7 Semejanza y trigonometría -...

18 Unidad 7 | Semejanza y trigonometría

7 Semejanza y trigonometría

ACTIVIDADES INICIALES

7.I. Se cuenta que Tales midió la altura de la pirámide de Keops. Esperó de pie hasta que su sombra midió igual que su altura. Entonces mandó medir la sombra de la pirámide. Según otra versión, clavó un bastón de 2 metros de altura y midió su sombra sin esperar a que midiera lo mismo que el bastón. ¿Cómo mediría entonces la pirámide?

Tales halló la proporción entre la altura del bastón y la longitud de la sombra que proyectaba y dedujo que era la misma que la de la altura de la pirámide y la longitud de su sombra.

7.II. ¿Recuerdas el teorema de Tales? ¿Podrías explicarlo con tus propias palabras, o mediante un dibujo? ¿Qué tiene que ver con la segunda versión de la historia?

La definición viene en el tema, pero es interesante ver la forma que utilizan los alumnos para explicarlo, ya que lo han conocido en cursos anteriores. La segunda versión es una aplicación del teorema, ya que los triángulos que se forman son semejantes.

7.III. ¿Has visto algún eclipse solar? ¿Has tenido que tomar alguna precaución para verlo? Busca en la página de Jubier cuándo será el próximo eclipse. ¿Podrás verlo?

Pregunta abierta. El próximo eclipse total de sol será el miércoles 14 de noviembre de 2012.

ACTIVIDADES PROPUESTAS

7.1. Actividad resuelta.

7.2. Comprueba que los siguientes cuadriláteros son semejantes y calcula la razón de semejanza.

Los ángulos homólogos son iguales, ya que los lados que los forman son paralelos dos a dos.

Los lados homólogos son proporcionales.

Por tanto, los cuadriláteros son semejantes, con razón de semejanza k = 34

.

7.3. La arista de un cubo mide 8 metros. Halla la medida de la arista de otro cubo semejante a él si

la razón de sus volúmenes es 127

.

La razón entre los volúmenes es k3 = 127

, por tanto, la razón de semejanza es k = 31 1

27 3= .

De este modo, la arista del otro cubo medirá 1 88· 2,67 cm3 3= ≈ .

Semejanza y trigonometría | Unidad 7 19

7.4. (TIC) Si la masa de una plancha de hierro es de 6,5 kg, ¿qué masa tendrá otra plancha del mismo metal y grosor si su ancho y su largo son el triple que los de la primera?

La razón de semejanza es k = 3. La razón de las áreas será k2 = 9.

Al mantenerse el grosor, la masa de la segunda plancha será nueve veces la masa de la primera:

9 · 6,5 = 58,5 kg

7.5. Calcula los lados desconocidos.

a) b)

a) 2 5 5 257 25 3,575 7

x xx

+= ⇒ = ⇒ = ≈ .

b) 23 2 99 10 0,95 3 10

x x x x xx= ⇒ = ⇒ = = .

Por tanto, los lados desconocidos son x = 0,9; 2x = 1,8; y = 5 · 0,9 – 3 = 1,5.




7.9. Calcula los valores desconocidos de las letras en cada una de las siguientes figuras.

En la primera figura tenemos:

2 1 2 6 2 4 22 6 2 6

x x x x xx x x x

= ⇒ = ⇒ + = + ⇒ =+ + + +

y 2 1 2 36 6

x x zz z= ⇒ = ⇒ =

En la segunda figura:

Por el teorema de Pitágoras 2 26 8 100 10z = + = = .

Por otro lado, los triángulos de la figura son semejantes, ya que tienen dos ángulos iguales. Por tanto,

los lados son proporcionales, es decir, 8 10 10 40 45

x xx= ⇒ = ⇒ = y 6 10 10 30 3

5y y

y= ⇒ = ⇒ = .


7.10. Calcula el área del rectángulo de la figura.

Los triángulos ABC y DFC son semejantes, ya que están en posición de Tales. Por tanto, los lados son proporcionales y así:

3 4 34 3 0,75 cm4 3 4

AB BC x xDF FC x

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = =−

siendo x la altura del rectángulo.

Por tanto, el área del rectángulo será S = 3 · 0,75 = 2,25 cm 2.

7.11. (TIC) Para medir la altura de un árbol se ha colocado un espejo en el suelo en el punto C, de forma que una persona de 180 cm de altura ve la copa del árbol reflejada en el espejo. ¿Cuál es la altura del árbol?

Los triángulos ABC y CED son semejantes, ya que tienen dos ángulos iguales, 90ºCAB CDE= = y DCE ACB= = α . Por tanto,

2 5 2 9 4,5 m1,8

h hh

= ⇒ = ⇒ =

7.12. Actividad interactiva.



7.15. En un triángulo rectángulo, los catetos miden 20,25 y 27 cm, respectivamente. Calcula:

a) El valor de la hipotenusa.

b) Las medidas de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

c) El valor de la altura sobre a la hipotenusa.

a) Por el teorema de Pitágoras, el valor de la hipotenusa es:

2 220,25 27 33,75 cma = + =

b) Por el teorema del cateto, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa valen:

20,252 = m · 33,75 ⇒ m = 12,15 cm y 272 = n · 33,75 ⇒ n = 21,6 cm

c) Por el teorema de la altura, la altura sobre la hipotenusa es:

h2 = m · n = 12,15 · 21,6 = 262,44 ⇒ h = 262,44 = 16,2 cm


7.16. (TIC) En un triángulo rectángulo, la hipotenusa y un cateto miden 40 y 24 centímetros, respectivamente. Halla el otro cateto, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa y la altura sobre ella.

Por el teorema de Pitágoras: b2 = 402 – 242 = 1024 ⇒ b = 1024 = 32 cm

Con el teorema del cateto se calculan las proyecciones sobre la hipotenusa:

m = 224

40 = 14,4 cm

n = 232

40 = 25,6 cm

Con el teorema de la altura se calcula su medida:

h2 = m · n = 14,4 · 25,6 = 368,64 ⇒ h = 368,64 = 19,2 cm

7.17. (TIC) Un cateto de un triángulo rectángulo mide 8 centímetros, y la altura sobre la hipotenusa, 4. Halla el área del triángulo.

Por el teorema de la altura: 24 m n= ⋅ ⇒ 16mn

=

Por el teorema del cateto:

64 ( )n m n= ⋅ + ⇒ 21664 16n n nn

= ⋅ + = +

⇒ n2 = 48 ⇒

⇒ n = 48 4 3= y m = 16 4 4 334 3 3

= =

Así, a = m + n = 4 3 + 4 33

= 16 33

Por tanto, el área del triángulo es 32 32 3

a h⋅= cm2.

7.18. Una antena emisora se encuentra sujeta por dos cables que forman un ángulo recto. Los puntos de anclaje de los cables con el suelo están alineados con el pie de la antena y distan de él 4 y 7,2 m, respectivamente. Calcula la altura de la antena y la longitud de las cuerdas.

