PROBLEMAS PROPUESTOS

ENSAYOS DE MEDIAS Y PROPORCIONES MEDIANTE DISTRIBUCIONES

NORMALES

1.- Una urna contiene bolas rojas y azules. Para ensayar la hipótesis de

proporciones iguales de estos colores, se acuerda en tomar una muestra de

64 bolas con reemplazamiento, anotando los colores extraídos anotando la

siguiente regla de decisiones: (1) se acepta la hipótesis si se extraen entre 28

y 36 bolas rojas; (2) se rechaza en caso contrario:

a) Hallar la probabilidad de rechazar la hipótesis cuando en realidad sea

correcta

b) Interpretar gráficamente la regla de decisiones y el resultado obtenido en

a)

2.- ¿Qué regla de decisión se adoptaría en el problema 1 si se quisiera que la

probabilidad de rechazar la hipótesis siendo realmente correcta sea lo sumo

0.01, es decir, se quiere un nivel de significación del 0.01?

b) ¿A qué nivel de confianza se aceptaría la hipótesis?

C) ¿Cuál sería la regla de decisión si se adopta un nivel de significación del

0.05?

Resp. a) Aceptar la hipótesis si las bolas rojas extraídas estuviesen entre 22 y

42; rechazarla en caso contrario. B) 0,99. C) aceptar la hipótesis si las bolas

rojas extraídas estuvieran entre 24 y 40; rechazar en caso contrario.

3.-Supongase que el problema 1 se desea ensayar la hipótesis de que hay

mayor proporción de bolas rojas que de azules. A) ¿Cuál sería la hipótesis

nula y cuál la alternativa?. B) Se utilizaría un ensayo de una o dos colas? ¿Por

qué? C) Qué regla de decisión se adoptaría si el nivel de significación fuese

del 0,5? D) Cuál sería la regla de decisión si el nivel de significación fuese del

0.01?

Resp. Ho : p = 0,5, Hi : p > 0,5. Ensayo unilateral. C) Rechazar Ho si se extraen

más de 41 bolas rojas, y se acepta en caso contrario (o no se tome ninguna

decisión).

4.- Se lanza un par de dados 100 veces y se observa que un total de “siete”

aparecen 23 veces. Ensayar la hipótesis que los dados estén bien hechos, es

decir, no cargados, mediante a) un ensayo bilateral y b) un ensayo unilateral

y u nivel de significación del 0,05. Discutir las razones de las posibles

preferencias en uno de estos ensayos sobre el otro.

Resp. a) No se puede rechazar la hipótesis al nivel de 0.05; se puede rechazar

la hipótesis al nivel de 0.05.

5.- Lo mismo del problema 4 si el nivel de significación es de 0.01

Resp. No se puede rechazar la hipótesis al nivel de 0.01 en a) ni en b)

6.- Un fabricante sostiene que al menos el 95 de los equipos que

suministra a una factoría está de acuerdo con las especificaciones

requeridas. Un examen sobre una muestra de 200 de tales equipos reveló

que 18 eran defectuosos. Ensayar la firmación del fabricante al nivel de

significación del a) 0.01, b) 0.05

Resp. Se puede rechazar tal afirmación a ambos niveles mediante un ensayo

unilateral.

7.- El porcentaje de notas A dado en un curso de física en una universidad,

durante durante un largo periodo de tiempo fue del 10 . Durante un

periodo determinado hubo 40 A en un grupo de 300 estudiantes. Ensayar la

significación de este resultado al nivel de a) 0.05, b) 0.01

Resp. Mediante un ensayo unilateral, el resultado es significativo al nivel de

0.05 pero no lo lees al nivel de 0.01.

8.- La experiencia ha demostrado que la media de resistencia a la rotura de

una determinada clase de hilo es de 9.72 onzas con una desviación típica de

1,40 onzas. Recientemente, una muestra de 36 piezas de hilo dieron una

resistencia media de 8,43 onzas. ¿Se puede deducir el nivel de significación

del a) 0.05 y b) 0.01 que el hilo es ahora peor.

Resp. Sí, en ambos niveles, mediante un ensayo unilateral en ambos casos.

9.- En un examen dado a un gran número de estudiantes de muchas escuelas

distintas, la puntuación media fue de 74.5 y la desviación típica fue de ,0. En

una escuela determinada con 200 estudiantes el mismo examen dio una

puntuación media de 75.9. Comentar la significación de este resultado al

nivel de 0,05 desde el punto de vista de a) un ensayo unilateral y b) un

ensayo bilateral, explicando las conclusiones sacadas con estos ensayos.

Resp. El resultado es significativo al nivel de 0,05 en ambos ensayos.

