CAPITULO DE INGENIERÍA CIVIL – COLEGIO DE INGENIEROS CIVILES DE PERÚ

CONSEJO DEPARTAMENTAL CAJAMARCA

XVIII CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

CONIC 2011

ESTIMACIÓN DE CAUDALES DE DISEÑO CON LA

DISTRIBUCIÓN DE DOBLE GUMBEL

M.Sc. Ing. Clara Marina Farías Zegada de Reyes, Ing. Claudia Palacios Santa Cruz

Instituto de Hidráulica, Hidrología e Ingeniería Sanitaria de la Universidad de Piura,

Av. Ramón Mugica 131, Urb. San Eduardo, Piura, Perú, marina.farias@udep.pe,

Claudiapalacios@hotmail.com, 73-284520

CAJAMARCA - PERÚ

RESUMEN:

Para determinar los caudales de diseño la modelación probabilística juega un papel

importante, la elección de la distribución más adecuada es difícil ante diversas opciones

disponibles. Durante años se han usado distribuciones probabilísticas de una sola

población: Log-Normal, Gamma, Gumbel, Pearson, etc. Sin embargo, en México, donde se

tiene presencia de crecidas debidas a dos mecanismos generadores: crecidas normales y las

debidas a huracanes, éstas se modelan bajo la distribución Doble Gumbel, ajustando a cada

grupo un modelo Gumbel individual. En Piura, ubicada en el noroeste peruano, las lluvias

se presentan generalmente en el verano y son de poca intensidad, trayendo consigo un

aumento no muy significativo del caudal del río Piura. Sin embargo, existen también años

en que son originadas por el mundialmente conocido Fenómeno El Niño (FEN), las cuales

significan un aumento excepcional en los caudales del río. Ya que la ocurrencia de lluvia y

caudales en la región están regidos por dos mecanismos diferentes, como es el caso

mexicano, se han estimado los caudales de diseño con mayor precisión utilizando la

distribución Doble Gumbel y se ha comprobado que dicho modelo ajusta mejor a esta serie

que los clásicos de una sola población.

PALABRAS CLAVES: Caudal, probabilidades, Doble Gumbel

INDICE DE MATERIAS

INTRODUCIÓN: ............................................................................................................................... 4

1 MARCO TEÓRICO: .................................................................................................................. 4

1.1 Distribución de Gumbel ..................................................................................................... 4

1.2 Distribución Doble Gumbel ............................................................................................... 6

1.2.1 Función de distribución Doble Gumbel ..................................................................... 6

1.2.2 Ajuste de parámetros .................................................................................................. 6

1.2.3 Bondad de ajuste ........................................................................................................ 7

1.2.4 Estimaciones con la distribución Doble Gumbel ....................................................... 7

2 ANÁLISIS DE LOS CAUDALES DEL RIO PIURA ............................................................... 8

3 RESULTADOS Y CONCLUSIONES ....................................................................................... 9

BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................................. 10

INTRODUCIÓN:

La Hidrología aplicada a la Ingeniería Civil busca resolver principalmente dos

interrogantes: de cuánta agua dispongo y de cuánta agua debo proteger a mi

infraestructura. Para ello dispone de muestras de caudales y precipitaciones puntuales o

regionales que analiza para llegar a las mejores estimaciones de valores de diseño. En este

contexto, la modelación probabilística juega un papel importante, siendo que la elección de

la distribución de probabilidad más adecuada es difícil ante las diversas opciones que se

presentan.Durante muchos años las distribuciones probabilísticas que modelan una sola

población han sido las más utilizadas, tales como Log-Normal, Gamma, Gumbel, Pearson,

etc. Sin embargo, en regiones de México, donde se tiene presencia de crecidas debidas a

dos tipos de mecanismos generadores, las crecidas normales y las debidas a huracanes,

éstas se modelan bajo la distribución de Doble Gumbel y a cada grupo se le ajusta un

modelo Gumbel propio.