2 4·7,2 28,8 5,37h h= = ⇒ = m

2 4·11,2 44,8 6,69x x= = ⇒ = m

2 7,2·11,2 80,64 8,98y y= = ⇒ = m





7.22. (TIC) Con la ayuda de la calculadora, expresa en la notación que se indica los siguientes ángulos.

a) Notación decimal:

54º 47' 37'' 124º 33' 2'' 256º 2' 59''

b)* Grados, minutos y segundos:

68,94º 45,5º 150,40º

a) 54º 47' 37'' = 54,7936º

124º 33' 2'' = 124,5506º

256º 2' 59'' = 256,0497º

b) 68,94º = 68º 56' 24''

45,5º = 45º 30'

150,40º = 150º 24'

7.23. (TIC) Pasa a radianes los siguientes ángulos expresados en grados sexagesimales.

a) 30º b) 150º c) 240º d) 40º 30'

a) 30 30180 6π π

° = ⋅ =°

rad c) 4240 240180 3π π

° = ⋅ =°

rad

b) 5150 150180 6π π

° = ⋅ =°

rad d) 81 940 30' 40,5180 2 180 40π π π

° = ⋅ = ⋅ =° °

rad

7.24. (TIC) Pasa a grados sexagesimales los siguientes ángulos expresados en radianes.

a) 23π b) 7

6π c) 9

4π d) 11

3π

a) 2 2 180· 1203 3π π °= = °

π c) 9 9 180· 405

4 4π π °= = °

π

b) 7 7 180· 2106 6π π °= = °

π d) 11 11 180· 660

3 3π π °= = °

π

7.25. (TIC) ¿Puede un triángulo isósceles tener dos ángulos iguales a 1 radián? En caso afirmativo, indica el valor del tercer ángulo.

Sí. El tercer ángulo medirá 1 1π − − ≈ 1,1416 radianes ≈ 65º 24' 31''.

7.26. (TIC) a) ¿Puede un triángulo tener un ángulo de 1 radián y otro de 2 radianes? En caso afirmativo, indica el valor del tercer ángulo.

b) ¿Puede un triángulo isósceles tener dos ángulos de 2 radianes? Justifica la respuesta.

a) Sí. El tercer ángulo medirá π − 1 − 2 ≈ 0,1416 radianes ≈ 8º 6' 47''.

b) No, ya que entre los dos suman 4 radianes que es mayor que π rad = 180º.


7.27. (TIC) Los ángulos A , B y C del cuadrilátero ABCD miden 70º, 2 rad y 1,5 rad, respectivamente.

Calcula, aproximando a los segundos, la medida de D en grados sexagesimales.

70ºA = , 180º2 rad 2· 114º 35' 30''B = = =π

y 180º1,5 rad 1,5· 85º 56' 37''C = = =π

360º 89º 27' 53''D A B C= − − − =




7.31. (TIC) Con la calculadora, halla las siguientes razones trigonométricas con una aproximación de tres cifras decimales.

a) sen 44º c) tg 55º e) cos 67º 45' 33''

b) cos 33º d) sen 45º 13' f) tg 40' 40''

a) sen 44º = 0,695 c) tg 55º = 1,428 e) cos 67º 45' 33'' = 0,379

b) cos 33º = 0,839 d) sen 45º 13' = 0,710 f) tg 40' 40'' = 0,012

7.32. (TIC) Con la calculadora, halla la medida de los ángulos A , B , C y D aproximando a los minutos.

a) sen A = 0,667 c) cos C = 0,512

b) tg B = 0,99 d) tg D = 1,33

a) sen A = 0,667 ⇒ A = 41º 50' c) cos C = 0,512 ⇒ C = 59º 12'

b) tg B = 0,99 ⇒ B = 44º 43' d) tg D = 1,33 ⇒ D = 53º 4'

7.33. (TIC) Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 16 y 30 cm, respectivamente.

Observemos la figura adjunta,

tg α = 815

⇒ α = 28º 4' 21'' y β = 90º – α = 61º 55' 39''

Por tanto, los ángulos del rombo son:

Dos ángulos de 2 · 28º 4' 21'' = 56º 8' 42'' y dos de 2 · 61º 55' 39'' = 123º 51' 18''


7.34. (TIC) Desde un punto situado a 10 m de una torre, una persona que mide 180 cm ve el extremo más alto bajo un ángulo de 43º. Calcula la altura de la torre.

tg 43º = 10x ⇒ x = 10 · tg43º ≈ 9,33 m

Por tanto, la altura de la torre es h = x + 1,8 = 11,13 metros.

7.35. María ha comenzado a dar vueltas con su bicicleta a la pista circular de la figura. Ha partido desde el punto P y descansa después de haber descrito un ángulo de 9π radianes.

Calcula la distancia a la que se encuentra de la recta r en ese momento.

María ha descrito un ángulo de 9π rad = 4 · 2π + π, es decir, ha dado 4 vueltas completas y media vuelta más.

En ese momento María se encuentra en el punto P' y, por tanto, la distancia a la recta r es:

sen 45º = 200d ⇒ d = 200 · sen 45º ≈ 141,42 metros


7.37. (TIC) Sabiendo que el coseno de un ángulo agudo vale 45

, calcula el seno y la tangente de

dicho ángulo. 2

2 2 2 24 16 9 3sen cos 1 sen 1 sen 1 sen5 25 25 5

α + α = ⇒ α + = ⇒ α = − = ⇒ α =

3sen 35tg

4cos 45

αα = = =

α

7.38. (TIC) Sabiendo que la tangente de un ángulo agudo α vale 5 , calcula el seno y el coseno de dicho ángulo.

2 22 2

1 1 1 1 61 tg 1 5 cos cos 0,4086 6cos cos 6

+ α = ⇒ + = ⇒ α = ⇒ α = = ≈α α

sen 6 30tg sen tg cos · 5 0,913cos 6 6

αα = ⇒ α = α ⋅ α = = ≈

α


7.39. Demuestra las siguientes igualdades trigonométricas a partir de las relaciones fundamentales.

a) 2 2 2cos sen 1 2senα − α = − α b) 2 2

22

tg 2sen 1 2costg

α + α= + α

α

a) ( )2 2 2 2 2cos sen 1 sen sen 1 2senα − α = − α − α = − α

b) 2 2 2 2

22 2 2

2

tg 2sen 2sen 2sen1 1 1 2c ostg tg sen

cos

α + α α α= + = + = + α

α α αα

7.40. (TIC) Resuelve los triángulos rectángulos:

a) A = 90º, a = 12 cm y b = 8 cm

b) B = 90º, C = 35º y c = 9 cm

c) C = 90º, c = 5 2 cm y a = 5 cm

a) 2 2 2 212 8 80 8,94 cmc a b= − = − = ≈

8sen 41º 48' 37''12

bB Ba

= = ⇒ =

8cos 48º 11' 23''12

bC Ca

= = ⇒ = . (También se puede calcular 180ºC A B= − − ).

b) 180º 55ºA B C= − − =

9sen 15,69 cmsen35ºsen

c cC aa C

= ⇒ = = ≈

9tg 12,85 cmtg35ºtg

c cC bb C

= ⇒ = = ≈ . (También podríamos calcular b usando el teorema de

Pitágoras).

c) 2 2 50 25 25 5 cmb c a= − = − = =

5 2sen 45º25 2

aA Ac

= = = ⇒ =

5 2cos 45º25 2

aB Bc

= = = ⇒ = . (También se puede calcular 180ºB A C= − − ).