10.- Lo mismo del problema 9 si el nivel de significación es del 0.01.

Resp. El resultado es significativo en este nivel con un ensayo unilateral, pero

no lo es con un ensayo bilateral.

CURVAS CARACTERISTICAS DE OPERACIONES

11.- En relación con el problema 1, determinar la probabilidad de aceptar la

hipótesis de que haya igual proporción de bolas rojas y azules cuando la

proporción real p de bolas rojas sea (a) 0,6, (b) 0,7, (c) 0,8, (d) 0,9, (e) 0,3.

Resp. (a) 0,3112, (b) 0,0118, (c) 0, (d) 0, (e) 0,0118.

12.- Representar gráficamente los resultados del problema anterior

construyendo un gráfico de (a) y p, (b) (1 - ) y p. Comparar estos gráficos

considerando la analogía de las bolas rojas y azules con caras y cruces,

respectivamente.

13.- Construir (a) una curva OC Y (b) una curva de potencia correspondiente

al problema 3.

GRÁFICOS DE CONTROL DE CALIDAD

14.- En el pasado, un cierto tipo de hilo producido por un fabricante tenía

una resistencia media de rotura de 8,64 onzas y una desviación típica de 1,28

onzas. Para determinar si el producto está de acuerdo a estas normas, se

toma cada 3 horas una muestra de 16 piezas de hilo y se determina la

resistencia media. Hallar los límites de control del (a) 99,73, (b) 99 y (c)

95 sobre un gráfico de control de calidad y explicar sus aplicaciones.

Resp. (a) 8,64 ± 0,96, (b) 8,64 ± 0,83, (c) 8,64 ± 0,63 onzas.

15.- Alrededor del 3% de los cerrojos producidos por una compañía son

defectuosos. Para mantener esta calidad de producción, se toma una

muestra cada 4 horas de 200 de los cerrojos producidos. Determinar los

límites del control (a) 99%, (b) 95%, para el número de cerrojos defectuosos

de cada muestra. Adviértase que en este caso solo son necesarios los límites

de control superiores.

Resp. Los límites de control superiores son, respectivamente, (a) 6 y (b) 4

cerrojos defectuosos.

ENSAYOS REFERENTES A DIFERENCIAS DE MEDIAS Y PROPORCIONES

16.- Una muestra de 100 bombillas de un fabricante A dio una duración

media de 1190 horas y una desviación típica de 90 horas. Una muestra de 75

bombillas de otro fabricante B dio una duración media de 1230 horas con

una desviación típica de 120 horas. ¿Hay diferencia entre las duraciones

medias de las bombillas de los dos fabricantes al nivel de significación del (a)

0,05 y (b) 0,01? Resp. (a) Sí (b) No

17.- En el problema anterior ensayar la hipótesis de que las bombillas del

fabricante B sean mejores a las del fabricante A utilizando un nivel de

significación del (a) 0,05 y (b) 0,01. Explicar las diferencias entre esto y lo que

se pedia en el problema anterior. ¿Se contradicen los resultados con los del

problema anterior?

Resp. Un ensayo unilateral muestra a ambos niveles de significación que las

bombillas B son superiores a las de las A.

18.- En un examen de ortografía en una escuela elemental, la puntuación

media de 32 niños fue de 72 con una desviación típica de 8, mientras que la

desviación media de de 36 niñas fue de 75 con una desviación típica de 6.

Ensayar la hipótesis de que a los niveles de significación (a) 0,05 y (b) 0,01 las

niñas tengan mejor ortografía que los niños.

Resp. Un ensayo unilateral muestra que la diferencia es significativa al nivel

de 0,05, pero no al nivel de 0,01.

19.- Para ensayar los efectos de un nuevo fertilizante sobre la producción de

trigo, una parcela de terreno se dividió en 60 cuadrados de áreas iguales,

todos ellos tenían idénticas características del suelo, exposición a la luz del

sol, etc. El nuevo fertilizante se aplicó a 30 de estos cuadros y el antiguo

fertilizante a los restantes. El número medio de fanegas de trigo cosechadas

por cuadros en los que se utilizó el fertilizante nuevo fue de 18,2 con una

desviación típica de 0,63 fanegas. La media y la desviación típica

correspondiente a los otros cuadrados fueron 17,8 y 0,54 fanegas,

respectivamente. Con un nivel de significación del (a) 0,05 y (b) del 0,01.

Ensayar la hipótesis de que el nuevo fertilizante sea mejor que el antiguo.

Resp. Un ensayo unilateral muestra que el fertilizante nuevo es mejor a los

dos niveles de significación.