En la ciudad de Piura, ubicada en el noroeste peruano, las lluvias se presentan

generalmente en el verano. Durante este periodo de tiempo hay lluvias de poca intensidad,

las cuales traen consigo un aumento del caudal del río Piura, pero no muy significativo. Sin

embargo, existen también años en que las lluvias son originadas por el Fenómeno El Niño

(FEN), las cuales sí significan un aumento excepcional en los caudales del río del mismo

nombre (Reyes, 2003).

El FEN es un evento climático cíclico y de carácter mundial, que se manifiesta en la

región Piura con fuertes precipitaciones debido a su situación geo-climática caracterizada

por la presencia de la cordillera de los Andes relativamente baja en esta zona, que permite

la presencia de nubes calientes amazónicas, mar caliente durante la primavera y el verano,

mar frío durante el invierno-otoño. A este escenario se le asocia con lluvias de gran

intensidad y destrucción de bienes e infraestructura.

Ya que la ocurrencia de lluvia y caudales en la región Piura están regidos por dos

mecanismos diferentes, como es el caso mexicano, se plantea estimar el caudal de diseño

con mayor precisión utilizando la distribución Doble Gumbel.

1 MARCO TEÓRICO:

1.1 Distribución de Gumbel

La distribución de valores extremos tipo I o de Gumbel busca representar la

distribución de una variable aleatoria definida como la mayor de una serie de n variables

aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con una distribución de tipo

exponencial a medida que n crece indefinidamente.

La función de distribución acumulada o probabilidad de no excedencia de Gumbel

viene dada mediante la expresión siguiente:

x

eexF )( ............................................................................................................... (1)

Donde:

x : Evento hidrológico a considerar, viene de los datos muestrales

: Parámetro de posición de la función

: Parámetro de escala de la función

Estos parámetros se pueden estimar conociendo que la media y la desviación

estándar de la función son respectivamente: . ...................................................................................................................... (2)

6

......................................................................................................................... (3)

Siendo la constante de Euler-Mascheroni ( ≈ 0.577216).

De modo que si se tuviera una muestra de tamaño infinito se podrían estimar los

parámetros de la función, α y β, a través de los estadígrafos de la muestra, con las

siguientes expresiones:

6xs ......................................................................................................................... (4)

. x ....................................................................................................................... (5)

Donde x y son la media y la desviación estándar muestrales, respectivamente.

Sin embargo, en la práctica se trabaja con muestras de tamaño finito, por tanto el

valor de los parámetros debe modificarse. Gumbel obtuvo valores modificados

minimizando la suma de cuadrados de los errores perpendiculares a la recta de ajuste de

valores extremos. Las ecuaciones que obtuvo están en función del tamaño de la muestra y

de los parámetros y son las siguientes (Varas y Bois, 1998):

n

x

s

s .............................................................................................................................. (6)

.nyx ...................................................................................................................... (7)

Donde:

: Valor esperado de la variable reducida ym

: Desviación estándar de la variable reducida ym

Estos estadígrafos pueden obtenerse de la variable reducida ordenando la muestra de

manera decreciente y calculando para cada xi la correspondiente variable reducida ym con

la siguiente expresión de Weibull:

1

1lnln

n

mnym ............................................................................................... (8)

Donde:

: Tamaño de la muestra

: Número de orden

Suele ser útil trabajar con tablas que entreguen el valor de yn y sn directamente en

función del tamaño de la muestra n, ya que éstos no dependen de los valores xi de la

muestra (Tabla 1 y Tabla 2).

Tabla 1 - Valor esperado, yn, de la variable reducida, ym

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 0,4952 0,4996 0,5035 0,5070 0,5100 0,5128 0,5157 0,5181 0,5202 0,5220