7.41. Un triángulo rectángulo verifica que sus catetos miden el doble uno del otro, y la hipotenusa, 8 cm. Calcula el área y los ángulos del triángulo.

Los catetos son c, 2c y la hipotenusa a = 8 cm.

De este modo, ( )22 2 82 5 5 8 cm 3,58 cm5

a c c c c c= + = = = ⇒ = ≈

El área será, por tanto, 23,58·7,16 12,82 cm2

S = = .

Los ángulos miden:

2tg 2 63º 26' 6 ''cC Cc

= = ⇒ = y 180º 90º 26º 33' 54''B C= − − = .


7.42. Halla la longitud de la altura de un triángulo equilátero de 12 cm de lado.

Aplicando el teorema de Pitágoras:

2 212 6 108 10,39 cmh = − = ≈

Alternativamente, usando las razones trigonométricas:

sen60º 12·sen60º 10,39 cm12h h= ⇒ = =

7.43. Calcula el área de un triángulo isósceles de ángulos 65º, 65º y 50º, y cuyos lados iguales miden 8 cm cada uno.

Observemos el dibujo, tenemos:

sen65º 8·sen65º 7,25 cm8h h= ⇒ = ≈

cos65º 8·cos65º 3,38 cm8x x= ⇒ = ≈

Por tanto, el área es: 26,76·7,25 24,51 cm2

S = = .

7.44. Un compás tiene dos patas de 10 centímetros de largo. ¿Qué ángulo forman sus patas si al abrirlo traza una circunferencia de diámetro 10 centímetros?

La separación entre las patas es de 5 cm, por lo que tenemos la situación mostrada en el dibujo.

De este modo:

2,5sen 0,25 14º 28' 39''10

α = = ⇒ α =

Por tanto, el ángulo que forman las patas del compás es 2α = 28º 57’ 18’’.

7.45. En una circunferencia de radio 8 cm se considera una de sus cuerdas que mide 4 cm. ¿Cuáles son los ángulos centrales de los arcos que determina dicha cuerda?

2sen 0,25 14º 28' 39''8

α = = ⇒ α =

Las amplitudes de los arcos que determina la cuerda son:

2 28 57' 18''α = ° y 360 2 331 2' 42''° − α = °

7.46. Los lados de un paralelogramo son de 8 y 5 cm, y uno de sus ángulos es de 36°. Halla la medida de los otros tres ángulos y el área del cuadrilátero.

sen36º 5 sen36º 2,94 cm5h h= ⇒ = ⋅ =

El área del paralelogramo es: 28 2,94 23,5 cmS = ⋅ = .

Hay dos ángulos de 36° y dos de 360°-2·36° 144°2

= .


7.47. Un observador de 1,60 m de altura ve el punto más alto de un poste, que está a 6 m de distancia, con un ángulo de elevación de 33°. ¿Cuál es la altura del poste?

tg33º 6 tg33º 3,9 m6

CD CD= ⇒ = ⋅ =

1,6 3,9 5,5 mh BD BC CD= = + = + =

7.48. Desde la orilla de un río se ve un árbol en la otra orilla bajo un ángulo de 40º, y si se retrocede 4 metros, se ve bajo un ángulo de 28º. Calcula la altura del árbol y la anchura del río.

Sea h la altura del árbol y x la anchura del río.

( )tg40º tg40º 0,839

0,839 0,532 4tg28º tg28º (4 ) 0,532 (4 )

4

h h x xx x x

h h x xx

= ⇒ = ⋅ = ⇒ = ⋅ += ⇒ = ⋅ + = ⋅ + +

0,839 2,128 0,532x x⇒ = + ⇒2,1280,307 2,128 6,93 m 5,81m0,307

x x h= ⇒ = = ⇒ =

EJERCICIOS

Figuras semejantes. Teorema de Tales.

7.49. Razona si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

a) Todos los cuadrados son semejantes.

b) Los ángulos de dos triángulos semejantes son proporcionales.

c) Todas las circunferencias son semejantes.

d) Los polígonos iguales son semejantes con razón de semejanza 1.

a) Verdadero. Todos los ángulos son rectos y los lados son proporcionales.

b) Sí, con constante de proporcionalidad 1 (los ángulos homólogos son iguales).

c) Sí, tienen la misma forma.

d) Sí, los ángulos homólogos son iguales, y los lados homólogos, proporcionales con constante de proporcionalidad 1.


7.50. Calcula el valor de a y b para que los siguientes pares de triángulos sean semejantes.

a) 3, a, 5 1,5; 2; b

b) 3, a, 8 6 14, ,5 5

b

c) 45º, 75º, 60º 75º, A , B

a) 3 5 3·2 5·1,54 y 2,51,5 2 1,5 3

a a bb

= = ⇒ = = = =

b)

14 63· 8·3 8 165 57 y6 14 6 3 55 5 5

a a bb

= = ⇒ = = = =

c) 45ºA = y 60ºB =

7.51. Dos triángulos son semejantes y la razón de semejanza es 3. Uno de ellos tiene un área de 6 unidades cuadradas.

¿Cuántas corresponden al área del otro? Elige la respuesta correcta.

a) 40 b) 54 c) 200

Si la razón de semejanza es 3, la razón de las áreas es 32 = 9. Por tanto, el área del otro triángulo es 6 · 9 = 54 unidades cuadradas, es decir, la respuesta b).

7.52. El perímetro de un cuadrado mide 32 cm.

a) Halla las medidas de los lados de un cuadrilátero semejante a él si la razón de semejanza

es k = 12

.

b) ¿Cuál es la razón de sus áreas?

a) El lado del cuadrado es 32 : 4 = 8 cm, por tanto, el del cuadrado semejante es 18·2

= 4 cm.

b) La razón de las áreas es 2

2 1 12 4

k = =

.

7.53. La razón de las áreas de dos hexágonos regulares es 4936

. Si el lado de uno de ellos mide 18

cm, ¿cuál es el perímetro del otro?

Si la razón de las áreas es 4936

, la de las longitudes será 49 736 6

= , por tanto, el lado del segundo

hexágono mide 718· 216= cm y su perímetro es 6 · 21 = 126 cm.


7.54. Calcula la altura de la torre de la iglesia.

Por semejanza de triángulos: 9 9·60 36 m15 60 15

h h= ⇒ = =

7.55. *Si los segmentos AB y MN son paralelos, halla la medida del lado AC.

