjuntos: A = {1, 3, 5, 7}; B = { x U / 4 < x < 8 } y C = { 2, 4, 6, 8, 10 }. Hallar:

a) A’ b) B’ c) C’ d) A U Be) A B f) A – B g) B – A h) (A U B)’

02. En cada caso halla los elementos del conjunto intersección:

a) A = { x / x es una letra de la palabra puerta}B = { x / es una letra de la palabra pintura}

b) M = { x / 6 < x < 10; x N } N = { x / 6 < x < 10; x N }

c) C = { x N / 18 < x < 25 }D = { x N / 16 < x < 22 }

03. Sean lo conjuntos:

P = { 1, 3, 5, 7 } Q = { 2, 9, 6, 8 } R = { 5, 6, 7, 8 }

Hallar:

a) ( P U Q) – R =

b) (Q R) – P =

c) R – (P Q) =

d) R – (P U Q) =

e) P U Q U R =

f) P Q R =

g) ¿Cuántos elementos tiene el conjunto R – P?

h) Número de elementos de P – R

i) Número de elementos de P Q

Aritmética 58



ACTIVIDADES PARA LA CASA

01. Sean los conjuntos: A = { a, b, c, g } ; B = {b, c, e, f } y C = {a, b, d, e, h}. Hallar:

a) A B b) B C c) A U B d) (A U B) – C e) (A – B) U (C B)

02. Sean los conjuntos: U = { a, b, c, d, e, l, p, t, o }

A = { x / x es una letra de la palabra plato }B = { x / x es una letra de la palabra cadete }

a) A’ b) (A U B)’ c) (A B)’

03. Sean los conjuntos:

A = {a, b, c, g } B = { b, c, e, f } C = {a, b, d, e, h }. Hallar.

a) A B b) B C c) A U B

04. Del problema anterior, los elemenos del conjunto (A U B) – C es:

a) {a, b, c, g, e, f} b) {e, g, f, h } c) {c, g, e, f}d) {c, g, f } e) N.A.

05. Dados los conjuntos: P = { x N / 6 < x < 20 } y Q = { x N / 8 < x < 18} ¿Cuántos elementos tiene el conjunto P Q?

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) N.A.

06. Sea el conjunto R = { x / x es una letra de la palabra cuadrilátero} entonces, el conjunto R tiene _______________ elementos.

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) N.A.

07. Dados los conjuntos: U = { 0, 2, 4, 6, 8 } y A = {4, 8}; B = { 2, 6}Determinar: (A’ B) U (B’ A)

a) {a, 6 } b) {4, 8 } c) {2, 4, 6 } d) { 4, 6, 8} e) {3, 4, 6, 8 }

Aritmética 59



PROBLEMAS CON CONJUNTOS

01. De 42 personas que viajan a EE.UU., 28 hablan inglés y 16 hablan francés; 8 no hablan ni inglés ni francés.

¿Cuántas personas hablan inglés y francés?

a) 6 b) 8 c) 10 d) 13 e) N.A.

02. De un grupo de 85 personas, 40 estudian, 50 trabajan; 10 estudian y trabajan; ¿Cuántos no estudian ni trabajan?.

a) 30 b) 40 c) 80 d) 5 e) 10

03. A una peña criolla asistieron 150 personas, de las cuales 80 cantan, 60 bailan, 30 no cantan ni bailan. ¿Cuántas personas cantan y bailan?.

a) 30 b) 10 c) 20 d) 120 e) N.A.

04. De los 50 alumnos de un aula: 30 tienen libro de RM, 25 tienen libro de RV; 5 no tienen ninguno de éstos libros. ¿Cuántos alumnos tienen solamente libros de RM?

a) 13 b) 10 c) 15 d) 45 e) 57

05. 550 alumnos se presentaron a un simulacro de examen de admisión. Si 310 aprobaron la parte de ciencias y 280 aprobaron la parte de letras. ¿Cuántos alumnos aprobaron ciencias y letras? Se sabe que 20 alumnos no aprobaron ni ciencias ni letras.

a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80

06. En una reunión de deportistas; 8 practican futbol y natación; 6 no practican estos deportes; 32 practican solamente natación y 23 practican fútbol. ¿Cuántos deportistas había en la reunión?

a) 55 b) 60 c) 61 d) 62 e) 59

07. En una reunión de amigos había 12 que bailaban salsa y huayno, 15 bailaban sólo huayno, 20 bailaban salsa y 5 no bailaban ni salsa ni huayno. ¿Cuántos amigos había en la reunión?

a) 38 b) 40 c) 45 d) 35 e) 52

Aritmética 60



08. De 34 turistas encuestados: 6 conocen Arequipa y Puno; 2 no conocen ninguna de éstas ciudades; 16 no conocen Puno. ¿Cuántos no conocen Arequipa?.

a) 8 b) 10 c) 9 d) 11 e) 12

09. De 42 señoritas: a 8 les gusta el color rosado y el celeste; a 6 no les gusta ninguno de estos colores y a 18 no les gusta el color rosado. ¿A cuántas señoritas no les gusta el color celeste?

a) 10 b) 8 c) 12 d) 9 e) 11

10. A una reunión asistieron 68 turistas de los cuales: 20 conocen Tacna y Arequipa; el número de turistas que conocen Arequipa es el doble de los que conocen sólo Tacna; el número de los que conocen Tacna es igual al número de los que conocen ni Tacna ni Arequipa. ¿Cuántos turistas conocen sólo Arequipa?.

a) 12 b) 4 c) 14 d) 7 e) N.A.

11. De un grupo de 30 personas, 5 gustan de café y de leche; 15 gustan de café. ¿Cuántos toman sólo leche?

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) N.A.

12. Lucho salió a pasear con Martha y Verónica ciertos días durante el mes de Mayo. Si 23 días salio con Martha y 16 días salio con Verónica. ¿Cuántos días salió con ambas a la vez sabiendo que un día solo salió con Enrique?

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 13

13. De un grupo de 200 pacientes examinados en una clinica se encontró que 100 no tenían cáncer; 80 no tenían diabetes y 25 no tenían ninguna de estas enfermedades. ¿Cuántas tenían ambas?

a) 5 b) 75 c) 95 d) 15 e) N.A.

14. De un grupo de 120 personas, 45 no estudian ni trabajan, 30 estudian, 9 estudian y trabajan. ¿Cuántas personas trabajan solamente?

a) 60 b) 55 c) 50 d) 45 e) N.A.

15. De 60 solicitantes de beca se conoce: 20 tienen televisor, 52 radio y 3 no tienen radio ni televisor. ¿Cuántos tiene solamente televisor?

a) 4 b) 3 c) 7 d) 5 e) N.A.

Aritmética 61


6to Grado Aritmetica

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