20 0,5230 0,5252 0,5268 0,5283 0,5296 0,5309 0,5320 0,5332 0,5343 0,5353

30 0,5362 0,5371 0,5380 0,5388 0,5396 0,5402 0,5410 0,5418 0,5424 0,5430

40 0,5436 0,5442 0,5448 0,5453 0,5458 0,5463 0,5468 0,5473 0,5477 0,5481

50 0,5485 0,5489 0,5493 0,5497 0,5501 0,5504 0,5508 0,5511 0,5515 0,5518

60 0,5521 0,5524 0,5527 0,5530 0,5533 0,5535 0,5538 0,5540 0,5543 0,5545

70 0,5548 0,5550 0,5552 0,5555 0,5557 0,5559 0,5561 0,5563 0,5565 0,5567

80 0,5569 0,5570 0,5572 0,5574 0,5576 0,5578 0,5580 0,5581 0,5583 0,5585

90 0,5586 0,5587 0,5589 0,5591 0,5592 0,5593 0,5595 0,5596 0,5598 0,5599

100 0,5600

Tabla 2- Desviación estándar, sn, de la variable reducida, ym

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 0,9496 0,9676 0,9833 0,9971 1,0095 1,0206 1,0316 1,0411 1,0493 1,0565

20 1,0628 1,0696 1,0754 1,0811 1,0864 1,0915 1,0961 1,1004 1,1047 1,1086

30 1,1124 1,1159 1,1193 1,2260 1,1255 1,1285 1,1313 1,1339 1,1363 1,3880

40 1,1413 1,1430 1,1458 1,1480 1,1499 1,1519 1,1538 1,1557 1,1574 1,1590

50 1,1607 1,1623 1,1638 1,1658 1,1667 1,1681 1,1696 1,1708 1,1721 1,1734

60 1,1747 1,1759 1,1770 1,1782 1,1793 1,1803 1,1814 1,1824 1,1834 1,1844

70 1,1854 1,1863 1,1873 1,1881 1,1890 1,1898 1,1906 1,1915 1,1923 1,1930

80 1,1938 1,1945 1,1953 1,1959 1,1967 1,1973 1,1980 1,1987 1,1994 1,2001

90 1,2007 1,2013 1,2020 1,2026 1,2032 1,2038 1,2044 1,2049 1,2055 1,2060

100 1,2065

1.2 Distribución Doble Gumbel

Mientras que la función de distribución de Gumbel está pensada para una población,

la distribución de Doble Gumbel permite modelar el comportamiento de dos poblaciones

consideradas mutuamente excluyentes.

Una función de distribución de probabilidad para dos poblaciones se puede plantear

como sigue (Raynal y Raynal, 2004):

( ) ( ) ( ) ( ) ............................................................................ (9)

Donde:

: Probabilidad de que la variable x pertenezca a la segunda población, que

agrupa a elementos sucedidos en condiciones climatológicas ordinarias.

1.2.1 Función de distribución Doble Gumbel

Con base en la ecuación (9), la probabilidad de excedencia de Gumbel de dos

poblaciones se expresa mediante la ecuación siguiente:

( ) ( ) ( )

( )

.................................................................... (10)

Esta función de distribución cuenta con cinco parámetros, dos de cada población:

,,,, 2211 mientras el quinto es la proporción de mezcla, p.

1.2.2 Ajuste de parámetros

El ajuste más adecuado se realiza mediante un proceso de iteración hasta llegar a un

juego de parámetros apropiados a la muestra disponible.

Se inicia con el análisis de la muestra de máximos anuales disponible para identificar

aquellos años que se alejan de la “normalidad”, es decir que son muy diferentes al resto,

que exceden cierto umbral y que por información histórica se conoce además que tuvieron

presencia del fenómeno diferente, tal como FEN, huracán, etc.

Con esa clasificación, la muestra de nt años quedará dividida en dos grupos, el

primero de n1 años extraordinarios y el segundo de n2 años ordinarios o normales,

definiendo preliminarmente el parámetro p como:

21

2

nn

np

..................................................................................................................... (11)

A continuación se trabaja por separado con los dos grupos definidos, ajustando los

parámetros Gumbel de una sola población con las ecuaciones (6), (7) y (8) y las Tablas 1 y

2. Esto permitirá contar con los cuatros parámetros restantes.

1.2.3 Bondad de ajuste

El ajuste realizado según el acápite anterior deberá ser evaluado mediante una prueba

de bondad de ajuste. Estas pruebas evalúan el grado de concordancia entre la distribución

de un conjunto de valores de la muestra y alguna distribución teórica específica. Determina

si razonablemente puede pensarse que las mediciones muestrales analizadas provienen de

una población que tiene dicha distribución teórica, mediante la comparación de las

distribuciones de frecuencia acumulativa, teórica y observada.