5 3 95 3 9 2 9 4,53 2

x x x x xx+

= ⇒ = + ⇒ = ⇒ = = cm

AC = 3 + 4,5 = 7,5 cm

7.56. Los triángulos ABC y A'B'C' son semejantes. Calcula el valor que se pide en cada caso.

a) b y c', si a = 9 cm, c = 12 cm, a' = 4,5 cm y b' = 3,5 cm.

b) A , C , B′ y C′ si B = 38º y A′ = 92º.

c)* a y B , si c = 18 cm, a' = 30 cm, c' = 6 cm y B′ = 105º.

a) 9 12 9·3,5 12·4,57 cm y ' 6 cm4,5 3,5 ' 4,5 9

b b cc

= = ⇒ = = = =

b) ' 92ºA A= = ; ' 38ºB B= = y ' 180º 92º 38º 50ºC C= = − − =

c)

18 30·18 90 cm y ' 105º30 6 6a a B B= ⇒ = = = =

7.57. Calcula los lados de un triángulo semejante a otro que tiene por lados 3, 12 y 10 cm si la razón

de las áreas es 62516

.

Si la razón de las áreas es 62516

, la razón de las longitudes es 254

. Por tanto, los lados del triángulo

semejante miden 25 753· 18,75 cm4 4

= = , 2512· 75 cm4

= y 25 12510· 62,5 cm4 2

= = .


7.58. En un triángulo rectángulo, los catetos miden 3 y 4 dm, y en otro, un cateto mide 6 dm, y la hipotenusa, 10. ¿Son semejantes?

La hipotenusa del primer rectángulo mide 2 23 4 5 dma = + = .

El cateto desconocido del segundo triángulo mide 2 210 6 8 dmc = − = .

Por tanto, los lados del segundo triángulo miden el doble que los lados del primero, es decir, sí son semejantes con razón de semejanza k = 2.

7.59. Las medidas de un rectángulo son 3 y 5 cm. Calcula las medidas de otro rectángulo semejante al anterior y tal que su perímetro mida 40 cm.

El perímetro del primer rectángulo es 16 cm, por tanto, la razón de semejanza es 40 2,516

k = = .

Por tanto, el homólogo del lado de 3 cm mide 7,5 cm y el homólogo del lado de 5 cm mide 12,5 cm.

7.60. Demuestra que los siguientes pares de triángulos son semejantes indicando, en caso afirmativo, el criterio de semejanza utilizado.

a) c)

b) d)

a) Primer criterio: los triángulos tienen dos ángulos iguales.

b) Tercer criterio: todos los lados son proporcionales, ya que 3 3,5 3,5 21,5 1,75 1,75

= = = .

c) Segundo criterio: los triángulos tienen un ángulo igual, y los lados que lo forman, proporcionales,

ya que 3,78 2,25 1,82,1 1,25

= = .

d) Son semejantes, ya que están en posición de Tales.


7.61. Utilizando los criterios de semejanza, encuentra triángulos semejantes en las siguientes figuras y calcula el valor de los segmentos desconocidos.

a) c)

b) d)

a) 1 31,5 y

= ⇒ y = 4,5 1 31,25 x

= ⇒ x = 3,75

b) 54 2

y= ⇒ y = 2,5 x = 2

c) 2 68x

= ⇒ x = 16 86 3

= y = 2 26 8+ = 10 z = 4

d)

2 1 2 6 2 4 22 6 2 62 1 2 6 36 6 2

x x x x xx x x xx x zz z

= ⇒ = ⇒ + = + ⇒ = + + + + = ⇒ = ⇒ = =

7.62. La diagonal de un rectángulo mide 13 m y la razón de sus lados es 2,4.

Otro rectángulo semejante tiene 102 m de perímetro. ¿Cuánto mide su diagonal?

Si llamamos a al lado mayor del primer rectángulo y b al lado menor, tenemos:

} 2 2 2 22 2 2

2,4 169 5,76 6,76 25 5 m y 2,4 12 m13a b b b b b b a ba b= ⇒ = + = ⇒ = ⇒ = = == +

Por tanto, el perímetro del primer rectángulo es 2a + 2b = 34 m y así, la razón entre los rectángulos es 102 334

k = = .

De este modo, la diagonal del segundo rectángulo mide 3 · 13 = 39 m.

Medida de ángulos

7.63. (TIC) Expresa en radianes la medida de estos ángulos.

a) 30º c) 90º e) 135º

b) 240º d) 270º f) 300º

a) 30 30180 6π π

° = ⋅ =°

rad c) 90 90180 2π π

° = ⋅ =°

rad e) 3135 135180 4π π

° = ⋅ =°

rad

b) 4240 240180 3π π

° = ⋅ =°

rad d) 3270 270180 2π π

° = ⋅ =°

rad f) 5300 300180 3π π

° = ⋅ =°

rad


7.64. (TIC) Indica la medida en el sistema sexagesimal de los siguientes ángulos expresados en radianes

a) π c) 74π e) 4

3π

b) 56π d)

8π f) 7

11π

a) 180ºrad · 180ºπ = π =π

d) 180ºrad · 22,5º8 8π π

= =π

b) 5 5 180ºrad · 150º6 6π π

= =π

e) 4 4 180ºrad · 240º3 3π π

= =π

c) 7 7 180ºrad · 315º4 4π π

= =π

f) 7 7 180ºrad · 114,55º11 11π π

= ≈π

7.65. (TIC) Calcula en grados, minutos y segundos sexagesimales la medida de los siguientes ángulos expresados en radianes.

a) 213π b) 9

17π c) 5

7π

a) 2 2 180ºrad · 27º 41' 32''13 13π π

= ≈π

b) 9 9 180ºrad · 95º 17' 39''17 17π π

= ≈π

c) 5 5 180ºrad · 128º 34' 17''7 7π π

= ≈π

Relaciones métricas en triángulos rectángulos

7.66. Calcula la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que las proyecciones de los catetos sobre ella miden 4 y 9 m.

Aplicando el teorema de la altura: 2 · 4·9 36 6 mh m n h= = = ⇒ = .

7.67. Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden 6, 4 y 3,6 cm. Halla la longitud de los lados.

La hipotenusa mide a = 6,4 + 3,6 = 10 cm.

Aplicando el teorema del cateto: b2 = m · a = 6,4 · 10 = 64 ⇒ b = 8 cm.

c2 = n · a = 3,6 · 10 = 36 ⇒ c = 6 cm.

7.68. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 cm, y la proyección de uno de los catetos sobre ella, 4. Calcula la medida de los catetos.

La proyección del otro cateto sobre la hipotenusa mide n = 20 – 4 = 16 cm.

Usando el teorema del cateto: b2 = m · a = 4 · 20 = 80 ⇒ b = 8,94 cm.

c2 = n · a = 16 · 20 = 320 ⇒ c = 17,89 cm.


7.69. Calcula los lados de un triángulo rectángulo cuyas proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 32 y 8 cm.

La hipotenusa mide a = 32 + 8 = 40 cm.

Aplicando el teorema del cateto: b2 = m · a = 32 · 40 = 1280 ⇒ b = 35,78 cm.

c2 = n · a = 8 · 40 = 320 ⇒ c = 17,89 cm.

7.70. Si las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo tienen la misma medida, ¿cómo es el triángulo? ¿Cuánto miden sus ángulos agudos?

Según el teorema del cateto, ambos catetos medirán lo mismo, por tanto el triángulo será isósceles.

Así, los ángulos agudos miden ambos 45º.

7.71. Dibuja un cuadrado que tenga la misma área que un rectángulo cuyos lados miden 5 y 7 cm. Utiliza el teorema de la altura.

El área del rectángulo es S = 5 · 7 = 35 cm2, por tanto el lado del cuadrado mide l = 35 cm.

Para poder dibujar esta longitud, y con ella el cuadrado requerido, usamos el teorema de la altura como sigue:

Trazamos una semicircunferencia de diámetro 5 + 7 = 12 cm y un triángulo inscrito en ella.

Este triángulo es rectángulo, su hipotenusa mide 12 cm y las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 5 y 7 cm. Por tanto, la altura sobre la hipotenusa mide 2 5·7 35 35h h= = ⇒ = cm.

Razones trigonométricas. Resolución de triángulos rectángulos

7.72. (TIC) Calcula el coseno y la tangente de un ángulo agudo α si sen α = 0,6. 2

2 2 2 23 9 16 4sen cos 1 cos 1 cos 1 cos5 25 25 5

α + α = ⇒ + α = ⇒ α = − = ⇒ α =

3sen 35tg

4cos 45

αα = = =

α


7.73. *(TIC) Halla el seno y la tangente de un ángulo agudo α cuyo coseno es 35

.

22 2 3 4sen cos 1 sen 1

5 5 α + α = ⇒ α = − =

4sen 45tg

3cos 35

αα = = =

α

7.74. (TIC) Calcula el seno y el coseno de un ángulo agudo α cuya tangente es igual a 5 .

( )2

2 2

1 1 1 61+tg cos 0,4086cos 61 5

α = ⇒ α = = = ≈α +

sen 30tg sen tg ·cos 0,913cos 6

αα = ⇒ α = α α = ≈

α

7.75. (TIC) Comprueba si existe un ángulo α tal que sen α = 14

y cos α = 34

.

Se tiene que cumplir la primera relación fundamental: 2 2sen cos 1α + α = .

Como 2 21 3 5 1

4 4 8 + = ≠

, no puede existir tal ángulo.

7.76. Escribe, en función de m, n y p, el seno, el coseno y la tangente del ángulo α en estos triángulos.

En el primer triángulo:

sen cos y tgn p nm m p

α = α = α =

En el segundo triángulo:

sen cos y tgn m np p m

α = α = α =


7.77. (TIC) Calcula el valor del lado a.

a) b)

a) cos63,38º 13·cos63,38º 5,8213a a= ⇒ = = cm

b) cos45º 39,6·cos45º 2839,6

a a= ⇒ = = cm

7.78. La hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo miden 10, 8 y 6 dm.

¿Cuáles son las razones trigonométricas del ángulo agudo de menor amplitud del triángulo?

El ángulo de menor amplitud es el opuesto al lado de menor tamaño, por tanto, sus razones trigonométricas son:

6sen 0,610

α = =

8cos 0,810

α = =

6tg 0,758

α = =

7.79. (TIC) Calcula las razones trigonométricas del ángulo α.

2 225 12 481 21,93h = − = = cm

Por tanto,

21,93sen 0,877225

α = =

12cos 0,4825

α = =

21,93tg 1,827512

α = =


7.80. (TIC) Calcula la medida de los lados y los ángulos que faltan en los siguientes triángulos rectángulos.

a) c)

b) d)

a) A = 90º, B = 60º, a = 12 cm

C = 180º – A – B = 30º

cos cos 12·cos60º 6 cmcB c a Ba

= ⇒ = = =

12 3sen sen 12·sen60º 6 3 10,39 cm2

bB b a Ba

= ⇒ = = = = ≈

b) A = 90º, b = 11 cm, c = 11 cm

2 2 2 211 11 242 15,56 cma b c= + = + = ≈

11tg 1 45º11

bB Bc

= = = ⇒ =

C = B = 45º

c) A = 40º, C = 90º, a = 9 cm

B = 180º – A – C = 50º

9sen 14 cmsen40ºsen

a aA cc A

= ⇒ = = ≈


a aA bb A

= ⇒ = = ≈

d) C = 90º, b = 10 cm, c = 20 cm

2 2 2 220 10 300 17,32 cma c b= − = − = ≈

10cos 0,5 60º20

bA Ac

= = = ⇒ =

B = 180º – A – C = 30º


7.81. (TIC) Resuelve estos triángulos sabiendo que C = 90º.

a) A = 55º, a = 18 cm

b) c = 10 cm, b = 6 cm

c) a = 18 cm, b = 15 cm

a) A = 55º, C = 90º, a = 18 cm

B = 180º – A – C = 35º

18sen 21,97 cmsen55ºsen

a aA cc A

= ⇒ = = ≈


a aA bb A

= ⇒ = = ≈

b) C = 90º, b = 6 cm, c = 10 cm

2 2 2 210 6 64 8 cma c b= − = − = =

6cos 0,6 53º 7' 48''10

bA Ac

= = = ⇒ ≈

B = 180º – A – C = 36º 52' 12''

c) C = 90º, a = 18 cm, b = 15 cm

2 2 2 218 15 339 18,41 cmc a b= + = + = ≈

18tg 1,2 50º 11' 40''15

aA Ab

= = = ⇒ ≈

B = 180º – A – C = 39º 48' 20''

7.82. (TIC) Los lados de un triángulo miden 45, 27 y 36 cm. Demuestra que es rectángulo y que el

seno de uno de sus ángulos es 35

. ¿Cuáles son las otras dos razones trigonométricas de ese

ángulo?

Dado que 452 = 272 + 362, el triángulo es rectángulo con hipotenusa de 45 cm.

27 3sen45 5

α = = 36 4cos45 5

α = = 27 3tg36 4

α = =

7.83. Halla la longitud de la altura de un triángulo equilátero de 12 centímetros de lado.

Aplicando el teorema de Pitágoras:

2 212 6 108 10,39 cmh = − = ≈

También podemos aplicar las razones trigonométricas:

12 3sen60º 12·sen60º 6 3 10,39 cm12 2h h= ⇒ = = = ≈


7.84. ¿Se puede resolver un triángulo conociendo solo sus ángulos? Razona tu respuesta.

No, los triángulos semejantes tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales, y si no se conoce al menos uno de los lados es imposible determinar de cuál de todos los semejantes se trata.

7.85. (TIC) La diagonal mayor de un rombo mide 8 cm y forma con cada lado contiguo un ángulo de 26º. ¿Cuánto mide el lado del rombo?

Llamando x al lado del rombo:

4 4cos26º 4,45 cmcos26º

xx

= ⇒ = ≈

7.86. Resuelve el triángulo.

El ángulo inferior izquierdo del triángulo a resolver es 53,13º.

El ángulo superior del triángulo rectángulo de la izquierda, que coincide con el ángulo inferior derecho del triángulo a resolver es 90º – 53,13º = 36,87º.