De uso frecuente son la prueba 2, la de Kolmogorov-Smirnov y la del error

cuadrático estándar. La primera trabaja con valores agrupados, por lo que no es muy

práctica; la segunda no requiere agrupar valores, se concentra en determinar el punto en el

que estas dos distribuciones muestran la mayor divergencia, pero no evalúa las diferencias

en su conjunto; mientras que la tercera es una mezcla de ambas pruebas, trabajando con los

datos independientes y sumando las divergencias parciales entre las probabilidades de

excedencia o distribuciones de frecuencias, teórica, Pteo, y empírica, Pemp. Para esta prueba

de error cuadrático estándar se aplica la siguiente fórmula:

∑ √(

)

(12)

Donde:

: Número de parámetros de la distribución teórica, que en el caso de Doble

Gumbel es 5.

A continuación se deberá repetir el análisis anterior para diferentes valores del

parámetro p, mayores y menores que el preliminar, con la finalidad de determinar aquél

que arroja el mínimo error, E, y el conjunto definitivo de parámetros.

1.2.4 Estimaciones con la distribución Doble Gumbel

Contando con la función de Doble Gumbel ajustada a la serie, se pueden hacer

estimaciones de caudales máximos para diferentes períodos de retorno utilizando la

expresión (10) y sabiendo que la probabilidad de no excedencia, F(x), y el período de

retorno, Tr, están relacionados por la siguiente expresión:

( )

(13)

2 ANÁLISIS DE LOS CAUDALES DEL RIO PIURA

Se cuenta con los registros de los caudales máximos anuales del río Piura desde el

año 1925 al 2008, conformando una muestra de 84 datos. Dentro de este periodo se han

presentado lluvias debidas a los dos mecanismos descritos anteriormente: lluvias normales

y lluvias por FEN, las cuales originan un crecimiento diferente del caudal en el río Piura.

Por ello se han considerado dos poblaciones, la primera para los caudales durante el FEN y

la segunda para los caudales durante las lluvias regulares, cada una con un número

diferente de datos.

El cálculo se inició con un p preliminar de 0,70, probando además con valores desde

0,88 hasta 0,50, obteniéndose el mejor valor del error E para p = 0,55 (Tabla 3); esto

significa que, dada la muestra de 84 años utilizada, lo más probable es que ésta provenga

de un universo con el 45% de los años dominados por eventos lluviosos asociados al FEN,

mientras que el 55% de los años corresponde a años normales con características secas.

Tabla 3 – Errores estándar E obtenidos para diferentes valores de p en los caudales del río Piura

p 0,88 0,80 0,74 0,70 0,60 0,55 0,52 0,50

E 0,423 0,225 0,172 0,158 0,131 0,113 0,124 0,145

Este ajuste corresponde a los siguientes parámetros: α1=988,8, β1=821,0; α2=63,7,

β2=92,7; y p=0,55. Luego de ajustar la distribución, ésta se aplicó de forma inversa para

estimar los caudales de diseño para diferentes periodos de retorno, según se describió en

1.2.4.

Asimismo se ajustaron modelos de uso frecuente en Hidrología para una sola

población, tales como Gamma, Exponencial, Gumbel, Log Normal 3, Pearson III, Log

Pearson III, y se realizaron las pruebas de bondad de ajuste, obteniéndose con ellos errores

mayores que con la distribución de Doble Gumbel (Tabla 4).

Tabla 4 – Estimaciones de crecidas con diferentes modelos usados en Hidrología

Tr Doble Gumbel LP III Gamma LN3 Exponencial Pearson III Gumbel

2 230 353 378 290 432 474 566

5 1.431 1.188 1.173 1.011 1.267 1.306 1.429

10 2.128 1.830 1.844 1.911 1.899 1.903 2.001

20 2.750 2.394 2.546 3.221 2.531 2.492 2.549

25 2.943 2.555 2.777 3.748 2.734 2.681 2.723

50 3.531 2.986 3.503 5.783 3.366 3.268 3.259

100 4.109 3.321 4.242 8.536 3.998 3.857 3.791

1.000 6.008 3.905 6.751 25.376 6.096 5.836 5.548

10.000 7.899 4.044 9.310 62.158 8.195 7.867 7.302

Error 0,222 0,288 0,356 0,379 0,513 0,608 0,749

3 RESULTADOS Y CONCLUSIONES

3.1.Análisis de Resutados

Al aplicar a los datos las distribuciones clásicas de una sola población de mayor

difusión para estimar los caudales de diseño, se obtuvo un error cuadrático estándar de

0,222 para Doble Gumbel y 0,288 para Log-Pearson III, como el mejor ajuste de las

distribuciones de una sola población.