La hipotenusa del triángulo rectángulo de la derecha, que es el cateto mayor del triángulo a resolver:

33,33 33,33cos53,13º 55,55cos53,13º

aa

= ⇒ = ≈ dm

La hipotenusa del triángulo rectángulo de la izquierda, que es el cateto menor del triángulo a resolver:

33,33 33,33cos36,87º 41,66cos36,87º

bb

= ⇒ = ≈ dm

Finalmente, la hipotenusa del triángulo a resolver:

2 2 4821,3581 69,44c a b= + = ≈ dm

PROBLEMAS

7.87. El logotipo de una empresa tiene forma de hexágono y sus lados miden 3, 4, 5, 7, 8 y 9 cm.

En los carteles publicitarios se quiere dibujar un hexágono semejante de 117 cm de perímetro. ¿Cuánto miden los lados homólogos?

Perímetro del hexágono pequeño = 3 + 4 + 5 + 7 + 8 + 9 = 36 cm. Razón 117 3,2536

k = =

Lados del hexágono grande:

3 · 3,25 = 9,75 cm 4 · 3,25 = 13 cm 5 · 3,25 = 16,25 cm

7 · 3,25 = 22,75 cm 8 · 3,25 = 26 cm 9 · 3,25 = 29,25 cm


7.88. A la misma hora del día se observan las sombras que proyectan la torre del reloj y el obelisco de una plaza. Halla la sombra de la torre.

Si x es la longitud de la sombra de la torre, tenemos:

2 12·2 4,812 5 5x x= ⇒ = = m

7.89. Para medir la distancia entre dos puntos muy alejados A y B, se han situado dos personas sobre ellos. Una tercera persona, una mujer, está en un punto C, a 50 m de distancia de A. Calcula la distancia que separa los puntos A y B.

tg82º 50·tg82º 355,77 m50AB AB= ⇒ = ≈

7.90. En el momento del día en que los rayos del sol forman un ángulo de 60º con la horizontal, la sombra que proyecta un árbol en el suelo es de 2,6 metros. ¿Cuánto mide el árbol?

tg60º 2,6·tg60º 4,5 m2,6h h= ⇒ = ≈

7.91. Unas cigüeñas han construido su nido sobre el tejado de un edificio a 25 metros del suelo. Un chico lo observa desde un punto situado a 50 metros del edificio. Calcula el ángulo de observación.

25tg 0,5 26,57º50

α = = ⇒ α ≈


7.92. (TIC) Si se observa durante 6 segundos un avión que sobrevuela un punto de la Tierra, se aprecia que el avión cambia ligeramente de posición.

Si el avión se observa perpendicularmente a una altura de 1350 m y lleva una velocidad de 600 km/h, ¿qué ángulo diferencia las dos visuales del observador?

En 6 segundos, el avión recorre 1 km; por tanto,

1000tg 0,741 36,54º1350

α = ≈ ⇒ α ≈

7.93. El tronco de una palmera mide 3,5 m y crece de forma inclinada debido al peso de la parte superior. La perpendicular desde su parte más alta hasta la tierra mide 2 m. Calcula el ángulo de inclinación del tronco respecto a la vertical.

2cos 0,571 55,18º3,5

α = ≈ ⇒ α ≈

7.94. Para realizar prácticas de óptica, un estudiante que mide 1,70 m, situado a 12 m de un edificio, coloca frente a sus ojos una regla vertical de 25 cm con la que oculta exactamente la altura del mismo. Si la distancia del ojo a la regla es de 40 cm, calcula la altura del edificio.

Los triángulos que forman la regla y el edificio son semejantes, ya que se encuentran en posición de

Tales. Por tanto, si x es la altura del edificio, 0,25 12·0,25 7,512 0,4 0,4x x= ⇒ = = m.

7.95. Calcula la longitud de la circunferencia que se traza con un compás cuyos brazos miden 7 centímetros y forman un ángulo de 70º.

Si r es el radio de la circunferencia, tenemos: 2sen35º 14·sen35º 8,03 cm7

r

r= ⇒ = ≈

Por tanto, la longitud de la circunferencia vale 2· · 50,45 cmL r= π ≈ .

7.96. Alba va a poner una bombilla de bajo consumo en una lámpara que está situada a 2 m del suelo. Alba mide 1,53 m, y cada lado de la escalera, 70 cm. Los dos lados de la escalera forman un ángulo de 50º. Averigua si alcanza con ella para poner la bombilla.

Si h es la altura que alcanza la escalera, cos25º 70·cos25º 63,44 cm70h h= ⇒ = ≈ .

Alba puede alcanzar, por tanto, una altura de 153 + 63,44 = 216,44 cm, suficiente para poner la bombilla.


7.97. Se quieren fabricar losetas como las de la figura que estén formadas por un rombo de diagonales 18,10 cm y 8,36 cm y un cuadrado inscrito en él.

Calcula el área de la zona oscura y la suma de las áreas de las zonas claras.

Observemos la figura. Los triángulos ABC y DEB son semejantes. Por tanto:

4,18 37,829 4,18 9,059,05 9,05

37,829 2,86 cm13,23

AC DE x x xBC DB x

x

= ⇒ = ⇒ − = ⇒−

⇒ = =

De este modo:

Área oscura: ( )2 22 2,86 32,7 cm⋅ =

Área clara: 218,10 8,36 32,7 42,96 cm2⋅

− =

7.98. Para que una antena permanezca vertical y bien sujeta se han colocado dos anclajes en el suelo a ambos lados, alineados con su base.

La distancia entre los anclajes es de 40 m, y si se observa la parte más alta de la antena desde cada uno de ellos, los ángulos de elevación son de 30º y 60º, respectivamente.

Calcula la altura de la antena.

tg60º tg60º· 1,7321h h x xx

= ⇒ = =

( )tg30º tg30º· 40 23,096 0,577440

h h x xx

= ⇒ = − = −−

Igualando: 1,7321 23,096 0,5774 2,3095 23,096 10 m 17,32 mx x x x h= − ⇒ = ⇒ ≈ ⇒ ≈


AMPLIACIÓN

7.99. *En el trapecio ABCD de la figura, ¿cuánto mide DC?

a) 7 + 2 33

b) 8 + 3 c) 192

d) 8

Observemos el dibujo,

2sen45º 3 2 sen45º 3 2 · 323 2

h h= ⇒ = = =

2cos45º 3 2 cos45º 3 2 · 323 2

y y= ⇒ = = =

3tg60º 3tg60º 3

h hxx

= ⇒ = = =

Por tanto, DC = x + 5 + y = 8 + 3 , la respuesta b).

7.100. En el rectángulo ABCD de la figura, las rectas r y r′ que pasan por los vértices A y C son perpendiculares a la diagonal BD y la dividen en tres trazos iguales de 1 cm de longitud cada uno.

El área del rectángulo ABCD, en cm2, es:

a) 4,1 b) 4,2 c) 4,3 d) 4,4

Si P es el punto de corte de la recta r' con la diagonal BD, observemos que los triángulos PDC, BDC y BPC son semejantes, ya que los tres tienen un ángulo de 90º, PDC y BDC comparten ángulo en el vértice D, y PCB BDC= . Por tanto:

2 · 3 3BC BD BC BP BD BCBP BC

= ⇒ = = ⇒ = cm y 2 · 6 6CD BD CD DP BD CDDP CD

= ⇒ = = ⇒ = cm

Así, el área de del rectángulo es · 3 · 6 18 4,2BC CD = = ≈ cm2, la respuesta b).

7.101. Dos bandas de anchura 1 cm se cruzan bajo un ángulo α. ¿Cuál es el valor del área de la región común a ambas?

a) sen α b) 1sen α

c) 11 cos− α

d) 21

sen α

La figura sombreada es un paralelogramo cuyos 4 lados miden lo mismo, y de altura h = 1.

Si llamamos l a la longitud de los lados tenemos 1sen hl l

α = = , con lo que l = 1senα

y, por tanto, el

área pedida es 1·sen

S l h= =α

, es decir, la respuesta b).


AUTOEVALUACIÓN

7.1. Indica cuáles de los siguientes pares de triángulos son semejantes y, en ese caso, calcula la razón de semejanza de sus lados.

a) 3; 4; 5 y 4,5; 6; 7,5 cm

b) 2; 5; 6 y 4; 10; 11 cm

c) 5; 12; 13 y 12,5; 30; 32,5 cm

a) 4,5 6 7,53 4 5

= = = 1,5 ⇒ Como los tres lados son proporcionales, los triángulos son semejantes y

la razón de semejanza es k = 1,5.

b) 4 10 112 5 6= ≠ ⇒ Los tres lados no son proporcionales, por lo que los triángulos no son

semejantes.

c) 12,5 30 32,55 12 13

= = = 2,5 ⇒ Los tres lados son proporcionales, los triángulos son semejantes y la

razón de semejanza es k = 2,5.

7.2. a) ¿Cómo deben ser los lados MN y BC para que los triángulos AMN y ABC sean semejantes?

b) Halla el valor de x.

a) Paralelos, para que se cumpla el teorema de Tales.

b) 5 5 3 15 2 15 7,53 5x x x x x x+= ⇒ = + ⇒ = ⇒ = cm

7.3. En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa la divide en dos segmentos que miden 2 y 18 cm, respectivamente.

Calcula el área de un triángulo rectángulo semejante con razón de semejanza k = 32

.

La altura sobre la hipotenusa del primer triángulo es: h2 = 2 · 18 = 36 ⇒ h = 6 cm.

Su área es, por tanto 20·6 602

S = = cm2, así, como la razón de las áreas es 2 94

k = , el área del

triángulo semejante es 9' ·60 1354

S = = cm2.

7.4. Expresa en grados o radianes la medida de estos ángulos, según corresponda.

a) 35π rad c) 15

4π rad e) 9π rad

b) 36º d) 100º f) 310º

a) 35π rad = 108º c) 15

4π rad = 675º e) 9π rad = 1620º

b) 36º = 5π rad d) 100º = 5

9π rad f) 310º = 31

18π rad


7.5. Halla las razones trigonométricas de los ángulos α y β de la siguiente figura.

Altura del triángulo: 2 2100 60 80h = − = cm

80sen 0,8100

α = = ; 60cos 0,6100

α = = ; 80tg 1,3360

α = =

60sen 0,6100

β = = ; 80cos 0,8100

β = = ; 60tg 0,7580

β = =

7.6. Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden 5 y 8 cm.

a) Calcula la altura sobre la hipotenusa.

b) Resuelve el triángulo.

a) h2 = 5 · 8 = 40 ⇒ h = 6,32 cm.

b) La hipotenusa mide a = 5 + 8 = 13 cm.

Los catetos miden: b2 = m · a = 5 · 13 = 65 ⇒ b = 8,06 cm.

c2 = n · a = 8 · 13 = 104 ⇒ c = 10,2 cm.

Los ángulos miden: 90ºA = ;

8,06sen 0,62 38,32º13

bB Ba

= = = ⇒ = ; 180º 51,68ºC A B= − − =

7.7. Calcula la medida de los lados y de los ángulos desconocidos.

a) b)

a) A = 90º, C = 35º, c = 18 cm, B = 180º – A – C = 55º

18 18sen35º 31,38 cmsen35º

aa

= ⇒ = ≈ 18 18tg35º 25,71 cmtg35º

bb

= ⇒ = ≈

b) A = 90º, B = 65º, a = 19 cm, C = 180º – A – B = 25º

sen65º 19·sen65º 17,22 cm19b b= ⇒ = ≈ cos65º 19·cos65º 8,03 cm

19c c= ⇒ = ≈

7.8. Calcula la medida de los ángulos agudos del triángulo de la figura.

1

12sen 30º1 2

α = = ⇒ α = y 90º 60ºβ = −α =


PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS

Calcula e imagina > El túnel de Eupalinos

En el siglo VI a. C., el tirano Polícrates gobernaba en la isla griega de Samos. Temeroso de una invasión de los pueblos vecinos, levantó una gran muralla que rodeaba la capital de la isla y también ordenó la construcción de un túnel que atravesara una montaña y sirviera para abastecer de agua a la ciudad.

El encargado de proyectar y construir el túnel fue Eupalinos, nombre con el que se conoce desde entonces esta maravilla de la ingeniería. Se tardaron quince años en terminarlo siguiendo sus instrucciones: dos equipos comenzarían a perforar la montaña por laderas opuestas y deberían encontrarse en su interior. El trabajo requería una gran precisión para que el encuentro tuviera lugar.

El proyecto de Eupalinos se basaba en el uso de triángulos semejantes mediante los que pudo conocer exactamente las trayectorias que debían seguir los túneles para juntarse dentro de la montaña. Hay que tener en cuenta que una mínima variación hacia la izquierda, la derecha, arriba o abajo arruinaría el proyecto.

Actualmente, el túnel de Eupalinos es una atracción turística que se puede visitar y asombrarse de cómo con tan pocas herramientas se pudo conseguir tanta exactitud. Tan preciso fue su método que la construcción de los túneles modernos se basa en los mismos principios que utilizó Eupalinos.

Sigue paso a paso el método que utilizó para calcular la dirección con la que se debía horadar la montaña desde cada uno de los extremos.

7.1. Traza el triángulo imaginario ABC y, en la falda de la montaña, toma las medidas AP = 100 m, PQ = 700 m, QR = 1060 m y RB = 300 metros, en las que todos los ángulos son rectos.

A partir de ellas, obtén las distancias AC y CB.

AC = PQ – BR = 400 m

CB = QR – AP = 960 m

7.2. ¿Cuánto medirá el túnel?

Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que AB = 2 2 2 2400 960AC CB+ = + = 1040 m

7.3. ¿Cómo deben ser los segmentos PX y RY para que los triángulos ABC, XPA y BRY sean semejantes?

Una prolongación de PQ y QR y tales que PX BR ACAP RY BC

= =

7.4. Halla las distancias PX y RY.

400 41,67 m100 960PX PX= ⇒ = y 300 400 720 m

960RY

RY= ⇒ =

7.5. A partir de los puntos X e Y se trazan los segmentos XA y BY, que dan la dirección en la que se debe empezar a cavar.