Como se puede apreciar, si se utiliza el mejor ajuste a una sola población, el modelo

de Log Pearson III daría estimaciones muy bajas afectando la seguridad de las obras. Si por

el contrario se hubiera tomado directamente la clásica distribución Log-Normal 3, como

aquella que casi siempre se logra ajustar las muestras hidrológicas, se tendrían valores de

caudales mucho mayores que los hallados con la distribución Doble Gumbel y que los

observados.

Esto lleva a que al momento que se diseñen las estructuras se sobredimensionen, ya

que en realidad estos caudales están muy por encima de lo que se espera. Este

sobredimensionamiento genera una mayor inversión y en algunos casos impide la

ejecución de proyectos por falta de presupuesto suficiente. Para tiempos de retorno

mayores, como 10.000 años, se aprecia que la distribución Doble Gumbel también dará

mejores resultados (Fig.1 y 2), por el lado de mayor seguridad para el diseño de obras de

envergadura como aliviaderos de presas.

Figura 1 – Caudales estimados hasta 10.000 años con LN3, LPIII y Doble Gumbel

Figura 2 – Detalle de caudales estimados hasta 100 años con LN3, LPIII y Doble Gumbel

-

10,000

20,000

30,000

40,000

50,000

60,000

70,000

1 10 100 1,000 10,000

Caud

al (m

3/s)

Tr (años)

LN3

DbGumb

LP III

Empírica

-

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

9,000

10,000

1 10 100

Caud

al (m

3/s)

Tr (años)

LN3

DbGumb

LP III

Empírica

3.2.Conclusiones

Tradicionalmente la Hidrología Probabilística ha manejado la estimación de caudales

de diseño bajo el enfoque de una sola población, con modelos de mucha difusión y

aceptación, tales como Log Pearson III, Log Normal 2 y 3, etc.

Existen regiones geográficas que por su naturaleza ven configurada su Hidrología

por dos mecanismos de formación, tal es el caso de regiones donde se presentan huracanes

y aquellas afectadas por el Fenómeno El Niño. El modelo Doble Gumbel permite manejar

las muestras hidrometeorológicas dividiéndolas en dos grupos y modelar adecuadamente

los caudales, evitando sobre estimar o subestimar los valores de diseño, lo que incide en la

realización y en la economía de las obras proyectadas.

Los caudales máximos anuales del río Piura, en la costa norte del Perú, se han

logrado modelar probabilísticamente mediante Doble Gumbel, que se ajusta más que los

modelos de una sola población.

El modelo ajustado indica una presencia de años atípicos del 55% debida al FEN en

la cuenca del río Piura.

BIBLIOGRAFÍA

Raynal, J.A.; Raynal, M.E. (2004). “Cálculo de los límites de confianza de la

Distribución de Probabilidad de valores extremos tipo I para dos poblaciones”

Información tecnológica La Serena V.15 n°.1, pp. 87 – 94. Disponible en

<http://www.scielo.cl/scielo.php?script= sci_arttext&pid=S0718-

07642004000100014&lng=es&nrm=iso>. accedido en 17 jun. 2011. doi: 10.4067/S0718-

07642004000100014.

Reyes, J. (2003). “Perú”, en Inundaçoes urbanas na América do Sul. Org. por Tucci, E.

M.; Bertoni, J.C. Ed. Associaçao Brasileira de Recursos Hidricos, Porto Alegre, pp. 379 -

428.

Varas, E. ; Bois, P. (1998). Hidrología Probabilística. Ediciones Universidad Católica

de Chile, 156 p.