561135


7.6. Con este método, Eupalinos supo en qué dirección se debía excavar para no desviarse a izquierda ni a derecha. Pero, ¿cómo hizo para que los mineros no se desviaran hacia arriba ni hacia abajo, es decir, para saber en todo momento que estaban cavando en una horizontal perfecta? Juntaos por equipos y proponed varias soluciones. (La altitud sobre el nivel del mar de los puntos A y B es la misma.)

En la parte inferior de la galería había una línea horizontal que indicaba el nivel exacto que debía seguirse en la excavación. Así se consiguió una pendiente bastante regular del 0,4 %. Para corregir posibles errores y asegurarse de que los dos túneles se encontraban, Eupalinos hizo que aumentaran el techo de uno de ellos y que en el otro mantuvieran el techo y rebajaran el suelo.

7.7. Localiza la isla de Samos y fíjate en el nombre de sus principales ciudades. Una te recordará a un famoso matemático; averigua qué relación guarda con la isla.

Samos es una isla griega cuya capital es Vathy.

Una de sus poblaciones es Pythagorio. Es un pintoresco centro turístico, dado que es un punto de partida para muchas excursiones marinas por la isla. Su nombre hace referencia a Pitágoras, el gran matemático del siglo VI a. C. nacido en esa isla.

7.8. Heródoto cita el túnel de Eupalinos como una de las tres obras más grandiosas del mundo griego. ¿Cuáles son las otras dos?

Las otras dos obras son el muelle y el templo de Samos.

Aprende y calcula > El monte Everest

Como ya sabrás, el monte Everest es la montaña más alta de la Tierra, aunque este hecho no se supo hasta el siglo XIX.

El matemático y topógrafo bengalí Radhanath Sikdar fue el primero en medir la altitud de esta montaña, en 1852, con ayuda de un teodolito. Para ello tomó varias medidas desde la India, aunque no fuese la ubicación más cercana, ya que resultaba imposible entrar en Nepal.

Sus mediciones arrojaron que la montaña medía exactamente 29 000 pies, es decir, 8839 m sobre el nivel del mar. Más de 150 años después se han llevado a cabo mediciones más precisas, realizadas con GPS y otros instrumentos desde la cima, que han cifrado la altitud del Everest en 8844 m. Es decir, si las mediciones actuales se aceptan como correctas, Sikdar cometió un error de solo un 0,06 %… ¡y sin necesidad de escalar la montaña!

7.9. Antes de empezar, averigua la diferencia entre altura y altitud en Geografía y para qué sirve un teodolito, y descríbelo por escrito.

Altitud: Es la distancia vertical de un punto respecto al nivel del mar.

Altura: Es la distancia vertical de un punto respecto a la tierra o cualquier otra superficie tomada como referencia.

El teodolito es un instrumento de medición mecánico-óptico para medir ángulos verticales y horizontales con gran precisión.


7.10. Ahora imagina que eres Sikdar y quieres determinar la altura de la cima C de una montaña. Para ello te sitúas con un teodolito en dos puntos A y B situados a la misma altitud y separados entre sí una distancia de 800 m. Efectúas tres mediciones: 72ºCAB = , 75ºABC = y el ángulo de elevación de la montaña desde A, 35ºHAC = .

Determina:

a) La medida del ángulo ACB .

b) Las longitudes desde los puntos A y B hasta la cima de la montaña C.

c) El punto H, inaccesible, se encuentra a la misma altitud que A y B y en la vertical de C. ¿Qué tipo de triángulo es AHC?

d) Calcula la distancia desde H hasta C.

e) Si los puntos A y B están a 1100 m sobre el nivel del mar, ¿cuál es la altitud de la montaña sobre el nivel del mar?

a) 33º

b) Aplicando el teorema del seno al triángulo ABC obtenemos AC = 1418,81 m y BC = 1396,97 m.

c) Un triángulo rectángulo

d) HC = AC · sen 35º = 813,8 m

e) 1100 + 813,8 = 1913,8 m

7.11. ¿En qué continente, en qué cordillera y en la frontera entre qué países se encuentra el Everest? Localízalos en un mapa.

En Asia, en la cordillera del Himalaya. Forma frontera entre China y Nepal.

7.12. Investiga brevemente el contexto histórico de la India y Nepal en la fecha de la medición y aventura una hipótesis sobre por qué Sikdar no pudo entrar en Nepal para hacer sus mediciones.

Respuesta abierta.

7.13. Cuando Sikdar lo midió, el monte Everest se llamaba Pico XV. Muchos indios, entre ellos un primer ministro, han defendido que se dé al monte el nombre de Sikdar.

a) ¿Por qué razón se llama Everest?

b) ¿Qué otros nombres ha recibido y qué significaban?

c) ¿Qué países se oponen actualmente al nombre Everest, y cuáles proponen?

a) En honor de sir George Everest, británico, topógrafo general de la India en 1865.

b) En Nepal, Sagarmatha (la frente del cielo), y en China, Chomolungma (madre del universo).

c) Nepal y China. Proponen los enunciados en el apartado anterior.

Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM Autoría: Fernando Alcaide, Antonia Aranda, Rafaela Arévalo, Juan Jesús Donaire, Vanesa Fernández, Joaquín Hernández, Juan Carlos Hervás, Miguel Ángel Ingelmo, Cristóbal Merino, María Moreno, Isabel de los Santos, Esteban Serrano, Yolanda A. Zárate Edición: Oiana García, José Miguel Gómez, Aurora Bellido Revisión contenidos solucionario: Juan Jesús Donaire Corrección: Javier López Ilustración: Modesto Arregui, Estudio “Haciendo el león”, Jurado y Rivas, Félix Anaya, Juan Francisco Cobos, José Santos, José Manuel Pedrosa Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano Maquetación: SAFEKAT S. L. Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proyecto: Aída Moya (*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados han sido marcados porque contienen alguna corrección en su enunciado respecto al que aparece en el libro del alumno. Gestión de las direcciones electrónicas: Debido a la naturaleza dinámica de internet, Ediciones SM no puede responsabilizarse de los cambios o las modificaciones en las direcciones y los contenidos de los sitios web a los que remite este libro. Con el objeto de garantizar la adecuación de las direcciones electrónicas de esta publicación, Ediciones SM emplea un sistema de gestión que redirecciona las URL que con fines educativos aparecen en la misma hacia diversas páginas web. Ediciones SM declina cualquier responsabilidad por los contenidos o la información que pudieran albergar, sin perjuicio de adoptar de forma inmediata las medidas necesarias para evitar el acceso desde las URL de esta publicación a dichas páginas web en cuanto tenga constancia de que pudieran alojar contenidos ilícitos o inapropiados. Para garantizar este sistema de control es recomendable que el profesorado compruebe con antelación las direcciones relacionadas y que comunique a la editorial cualquier incidencia a través del correo electrónico [email protected]. Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra, a excepción de las páginas que incluyen la leyenda de “Página fotocopiable”. © Ediciones SM Impreso en España – Printed in Spain

mailto:[email protected]�

7 Semejanza y trigonometría -...

Documents

Transcript of 7 Semejanza y trigonometría -...